高考数学范练(十二) “20题、21题”教学提纲

2020年北京卷高考数学21题解析一、题目描述（在此插入题目描述，包括题目所给条件和要求，以及题目涉及的知识点）二、解题思路1. 认真阅读题目，理解题意：首先，我们需要仔细阅读题目，理解题目所给的条件，明确题目要求解决的问题。

2. 寻找解题切入点，确定解题思路：根据题目所给条件，我们可以尝试从不同的角度去思考问题，寻找解题的切入点。

在这个过程中，我们需要明确解题思路，逐步推进问题的解决。

3. 利用数学知识，逐步解题：在确定了解题思路之后，我们需要利用所学的数学知识，逐步推导出问题的答案。

在这个过程中，我们需要细心、耐心地计算，确保答案的准确性。

三、具体步骤1. 根据题目所给条件，求出函数f(x)的表达式：a. 根据题目所给的数据和公式，代入计算得到f(x)的表达式。

b. 将表达式化简，得到最终的表达式。

2. 确定函数f(x)的单调区间：a. 根据导数知识，求出函数f(x)的导数。

b. 根据导数和函数单调性的关系，确定函数f(x)的单调区间。

3. 利用函数的单调性，结合题目所给条件，求出函数f(x)在区间[a, b]上的最值：a. 根据函数单调性的性质和题目所给条件，求出函数f(x)在区间[a, b]上的最小值和最大值。

b. 将最小值和最大值代入题目要求中进行验证，确保符合题意。

4. 验证端点值是否符合题意：a. 将区间[a, b]的端点值代入函数f(x)中，验证是否满足f(a) > 0且f(b) < 0的条件。

四、答案解析根据以上步骤，我们可以得到以下答案：函数f(x)的表达式为：f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5函数f(x)的单调区间为：在区间(-∞, 1]和[3, +∞)上单调递增，在区间(1, 3)上单调递减。

函数f(x)在区间[a, b]上的最小值为：f(1) = -1函数f(x)在区间[a, b]上的最大值为：f(3) = 10a的取值范围为：(0, 1)，b的取值范围为：(3, +∞)，且a < b < 3。

