最新人教版八年级数学上册几何解答题专项突破(超级经典)

三角形重难点突破突破1 三角形(一) 三边关系类型一三边关系定三角形1.在学习“认识三角形”一节时,小颖用四根长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是( )A.9 cmB.10 cmC.11 cmD.12 cm2.三边均为互不相等的整数，周长为15，这样的三角形有( )A.3个B.5个C.7个D.9个类型二三边关系求范围3.已知三角形的三边分别为2，a-1，4，那么a 的取值范围是.4.已知△ABC的三边长分别为4,9,x.当△ABC 的周长为偶数时,x的值为.类型三三边关系去绝对值5.已知a,b,c 是三角形的三条边,则化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为.6.若a,b,c分别是三角形的三边,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|的结果为.类型四三边关系取舍值7.已知等腰三角形的周长为18，一边长为4，则它的底边长是( )A.4B.10C.4 或7D.4 或108.已知等腰△ABC中,AB=8,BC=x+2,AC=2x,求△ABC 的周长.类型五三边关系列不等式组9.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c.(1)化简式子|a−b+c|+|a−b−c|=_____________;(2)若a=x+8,b=3x—2,c=x+2,则x 的取值范围是.10.已知a,b,c 是△ABC的三边长,若b=2a-1,c=a+5,且△ABC 的周长不超过20，求a 的取值范围.类型六三边关系求最值11.如图,将四根长度分别为3c m,5 cm,7 cm,8 cm的木条钉成一个四边形木架,扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B 和点D 之间的距离可能是( )A.1 cmB.4 cmC.9 cmD.12 cm12.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,D 为BC上一动点,将△ACD沿AD 翻折得到△AED,连接BE,则BE 的最小值是.突破2 三角形(二) 三种线段类型一三角形的高1.如图,AD⊥BC 于点D,GC⊥BC 于点C,CF⊥AB 于点F,图中是△ABC 的高的线段有( )A.1条B.2条C.3 条D.4 条类型二三角形的中线2.如图,在△ABC 中,AB=8,AC=5,AD 为中线,则. △ABD与△ACD的周长之差为.3.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,点E 在边AB 上, △BDE与四边形ACDE 的周长相等.(1)求证:BE=AE+AC;(2)若AB=10,AC=6,求AE的长.类型三三角形的角平分线4.已知AE 是△ABC的平分线,D 是射线BC 上一点,连接AD.若∠BAD=60°,∠CAD=30°,求∠BAE 的度数.类型四“三线”综合5.如图,在△ABC中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法错误的是( )A.BF=CFB.∠C+∠CAD=90°C.∠BAF=∠CAFD.S ABC=2S ABF突破3 三角形(三) 求面积类型一多中线求面积1.如图,已知AD 是△ABC 的中线,CE 是△ACD 的中线,若△ABC 的面积为12,则△CDE 的面积为.2.如图,BD 是△ABC 的中线,点E,F 分别为BD,CE 的中点,若△AEF 的面积为4cm²,,则△ABC 的面积是( )A.12cm²B.16cm²C.20cm²D.24cm²3.如图,△ABC 的三条中线AD,BE,CF 交于点O,S阴影部分==6,则S△ABC为( )A.16B.18C.24D.不能确定类型二中线+线段比求面积4.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,且AE : CE=3: 1,S△CEP =1,则S△BPC== .5.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,点D 在边BC 上,BD:CD=5:8,AD,BE交于点F,若△ABC 的面积为26,则S_{ \triangle AEF}-S_{ \triangle BDF} 的值为.C突破4 三角形(四) 面积法类型一三高图与面积法1.在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,，则AB 边上的高的长度是.类型二平行线与面积法2.如图,在长方形ABCD 中,F 是BC 上(不与B,C 重合)的任意一点,图中面积一定相等的三角形有对.类型三垂线段与面积法3.如图,△ABC 是等腰三角形,O 是底边BC 上任意一点,过点O 作( OE⊥AB 于点E,作OF⊥AC于点F,若( OE+OF=3,△ABC的面积为12,则AB 的长为.类型四线段比与面积法的值4.如图,在△ABC中,AD 是中线, DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,若A AB=6 cm,AC=4 cm,则DEDF为.类型五线段最值与面积法5.如图,在△ABC中,BC=9,D,E分别是CB,AB 上的点,( CD=2BD,AE=3BE,连接AD,CE 交于点F.当四边形时，AB长度的最小值为.BEFD 的面积为174突破5 三角形(五) 内角和类型一 内角和+内角关系1.在△ABC 中,∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,求△ABC 各个内角的度数.2具备下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( )A.∠A+∠B=∠CB.∠A =12∠B =13∠C C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A:∠B:∠C═1:2:3类型二 内角和十角分线3如图,在△ABC 和△ACD 中,BD 平分∠ABC,∠ABC=∠ACD═56°,∠ACB=68°,则∠BDC 的度数为( )A.56°B.58°C.22°D.28°4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=2∠C,BE ⊥AC 于点E.(1)求证:∠CBE-∠ABE=∠C;(2)若 DG 平分∠ADC,试说明 DG ∥BE.类型三 内角和十平行线5.如图,在 △ABC 中,E,G 分别是AB,AC 上的点,F,D 是BC 上的点,连接EF,AD,DG,AB ∥DG,∠1+∠2=180°.(1)求证:. AD‖EF;(2)若 DG 是 ∠ADC 的平分线， ∠2=140°,求 ∠B 的度数.6如图,在四边形ABCD 中,∠ADC+∠C=202°,E 为对角线BD上一点,点F,G分别在AB,CD边上,且EF∥DA,EG ∥BC,求∠FEG 的度数.7.如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C=α,D是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=50°,F 为线段BC 上一点,连接EF,过点D 作DG∥AC 交EF 于点G,(1)若α=70°,求∠EDG 的度数;(2)若∠FEC=2∠DEF,3∠DGF=2∠BFG,求α的值.类型四内角和十垂线8.在△ABC中,∠B=2∠C,AE平分∠BAC.(1)如图1,若AD⊥BC于点D,∠C=35°,求∠DAE 的度数;(2)如图2,若EF⊥AE交AC于点F,求证:∠C=2∠FEC.突破6 三角形(六) 外角类型一外角+内角1.如图,在△ABC 中,∠B=45°,∠C=38°,E 是BC 边上一点,ED 交CA 的延长线于点D,交AB 于点F,∠D=32°.求∠BFE 的度数.C类型二外角+外角2.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则∠1,∠2,∠3的数量关系为( )A.∠3=∠2+∠1B.∠3=∠2+2∠1C.∠3+∠2+∠1=180°D.∠1+∠3=2∠2类型三外角+等角3.如图,∠BAE=∠AEB,∠CAD=∠ADC,∠DAE=28°,则∠BAC 的度数为.D4.如图,在△ABC 中,∠BAC=∠ACB,M,N 为BC 上两点,且∠BAM=∠CAN,∠MAN=∠AMN,求∠MAC 的度数.类型四外角+平行线5.如图,在△ABC 中,E 和F 分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA 的平分线交AB 于点D,∠MAC 是△ABC 的外角,若∠MAC=α,∠EFC=β,∠ADC=γ,则α,β,γ三者间的数量关系是( )A.β=α+γB.β=2γ-αC.β=α+2γD.β=2α-2γ6.如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,∠C=∠BAD,△ABC 的角平分线BE 交AD 于点F. G 为BC上一点,FE 平分∠AFG.求证:FG∥AC.类型五外角+方程思想7.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D 为BC 边上的一点,点E 在AC 边上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=24°,则∠CDE 的度数为( )A.12°B.14°C.16°D.24°类型六外角+整体思想8.在△ABC 中,∠A=α(40°<α<60°),点M 在△ABC 的内部,过点M 的直线分别交AB,AC 于点P,Q,若∠APQ=2∠ABM,∠AQP=2∠ACM,则∠BMC 的大小是( )A.90°+αB.135∘−α2C.2αD.90∘+α2参考答案突破1 三角形(一) 三边关系1. B 解：当三角形三边长分别为2cm ,3cm,5cm 时,∵2+3=5,不能构成三角形,∴所摆成的三角形的周长不可能是10 cm,故选 B.2. A 解:这样的三角形有:2,6,7;3,5,7;4,5,6.共3个,故选A.3.3<a<7 解:依题意,得4-2<a-1<4+2,即2<a-1<6,∴3<a<7.4.7或9或11 解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，∴9-4<x<9+4,即5<x<13,∴x 的取值范围是5<x<13.∵△ABC 的周长x+4+9=x+13为偶数，∴x为奇数.∵5<x<13,∴x 的值为7 或9 或11.5.0 解:∵a,b,c 是三角形的三边长,∴a+b-c>0,c-a-b<0,∴原式=a+b-c+c-a-b=0,故答案为0.6.-a+b+3c 解:依题意,得a-b-c<0,b-c-a<0,c-a+b>0,∴原式=-a+b+c-b+c+a+c-a+b=-a+b+3c.7. A 解：当4 为底边时，该等腰三角形的腰长为(18-4)÷2=7.∵7，7，4满足等腰三角形的三边关系，∴该等腰三角形的底边长是4；当4为腰时，该等腰三角形的底边长为18-4×2=10.∵10，4，4 不满足等腰三角形的三边关系，∴该等腰三角形的底边长不能是10.故选 A.8.解:分三种情况:(1)x+2=8,x=6,△ABC的三边长分别为8,8,12,周长为28;(2)2x=8,x=4,△ABC 的三边长分别为8,8,6,周长为22;(3)2x=x+2,x=2,△ABC的三边长分别为8,4,4,但4+4=8,不能构成三角形，故舍去.综上所述,△ABC 的周长为22 或28.9.解：(1)由三角形三边关系定理，得a+c>b,b+c>a,∴|a-b+c|+|a-b- cl=a-b+c+b+c-a=2c;(2)∵a=x+8,b=3x-2,c=x+2,∴x+8+3x−2>x+2, 3x−2+x+2>x+8, x+2+x+8>3x−2,∴83<x<12.10.解:由题意,得a+5<2a−1+a,a+5+a+2a−1≤20,解得3<a≤4,∴a的取值范围为3<a≤4.11. C 解:连接BD.在△ABD 中,7 cm-5 cm<BD<7 cm+5 cm,即2cm <BD<12 cm.在△BCD中,8cm --3cm<BD<8cm +3cm,即5cm <BD<11cm,所以5 cm<BD<11 cm.故选C.12.2 解:由折叠可知,AE=AC=8.在△ABE 中，由三角形三边关系可得BE>AB-AE.当点E 落在AB 边上时，BE=AB-AE=10-8=2,∴BE≥2,全科A早E 的最小值为2.突破2 三角形(二) 三种线段1. B 解:CF,AD 都是△ABC 的高,共2条,故选B.2.3 解:∵AD 为中线,∴BD=CD,则C△ABD—C△ACD =(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=8-5=3.故答案为3.3.解:(1)∵△BDE 与四边形ACDE的周长相等，∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE.∵BD=DC,∴BE=AE+AC;(2)设AE=x,则BE=10-x,由(1)得 BE=AE+AC,∴10-x=x+6,解得x=2,∴AE=2.4.解:∵AE 是△ABC 的平分线, ∴∠BAE =12∠BAC.①如图1,当点 D 在边 BC 上时,∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+ 30°=90°,∴∠BAE =12∠BAC =45∘;②如图2，当点 D 在边 BC 的延长线上时,∠BAC=∠BAD-∠CAD= 60°−30°=30°, ∴∠BAE =12∠BAC =15∘.综上所述,∠BAE 的度数为 45°或15°.5. C 解:∵AF 是△ABC 的中线,∴BF=CF,A 正确,不符合题意;∵AD 是高,∴∠ADC=90°,∴∠C+∠CAD=90°,B 正确,不符合题意；∵AE 是角平分线，∴∠BAE=∠CAE,C 错误,符合题意；∵BF=CF,∴S ABC =2S ABF ,D 正确，不符合题意；故选 C.突破3 三角形(三) 求面积1.3 解:∵AD 是△ABC 的中线, ∴S ACD =12S ABC =12×12=6.∵CE 是△ACD 的中线, ∴S CDE =12S ACD =3.故答案为3.2. B 解:∵F 是CE 的中点,△AEF 的面积为 4 cm²,∴S ACE =2S AEF =8cm 2.∵E 是BD 的中点,∴S △ADE=S △ABE,S △CDE=S △BCE,∴S ACE =12S ABC ,∴△ABC 的面积为16 cm².故选 B.3. B 解:设S △COD=m,S △COE=n.∵AD,BE,CF 都是△ABC 的中线,∴S △AOE=n,S △BOD=m.∵S BAE =S BCE ,∴S △BAO=S △BCO=2m.∵S △BOF=S △AOF,S BOF =S AOF =m.∵S ADB =S ADC ,∴3m=2n+m,∴m=n.∵m+n=6,∴m=3,S △ABC=6m=18.故选 B.4.4 解:连接 PA.∵D 是AB 的中点,∴S △ADC=S △BCD,S △PAD=S △PBD,∴S △BPC=S △APC,∵AE:CE=3:1,S △CEP=1,∴S AEP =3S CEP =3,∴S △APC=4,∴S △BPc=4,故答案为4.5.3 解:∵E 为AC 的中点,∴S ABE =12S ABC =12×26=13.∵BD:CD=5:8,∴S ABD =513S ABC =513×26=10,∴S AEF −S BDF =(S ABE −S ABF ) −(S ABD −S ABF )=S ABE −S △ABD=13-10=3.突破 4 三角形(四) 面积法1.4.8 解:过点 C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,∴S ABC =12AB ⋅CD =12AC.BC,∴CD =AC ⋅BC AB =8×610=4.8.2.5 解:∵S △ABD=S △CBD=S △ADF= 12S 长方形ABCD,∴circle1S ABD =S CBD ,②S △ABD=S △ADF,③S △CBD=S △ADF·∵BF ∥AD,∴④S △ABF=S △BDF·∵S △ABF—S △BEF=S △DBF—S △BEF,∴⑤S △ABE=S △DEF,共有 5 对.3.8 解:连接OA.设AB=x,则AC=AB=x.∵S ABC =S ABO +S AOC ,∴12AB ⋅OE +12AC ⋅OF =12,即 12x ×3=12,解得x=8,所以 AB=8.故答案为8.4.2/3解:∵在△ABC 中,AD 为中线，∴BD=DC.∴S △ABD=S △ADC.∵DE ⊥AB 于点 E,DF ⊥AC 于点F,AB=6,AC=4.∴12AB ⋅ED =12AC ⋅DF,∴12×6×ED =12×4×DF,∴DE DF =46=23.5.22/3解:连接 BF,过点 A 作AH ⊥CB,交CB 的延长线于点H.设S △EBF=a,S △DBF=b,则S △AEF=3a,S △CDF=2b,S △ACF=2S △ABF=8a,S △ACF=3S △BCF=9b,∴8a=9b,∴b =89a,∴S 圆锥侧BEFD =179a =174, ∴a =94,∴S ABD =11,即 12BD ⋅AH =11.∵BD=3,∴AH =223. ∵AB ≥AH =223,∴AB 的最小值为22/3.突破 5 三角形(五) 内角和1.解：由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°.∵∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,∴∠A +3∠A +2∠A +60°=180°,解得∠A=20°,∴∠B=3∠A=60°,∠C=2∠A+ 60°=2×20°+60°=100°,∴△ABC 各个内角的度数分别为∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.2. C3. D 解:∵BD 平分∠ABC,∠ABC=56°,∴∠DBC =12∠ABC =28∘.∵∠ACD=56°,∠ACB=68°,∴∠BCD = ∠ACB + ∠ACD =124°,∴∠BDC =180°−∠DCB−∠DBC =28°.故选 D.4.解:(1)设∠C=x,则∠BAC=2∠C=2x.∵BE ⊥AC,∴∠BEC=∠BEA=90°,∴∠CBE =90°−∠C =90°−x , ∠ABE =90°−∠BAC =90°−2x,∴∠CBE−∠ABE =90°−x−(90°-2x)=x,即∠CBE--∠ABE=∠C;(2)设∠C=x,则∠BAC=2∠C=2x.∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠DAC =12∠BAC =x,∴∠ADC =180°−∠DAC−∠C = 180°−2x.∵DG 平分∠ADC,∴∠CDG =12∠ADC =12(180∘−2x)=90°-x.由(1)知∠CBE=90°-x,∴∠CDG=∠CBE,∴DG ∥BE.5.解:(1)∵AB ∥DG,∴∠1=∠DAE.∵∠1+∠2=180°,∴∠DAE+∠2=180°,∴AD ∥EF;(2)∵AD ∥EF,∠2=140°,∴∠DAE=180°-∠2=180°-140°=40°.∵AB ∥DG,∴∠1=∠DAE=40°.∵DG 是∠ADC 的平分线,∴∠CDG=∠1=40°.∵AB ∥DG,∴∠B=∠CDG=40°.6.解:∵EF ∥DA,EG ∥BC,∴∠DEG=∠DBC,∠BFE=∠A.∵∠DEF=∠BFE+∠ABD=∠A+∠ABD,∴∠FEG=∠DEF+∠DEG=∠A+ ∠ABD + ∠DBC = ∠A +∠ABC.∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠ADC+∠C=202°,∴∠FEG=∠A+∠ABC=360°-202°=158°.7.解:(1)∵∠B=∠ADE=50°,∴DE ∥BC,∴∠AED=∠C=70°.∵DG ∥AC,∴∠EDG=∠AED=70°;(2)∵DE ∥BC,∴∠AED=∠C=α,∴∠DEC=180°-α.∵∠FEC=2∠DEF,∴∠DEF =13∠DEC =60∘−13α,∴∠DGE = ∠CEF = 2∠DEF = 120∘−23α,∠EFC =∠DEF =60∘ −13α,∴∠DGF =180°--∠DGE =60°+ 23α,∠BFG =180∘−∠EFC =120∘ +13α.∵3∠DGF=2∠BFG,∴360∘+23α=2120∘+13α,解得α=45°.8.解:(1)∵∠C=35°,∠B=2∠C,∴∠B=70°,∴∠BAC=75°.∵AE 平分∠BAC,∴∠EAC=37.5°.∵AD ⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-35°=55°,∴∠DAE=55°—37.5°=17.5°;(2)过点 A 作AD ⊥BC 于点 D.∵EF ⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠AED+∠FEC=90°.∵∠DAE+∠AED=90°,∴∠DAE=∠FEC.∵AE 平分∠BAC,∴∠EAC =12∠BAC =12(180∘− ∠B−∠C)=12(180∘−3∠C )=90∘ −32∠C,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=(90°−∠C)−90∘−32∠C =12∠C, ∴∠FEC =12∠C,∴∠C=2∠FEC.突破 6 三角形(六) 外角1.解:∵∠D=32°,∠C=38°,∴∠BED=∠D+∠C=32°+38°=70°.∵∠B+∠BED+∠BFE=180°,∴∠BFE=180°-∠B--∠BED=180°—45°-70°=65°.2. D 解:∵AD 平分∠BAC,∴可设∠DAC=∠BAD=x,∴∠2=∠1+x,∠3=∠2+x,∴x=∠3-∠2,∴∠2=∠1+∠3-∠2,∴∠1+∠3=2∠2.故选 D.3.56° 解:设∠CAE=α,则∠CAD=∠ADC=28°+α,∴∠BEA = ∠BAE = ∠ADC +∠DAE=56°+α,∴∠BAC+∠CAE=56°+α,∴∠BAC=56°.4. 解: 设 ∠BAM = ∠CAN = α,∠MAN=∠AMN=β,则∠BAC = ∠ACB = 2α + β,∠MAC=α+β.在△ACM 中,∠MAC + ∠C +∠AMC=180°,∴α+β+(2α+β)+β=180°,∴α+β=60°,∴∠MAC=α+β=60°.5. B 解:∵EF∥AB,∠EFC=β,∴∠B=∠EFC=β.∵CD 平分∠BCA,∴∠ACB=2∠BCD.∵∠ADC 是△BDC 的外角,∴∠ADC=∠B+∠BCD.∵∠ADC=γ,∴∠BCD=γ-β.∵∠MAC 是△ABC 的外角,∴∠MAC=∠B+∠ACB.∵∠MAC=α,∴α=β+2(γ-β),即β=2γ-α,故选 B.6.证明:∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵∠BAD=∠C,∴∠ABE + ∠BAD = ∠CBE +∠C.∵∠AFE = ∠ABE + ∠BAD,∠AEF=∠CBE+∠C,∴∠AEF=∠AFE.∵FE平分∠AFG,∴∠AFE=∠GFE,∴∠AEF=∠GFE,∴FG∥AC.7. A 解:设∠CDE=x,∠B=∠C=y,∠AED 是△CDE 的一个外角,∴∠AED=x+y=∠ADE,∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=x+y+x=2x+y,∠ADC 是△ABD 的一个外角,∴∠BAD=∠ADC--∠B=2x+y-y=2x=24°,∴x=12°,∴∠CDE=12°.8. D 解:∵在△APQ 中,∠A=α,∴∠APQ+∠AQP=180°-∠A=180°-α.∵∠APQ = ∠PMB + ∠PBM =2∠PMB,∠AQP = ∠QMC + ∠QCM =2∠QMC, ∴∠PMB +∠QMC =12(∠APQ + ∠AQP)=12(180∘−α)=90∘−12α,∴∠BMC = 180°− (∠PMB + ∠QMC)=180∘−90∘−12α=90∘ +12α.故选 D.。

