高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

导数——大题——其他中下：1.（2022年湖北宜昌夷陵中学J39）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若()f x ¢是()f x 的导函数，()f x ''是()f x ¢的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''=⎡⎤⎦'+⎣．已知函数()()()ln cos 10,0x f x ae x b x a b =---≥>，若0a =，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为22．（1）求b ；（2）若函数()f x 存在零点，求a 的取值范围；（①）（3）已知1.098ln 3 1.099<<，0.048 1.050e <，0.0450.956e -<，证明：1.14ln π 1.15<<．（求导，中下；第二问，未；）导数——大题——其他中档：1.（2022年广东肇庆J36）已知函数()()ax f x axe a b x =++，()(1)ln g x x x =+.（1）当1a b =-=时，证明：当,()0x ∈+∞时，()()f x g x >；（②）（2）若对(0,)∀∈+∞x ，都[1,0]b ∃∈-，使()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（切线放缩，比较大小，中档；第二问，未；）导数——大题——中档、中上、未：1.（2022年河北演练二J40）已知函数(1)ln (),()|ln |1x xf xg x x x -==+.（1）若()()(1,1)f m g n m n =>>，证明：m n >；（③）（2）设函数()(1)ln (1)F x x x a x =--+，若()0F x =有两个不同的实数根12,x x ，且12x x <，证明：221eax x >⋅.（中档，未；第二问，未；）2.（2022年湖北荆州中学J19）已知函数f （x ）=e x -e -x -a sin x ，其中e 是自然对数的底数．（1）当x ＞0，f （x ）＞0，求a 的取值范围；（④）（2）当x ＞1时，求证：12x x e e x x ---+＞sin sin(ln )x x -.（中档，未；第二问，未；）3.（2022年湖北荆门四校J21）已知函数3()ln()4f x ax x ax=++（其中实数0a >）的最小值为5，（1）求实数a 的值；（⑤）（2）若不等式()(4)5f x k x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围．（中上，未；第二问，未；）4.（2022年湖北襄阳五中J23）已知函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x-=-++>（e 是自然对数的底数）．（1）当1a =时，试判断()f x 在()1,+∞上极值点的个数；（⑥）（2）当1e 1a >-时，求证：对任意1x >，()1f x a >．（中档，未；第二问，未；）2.（2022年河北衡水中学J15）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（⑦）（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（中上，未；第二问，未；）（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21ax x n<+-1.（2022年湖南师大附中J11）已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--.（⑧）（1）若1a =，比较(log 10f 与()5log 9f 的大小；（2）讨论函数()f x 的零点个数.（中档，未；第二问，未；）1.（2022年江苏江阴J61）已知函数()e (1ln )x f x m x =+，其中m ＞0，f '(x )为f (x )的导函数，设()()ex f x h x '=，且5()2h x ≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（⑨）（中档，未；第二问，未；）（2）设函数f (x )的零点为x 0，函数f '(x )的极小值点为x 1，求证：x 0＞x 1．1.（2022年山东枣庄一模J60）已知函数()()e sin xf x x a x a =-∈R ．（1）若[]0,πx ∀∈，()0f x ≥，求a 的取值范围；（⑩）（2）当59a ≥-时，试讨论()f x 在()0,2π内零点的个数，并说明理由．（中档，未；第二问，未；）①【答案】（1）1；（2）10,e⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）将0a =代入并计算()1f ，()f x ''，根据曲率直接计算即可.（2）等价转化为()ln cos 1xx x a e+-=有根，然后令()()ln cos 1xx x g x e+-=并研究其性质，最后进行判断可得结果.（3）依据（2）条件可知1ln 1x x e-+≤，然后根据π3113π,π3ln 1ln 13πe e -+<+<判断即可.【详解】（1）当0a =时，()()ln cos 1f x x b x =---，()1f b =-．()()1sin 1f x b x x '=-+-，()()21cos 1f x b x x''=+-．∴()f x 在()1,b -处的曲率为3212122b k b +==⇒=．（2）()()()ln cos 1ln cos 10x xx x f x ae x x a e +-=---=⇒=令()ln 1h x x x =+-，则()111x h x x x-'=-=当()0,1∈x 时，()0h x '>，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+¥单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，则ln 1x x +≤又令()x x m x e =，则()1'xxm x e -=当()0,1∈x 时，()0m x '>，当()1,∈+∞x 时，()0m x '<所以函数()m x 在()0,1单调递增，在()1,+¥单调递减所以()1(1)m x m e≤=令()()ln cos 1xx x g x e+-=，∴()ln 11x x x x g x e e e+≤≤≤，当且仅当1x =时取“=”，显然，当1a e>时，()f x 无零点．当10a e ≤≤时，()11g a e =≥，111cos 110ee g a e e ⎛⎫-+- ⎪⎛⎫⎝⎭=<≤ ⎪⎝⎭∴存在1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0g x a =，符合题意．综上：实数a 的取值范围为10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）知ln 11xx e e+≤，∴1ln 1x x e -+≤（当且仅当1x =时取“=”）∴π10.0483πln 13e e -+<<，∴0.048ln π1ln 3 1.0501 1.099 1.15e <-+<-+<又∵310.045π3ln 1πe e -+<<，∴0.045ln πln 31 1.09810.956 1.14e ->+->+->综上：1.14ln π 1.15<<．【点睛】关键点点睛：第（1）问关键在于求导；第（2）问关键在于等价转化的使用以及常用不等式（ln 1x x +≤）的使用以及放缩法；第（3）问在于利用第（2）问的条件ln 11xx e e+≤进行比较.