《数学分析选论》习题解答第 二 章 连 续 性１． 设n y x ℜ∈,，证明：)||||||||(2||||||||2222y x y x y x +=-++．证 由向量模的定义，∑∑==-++=-++n i i i n i i i y x y x y x y x 121222)()(|||||||| ∑=+=+=n i i i y x y x 12222)||||||||(2)(2． □2*． 设n n x S ℜ∈ℜ⊂点,到集合S 的距离定义为),(inf ),(y x S x Sy ρ=ρ∈． 证明：（１）若S 是闭集，S x ∉，则0),(>S x ρ；（２）若d S S S ⋃=( 称为S 的闭包 )，则{}0),(|=ρℜ∈=S x x S n ．证 （１）倘若0),(=S x ρ，则由),(S x ρ的定义，S y n ∈∃，使得 Λ,2,1,1),(=<ρn ny x n ． 因 S x ∉，故x y n ≠，于是x 必为S 的聚点；又因S 是闭集，故S x ∈，这就导致矛盾．所以证得0),(>S x ρ． （２）S x ∈∀．若S x ∈，则0),(=ρS x 显然成立．若S x ∉，则d S x ∈（即x 为S 的聚点），由聚点定义，∅≠⋂ε>ε∀S x U );(,0ο，因此同样有 0),(),(inf =ρ=ρ∈S x y x S y ．反之，凡是满足0),(=ρS x 的点x ，不可能是S 的外点（ 若为外点，则存在正数0ε，使∅=⋂εS x U );(0，这导致0),(inf 0>ε≥ρ∈y x Sy ，与0),(=ρS x 相矛盾）．从而x 只能是S 的聚点或孤立点．若x 为聚点，则S S x ⊂∈d ；若x 为孤立点，则S S x ⊂∈．所以这样的点x 必定属于S ．综上，证得 {}0),(|=ρℜ∈=S x x S n 成立． □３．证明：对任何n S ℜ⊂，d S 必为闭集． 证 如图所示，设0x 为d S 的任一聚点， 欲证∈0x d S ，即0x 亦为S 的聚点． 这是因为由聚点定义，y ∃>ε∀,0，使得d S x U y ⋂ε∈);(0ο． 再由y 为S 的聚点，);();(0ε⊂δ∀x U y U ο，有∅≠⋂δS y U );(ο．于是又有∅≠⋂εS x U );(0ο，所以0x 为S 的聚点，即∈0x d S ，亦即d S 为闭集． □４．证明：对任何n S ℜ⊂，S ∂必为闭集．证 如图所示，设0x 为S ∂的任一聚点，欲证S x ∂∈0，即0x 亦为S 的界点．由聚点定义，y ∃>ε∀,0，使 S x U y ∂⋂ε∈);(0ο． 再由y 为界点的定义，);();(0ε⊂δ∀x U y U ， 在);(δy U 内既有S 的内点，又有S 的外点．由此证得在);(0εx U 内既有S 的内点，又有S 的外点，所以0x 为S 的界点，即S ∂必为闭集． □*５．设n S ℜ⊂，0x 为S 的任一内点，1x 为S 的任一外点．证明：联结0x 与1x 的直线段必与S ∂至少有一交点．0x ο);(δy U);(0εx U οοSS∂ο);(δy U);(0εx U οοSd S 0x证 如图所示，把直线段10x x 置于一实轴上，并为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字 母表示．下面用区间套方法来证明∅≠∂⋂S x x 10． 记2,],[],[1111011b a c x x b a +==．若S c ∂∈1， 则结论成立；若1c 为S 的内点，则取],[],[1122b c b a =；若1c 为S 的外点，则取],[],[1122c a b a =．一般地，用逐次二等分法构造区间套：记2n n n b a c +=（ 不妨设S c n ∂∉），并取 Λ,2,1,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c c a S c b c b a n n n n n n n n 的外点为的内点为．此区间套的特征是：其中每个闭区间的左端点n a 恒为S 的内点，右端点n b 恒为S 的外点．现设y b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，下面证明S y ∂∈． 由区间套定理的推论，0>ε∀，当n 足够大时，);(],[ε⊂y U b a n n ，因此在);(εy U 中既含有S 的内点（例如n a )，又含有S 的外点（例如n b ），所以10x x 上的点y 必是S 的界点． □ ６．证明聚点定理的推论２和推论３．（１）推论２ n ℜ中的无限点集S 为有界集的充要条件是：S 的任一无限子集必有聚点．证 ［必要性］ 当S 为有界集时，S 的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接推知结论成立．［充分性］ 用反证法来证明．倘若S 为无界集，则必能求得一个点列{}S P k ⊂,使得+∞=∞→||||lim k k P ．这个{}k P 作为S 的一个无限子集不存在聚点，与条件矛盾．故S 为有界集． □（２）推论３ n ℜ中的无限点集S 为有界闭集的充要条件是：S 为列紧集，即S的任一无限子集必有属于S 的聚点．证 ［必要性］ 因S 有界，故S 的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集必有聚点．