人教版八年级数学上册几何证明习题集

证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。

人教版八年级上册数学十二章全等三角形基础证明题训练 1．已知：如图，,,AB DE AB DE A D =∠=∠∥．求证：ABC DEF △≌△．2．如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且A D ∠=∠，ABC DCB ∠=∠．(1)求证：AE DE =；(2)当56AEB ∠=︒，求EBC ∠的度数．3．如图，在△ABC 中，AB AC =，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，过点A 作//AE BC 交BD 的延长线于点E ．(1)若40BAC ∠=︒，求E ∠的度数．(2)若F 是DE 上的一点，且AD AF =，求证：BD EF =．4．如图，AC 与BD 相交于点H ，且HA HC =，HB HD =．(1)求证：AB CD ；(2)直线EF 过点H ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，试判断HE 与HF 是否相等，并说明理由．5．如图，BD ＝AC ，OB ＝OA ，求证：△AOD △△BOC ．6．已知：如图，,,AB CD DE AC BF AC =⊥⊥，E ，F 是垂足，DE BF =．求证：(1)AE CF =；(2)AD CB ∥．7．如图，CA ＝CD ，△1＝△2，CB ＝CE ．求证：AB ＝DE ．8．如图，已知点B、E在线段CF上，CE FB∥，AB DE=，AC DF∥，求证：=．AB DE9．如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，AB//CD，△B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F．(1)求证：△ABC△E△CD；(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．10．如图，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF．试说明：EB∥CF．11．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分△BCD，AE△BC于E，AF△CD交CD的延长线于F．(1)求证：△ABE△△ADF；(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长．12．如图，△ABC中，CD△AB，垂足为D．BE△AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．(1)求证：AE＝AF；(2)求△EAF的度数．13．如图，在△ABC中，BD△AC于点D，CE△AB于点E，BD、CE相交于点G，BD ＝DC，DF△BC交AB于点F，连接FG．求证：(1)△DAB△△DGC；(2)CG＝FB＋FG．14．如图，AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM △CD 于M ，AN △BE 干N ．求证：AM ＝AN ．15．如图，AB ＝AC ，直线l 过点A ，BM △直线l ，CN △直线l ，垂足分别为M 、N ，且BM ＝AN ．(1)求证△AMB △△CNA ；(2)求证△BAC ＝90°．16．如图，点D 和点C 在线段BE 上，BD CE =，AB EF =，AB EF ∥．求证：AC DF ∥．17．如图，△ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC上，且AE CF =．(1)求证：Rt △ABE △Rt △CBF ；(2)若△CAE ＝30°，△BAC ＝45°，求△ACF 的度数．18．如图，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =，DE AB =．(1)求证：ABC EDB ≌；(2)判断AC 和BD 的位置关系，并说明理由．19．如图，A 、D 、C 、F 在一条直线上，BC 与DE 交于点G ，AD CF =，AB DE =，BC EF =，求证：B E ∠=∠．20．已知：如图，AB △BD ，ED △BD ，C 是BD 上的一点，AC △CE ，AB ＝CD ，求证：BC＝DE．。

最新人教版八年级上册几何解答证明题专练1,已知：如图，在^ ABC中，AB=AC / BAC=120, AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F。

2,已知：E是/AOBW平分线上一点，EC! OA , ED）± OB ,垂足分别为C、D. 求证：（1） / ECDW EDC ;（2） OE> CD的垂直平分线3、（1）如图（1）点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q,交CA的延长线于点R请观察AR与AQ它们相等吗并证明你的猜想。

（2）如图（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗请你在图（2）中完成图形，并给予证明。

JF' JTt m~ ~C1~ ~IsJ4,.已知△ ABC中，AD平分/ BAG AE为BC边上的高，/ B= 40 , / C= 60 ,求/ DAE的度数5.在4ABC中，AB CB , AB,CR E为CB延长线上一点，点F在AB上，且AE CF .（1）求证：RtAABE^ RtACBF ；（2）判断直线CF和直线AE的位置关系，并说明理由。

