第八章 第七节 双曲线

双曲线的焦点与准线
要点一
焦点
双曲线的两个顶点，位于双曲线的对称轴上，距离原点的 距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。
要点二
准线
与双曲线相切的直线，与双曲线的对称轴垂直，距离原点 的距离为$a^2/c$。
02
双曲线的几何性质
双曲线的对称性
水平对称性
双曲线关于x轴对称，即对于任意点P(x, y)在双曲线上，存在 另一点P'(-x, -y)也在双曲线上。
04
双曲线在实际生活中的应用
天文观测中的双曲线
总结词
天文观测中，双曲线有着重要的应用，特别 是在星体的位置确定和轨迹计算中。
详细描述
天文学家利用双曲线的性质来研究星体的运 动轨迹。由于星体运动受到引力的影响，其 轨迹呈现出双曲线的特征。通过观测和计算 ，可以推导出星体的位置、速度和加速度等 参数。
详细描述
双曲线的面积计算公式为 (S = pi ab)， 其中 (a) 和 (b) 分别是双曲线的实半轴和 虚半轴长度。这个公式基于双曲线的参数 方程和定义域，通过积分运算得出。
双曲线的周长
总结词
双曲线的周长可以通过其基本性质和参数方程进行计算，结果是一个与双曲线形状有关的数值。
详细描述
双曲线的周长计算公式为 (C = 2a + 2b)，其中 (a) 和 (b) 分别是双曲线的实半轴和虚半轴长度。这个公式基于 双曲线的参数方程和几何性质，通过求和运算得出。
物理实验中的双曲线
总结词
在物理实验中，双曲线常用于描述某些物理现象或规律，如声波传播、波动等。
详细描述
在声波传播实验中，双曲线可以用来描述声波的传播路径和强度衰减。在波动理规律具有重要意义。

e＝ac∈_(_1_，__＋__∞__)_ c2＝ a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
常用结论
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 |PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2ab2. 4.与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为ax22 －by22＝t(t≠0).
知识梳理
标准方程 范围
ax22－by22＝1(a>0，b>0) x≤－a 或 x≥a ，y∈R
ay22－bx22＝1(a>0，b>0) y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 性质 顶点
对称轴： 坐标轴 ；对称中心：_原__点__
_A_1_(_－__a_，__0_)，__A__2(_a_，__0_)_
_A_1_(_0_，__－__a_)，__A__2(_0_，__a_)_
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2 ＝60°，则△F1PF2的面积为____2__3_.
不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2|F| 1F2|2＝12， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴ S△F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2 3.
此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确； ③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝ |QP|， 所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|， 此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为R的双曲线，故D 正确.

