第五节 n阶行列式的展开
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1-5行列式按行列展开ppt课件
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a14
a D a21 a22
2233 a24 M 23 a31 a32 a34
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a44
a41 a42 a43 a44
A23 1 23 M 23 M 23 .
ai1, j1
ai 1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
狼爪划到了左臂，厚实の衣裳不堪一击便撕裂了个大口子，血丝慢慢渗了出来，闻到这血腥味，黄狼更加兴奋地低嚎。
贺腾几次闪避开攻击，可每一次の涉险过关，身上便会多添道伤痕。突然黄狼又一高扑，他乘机一蹲身，抓住了一条狼腿，黄狼落地不稳一踉跄，匕首已刺进了它の肚子
n阶行列式的计算方法
0 −a12 Dn = −a13 ⋯
−a1n
a12 0 −a23 ⋯
−a2n
a13 a23 0 ⋯
−a3n
⋯ a1n ⋯ a2n ⋯ a3n ⋯⋯
⋯0
由行列式的性质 D = DT
0 −a12 −a13 ⋯ −a1n
a12 0 −a23 ⋯ −a2n
Dn = a13 a23
0 ⋯ −a3n
⋯ ⋯ ⋯⋯⋯
a1n a2n a3n ⋯ 0
0
a12
a13 ⋯ a1n
−a12 0
a23 ⋯ a2n
= (−1)n −a13 −a23 0 ⋯ a3n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯
−a1n −a2n −a3n ⋯ 0
= (−1)n Dn
当 n 为奇数时，得 Dn = −Dn ，因而得 Dn = 0 。 4．利用行列式按行（列）展开
= 1× 4 − 3× 2 = −2
24
120 例 2 计算三阶行列式 D = 4 − 3 8 。
0 −1 2
解：
120 D = 4 − 3 8 = 1× (−3) × 2 + 2 × 8 × 0 + 0 × 4 × (−1) − 0 × (−3) × 0 − 2 × 4 × 2 − 1× 8× (−1)
a1
a2 ⋯ x + an
1 a1 ⋯ an
0
Dn = ⋮
Dn
0
1 a1 a2 ⋯ an 第i行减第1行 −1 x 0 ⋯ 0 i = 2,⋯, n +1 −1 0 x ⋯ 0 （箭形行列式）
⋯⋯⋯⋯⋯ −1 0 0 ⋯ x
∑ 1+ n a j
j=1 x
a1
a2 ⋯ an
n阶行列式的定义及性质
综上, 我们有
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
n阶行列式展开式
n阶行列式展开式n阶行列式的展开式是指将n阶行列式按照某一行或某一列进行展开，将其展开为一系列元素相乘的和的形式。
设A是一个n阶方阵，行列式展开式可以表示为：D = a1j1A1j1 + a2j2A2j2 + a3j3A3j3 + ... + anjnAnjn其中，a1j1，a2j2，a3j3，...，anjn是行列式中的元素，分别对应于第1行，第2行，第3行，...，第n行的元素。
A1j1，A2j2，A3j3，...，Anjn是去掉第i行第j列的矩阵的行列式。
展开式的计算方法是通过对于某一行或某一列进行展开，逐步递归地计算较低阶行列式的展开式，最终得到行列式的值。
为了更好地理解和计算行列式的展开式，可以参考以下内容：1. 行列式的性质：了解行列式的基本性质，如行列式转置不变性、行列式互换性等，可以帮助理解行列式的展开式。
