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n阶行列式的计算方法n阶行列式的计算方法摘要：行列式的计算是大学高等代数的重要内容之一，也是学习的一个难点。
本文第一部分主要探讨常见一般阶行列式计算方法，第二部分讨论一类阶抽象行列式的计算方法。
关键词:行列式矩阵计算方法Abstract：Computing the determinant is an important part of advanced algebra in university, and is also the difficulty in learning. In the first part, calculation methods of the n-order determinant were discussed; second is the methods of computing a class of n-order abstract determinant.Keywords：determinant matrix calculation method0 引言一般阶行列式的计算问题是数学系高等代数教学的一个重要内容，同时也是一个难点。
能否学好关系到以后高等代数的进一步学习，还会影响到学生学习高等数学的积极性。
因此，在查阅很多相关资料的基础上，尝试初步综合一下行列式的计算方法。
其中，包括常见的一般行列式和一些特殊的抽象行列式。
大家在计算常见一般行列式时要注意，有时候有些行列式可以用很多种方法计算，应当根据行列式的实际情况、特点，选择适当的方法来进行计算。
抽象行列式是在原有一般行列式基础上，用字母抽象化地表示行列式，并结合矩阵的相关知识来进行计算的，所以要求对高等代数整体课程的内容都要有一个比较清晰的理解，只有这样才能牢牢掌握行列式的计算方法。
本文第一部分主要探讨常见一般行列式计算方法，第二部分讨论特殊抽象行列式，用矩阵相关知识来计算。
1 常见一般阶行列式计算方法1.1 定义法阶行列式计算的定义[1]：其中，表示对所有级排列求和。
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅谈n级行列式的计算方法 作者：赵永良 来源：《活力》2019年第02期
[摘要]本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了计算行列式的几种行之有效的方法。除比较常用的定义法、化三角形法等方法外，还介绍了换元法、幂级数变换等技巧性较高的行列式的计算方法。只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上解决行列式的计算问题。
[关键词]n级行列式;逆序数;代数余子式;换元法;幂级数变换 引言 行列式的计算是高等代数的重要内容之一，也是学习中的一个重难点。对于阶数较低的行列式，一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果。但对于一般的n阶行列式，特别是当n比较大时，直接用定义计算行列式往往比较困难和烦琐，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要。只有掌握一定的计算技巧和方法，才能使计算大大简化，从而得出结果。将本文介绍的几种计算方法加以综合应用，就能基本L解决行列式的计算问题。
一、预备知识 （一）定义n级行列式 其中j1j2…jn为n级排列，τ（j1j2…jn）为它的逆序数。 （二）性质 性质1 行列式转置后值不变，D'=D。 性质2 行列互换，行列式不变。即 性质3 一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。即
性质4 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应行一样。即
性质5 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。 性质6 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。即 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 性质7 把一行的倍数加到另一行，行列式值不变。即 性质8 交换行列式中两行的位置，行列式反号。即 二、重要结论及证明 定理（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了K（1≤k≤n-1）个行，由这K行元素组成的一切K级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。
有些笔误也修正差不多了。
课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章 行列式§1.1 定义这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别这是三元线性方程组§1.2 逆序数§1.3 n 阶行列式的代数和§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变：2、k 可以乘上某行(列)：3、加法：某行之和 展开为两行列式之和：3阶行列式 右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数偶排列，正号 奇排列，负号阶排列4、互换两行(列)：负号5、两行相同(成比例)：零值6、某行乘以k加到另一行：值不变§1.5 代数余子式§1.6 范德蒙行列式第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则类似左边当时，方程组有唯一解：§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。
如果线性方程组，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。