又因子集的聚点也是S 的聚点，而S 为闭集，故子集的聚点必属于S ．［充分性］ 由上面（１）的充分性证明，已知S 必为有界集．下面用反证法再来证明S 为闭集．倘若S 的某一聚点S P ∉，则由聚点性质，存在各项互异的点列{}S P k ⊂，使 P P k k =∞→lim ．据题设条件，{}k P 的惟一聚点P 应属于S ，故又导致矛盾．所以S 的所有聚点都属于S ，即S 为闭集． □７．设X B A X f X m n ⊂ℜ→ℜ⊂,,,:．证明：（１）)()()(B f A f B A f ⋃=⋃；（２）)()()(B f A f B A f ⋂⊂⋂；（３）若f 为一一映射，则)()()(B f A f B A f ⋂=⋂．证 （１）)(,,)(x f y B A x B A f y =⋃∈∃⋃∈∀使．若)(,A f y A x ∈∈则； 若)(,B f y B x ∈∈则．所以，当)()()(,B f A f x f y B A x ⋃∈=⋃∈时．这表示)()()(B f A f B A f ⋃⊂⋃．反之，)(,,)()(x f y X x B f A f y =∈∃⋃∈∀使．若A x A f y ∈∈则,)(；若B x B f y ∈∈则,)(，于是B A x ⋃∈．这表示)()(B A f x f y ⋃∈=，亦即)()()(B f A f B A f ⋃⊃⋃．综上，结论)()()(B f A f B A f ⋃=⋃得证．（２）y x f B A x B A f y =⋂∈∃⋂∈∀)(,,)(使.因A x ∈且B x ∈，故)()()()(B f x f A f x f ∈∈且，即 )()()(B f A f x f y ⋂∈=,亦即 )()()(B f A f B A f ⋂⊂⋂．然而此式反过来不一定成立．例如]2,1[,]1,2[,)(2-=-==B A x x f ，则有]4,0[)()()()(=⋂==B f A f B f A f ；]1,0[)(,]1,1[=⋂-=⋂B A f B A ．可见在一般情形下，)()()(B A f B f A f ⋂⊄⋂．（３）)()(B f A f y ⋂∈∀，B x A x ∈∈∃21,，使)()(21x f x f y ==．当f 为 一一映射时，只能是B A x x ⋂∈=21，于是)(B A f y ⋂∈，故得)()()(B A f B f A f ⋂⊂⋂．联系（２），便证得当f 为一一映射时，等式)()()(B A f B f A f ⋂=⋂成立．□８．设m n m n c b a g f ℜ∈ℜ∈ℜ→ℜ,,,,:，且c x g b x f a x a x ==→→)(lim ,)(lim ．证明：（１）0||||,||||||)(||lim ==→b b x f ax 当且时可逆； （２）c b x g x f a x T ])()([lim =T →．证 设[][]T T ==)(,,)()(,)(,,)()(11x g x g x g x f x f x f m m ΛΛ，T T T ===],,[,],,[,],,[111m m n c c c b b b a a a ΛΛΛ．利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道m i c x g b x f i i ax i i a x ,,2,1,)(lim ,)(lim Λ===→→． （１）||||)()(lim ||)(||lim 221221b b b x f x f x f m m a x a x =++=++=→→ΛΛ．当0||||=b 时，由于||)(||||||||)(||x f b x f =-，因此由0||)(||lim =→x f a x ，推知m i x f i a x ,,2,1,0)(lim 2Λ==→，即得0)(lim =→x f a x ．（２）类似地有c b c b c b x g x f x g x f x g x f m m m m a x a x T →T →=+=++=ΛΛ1111])()()()([lim ])()([lim .□９．设m n D f D ℜ→ℜ⊂:,．试证：若存在证数r k ,，对任何D y x ∈,满足r y x k y f x f ||||||)()(||-≤-，则f 在D 上连续，且一致连续．证 这里只需直接证明f 在D 上一致连续即可．0,01>⎪⎭⎫ ⎝⎛ε=δ∃>ε∀rk ，对任何D y x ∈,，只要满足δ<-||||y x ，便有 ε<-≤-r y x k y f x f ||||||)()(||．由于这里的δ只与ε有关，故由一致连续的柯西准则（充分性），证得f 在D 上一致连续． □１０．设m n D f D ℜ→ℜ⊂:,．试证：若f 在点D x ∈0连续，则f 在0x 近旁局部有界．证 由f 在点0x 连续的定义，对于1=ε，0>δ∃，当)(0δ∈;x U x 时，满足||)(||1||)(||1||)()(||||)(||||)(||000x f x f x f x f x f x f +≤⇒<-≤-，所以f 在0x 近旁局部有界． □１１．设m n f ℜ→ℜ:为连续函数，n A ℜ⊂为任一开集，n B ℜ⊂为任一闭集．试问)(A f 是否必为开集？)(B f 是否必为闭集？为什么？解 )(A f 不一定为开集．