②【答案】（1）证明见解析；（2）1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.③【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由()()(1,1)f m g n m n =>>，列出m 与n 的关系式，利用指数对数的运算性质进行化简与放缩即可证明；(2)把()0F x =化成()f x a =的形式，根据导数确定()f x 的单调性与极值，画出简图，确定12,x x 与1的大小关系，利用(1)的结论，可以得到12,x x 与e a 的关系，进而可证得结论.【小问1详解】证明：由()()(1,1)f m g n m n =>>，得(1)ln |ln |ln 1m mn n m -==+，则有(1)ln 1121ln 1111e(e)m m m m m m m m m n mmm ----++++====<，所以m n >；【小问2详解】证明：令()(1)ln (1)0(0)F x x x a x x =--+=>，化简可得(1)ln 1x xa x -=+，即()f x a =，2212ln 2ln 1()(1)(1)(1)x x x x x f x x x x x +--'=+=+++，令1()2ln g x x x x=+-，221()10x x xg =++>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增且(1)0g =，则()g x 即()0f x '<时()0,1x ∈，()0f x '>时()1,x ∈+∞，可得()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，且有(1)0f =，由下图可知，1201x x <<<，0a >，又2222(1)ln ()ln e ln e =(e )1a a a x x f x a g x -====+，即22()=(e )(1,e 1)a a f x g x >>，由(1)可得2e ax >⋅⋅⋅①，又由1()f x a =得1111111111(1)ln (1)ln 1(()ln e ln e =(e )111a a a x x x x f f x a g x x x --======++，即1111((e )(1,e 1)a a f g x x >>，由(1)可得11e a x >⋅⋅⋅②，①②相乘可得221e a x x >，即221e a x x >⋅.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．④22.【答案】解：（1）由题意可知f '（x ）=e x +e -x -a cos x ，①当0＜a ≤2时，由-1≤cos x ≤1可知-2≤-a ≤a cos x ≤a ≤2，又因为e x +e -x ≥2恒成立，所以f '（x ）=e x +e -x -a cos x ≥0恒成立，所以y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．又f （0）=0，所以f （x ）＞0对x ＞0恒成立；②当a ＞2时，，且可知y =e x +e -x 与y =a cos x 必有一个交点，不妨设为x 0，所以y =f （x ）在[0，x 0）上为减函数，在[x 0，+∞）为增函数，又f （0）=0，所以f （x 0）＜0，与题意不符，故舍去．综合可知a 的取值范围是（0，2]．（2），只需证，即证，即证e x -e -x -2sin x ＞e ln x -e -ln x -2sin （ln x ），即证f （x ）＞f （ln x ）（此时a =2），由（1）问可知当0＜a ≤2时y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．所以即证x ＞ln x ，不妨令g （x ）=x -ln x ，则所以y =g （x ）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．又因为g （x ）min =g （1）=1＞0所以g （x ）=x -ln x ＞0恒成立，即x ＞ln x ，所以原结论得证．⑤【答案】（1）2；（2）(],4-∞-.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，构造2()43(0)g x ax ax x =+->并由二次函数性质判断其零点0x 及区间符号，进而确定()f x 的单调性、极值，结合已知最值列方程得003ln2(41)6041x x ++-=+，再构造中间函数求零点，进而求a 的值；（2）令2(0)t x t =>问题转化为()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，构造中间函数研究()F t 的最值，并判断单调性，最后可求k 的范围．【小问1详解】由题设，2243()(0)ax ax f x x ax +-'=>且0a >，令2()43(0)g x ax ax x =+->，则()g x 在(0,)+∞上递增且(0)30=-<g ，所以()0g x =有唯一正实根，记为0x ，则200430ax ax +-=．当00x x <<时，()0g x <即()0f x '<，()f x 单调递减，当0x x >时，()0>g x 即()0f x '>，()f x 单调递增，所以极小值也是最小值为00003()ln()45f x ax x ax =++=．又200430ax ax +-=，可得00341ax x =+，故003ln2(41)6041x x ++-=+，令3()ln26(1)h t t t t =+->，其中041t x =+，则121()20t h t t t-'=-+=>，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增且(3)0h =，而3t =，即012x =，从而2a =．综上，实数a 的值为2.【小问2详解】由题意，3ln(2)502x kx x+--≥恒成立，令2(0)t x t =>．令3()ln 5(0)2kt F t t t t =+-->，则2226()2kt t F t t-+-'=，令2()26(0)t kt t t ϕ=-+->ⅰ、当0k ≥时，(1)202kF =--<，不合题意，舍去，ⅱ、当0k <时，()0t ϕ=有唯一的正实根，记为0t ，且200260t kt -=<，则0(0,3)t ∈且0312kt t -=当00t t <<时，()0t ϕ<，即()0F t '<，当0t t >时，()0t ϕ>，即()0F t '>所以()F t 在0(0,)t 单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，则极小值也是最小值为00000036ln 5ln 62()kt t F t t t t +--+==-．要使()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，则0()0F t ≥．令6()ln 6(03)m x x x x =+-<<，则26()0x m x x-'=<，即()m x 在(0,3)上递减，又(1)0m =，所以不等式()0m x ≥的解集为(]0,1，故001t <≤，又(]020062,0,1,k t t t -=+∈则k 的取值范围是(],4-∞-．【点睛】关键点点睛：（1）构造中间函数，并结合导数研究()f x 单调性、最值，根据已知求得参数间的函数关系及参数范围；（2）令2(0)t x t =>，根据已知确定隐零点0t 与参数k 的关系，并求出0t 的范围，进而求k 的范围.⑥【答案】（1）()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；（2）求出函数的导数，构造函数()=e 1x axh x x ---，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，故可将原问题转化为对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.