八年级上册数学几何证明定理

B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

简记为HL 。

1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（ ）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（ ）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （ ） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （ ） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （ ） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （ ） ________3、【应用练习】 选择题1．下列说法正确的有（ ）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ， 且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边 所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ， 求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。

数学八年级上册勾股定理一、勾股定理的内容1. 定理表述- 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，根据勾股定理，斜边c满足3^2+4^2=c^2，即9 + 16=c^2，c^2=25，所以c = 5。

2. 定理的证明- 赵爽弦图证明法- 赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。

- 设直角三角形的两条直角边分别为a、b（b>a），斜边为c。

大正方形的面积可以表示为c^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。

- 四个直角三角形的面积为4×(1)/(2)ab = 2ab，中间小正方形的边长为b - a，其面积为(b - a)^2=b^2-2ab+a^2。

- 所以c^2=a^2+b^2。

- 毕达哥拉斯证法（拼图法）- 用四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成一个以a + b为边长的正方形。

- 这个大正方形的面积为(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间边长为c的正方形的面积，即4×(1)/(2)ab+c^2=2ab +c^2。

- 所以a^2+b^2=c^2。

二、勾股定理的应用1. 已知直角三角形的两边求第三边- 当已知两条直角边求斜边时，直接使用c=√(a^2)+b^{2}。

例如，直角边a = 6，b = 8，则c=√(6^2)+8^{2}=√(36 + 64)=√(100)=10。

- 当已知一条直角边和斜边求另一条直角边时，使用a=√(c^2)-b^{2}（设c为斜边，b为已知直角边）。

例如，斜边c = 13，一条直角边b = 5，则a=√(13^2)-5^{2}=√(169 - 25)=√(144)=12。

2. 解决实际问题中的直角三角形问题- 例如，在一个长方形中，已知长为8米，宽为6米，求对角线的长度。

八上数学定理的几何表达一、三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

几何表达式：在△ABC中，AB+AC＞BC;AB-AC＜BC;二、三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。

几何表达式：（1）∵AH是ΔABC的高∴∠AHC=90°（垂直定义）(2) ∵∠AHC=90°∴AH是ΔABC的高（判定垂直）三、三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.几何表达式：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = CD（性质）(2) ∵BD = CD∴AD是三角形的中线（判定）四、三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.几何表达式：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）五、三角形的内角和与外角和（1）三角形的内角和180°；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

（1）在△ABC中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°（2）在Rt△ABC中，∵∠B=90°∴∠A+∠C=90°（3）∠ACD=∠A+∠B（4）∠ACD>∠A∠ACD>∠B六、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。

∵△ABC≌△DEF∴AB=DE, AC=DF, BC=EF∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.七、全等三角形的判定1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS）2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS）3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA）4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS）5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）在△ABC和△DEF中AB＝DEAC＝DFBC＝EFAB＝DE∴△ABC≌△DEF（SAS）（3）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）（4）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）（5）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）或在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）∠A＝∠D∠B＝∠EAB＝DE∠A＝∠DBC＝EF∠B＝∠EAC＝A′C′AB＝A′B′BC＝B′C′AB＝A′B′八、角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。

初中数学如何证明勾股定理在平面直角坐标系中的几何意义。

在平面直角坐标系中，我们可以使用几何方法证明勾股定理的几何意义。

以下是证明过程：假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，点C的坐标为(x₃, y₃)。

根据直角三角形的性质，我们可以知道点A到点B的距离为AB，点B到点C的距离为BC，点A到点C的距离为AC。

根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式，我们可以得到：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²)我们要证明的是：AB² + BC² = AC²。

将上述三个式子代入上式，得到：(√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²))² + (√((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²))² = (√((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²))²化简得到：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)² = (x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²进一步化简得到：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)² - (x₃ - x₁)² - (y₃ - y₁)² = 0我们可以将上式分成两部分进行证明：第一部分：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² - (x₃ - x₁)² - (y₃ - y₁)² = 0将(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²展开得到：(x₂² - 2x₁x₂ + x₁²) + (y₂² - 2y₁y₂ + y₁²) - (x₃² - 2x₁x₃ + x₁²) - (y₃² - 2y₁y₃ + y₁²) = 0化简得到：x₂² + y₂² - x₃² - y₃² = 2x₁(x₃ - x₂) + 2y₁(y₃ - y₂)我们知道∠C为直角，所以直角三角形ABC中AB和BC垂直，即斜率之积为-1。

初中数学所有几何证明定理初中数学中的几何证明定理有很多，下面列举一些较为常见和重要的：1.垂线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线垂直于另一条直线，那么相交的两条直线分成的两对相邻角互为互补角。

证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，且直线AB垂直于直线CD，那么∠AOC和∠BOD构成一对互补角，同时∠AOD和∠BOC构成一对互补角。

2.同位角定理：如果两条平行线被一条横截线相交，那么相交的各对同位角相等。

证明：假设平行线AB与CD被平行于它们的条横截线EF相交于点O，那么∠AEO和∠COF，∠FEO和∠DOF互相等。

3.对顶角定理：如果两条直线AB和CD相交，那么由相交而分成的四个角中的相邻角互为对顶角。

证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，那么∠AOB和∠COD、∠BOC和∠AOD互为对顶角。

4.垂直角定理：如果两条直线AB和CD相交，那么由相交而分成的四个角中的互为相对角的两对角中，有一对互为垂直角。

证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，那么∠AOC和∠BOC互为相对角，如果直线AB与直线CD垂直，那么∠AOC和∠BOC互为垂直角。

5.三角形的内角和定理：一个三角形的内角的和等于180°。

证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，以AB为边作一个封闭的三角形ABC，再以BC为边作一个封闭的三角形ACB。

根据同位角定理，∠BAC+∠BCE=∠ACB+∠ACD，即∠BAC+∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠BCE，因此∠BAC+∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACB，即∠BAC+∠ACB+∠ACB=180°。

6.线段的三等分定理：对于线段AB上的任意一点C，如果AC与CB 的长度相等，那么AC与CB将线段AB分为三个相等的部分。

证明：利用数学归纳法，首先取一点D在线段AB上，并且AD的长度为BD的两倍，那么根据线段的加法性质，我们有AB=AD+BD=AD+AD=2AD。