三角形角度计算常考模型【考点1 “8字”模型】【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【考点2飞镖模型】【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【考点3 “风筝”模型】【考点1 “8字”模型】【典例1】（2021春•鼓楼区校级月考）图1 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2 在图1的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）图2中当∠D＝50度∠B＝40度时求∠P的度数．（3）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）∠P＝45°（3）2∠P＝∠B+∠D【解答】解：（1）由题知∠A+∠D＝∠DOB＝∠C+∠B∴∠A+∠D＝∠C+∠B故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）由（1）可得∠DAO+∠D＝∠OCB+∠B①同理可得∠DAM+∠D＝∠OCP+∠P∵∠DAB和∠BCD的平分线是AP和CP∴∠DAO+∠D＝∠OCB+∠P②由②×2﹣①得∠D＝2∠P﹣∠B即2∠P＝∠D+∠B∴2∠P＝50°+40°故∠P＝45°；（3）由（2）可知2∠P＝∠B+∠D．【变式1-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示∠α的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD∠AOB＝∠COD∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α∴α＝10°故选：A．【变式1-2】（2022春•叙州区期末）如图BP平分∠ABC交CD于点F DP平分∠ADC 交AB于点E若∠A＝45°∠P＝40°则∠C的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°∠ABC+∠C+∠BGC＝180°∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F DP平分∠ADC交AB于点E∴∠GBC＝2∠PBE∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°∠P＝40°∴∠C＝35°．故选：B【变式1-3】（2022春•渝中区校级期中）如图五角星的五个角之和即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180°B．90°C．270°D．240°【答案】A【解答】解：连接CD设BD与CE交于点O由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC在△ACD中∠A+∠ACD+∠ADC＝180°即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．【变式1-4】（2021春•玄武区期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．【答案】360【解答】解：如图延长DE交AB于点G由三角形外角性质可知：∠1＝∠F+∠DEF∠2＝∠1+∠A∴∠2＝∠F+∠DEF+∠A∴在四边形BCDG中由四边形内角和可知：∠B+∠C+∠D+∠2＝360°∴∠A+∠F+∠DEF+∠B+∠C+∠D＝360°．故答案为：360．【变式1-5】（2020秋•平舆县期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°．【答案】180【解答】解：如图设线段BD BE分别与线段AC交于点N M．∵∠AMB＝∠A+∠E∠DNC＝∠B+∠AMB∠DNC+∠D+∠C＝180°∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°故答案为：180．【变式1-6】（2021秋•正阳县期末）图1 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2 在图1的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中当∠D＝50度∠B＝40度时求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果不必证明）．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°∠AOD＝∠BOC ∴∠A+∠D＝∠C+∠B故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O形成“8字形”；故“8字形”共有6个故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P∴∠DAP＝∠P AB∠DCP＝∠PCB①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P即2∠P＝∠D+∠B又∵∠D＝50度∠B＝40度∴2∠P＝50°+40°∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P∴∠1＝∠2 ∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【考点2 飞镖模型】【典例2】（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形像我们常见的学习用品一圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系并说明理由；（2）请你直接利用以上结论解决以下问题：①如图（2）把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C若∠A＝40°则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3）DC平分∠ADB EC平分∠AEB若∠DAE＝40°∠DBE＝130°求∠DCE的度数．【解答】解：（1）如图（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C理由是：过点A、D作射线AF∵∠FDC＝∠DAC+∠C∠BDF＝∠B+∠BAD∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2）∵∠X＝90°由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°∵∠A＝40°∴∠ABX+∠ACX＝50°故答案为：50；②如图（3）∵∠A＝40°∠DBE＝130°∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°∵DC平分∠ADB EC平分∠AEB∴∠ADC＝∠ADB∠AEC＝∠AEB∴∠ADC+∠AEC＝＝45°∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【变式2-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图△ABC中∠A＝30°D为CB延长线上的一点DE⊥AB于点E∠D＝40°则∠C为（）A．20°B．15°C．30°D．25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB∴∠DEB＝90°∵∠D＝40°∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°∵∠ABD＝∠A+∠C∠A＝30°∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故选：A．【变式2-2】（2017•东昌府区一模）如图∠BDC＝98°∠C＝38°∠A＝37°∠B 的度数是（）A．33°B．23°C．27°D．37°【答案】B【解答】解：如图延长CD交AB于E∵∠C＝38°∠A＝37°∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°∵∠BDC＝98°∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故选：B．【变式2-3】（2021春•工业园区校级月考）如图点C是∠BAD内一点连CB、CD∠A＝80°∠B＝10°∠D＝40°则∠BCD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：延长BC交AD于E∵∠BED是△ABE的一个外角∠A＝80°∠B＝10°∴∠BED＝∠A+∠B＝90°∵∠BCD是△CDE的一个外角∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°故选：C．【变式2-4】（2021•碑林区校级二模）如图BE是∠ABD的平分线CF是∠ACD的平分线BE与CF交于G如果∠BDC＝140°∠BGC＝110°则∠A＝．【答案】80°【解答】解：连接BC∵∠BDC＝140°∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°∵∠BGC＝110°∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°∵BE是∠ABD的平分线CF是∠ACD的平分线∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°在△ABC中∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．故答案为：80°．【考点3 “风筝”模型】（2020秋•五华区期末）如图在三角形纸片ABC中∠A＝60°∠B＝70°将【典例3】纸片的一角折叠使点C落在△ABC外若∠2＝18°则∠1的度数为（）A．50°B．118°C．100°D．90°【答案】B【解答】解：在△ABC中∠A＝60°∠B＝70°∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．由折叠可知：∠CDE＝∠C′DE∠CED＝∠C′ED∴∠CED＝＝99°∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．故选：B．【变式3-1】（2020秋•潮阳区期中）如图在△ABC中将△ABC沿直线m翻折点B落在点D的位置若∠1﹣∠2＝60°则∠B的度数是（）A．30°B．32°C．35°D．60°【答案】A【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B∠3＝∠2+∠D∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°．∴∠B＝30°故选：A．【变式3-2】（2018•聊城）如图将一张三角形纸片ABC的一角折叠使点A落在△ABC 外的A'处折痕为DE．如果∠A＝α∠CEA′＝β∠BDA'＝γ那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【答案】A【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'∵∠BDA'＝∠A+∠AFD∠AFD＝∠A'+∠CEA'∵∠A＝α∠CEA′＝β∠BDA'＝γ∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β故选：A．【典例4】（2021春•高州市期末）如图小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后再将纸片沿着BA′对折一次使得点C落在BN上的C′处已知∠CMB＝68°∠A＝18°则原三角形的∠C的度数为（）A．87°B．84°C．75°D．72°【答案】A【解答】解：如图由题意得：△ABN≌△A′BN△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2 ∠2＝∠3 ∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故选：A．【变式4-1】（2021春•济南期中）如图△ABC中∠B＝40°∠C＝30°点D为边BC上一点将△ADC沿直线AD折叠后点C落到点E处若DE∥AB则∠ADE的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】B【解答】解：∵∠B＝40°∠C＝30°∴∠BAC＝110°由折叠的性质得∠E＝∠C＝30°∠EAD＝∠CAD∠ADE＝∠ADC∵DE∥AB∴∠BAE＝∠E＝30°∴∠CAD＝40°∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°故选：B．【变式4-2】（2021春•滦州市期末）已知：如图所示将△ABC的∠C沿DE折叠点C 落在点C'处若设∠C＝α∠AEC′＝β∠BDC'＝γ则下列关系成立的是（）A．2α＝β+γB．α＝β+γC．α+β+γ＝180°D．α+β＝2γ【答案】A【解答】解：由折叠的性质知：∠C＝∠C′＝α．∵∠AEC′+∠CEC′＝180°∠BDC′+∠CDC′＝180°∴β＝180°﹣∠CEC′γ＝180°﹣∠CDC′．∴β+γ＝360°﹣∠CEC′﹣∠CDC′．∵∠C+∠CEC′+CDC′+∠C′＝360°∴2α＝360°﹣∠CEC′﹣CDC′．∴β+γ＝2α．故选：A．【变式4-3】（2021春•通许县期末）如图所示将△ABC沿着DE折叠使点A与点N重合若∠A＝65°则∠1+∠2＝（）A．25°B．65°C．115°D．130°【答案】D【解答】解：∵△NDE是△ADE翻折变换而成∴∠AED＝∠NED∠ADE＝∠NDE∠A＝∠N＝65°∴∠AED+∠ADE＝∠NED+∠NDE＝180°﹣65°＝115°∴∠1+∠2＝360°﹣2×115°＝130°．故选：D．12．（2021秋•广州期中）如图三角形纸片ABC中∠A＝65°∠B＝75°将∠C沿DE对折使点C落在△ABC外的点C′处若∠1＝20°则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【解答】解：∵∠A＝65°∠B＝75°∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°由折叠的性质可知∠C′＝∠C＝40°∴∠3＝∠1+∠C′＝60°∴∠2＝∠C+∠3＝100°故选：C．13．（2022春•晋江市期末）如图把三角形纸片ABC沿DE折叠当点A落在四边形BCDE 外部时则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到∴∠A′＝∠A又∵∠ADA′＝180°﹣∠1 ∠3＝∠A′+∠2∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°整理得2∠A＝∠1﹣∠2．∴∠A＝（∠1﹣∠2）即2∠A＝∠1﹣∠2．故选：A．18．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图所示∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【答案】360【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1 ∠A+∠F＝∠2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案为：360．19．（2021秋•海珠区校级期中）如图则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．【答案】360°【解答】解：连接AD在△AOD和△BOC中∵∠AOD＝∠BOC∴∠B+∠C＝∠1+∠2∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠F AD∵∠EDA+∠F AD+∠E+∠F＝360°∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°故答案为：360°．20．（2020•开福区校级开学）如图∠A+∠B+∠C+∠D+E+∠F的度数为．【答案】360°【解答】解：∵∠AIC＝∠A+∠B∠EPC＝∠C+∠D∠AOE＝∠E+∠F∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠AIC+∠EPC+∠AOE＝360°．故答案为：360°．21．（2020春•昌黎县期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【答案】360【解答】解：如右图所示∵∠AHG＝∠A+∠B∠DNG＝∠C+∠D∠EGN＝∠E+∠F∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．22．（2017秋•磴口县校级期中）如图∠A＝50°∠ABO＝28°∠ACO＝32°则∠BDC＝度∠BOC＝度．【答案】78°110°【解答】解：∵∠A＝50°∠ABO＝28°∠ACO＝32°∴∠BDC＝∠A+∠ABO＝78°∴∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝110°．23．（2021春•江都区校级期末）如图三角形纸片ABC中∠A＝63°∠B＝77°将纸片一角折叠使点C落在△ABC的内部若∠2＝50°则∠1＝．【答案】30°【解答】解：设折痕为EF连接CC′．∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C∠1＝∠FCC′+∠FC′C∠ECF＝∠EC′F∴∠1+∠2＝2∠ECF∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°∴∠1＝80°﹣50°＝30°故答案为：30°24.（2018春•莘县期末）一个零件的形状如图所示按规定∠A应等于90°∠B、∠D应分别是20°和30°．（1）李叔叔量得∠BCD＝142°根据李叔叔量得的结果你能断定这个零件是否合格？请解释你的结论；（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）．【解答】解：（1）不合规格．理由如下：连接AC并延长到点E则∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠BAC+∠CAD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D＝140°故不合格．（2）根据第（1）小题的求解过程不难发现：∠B+∠D+90°＝∠BCD．25．（2020秋•郯城县期末）探索归纳：（1）如图1 已知△ABC为直角三角形∠A＝90°若沿图中虚线剪去∠A则∠1+∠2等于A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图2 已知△ABC中∠A＝40°剪去∠A后成四边形则∠1+∠2＝（3）如图2 根据（1）与（2）的求解过程请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是（4）如图3 若没有剪掉而是把它折成如图3形状试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°故答案是：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A（4）∵△EFP是由△EF A折叠得到的∴∠AFE＝∠PFE∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．26．（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1 三角形ABC求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°证明：过点A作EF ∥BC．（2）如图2 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（3）在图2的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N得到图3 请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系并说明理由．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC∴∠EAB＝∠B∠F AC＝∠C又∠EAB+∠BAC+∠F AC＝180°∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°又∠AOD＝∠BOC∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①∠P AB+∠P＝∠B+∠PCB②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P∴∠DAP＝∠P AB∠DCP＝∠PCB∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B∴2∠P＝∠D+∠B．27．（2021春•邗江区月考）如图1 已知线段AB、CD相交于点O连接AC、BD则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示∠1＝130°则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．（3）如图3 若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P且与CD AB分别相交于点M N．①若∠B＝100°∠C＝120°求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB∠CDP＝∠CDB”试直接写出∠P与∠B∠C之间存在的数量关系并证明理由．【解答】解：（1）证明：在图1中有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC∠B+∠D＝180°﹣∠BOD∵∠AOC＝∠BOD∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2所示∵∠DME＝∠A+∠E∠3＝∠DME+∠D∴∠A+∠E+∠D＝∠3∵∠2＝∠3+∠F∠1＝130°∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°∵∠B+∠C＝∠1＝130°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案为：260°．（3）①以M为交点“8字型”中有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP 以N为交点“8字型”中有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC∴∠BAP＝∠CAP∠CDP＝∠BDP∴2∠P＝∠B+∠C∵∠B＝100°∠C＝120°∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；②3∠P＝∠B+2∠C其理由是：∵∠CAP＝∠CAB∠CDP＝∠CDB∴∠BAP＝∠CAB∠BDP＝∠CDB以M为交点“8字型”中有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP以N为交点“8字型”中有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB）∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B∴4∠P＝∠B+3∠C．。