6 .问题情境：如图①，在直角三角形 ABC 中，/BAC=90 , AD)± BC 于点D,可知：/BADhC (不需要证明)； (1)特例探究：如图②，/MAN=90，射线AE 在这个角的内部，点B C 在/ MAN 勺边AM AN 上，且AB=AC, CFL AE 于点 F,BD±AE 于点 D. 证明：△ AB¥ △ CAF;(1)归纳证明：如图③，点B 、C 在/ MAN 勺边AM AN 上， 点E 、F 在/ MAN*］部的射线 AD 上，/ 1、/ 2 分别是△ ABE △ CAF 的外角.已知 AB=AC, Z 1=Z2=Z BAC. 求证：△ AB*△ CAF;(3)拓展应用：如图④，在^ ABC 中，AB=AC AB> BC.点D 在边BC 上，CD=2BQ 点E 、F 在线段AD 上， / 1 = /2=/BAC.若4ABC 的面积为15,则△ ACF 与△ BDE 的面积之和为 ^ (直接写出答案)7 .如图，在直角坐标系 x0y 中，直线AB 交x 轴于A (1, 0),交y 轴负半.轴于B (0, —5), C 为x 轴正 (2)延长BA 到P (自己补全图形)，使得PA=AB 求P 点的坐标.OD(3)如图，D 是第三象限内一动点，直线 BEX CD 于E, OFL OD 交BE 延长线于F.当D 点运动时，OF 的 大小是否发生变化若改变，请说明理由；若不变，求出这个比值.9 .如图，点E 在△ ABC 外部，点 D 在BC 边上，DE 交AC 于点F,若/ 1 = /2=/3, AC=AE 试说明：^ABC^△ ADE.半轴上一点，且 OC=5OA(1)求△ ABC 的面积. 8、如图：在4ABC 中，BE 、CF 分别是AG AB 两边上的高,连结AR AG求证：(1) AD=AG (2) AD 与AG 的位置关系如何。

(完整)八年级上数学几何证明练习题(2)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)八年级上数学几何证明练习题(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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CA BCD E P 图 ⑴八年级数学（上）几何证明练习题1、 已知：在⊿ABC 中,∠A=900,AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。

B2、 已知:在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC.3、 已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。

4、已知：如图（1），在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB,DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证:DE －DB=EC ．5、在Rt△ABC中,AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。

(1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系（不要求证明）；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。

6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD,连结EC、ED，求证：CE=DE7、如图，等腰三角形ABC中,AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE 的周长.ABCOMN几何证明习题答案1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC，且AD=BD，∠DAQ=∠DBR=45度，又由平行关系得,四边形RPQA为矩形，所以AQ=RP，△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR，所以AQ=BR由边角边，△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△。

全等三角形的证明50道题1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2DABC ADBC3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BECDB BA CDF2 1 EA BCDEF 21 A6. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD7. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB8. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2DABC ADBC9. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC10. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C11. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BECDB BA CDF2 1 EA BCDEF 21 A12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BEP D ACBAB C DDCBA FE17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．（5分）如图，在△ABC 中，BD=DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB=∠OBAFAED CB20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD+BC=AB ．21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB=AC+CD ，求证：∠C=2∠BPEDCBAD CBA22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB=CD ，AF=CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB=MD ，ME=MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC=AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：OEDCBA24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

人教数学八年级上册数学几何模型一、8字模型结论:①∠A+∠B=∠C+∠D;②AB+CD ＜AD+BC斜8字型（蝴蝶型） 燕尾型1、如图，已知D 是△ABC 的BC 边的延长线上一点，DF ⊥AB ，交AB 于点F ，交AC 于点E ，∠A=56°，∠D=30°，则∠ACB 的度数为_________2、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为_________3、求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝_________1题 2题 3题二、燕尾（飞镖）模型结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C1、将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度数为__________2、如图，是一块不规则的纸片,∠ABC=∠DEF=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F 的度数为__________3、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .1题 2题 3题三、A 字模型结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A图②图①D1、在△ABC中，∠A=75°，直线DE交AB于D，交AC于E，则∠BDE+∠CED=（）A.180°B.215°C.235°D.255°2、在△ABC中，E、F分别是AB，AC上的点，则∠1+∠2=224°，则∠A=（）A.17°B.44°C.68°D.无法确定1题 2题四、老鹰捉小鸡模型结论：∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE，翼下两角之和等于上下两角之和1、如图，把△ABC沿EF折叠，叠合后的图形如图所示，若∠A=60°，∠1=95，则∠2的度数为（）A.24°B.25°C.30°D.35°2、如图，将△ABC纸片沿DE 折叠，点A的对应点为A´，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1＋∠2 等于（）A.40°B. 60°C.80°D.140°1题 2题五、双角平分线模型结论：双内角平分线双外角平分线内外角平分线∠D=90°+∠A ∠D=90°-∠A ∠D=∠A1、如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2016BC和∠A2016CD的平分线交于点A2017，求∠A2017的度数____________。