【小问1详解】当1a =时，()1e ln ln2x f x x x-=-+,则1122(1)(e )e (1)11()x x xx x x f x x x x ------'=-=，设1()=e1x x x x ϕ---，则11()e 11x x x ϕ-=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()x ϕ→-∞，(2)e 20ϕ=->，所以存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=，当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，所以()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；【小问2详解】证明：由22(1)(e )e (1)11()x a x a xx x x f x x xx ------'=-=，设()=e1x ax h x x ---，则1()e 11x ah x x -=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()h x →-∞，因为1e 1a >-，所以1(1)e 10h a a +=-->，所以存在0(1,1)x a ∈+，使得0000()e01x ax h x x -=-=-，当0(1,)x x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，故0x x =是函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x -=-++>的极小值点，也是最小值点，则()0000e ln l 1)n ()(x af x x f x a x --+=+≥，又因为000e1x ax x -=-，所以()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a->-+-，设()ln 11g x x x =--，则()ln 11g x x x =--在()1,+∞上单调递减，因为0(1,1)x a ∈+，所以0()(1)g x g a >+，故()001ln ln 111x a x a->-+-，故对任意1x >，()1f x a>.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的问题，综合性较强，要能熟练求导，利用导数判断函数的单调性以及求函数最值，解答的关键是根据函数或导数的特点，构造函数，进而结合零点存在定理判断导数正负，求得函数的最值，利用函数最值进而证明不等式成立.⑦【答案】（Ⅰ）当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【详解】（Ⅰ）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论：（1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,1)-∞-(1,1)-(1,)+∞()f x '-+-()f x所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增.（2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n -=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即，则0()()()F x f x f x -'''=由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()20()g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.a x x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1a x n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101a x x x x x n''-<-=+-.因为2n ≥，所以11112(11)111n n n C n n ---=+≥+=+-=，故1102n n x -≥=，所以2121a x x n-<+-.【解析】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.⑧【答案】（1）(()25log 10log 9f f >（2）当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点【解析】【分析】（1）利用导数判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，根据函数的单调性即可得出答案；（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数可求得()min 2f x a '=-，再分20a -≥和20a -<两种情况讨论，结合零点的存在性定理，从而可得出结论.【小问1详解】解：当1a =时，()()()1ln 1f x x x x =+--，()1ln 11ln x f x x x x x+'=+-=+，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，因为2445log 10log 10log 9log 91=>>>，所以(()25log 10log 9f f >；【小问2详解】解：()11ln ln 1x f x x a x a x x +'=+-=++-，令()1ln 1g x x a x =++-，则()()221110-'=-=>x g x x x x x，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()min 12g x g a ==-，即()min 2f x a '=-，①若20a -≥，即2a ≤，则()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上递增，因为()10f =，则1x =为()f x 的唯一零点；②若20a -<，即2a >，则()()min 10f x f ''=<，因为e 1a >，()1e 10e aaf '=+>，则()f x '在()1,+∞内仅有个零点，记为n ，因为0e 1a -<<，()e e 21a af a -'=-+设()e 21a h a a =-+，则当2a >时，()e 20ah a '=->，所以()h a 在()2,+∞内单调递增，从而()()22e 30h a h >=->，即()e 0af -'>，所以()f x 在()0,1内仅有一个零点，记为m ，于是，当()0,x m ∈或(),x n ∈+∞时，()0f x '>，当(),x m n ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),n +∞和()0,m 上递增，在(),m n 上递减，因为01m n <<<，()10f =，则()0f m >，()0f n <，故()f x 在(),m n 内有唯一零点，因为()()()e e 1e 12e 0aa a a f a a a ----=-+--=-<，则()f x 在()0,m 内有唯一零点，因为()()()e e 1e 120a a af a a a =+--=>，则()f x 在(),m +∞内有唯一零点，所以()f x 在()0,∞+内有3个零点.