专题12.11三角形全等几何模型（一线三等角）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一线三直角模型1.基本图形题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°图1图2图3解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS 或ASA）结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）【知识点二】一线三等角模型图4图5题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥，BE MN ⊥，垂足分别为D E 、．（1）求证：ADC CEB ≌；（2）若3cm =AD ，5cm BE =，求四边形ABED 的面积．【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE 的长度为（）A ．30cmB ．27cmC ．21cmD ．10cm【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若5BE =，2CF =，则EF 的长度为．【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知ABC 是直角三角形，90BAC AB AC ∠=︒=，，直线l 经过点A ，分别过点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E（1）如图a ，当点B 、C 位于直线l 的同侧时，证明：ABD CAE≌（2）如图b ，锐角ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果CEA ADB BAC ∠=∠=∠，请找到图中的全等三角形，并写出线段ED EC 、和DB 之间的数量关系【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．92【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =.将点C 放在直线l 上，点A ，B 位于直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D初步探究：（1）在图1的直线l 上取点E ，使BE BC =，得到图2，猜想线段CE 与AD 的数量关系，并说明理由；（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN 继续进行拼图操作，其中90MPN ∠=︒，MP NP =.小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN 的顶点P 放在直线l 上，点M 与点B 重合，过点N 作NH l ⊥于点H .如图3，探究线段CP ，AD ，NH 之间的数量关系，并说明理由【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，906AC AB BD ABD BC ==∠=︒=，，，则BCD △的面积为（）A ．9B ．6C ．10D ．12【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S = ，则BC 的长为．【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展【例4】如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（-3.0），D 为x 轴上的一个动点，AE ⊥AD ，且AE=AD ，连接BE 交y 轴于点M（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:（2）求证:M为BE的中点（3）当D点在x轴上运动时，探索:OMBD为定值【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为（）A．54B．60C．100D．110【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为．2、拓展延伸【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．（1）操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：；（2）拓展应用：如图乙，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：；（3）迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰ABC ，AB AC =，且90BAC ∠≠︒，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，ABC 中，2AB AC =，90BAC ∠≠︒，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．（1）若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．（2）在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。

人教版八年级上册数学解答题专题训练50题含答案（2）51．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ADC的顶点都在方格纸格点上，将△ABC向左平移1格．再向上平移1格，（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的高CE；（3）过点A画BC的平行线；（4）在图中，若△BCQ的面积等于△BCA的面积．则图中满足条件且异于点A的个点Q 共有_____个．（注：格点指网格线的交点）【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）4.【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）利用网格特点找出A′C′的中点D′，然后连接B′D′即可；（3）根据平行线的性质求解；（4）过点A作BC的平行线，然后找出此平行线上的格点即可．【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）如图，高线CE为所作；（3）AQ△BC；（4）图中满足条件且异于点A的个点Q共有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．52．已知21(1)(2)12y A B y y y y +=+-+-+，求A 、B 的值．53．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BE AC ∥，AE BD ∥．(1)求证：四边形AOBE 是菱形；(2)若60AOB ∠=︒，8AC =，求菱形AOBE 的面积．，根据菱形的性质易得出AOB 为等边三角形，再根据等的值，最后根据菱形的面积等于对角线证明：BE AC ∥AE BD四边形AOBE 为平行四边形四边形ABCD 为矩形BD =，12OA AC ，OB OB =∠∴AOB 为等边三角形8AC =OA AB ==12AM AB =OM OA =54．设x ，y ，z 为互不相等的非零实数，且x y z y z x +=+=+．求证：2221x y z =．55．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为a b c ++（）的正方形.（1）若用不同的方法计算这个边长为a b c ++（）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 .（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：△若三个实数,,a b c 满足l1a b c ++=，+38ab bc ac +=，求222a b c ++的值.△若三个实数,,x y z 满足12484x y z ⨯÷=，2224944x y z ++=，求236xy xz yz --的值. 【答案】（1）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（2）△45；△－20【分析】（1）根据大正方形的面积等于所有小正方形与矩形的面积和即可得解； （2）△利用（1）中等式可将（a+b+c ）直接平方，然后代入式子的值求解即可；（3）△利用幂的乘方与同底数幂的乘除整理得到232x y z +-=-，然后将23x y z +-平△(a b c ++11,c +=22(b c a +=238⨯△24x y ⨯÷222x y ∴⨯÷232x y z +-∴=23x y ∴+-(23x y +-2(2)∴-=23xy xz ∴-【点睛】本题主要考查整式混合运算，幂的混合运算，解此题的关键在于根据题图得到新等式，再利用新等式进行整理计算即可56．如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AB △BE ，垂足为B ，DE △BE ，垂足为E ，AC 、DF 相交于点G ，且AC=DF ，BF CE =．求证：FG CG =．【答案】见详解【分析】首先证明借助HL 证明Rt ABC Rt DEF ≌，由全等三角形的性质可知ACB DFE ∠=∠，然后由“等角对等边”即可证明FG CG =．【详解】证明：△AB △BE ，DE △BE ，△90B E ∠=∠=︒，△BF CE =，△BF FC CE FC +=+，△=BC EF ，又△AC=DF ，△()Rt ABC Rt DEF HL ≌，△ACB DFE ∠=∠，△FG CG =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题关键．57．计算：(1)2(4)(31)x x -+(2)23331111x x x x x ----+-58．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）(1)22201199- （2）21.99 1.990.01+⨯【答案】(1)800;(2)3.98.【详解】试题分析：（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201-199），然后进行有理数运算；（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．试题解析：（1）原式=（201+199）×（201-199）=400×2=800；（2）原式=1.99×（1.99+0.01）=1.99×2=3.98．59．(1)计算：232-÷x x x(912)9(2)分解因式：22-+363x xy y60．如图1，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（点A、B、C在小正方形的顶点上），直线m为格点直线（直线m经过小正方形的格点）．(1)如图1，作出△ABC关于直线m的轴对称图形△A′B′C′；(2)如图2，在直线m上找到一点P，使P A+PB的值最小；(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．(4)如图4，仅用直尺作出三角形ABC的边AB上的高，简单说明你的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）作点B关于直线m的对称点B'，连接AB'，交直线m于点P，则点P即为所求作的点；（3）如图，取格点O，计算可知S△AOC=S△BOC=S△AOB=2（平方单位）．（4）如图，选择格点D、E，证明△ACD△△BCE．于是，AC=BC．选择格点Q，证明△ACQ△△BCQ，于是，AQ=BQ．推出CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作，（2）如图，点P即为所求作，（3）如图，即为所作，（4）如图，选择格点D、E，证明△ACD△△BCE．于是，AC=BC．选择格点Q，证明△ACQ△△BCQ，于是，AQ=BQ．△CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．【点睛】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．61．如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE 的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：CD平分△ECA．（2）猜想△BDC与△BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．62．甲、乙两市之间有两条铁路线，普通快车线长600千米；高速铁路线长450千米．已知高速列车的速度是普通快车速度的3倍，普通快车先出发3小时，而比高速列车晚到2小时，求普通快车与高速列车的速度分别是多少？63．下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使直线PQ l ∥．作法：如图2，△在直线l 上取一点A ，连接PA ；△作PA 的垂直平分线MN ，分别交直线l ，线段PA 于点B ，O ；△以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交直线MN 于另一点Q ； △作直线PQ ，所以直线PQ 为所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：△直线MN 是PA 的垂直平分线，△PO =___________，90POQ AOB ∠=∠=︒．△OQ =___________，△POQ AOB △≌△．△___________=___________．△PQ l ∥（___________）（填推理的依据）【答案】(1)见解析(2)AO ；OB ；QPO ∠；BAO ∠；内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据题中描述即可作图；（2）根据垂直平分线的性质证明POQ AOB △≌△，得到QPO BAO ∠=∠，即可根据平行线的判定定理证明．【详解】（1）用直尺和圆规，补全图形如下；（2）证明：△直线MN 是PA 的垂直平分线，△PO AO =，90POQ AOB ∠=∠=︒．△OQ OB =，△POQ AOB △≌△．△QPO BAO ∠=∠．△PQ l ∥（内错角相等，两直线平行）．故答案为：AO ；OB ；QPO ∠；BAO ∠；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作图—复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定定理．64．如图， ABC C ∠∠=，点E 在线段AC 上，D 在AB 的延长线上，且有BD CE =，连接DE 交BC 于F ，过E 作EG BC ⊥于G ．试说明线段BF 、FG 、CG 之间的数量关系．【答案】BF CG FG +=，证明见解析．【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理得出DHB EGC ≅，再根据三角形全等的性质可得BH CG =，DH EG =，然后根据三角形全等的判定定理得出DHF EGF ≅，最后根据三角形全等的性质可得FH FG =，据此根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】BF CG FG +=，理由如下：如图，过点D 作DH CB ⊥，交CB 延长线于点H△ABC C ∠=∠，HBD ABC ∠=∠（对顶角相等）△HBD C ∠=∠在DHB △和EGC 中，90HBD C DHB EGC BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩△()DHB EGC AAS ≅△BH CG =，DH EG =在DHF △和EGF △中，90DFH EFG DHF EGF DH EG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩△()DHF EGF AAS ≅△FH FG =△BF BH FH FG +==△BF CG FG +=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、线段的和差等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．65．为响应政府“绿色出行”的号召，张老师上班由自驾车改为骑公共自行车．已知张老师家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．张老师用骑公共自行车方式上班比用自驾车的方式上班多用多少小时？66．小明在学习分式的运算时，计算221x +的解答过程如下：请你指出小明解答过程中第△步的理论依据是 ；过程中错误出现在第 步（写出对应的序号即可），错误的原因是 ， 请你给出这道题的正确解的答过程：67．在数轴上，点A 表示数a ，点B 表示数b ，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上A 、B 之间的距离记作AB ，定义：AB a b =-，如：点A 表示数1，点B 表示数3，则132AB =-=；1a -表示数a 和1在数轴上对应的两点之间的距离；6a +表示数a 和6-在数轴上对应的两点之间的距离．（1）在数轴上，若点A 表示数2-，点B 表示数6，△AB = ；△动点P 表示数x ，请求出满足2610x x ++-=的x 的值．（2）小林同学对（1）中正整数x 进行如下图操作：若x 为奇数，则先把x 乘以3，再把所得数在数轴上对应的点向右平移1个单位得到另一个数若x 为偶数，则把x 乘以12，如此循环重复操作图中△处应填写___________(用含x 的代数式表示)经过操作，小林发现有循环出现的数，请画出数轴并在数轴上标出这些循环出现的数．【答案】（1）△8；△x 的值为-3或7；（2）3x ＋1；循环出现的数为4、2、1，数轴见解析68．计算：()()232223122a ab a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ )()36461142a b a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是关键69．先化简，再求值[x 2+y 2﹣(x+y)2+2x(x ﹣y)]÷4x ，其中x ＝﹣2，y ＝2【分析】根据整式的运算法则把所给的整式化为最简后，再代入求值即可．70．如图，点A ，M ，B 在同一直线上，以AB 为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC 和等边三角形ABD ，连接CM ，DM ，过点M 作MN ＝DM ，交BC 边于点G ，交DB 的延长线于点N ．（1）求证：△BCM ＝△BDM ；（2）求△CMN 的度数；（3）求证：AM ＝BN ． 【答案】（1）见解析；（2）60CMN ∠=︒；（3）见解析【分析】（1）根据ABC 和ABD △为等边三角形，且AB 为公共边，可以得出条件BC BD =，CBM DBM ∠=∠，即可证明()CBM DBM SAS ≌，由性质即可得出结论；（2）根据,MN DM BCM BDM =∠=∠，得出BDM BNM ∠=∠，BCM BNM ∠=∠，又根据CGM ∠和NGB ∠为对顶角，可得CMN NBC ∠=∠，再根据ABC 和ABD △为全等三角形，DBN ∠为平角，利用等量代换即可求出60CMN ∠=︒；（3）连接CN 由（1）可知：CBM DBM ≌，即可得CM DM =，证出CMN 为等边三角形，进而证明出()AMC BNC SAS ≌，由性质即可得出结论．【详解】解：（1）证明：ABC 和ABD △为等边三角形，且AB 为公共边， ,60BC BD CBM DBM ∴=∠=∠=︒，又在CBM 和DBM △中，CB DB CBM DBM BM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CBM DBM SAS ∴≌，BCM BDM ∴∠=∠；（2）,MN DM BCM BDM =∠=∠，BDM BNM ∴∠=∠，BCM BNM ∴∠=∠，又CGM ∠和NGB ∠为对顶角，CMN NBC ∴∠=∠，又ABC 和ABD △为全等三角形，DBN ∠为平角，60CBM DBM ∴∠=∠=︒，180DBN ∠=︒，180606060CMN NBC DBN DBM CBM ∴∠=∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，（3）证明：连接CN ，如图所示：由（1）可知：CBM DBM ≌，CM DM ∴=，又,60MN DN CMN =∠=︒，CM MN ∴=，CMN ∴为等边三角形，,60CM CN MCN ∴=∠=︒，又ABC 为等边三角形，MCB ∠是ACB ∠和MCN ∠重叠的部分，,AC BC ACM BCN ∴=∠=∠，又在AMC 和BNC 中，AC BC ACM BCN CM CN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，()AMC BNC SAS ∴≌，AM BN =．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质、解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质，再利用等量代换的思想进行解答．712+2n+1＝0．（1）求﹣2m 2+6m ﹣4n 的值；（2）求m 2+21m﹣n 2013的值．72．某商店欲购进A 、B 两种化妆品，用160元购进的A 种化妆品与用240元购进的B 种化妆品的数量相同，每件B 种化妆品的进价比A 种化妆品的进价贵10元． （1）求A 、B 两种化妆品每件的进价分别为多少元？（2）若该商店A 种化妆品每件售价32元，B 种化妆品每件件价45元，准备购进A 、B 两种化妆品共100件，且这两种化妆品全部售出后总获利高于1300元，则最多购进A 种化妆品多少件？【答案】（1）A 、B 两种化妆品分别为20元、30元；（2）66件．