2. 代数余子式与代数余子式矩阵：代数余子式是行列式中任意元素的余子式加上相应的符号因子。
代数余子式矩阵是由行列式的元素的代数余子式按照对应位置组成的矩阵。
3. 余子式展开法与行列式按行展开法：余子式展开法是通过计算各元素的代数余子式来展开行列式，而行列式按行展开法是通过递归地计算较低阶行列式的展开式来计算行列式。
4. 基于拉普拉斯定理的行列式展开：拉普拉斯定理是一种常用的展开行列式的方法，根据该定理，可以将n阶行列式按照任意一行或一列展开为n个n-1阶行列式的代数余子式相乘的和。
以上内容是行列式展开式的基本概念和计算方法的相关参考内容，理解和掌握这些内容可以帮助更好地进行行列式展开式的计算。
在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的展开方法，如拉普拉斯展开、按行展开等，进一步简化计算过程。
N阶行列式的计算
(4)行列式的某一行各项乘k分别加到其余各行对应元素上
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
n项行列式展开
n项行列式展开n项行列式展开是将n阶行列式表示为若干个行列式的和的形式。
具体来说，n项行列式展开的形式如下：D = a₁₁D₁₁ + a₁₁D₁₁ + ... + a₁nD₁n + a₁₁D₁₁ + a₁₁D₁₁ + ... + a₁nD₁n + ... + an₁Dn₁ + an₁Dn₁ + ... + annDnn其中，D表示n阶行列式，D₁₁、D₁₁、...、D₁n、D₁₁、D₁₁、...、D₁n、...、Dnn表示n个n阶行列式，aij表示行列式中第j行第i列的元素。
n阶行列式展开的证明过程比较繁琐，需要用到行列式的定义和展开定理。
以下是n阶行列式展开的证明过程：假设D为n阶行列式，D₁₁、D₁₁、...、D₁n、D₁₁、D₁₁、...、D₁n、...、Dnn为n个n阶行列式。
则有：D = ∑(aijDji)其中，aij表示行列式D中第j行第i列的元素，Dji表示行列式D₁₁、D₁₁、...、D₁n、D₁₁、D₁₁、...、D₁n、...、Dnn中第j行第i列的元素所构成的n阶行列式。
对于任意一个n阶行列式D，都可以通过初等变换将其转化为一个上三角行列式或一个下三角行列式。
因此，对于任意一个n阶行列式D，都可以将其表示为若干个n阶上三角行列式的和或若干个n阶下三角行列式的和。
对于一个n阶上三角行列式，其主对角线元素均不为0，其余元素为0。
因此，对于任意一个n阶上三角行列式，都可以表示为其主对角线元素的乘积，即：D = a₁₁a₁₁a₁₁...a[UNK][UNK]对于一个n阶下三角行列式，其主对角线元素均不为0，其余元素为0。
因此，对于任意一个n阶下三角行列式，都可以表示为其主对角线元素的乘积的相反数，即：D = -a₁₁a₁₁a₁₁...a[UNK][UNK]综上所述，n阶行列式展开可以表示为：D = a₁₁D₁₁ + a₁₁D₁₁ + ... + a₁nD₁n + a₁₁D₁₁ + a₁₁D₁₁ + ... + a₁nD₁n + ... + an₁Dn₁ + an₁Dn₁ + ... + annDnn其中，D表示n阶行列式，D₁₁、D₁₁、...、D₁n、D₁₁、D₁₁、...、D₁n、...、Dnn表示n个n阶行列式，aij表示行列式中第j行第i列的元素。
高等代数课件 第五节 n阶行列式的展开
D 0 aij 0 中的余子式Mij .
an1 anj ann
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1 ann
故得
aij 0 0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
aij Aij .