综上所述，当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了利用导数研究函数的零点的问题，考查了二次求导，考查了学生的数据分析能力及分类讨论思想，属于难题.⑨【答案】（1）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得()'f x 解析式，即可得()h x 解析式，利用导数求得()h x 的单调区间和最小值，结合题意，即可得m 的范围.（2）求得()f x ''解析式，令22()1ln (0)m m t x m x x x x=++->，利用导数可得()t x 的单调性，根据零点存在性定理，可得存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得t (x 2)＝0，进而可得f '(x )在x ＝x 2处取得极小值，即x 1＝x 2，所以11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++-=∈ ⎪⎝⎭，令()1ln s x m x =+，分析可得s (x 1)＜0，即可得证【小问1详解】由题设知()e (1ln )x m f x m x x'=++，则1ln (())0h m m x x x x ++>=，所以22(1)()m m m x h x x x x -'=-=当x ＞1时，h '(x )＞0，则h (x )在区间(1，＋∞)是增函数，当0＜x ＜1时，h '(x )＜0，则h (x )在区间(0，1)是减函数，所以h (x )min ＝h （1）＝512m +≥，解得32m ≥，所以m 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【小问2详解】222e 1ln e )n (1l x x m m m m m m x m x x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫+++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'=⎭'令22()1ln (0)m m t x m x x x x=++->则2322()m m m t x x x x '=-+＝2233(1)1(22)0m x m x x x x ⎡⎤-+-+⎣⎦=>恒成立，所以t (x )在(0，＋∞)单调递增．又1(1)10,1l 3ln 20n 2122t m t m ⎛⎫=+>=-≤- ⎪⎝⎭<，所以存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得t (x 2)＝0，当x ∈(0，x 2)时，t '(x )＜0，即f ''(x )＜0，则f '(x )在(0，x 2)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，t '(x )＞0，即f ''(x )＞0，则f '(x )在(x 2，＋∞)单调递增；所以f '(x )在x ＝x 2处取得极小值．即x 1＝x 2，所以t (x 1)＝0，即11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++-=∈ ⎪⎝⎭，所以1122111(12)21ln 0m x m m m x x x x -+=-=<，令()1ln s x m x =+，则s (x )在(0，＋∞)单调递增；所以s (x 1)＜0因为f (x )的零点为x 0，则01ln 0m x +=，即s (x 0)＝0所以s (x 1)＜s (x 0)，所以x 0＞x 1【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调区间，极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需结合零点存在性定理，判断零点所在区间，再进行分析和求解，属中档题.⑩【答案】（1）(],1-∞（2）若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点，证明见解析.【解析】【分析】(1)求导，然后，分别讨论0a ≤，01a <≤和1a >时的单调性即可.(2)根据(1)的结论，分别讨论590a -≤≤，01a <≤和1a >时零点的个数.【小问1详解】'()(1)e cos x f x x a x=+-①若0a ≤，当[0,]x π∈时，0a -≥，sin 0x ≥，()e ()sin 0x f x x a x =+-≥，当且仅当0x =时取等号，可见，0a ≤符合题意.②若01a <≤，当[0,]2x π∈时，0'()(1)e cos 10f x x a x a ≥+-≥-≥；当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，cos 0x <，'()(1)e (cos )0x f x x a x =++⋅->.可见，当[]0,x π∈时，'()0f x ≥，当且仅当1a =，且0x =时取等号.所以()f x 在[0,]π上单调递增，所以，()(0)0f x f ≥=.所以01a <≤符合题意.③若1a >，因为(1)e x y x =+在[]0,π上单调递增，cos y a x =-在[]0,π上单调递增，所以，'()(1)e cos x f x x a x =+-在[]0,π上单调递增，又'(0)10f a =-<，2'((1)e 022f πππ=+>，由零点存在定理及'()f x 的单调性，存在唯一的0(0,2x π∈，使得0'()0f x =.当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=，()f x 单调递减，所以，()(0)0f x f <=.可见，1a >不符合题意.综上，a 的取值范围是(],1-∞【小问2详解】①若590a -≤≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.当(),2x ∈ππ时，1sin 0x -≤<，0sin 1x <-≤，sin a x a -≥，又由e x y x =单调递增，则33()e sin e 3e 593 2.7590.0490x f x x a x a ππ=->+>->⨯-=>.可见，若590a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点.②若01a <≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.当(,2)x ππ∈时，sin 0x ->，()e (sin )0x x f x x a x xe =+->>.可见，若01a <≤，()f x 在(0,2)π内无零点.③若1a >，由(1)，存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=.()f x 单调递减；当0(,)x x π∈时，0'()'()0f x f x >=，()f x 单调递增.又(0)0f =，所以0()(0)0f x f <=.又()e 0f πππ=>，由零点存在定理及()f x 的单调性，存在唯一的10(,)x x π∈，使得1()0f x =.可见，()f x 在(]0,π内存在唯一的零点.当(,2)x ππ∈时，sin 0,sin 0x a x <->，所以，()e sin e 0x x f x x a x x =->>，所以，()f x 在(,2)ππ内没有零点，可见，()f x 在(0,2)π有且仅有1个零点.综上所述，若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点.【点睛】关键点睛：通过导数讨论含参函数的单调性时，要对参数进行分类讨论，分类讨论时，要注意做到不重不漏；讨论含参函数的零点个数时，要利用零点存在定理来讨论零点个数，利用零点存在定理讨论零点个数时，要注意结合单调性讨论，属于难题。