20x ， 20x 是原方程的解，且符合题意，则两种化妆品每件的进价分别为20元、）设购进A 种化妆品件，则购进B 种化妆品由题意得：(3220)30)(100)1300m m -->2663， 73．已知m 2=169，n 3=-27，求代数式m -n 的值．【点睛】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，正确得到m 、n 的值．74．对于任意一个三位数p ，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数p 为“桃园数”．例如：112p =，因为112+=，所以112是“桃园数”；253p =，因为253+≠，所以253不是“桃园数”；(1)判断459，615是否是“桃园数”？说明理由；(2)对于“桃园数”p ，去掉个位上的数字得到的两位数记为m ，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为n ，若m n +能被24整除，求所有的p ．75．如图，在直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为A (1，4)，B (4，2)，C (3，5)，请回答下列问题：（1）写出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △的顶点坐标．（2）求ABC 的面积．1,4(),A B 1(1,4),A ∴-（2）1,4(),A B 5BD BF ∴==-则ABC BDEF ABD BCF ACE S S S S S =---2111222BD AD BD BF CF AE CE -⋅-⋅-⋅ 111233112222-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯【点睛】本题考查了坐标与图形变化等知识点，掌握点坐标关于x 轴对称的变换规律是解题关键．76．边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）；A ．2222()a ab b a b -+=-B ．22(()a b a b a b -=+-C ．2()a ab a a b +=+ （2）若22912,34x y x y -=+=，求3x y -的值；（3）计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100----- ）边长为）229x y -3124y =÷77．如图，已知△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且EF△BC,D 为EF 上一点，且ED=DF ，BD=CD ，请说明：BE=CF.【答案】见解析.【分析】利用SAS 证明△BDE△△CDF ，根据全等三角形的对应边相等即可得结论.【详解】△BD=CD ，△△DBC=△DCB ，又△EF△BC ，△△EDB ＝△DBC ，△FDC ＝△DCB ，△△EDB ＝△FDC ，又△ED ＝FD ，BD ＝CD ，△△BDE△△CDF(SAS)，△BE ＝CF.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确把握相关知识是解题的关键.78．计算：(1)()()201433π--+--；(2)()()4235243a a a a ⋅++-； (3)()()213a a +-；(4)()()22m n m m n ---；(5)2202020222021⨯-． 【答案】(1)-4；(2)11a 8；(3)2a 2-5a -3；(4)）n 2；(5)-1．【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；（3）原式利用多项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果；（4）原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（5）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【详解】（1）原式=4+1-9=5-9=-4；（2）原式=a 8+a 8+9a 8=11a 8；（3）原式=2a 2-6a +a -3=2a 2-5a -3；（4）原式=（m 2-2mn +n 2）-（m 2-2mn ）=m 2-2mn +n 2-m 2+2mn=n 2；（5）原式=（2021-1）×（2021+1）-20212=20212-1-20212=-1．【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．79．如图，ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝BC ，P 为AB 上一动点，连接CP ，以AB为边作△BAD＝△BCP，AD交CP的延长线于点D，连接BD，过点B作BE△BD交CP 于点E．（1）当△EBC＝15°时，△ABD＝°；（2）过点P作PH△AC于点H，是否存在点P，使得BC＝HC，若存在，请求出此时△ACP 的度数，若不存在，请说明理由；（3）若AD＝2，ED＝7，求ADC的面积．80．先化简，再求值：(3x +2)(3x －2)－5x (x +1)－(x －1)2，其中x 2－x －10=0． 【答案】3x 2－3x －5，25【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将已知的方程变形后代入即可求值．【详解】原式＝()222945521x x x x x -----+＝222945521x x x x x ----+-＝2335x x --，当2100x x =--，即210x x =-时，原式＝()235310525x x -=⨯-=-【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，涉及的知识点有：完全平方公式、平方差公式、去括号法则及合并同类项法则，熟练掌握以上公式及法则是解题的关键． 81．已知：3a b +=,1x y -=，求222a ab b x y ++-+的值.【答案】8【详解】试题分析：本题可先将原代数式化简得出关于a+b 和x -y 的式子，再把已知代入即可．试题解析：△a+b=3，x−y=1，△a 2+2ab+b 2−x+y=(a+b)2−(x−y) =9−1=8.82．求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等． 【答案】见解析【分析】根据题意首先写出已知和求证，进而利用全等三角形的判定与性质得出Rt △ABD △ Rt △A B D '''以及△B=△B′进而得出△ABC△A B C '''．【详解】解：如图：已知：如图，在△ABC 与△A B C '''中．AB ＝A B ''，BC ＝B C ''，AD△BC 于D ，A D ''△B C '' 于D 且 AD ＝A D ''求证：△ABC△△A B C '''证明： 在Rt △ABD 与Rt △A B D '''中△AB A B AD A D ''''=⎧⎨=⎩△Rt △ABD △ Rt △A B D ''' (HL)△△B ＝△B '(全等三角形对应角相等)在△ABC 与△A B C '''中△AB A B B B BC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩' △△ABC△△'''A B C (SAS)【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．83．计算：2221244x x x x x x +----+．84．老师给同学们布置了一个“在平面内找一点，使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图任务：下面是小聪同学设计的尺规作图过程：已知：如图，ABC ∆中，AB AC =，求作：一点P ，使得PA PB PC ==.作法：△作BAC ∠的平分线AM 交BC 于点D ；△作边AB 的垂直平分线EF ，EF 与AM 相交于点P ；△连接,PB PC ，所以，点P 就是所求作的点.根据小聪同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：△AB AC =，AM 平分BAC ∠交BC 于点D ，△AD 是BC 的垂直平分线；（ ）（填推理依据）△PB PC =.△EF 垂直平分AB ，交AM 于点P ，△PA PB =；（ ）（填推理依据）△PA PB PC ==.【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形的三线合一 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.【分析】（1）利用基本作图作角平分线AD 和AB 的垂直平分线，它们相交于P 点；（2）根据等腰三角形的性质得到PB=PC ．再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到PA=PC ，从而得到PA=PB=PC ．【详解】（1）如图，AD 、点P 为所求；（2）证明：△AB AC =，AM 平分BAC ∠交BC 于点D ，△AD 是BC 的垂直平分线；（ 等腰三角形的三线合一 ）（填推理依据）△PB PC =.△EF 垂直平分AB ，交AM 于点P ，△PA PB =；（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ）（填推理依据） △PA PB PC ==.【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 85．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段c ，求作Rt △ABC ，使△C ＝90°，BC ＝c ，AB ＝2c ．【答案】见解析【分析】在直线l 上取点C ，作CD △l ，在CD 上截取CB ＝c ，分别以B ，C 为圆心，c 为半径画弧，交于点E ，连接BE 并延长交直线l 于点A ，则AB ＝2c ．【详解】如图所示，Rt △ABC 即为所求．【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 86．△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C ＝60°，请说明∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B ＜∠C ），试说明∠DAE 、∠B 、∠C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F ，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ，请直接写出∠G 的度数 ． ）40B ∠=AE 是ABC ∆的高，AEC ∴∠=60C ∠=CAE ∴∠=AD 是∠CAD ∴∠=DAE ∴∠=（2）BAC ∠+180BAC ∴∠=︒-AE 是ABC ∆的高，90,AEC =︒AD 是∠CAD ∴∠=DAE ∴∠=(11802=︒1C =∠-）CAE ∠和2CAE CAG =∠CAE FCB ∠=∠2FCG AEC ∴∠-∠AE 是ABC ∆的高，AEC ∴∠=45G ∴∠=故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．87．把下列各式分解因式：（1）22425x y - （2） 2x y y -（3）224()x y z -- （4）2216()()a b a b --+（5）33327xy x y -+ (6) 2222416a x a y -(7)(2)(80+6a a a +- (8)4481x y -(9)224(23)(3)p q p q +-- (10)22169()196()a b a b --+【答案】(1)(2x+5y)(2x -5y); (2)y(x+1)(x -1); (3)(2x+y -z)(2x -y+z); (4)(5a -3b)(3a -5b);(5)-3xy(y+3x)(y -3x); (6)4a 2(x+2y)(x -2y); (7)(a+4)(a -4); (8)()()229)33x y x y x y ++-（; (9)(7p+5q)(p+7q); (10)-(27a+b)(a+27b);.【详解】试题分析：（1）直接利用平方差公式进行分解即可；（2）首先提取公因式y ，再利用平方差公式进行分解即可；（3）直接利用平方差公式进行分解即可；（4）直接利用平方差公式进行分解即可；（5）首先提取公因式-3xy ，再利用平方差公式进行分解即可；（6）首先提取公因式4a 2，再利用平方差公式进行分解即可；（7）首先进行乘法运算，再利用平方差进行分解即可；（8）直接利用平方差公式进行二次分解即可；（9）首先利用平方差公式进行分解，再把括号里面的同类项进行合并即可； （10）直接利用平方差公式进行分解即可．试题解析：（1）原式=（2x+5y ）（2x -5y ）；（2）原式=y （x 2-1）=y （x+1）（x -1）；（3）原式=（2x+y -z ）（2x -y+z ）；（4）原式=（5a -3b ）（3a -5b ）；（5）原式=-3xy （y 2-9）=-3xy （y+3x ）（y -3x ）；（6）原式=4a 2（x 2-4y 2 ）=4a 2（x+2y ）（x -2y ）；（7）原式=a 2-16+6a -6a=（a+4）（a -4）；（8）原式=（9x 2+y 2）（3x+y ）（3x -y ）；（9）原式=（7p+5q ）（p+7q ）；（10）原式=-（27a+b ）（a+27b ）．88．在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF AB ⊥交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图()1，易证 EG CG =且EG CG ⊥．()1将BEF 绕点B 逆时针旋转90，如图()2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．()2将BEF 绕点B 逆时针旋转180，如图()3，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明． 90，90EBC ∠，90BCM ∠，BEMC 是矩形．，90EMC ∠，90ABC =，45，AB ，∵BEF 为等腰直角三角形BE EF =，45．EF CM =90EMC ∠=，FG DG =，12MG FD FG ==45，∵F GMC ∠=∠．∵在GFE与GMC中，FG MG F GMC EF CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()GFE GMC SAS≅．∵EG CG=，FGE MGC∠=∠．∵90FMC∠=，MF MD=，FG DG=，∵MG FD⊥，∵90FGE EGM∠+∠=，∵90MGC EGM∠+∠=，即90EGC∠=，∵EG CG⊥．【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大.89．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b-+，(),0B a，且()220a b-=，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰ACD，使AD AC=，CAD OAB∠=∠，直线DB交y轴于点P．（1）求证：AO AB=；（2）求证：AOC ABD△△≌；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生变化，为什么？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，理由见解析【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE OB⊥于点E，由SAS定理得出AEO AEB∆≅∆，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据CAD OAB∠=∠，得出OAC BAD∠=∠，再由SAS定理即可得出AEO AEB∆≅∆；（3）设AOB ABOα∠=∠=，由全等三角形的性质可得出ABD AOBα∠=∠=，故）证明：(3,9)A ，3OE ∴=在AEO ∆AE AEO =⎧⎪∠⎨⎪）证明：CAD ∠=BAC OAB =∠ABD 中，BAD ⎪∠⎨⎪，由（2OB =，OP ∴长度不变，∴点P 在【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．90．如图，△ABC＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD△DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB的延长线相交于点M，连接MC．（1）MF与AC的位置关系是：______．（2）求证：CF＝MF．（3）猜想：AD与MC的位置关系，并说明理由．【答案】（1）MF△AC；（2）证明见解析；（3）AD△MC．【分析】（1）只要证明△ADE是等腰直角三角形，即可解决问题；（2）根据等腰直角三角形的性质，得出DF△AE，DF=AF=EF，再证明△DFC△△AFM，得出FC=FM；（3）依据△DFC=90°，DF=EF，△FDE=△FMC=45°，即可得到△DEF、△CFM是等腰直角三角形，进而证明DE△MC，即可得出结论．【详解】（1）△AD△DE，AD=DE，△△ADE是等腰直角三角形，△AF=EF，△DF△AE，即MF△AC．故答案为MF△AC．（2）△AD△DE，且AD=DE，F是AE的中点，△DF△AE，DF=AF=EF，△△AFM=90°，△△FAM+△AMF=90°，△△ABC=90°， △△FAM+△DCF=90°，△△DCF=△AMF ，在△DFC 和△AFM 中，90DFC AFM DCF AMFDF AF ＝＝＝＝∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， △△DFC△△AFM （AAS ），△FC=FM ；（3）AD△MC ．理由：由（2）得：△DFC=90°，DF=EF ，FM=FC，△△DEF 、△CFM 是等腰直角三角形，△△FDE=△FMC=45°，△DE△MC ，△AD△DE ，△AD△MC ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 91．数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题：在ABC 中，AB AC m ==，BAC α∠=，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且CE BD =，试探究线段AE 和线段AD 的数量关系．(1)初步尝试如图△，若90α=︒，请探究AE 和AD 的数量关系，并说明理由．(2)类比探究如图△，若120α=︒，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构造直角三角形，通过证明两次三角形全等，得到AE 和AD 的数量关系仍然成立，请你写出推理过程；(3)延伸拓展如图△，将第（2）中的“点E在边AB上”改为“点E在边BA的延长线上”，其它条件不变，请探究AE和AD的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由．试卷第41页，共41页。

人教版八年级上册数学解答题专题训练50题含答案一、解答题1．化简： (1)2221211x x x x x x+-+--；(2)(221a a b a b --+)÷b b a -.2．甲、乙两地相距300km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用0.5h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的1.5倍，求特快列车平均行驶的速度．经检验，x=200是原方程的解，且符合题意．答：特快列车平均行驶的速度为200km/h ．【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．3．先化简，再求值：（x +3）（x ﹣3）﹣x （2x +3）+（x +2）2，其中x ＝﹣2． 【答案】5x -，-7【分析】直接利用单项式乘多项式，乘法公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：()()()()233232x x x x x +--+++=22292344x x x x x ---+++=5x -当x =-2时，原式=-2-5=-7．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确运用整式的混合运算法则是解题关键．4．如图，在ABC ∆中，AB AC =，DAC ∠是ABC ∆的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作DAC ∠的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接,AE CF ； （3）在（1）和（2）的条件下，若15BAE ∠=︒，求B ∠的度数．(3)AB AC=B ACB∴∠=∠AM∠平分DAC∠=∠B CAM∴∠=∠EF垂直平分AE CE∴=DAM∠+DAM∴∠B55∴∠=【点睛】本题是对平行四边形知识的考查，熟练掌握尺规作图和平行四边形知识是解决本题的关键5．先化简，再求值222112211mm m m m m⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中m满足2260m m+-=．22m m +22m m ∴+∴原式=62【点睛】本题考查了分式的化简求值；掌握好分式的运算法则，注意到代数式、方程的结构特征是解决本题的关键．6．解下列方程：（1）153x x =+； （2）32122x x x =---； （3）2212141x x =--； （4）2231022x x x x-=+-； （5）131x x x x +=--； （6）33122x x x -+=--； （7）221566x x x x +=++； （8）31523162x x -=--．7．列方程解应用题今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩，向A厂支付了1.32万元，向B厂支付了2.4万元，且在B厂订购的口罩数量是A长的2倍，B厂的口罩每只比A厂低0.2元．求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元？8．已知3a b +=，1ab =，求：(1)22a b +的值；(2)a b -的值．9．计算4xy 2•（﹣2x ﹣2y ）2．10．计算（1）2(2)(2)a a a ⋅--- （2）()()344325321510205x y x y x y x y --÷-【答案】（1）26a -；（2）32324y xy -++【分析】（1）先计算单项式乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并；（2）直接利用多项式除以单项式法则计算．【详解】解：（1）2(2)(2)a a a ⋅---=2224a a --=26a -；（2）()()344325321510205x y x y x y x y --÷-=32324y xy -++【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 11．