§2.3 数域§2.4 n 维向量代数余子式余子式：删去i, j 所在的行与列后得到的n-1阶行列式所在行列的和(同等于逆序数τ)表示所有可能的差 i>j如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)只有当常数项b 不全为零时，且s=n 时才可用克莱姆法则系数行列式 (b 在1列)该解法适用于n 阶n 维基本向量组n 阶行列式数量乘积：零向量：负向量：行向量与列向量：§2.5 线性相关α线性相关α线性无关K有解，且不全0 K只有零解时不一定不能线性表出不可逆，因为分母不能为0 可逆r<n ，称退化的r=n 称非退化(或满秩)特征值有重根，不一定相关特征值无重根一定无关极大线性无关组：每个向量都不能被前面某些向量线性表出例§2.6 秩rank=极大线性无关组的向量个数§2.7 求全部解和基础解系的步骤第一步：求梯阵由向量组线性表出线性组合rank=n，有唯一解rank<n，有无穷多解不能表出，即详见书P154-155页例6有待更进一步补充常数项为0的充要条件第二步：求一般解第三步：求特解γ0第四步：求齐次的一般解第五步：求基础解系第六步：答：得全部解n-r个注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系，又称特征向量即n维基本向量组全部解特解基础解系即第三章 矩阵附1：矩阵名词汇总：方阵： 系数矩阵：增广矩阵： 梯阵：约化梯阵：三角矩阵：对角矩阵：单位矩阵： 零矩阵：数量矩阵： 转置矩阵： 分块矩阵：满秩矩阵：逆矩阵：伴随矩阵：等价矩阵：初等矩阵：正交矩阵：相似矩阵：约当形矩阵： 二次形矩阵：实对称矩阵：(半)正定矩阵： (半)负定矩阵： 不定矩阵：标准形矩阵：附2：一般n 维线性方程组、s×n 维矩阵、n 维向量组的表示法Rank 即矩阵的秩b 即系数左下：对角线左三角形对角线上的元素 λ即特征值注：全为0时，称齐次线性方程组不全为0时，称非齐次线性方程组注：s为行数，n为列数(未知数个数)附：有的书行数用m表示注：这个既可理解为：基础解系的系数也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素还可以理解为：二次型的特征值(同上句) 附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师1、加(减)法：性质： 交换律：结合律：2、乘法：性质： （当，称可交换）结合律：k 次幂：非交换律：§3.2 分块 分块后矩阵的基本运算依然等价§3.3 逆矩阵伴随矩阵：求逆公式：各个元素对应相加（减），即注：A 的|row|=B 的|column|例：2 0 1× × ×+ + ＝ 51、求a ij 的代数余子式A ij2、对应的元素要转置详见书P183页 AB等价矩阵：初等矩阵：标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数＝r用单位矩阵求逆：附：这是一个求逆的简便方法，但易出错，3阶矩阵建议用求逆公式。
n阶行列式定义的举例n阶行列式是一种线性代数中重要的概念，它可以用于求解线性方程组、计算向量叉积等。
下面我们将通过几个简单的例子来说明n 阶行列式的定义。
首先，n阶行列式是由n行n列的矩阵所定义的，例如下面的3阶矩阵：$$begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2 ,3}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{pmatrix}$$该矩阵的行列式可以表示为：$$begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2 ,3}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{vmatrix}$$其中，$a_{i,j}$表示该矩阵中第i行、第j列的元素。
接下来，我们可以通过以下方法来计算该行列式的值：1. 对角线法则对角线法则是计算行列式的一种简单方法，它通过对角线上的元素进行乘积和求和来计算行列式的值。
例如，对于上述矩阵，我们可以按照对角线法则计算行列式的值：$$begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2 ,3}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{vmatrix} =a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} +a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} -a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}$$2. 行列式展开法则行列式展开法则是计算行列式的另一种方法，它通过将行列式展开成一系列小的行列式来计算行列式的值。
JINING UNIVERSITYg目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1 利用行列式定义直接计算 (2)1.1 利用定义计算的条件 (2)1.2 对定义计算的举例应用 (2)2 化三角形法 (2)2.1 化三角形方法的运用条件 (2)2.2 化三角形方法举例应用 (2)3 按行（列）展开法（降阶法） (3)3.1 降阶法法的运用条件 (3)3.2 降阶法方法举例应用 (4)4 归一法 (4)4.1 归一法的运用条件 (4)4.2 归一法举例应用 (4)5 加边法（升阶法） (5)5.1 加边法的运用条件 (5)5.2 加边法举例应用 (5)6 递推法 (6)6.1 递推法的运用条件 (6)6.2 递推法举例应用 (6)7 利用范德蒙行列式 (6)7.1 范德蒙行列式 (6)7.2 范德蒙行列式方法举例应用 (7)8 数学归纳法 (7)8.1 数学归纳法的运用条件 (7)8.2 数学归纳法举例应用 (7)9 利用拉普拉斯定理 (8)9.2 拉普拉斯定理 (8)9.2 拉普拉斯定理方法举例应用 (8)10 拆行（列）法 (9)10.2 拆行（列）法举例应用 (9)11 析因法 (10)11.1 析因法的运用条件 (10)11.2 析因法举例应用及分析 (10)12 利用矩阵行列式公式 (11)12.1 引理一及其证明 (12)12.2 利用矩阵行列式公式方法举例应用 (13)13 论文总结 (13)致谢 (14)参考文献 (14)n阶行列式的计算方法与技巧数学与应用数学专业学生 lm指导教师 ff摘要：行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，是高等代数中的重点、难点，特别是n 阶行列式的计算。
