第三章 初等函数

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2014-7-3
初等代数研究
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§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
最早提出函数（function）概念的是 17 世纪德国数学家莱布尼茨． 1718 年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家约翰· 贝努利把函数定义为：“由 某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．” 1755 年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，我 们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用 公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线 也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”当时有些数学家对于不用 公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公 式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．
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§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
19 世纪末，自从德国数学家康托创立了集合论，人们把函数的概念提升到了 更抽象的层次，这个抽象的定义，提炼出了函数概念的精髓，使它去除了各种形 式的束缚，从而有了更广泛的应用． 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。 我国清代数学家李善兰在翻译 《代 数学》 （1895 年）一书时，把“funcion”译成“函数”，中国古代“函”字与“含”字通用， 都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国 古代用天、地、人、物 4 个字来表示 4 个不同的未知数或变量。这个定义的含义 是：“凡是公式中含有变量ｘ，则该式子叫做ｘ的函数。”所以“函数”是指公式里 含有变量的意思。
3.伸缩变换
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y f ( x) y f (kx) y f ( x) y kf ( x)

对数及其运算第2课时积、商、幂对数课堂导学三点剖析一、利用对数运算法那么计算问题85+lg 21; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;(4)2log 525+3log 264;(5)log 2(log 216).思路分析：要注意灵活运用对数运算法那么,要会正用法那么,也要会逆用法那么,更要会变形用法那么. 解：85+lg 21 =(lg12.5+lg 21)-lg 85 =lg(12.5×21)+lg 58 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.(2)log a n a +log a n a 1+log a n a1 =n 1log a a-nlog a a n1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552=2.(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226=4log 55+18log 22=4+18=22.(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)=log 24=log 222=2.温馨提示计算时要将式子中真数积、商、幂、方根运用对数运算法那么将它们化为对数和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中对数和、差、积、商运用对数运算法那么将它们化为真数积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题具体需要正用及逆用法那么,灵活地运用法那么.二、对数式条件求值问题【例2】lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.思路分析：运用对数运算法那么变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3式子.解：lg 45=21lg45=21lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+21lg32 =21(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值式子同时变形,找到共同点.三、对数运算法那么综合应用问题【例3】(1)化简27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:logyx 2=4. (1)解法一:先采用“分〞方法. 原式=3lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ ==511. 解法二:采用“合〞方法. 原式=2781lg )32793lg(21532152-⨯⨯⨯⨯==511. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x -2y),∴lgxy=lg(x -2y)2.∴xy=(x -2y)2,即x 2-5xy+4y 2=0.∴x=4y 或x=y(舍去). ∴yx =4. ∴log 2y x =log 24=log 2(2)4=4.对数式化简两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成假设干个对数代数和,最后进展化简;二是把同底对数之和合并成一个对数,对真数进展化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲方法. 各个击破类题演练1计算:(1); (2)21lg 493243-lg 8+lg 245. 解析：(1)= ==12lg 12lg =1. (2)21lg 493243-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+21(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5 =21lg2+21lg5=21(lg2+lg5) =21lg10=21. 变式提升1计算:(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)解析：(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2 =2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=3.(2)= ==21. 类题演练2lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(10y )2值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2.3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).解析：由3n =2,得n=log 32.∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.类题演练3化简log 2487+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法那么,把log 2487,log 212,log 242拆成假设干个对数代数和,然后再化简.原式=21log 2+log 2(3×22)21-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 2221-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数底数一样,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 2=log 221=21-. 变式提升3证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5=(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2=(lg2+lg5)2=(lg10)2=1.。

3．1．1实数指数幂及其运算【学习要点】1根式、分数指数幂的概念.2分数指数的运算性质．【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。

2 会进行简单的运算。

【复习引入】1 、相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅记作na ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。

其中n 是正整数。

2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3）【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。

1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。

整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。

2 、0a = ，n a -=3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。

4、 如果存在实数x ，使得(,1,)nx a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。

求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。

5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。

规定负分数指数幂的定义是： 。

规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。

规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。

6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。

完成教材89页1题【例题解析】例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠）（1）322123(3)9a b a b a b------=（2）34320()()[]()()a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠例题2化简下列各式 （12（23）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⨯-小结：化简，注意体会指数的运算性质。

例3： 化简：332ba abb a练习：（1【补充练习】1、 化简，注意体会指数的运算性质：（1）22252432()()()a b a b a b --÷ （2）340.10.01--3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换：（1） 2 1.53(0.027)-； （2； （3完成教材89页2题3.1.2 指数函数【学习要点】1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）. 【学习过程】一、新课导学探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：细胞分裂时，第 1 次由1个分裂成 2 个，第 2 次由2个分裂成 4 个，第 3 次由4个分裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数x 的关系式是什么？_________________________________.【讨论】：（1）这个关系式是否构成函数？ （2）是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 新知：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做________函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .反思1：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？ 【讨论】：则若,0=a _______________________________________. 则若,0<a _______________________________________.则若,1=a _______________________________________.反思2：函数x y 32⨯=是指数函数吗？ 《学生活动》下列函数哪些是指数函数？（1）xy 3= （2）x y 12= （3）xy )2(-= (4)13+=xy （5）xy 23= （6）xy π= （7）24x y = (8))121()12(≠>-=a a a y x且____________________________探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：（1）研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．（2）研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值等等．《作图》：在同一坐标系中画出下列函数图象：x y 2= x y )1(=《练习》在上面的坐标系中继续作出xxy y )31(3==与的图像【讨论】新知：根据图象归纳指数函数的性质《巩固训练》1. 函数xa y =中，无论10,0<<>a a 还是,都经过______________. 2. 指数函数x a y =中，x a 和的取值范围分别是_________________________. 3. 若函数xa y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________.二、典型例题例1：求下列函数的定义域： （1）23-=x y （2）x y 1)21(=例2：已知指数函数xa x f =)(（1,0≠>a a 且）的图象经过点),3(π,求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3：比较下列各题中两个值的大小: (1) 35.27.1 ,7.1 (2) 2.01.08.0 ,8.0-- (3) 1.33.09.0 ,7.1(4) 比较2131a a 与的大小，)1,0(≠>a a 且《练习》1. 求下列函数的定义域： （1）xy -=32 （2）123+=x y （3）xy 5)21(= （4）x y 17.0=2. 比较下列各题中两个数的大小： (1) 7.08.03,3(2) 1.01.075.0 ,75.0-(3) 5.37.201.1 ,01.1(4)已知的大小关系是则c b a c b a ,,,2.1,8.0,8.08.09.07.0===_____________________.3.2.1对数及其运算（1）【学习要点】1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.【学习要点】理解对数概念，能够进行对数式与指数式的互化。

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故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2(x≥2).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥2).
(4)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,①
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
②-①,得
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f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数
的 值域
.
(2)如果两个函数的
定义域
两个函数是同一个函数.
相同,并且 对应关系 完全一致,那么这
微点拨对函数概念的理解
(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系;
(2)如果两个函数的定义域和对应关系相同,这两个函数就是同一个函数,
的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
微拓展复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可
以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作
y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))
则 f(f(26))等于(
log 5 (-1), ≥ 4,
1
A.
5
1
B.
e
C.1
D.2
)
答案 (1)ln 2
(2)C
解析(1)由题意知,当x>0时,f(x)<0;
当x≤0时,f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3.