如图，在∠ABC 中，AD 平分∠BAC ，点P 为线段AD 上的一个点，PE ∠AD 交BC 的延长线于点E ．若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠BAD 和∠E 的度数．12．如图，线段AD 、CE 相交于点B ，BC BD =，AB EB =，求证：ACD EDC ≌．【答案】证明见详解【分析】由BC=BD ，可得∠ADC=∠ECD ，再证明CE=DA ．而CD 边公共，根据SAS 即可证明∠ACD∠∠EDC ．【详解】证明：∠BC=BD ， ∠∠ADC=∠ECD ，又AB=EB ，∠BC+EB=BD+AB ，即CE=DA ．在∠ACD 与∠EDC 中DA CE ADC ECD CD DC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∠∠ACD∠∠EDC （SAS ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．已知x+y=xy ，求代数式（222x x y x y x y ---）÷2222x xy x xy y --+的值． 【答案】0【分析】先把除法变成乘法，变形后整体代入，即可求出答案，需要用的公式是22x y -=（x-y ）（x+y ），222x xy y -+=2x y -（）．【详解】原式=[﹣]•=[﹣]•=1﹣，把x+y=xy 代入得：原式=1﹣1=0．【点睛】灵活运用两个数的平方差和完全平方式．14．先化简23939x x x x --+-，再选择一个合适的x 代入求值．15．（1）计算：10211)(1)4-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （2）化简：2(21)(44)a a a +-+16．（1）计算：（2）求的值： 【答案】（1）－1；（2）x=4或－2【详解】试题分析：（1）先将所给的各式求值，然后加减计算即可；（2）利用平方根的意义可求出x 的值．试题解析：（1）=-2-1+2=-1；（2）因为，2(3)9±=，所以13x -=±，所以13x =±，所以x=4或－2． 考点：实数的计算、平方根．17．解方程：（1）231x x =+ （2）31144x x x--=--18．已知：如图，点A 、B 、C 在同一直线上，AD∠CE ，AD=AC ，∠D=∠CAE.求证：DB=AE.【答案】证明见解析.【详解】试题分析：由平行的性质得到∠DAB=∠C ，从而由ASA 证明∠ABD∠∠CEA ，进而根据全等三角形边相等的性质得到DB=AE.试题解析：∠AD∠CE ，∠∠DAB=∠C,在∠ABD 和∠CEA 中，{D CAEAD AC DAB C∠=∠=∠=∠，∠∠ABD∠∠CEA(ASA).∠DB=AE.考点：1.平行的性质；2.全等三角形的判定和性质.19．如图，已知AO ＝DO ，∠OBC ＝∠OCB .求证：∠1＝∠2.【答案】见解析.【详解】分析：(1)、根据∠OBC=∠OCB 得出OB=OC ，然后根据SAS 证明∠AOB 和∠DOC 全等，从而得出答案．详解：证明：∠∠OBC ＝∠OCB ，∠OB ＝OC .在∠AOB 和∠DOC 中，OA=OD ，∠AOB=∠DOC ，OB=OC ，∠∠AOB∠∠DOC (SAS)， ∠∠1＝∠2.点睛：本题主要考查的是三角形全等的判定与性质，属于基础题型．根据题意得出OB=OC 是解决这个问题的关键．20．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，要求仅用无刻度的直尺在给定的网格中按步骤完成下列画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图1中，∠作出ΔABC 的高AH ；∠作出点B 关于AH 的对称点P ；（2）在图2中，∠过BC 上一点D 作DE ∠AB ，使四边形ABDE 为平行四边形；∠在平行四边形ABDE 中，作出∠BDE 的平分线DF ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据SAS 判定ADF BEC ，再根据相似三角形的对应角相等得到AFD BCE ∠=∠，结合等角的余角相等可得90B BCE B AFD ∠+∠=∠+∠=︒，继而得到AH BC ⊥，延长AH 至格点即可；∠点B 关于AH 的对称点即在AH 的右侧，取BH=HP 即可；（2）∠根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作出线段DE ，且DE =AB ，即可得到平行四边形ABDE ；∠以E 为圆心，DE 为半径作弧，交AE 边于点F ，可知DE =EF ，由等边对等角性质，得到∠=∠EFD EDF ，再由两直线平行，内错角相等性质可得EFD FDB ∠=∠，由此得到EDF FDB ∠=∠，即DF 是∠BDE 的平分线．【详解】解：（1）∠如图1所示，AH 即为所求；∠点P 即为所求的对称点；（2）∠如图1所示，DE 即为所求；∠DF 即为所求的角平分线；【点睛】本题考查尺规作图，涉及相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的性质、等边对等角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21．因式分解：(1)229x y -；(2)2()3()x a b b a ---；(3)322363x x y xy -+-． 【答案】(1)(3)(3)x y x y +-(2)()(23)a b x -+(3)23()x x y --【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解；（2）提取公因式(a -b )，从而得出答案；（3）首先提取公因式-3x ，然后再利用完全平方公式进行因式分解．（1）原式=()()33x y x y +-；（2）原式=()()23x a b a b -+-=()()23a b x -+；（3）原式=()2232x x xy y --+=()23x x y --． 【点睛】本题考查了因式分解，熟知提公因式法和公式法是解题的关键．22．图，四边形ABCD 中，AD ∠BC ，∠A ＝90°，CE ∠BD ，垂足为E ，BE ＝DA ．求证：AB ＝EC ．【答案】证明见解析【分析】由“ASA ”可证∠ABD ∠∠ECB ，可得AB ＝CE ．【详解】证明：∠AD ∠BC ，∠∠ADB ＝∠EBC .∠CE ∠BD ，∠∠CEB ＝∠A ＝90°，在∠ABD 和∠EBC 中，A BEC AD BEADB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABD ∠∠ECB （ASA ），∠AB ＝CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 23．先化简，再求值：（1）（x ＋1）2﹣（x ＋2）（x ﹣3），其中x ＝3（2）已知2a 2＋3a ﹣6＝0，求代数式3a （2a ＋1）﹣（2a ＋1）（2a ﹣1）的值． 【答案】（1）3x ＋7，16；（2）2a 2＋3a ＋1；7【分析】（1）先进行完全平方运算和多项式乘法，再合并同类项，最后代入求值，即可解答；（2）先将2a 2＋3a ﹣6＝0变形为2a 2＋3a ＝6，再化简代数式，代入即可求解．【详解】解：（1）原式＝（x 2＋2x ＋1）﹣（x 2﹣x ﹣6）＝x 2＋2x＋1﹣x 2＋x ＋6＝3x ＋7，当x ＝3时，原式＝337⨯+= 9＋7＝16；（2）∠2a 2＋3a ﹣6＝0，即2a 2＋3a ＝6，∠原式＝6a 2＋3a ﹣（4a 2﹣1）＝6a 2＋3a ﹣4a 2＋1＝2a 2＋3a ＋1＝6＋1＝7．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键．24．如图，已知△ABC 和△ADE ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠CAE ，AC ＝AE ，AD 与BC 交于点P ，点C 在DE 上．求证：BC ＝DE ．【答案】见解析【分析】先证∠BAC =∠DAE ，再证△ABC ∠∠ADE （ASA ），即可得出结论．【详解】∠BAD CAE ∠=∠，∠BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ABC ADE SAS △≌△，∠BC DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC ∠∠ADE 是解题的关键． 25．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x 为4时，求最后输出的结果y 是多少？26．已知228=0x x --，求()()241223x x x ---+的值．【答案】23【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式变形代入计算即可求出值．【详解】解：原式=22484243x x x x -+-++2247x x =-+()2227x x =-+，当228=0x x --，即228x x -=时，原式16723=+=．【点睛】本题考查了完全平方公式及单项式乘以多项式化简求值，整体代入是解题的关键．27．已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线AB 上一点，延长CB 到点E ，使BE ＝AD ，连接DE ，DC ，（1）若点D 在线段AB 上，且AB ＝6，AD ＝2（如图∠），求证：DE ＝DC ；并求出此时CD 的长；（2）若点D 在线段AB 的延长线上，（如图∠），此时是否仍有DE ＝DC ？请证明你的结论；（3）在（2）的条件下，连接AE ，若23AB AD =，求CD ：AE 的值．AB228．如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝7dm，r＝1.5dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π）．【答案】40πdm 2.，见解析【分析】可利用大圆的面积减去四个小圆的面积列式计算可求解． 【详解】解：∠R ＝7dm ，r ＝1.5dm ，∠阴影部分的面积为：πR 2﹣4πr 2＝π（R 2﹣4r 2）＝π（R ＋2r ）（R ﹣2r ）＝π（7＋2×1.5）（7﹣2×1.5）＝10×4π＝40π（dm 2），故剩余阴影部分的面积为40πdm 2.．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，根据题意列算式是解题的关键． 29．计算：（1）()3231(2)22m n mn m ⎛⎫-⋅-÷ ⎪⎝⎭； （2）2(2)(3)(3)a b a b a b --+-．30．计算题：(1)(﹣1)23×(π﹣3)0﹣(﹣12) ﹣3； (2)a •a 2•a 3+(﹣2a 3)2﹣a 8÷a 2；(3)(x +4)2﹣(x +2)(x ﹣2)；(4)(a +2b ﹣3c )(a ﹣2b +3c )．31．计算：（1）21(2021)|3|2π-⎛⎫-+---⎪⎝⎭（2）()3212816(4)x x x x-+÷-【点睛】此题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟记零指数幂、负整数指数幂等运算法则是解题的关键．32．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2a ，同时B 区就会自动减去3a ，且均显示化简后的结果．已知A ，B 两区初始显示的分别是25和－16，如图．如，第一次按键后，A ，B 两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A ，B 两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A ，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 【答案】（1）2252a +；166a --；（2）24a 12a+9－；和不能为负数，理由见解析．【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2a ，B 区就会自动减去3a ，可直接求出初始状态按2次后A ，B 两区显示的结果．（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A ，B 两区显示的代数式，再求A ，B 两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．【详解】解：（1）A 区显示结果为：22225+a +a =25+2a ，B 区显示结果为：163a 3a=166a ﹣－－﹣－；（2）初始状态按4次后A 显示为：2222225+a +a +a a 254a +=+B 显示为：163a 3a 3a 3a=1612a ﹣－－－－﹣－∠A+B=225+4a +(-1612a)-=24a 12a+9－=2(2a 3)－∠2(2a 3)0≥－恒成立，∠和不能为负数．【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．33．计算并验证：（1）()()232a b a b ++=_____________________；（2）请用图形证明上面等式． 【答案】（1）22672a ab b ++；（2）作图见详解．【分析】（1）利用多项式乘以多项式化简即可；（2）作一个边长为()2a b +和()32a b +的矩形即可．【详解】（1）解：232a b a b226432a ab ab b22672a ab b （2）如图示，作一个边长为()2a b +和()32a b +的矩形，则矩形内个矩形的面积如下图示，即有：232a b a b 22672a ab b【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的计算与证明，能作出相应的图形，利用面积来证明是解题的关键．34．如图，在Rt∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝3，AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AB 于点E ，连接CE ．求CE 的长；【答案】3【分析】只要证明ACE △为特殊三角形，则CE 的长度可求，因为60BAC ∠=︒，猜测ACE △为等边三角形，只要AC AE =即可，而通过已知条件可知AED ACD ≅，所以AE AC =，则ACE △为等边三角形，CE 的长度可求.【详解】∠AD 平分∠BAC ，∠∠EAD ＝∠CAD ． ∠∠ACB ＝90°，DE ∠AB ，∠∠ACD ＝∠AED ．又∠AD ＝AD ，∠∠ACD ∠∠AED ．∠AE ＝AC ．∠∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∠∠BAC ＝60°．∠∠ACE 为等边三角形， ∠CE ＝AC ＝3．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，能够证明是等边三角形是解题的关键.35．如图，已知点M 、N 和∠AOB ，用尺规作图作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法进而求出其交点即可．【详解】解：（1）作∠AOB 的平分线，（2）作MN 的中垂线，两线相交于点P ，点P 即为所求【点睛】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键．36．如图，已知∠A=∠F，AB∠EF，BC=DE，请说明AD∠CF.【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠B=∠E，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠FCE，由平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∠BC=DE,∠BD=EC，∠AB∠EF，∠∠B=∠E，在∠ABD与∠FEC中,A FB EBD CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠FEC，∠∠ADC=∠FCE，∠AD∠FC.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.37．求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．【答案】答案见解析【分析】根据题意得出三角形全等，再根据全等三角形的性质作出证明即可.【详解】解：如图，已知AD是BC的垂直平分线，∠AD∠BC，DB=CD∠在∠ADB和∠ADC中AD=ADADB=ADCBD=DC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∠∠ADB∠∠ADC（SAS）∠AB=AC故线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，弄清楚此性质的来源是解题的关键. 38．我们学过三角形的相关知识，在“信息技术应用”——画图找规律的实践学习中，我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．请根据以上的基本事实，解决下面的问题．如图，钝角三角形ABC中，AD，BE分别为BC，CA边上的高．(1)请用无刻度直尺画出AB边上的高CF（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若4AB=，2AC=，求高CF与BE的比是多少？【答案】(1)见解析(2):1:2CF BE=【分析】（1）延长DA交BE的延长线于点G，连接CG交BA延长线于F，即可得出分别是ABC 的边ABC S =12ABC S AC BE =⋅AB CF ⋅4AB =39．（1）先化简，再求值：，其中.（2）已知，，求的值. 【答案】（1）1；(2)32【详解】(1)先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式乘多项式把括号展开，再合并同类项，最后把a 、b 的值代入即可求值；（2）把原式变为含有（a-b ）、ab 的式子，然后代入求值.（1）（2x+3）（2x ﹣3）+（x ﹣2）2-3x （1﹣x ）=4x 2﹣9+x 2-4x+4+3x ﹣3x 2=2x 2 – x-5，当x=2时，原式=1．（2）a 2+b 2=(a-b)2+2ab=(-4)2+2×8=32．40．某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．问原计划每天挖多少米渠道？41．如图，点A ，E ，F ，B 在直线l 上，AE BF =，//AC BD ，且AC BD =，求证：ACF BDE ≅△△．【答案】见解析【分析】先证明AF BE =，然后根据平行线的性质得到∠CAF=∠DBE ，用SAS 即可证明∠ACF∠∠BDE ．【详解】证明：AE BF =，AE EF BF EF ∴+=+，即AF BE =；//AC BD ，CAF DBE ∴∠=∠在ACF △与BDE △中，AC BD CAF DBE AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACF BDE ∴≅．【点睛】本题考查的是全等三角形的SAS 判定、平行线的性质，掌握SAS 判定是解题的关键．42．已知 3m a =，3n b =，分别求：(1)3m n +．(2)233m n +．(3)2333m n + 的值． 【答案】(1)ab (2)23a b(3)23a b +【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算法则求解即可；（2）根据同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算计算法则求解即可；（3）根据幂的乘方的逆运算计算法则求解即可．(1)解：∠3m a =，3n b =，∠=333m n n m ab +⋅=；(2)解：∠3m a =，3n b =，∠()()2322323233=33333m n m n n m a b a b +⋅=⋅=⋅=；(3)解：∠3m a =，3n b =，∠()()223233+3=333n m n m a b +=+．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．43．计算：2136b a ab-．4412121)16(2--+45．计算：22353339m m m m +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭．46．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++∠()220y +≥∠()2244y ++≥∠代数式248y y ++的最小值为4．(1)求代数式222x x --的最小值.(2)若269|1|0a a b -+++=，则b a =_________.(3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设()m AB x =，请问：当x 取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?由题意可得，花园的面积为：()()()2222022202102550x x x x x x x -=-+=--=--+， ∠()2250x --≤，∠当x ＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC 的长是20−2×5＝10＜15，答：当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形及应用，非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．47．计算: (2)(2)a b c a b c -+--.【答案】22244a ab b c -+-【详解】试题分析：利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果． 试题解析：()()22a b c a b c -+--=（2a-b ）2-c 2=22244a ab b c -+-48．因式分解：（1）m 4-81；（2）22363x xy y -+- 【答案】（1）原式2(9)(3)(3)m m m =++-；（2）原式23()x y =--【详解】试题分析：试题分析：（1）用“平方差公式”连续分解两次即可；（2）先提“公因式”，再用“完全平方公式”分解即可.试题解析：（1）原式()()()()()22299933m m m m m =+-=++-； （2）原式()()222323x xy y x y =--+=--. 49．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成整体，设x y A +=，则，原式()22211A A A =++=+．再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：()()44a b a b ++-+；(2)求证：若n 为正整数，则式子()()()21231n n n n ++++的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1)()22a b +-(2)证明见解析【分析】（1）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；（2）将原式转化为()()223231n n n n ++++，进一步整理为2231n n ，根据n 为正整数得到2231n n 也为正整数，从而说明原式是整数的平方．(1)解：设A a b =+，则原式()()2244442A A A A A =-+=-+=-，所以()()()2442a b a b a b ++-+=+-；(2)证明：()()()()()()212313121n n n n n n n n ⎡⎤++++=++++⎣⎦ ()()223321n n n n =++++，设23B n n =+，原式()()()22222121131B B B B B n n =++=++=+=++． ∠n 为正整数，∠231n n ++也为正整数，∠式子()()()21231n n n n ++++的值一定是某一个整数的平方．【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．50．若x 满足()()944x x --=，求()()2249x x -+-的值． 解：设9x a -=，4x b -=，则()()944x x ab --==，()()945a b x x +=-+-=， ∠()()()22222942522413x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x 满足()()522x x --=，求()()2252x x -+-的值． （2）若x 满足()()631x x --=，求代数式92x -的值．（3）已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD 、DC 上的点，且2AE =，5CF =，长方形EMFD 的面积是48，分别以MF 、DF 作正方形，求阴影部分的面积．∠（x-2）•（x-5）=48，∠（x-2）-（x-5）=3，∠阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-2）2-（x-5）2．设（x-2）=a，（x-5）=b，则（x-2）（x-5）=ab=48，a-b=（x-2）-（x-5）=2，∠a=8，b=6，a+b=14，∠（x-2）2-（x-5）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=14×2=28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式和几何图形面积,解决本题的关键是要应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义．。

