数学分析中的典型例题和解题方法

初中数学10大解题方法及典型例题详解1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

例题：用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( )A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。

【解】将方程x2+4x+1=0，移向得：x2+4x=－1，配方得：x2+4x+4=－1+4，即(x+2) 2=3；因此选D。

2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

例题：若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。

【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），即x2+mx-3=（x-1）（x+3），∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，∴m=2；因此选B。

3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

高考数学的典型题目解析高考数学作为一门综合性的学科，占据了高考科目中的重要地位。

通过对典型题目的解析，我们可以更好地理解和掌握高考数学的考点和解题技巧。

本文将针对高考数学中的典型题目展开详细解析，帮助广大考生更好地备战高考。

一、函数与方程题目解析1. 解一元二次方程题目典型题目：已知二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0,a,b,c∈R)$ 的一个根是 $x_1$，则另一个根为解析：根据二次方程的性质，已知一个根 $x_1$，则另一个根可由韦达定理直接求得。

根据韦达定理，二次方程的两个根之和等于系数$b$ 的相反数，两个根的乘积等于系数 $c$。

因此，另一个根 $x_2$ 可由以下公式求得：$x_2 = -(x_1 + \frac{b}{a})$2. 求函数的极值问题典型题目：已知函数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，求该函数的极值点及取值范围。

解析：要求函数的极值点，可以先求导数，令导数为零，再根据二阶导数的正负性来判断极值点的类型。

首先，对函数 $y$ 求导数得到：$y' = 3x^2 - 6x + 2$令导数为零，解得 $x = 1$。

然后，对导数再求导数，得到二阶导数：$y'' = 6x - 6$当 $x = 1$ 时，$y'' = 0$。

由二阶导数的正负性判断，当 $x < 1$ 时，$y'' < 0$，函数 $y$ 单调递减；当 $x > 1$ 时，$y'' > 0$，函数 $y$ 单调递增。

因此，当 $x =1$ 时，函数 $y$ 达到极小值点。

代入 $x = 1$ 到原函数 $y$ 中，得到极小值为 $y = 2$。

综上，函数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ 的极小值点为 $(1, 2)$，取值范围为 $(-∞, +∞)$。

