第一章 行列式
行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质
一、 二、三阶行列式定义的引出
1. 二阶行列式
例1：二阶线性方程组
⎩⎨
⎧=+=+2
2221211
212111b x a x a b x a x a
且021122211≠-a a a a . 解：利用加减消元可求得122122
112121
1211221221
11221221
,
.b a a b a b b a x x a a a a a a a a --==--
取 2112221122
21
1211a a a a a a a a D -==
，21222122
2
1211b a a b a b a b D -==
，
得 .,2
21
1D
D x D
D x =
=
定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=
称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第
j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由2
2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程
例2：解方程组.328
3221
21
⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2
132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 233
8--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=
1112112121
21
2
a b D a b b a a b =
=-
2D 3
18
2-=
18)3(2⨯--⨯=.14-=
因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解
1x D D 1=
77--=
,1=2x D
D 2=714
--=.2=
2.三阶行列式
定义2
由2
3个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 33
323123222113
1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++
称为三阶行列式。3阶行列式由2
3个元素组成，三行三列；展开式也是一个数或多项式；若是多项式则必有6!3=项，且正负项的各数相同。其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。
应用：解三元线性方程组
类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++33332321
3123232221211313212111,b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 记
D =,3332
312322
21131211a a a a a a a a a 1D =,33
32
3
2322213121a a b a a b a a b
2D =,33331232
2113111a b a a b a a b a 3D =,3
32
31
2222111211b a a b a a b a a 若系数行列式D 0≠，则该方程组有唯一解：
.,,332211D
D x D D
x D D x ===
例3. 计算三阶行列式6
01504
3
21
- 解 =-6
015043
21601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-
4810--=.58-=
例4 ( 解三元线性方程组.0
13222321
321321⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=-+-=+-x x x x x x x x x
解 由于方程组的系数行列式
=D 1
1
1
312
121
---- =)1(11-⨯⨯)1()3()2(-⨯-⨯-+121⨯⨯+11)1(⨯⨯--1)3(1⨯-⨯-)1(2)2(-⨯⨯--
5-=,0≠
1D =11
311
1
2
2----,5-=2D =1
1
312121
----,10-=3D =0
1
1
112
221---,5-= 故所求方程组的解为:
,111==
D D x ,222==D
D
x .133==D D x
再看三阶行列式
33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ =112233233212213323311321322231()()().a a a a a a a a a a a a a a a ---+- =22232123212211
1213
32
33
31
33
31
32
a a a a a a a a a a a a a a a -+
二、n 阶行列式的定义
1. n 阶行列式的定义 定义3
由2
n 个数
),,2,1,(n j i a ij =排成n 行n 列的式子， 称
nn
n n n n
a a a a a a a a a D
21
2222111211
=
