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i1 j1 i2 j2
in jn
所以
a11 a12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2n = ⋯ ⋯⋯⋯
an1 an2 ⋯ ann
∑ (−1) a a ⋯ a N (i1 ,i2 ,⋯in )+ N ( j1 , j2 ,⋯ jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1 ,i2 ,⋯in
j1 , j2 ,⋯ jn
+a41a22a13a34 + a41a32a14a23 −a11a22a34a43 − a11a32a23a44
−a11a42a24a33 − a21a12a33a44 − a21a32a14a43 − a21a42a13a34 −a31a12a24a43 − a31a22a13a44 − a31a42a14a23 − a41a12a23a34 −a41a22a14a33 − a41a32a13a24
N (23154) = 2 +0 +0 +1 +0 = 3 说明： 1) 任一个排列的逆序数都是大于等于0的整数；
2) 相同的数码如果排列的顺序不同，则相对应 的排列的逆序数就不同;
3) 不论是第一方法还是第二方法，计算逆序数 时有几个数码就有几项相加；
例1：求出下列排列的逆序数并确定它的奇偶性. 1) 5级排列 25413
2) 当 j1, j2 ,⋯ jn是奇排列时，该项带有负号；
这一定义可直接写成
a11 a12 ⋯ a1n
a21 ⋯
a22 ⋯
⋯ ⋯
∑ (−1) a a ⋯a a2n =
⋯ j1 , j2 ,⋯ jn
N ( j1 , j2 ,⋯ jn )
1 j1 2 j2
njn
an1 an2 ⋯ ann
n级行列式的第二定义： 由 n2 个元素 aij (i, j = 1, 2,⋯ n)组成的记号
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2n ⋯ ⋯⋯⋯ an1 an2 ⋯ ann 它等于所有取自不同行不同列的 n个元素的乘积
ai11ai2 2 ⋯ ainn 的代数和，这里 i1, i2 ,⋯ in 是 1, 2,⋯ n 的一个排列,
4
每一项都按下列规则带有符号： 1) 当 i1, i2 ,⋯in是偶排列时，该项带有正号； 2) 当 i1, i2 ,⋯in 是奇排列时，该项带有负号；
排列12345 (自然排列) 所以排列 15243是偶排列；
2
定理3 n个数码 (n > 1) 共有 n!个 n级排列，其 中奇偶排列各占一半. 例如：列出由1, 3,4这3个数码组成的所有排列， 并说出所有排列的奇偶性. 解：由 1, 3,4这3个数码组成排列数共有
3i2i1 = 3! = 6 种；而且这6个3级排列就分别为
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2n
⋯ ⋯⋯⋯
an1 an2 ⋯ ann
它等于所有取自不同行不同列的 n个元素的乘积
a a ⋯ a i1 j1 i2 j2
in jn
的代数和，这里 i1, i2 ,⋯ in和 j1, j2 ,⋯ jn都是1, 2,⋯ n
的一个排列，且一般项为：
(−1) a a ⋯ a N (i1 ,i2 ,⋯in )+ N ( j1 , j2 ,⋯ jn )
2
二、n 阶行列式的定义 二阶行列式
a11 a12 = a11a22 − a21a12 a21 a22
三阶行列式
a11 a12 a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
a21 a22 a23 a31 a32 a33
−a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
如果一个排列经过奇数次对换变成自然排列， 那么这个排列就是奇排列；
如果一个排列经过偶数次对换变成自然排列， 那么这个排列就是偶排列；
例如 确定下列排列的奇偶性. 1)12543 2)15243 解：1) 排列12543 对换(5, 3) 排列12345(自然排列)
所以排列 12543是奇排列； 2) 排列15243 对换(5, 2) 排列 12543 对换(5, 3)
这一定义可直接写成
a11 a12 ⋯ a1n
a21 ⋯
a22 ⋯
⋯ ⋯
∑ (−1) a a ⋯a a2n =
⋯ i1 ,i2 ,⋯in
N ( i1 ,i2 ,⋯in )
i1 1 i2 2
inn
an1 an2 ⋯ ann
n级行列式的第三定义： 由 n2 个元素 aij (i, j = 1, 2,⋯ n)组成的记号
所以 i = 3, k = 6
4. 排列的对换 在一个排列 i1 ⋯ is ⋯it ⋯ in中，如果仅将它的两
个数码 is与 it对调，其它数码不变，得到另一
个排列
i1 ⋯ it ⋯ is ⋯ in
这样的变换，称为一个对换，记为对换 (is , it ).