二、概率与统计题目解析1. 随机事件的概率计算典型题目：一枚硬币抛掷三次，求正面向上的次数为偶数的概率。

数学归纳法经典例题及答案数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。

下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。

例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。

解答：首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。

当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。

其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。

根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。

将左边等式的前k项代入归纳假设得到：(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。

所以，当n=k+1时，等式也成立。

根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。

例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。

解答：首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。

当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。

其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k > k。

接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。

根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) > k+1。

我们可以将左边等式进行展开得到：2^(k+1) = 2^k * 2。

由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。

我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。

数学解题技巧与典型例题分析在数学学习的道路上，解题技巧是驾驭复杂问题的关键。

就像一位老师引导学生走向解题的路径一样，数学解题技巧是学生理解和应用数学概念的桥梁。

让我们深入探讨几种常见的数学解题技巧，并通过典型例题的分析，揭示它们的实际运用。

首先，假设你面对一道看似棘手的代数方程题目。

这时，一种常见的技巧是“分步骤求解”。

这个技巧就像是向学生展示一个多层次的解决方案，从简单的步骤开始，逐渐引导他们走向复杂的问题。

例如，对于一个包含多个未知数的方程组，可以通过逐步消元的方法，将其简化为一个易于处理的形式。

其次，数学中常见的另一种技巧是“寻找模式和规律”。

这种方法就像是教师指导学生观察数学问题中隐藏的模式，从而更轻松地找到解决方案。

例如，对于一个数列题目，通过观察数列中数值的规律，可以推断出下一个数值，进而得出数列的通项公式。

除了这些技巧外，解决数学问题时，还经常需要“逆向思维”。

这种方法就像是引导学生从问题的终点反推回起点，以便更好地理解问题的本质。

例如，对于一个几何证明题目，可以尝试假设结论成立，然后逆向推导出每一步的合理性，从而证明其正确性。

在实际教学中，通过分析典型例题，可以更好地理解和应用这些技巧。

例如，考虑到一个典型的数学竞赛问题，要求计算一个复杂的概率题目。

通过运用上述技巧，可以系统地分解问题，逐步推进，最终得出准确的答案。

总而言之，数学解题技巧就像是一位经验丰富的教师，引导学生掌握数学的精髓。

通过分步指导、寻找模式、逆向思维等方法，学生可以更高效、更深入地理解和解决数学问题。

通过不断练习和应用这些技巧，学生们不仅能在考试中取得好成绩，更能在日常生活和职业发展中，运用数学的力量解决各种复杂的现实问题。

习 题 12.5 偏导数在几何中的应用1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+==.1,2x x z x y 在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点；（3）⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）⎩⎨⎧=+=+.,222222R z x R y x 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点。

解 （1）曲线的切向量函数为21(1,2,)(1)x x +，在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切线方程为)12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为252168=++z y x 。

（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2tt t -，在2π=t 对应点的切向量为。

于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2x y z π-++-+-=402x y π++--=。

（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。

于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ， 法平面方程为z x =。

（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R点的切线方程为222R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为022=+--R z y x 。

2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。

解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设，22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ⋅=++=，由此解出1t =-或13-，于是)1,1,1(-- 和 )271,91,31(--为满足题目要求的点。