第7节 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式知识与方法1.如图1所示，1F 、2F 是椭圆的焦点，设P 为椭圆上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2S b θ=. 2.如图2所示，1F 、2F 是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2b S θ=.典型例题【例1】设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________. 【解析】由焦点三角形面积公式，12243tan 4tan302PF F S b θ==⨯︒43变式1 设1F 、2F 是椭圆22218x y b+=()022b <<的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒，且12F PF 43b =________.【解析】由焦点三角形面积公式，122243tan tan3022F PF S b b b θ==︒=⇒=.【答案】2变式2 设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________. 【解析】设12F PF θ∠=，则21221tan 12cos cos 31tan 2F PF θθθ-∠===+，所以21tan 22θ=， 由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而2tan 2θ=故1222tan 4222PF F S b θ===【答案】2变式 3 设1F 、2F 是椭圆22214x y a +=()2a >的焦点，点P 在椭圆上，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=________.【解析】记12F PF θ∠=，则60θ=︒，12243tan 4tan302PF F S b θ==⨯︒=，又12121213sin 24PF F SPF PF PF θ=⋅⋅⋅123434PF ⋅12163PF PF ⋅=. 【答案】163变式4 设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________. 【解析】解法1：如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得1222F F = 由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅， 所以2121222sin 1cos F PF F PF ∠-∠， 故1212121122sin 31222PF F S PF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯=解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式， 123PF PF =即为0022232⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，解得：02x = 又2200142x y +=，所以22002114x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而01y =，易求得1222F F =12120122PF F S F F y =⋅2【反思】不是每一道题都能很方便地代公式计算焦点三角形面积，所以掌握焦点三角形面积公式的推导方法也是有必要的.【例2】已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，122333tan 30tan2PF F b S θ===︒ 【答案】33变式1 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则22212222cos sin 1tan 1222cos cos 3cos sin 1tan 222F PF θθθθθθθ--∠====++， 所以21tan 22θ=，由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而2tan 2θ=12232tan2PF F b Sθ==.【答案】32变式2 已知1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，12120F PF ∠=︒，则1PF =________.【解析】由焦点三角形面积公式，12233tan 60tan2PF F b Sθ===︒又1212121213sin 24PF F SPF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅12334PF ⋅= 故124PF PF ⋅=， 由双曲线定义，122PF PF -=，解得：115PF =+ 【答案】15+变式3 （2020·新课标Ⅲ卷）双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为5，P 是C 上一点，12F P F P ⊥，若12PF F 的面积为4，则a =（ ） A.1 B.2 C.4 D.8【解析】解法1：2222255552ce c a c a a b a b a a==⇒=⇒+=⇒=，不妨设P 在双曲线C 的右支上，则122PF PF a -=，因为12F P F P ⊥，所以2221212PF PF F F +=，故()221212122PFPF PF PF F F -+⋅=，从而2212424a PF PF c +⋅=，故22212222PF PF c a b ⋅=-=，所以12212142PF F SPF PF b =⋅==，解得：2b =，故1a =. 解法2：1222242tan 45tan2PF F b b S b b θ====⇒=︒， 22222555512c be c a c a a b a a a ==⇒=⇒+=⇒==.【答案】A强化训练1.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22154x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且1230F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】()122tan60tan 45tan 4tan154tan 6045484321tan60tan 45PF F S b θ︒-︒==⨯︒=⨯︒-︒=⨯=-+︒︒【答案】83- 2.（★★★）设1F 、2F 是双曲线22:145x y C -=的左、右焦点，P 为C 上一点，若12PF PF ⊥，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，12255tan 45tan2PF F b S θ===︒. 【答案】53.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=-，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则221221tan 112cos cos tan 23321tan 2F PF θθθθ-∠==-⇒=-⇒=+， 由1cos 03θ=-<知2παπ<<，所以422πθπ<<，从而tan 22θ=，故12122PF F S =24.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是椭圆在第一象限上的一点，且1260F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________.【解析】设()00,P x y ()000,0x y >>，一方面，122323tan 22PF F S b θ===另一方面，12120001122222PF F S F F y y =⋅=⋅=0232y =，解得：06y =,又2200142x y +=，结合00x >可得2002642x y =-P 的坐标为266⎝⎭. 【答案】266⎝⎭5.（★★★）已知双曲线22:163x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且123cos 4F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】设12F PF θ∠=，则2221tan 312cos tan 4271tan θθθθ-==⇒=+， 因为0θπ<<，所以022θπ<<，故7tan 2θ=12237tan 2PF F b S θ== 【答案】376.（★★★）已知双曲线22142x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足12PF F 的面积为2，则12PF F 的周长为________. 【解析】122222121222tan190242tantan22PF F b SPF PF F F θθθθ===⇒=⇒=︒⇒+==，又124PF PF -=， 所以22212121212122242164PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=-⋅=⇒⋅=，从而()2121212442PF PF PFPF PF PF +=-+⋅=故12PF F 的周长121226L PF PF F F =++= 【答案】42267.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:12x C y -=的左、右焦点，P 为C 在第一象限上的一点，若12120F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________.【解析】设()00,P x y ()000,0x y >>，一方面，12120001123322PF F S F F y =⋅=⋅=，另一方面，12213tan 60tan 2PF F b S θ===︒033y =，从而013y =，代入双曲线方程结合00x >可解得：025x =P 的坐标为2513⎫⎪⎪⎝⎭. 【答案】2513⎫⎪⎪⎝⎭8.（2020·新课标Ⅰ卷·★★★）设1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 上且2OP =，则12PF F 的面积为（ ）A.7B.3C.52D.2【解析】如图，设(),P x y ，则222243213x y y y x ⎧+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩,由题意，124F F =，所以12134322PF F S =⨯⨯=.解法2：如图，由题意，124F F =， 12212121329032tan 45tan2PF F b OP F F F PF Sθ==⇒∠=︒⇒===︒.【答案】B9.（2010·全国Ⅰ卷·★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则|12PF PF ⋅=（ ）A.2B.4C.6D.8【解析】一方面，12213tan 30tan2PF F bSθ===︒另一方面，1212121213sin 24PF F S PF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅， 12334PF ⋅=124PF PF ⋅=. 【答案】B10.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________.【解析】如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得1223F F =， 由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅，所以2121222sin 1cos 3F PF F PF ∠-∠，故1212121122sin 31222PF F SPF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯= 解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式，123PF PF =即为0033232x ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：023x =又220014x y +=，所以22002143x y =-=，从而06y =， 易求得1223F F =，如图，12120122PF F S F F y =⋅2。

(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系
→
由已知条件得 到边长的关系
→
判断轨迹 的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代 入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.