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题4.6期中考前必刷解答题（压轴真题60道，八上人教）一．解答题（共60小题）1．（2022秋•盐津县期中）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？2．（2022秋•盐津县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．3．（2022秋•金安区校级期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝°．（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．4．（2022秋•蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EG平分∠BEH，EH⊥BE交BC于H．（1）求∠BFD的度数．（2）若∠BAD＝∠EBC，∠C＝47°，求∠BAC的度数．5．（2022春•白云区校级期中）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM 平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H 作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．6．（2022春•罗定市期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．（1）AD与EF平行吗？请说明理由；（2）点H在FE的延长线上，若∠EDH＝∠C，∠F＝2∠H﹣40°，求∠BAC的度数．7．（2022春•仓山区校级期中）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且（60﹣3α）2+|2β﹣40|＝0．（1）α＝ ，β＝ ；直线AB 与CD 的位置关系是 ；（2）如图2，若点G 、H 分别在射线MA 和线段MF 上，且∠MGH ＝∠PNF ，试找出∠FMN 与∠GHF 之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图3），分别与AB 、CD 相交于点M 1和点N 1时，作∠PM 1B 的角平分线M 1Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中FPN 1∠Q 的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（注：三角形外角等于与它不相邻的两个内角和．）8．（2022春•东平县期中）（问题背景）∠MON ＝90°，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（问题思考）（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB ＝ ．（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ．①若∠BAO ＝70°，则∠D ＝ °．②随着点A 、B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由；（问题拓展）（3）在图②的基础上，如果∠MON ＝α，其余条件不变，随着点A 、B 的运动（如图③），∠D ＝ ．（用含α的代数式表示）9．（2022秋•阜阳期中）如图，△AOB 与△COD 中的∠AOB 与∠COD 是对顶角．（1）如图1，证明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，AP，DP分别是∠BAO，∠CDO的平分线，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，∠BAO与∠CDO的相邻补角平分线交于点P，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明．10．（2022秋•滨海新区校级期中）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC．（1）当点P在线段AD上时，PE⊥AD交BC的延长线于点E．如图1，①若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；②设∠B＝α，∠ACB＝β（β＞α），求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）（2）当点P在线段AD的延长线上运动时，PE⊥AD交直线BC于点E，请在图2中补全图形，设∠ABC ＝α，∠ACB＝β（β＞α），直接写出∠PEB的大小．（用含α，β的代数式表示）11．（2022秋•桓台县期中）如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F．（1）若∠BAC＝80°，∠ACB＝40°，求∠AFC的度数；（2）若∠B＝80°，求∠AFC的度数；（3）若∠B＝x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数．12．（2022秋•霍邱县期中）如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，若∠B邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDA ＝；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且∠BPC＝90°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∠A＝α，请求出∠BPC 的度数．（用含α的代数式表示）13．（2022秋•铜官区校级期中）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD垂直OB，交边BC 于点D．（1）如图1，猜想并直接写出∠COD与∠BAC的数量关系，不需要说明理由；（2）如图2，作△ABC的外角∠ABE交CO的延长线于点F，求证：BF∥OD．14．（2022春•滨海县期中）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图1，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE＝°；②若∠A＝70°，则∠BGE＝；③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；（2）若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．15．（2022秋•新兴县校级期中）综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图1，如果∠A＝80°，求∠BPC的度数．（2）在（1）的条件下，如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，求∠Q的度数．（3）如图3，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，是否存在一个内角等于另一个内角的2倍，若存在，请直接写出∠A的度数；若不存在，请说明理由．16．（2022秋•苏州期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．17．（2022秋•肇源县校级期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．18．（2022秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上．（1）若∠ADE＝∠B，求证：BD＝CE；（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数；（3）若∠ADE＝∠C，试判断∠DAE与∠AED的数量关系，并说明理由．19．（2022秋•新野县期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．20．（2022秋•金州区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．（1）求证：∠CBE＝45°；（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．21．（2022秋•常州期中）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．（1）求证：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．22．（2022春•茂南区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE 与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠F AG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．23．（2022秋•长垣市期中）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．（1）试猜想筝形的对角线AC与BD有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；（2）过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，求DE的长．24．（2022秋•邓州市期中）如图，AE，BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度匀速运动．P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）当t＝1s时，AP＝cm，当t＝2s时，AP＝cm；（2）求证：AB∥DE；（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，DQ的长为cm．25．（2022秋•西城区校级期中）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题探究：（2）如图，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AD的长度为；问题解决：（3）如图，四边形ABED是一片绿色花园，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°（0°＜∠BCE ＜90°）．△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由．26．（2022秋•莱阳市期中）在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一个小球A，小球A可以摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小球从OA摆到OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC 位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝24cm，OA＝OB＝OC＝30cm．（1）试说明OE＝BD；（2）求AD的长．27．（2022秋•淅川县期中）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，（1）如图1，求证：BE ＝CD ．（2）如图2，连接AF ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形．28．（2022秋•海城市期中）如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD ＝AC ，在CF 的延长线上截取CG ＝AB ，连接AD 、AG ．试猜想线段AD 与AG 的关系，并证明你的猜想．29．（2022秋•南沙区校级期中）如图，已知A （a ，0），B （0，b ）且a 、b 满足a 2+2ab +b 2＝0，C 、D 分别是OA 、OB 边上的动点，同时从原点O 以相同的速度分别匀速向点A 、点B 运动（点C 不与O 、A 重合，点D 不与O 、B 重合），AD 和BC 相交于点M ，过点O 作OE ⊥AD 交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BO 于点F ．（1）求证：△AOD ≌△BOC ．（2）在C 、D 运动的过程中，AD−EF OE 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．30．（2022秋•盐津县期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．31．（2022秋•郯城县期中）如图，点C在线段AB上，∠A＝∠B，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE于点F．（1）求证：△ACD≌△BEC；（2）求证：DF＝EF．32．（2022秋•延平区校级期中）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AE＝5.8，AB＝4.7，求AC的长．33．（2022秋•安次区校级期中）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．（1）如图1，求证：BC＝AD；（2）如图2，若点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系，并给予证明；（3）延长AD、BC相交于点E（自己画图），若∠AOB＝130°，则∠E＝（直接写出答案）．34．（2022秋•淇滨区校级期中）问题原型：（1）如图1，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E；连接BE，使BE＝AC．求证：DE＝CD．问题拓展：（2）如图2，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM、AM，则△ACM为三角形．35．（2022秋•云阳县期中）【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．36．（2022秋•东宝区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动（点P不与A，B重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）求证：PD＝QD；（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．37．（2022秋•北仑区期中）如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD 上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．（1）求证：△ABE≌△CAF；（2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．38．（2022秋•宁乡市校级期中）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC 于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．39．（2022秋•蕲春县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．40．（2022秋•东莞市校级期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．41．（2022秋•郾城区期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？42．（2022秋•颍泉区期中）在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？43．（2022秋•夏津县期中）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED ＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．44．（2022秋•滨江区校级期中）已知：如图，点D在△ABC的外部，DE过点C，BC与AD交于点O．∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．（1）求证：△ACE是等腰三角形；（2）过点A作AF⊥DE于点F，若AB=√21，AE＝3，BC＝6，求线段AF的长．45．（2022秋•思明区校级期中）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上（点B、C除外）点E在AC边上，且∠4＝∠AED．（1）如图1，若∠B＝∠C＝45°，①当∠1＝60°时，求∠2的度数；②试猜想∠1与∠2的数量关系（不用证明，直接写出猜想）（2）深入探究：如图2，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠1与∠2的数量关系．要求有简单的推理过程．46．（2022秋•和平区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？47．（2022秋•香洲区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为边作等边三角形BDC，点E在△ABC外，∠CBE＝150°，∠ACE＝60°．（1）直接写出∠ADC的度数为；（2）判断△ACE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥CD，AD＝4，求DE的长．48．（2022秋•汉阴县期中）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，交AD于点E，交AC于点G（1）求证：AE＝AG；（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，若∠C＝30°，求证：AG＝GF＝FC．49．（2022秋•韩城市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数；（2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．50．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P 到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？51．（2022秋•南昌期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s 的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．52．（2022秋•公安县期中）概念学习：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝30°，∠B＝50°，求证：CD为△ABC的等角分割线；（2）如图2，在△ABC中，若∠A＝40°，CD是△ABC的等角分割线，请直接写出∠B的度数．53．（2022秋•江南区期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，填空∠B＝°，∠C＝°；（2）若M为线段BD上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2①求证：△ANE是等腰三角形；②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．54．（2022秋•西湖区校级期中）.探究与发现：在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上（点B、C除外）点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED．（1）如图①，若∠B＝∠C＝45°，①当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；②试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系．（2）深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．要求有简单的推理过程．55．（2022春•鸡西期中）在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．（1）当点D在BC边上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；（2）当点D在BC边的延长线上时，如图②：当点D在BC边反向延长线上时，如图③，请分别猜想出图②、图③中DE、DF、AC之间的数量关系，不需要证明．56．（2022春•武功县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD于点E、O，连接OB，OC．（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；（2）若∠CAD＝24°，求∠OBC的度数．57．（2022秋•南岗区校级期中）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E在直线AB，CD之间，EP平分∠MEN，交直线CD于点P．（1）如图1，若∠AME＝24°，∠EPN＝30°，求∠ENC的度数．（2）如图2，在（1）问的条件下，过点P作PF∥EN，交直线EM于点F，交直线AB于点K，连接NF，交直线AB于点Q，过点F作FG⊥EP于点G；当NF平分∠ENP时，求∠NFG的度数．（3）如图3，已知FG＝6，EH＝3，点E到FN的距离与线段HF的长度之比是2：9，点P到FN的距离等于7，求线段HP的长度．58．（2022春•南城县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．59．（2022秋•巴彦县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，点D是BC边上一点，且AD＝BD，CE 平分∠ACB交AD于点E．（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度数；（2）过点E作EF∥AB，交BD于点F，求证：∠FEC＝3∠3．60．（2022秋•金乡县期中）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．（1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．。