例如
排列21354 对换 (1, 4) 排列 24351
说明：
1) 行列式的行数和列数是相等的；如果行数 和列数不等，行列式无意义；
2) 一般我们常用大写字母 D表示行列式；
即
a11 a12 ⋯ a1n
D = a21 a22 ⋯ a2n ⋯ ⋯⋯⋯
an1 an2 ⋯ ann
3) 一阶行列式 a = a 在线性代数中，a 表示的是行列式，不是绝对 值，因此不论 a > 0还是 a < 0 ，都有 a = a
说明：
二阶行列式
三阶行列式
(1)项数 (2)每项构成
2阶行列式含2项 (恰好就是 2!项)
3阶行列式含6项 (恰好就是 3!项)
每项分别是位于不 每项分别是位于不
同行不同列的2个元 同行不同列的3个元
素的乘积
素的乘积
有2项，其中1正1负 有6项，其中3正3负
(3)各项符号
如果这一项中元素的行标按自然数顺序 排列后，那么对应的列标构成的排列是 偶排列就取正号，是奇排列就取负号.
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
+a11a42a23a34 + a21a12a34a43
a41 a42 a43 a44 +a21a32a13a44 + a21a42a14a33
+a31a12a23a44 + a31a22a14a43 + a31a42a13a24 + a41a12a24a33
1的后面没有比1小的数，故有0个逆序； 5的后面比5小的数只有4，故又有1个逆序； 4排在最后，所以没有比4小的数，故有0个逆序;
23154
1101 0 于是排列 23154的逆序数为
N (23154) = 1 +1 +0 +1 +0 = 3
② 分别算出排在1, 2,⋯, n前面比它大的数码个数 之和，即逐一算出1, 2,⋯, n这n个元素的逆序数；
n 阶行列式
(1)项数
n阶行列式含 n!项
(2)每项构成 每项分别是位于不同行不同列的 n个元 素的乘积
(3)各项符号
有 n!项，其中 n! 项是正号，n!是负号 如果这一项中元2素的行标按自2然数顺序 排列后，那么对应的列标构成的排列是 偶排列就取正号，是奇排列就取负号.
1. n级行列式的定义 由 n2 个元素 aij (i, j = 1, 2,⋯ n)组成的记号 a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2n
四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 = a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
(1)项数： 4! = 24项 (2)每项构成：每项分别是位于不同行不同列的4
个元素的乘积
4阶行列式中的24项为： a11a22a33a44 , a11a32a24a43 , a11a42a23a34 , a21a12a34a43 , a21a32a13a44 , a21a42a14a33 , a31a12a23a44 , a31a22a14a43 , a31a42a13a24 , a41a12a24a33 , a41a22a13a34 , a41a32a14a23 , a11a22a34a43 , a11a32a23a44 , a11a42a24a33 , a21a12a33a44 , a21a32a14a43 , a21a42a13a34 , a31a12a24a43 , a31a22a13a44 , a31a42a14a23 , a41a12a23a34 , a41a22a14a33 , a41a32a13a24 ,
3
(3)各项符号：
例如：
a11a22a33a44 N (1234) = 0
+
a11a22a34a43 N (1243) = 1
−
a12a21a33a44 N (2134) = 1
−
a12a21a34a43 N (2143) = 2
+
⋯⋯
四阶行列式
a11 a12 a13 a14 = a11a22a33a44 + a11a32a24a43
例如 求5级排列 23154的逆序数； 解：在排列 23154中， 1的前面比1大的数有2和3，故有2个逆序； 2的前面没有比2大的数，故有0个逆序; 3的前面没有比3大的数，故有0个逆序； 4的前面比4大的数有一个是5，故又有1个逆序； 5的前面没有比5大的数，故只有0个逆序；
于是排列 23154 的逆序数为
排列对换的重要结论： 定理１任意一个排列经过一个对换后奇偶性改 变. 例如
4级排列1358 N (1358) = 0+0 +0+0 = 0 偶排列