裴礼文第一章习题解答1.1.1 求复合函数表达式:(1) 已知,,求;(南京邮电大学等)(2) 设,试证明,并求(华中理工大学)1.1.2 是否存在这样的函数,它在区间上每点取有限值,在此区间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学)1.1.3 试说明能有无穷多个函数,其中每个函数皆使为上的恒等函数.1.1.4 设为上的奇函数,,,.1)试用表达和;2)为何值时,是以为周期的周期函数. (清华大学)1.1.5 设(即的小数部分),,说明这时为何不是周期函数.类似地也如此.从而周期函数的和与差未必是周期函数.1.1.6设是上的实函数, 的图像以直线和直线分别作为其对称轴, 试证必是周期函数, 且周期为.1.1.7 设是上的奇函数, 并且以直线作为对称轴,试证必为周期函数并求其周期.1.1.8 设是上以为周期的周期函数, 且在上严格单调, 试证不可能是周期函数1.1.9 证明确界的关系式:1) 叙述数集的上确界定义, 并证明: 对于任意有界数列,总有(北京科技大学)2) 设是两个由非负数组成的任意数集, 试证1.1.10 试证:若,则必达到下确界(即使得). (武汉大学)1.1.11 设是上的实函数, 且在上不恒等于零，但有界，试证:、1.1.12 设是闭区间上的增函数，如果,试证，使得(山东大学)1.1.13 设在, 试证，使得. (福建师范大学)1.2.11) 已知, 求证:(武汉大学, 哈尔滨工业大学)2) 用语言证明(清华大学)1.2.2 用方法证明:1)2)3)1.2.3 设, 试用方法证明：若, 则1.2.4 设,试证收敛.1.2.5 为一数列.试证: 若(为有限数)则(首都师范大学)1.2.6 设且时有.已知中存在子序列.试证(武汉大学)1.2.7 设, 求证发散.1.2.8 判断题:设是一个数列, 若在任一子序列中均存在收敛子列则必为收敛数列. (北京大学)1.2.9 设为单调递增数列，为其一子列，若,试证(华中师范大学)1.2.10 设是一个无界数列,但非无穷大量,证明: 存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列. (哈尔滨工业大学)1.2.11 设函数在0的某个邻域有定义，;且当时，, ,时,对于一切, 有;另设.试证当右端极限存在时成立1.2.12 证明.并求1.3.1 求极限(北京航空航天大学,中国科技大学)1.3.2 证明公式:1.3.3 求1.3.4 求1.3.51.3.6 求(华中师范大学)1.3.7 求(湖北大学)1.3.8 设在上连续,求1.3.9 设极限存在,试求1)2)1.3.10 设,求(陕西师范大学)1.3.11 求.(内蒙古大学)1.3.12 .(中国科学院)1.3.13 计算(中国科学院)1.3.14 若求.(上海工业大学)1.3.15 求华中师范大学)1.3.16 证明: 当时,1.3.17 求(浙江大学)1.3.18 ,求(国防科技大学)1.3.19 求(华中师范大学)1.3.20 求(武汉大学)1.3.21 设是上的可微函数,,试证1.3.22 设是上的可微函数,,试证1.3.23 ,试证:1)2) (南开大学)1.3.24 对, ,,令试先证明:然后求解1.4.1 求,其中1) 设2) 设1.4.2 求(华中师范大学)1.4.3 已知数列满足条件证明:(四川大学, 国防科技大学)1.4.4 设.1) 若为有限数, 证明2) 若为, 证明: (南京大学)1.4.5 证明:若数列收敛于,且,,则(东北师范大学)1.4.6 已知存在,为单调增加的正数列,且,求证:(北京师范大学)1.4.7 若且,试证:1.4.8 求极限1)2)1.5.1 已知试证:存在并求其值.(中国科技大学,北京大学,哈尔滨工业大学,北京邮电大学等)1.5.2 设,证明:收敛,并求.(哈尔滨工业大学,华中理工大学等)1.5.3 设,证明:收敛并求其极限.(武汉大学,华中师范大学)1.5.4 设证明收敛并求其极限(华东师范大学)1.5.5 设,试证收敛,并求其极限.(华中理工大学,厦门大学,工程兵学院)1.5.6 求证:1.5.7 证明:1)存在唯一的使得;2)任给定则有(中国人民大学)1.5.8 证明数列.收敛.(北京师范大学)1.5.9 设,求. (武汉大学)1.5.10 设,数列由如下递推公式定义:求(浙江大学)1.5.11 设如果数列收敛,计算其极限,并证明数列收敛于上述极限.（武汉大学）1.5.12 设,其中:,试证:存在且为克普勒方程的唯一根.1.5.13 设(),试证:收敛.1.5.14 设是二正数,令.试证:和均收敛且极限相等. (大连理工大学)1.5.15 设和是任意两个整数,并且,还设求证: 和均收敛且极限相等.(中国科学院,安徽大学）1.5.16 讨论由所定义的数列的收敛性(南京大学)1.5.17 设中数列满足其中,证明:当有界时,有界. (清华大学)1.5.18 设,求极限.1.5.19 则1)(中国科学院)1.5.20 设连续函数在上是正的,单调递减的,且.证明:数列收敛(清华大学)1.5.21 已知证明:及存在且相等,并求出该极限. (内蒙古大学)1.5.22证明:数列的极限存在,并求其极限. (国外赛题)1.5.23 设是如此数列:证明收敛并求其极限. (国外赛题)1.5.24 设,求1.5.25 设证明1.5.26 设试计算:(国外赛题)1.5.27 收敛,数列()由下式确定:证明是递增的收敛数列(福建师范大学)1.6与1.7 习题机动跳过1.8.1 设函数在有限区间上有定义,满足,存在的某个开邻域,使得在上有界.(1).证明:当时,在上有界;(2).当时,在上一定有界吗? (厦门大学)1.8.2 设在上有定义且在每一点处函数的极限存在,求证:在上有界. (哈尔滨工业大学)1.8.3 设在内有定义,当时,有1.8.4 用有限覆盖定理证明:任何有界数列必有收敛子列.(西北大学)1.8.5 试用区间套定理重新证明练习1.1.13:“上,”(福建师范大学)。

数学分析习题精选精解数学分析是数学中的一个重要分支，其核心内容是函数论和微积分学。

在学习数学分析的过程中，习题的练习是不可或缺的一环。

通过多做习题，巩固知识点、提高解题能力和思维能力，进而提高数学水平。

下面我们选取一些经典的数学分析习题，进行精选精解。

一、极限【例1】设$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=a$，求$a$的值。

【解】这是一个简单的极限问题，我们采用夹逼法求解。

显然有$\sqrt[n]{n-1}<\sqrt[n]{n}<\sqrt[n]{n+1}$。

那么$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n+1}}=1$。

因此，$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=1$。

二、导数与微分【例2】已知$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x-a},x\geqa\\0,x<a\end{cases}$，求$f'(a)$和$f''(a)$。

【解】首先，我们求$f'(x)$。

当$x\geq a$时，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-a}}$。

当$x<a$时，$f'(x)=0$。

因此，$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{\sqrt{x-a}}{x-a}}=\lim\limits_{x\to 0}{\dfrac{\sqrt{x}}{x}}=+\infty$。