2010年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.(2010全国Ⅱ卷文)若曲线b ax x y ++=2在点（0，b ）处的切线方程是10x y -+=则()（A ）a=1，b=1（B ）a=-1，b=1（C ）a=1，b =－1（D ）a=-1，b=-1【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =2.(2010全国Ⅱ卷理)若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（）（A）64（B）32（C）16（D）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.3.(2010全国新课标卷文)曲线3y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（）（A）1y x =-（B）1y x =-+（C）22y x =-（D）22y x =-+解析：'2y 32,1,1x k y x =-∴==-切线方程为，选A命题意图：本题考查导数的几何意义4.(2010全国新课标卷理)曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A 【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义5.(2010江西理)等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =--- ，则()'0f =（）A．62 B.92 C.122 D.152【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

垦区第四届“创新杯”高中数学青年教师教学技能展评活动说题题目：说新课标2010年高考数学理科试题21题说题人：李洪君单位：农垦总局哈尔滨管理高级中学说新课标2010年高考数学理科试题21题导数题试题再现设函数)(x f =21x e x ax ---. （Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间; （Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围.选此题的的理由：1、此题反映了近几年的高考导数压轴题的方向。

（11及12年导数试题在解题方法和数学的本质上都能找到此题的影子）2、此题本质“追根溯源回归课本”,“源于课本，高于课本”3、对于高考导数压轴题出题人是如何体现数学的本质，而对于我们有应该如何发现其本质解题，这些年来我一直在研究，已有一些想法和疑惑想和专家评委及各位同行交流。

一、说题目立意1、题目条件：以指数函数和二次函数的复合型2、结论：①求函数的单调性。

②不等式恒成立时求参数的范围。

3、涉及的考点①考查常见函数的导数公式及导数的四则运算法则； ②导数法判断函数的单调性 ③不等式恒成立时求参数的范围④考查分类讨论、数形结合、转化划归等思想。

二、说如何分析讲解首先我们来看下当年黑龙江生当年的得分情况，全省平均分3.86，重点校得分4.76，一般校得分3.51，区分度为0.3726.此题重点校与一般校平均分并不是相差很大。

主要原因大部分考生可以解决本题的第一问，用导数求函数的单调性比较扎实。

第二问普遍做的不好，即是重点校的考生些考生对不等式的恒成立问题的处理不好。

问（Ⅰ）解法： （1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加点评：求导令导数大于零，求递增区间，令导数小于零求递减区间。

2010全国各地高考数学文科试题分类汇编函数与导数2010安徽文（20）（本小题满分12分）设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值。

2010北京文(18) （本小题共14分） 设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++ ，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。

2010湖南文21．（本小题满分13分） 已知函数()(1)ln 15,af x x a x a x=++-+其中a<0,且a ≠-1. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数332(23646),1(),1(){x x ax ax a a e x e f x x g x -++--≤⋅>=（e 是自然数的底数）。

是否存在a ，使()g x 在[a,-a]上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

2010辽宁文（21）（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-。

（21）（本小题满分12分） 已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ （I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（II ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性. 2010陕西文21、(本小题满分14分)已知函数f （x ）g （x ）=alnx ，a ∈R 。