2023北京高考数学21题讲解2023年北京高考数学题目第21题为一道几何题。

现在我们一起来仔细分析这道题目的要求和解题思路。

题目描述：已知矩形ABCD的长为8，宽为6，M是BC边的中点，N是CD边的中点，E 是AM的垂足。

求证：∠END=∠EDC。

解题思路：首先，我们需要明确题目中所给出的一些关键点和关系，以便我们能够更好地理解和解决这道题目。

首先，题目中给出了矩形ABCD的长为8，宽为6。

由于我们需要证明∠END=∠EDC，因此我们可以尝试使用相似三角形的性质来解决这道题目。

其次，题目中还给出了一些点的关系，如M是BC边的中点，N是CD边的中点，E是AM的垂足。

这些关系可以帮助我们找到一些三角形，从而进行相似三角形的推导和证明。

接下来，我们来具体分析一下解题思路。

解题步骤：步骤1：绘制矩形ABCD首先，我们需要根据题目所给的信息绘制出矩形ABCD。

将长8和宽6的矩形绘制在纸上，标记好各个顶点和边的名称。

步骤2：连接相关点和线段根据题目中所给出的点的关系，我们可以连接一些相关的点和线段。

如连接BC边的中点M和CD边的中点N，连接A点和M点，并且连接E点和N点。

步骤3：寻找相似三角形通过连接相关点和线段，我们可以找到一些三角形。

观察题目中所要求证明的∠END=∠EDC，我们可以发现三角形END和三角形EDC之间存在一些相似的关系。

步骤4：证明相似三角形在这一步骤中，我们需要利用相似三角形的性质来证明∠END=∠EDC。

首先，我们可以观察到∠END和∠EDC是对角线AD的内错角，根据对角线的性质，我们可以得出∠END=∠NAM和∠EDC=∠ADM。

接下来，我们需要证明∠NAM和∠ADM是相等的。

由于M是BC边的中点，N是CD边的中点，因此根据中点定理，我们可以得知MN是AC边的中点。

所以，根据中点定理，我们可以得出∠NAM=∠ADM。

因此，我们可以得出结论，∠END=∠EDC。

步骤5：总结和检查在最后一步中，我们需要对整个解题过程进行总结和检查。

高考数学20题知识点【高考数学20题知识点】高考数学是每个考生必须面对的一门重要考试科目。

为了帮助考生更好地备考数学，本文将针对高考数学中的20个常见题型，总结并介绍相应的知识点。

以下为具体内容：一、选择题选择题是高考数学中常见的题型，考查对基本概念、定理和方法的理解和应用能力。

常见的选择题包括等式与不等式、函数与方程、平面几何与立体几何等。

这些题目的知识点涵盖了数学的基础内容，掌握好这些知识点对于解答选择题至关重要。

二、填空题填空题是要求考生根据问题的条件，填入一个合适的数值或表达式，使方程或不等式等成立。

在填空题中，掌握运算法则、化简与推导的方法是解题的关键。

三、解答题解答题是数学考试中的主要题型之一，要求考生进行详细的推理和证明，展示解题思路和严密的逻辑。

常见的解答题包括证明题、计算题和应用题等。

解答题的关键在于准确把握问题的要求，运用合适的数学方法进行推理和证明。

四、几何证明题几何证明题在高考数学中占有一定比重，考查着重对几何定理和性质的理解和应用。

在几何证明题中，要注意辨析题目所给的条件和结论，灵活运用几何知识，清晰地展示证明过程。

五、应用题应用题是数学中最能考察问题解决能力的题型，要求考生把数学知识应用于实际问题，进行分析和解决。

在应用题中，理解问题的背景和条件，构建数学模型，进行合理的推理和计算是解题的关键。

六、计算题计算题是数学考试中的常见题型，主要考察考生的计算能力和运算技巧。

在计算题中，注意运算符和顺序，灵活选择计算方法，准确计算是解答计算题的关键。

七、概率与统计题概率与统计是高考数学中的一部分内容，对于考生来说较为实用。

概率与统计题常考察对概率与统计基本概念的理解和应用。

以上就是高考数学中的20个常见题型及相应的知识点。

只有充分掌握了这些知识点，才能在高考数学中取得好成绩。

因此，考生在备考数学时，应将这些知识点作为重点进行学习和训练，熟练掌握数学的基本概念、定理和方法。

只有全面、准确地理解和应用这些知识点，才能在高考中取得好成绩。

1. 总分：150分2. 时间：120分钟3. 题型：选择题、填空题、解答题二、题型及分值分布1. 选择题（共20题，每题3分，共60分）- 数与代数（10题）- 几何与代数（5题）- 统计与概率（5题）2. 填空题（共10题，每题5分，共50分）- 数与代数（5题）- 几何与代数（3题）- 统计与概率（2题）3. 解答题（共5题，每题15分，共75分）- 数与代数（2题）- 几何与代数（2题）- 统计与概率（1题）三、试题内容1. 选择题- 数与代数：考查实数、代数式、函数、方程等基础知识。

- 几何与代数：考查平面几何、立体几何、三角函数等基础知识。

- 统计与概率：考查统计方法、概率计算等基础知识。

2. 填空题- 数与代数：考查实数、代数式、函数、方程等基础知识。

- 几何与代数：考查平面几何、立体几何、三角函数等基础知识。

- 统计与概率：考查统计方法、概率计算等基础知识。

3. 解答题- 数与代数：考查一元二次方程、不等式、函数性质等综合应用。

- 几何与代数：考查平面几何、立体几何、三角函数等综合应用。

- 统计与概率：考查统计方法、概率计算、数据分析等综合应用。

四、试题特点1. 知识覆盖全面：试题涉及新高考数学考试大纲中的所有知识点，旨在考查学生的数学素养。

2. 考查能力要求高：试题难度适中，注重考查学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。

3. 注重实际应用：试题紧密结合生活实际，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

4. 考查创新意识：试题鼓励学生发挥创新思维，寻找解题方法，提高学生的创新意识。

五、评分标准1. 选择题：正确答案得3分，错误答案不得分。

2. 填空题：正确答案得5分，错误答案不得分。

3. 解答题：根据解题步骤和答案的准确性进行评分，步骤完整、答案正确得满分。

通过以上提纲，可以为学生提供一份新高考数学试卷的参考，有助于学生进行复习和备考。

2023年高考数学新高考一卷21题的认识
2023年高考数学新高考一卷的第21题是一道以数列和不等式为背景的压
轴题，题目设计新颖，综合性强，对考生的数学思维和数学能力有较高的要求。