例如),(,sin )(ππ-∈=x x x f ．这里),(ππ-=A 为开集，但]1,1[)(-=A f 却为闭集．当B 为有界闭集时，由连续函数的性质知道)(B f 必为闭集且有界．但当B 为无界 闭集时，)(B f 就不一定为闭集，例如),(,arctan )(∞+-∞∈=x x x f ．这里),(∞+-∞=B 可看作一闭集，而⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ-=2,2)(B f 却为一开集． □ １２．设n n D D ℜ→ϕℜ⊂:,．试举例说明：（１）仅有D D ⊂ϕ)(，ϕ不一定为一压缩映射； （２） 仅有存在)10(<<q q ，使对任何D x x ∈''',，满足||||||)()(||x x q x x ''-'≤''ϕ-'ϕ，此时ϕ也不一定为一压缩映射．解 （１）例如),0[,1)(∞+∈+=ϕx x x ．这里),0[∞+=D 为一闭域，它虽然满足D D ⊂∞+=ϕ),1[)(，但因|||)()(|x x x x ''-'=''ϕ-'ϕ，所以ϕ不是压缩映射．（注：这也可根据压缩映射原理来说明，由x x =+1无解，即ϕ没有不动点，故ϕ不是压缩映射．）（２） 例如]1,1[,12)(-=∈+=ϕD x x x ．它虽然满足 )50(||21|)()(|.=''-'=''ϕ-'ϕq x x x x ， 但因D D ⊄⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕ23,21)(，故此ϕ仍不是一个压缩映射． □ １３．讨论b a ,取怎样的值时，能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射：（１）],[,)(1b a x x x ∈=ϕ； （２）],[,)(22a a x x x -∈=ϕ； （３）],[,)(3b a x x x ∈=ϕ； （４）],0[,)(4a x b ax x ∈+=ϕ．解 （１）由|||)()(|11x x x x ''-'=''ϕ-'ϕ，可知对任何b a ,，1ϕ在],[b a 上都不可能是压缩映射．（２）首先，只有当10≤≤a 时，才能使],[],0[)],[(22a a a a a -⊂=-ϕ．其次，由于对任何],[,a a x x -∈'''都有||2|||||)()(|22x x a x x x x x x ''-'<''-'⋅''+'=''ϕ-'ϕ，因此只要取120<=<a q ，即210<<a ，就能保证2ϕ在],[a a -上为一压缩映射． （３） 由],[],[)],[(3b a b a b a ⊂=ϕ，可知b a ≤≤≤10．再由||21||||x x a x x x x x x ''-'<''+'''-'=''-'， 又可求得21>a ，即41>a ．所以，当取b a ≤≤<141时，就能保证3ϕ在],[b a上为一压缩映射．（４） 由于0>a ，因此可由a b a b ax b ≤+≤+≤≤20，解出a a ≤2（ 即10≤<a ），0≥b ．再由||||x x a b x a b x a ''-'=-''-+'，可见只要0,10≥<<b a ，就能保证4ϕ在],0[a 上为一压缩映射． □ １４．试用不动点方法证明方程0ln =+x x 在区间[]3/2,2/1上有惟一解；并用迭代法求出这个解（精确到四位有效数字）．解 若直接取x x x x x ln )ln ()(-=+-=ϕ，则因 ∈>≥=ϕ'x x x ,1231|)(|[]3/2,2/1， 可知ϕ在[]3/2,2/1上不是压缩映射．为此把方程改写成x x -=e ，并设x x x x x --=--=ϕe e )()(． 由于在[]3/2,2/1上 11|||)(|<≤-=ϕ'-e e x x ，且[][]3/2,2/1],[)3/2,2/1(2/13/2⊂=ϕ--e e ，所以x x -=ϕe )(在[]3/2,2/1上为一压缩映射，且在[]3/2,2/1上有惟一不动点．取2/10=x ，按k x k x -+=e 1迭代计算如下： k k x k k x k k x所以，方程x x -=e 即0ln =+x x 的解（精确到四位有效数字）为17650.=*x ． □１５．设 n B f ℜ→:，其中{}r x x x B n ≤ρℜ∈=),(|0为一个n 维闭球（球心为０ １ ２ ３ 0.5 0.6065 0.5452 0.5797 4 5 6 7 0.5601 0.5712 0.5649 0.5684 M M 15 16 17 0.5672 0.5671 0.56710x ）．试证：若存在正数)10(<<q q ，使对一切B x x ∈''',，都有||||||)()(||x x q x f x f ''-'≤''-'，r q x x f )1(||)(||00-≤-，则f 在B 中有惟一的不动点．证 显然，只需证得了B B f ⊂)(，连同条件便知f 在B 上为一压缩映射，从而有惟一的不动点．现证明如下：)(,x f y B x =∈∀．由r x x ≤-||||0，以及题设条件的两个不等式，得到.r r q r q rq x x q x x f x f x f x y =-+≤-+-≤-+-≤-)1()1(||||||)(||||)()(||||||00000这表示B x f y ∈=)(，即B B f ⊂)(． □。