（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程； （2）设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值ϕ（a ）的解析式； （3） 对（2）中的ϕ（a ），证明：当a ∈（0，+∞）时， ϕ（a ）≤1.2010天津文（20）（本小题满分12分）已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.2010新课标全国卷文 （21）本小题满分12分） 设函数()()21x x f x e ax =-- （Ⅰ）若a=12，求()x f 的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时()x f ≥0，求a 的取值范围（19）（本小题满分12分。

一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法2010年全国统一招生考试理科（新课标）数学试卷的第21题：设函数()21x f x e x ax =---． （Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调性区间； （Ⅱ）若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．这一道题看似简单其实是一道深思熟虑的试题，尤其是第（Ⅱ）问，命题者给出的答案非常巧妙并且颇有思辨性，但命题者解法不是中学数学教育中的通性通法，该解法中学教师和中学生接受都有点困难．基于此，本文就命题者的解法机理分析及其通性通法谈一下看法．先看命题者给予的解答（记为方法一）： 方法一：（Ⅱ）()12x f x e ax '=--，由于1x e x ≥+，()2(12)f x x ax a x '≥-=-，（i ）若120a -≥，即12a ≤时，当0x ≥时，()0f x '≥，而(0)0f =，于是，有()(0)0f x f ≥=； （ii ）若12a >时，由于0x ≠时，1x e x >+，可得1x e x ->-，1x e x -->-，所以，22(1)x ax a e --<-，()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --'<-+-=--，当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x '<，而()00f =，于是存在(0,ln 2)x a ∈，使得()(0)0f x f <=，即12a >时，()0f x ≥在[0,)+∞不恒成立， 综上所述：实数a 的取值范围是1(,]2-∞．一、解题机理分析：从命题的逻辑关系来看，所谓的“若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．”实际上是求“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的充要条件，解答中对参量a 的分类讨论“（i ）若12a ≤时，任意x ∈[0,)+∞，()0f x '≥，所以当0x ≥时，()0f x ≥”，即“12a ≤”就是“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的充分条件，并非是必要条件，“（ii ）若12a >时，存在(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <，”是求的“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的必要条件，即“若x ∀∈[0,)+∞，()0f x ≥，则12a ≤”等价于“若12a >时，则存在[0,)x ∈+∞，()0f x <”． 从同一解题思想方法出发，还可以选择两次求导数的方法来求“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的充要条件．方法二：（Ⅱ）()12x f x e ax '=--，令()()g x f x '=，则()2x g x e a '=-，由于0x ≥时，1x e ≥，若12a ≤时，()0g x '≥（等号仅当0x =时成立）， 所以，()g x 在[0,)+∞上单调递增，且()00g =，因此，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，即()0f x '≥，且()00f =，所以，()()00f x f ≥=；由于()0g x '≥只是“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的充分条件，同方法一一样也要求“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的必要条件，以下同方法一． 方法一、方法二分别利用了若0x ≥，则1x e x ≥+1≥的结论，事实上，对于0x ≥，有更精确的结论是2112x e x x ≥++，并且利用这个结论恰好可以进行变量分离、构造函数和化归成恒成立问题来来解决，而变量分离、构造函数和化归成恒成立问题也恰好是中学数学常用的通性通法和思想方法，并且可以直接得到“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的充要条件． 二、本题的通性通法：方法三（参变量分离法）：（Ⅱ）（i ）若0x =时，()0f x ≥成立时，a 是任意实数；（ii ）若0x >时，()0f x ≥等价于2211x e a x x x ≤--，令()21x e x g x x --=，令21()12x K x e x x =--- ，()1x K x e x '=--，由于1x e x ≥+，()0K x '≥，()K x 在(0,)+∞上是增函数，即在[0,)+∞上是增函数，且(0)0K =，()(0)0K x K ≥=，即2112xe x x ≥++，而()21xe x g x x --=221122xx >=， 即12a ≤，综上所述：实数a 的取值范围是1(,]2-∞．方法四（化归思想）：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x ≥时，1x e x ≥+，令()2112x h x e x x =---（0x ≥），则()10x h x e x '=--≥，则()h x 在区间[0,)+∞上是增函数，且()00h =，所以，()2112x h x e x x =---0≥，即2112x e x x ≥++， 所以，()2(1)x f x e x ax =-+-22211(12)22x ax a x ≥-=-，由于()0f x ≥在0x ≥时恒成立，即21(12)02a x -≥恒成立，则120a -≥，解之12a ≤，故实数a 的取值范围是1(,]2-∞．方法三和方法四都利用了0x ≥时，2112x e x x ≥++这个结论，事实上已经触及这个问题的底线，也就是泰勒（Taylor ）公式：2112xe x x =+++…1!(1)!n n x x x e n n θ++++，01θ<<．三、构造函数利用极限思想方法五：（Ⅱ）（i ）若0x =时，()0f x ≥成立时，a 是任意实数；（ii ）若0x >时，()0f x ≥等价于2211x e a x x x ≤--，令()21x e x g x x --=，由（Ⅰ）知1xe x ≥+（仅0x =等号成立），所以()2(1)0x e x g x x -+=>， ()g x '3(1)2(1)x x e x e x+--= 因为0x >，要()0g x '>，只需(1)2(1)0x x e x e +-->，现在设()(1)2(1)x x h x e x e =+--，即只需()22x x h x xe e x =-++0>（x 0>），又(0)0h =， 则只需()0h x '>（x 0>）， （1）当1x ≥时，因为()21x x x h x e xe e '=+-+ 1x x xe e =-+(1)1x e x =-+ (1)(1)1x x >+-+20x =>， 即()h x '0> （2）当0<x<1时因为()21x x x h x e xe e '=+-+ 1x x xe e =-+ (1)1x e x =-+此时，令()(1)1x t x e x =-+，则()x t x xe '=>0， 所以()(0)0t x t >=，综上所述：()h x (0)0h >=所以()3(1)2(1)2x x e x e x g x x ---+'=3(1)2(1)x x e x e x +--=0>， 则()g x 在区间(0,)+∞上是增函数，因此，0lim ()x a g x →≤201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x→-=01lim 22x x e →==， 综上所述：实数a 的取值范围是1(,]2-∞．。