⑶ 一般情形
a11 a12
a1n
ai1 ai2
ain
an1 an2
ann
a11
a12
a1n
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素aij 的代数余子式．
例如
a a a 11
12
13
a14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1
anj an, j1
余子式仍然是aij在
0 ai1,n 中的
ann
n阶行列式及其计算 章节讲解
5
如:三阶行列式
a11 0 的余子式:
0 D 2
1 3
1 2
3 2
M 11 3
6 4
4 3 4
代数余子式:
A11 (1)11 M11 M11 6
2 2
M12 4
0 4
A12 (1)12 M12 0
01
M 23 4
4 3
A23 (1)23 M23 4
试试去 求-1和4的代数余子式
2 3
1 6
0
17
如:用三角法计算三阶行列式: 注意要零保护
0 1 1
1 0 1
5.D 2
3
2
1
c1 c2 3
2 2
4 3 4
2
3 4 4
列虚乘
实加
1
c+kc c3 c1 2 3
01 0
1
1 1 c3 c2 2 3
00 10
3 2 1
3 2 3
211 3 6 下三角
2020/11/18
r3 r1
2020/11/18
19
例11-1-2.2
1 2 1 0
0 0 1 0
2 D
1
3 1
1 1
1c2 2c3 3 5
1 c1 c3 0 1
1 1 1 1
虚乘
01 1 2
13 1 2
实加
3
4
a1 j A1 j a13 A13 0
5 1
1
r1 3r3
0
4
7
1 0 1 1
j 1
13 2
13 2
3
4 7
i1 ai1Ai1 a31A31 1
n阶行列式及其计算
an2 ann
j 1,2, n
an1
bn
ann
(1) D ? 怎样算？ (2) 当D 0 时，方程组⑵是否有唯 一解？
(3) 当D 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否
可以表示成
xi
Di D
,
i 1,2, , n
克莱姆 法则！
由n2个数aij构成的n行n列的一个数表，称为n阶行列式， 它表示一种运算法则，结果是一个数值，其中的数aij称 为元素，二、三阶行列可用对角线法则来计算
a11 a21 an1
D a21
a22
a2n
DT a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
2020/11/18
11
2.两行（列）互换值变号
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
或 j1
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
注意两者有什么不同？
1 1 3 2
n
aij Aij i 1
j 1,2,, n
找相应 Aij
3 4 试试：按第一行和第三列计算上述行列式的值
3
D a1 j A1 j a11A11 a12 A12 a13 A13 6
或 j1
按第一行展开
3
D ai3 Ai3 a13 A13 a23 A23 a33 A33 6 按第三列展开
2020/i111/18
7
走试试别的行与列 找有零的有行或列
0 D 2
1 1 现按第一行展开
3
2
2
A12
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记 Aij 1i j Mij， 叫做元素aij 的代数余子式．
例如
a a a 11
12
13
a14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
按第二列
展开
a12 A12
a22 A22
a32 A32
a12
a21 a31
a23 a33
a22
a11 a31
a13 a33
a32
a11 a21
a13 a23
注：代数余子式中，余子式前的符号“＋”、“－”的规律
L L L L M M M MO
（1）主对角线元素余子式前带“＋” （2）相邻两元素的余子式前
(1 p2 pn )
a11
1 p2 pn a2 p2 anpn
( p2 pn )
a11M11 a11(1)11 M11 a11A11
⑵假设行列式第i行除aij外都为0，则
a11 a1 j a1n
a1
D 0 aaijij 0
an1 anj ann
为了利用第一步的结论，我们要把它化为第一步 里面的形式，我们把D 的第i行依次与第i 1,i 2, ,1 行交换，共交换i 1次；再把D的第 j 列依次与第 j 1, j 2, ,1 列交换，共交换j 1次，得
a31 a32 a33
注1 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式
注2 Mij和Aij 与aij的大小无关，而与aij的位置有关。
定理： 行列式等于它的任一行（列）的各 元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 L L LL D ai1 ai2 L L LL
a1n
L n
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12.
a11 a12 a13
M 44 a21 a22 a23 , A44 144 M 44 M 44.
ain aik Aik
L
k 1
an1 an2 L ann
ai1Ai1 ai2 Ai2 L ain Ain , i {1, 2,L , n}
a11 L a1 j L a1n
或
D
a21 M
L M
a2 j M
L M
a2n M
n
akj Akj
k 1
an1 L anj L ann
a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj , j {1, 2,L , n}
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
第五节n阶行列式的展开
目的：把高阶行列式化为低阶行列式
1 余子式与代数余子式 2 n阶行列式展开法则 3 分块定理 4 例题
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
aij Aij .