再求$f''(x)$。

当$x\geq a$时，$f''(x)=\dfrac{-1}{4(x-a)^{\frac{3}{2}}}$。

初中数学题型解析方法第一篇范文在初中数学教学中，题型解析方法是帮助学生掌握数学知识、提高解题能力的重要环节。

为了让学生更好地应对各种数学题目，本文将详细解析几种常见的初中数学题型，并提供相应的解题策略。

一、选择题选择题是初中数学考试中常见的一种题型，通常分为单选题和多选题。

解答选择题时，学生需要运用所学的知识对选项进行分析，找出符合题意的选项。

1.单选题解答策略：（1）仔细阅读题目，明确题意。

（2）分析选项，排除不符合题意的选项。

（3）对剩余选项进行比较，选出最符合题意的选项。

2.多选题解答策略：（1）仔细阅读题目，明确题意。

（2）分析选项，排除不符合题意的选项。

（3）对剩余选项进行比较，选出所有符合题意的选项。

二、填空题填空题是初中数学考试中另一种常见的题型。

解答填空题时，学生需要运用所学的知识填空，使句子或表达式完整。

1.解答策略：（1）仔细阅读题目，明确题意。

（2）分析题目中的关键词，确定需要填入的数学符号或数值。

（3）根据所学知识，填空使句子或表达式完整。

三、解答题解答题是初中数学考试中分值较高的一种题型。

解答解答题时，学生需要运用所学的知识，按照题目要求进行计算或证明。

1.计算题解答策略：（1）仔细阅读题目，明确题意。

（2）列出计算式，按照运算顺序进行计算。

（3）检查计算结果，确保答案正确。

2.证明题解答策略：（1）仔细阅读题目，明确题意。

（2）分析题目中的已知条件和要证明的结论。

（3）运用所学知识，按照证明步骤进行证明。

四、应用题应用题是初中数学考试中较为综合的一种题型。

解答应用题时，学生需要将所学的知识应用到实际问题中，找出解决问题的方法。

1.解答策略：（1）仔细阅读题目，明确题意。

（2）分析题目中的已知条件和问题要求。

（3）运用所学知识，列出计算式或解决问题的步骤。

（4）检查答案，确保符合实际情况。

通过以上分析，我们可以看出，掌握初中数学题型解析方法对于提高学生的解题能力具有重要意义。

裴礼文数学分析中的典型问题与方法第二版习题参考解答
裴礼文数学分析中的典型问题与方法第二版习题参考解答1.1函数习题参考解答
1.2用定义证明极限的存在性习题参考解答
1.3求极限值的若干方法习题参考解答
1.4O. Stolz 公式习题参考解答
1.5递推形式的极限习题参考解答
1.6序列的上、下极限习题参考解答
1.7函数的上、下极限习题参考解答
1.8实数及其基本定理习题参考解答
2.1连续性的证明与应用习题参考解答
2.2一致连续性习题参考解答
2.3上、下半连续习题参考解答
2.4函数方程习题参考解答
3.1导数习题参考解答
3.2微分中值定理习题参考解答
3.3Taylor 公式习题参考解答
3.4不等式与凸函数习题参考解答
3.5导数的综合应用习题参考解答
4.1积分与极限习题参考解答
4.2定积分的可积性习题参考解答
4.3积分不等式及综合性问题习题参考解答
4.4几个著名的不等式习题参考解答
4.5反常积分习题参考解答
5.1数项级数习题参考解答
5.2函数项级数习题参考解答
5.3幂级数习题参考解答
5.4Fourier 级数习题参考解答
6.1欧氏空间多元函数的极限与连续习题参考解答
6.2多元函数的偏导数习题参考解答
6.3多元 Taylor 公式凸函数几何应用极值习题参考解答6.4隐函数存在定理及函数相关习题参考解答
6.5方向导数与梯度习题参考解答
7.1含参变量积分学习题参考解答
7.2重积分习题参考解答
7.3曲线积分与 Green 公式习题参考解答
7.4曲面积分 Gauss 公式及 Stokes 公式习题参考解答
7.5场论习题参考解答。