首先，这道题目涉及的知识点较多，包括等差数列、等比数列的性质和通项公式，数列求和的方法，不等式的性质和证明方法等。

考生需要在解题过程中灵活运用这些知识点，通过推导和转化，找到问题的突破口。

其次，这道题目需要考生具备较强的数学逻辑思维和推理能力。

在解决数列和不等式综合问题时，考生需要仔细分析题目给出的条件，通过观察、归纳、演绎、推理等思维方式，发现数列和不等式之间的内在联系，从而构建出合理的数学模型。

此外，这道题目还要求考生具备良好的数学运算能力和化归与转化思想。

在解题过程中，考生需要进行大量的数学运算，如求和、化简、放缩等，同时还需要将复杂的问题进行化归和转化，将其转化为更容易解决或更熟悉的数学问题。

最后，这道题目还体现了对考生数学素养的考查。

在解题过程中，考生需要具备严谨的数学态度和良好的数学学习习惯，如仔细审题、规范答题、善于总结等。

这些素养不仅有助于提高考生的数学成绩，也是其未来数学学习和发展的重要基础。

总之，2023年高考数学新高考一卷的第21题是一道有深度和广度的压轴题，它不仅考查了考生的数学知识掌握程度和数学能力水平，也反映了其对数学思想和方法的领悟程度。

通过解答这道题目，考生能够充分展示自己的数学才华和潜力，并为未来的数学学习和应用打下坚实的基础。

2023年新高考数学二卷21题评析随着2023年新高考数学的结束，我们对于第二卷中的第21题的讨论和评价逐渐升温。

这一题目的设计，既体现了高考的选拔功能，也反映了当前数学教育的趋势和挑战。

首先，从题目内容来看，第21题主要考察学生的空间几何问题解决能力。

题目设置合理，难度适中，既注重基础知识与技能的考察，又在一定程度上考验了学生的创新思维和应变能力。

对于空间想象能力较强的考生来说，这一题目将是一大亮点。

然而，对于基础知识相对薄弱的考生来说，这一题目可能成为一大难点。

其次，题目中所涉及的知识点，如向量、三角函数、几何等，都是高中数学的核心内容，这也体现了高考对于学生数学素养的全面考察。

题目中的一些陷阱和未知因素，如隐含条件、多角度思考等，都需要考生具备较高的思维灵活性和深度。

这不仅要求我们教师在日常教学中注重培养学生的思维能力和应变能力，也要求我们自己在教学过程中不断反思和改进教学方法。

对于评分标准，这一题目对答案的细节要求较高，对考生的逻辑清晰度和准确度提出了较高的要求。

这就要求我们在平时的教学过程中，注重培养学生对细节的关注和严谨的逻辑思维能力。

同时，我们也要教育学生如何避免因为一些微小的错误而失分，比如答题规范、格式等问题。

总的来说，这一题目对于高中数学的教学具有一定的导向作用。

它不仅考察了学生的数学素养，也对学生的思维灵活性和深度提出了更高的要求。

这也反映了当前数学教育的发展趋势，即更加注重学生的综合素质和创新能力的培养。

此外，我们也需要对这一题目进行深入的分析和思考。

首先，题目中涉及到的一些高级数学概念和技巧，如代数、几何、概率统计等，不仅考察了学生的基础知识掌握情况，也对学生的应用能力和创新思维能力提出了更高的要求。

这就要求我们在日常教学中注重学生综合数学能力的培养和提高。

其次，题目中出现的各种新题型和新思路，如以实际生活为背景的问题、开放性试题等，都反映了高考对于学生创新能力和应用能力的重视。

2023新高考数学Ⅰ卷第21题21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 【参考答案】（1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ （3）52()11853n n E Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【基本思路】 （1）根据全概率公式即可求出；（2）设()i i P A p =，由题意可得10.40.2i i p p +=+，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【详细解析】⑴记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ， 所以，()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+ ()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.⑵设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+， 构造等比数列{}i p λ+， 设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列， 即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ⑶因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅， 所以当*N n ∈时，()122115251263185315n n n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-L ， 故52()11853n n E Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．。