1.人教版八年级数学上册第12章全等三角形证明50题(含答案)(word版可编辑修改)2.3.4.编辑整理：5.6.7.8.9.尊敬的读者朋友们：10.这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（人教版八年级数学上册第12章全等三角形证明50题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

11.本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为人教版八年级数学上册第12章全等三角形证明50题(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。

12.13.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，111749AD是整数,求AD解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4—2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=214.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD ABADB C延长CD与P，使D为CP中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP为矩形∴AB=CP=1/2AB15.已知：BC=DE，∠B=∠E,∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF，∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）∴ BF=EF，∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF.∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等.∴ ∠BAF=∠EAF （∠1=∠2)。

数学八年级（上）2021年人教版八年级上全等三角形证明题专项练习1．如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：BF＝CE；（2）若△ACE的面积为4，△CED的面积为3，求△ABF的面积．2．如图，在△ABC和△AEF中，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，求证：EF＝BC．3．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF．4．如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．6．如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．7．如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上；BE＝CF．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求证：AB∥DC．8．如图所示，A，D，B，E四点在同一条直线上，若AC＝DF，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°，求证：AD＝BE．9．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．10．如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．11．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG 于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．12．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．13．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，（1）求∠AEB的度数．（2）如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD＝AB；（3）如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE﹣S△ACE＝2，求△BDE的面积．14．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．15．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．16．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．18．探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC 的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．参考答案1．解：（1）∵CE⊥AD，BF⊥AF，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（AAS），∴BF＝CE；（2）∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD，∵S△ACE＝4，S CED＝3，∴S△ACD＝S△ABD＝7，∵△BFD≌△CED，∴S△BDF＝S△CED＝3，∴S△ABF＝S△ABD+S△BDF＝7+3＝10．2．证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF＝∠BAC，在△AEF和△ABC中，，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴EF＝BC．3．证明：∵AB∥EF，∴∠B＝∠E，在△ACB和△FDE中，，∴△ACB≌△FDE（SAS），∴AC＝DF．4．证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，∴∠ACB＝∠FCE，在△ABC与△FEC中，，∴△ABC≌△FEC（AAS），∴AB＝FE；（2）∵AB∥CE，∴∠B＝∠FCE，∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，即3∠ACB＝90°，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．5．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝DE，AC＝CD，∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC，∴∠C+∠2＝∠B+∠1，∴∠1＝∠2，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，∵AC＝AB，∴AC＝5，∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．6．解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，，∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．7．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，∴∠BAE＝∠CAF＝30°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC＝＝75°，∵∠BAD＝75°，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥DC．8．证明：∵∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠E＝∠ABC，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB＝DE，∴AB﹣DB＝DE﹣DB，∴AD＝BE．9．解：（1）∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°．又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF．在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF．（2）α+∠BCA＝180°，理由如下：∵∠BEC＝∠CFA＝α，∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α．又∵α+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝180°﹣α．∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α．∴∠EBC＝∠FCA．在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF．（3）EF＝BE+AF，理由如下：∵∠BCA＝α，∴∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α．又∵∠BEC＝α，∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．∴∠EBC＝∠FCA．在△BEC和△CFA中，∴△BEC≌△CFA（AAS）．∴BE＝CF，EC＝FA．∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．10．解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（0，4），A（4，4）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°，∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°﹣45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4 ∴S△BEF的值为4．11．（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，在△CFD和△BGD中，∴△CFD≌△BGD，∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF，理由如下：∵△CFD≌△BGD，∴CF＝BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵△CFD≌△BGD，∴GD＝DF，ED⊥GF，∴EF＝EG，∴BE+CF＞EF．12．证明：（1）延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延长BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．13．解：（1）∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，∴∠BAE＝BAM，∠ABE＝∠ABN，∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAM+∠ABN）＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE与△AFE中，，∴△ACE≌△AFE，∴∠AEC＝∠AEF，∴∠AEB＝90°，∴∠AEF+∠BEF＝∠AEC+∠BED＝90°，∴∠FEB＝∠DEB，在△BFE与△BDE中，，∴△BFE≌△BDE，∴BF＝BD，∵AB＝AF+BF，∴AC+BD＝AB；（3）延长AE交BD于F，∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF，BE平分∠ABN，∴AB＝BF＝5，AE＝EF，∵AM∥BN，∴∠C＝∠EDF，在△ACE与△FDE中，，∴△ACE≌△FDE，∴DF＝AC＝3，∵BF＝5，∴设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，∵S△ABE﹣S△ACE＝2，∴5x﹣3x＝2，∴x＝1，∴△BDE的面积＝8．14．解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠EAD＝∠FBD＝120°，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F，在△AEC与△BCF中，，∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF；故答案为：AE＝BF；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，∴△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．∴AG＝CD，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE与△DBF中，，∴△DGE≌△DBF（AAS），∴GE＝BF，∴AE＝BF+CD；（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝EG﹣AG；∴AE＝BF﹣CD，如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG﹣EG；∴AE＝CD﹣BF．15．解：（1）如图1，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE．如图2，证明如下：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中．．∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI＝GNI＝90°由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN∴EM＝GN在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI＝GI，∴I是EG的中点．16．解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝，移动的时间为：÷3＝秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝BC，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm，移动的时间为：÷3＝秒，故答案为：或；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速为cm/s或cm/s．17．（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA，∴CD垂直平分线段AB，∴CD⊥AB．（2）①证明：∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB，又∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴∠BDE＝30°+30°＝60°，∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，BD＝AD，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝60°，∵∠CDE＝∠BDE＝60°，∴DE平分∠BDC；②解：结论：ME＝BD，理由：连接MC，∵DC＝DM，∠CDE＝60°，∴△MCD为等边三角形，∴CM＝CD，∵EC＝CA，∠EMC＝120°，∴∠ECM＝∠BCD＝45°在△BDC和△EMC中，，∴△BDC≌△EMC（SAS），∴ME＝BD．③当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，∠CNE＝15°，所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．18．解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC∴△AEB和△AFB都是直角三角形∵D是AB的中点∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）∴DE＝DF∵DE＝kDF∴k＝1；（2）∵CB＝CA∴∠CBA＝∠CAB∵∠MAC＝∠MBE∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC即∠ABM＝∠BAM∴AM＝BM∵ME⊥BC，MF⊥AC∴∠MEB＝∠MFA＝90又∵∠MBE＝∠MAF∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE＝AF∵D是AB的中点，即BD＝AD又∵∠DBE＝∠DAF∴△DBE≌△DAF（SAS）∴DE＝DF；（3）DE＝DF如图1，作AM的中点G，BM的中点H，∵点D是边AB的中点∴DG∥BM，DG＝BM同理可得：DH∥AM，DH＝AM∵ME⊥BC于E，H是BM的中点∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH∴∠HBE＝∠HEB∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC又∵DG＝BM，HE＝BM∴DG＝HE同理可得：DH＝FG，∠MGF＝2∠MAC∵DG∥BM，DH∥GM∴四边形DHMG是平行四边形∴∠DGM＝∠DHM∵∠MGF＝2∠MAC，∠MHE＝2∠MBC又∵∠MBC＝∠MAC∴∠MGF＝∠MHE∴∠DGM+∠MGF＝∠DHM+∠MHE∴∠DGF＝∠DHE在△DHE与△FGD中，∴△DHE≌△FGD（SAS），∴DE＝DF．。