导数1．设a 为实数，函数.,22)(R x a x e x f x ∈+-=（I ）求)(x f 的单调区间与极值；（II ）求证：当012ln >->x a 且时，.122+->ax x e x12．已知函数)0(2)1ln()(2≥+-+=k k x x x f x 。

(Ⅰ)当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； (Ⅱ)求)(x f 的单调区间。

3．（Ⅰ）已知函数x x f x -=3)(,其图像记为曲线C.（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）证明：若对于任意非零实数x 1,曲线C 与其在点))(,(111x x P f 处的切线交于另一点))(,(222x x P f ，曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点))(,(333x x P f ，线段P P P P 3221,与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S S 21,，则12S S 为定值； （3）对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx b a x g x x ,请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。

4．已知函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，对任意R x ∈，恒有).()('x f x f ≤（I ）证明：当0≥x 时，;)()(2c x x f +≤（II ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式)()()(22b c M b f c f -≤-恒成立，求M 的最小值.5．设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。

（1）当a=1时，求()f x 的单调区间。

（2）若)(x f 在(]1,0上的最大值为21，求a 的值。

6．已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。

第十三章 导数 (二 导数的应用)【考点阐述】利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 【考试要求】（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考题分类】（一）选择题（共2题）1.（江西卷理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ((0)0S =)，则导函数()y S t '=的图像大致为A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。

最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C ；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B ；考察A 、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A 。

2.（山东卷文8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件【答案】C【解析】令导数'2810y x =-+>，解得09x <<；令导数'2810y x =-+<，解得9x >，所以函数31812343y x x =-+-在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)+∞上是减函数，所以在9x =处取极大值，也是最大值，故选C 。