⑶ 一般情形
a11 a12 L a1n LLLLLLL
ai1 ai2 L ain LLLLLLL
an1 an2 L ann
a11
a12
ai1 0 0 0 ai2 0
an1
an2
a1n 0 0 ain ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
aiij
D 1 i1 1 j1 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai 1,n
anj an, j1 ann
aiijj
1
a i j2 i1, j
0 ai1, j1
0 ai 1,n
an1, j
例
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
按第一行
a11A11
展开
a12 A12
a13 A13
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
“＋”、“－”相间
证明 只对行证明.分三步（先特殊，后一般） ⑴假设行列式第一行除a11外都为0，则由定义
a11 0
a1
D a21 a22
an1 an2
0
a2n
p1 p2 pn
1 a a a 1p1 2 p2
npn
( p1 p2 pn )
ann
1 1p2 pn a11a2 p2 anpn
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33
a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
定义在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行 列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
ann
aiij
于是有 ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0 ai1,n aij Mij , ann
故得
aij
D 1 i j ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0
ai1,n 1 i j aijMij .
ann
0 ai1, j1
0 ai 1,n
anj an, j1 ann
aij
0
元素aij在行列式ai1, j
ai1, j1
anj an, j1 余子式仍然是aij在
0 ai1,n 中的 ann
a11 D 0 an1
a1 j aij anj
a1n
0 中的余子式Mij .
例如
a a a 11
12
13
a14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
按第二列
展开
a12 A12
a22 A22
a32 A32
a12
a21 a31
a23 a33
a22
a11 a31
a13 a33
a32
a11 a21
a13 a23
注：代数余子式中，余子式前的符号“＋”、“－”的规律
L L L L M M M MO
（1）主对角线元素余子式前带“＋” （2）相邻两元素的余子式前
(1 p2 pn )
a11
1 p2 pn a2 p2 anpn
( p2 pn )
a11M11 a11(1)11 M11 a11A11
⑵假设行列式第i行除aij外都为0，则
a11 a1 j a1n
a1
D 0 aaijij 0
an1 anj ann
为了利用第一步的结论，我们要把它化为第一步 里面的形式，我们把D 的第i行依次与第i 1,i 2, ,1 行交换，共交换i 1次；再把D的第 j 列依次与第 j 1, j 2, ,1 列交换，共交换j 1次，得
a31 a32 a33
注1 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式
注2 Mij和Aij 与aij的大小无关，而与aij的位置有关。
定理： 行列式等于它的任一行（列）的各 元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 L L LL D ai1 ai2 L L LL
a1n
L n
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12.
a11 a12 a13
M 44 a21 a22 a23 , A44 144 M 44 M 44.
ain aik Aik
L
k 1
an1 an2 L ann
ai1Ai1 ai2 Ai2 L ain Ain , i {1, 2,L , n}
a11 L a1 j L a1n
或
D
a21 M
L M
a2 j M
L M
a2n M
n
akj Akj
k 1
an1 L anj L ann
a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj , j {1, 2,L , n}
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
第五节n阶行列式的展开
目的：把高阶行列式化为低阶行列式
1 余子式与代数余子式 2 n阶行列式展开法则 3 分块定理 4 例题
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
aij Aij .
⑶ 一般情形
a11 a12 L a1n LLLLLLL
ai1 ai2 L ain LLLLLLL
an1 an2 L ann
a11
a12
ai1 0 0 0 ai2 0
an1
an2
a1n 0 0 ain ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
aiij
D 1 i1 1 j1 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai 1,n
anj an, j1 ann
aiijj
1
a i j2 i1, j
0 ai1, j1
0 ai 1,n
an1, j
例
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
按第一行
a11A11
展开
a12 A12
a13 A13
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
“＋”、“－”相间
证明 只对行证明.分三步（先特殊，后一般） ⑴假设行列式第一行除a11外都为0，则由定义
a11 0
a1
D a21 a22
an1 an2
0
a2n
p1 p2 pn
1 a a a 1p1 2 p2
npn
( p1 p2 pn )
ann
1 1p2 pn a11a2 p2 anpn
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33
a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
定义在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行 列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
ann
aiij
于是有 ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0 ai1,n aij Mij , ann
故得
aij
D 1 i j ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0
ai1,n 1 i j aijMij .
ann
0 ai1, j1
0 ai 1,n
anj an, j1 ann
aij
0
元素aij在行列式ai1, j
ai1, j1
anj an, j1 余子式仍然是aij在
0 ai1,n 中的 ann
a11 D 0 an1
a1 j aij anj
a1n
0 中的余子式Mij .