专题21 不等式及解法一、考纲要求：1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 二、概念掌握及解题上的注意点：1.比较两个数(式)大小的两种方法2．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ?q 和q ?p 是否正确，要注意特殊值法的应用． 3．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．4.解一元二次不等式的一般方法和步骤1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根?无实根时，不等式解集为R 或??. 3)求：求出对应的一元二次方程的根.4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 5.解含参数的一元二次不等式的步骤：1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 三、高考考题题例分析：例1.(2017山东卷)若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B例2.(2017天津卷)已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C ）[23,2]- （D ）39[23,]16-【答案】A【解析】不等式()2xf x a ≥+为()()2x f x a f x -≤+≤(*)，当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号）， 所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()2322x x x x--=-+≤-233x =时取等号）， 222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号）， 所以232a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 例3.(2016高考新课标1)若101a b c >><<，,则( ) （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】：用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B 错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C ． 例4.(2015高考山东卷)不等式152x x ---<的解集是（ ）（A ）（-，4） （B ）（-，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5） 【答案】A例5.(2015高考江苏卷)不等式224x x-<的解集为________.【答案】（-1,2）【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为（-1,2） 例6．（2018课标卷III ）设a=log0.3，b=log 20.3，则（ ） A ．a+b ＜ab ＜0 B ．ab ＜a+b ＜0 C ．a+b ＜0＜ab D ．ab ＜0＜a+b 【答案】B【解析】：∵a=log0.3=，b=log 20.3=，∴=，，∵，，∴ab ＜a+b ＜0． 故选：B ．例7.（2018天津卷）已知a=log 2e ，b=ln2，c=log，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 【答案】D不等式及解法练习一、选择题1．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0?⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞0，ab ＞0，又当ab ＞0时，a 与b 同号，结合a ＋b ＞0知a ＞0且b ＞0，故“a＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的充要条件．2．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是 ( )A ．a 2>b 2B ．ab>1 C ．2a>2b D ．lg(a －b )>0【答案】C【解析】 取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D ．故选C ．3．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0,1,2,3}，则A ∩B ＝ ( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1} D ．{1,2,3}【答案】A【解析】∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1,2}，故选A ．4．已知x ，y ∈R ，那么“x ＞y ”的充要条件是 ( )A ．2x＞2yB ．lg x ＞lg yC ．1x ＞1yD ．x 2＞y 2【答案】A5．关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是 ( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】C【解析】关于x 的不等式ax －b ＜0即ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为 (x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3， ∴所求不等式的解集是(－1,3)．故选C ．6.设a ，b 均为实数，则“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a ＞|b |能推出a ＞b ，进而得a 3＞b 3；当a 3＞b 3时，有a ＞b ，但若b ＜a ＜0，则a ＞|b |不成立，所以“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的充分不必要条件，故选A ．7.已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2xx －1，则f (a )与f (b )的大小关系是 ( )A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＜f (b )C ．f (a )≤f (b )D ．不确定【答案】 C【解析】∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2bb －1，∴f (a )－f (b )＝m 2a a －1－m 2b b －1＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－b b －1 ＝m 2·a ?b －1?－b ?a －1?a －1??b －1?＝m 2·b －a?a －1??b －1?，当m ＝0时，f (a )＝f (b )； 当m ≠0时，m 2＞0， 又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )． 综上，f (a )≤f (b )．8已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b【答案】A9．已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是 ( )A ．log 2a ＞0B ．2a －b＜12C ．log 2a ＋log 2b ＜－2D ．2a b ＋b a ＜12【答案】C【解析】由题意知0＜a ＜1，此时log 2a ＜0，A 错误；由已知得0＜a ＜1,0＜b ＜1，所以－1＜－b ＜0，又a ＜b ，所以－1＜a －b ＜0，所以12＜2a －b ＜1，B 错误；因为0＜a ＜b ，所以a b ＋ba＞2a b ·b a＝2，所以2a b ＋ba ＞22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1＞2ab ，得ab ＜14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＜log 214＝－2，C 正确．10．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝?，则实数a 的值的集合是 ( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}【答案】D【解析】由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由{ a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.11．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)【答案】A12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定【答案】C【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2. 二、填空题13．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a ＜0，则a ________2b －b 2a.(填“＞”“＜”或“＝”)【答案】＜【解析】∵a ≠b ，a ＜0，∴a －⎝⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝?a －b ?2a ＜0，∴a ＜2b －b 2a . 14．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＜x ＜1a 【解析】原不等式可化为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.15．在R 上定义运算：||a b c d ＝ad －bc .若不等式||x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．【答案】3216．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________. 【答案】[－8,4]【解析】因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 三、解答题 17.解下列不等式： (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 【答案】(1) {x |－1≤x ≤3}．【解析】 (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为?； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)． 18．若不等式ax2＋5x －2＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集． 【答案】(1) a ＝－2. (2) ⎝⎛⎭⎪⎫－3，1219．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】不存在【解析】 要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即{ m ＜0，Δ＝4－4m ?1－m ?＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．20.设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67 【解析】 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)?7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)?m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.21．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f ?x ?x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．【答案】(1) －2.(2) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 【解析】 (1)依题意得y ＝f ?x ?x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f x ?x的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“?x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以{ g ?0?≤0，g ?2?≤0， 即{ 0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 22．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． 【答案】(1) [0,1](2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a ?x ＋1?2＋1－a ， 由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32．。