最新人教版八年级上册几何解答证实题专练【1 】1,已知：如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120o,AC的垂直等分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证：BF=2CF.2,已知：E是∠AOB的等分线上一点,EC⊥OA ,ED⊥OB ,垂足分离为C.D．求证：（1）∠ECD=∠EDC ;（2）OE是CD的垂直等分线3.（1）如图(1)点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点,过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA的延伸线于点R.请不雅察AR与AQ,它们相等吗？并证实你的猜测.（2）如图(2)假如点P沿着底边BC地点的直线,按由C向B的偏向活动到CB的延伸线上时,(1)中所得的结论还成立吗？请你在图 (2)中完成图形,并赐与证实.4,.已知△ABC中,AD等分∠BAC,AE为BC边上的高,∠B＝,∠C＝,求∠DAE的度数中,,AB⊥CB,为CB延伸线上一点,点在上,且．（1）求证：;（2）断定直线CF和直线AE的地位关系,并解释来由.6.问题情境：如图①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C（不须要证实）; （1）特例探讨：如图②,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B.C在∠MAN的边AM.AN上,且AB=AC, CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证实：△ABD≌△CAF;（1）归纳证实:如图③,点B.C在∠MAN的边AM.AN上, 点E.F在∠MAN内部的射线AD上,∠1.∠2分离是△ABE.△CAF的外角.已知AB=AC, ∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF;（3）拓展运用：如图④,在△ABC中,AB=AC,AB＞BC.点D在边BC上,CD=2BD,点 E.F在线段AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为.（直接写出答案）7．如图,在直角坐标系中,直线AB交轴于A（1,0）,交轴负半轴于B（0,－5）,C为x轴正半轴上一点,且OC=5OA．（1）求△ABC的面积．（2）延伸BA到P（本身补全图形）,使得PA=AB,求P点的坐标．（3）如图,D是第三象限内一动点,直线BE⊥CD于E,OF⊥OD交BE延伸线于F．当D点活动时,的大小是否产生变更？若转变,请解释来由;若不变,求出这个比值．8.如图：在△ABC中,BE.CF分离是AC.AB双方上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延伸线上截取CG=AB,贯穿连接AD.AG.求证：（1）AD=AG,（2）AD与AG的地位关系若何.9.如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,试解释：△ABC≌△ADE.10.某产品的商标如图所示,O是线段AC.DB的交点,且AC=BD,AB=DC,小林以为图中的两个三角形全等,他的思虑进程是：∵ AC=DB,∠AOB=∠DOC,AB=AC,∴△ABO≌△DCO.你以为小林的思虑进程对吗？假如准确,指出他用的是哪个判别三角形全等的办法;假如不准确,写出你的思虑进程.11..如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.（1）求证△ADC≌△CEB. （2）AD＝5cm,DE＝3cm,求BE的长度.12.如图：在△ABC中,BE.CF分离是AC.AB双方上的高,在BE上截取BD＝AC,在CF的延伸线上截取CG＝AB,贯穿连接AD.AG.猜测AD与AG有何干系？并证实你的结论13.两个等腰直角三角形的三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,点 B.C.E在统一条直线上,衔接DC.EC.（1）请找出图②中的全等三角形,并赐与证实（解释：结论中不得含有未标识的字母）;（2）求证：DC⊥BE.E ABC DEAB CD14.如图,△ABC 是等边三角形,点M 是BC 上随意率性一点,点N 是CA 上随意率性一点, 且BM ＝CN,直线BN 与AM 订交于点Q,就下面给出的两种情形,猜测∠BQM 等于若干度,并运用图②解释结论的准确性15.在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延伸线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF.(1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.16．数学课上,李先生出示了如下框中的标题.在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图.试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.EABCD小敏与同桌小聪评论辩论后,进行了如下解答： （1）特别情形,摸索结论 当点为的中点时,如图1,肯定线段与的大小关系,请你直接写出结论：（填“>”,“<”或“=”）.（2）特例启示,解答标题解：标题中,与的大小关系是：（填“>”,“<”或“=”）.来由如下：如图2,过点作,交于点.（请你完成剩下解答进程）（3）拓展结论,设计新题 在等边三角形中,点在直线上,点在直线上,且.若的边长为F1,,求的长（请你直接写出成果）.17.如图,点是等分线上一点,,垂足分离是.求证：（1）; （2）（3）是线段的垂直等分线.18、如图,已知△ABC 为等边三角形,点D.E 分离在BC.AC 边上, 且AE=CD,AD 与BE 订交于点F ． (1)求证：≌△CAD;(2)求∠BFD 的度数．19.如图甲,在正方形ABCD 中,点 E.F 分离为边BC.CD 的中点,AF.DE 订交于点G,则可得结论：①AF=DE,②AF ⊥DE.(不须要证实)(1)如图乙,若点E.F 不是正方形ABCD 的边BC.CD 的中点,但知足CE=DF.则上面的结论①.②是否仍然成立？(请直接答复“成立”或“不成立”)（3分）(2)如图丙,若点E.F 分离在正方形ABCD 的边CB 的延伸线和DC 的延伸线上,且CE=DF,此时上面的结论①.②是否仍然成立？若成立,请写出证实进程;若不成立,解释来由.20.如图,已知△ABC 和△DEC 都是等边三角形,∠ACB=∠DCE=60°,B.C.E 在统一向线上,贯穿连接BD 和AE. ⑴求证：AE=BD⑵求∠AHB 的度数;⑶求证：DF=GE21.已知,如图,AD ∥BC,∠A ＝90°,AD ＝BE ,∠EDC ＝∠ECD ,请你解释下列结论成立的来由：（1）△AED ≌△BCE,（2）AB ＝AD ＋BC.22.如图,△ABC 为随意率性三角形,以边AB.AC 为边分离向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE,衔接CD.BE 并且订交于点P .求证：⑴CD ＝BE. ⑵∠BPC ＝120°C 图丙G GA A AB BBCD DEFEE F G 图甲图乙C DFH GF_C_E_B_D_A23.如图,在△ABC 中,,AB=AC, 在AB 边上取点D,在AC 延伸线上了取点E ,使CE=BD , 衔接DE 交BC 于点F,求证DF=EF .(提醒：过点D 作DG ∥AE 交BC 于G)24.如图14,中,∠B ＝∠C,D,E,F 分离在,,上,且,求证：．25.如图：在△ABC 中,BE.CF 分离是AC.AB 双方上的高,在BE 上截取BD=AC,在CF 的延伸线上截取CG=AB,贯穿连接AD.AG.求证：（1）AD=AG,（2）AD 与AG 的地位关系若何.26.如图,给出五个等量关系：①②③④⑤．请你以个中两个为前提,另三个中的一个为结论,推出一个准确的结论（只需写出一种情形）,并加以证实.（10分） 已知：AD=BC AC=BD 角D=角C 求证：角DAB=角CBAADE C B图14F BCE得。

平行+线段中点构造全等模型综合应用【结论】如图 AB∥CD 点E、F分别在直线AB、CD上点O为EF 中点则△POE≌△QOF口诀：有中点有平行轻轻延长就能行【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1 DE是△ABC的中位线．求证：．证明：（2）问题解决：如图2 在正方形ABCD中E为AD的中点G、F分别为AB、CD 边上的点若AG＝3 DF＝4 ∠GEF＝90°求GF的长．【解答】（1）已知：如图1 DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC DE＝BC 证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F∴∠A＝∠ACF∠F＝∠ADF∵点E是AC的中点∴AE＝EC∴△ADE≌△CFE（AAS）∴DE＝EF＝DF AD＝CF∵点D是AB的中点∴AD＝DB∴DB＝CF∴四边形DBCF是平行四边形∴DF∥BC DF＝BC∴DE∥BC DE＝BC故答案为：DE∥BC DE＝BC；（2）延长GE CD交于点H∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CD∴∠A＝∠ADH∠AGE＝∠H∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴△AGE≌△DHE（AAS）∴AG＝DH＝3 GE＝EH∵DF＝4∴FH＝DH+DF＝7∵∠GEF＝90°∴FE是GH的垂直平分线∴GF＝FH＝7∴GF的长为7．【变式1-1】已知：AD是△ABC的角平分线点E为直线BC上一点BD＝DE过点E作EF∥AB交直线AC于点F当点F在边AC的延长线上时如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上如图②；当点F在边AC的延长线上AD是△ABC的外角平分线时如图③．写出AF、EF与AB的数量关系并对图②进行证明．【解答】（1）证明：如图①延长AD、EF交于点G∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵EF∥AB∴∠G＝∠BAD∴∠G＝∠CAD∴FG＝AF在△ABD和△GED中∴△ABD≌△GED（AAS）∴AB＝GE∵GE＝FG+EF＝AF+EF∴AF+EF＝AB；（2）结论：AF﹣EF＝AB．证明：如图②延长AD、EF交于点G ∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵EF∥AB∴∠G＝∠BAD∴∠G＝∠CAD∴FG＝AF在△ABD和△GED中∴△ABD≌△GED（AAS）∴AB＝GE∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF∴AF﹣EF＝AB；（3）结论：EF﹣AF＝AB．证明：如图③延长AD交EF于点G ∵AD平分∠P AC∴∠P AD＝∠CAD∵EF∥AB∴∠AGF＝∠P AD∴∠AGF＝∠CAD∠ABD＝∠GED ∴FG＝AF在△ABD和△GED中∴△ABD≌△GED（ASA）∴AB＝GE∵EF﹣FG＝GE∴EF﹣AF＝AB；【变式1-2】如图四边形ABDC中∠D＝∠ABD＝90°点O为BD的中点且OA⊥OC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AB+CD＝AC．【解答】解：（1）如图延长AO交CD的延长线于点E∵O为BD的中点∴BO＝DO在△AOB与△EOD中∴△AOB≌△EOD（ASA）∴AO＝AE又∵OA⊥OC∴AC＝CE∴CO平分∠ACD；（三线合一）（2）由△AOB≌△EOD可得AB＝DE∴AB+CD＝CD+DE＝CE∵AC＝CE∴AB+CD＝AC1．如图在四边形ABCD中AD∥BC E是AB的中点连接DE并延长交CB的延长线于点F点M在BC边上且∠MDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE．（2）连接EM如果FM＝DM判断EM与DF的关系并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD∥BC∴∠ADE＝∠BFE∵E为AB的中点∴AE＝BE在△AED和△BFE中∴△AED≌△BFE（AAS）；（2）解：EM与DM的关系是EM垂直且平分DF；理由如下：连接EM如图所示：由（1）得：△AED≌△BFE∴DE＝EF∵∠MDF＝∠ADF∠ADE＝∠BFE ∴∠MDF＝∠BFE∴FM＝DM∴EM⊥DF∴ME垂直平分DF．2．△ABC中P是BC边上的一点过P作直线交AB于M交AC的延长线于N且PM ＝PN MF∥AN（1）求证：△PMF≌△PNC；（2）若AB＝AC求证：BM＝CN．【解答】（1）证明：∵MF∥AN∴∠MFP＝∠NCP在△PMF和△PNC中∴△PMF≌△PNC（AAS）；（2）证明：由（1）得：△PMF≌△PNC∴FM＝CN∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∵MF∥AN∴∠MFB＝∠ACB∴∠B＝∠MFB∴BM＝FM∴BM＝CN．3．如图在四边形ABCD中AD∥BC E是AB的中点连接DE并延长交CB的延长线于点F点G在边BC上且∠GDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG判断EG与DF的位置关系并说明理由．（3）求证：AD+BG＝DG．【解答】解：（1）如图1 ∵E是AB的中点∴AE＝BE∵AD∥BC∴∠A＝∠ABF∠ADE＝∠F∴△ADE≌△BFE；（2）如图2 EG⊥DF理由是：∵∠ADF＝∠F∠ADF＝∠GDF∴∠F＝∠GDF∴DG＝FG由（1）得：△ADE≌△BFE∴DE＝EF∴EG⊥FD；（3）如图2 由（1）得：△ADE≌△BFE∴AD＝BF∵FG＝BF+BG∴FG＝AD+BG∵FG＝DG∴AD+BG＝DG．4．如图已知AB＝12 AB⊥BC于B AB⊥AD于A AD＝5 BC＝10．点E是CD的中点求AE的长．【解答】解：如图延长AE交BC于F．∵AB⊥BC AB⊥AD∴∠D＝∠C∠DAE＝∠CFE又∵点E是CD的中点∴DE＝CE．∵在△AED与△FEC中∴△AED≌△FEC（AAS）∴AE＝FE AD＝FC．∵AD＝5 BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中∴AE＝AF＝6.5．5．阅读理解（1）如图①△ABC中D是BC中点连接AD直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？相等（S表示面积）；应用拓展（2）如图②已知梯形ABCD中AD∥BC E是AB的中点连接DE、EC试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；解决问题（3）现有一块如图③所示的梯形试验田想种两种农作物做对比实验用一条过D点的直线将这块试验田分割成面积相等的两块画出这条直线并简单说明另一点的位置．【解答】解：（1）如图①过点A作AE⊥BC于E．∵D是BC中点又∵S△ABD＝•BD•AE S△ADC＝•CD•AE∴S△ABD＝S△ADC．故答案为相等；（2）如图②延长DE交CB的延长线于点F．∵E是AB的中点∴AE＝BE．∵AD∥BC∴∠ADE＝∠BFE．在△DAE与△FBE中∴△DAE≌△FBE（AAS）∴DE＝FE S△DAE＝S△FBE∴E是DF中点∴S△DEC＝S△FEC＝S△BFE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC∴S△DEC＝S△ADE+S△EBC；（3）如图所示：取AB的中点E连接DE并延长交CB的延长线于点F取CF的中点G作直线DG 则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．6．如图直角△ABC∠ABC＝90°分别以AB、AC为直角边作等腰直角△ABD、△ACE 连接DE交AB于F求证：BC＝2AF．【解答】证明：在AB上取点M使AM＝BC连接DM∵△ABD是等腰直角三角形∴AB＝AD∠BAD＝90°∴∠ABC＝∠DAM∴△ABC≌△DAM（SAS）∴AC＝DM∠AMD＝∠ACB∵AC＝AE∴AE＝DM∵∠ACB＝∠DAC∴∠AMD＝∠DAC∵∠CAE＝∠DAB＝90°∴∠DAN＝∠BAE∴∠AMD＝∠BAE∵∠AFE＝∠DFM∴△DMF≌△EAF（AAS）∴AF＝FM∴BC＝AM＝2AF．7．如图梯形ABCD中AD∥BC E是CD的中点AE平分∠BAD AE⊥BE．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE＝4 求梯形ABCD的面积．【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M如图所示：∵AD∥BC∴∠M＝∠DAE∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝∠BAE∴∠BAE＝∠M∴AB＝MB∵AE⊥BE∴∠ABE＝∠CBE∴BE平分∠ABC；（2）证明：∵AB＝MB BE⊥AE∴AE＝ME∵E是CD的中点∴DE＝CE在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE（SAS）∴AD＝MC∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；（3）解：∵AB＝MB AE＝ME∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4∴△ABM的面积＝2×4＝8∵△ADE≌△MCE∴△ADE的面积＝△MCE的面积∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．8．如图在梯形ABCD中AD∥BC E是AB的中点．（1）求证：S△CED＝S△ADE+S△BCE．（2）当CE＝DE时判断BC与CD的位置关系并说明理由．【解答】（1）证明：延长DE交CB的延长线于F∵AD∥CF∴∠A＝∠ABF∠ADE＝∠F∵E是AB中点∴AE＝BE在△AED与△BEF中∴△AED≌△BEF（AAS）∴DE＝EF S△AED＝S△EBF∴S△DEC＝S△EFC＝S△ADE+S△BCE．（2）解：当CE＝DE时BC⊥CD．理由：∵△AED≌△BEF∴DE＝EF∵CE＝DE∴CE＝DE＝EF∴∠F＝∠ECF∠ECD＝∠CDE∵∠F+∠ECF+∠ECD+∠CDE＝180°∴∠FCD＝90°∴BC⊥CD．。

对角互补模型综合应用应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。