学习过程中普遍存在很多困难，难于掌握，但它在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。
本论文归纳研究n阶行列式的各种计算方法，并指明这些方法的使用条件。
【最新整理，下载后即可编辑】哈尔滨职业技术学院学报2008年第1期Journal of Harbin Institute of Vocational Technology・119・中图分类号:O151 文献标识码:A 文章编号:1008—8970—(200706—0119—02[收稿日期]2007-09-11[作者简介]代冬岩(1980-,女,黑龙江八一农垦大学教师。
n阶行列式的计算方法和技巧代冬岩(黑龙江八一农垦大学,黑龙江大庆163319摘要:归纳行列式的各种计算方法,并举例说明了它们的应用,同时对各种方法适用范围和特点进行总结,以便更好地运用其解决各种类型题。
关键词:n 阶行列式;行列式的性质;方法;技巧线性代数主要内容就是求解多元线性方程组,行列式的计算在其中起到重要作用。
最直接的计算方法就是用定义,但通常计算量很大,一般不采用。
所以如何选择适当的方法求解行列式十分关键,下面介绍一些常用的方法和技巧。
一、化三角形法化三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形,化为上(下三角形行列式,再利用上(下三角形行列式的特点(主对角线上元素的乘积,求出值。
二、按行(列的展开定理(降阶法按行(列展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。
若继续使用按行(列展开法,可以将n阶行列式降阶直至化为多个2阶行列式计算。
这两种方法我们比较常用,就不详细介绍了。
三、递推法此法的要点是:利用已给行列式D n 的特点,建立起同类型的n阶行列式和n-1阶(或更低阶行列式之间的关系式,这个关系式叫递推关系式。
再根据递推关系式,求出D n 的一般表示式例1 计算n阶行列式[分析]此行列式的特点是:除主对角线及其上条对角线和最后一行元素外,其余元素都为零。
从行列式的左上方往右下方看,即知D n-1与D n 具有相同的结构。
因此可考虑利用递推关系式计算。
解:第1行,第1列均只有两个元素,不妨按第1列展开,得D n =x D n-1+a,由此递推得=将上式第1行乘以-1加到第i行;第i行乘以[注意] 大家一定要记住,加边法最大的特点就是要找出每行或每列相同的因子,这样升阶之后,就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零,然后再化为三角形行列式,这样就达到了简化计算的效果。
线性代数第一讲概论线性代数是一门普通的基础理论课，它被广泛地应用于科技的各个领域，尤其在计算机日益普及的今天，求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题。
线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法，线性方程组的基本知识，另外行列式也是一个有力的工具，在讨论上述问题时都要用到。
本门课程的特点，既有繁琐和技巧性很强的数字计算，又有抽象的概念和逻辑推理，在学习中，需要特别加强这两个方面的训练。
第一章 行列式§1定义一、 二阶、三阶行列式 中学学过解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+221121c y b x b c y a x a 如果有解，它的解完全可由他们的系数()212121,,,,,c c b b a a 表示出来。
⎩⎨⎧=+=+)2()1(221121c y b x b c y a x a 11)1()2(b a ⨯⨯⇒⎩⎨⎧=+=+)4()3(212111112211c a y b a x b a b c y b a x b a()()11211221)3()4(c b c a y b a b a -=-⇒-.若01221≠-b a b a ，则2121211112211121b b a a c b c a b a b a c b c a y ∆=--=（2）同理 21212221b b a a b c a c x =（3）其中222121212111,,b c a c b b a a c b c a 均称为二阶行列式定义1.二阶行列式bcad dcb a -= （4）是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则）同样，在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323122322211131211bz a y a x a b z a y a x a b z a y a x a （5）时，要用到“三阶行列式”，这里可采用如下的定义。
定义2，三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =323122211333312321123332232211a a a a a a a a a a a a a a a +-= （6）行、列()3,2,1,3,2,1==j i a ij 称为D 的元素。