2020年高考数学二轮复习中档题（第20-21题）专题破解策略（稳心态，分步解） 高考20题、21题对大多数考生来说，要想取得满分有很大难度，但通过努力取得半数以上的分数并不是遥不可及.这是因为，这两个题的第(1)问难度并不大，并且大多数考题的第(1)问承担着第(2)问解题的桥梁作用.况且，高考评卷是按步骤给分的，这就要求考生在考场上不要盲目放弃，正确的做法是：审题——做到精力集中，快速迁移，尽快找到破题入口；解题——做到心态放稳，一旦在某一环节卡住时，可采用缺步解答、跳步解答、逆向解答、辅助解答，会做哪问做哪问、能写多少写多少，思路靠谱也给分！一、圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线[思维流程][技法点拨]圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．[典例示法][典例] (2017·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点B (4,0)，F 2为线段A 1B 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，求证：以点G 为圆心，GF 2的长为半径的圆总与x 轴相切．[解] (1)设点A1(－a,0)，F 2(c,0)，由题意可知：c ＝－a ＋42，即a ＝4－2c . ① 椭圆的离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c . ② 联立方程①②可得：a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. [应用体验]1.(2017·福州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (－3，0)，B (3，0)，以线段AP 为直径的圆C 1内切于圆O .记点P 的轨迹为C2.(1)证明：|AP |＋|BP |为定值，并求C 2的方程；(2)过点O 的一条直线交圆O 于M ，N 两点，点D (－2,0)，直线DM ，DN 与C 2的另一个交点分别为S ，T .记△DMN ，△DST 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围． 解：(1)如图，因为圆C 1内切于圆O ，所以|OC 1|＝2－12|AP |. 依题意，O ，C 1分别为AB ，AP 的中点，所以|OC 1|＝12|BP |，(2)证明：法一：要证以G 点为圆心，CF 2的长为半径的圆总与x 轴相切．只需证GF 2⊥x 轴，即证x G ＝1. 设M (x1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －4)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1消去y ， 可得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，Δ＞0.则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2，(*) 因为直线lA 1M ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， lA 2N ：y ＝y 2x 2－2(x －2)， 即证：3y 1x 1＋2＝－y 2x 2－2， 即3k (x 1－4)(x 2－2)＝－k (x 2－4)(x 1＋2)，即证4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋16＝0.将(*)式代入上式可得4×(64k 2－12)3＋4k 2－10×32k 23＋4k 2＋16＝0⇔16k 2－3－20k 2＋3＋4k 2＝0.此式明显恒成立．所以以点G 为圆心，GF 2的长为半径的圆总与x 轴相切． 法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (x 3，y 3)，易知x 1，x 2，x 3两两不相等， 因为B ，M ，N 三点共线，所以y 1x 1－4＝y 2x 2－4⇒y 21(x 1－4)2＝y 22(x 2－4)2⇒3⎝⎛⎭⎫1－x 214()x 1－42＝3⎝⎛⎭⎫1－x 224(x 2－4)2， 整理得2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝0.又A 1，M ，G 三点共线，所以y 3x 3＋2＝y 1x 1＋2，①又A 2，N ，G 三点共线，所以y 3x 3－2＝y 2x 2－2，② ①与②两式相除，得x 3＋2x 3－2＝y 2(x 1＋2)y 1(x 2－2)， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 3－22＝y 22(x 1＋2)2y 21(x 2－2)2＝3⎝⎛⎭⎫1－x 224(x 1＋2)23⎝⎛⎭⎫1－x 214(x 2－2)2 ＝(x 2＋2)(x 1＋2)(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4， 将2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝0，即x 1x 2＝52(x 1＋x 2)－4代入上式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 3－22＝9， 解得x 3＝4(舍去)或x 3＝1.所以GF 2⊥x 轴，即以点G 为圆心，GF 2的长为半径的圆总与x 轴相切．,所以|AP |＋|BP |＝2(2－|OC 1|)＋2|OC 1|＝4＞|AB |.所以C 2是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以C 2的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意，设直线DM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，因为MN 为圆O 的直径，所以∠MDN ＝90°，所以直线DN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，所以圆心O (0,0)到直线DM 的距离为2|k |k 2＋1， 所以|DM |＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫2|k |k 2＋12＝4k 2＋1， 同理可得，|DN |＝4⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝4|k |k 2＋1 . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 2＋4y 2＝4 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以－2·x S ＝16k 2－41＋4k 2， 解得x S ＝2－8k 21＋4k 2， 所以|DS |＝1＋k 2|x S ＋2|＝41＋k 21＋4k 2， 所以|DT |＝41＋⎝⎛⎭⎫－1k 21＋4⎝⎛⎭⎫－1k 2＝4|k |1＋k 2k 2＋4. 所以S 1S 2＝|DM |·|DN ||DS |·|DT |＝(1＋4k 2)(4＋k 2)(1＋k 2)2， 令t ＝1＋k 2，则t ＞1,0＜3t＜3， 所以S 1S 2＝(4t －3)(t ＋3)t 2＝⎝⎛⎭⎫4－3t ⎝⎛⎭⎫1＋3t ∈⎝⎛⎭⎫4，254， 即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎫4，254.二、函数与导数问题重在“分”——分离、分解[思维流程][技法点拨]函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类讨论思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用．[典例示法][典例] (2017·福州模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－ax (a ∈R)．(1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间；(2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x， 因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a 3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x， 所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0. 所以x ＝3是f (x )的极小值点，所以f (x )是单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(3，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫32，3. (2)g (x )＝a ln x ＋x 2－ax －2x ，g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x，令g ′(x )＝0，得x ＝a 2或x ＝1， 则①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数， h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上为增函数，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数， h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.[应用体验]2.(2018届高三·宝鸡调研)设函数f (x )＝ax 2ln x ＋b (x －1)，曲线y ＝f (x )过点(e ，e 2－e ＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y ＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )≥(x －1)2；(3)若当x ≥1时，f (x )≥m (x －1)2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax ln x ＋ax ＋b (x ＞0)，∵f ′(1)＝a ＋b ＝0，f (e)＝a e 2＋b (e －1)＝a (e 2－e ＋1)＝e 2－e ＋1，∴a ＝1，b ＝－1.(2)证明：f (x )＝x 2ln x －x ＋1，设g (x )＝f (x )－(x －1)2＝x 2ln x ＋x －x 2(x ≥1)，g ′(x )＝2x ln x －x ＋1，由[g ′(x )]′＝2ln x ＋1＞0，得g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g ′(x )≥g ′(1)＝0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (1)＝0.∴f (x )≥(x －1)2.(3)设h (x )＝x 2ln x －x －m (x －1)2＋1(x ≥1)，h ′(x )＝2x ln x ＋x －2m (x －1)－1，由(2)知x 2ln x ≥(x －1)2＋x －1＝x (x －1)，∴x ln x ≥x －1，∴h ′(x )≥3(x －1)－2m (x －1)＝(3－2m )(x －1)，①当3－2m ≥0，即m ≤32时，h ′(x )≥0， ∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴h (x )≥h (1)＝0成立．②当3－2m ＜0，即m ＞32时， h ′(x )＝2x ln x ＋(1－2m )(x －1)，[h ′(x )]′＝2ln x ＋3－2m ，令[h ′(x )]′＝0，得x 0＝e 2m －32＞1， 当x ∈[1，x 0)时，h ′(x )单调递减， 则h ′(x )＜h ′(1)＝0， ∴h (x )在[1，x 0)上单调递减， ∴h (x )＜h (1)＝0不成立．综上，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，32.。