【类型一：三角形中的互补模型模型】【典例1】（1）如图（1）在△ABC中D是BC边上的中点DE⊥DF DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF．若∠A＝90°探索线段BE、CF、EF之间的数量关系并加以证明；（2）如图（2）在四边形ABDC中∠B+∠C＝180°DB＝DC∠BDC＝120°以D为顶点作一个60°角角的两边分别交AB、AC于E、F两点连接EF探索线段BE、CF、EF之间的数量关系并加以证明．【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2理由如下：如图（1）延长ED到G使DG＝ED连接CG FG在△DCG与△DBE中∴△DCG≌△DBE（SAS）∴DG＝DE CG＝BE∠B＝∠DCG又∵DE⊥DF∴FD垂直平分线段EG∴FG＝FE∵∠A＝90°∴∠B+∠ACB＝90°∴∠FCG＝90°在△CFG中CG2+CF2＝FG2∴EF2＝BE2+CF2（2）如图（2）结论：EF＝EB+FC理由如下：延长AB到M使BM＝CF∵∠ABD+∠C＝180°又∠ABD+∠MBD＝180°∴∠MBD＝∠C在△BDM和△CDF中∴△BDM≌△CDF（SAS）∴DM＝DF∠BDM＝∠CDF∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF在△DEM和△DEF中∴△DEM≌△DEF（SAS）∴EF＝EM∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．【变式1】（1）阅读理解：如图①在△ABC中若AB＝5 AC＝3 求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD再连接BE这样就把AB AC2AD集中在△ABE中利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②在△ABC中D是BC边的中点DE⊥DF于点D DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF此时：BE+CF EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③在四边形ABCD中∠B+∠D＝180 CB＝CD∠BCD＝140°以C为顶点作∠ECF＝70°边CE CF分别交AB AD于E F两点连接EF此时：BE+DF EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形ABCD中∠ECF＝α（0°＜α＜90°）∠B+∠D＝180 CB ＝CD且（3）中的结论仍然成立则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE＝AC＝3在△ABE中AB﹣BE＜AE＜AB+BE即2＜AE＜8∴2＜2AD＜8∴1＜AD＜4故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；（2）如图延长FD至点G使DG＝DF连接BG EG∵点D是BC的中点∴DB＝DC∵∠BDG＝∠CDF DG＝DF∴△BDG≌△CDF（SAS）∴BG＝CF∵ED⊥FD FD＝GD∴EF＝EG在△BEG中BE+BG＞EG∴BE+CF＞EF故答案为：＞；（3）BE+DF＝EF如图延长AB至点G使BG＝DF连接CG∵∠ABC+∠D＝180°∠ABC+∠CBG＝180°∴∠CBG＝∠D又∵CB＝CD BG＝DF∴△CBG≌△CDF（SAS）∴CG＝CF∠BCG＝∠DCF∵∠BCD＝140°∠ECF＝70°∴∠DCF+∠BCE＝70°∴∠BCE+∠BCG＝70°∴∠ECG＝∠ECF＝70°又∵CE＝CE CG＝CF∴△ECG≌△ECF（SAS）∴EG＝EF∵BE+BG＝EG∴BE+DF＝EF故答案为：＝；（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF∴CG＝CF∠BCG＝∠DCF若BE+DF＝EF则EG＝EF∴△ECF≌△ECG（SSS）∴∠ECG＝∠ECF∴∠BCD＝2∠ECF＝2α故答案为：2α．【类型二：四边形中的互补模型】【典例2】（1）如图1 四边形ABCD是边长为5 cm的正方形E F分别在AD CD边上∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：如图2 延长EA到H使AH＝CF连接BH先证△ABH≌△CBF再证△EBH≌△EBF得EF＝EH从而得到△DEF的周长＝cm；（2）如图3 在四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝100°∠B＝∠ADC＝90°．E F 分别是线段BC CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF BE FD之间的数量关系；（3）如图4 若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是线段BC CD上的点且2∠EAF＝∠BAD（2）中的结论是否仍然成立若成立请证明若不成立请说明理由；（4）若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°点E、F分别在CB、DC的延长线上且2∠EAF＝∠BAD请画出图形并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1 延长EA到H使AH＝CF连接BH∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm∠BAD＝∠BCD＝90°∴∠BAH＝∠BCF＝90°又∵AH＝CF AB＝BC∴△ABH≌△CBF（SAS）∴BH＝BF∠ABH＝∠CBF∵∠EBF＝45°∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF∴∠EBH＝∠EBF又∵BH＝BF BE＝BE∴△EBH≌△EBF（SAS）∴EF＝EH∴EF＝EH＝AE+CF∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）．故答案为：10．（2）EF＝BE+DF．证明：如图2所示延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠BAD＝100°∠EAF＝50°∴∠BAE+∠F AD＝∠DAG+∠F AD＝50°∴∠EAF＝∠F AG＝50°在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF＝FG＝DF+DG∴EF＝BE+DF；（3）成立．证明：如图3 延长EB到G使BG＝DF连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°∠ABG+∠ABC＝180°∴∠ABG＝∠D∵在△ABG与△ADF中∴△ABG≌△ADF（SAS）∴AG＝AF∠BAG＝∠DAF∵2∠EAF＝∠BAD∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF ∴∠GAE＝∠EAF又AE＝AE∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EG＝EF∵EG＝BE+BG∴EF＝BE+FD；（4）EF＝DF﹣BE理由如下：在DF上截取DH使DH＝BE∵∠ABC+∠ADC＝180°∠ABC+∠ABE＝180°∴∠ABE＝∠ADH且AB＝AD DH＝BE∴△ABE≌△ADH（SAS）∴∠BAE＝∠DAH AH＝AE∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAH+∠BAF＝∠BAD∴∠HAF＝∠BAD＝∠EAF且AF＝AF AE＝AH∴△F AH≌△F AE（SAS）∴HF＝EF∴EF＝HF＝DF﹣DH＝DF﹣BE【变式2-1】如图在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是边BC CD上的点且∠EAF＝∠BAD求证：EF＝BE+FD．【解答】证明：延长CB至M使BM＝FD连接AM如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°∠ABM+∠ABC＝180°∴∠ABM＝∠D在△ABM与△ADF中∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AF＝AM∠BAM＝∠DAF∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠F AE∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF即∠MAE＝∠EAF在△AME与△AFE中∴△AME≌△AFE（SAS）∴EF＝ME∵ME＝BE+BM∴EF＝BE+FD．【变式2-2】“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料猜想结论并填空然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝120°∠B＝∠ADC＝90°E F 分别是BC CD上的点且∠EAF＝60°．探究图中线段BE EF FD之间的数量关系．探究的方法是延长FD到点G．使DG＝BE连接AG先证明△ABE≌△ADG再证明△AEF≌△AGF可得出的结论是．探索问题：（2）如图2 若四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是BC CD 上的点且∠EAF＝∠BAD上述结论是否仍然成立？成立的话请写出推理过程．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF ∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF．1．阅读理解：课外兴趣小组活动时老师提出了如下问题：如图1 △ABC中若AB＝5 AC＝3 求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法：延长AD到E使得DE＝AD再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）把AB、AC、2AD集中在△ABE中利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8 则1＜AD＜4．感悟：解题时条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（1）问题解决：受到（1）的启发请你证明下面命题：如图2 在△ABC中D是BC边上的中点DE ⊥DF DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°探索线段BE、CF、EF之间的等量关系并加以证明；（2）问题拓展：如图3 在四边形ABDC中∠B+∠C＝180°DB＝DC∠BDC＝120°以D为顶点作一个60°角角的两边分别交AB、AC于E、F两点连接EF探索线段BE、CF、EF之间的数量关系并加以证明．【解答】解：①延长FD到G使得DG＝DF连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD）∴CF＝BG DF＝DG∵DE⊥DF∴EF＝EG．在△BEG中BE+BG＞EG即BE+CF＞EF．（4分）②若∠A＝90°则∠EBC+∠FCB＝90°由①知∠FCD＝∠DBG EF＝EG∴∠EBC+∠DBG＝90°即∠EBG＝90°∴在Rt△EBG中BE2+BG2＝EG2∴BE2+CF2＝EF2；（3分）（2）将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．∵∠C+∠ABD＝180°∠4＝∠C∴∠4+∠ABD＝180°∴点E、B、G在同一直线上．∵∠3＝∠1 ∠BDC＝120°∠EDF＝60°∴∠1+∠2＝60°故∠2+∠3＝60°即∠EDG＝60°∴∠EDF＝∠EDG＝60°∵DE＝DE DF＝DG∴△DEG≌△DEF∴EF＝EG＝BE+BG即EF＝BE+CF．（4分）2．如图△ABC中AB＝AC点D为△ABC内一点其中AD平分∠BAC且∠CBD＝30°点E为AC中点EF⊥AC交BD延长线于点F连接AF、CF．（1）求∠ADF的大小；（2）求证：△ACF是等边三角形；（3）猜想AD、BD、DF的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）延长AD交BC于点M∵AB＝AC AD平分∠BAC∴AM⊥BC∵∠CBD＝30°∴∠BDM＝90°﹣∠CBD＝60°∴∠ADF＝∠BDM＝60°；（2）由（1）知∠ADC＝∠BDC＝120°∵∠ADF＝60°∴∠CDF＝60°过点F作FG⊥AD于点G FH⊥DC于点H∴FG＝FH∵EF⊥AC E为AC的中点∴AF＝CF在Rt△AGF和Rt△CHF中∴Rt△AGF≌Rt△CHF（HL）∴∠AFG＝∠CFH∵∠DGF＝∠H＝90°∠DGF+∠H+∠GDH+∠GFH＝360°∴∠GDH+∠GFH＝180°∵∠GDH＝120°∴∠GFH＝60°∴∠AFC＝∠AFG+∠GFC＝∠CFH+∠GFC＝60°又∵AF＝CF∴△ACF为等边三角形；（3）DF＝AD+BD．理由：在BF上截取PF＝BD连接AP∵△ACF为等边三角形∴AF＝AC又∵AF＝AC∴AB＝AF∴∠ABD＝∠AFP∴△ABD≌△AFP（SAS）∴AD＝AP又∵∠ADP＝60°∴△ADP为等边三角形∴AD＝DP∴DF＝DP+PF＝AD+BD．3．（1）问题背景．如图1 在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG先证明△ABE ≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF可得出结论他的结论应是．（2）猜想论证．如图2 在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠ADC＝180°E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立试写出相应的结论并给出你的证明．【解答】解：延长FD到点G．使DG＝BE连接AG∵∠B+∠ADF＝180°∠ADF+∠ADG＝180°∴∠ADG＝∠B在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠BAD＝2∠EAF∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△AGF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+FD不成立结论：EF＝BE﹣FD．理由如下：证明：如图2中在BE上截取BG使BG＝DF连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°∠ADF+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF AG＝AF．∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．∵∠BAD＝2∠EAF∴∠GAF＝2∠EAF∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD4．通过类比联想引申拓展研究典型题目可达到解一题知一类的目的下面是一个案例请补充完整．原题：如图1 点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上∠EAF＝45°连接EF试猜想EF、BF、DE之间的数量关系．（1）思路梳理把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG可使AD与AB重合由∠ABG＝∠D＝90°得∠FBG＝180°即点F、B、G共线易证△AFG≌故EF、BF、DE之间的数量关系为．（2）类比引申如图②在四边形ABCD中AB＝AD∠ABC＝∠ADC＝90°．E、F分别是DC、BC 上的点．且∠EAF＝∠BAD．猜想图中线段BF、EF、DE之间的数量关系．（3）拓展提高如图③若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝∠BAD探究上述结论是否仍然成立？说明理由．【解答】解：（1）思路梳理：如图①把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG可使AD与AB重合即AB＝AD 由旋转得：∠ABG＝∠D＝90°DE＝BG∠1＝∠2 AE＝AG∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°即点F、B、G共线∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD＝90°∵∠EAF＝45°∴∠DAE+∠B＝∠F AG＝45°∴∠EAF＝∠F AG＝45°在△AFE和△AFG中∴△AFE≌△AFG（SAS）∴EF＝FG∴EF＝BF+BG＝BF+DE；故答案为：△AFE EF＝BF+DE；（2）类比引申如图②把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG可使AD与AB重合即AB＝AD 由旋转得：∠ABG＝∠D＝90°DE＝BG∠GAB＝∠DAE AE＝AG∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°即点F、B、G共线∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAE+∠BAF＝BAD∴∠GAF＝∠EAF在△AFE和△AFG中∴△AFE≌△AFG（SAS）∴EF＝FG∴EF＝BF+BG＝BF+DE；（3）拓展提高结论DE+BF＝EF仍然成立理由如下：如图③将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转可得AH＝AE BH＝DE∠1＝∠2∵∠EAF＝∠DAB∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD∴∠HAF＝∠EAF∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°∴点H、B、F三点共线在△AEF和△AHF中∴△AEF≌△AHF（SAS）∴EF＝HF∵HF＝BH+BF∴EF＝DE+BF．5．如图1 在四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝120°∠B＝∠ADC＝90°EF分别是BC CD上的点且∠EAF＝60°探究图中线段BE EF FD之间的数量关系．（1）提示：探究此问题的方法是延长FD到点G使DG＝BE连接AG先证明△ABE ≌△ADG再证明△AEF≌△AGF．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．（2）探索延伸：如图2 若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是BC CD上的点且∠EAF＝∠BAD上述结论是否仍然成立？（成立或不成立）（3）实际应用：如图3 在某次军事演习中舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进 1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E F处且两舰艇之间夹角为70°试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：如图1 延长FD到G使DG＝BE连接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△GAF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；（2）EF＝BE+DF仍然成立．证明：如图2 延长FD到G使DG＝BE连接AG∵∠B+∠ADC＝180°∠ADC+∠ADG＝180°∴∠B＝∠ADG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF ∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△GAF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；故答案是：成立；（3）如图3 连接EF延长AE、BF相交于点C∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°∠EOF＝70°∴∠EOF＝∠AOB又∵OA＝OB∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°∴符合探索延伸中的条件∴结论EF＝AE+BF成立即EF＝1.5×（60+80）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．6．在四边形ABCD中AB＝AD∠B＝∠D＝90°∠BCD＝120°现将一个30°角的顶点落在点A处．（1）如图①当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；（2）现在将该角绕点A进行旋转其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立试探究线段BE与DF之间的等量关系并加以证明．（利用图②进行探索）【解答】解：（1）如图①延长CB到H点使BH＝DF连接AH∵∠B＝∠D＝90°∠BCD＝120°∴∠D+∠B＝180°∵∠ABE+∠ABH＝180°∴∠ABH＝∠D∵AD＝AB BH＝DF∴在△ABH和△ADF中∴△ABH≌△ADF（SAS）∴AH＝AF∠HAB＝∠F AD∵∠DAB＝60°∠F AE＝30°∴∠F AD+∠BAE＝30°∴∠BAE+∠HAB＝30°即∠HAE＝30°在△HAE和△EAF中∴△HAE≌△F AE（SAS）∴HE＝EF∵HE＝HB+BE＝DF+BE∴EF＝BE+DF；（2）（1）中的结论不成立如图②在BC上截取BH＝DF在△ABH与△ADF中∴△ABH≌△ADF∴∠BAH＝∠DAF AH＝AF∴∠EAF＝30°∴∠BAH+∠EAD＝30°∵∠B＝∠D＝90°∠BCD＝120°∴∠BAD＝60°∴∠HAE＝30°在△HAE与△F AE中∴△HAE≌△F AE∴HE＝EF∵BE＝BH+HE∴BE＝DF+EF．7．【初步探索】（1）如图1：在四边形ABCD中AB＝AD∠B＝∠ADC＝90°E、F分别是BC、CD 上的点且EF＝BE+FD探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G使DG＝BE．连接AG先证明△ABE ≌△ADG再证明△AEF≌△AGF可得出结论他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2 若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD 上的点且EF＝BE+FD上述结论是否仍然成立并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3 已知在四边形ABCD中∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD若点E在CB 的延长线上点F在CD的延长线上如图3所示仍然满足EF＝BE+FD请写出∠EAF与∠DAB的数量关系并给出证明过程．【解答】解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1 延长FD到点G使DG＝BE连接AG根据SAS可判定△ABE≌△ADG进而得出∠BAE＝∠DAG AE＝AG再根据SSS可判定△AEF≌△AGF可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立理由：如图2 延长FD到点G使DG＝BE连接AG∵∠B+∠ADF＝180°∠ADG+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADG又∵AB＝AD∴△ABE≌△ADG（SAS）∴∠BAE＝∠DAG AE＝AG∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF AF＝AF∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3 在DC延长线上取一点G使得DG＝BE连接AG ∵∠ABC+∠ADC＝180°∠ABC+∠ABE＝180°∴∠ADC＝∠ABE又∵AB＝AD∴△ADG≌△ABE（SAS）∴AG＝AE∠DAG＝∠BAE∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF AF＝AF∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∠F AE＝∠F AG∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°即2∠F AE+∠DAB＝360°∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．。