【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。

（二）解答题（共35题）1.（安徽卷理17）设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R 。

(Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+。

高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。

9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。

解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。

2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。

解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==−， B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b −==，D ．1e a −= ，1b =−2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+−+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =−B ．y x =−C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x −<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =−，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >−C ．11()11f k k <−−D ．1()11kf k k >−− 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =−+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y =2y x =−及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e −C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln 2− B ．2ln 2 C ．ln 2− D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =−+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =−B ．1y x =−+C ．22y x =−D ．22y x =−+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2−，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =−+，则曲线()y f x =，在点(1,3)−处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx −⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=−xey 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(−P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:−=x l 在点()0,1−P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:−=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=− 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=−⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx −+=⎰___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =−．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a xf x xebx −=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =−+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()exx ax f x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =−． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x−=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =−+．(Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln xf x e x m =−+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x −，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分 2019年1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（）， 所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x −=−，即3y x =． 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a −=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =−．故选D ．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+−+f x x a x ax 为奇函数，所以()()−=−f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]−+−−+−=−+−+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0−=a x ， 因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+−+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0−+=f f ，所以11(11)0−+−−++−+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+−+=+−+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+−+g x x a x a 为偶函数，所以10−=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )P x x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯−=−， 则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x −=−，22221:ln ()l y x x x x +=−−，于是1(0,ln 1)A x −，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧−=−⎪⎪⎨⎪+=−−⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=−1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =−1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然 12k k ⋅=1211x x ⋅=−1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0， 显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=−1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=−1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．4．C 【解析】 取满足题意得函数()21f x x =-，若取32k =，则121()()33f f k == 213k <=，所以排除A ．若取1110k =，则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ===>==----，所以排除D ；取满足题 意的函数()101f x x =-，若取2k =，则1111()()412211f f k k ==>==--，所以排除B ， 故结论一定错误的是C ． 5．D 【解析】11y a x '=−+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =−（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =−=−=⎰． 7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx ee e ===−⎰．显然213S S S <<，故选B ．8．C【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =−=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=−+=⎰，选C10．C 【解析】1(2)x e x dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x'=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =−=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯−=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x xe y e e e−−==≥−+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤． 14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x −=−，即2=y x ．15．3−【解析】(1)xy ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2−，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=−，所以3a =−．16．1ln 2−【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x +和22(,ln(1))x x +． 则切线分别为1111ln 2()y x x x x −−=−，2221ln(1)()1y x x x x −+=−+， 化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++−++， 依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+−⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=−．17．21y x =−−【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =−，则1()3f x x'=−，(1)2f '=−，则在点(1,3)−处的切线方程为32(1)y x +=−−，即21y x =−−．18．0【解析】2221(1)()002x dx x x −=−=⎰． 19．(1,1)【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=−，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==−，因为121k k ⋅=−，所以2011x −=−，即21x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．20．512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx −=−=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．21．53y x =−+【解析】55xy e −'=−，在点(0,3)处的切线的斜率为5−，切线方程为35(0)y x −=−−，即53y x =−+． 22．22e 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴110=2()22|2xx S e e dx e e−=−=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e 阴正． 23．－3【解析】由题意可得542b a −=+① 又2()2bf x ax x'=−，过点)5,2(−P 的切线的斜率7442b a −=− ②，由①②解得1,2a b =−=−，所以3a b +=−． 24．①③④【解析】 对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =−''=+=，所以:1l x =−不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1−P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x'=，1|1x y ='=，在点()0,1P 处的切线为1:−=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =−−>，可得11()1x h x x x−'=−=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x −≥， 可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误． 25．2【解析】1y x αα−'=，则k α=，故切线方程y x α=过点(1,2)解得2α=．26．3【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 27．113[()1]12n n +−+【解析】由01221......(1)n nn nn n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +−+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x −−⎛⎫−⎛⎫⎛⎫+=−=−−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． 29．94【解析】a a x dx x S aa ====⎰232303232，解得49=a ．30．43y x =−【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y −−=. 31．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．32．1N N 【解析】由题意可知11()1f x dx NN≈⎰得11()N f x dx N≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1N N．33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a −=−当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =−，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=−−=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =−−，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=−−−=−．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<．所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =−． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx −=+Q ，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b −−−'=−+=−+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =−+ ∴(2)2(e 1)4f =−+，(2)e 1f '=− 即2(2)2e 22(e 1)4a f b −=+=−+ ①2(2)(12)e e 1a f b −'=−+=− ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x −=+，2()(1)e e x f x x −'=−+令2()(1)e x g x x −=−，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x −−−'=−−−=−∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =−=− ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=−>． 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),−∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x a f x e e+−+−+−+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x xx x x f x e e −+=故33(1),'(1),f f e e ==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e−=−化简得30x ey −=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e −+−+=．令2()3(6)g x x a x a =−+−+，由()0g x =解得166a x −−=，266a x −+=当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数； 当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知263,6a x −=≤解得9,2a ≥−故a 的取值范围为9,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭．37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==−． 因此，当34a =−时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =−<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤， ∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a −≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <−，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =−>，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a −≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调， 而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a −≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a −<<，则()f x 在（01）单调递增，故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14．①若f ＞0，即34−＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =−，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a −<<−，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a −<<−时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a −<≤−时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >−或54a <−时，()h x 由一个零点；当34a =−或54a =−时，()h x 有两个零点；当5344a −<<−时，()h x 有三个零点．38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x−−=+−+．由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故 (2)由(1)知12()ln xx f x e x e x −=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e−>−． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=−．设函数2()xh x xe e−=−，则'()(1)x h x e x −=−．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增， 在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=−． 39．【解析】(Ι)因为'1()xf x e x m =−+, x =0是()f x 的极值点，所以'1(0)10f m=−=， 解得1m =，所以函数()f x =xe -ln(x +1)，其定义域为(1,)−+∞，因为'1()1xf x e x =−+=(1)11x e x x +−+，设()(1)1x g x e x =+−，则'()(1)0x xg x e x e =++>，所以()g x 在(1,)−+∞上是增函数，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即'()0f x >；当10x −<<时，()0g x <，'()0f x <，所以()f x 在(1,0)−上是减函数；在(0,)+∞，上是增函数．（Ⅱ）当2m ≤，(),x ∈−∞+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+， 故只需证明当2m =时，()0f x >． 当2m =时，函数()12x f x e x '=−+在()2,−+∞单调递增． 又()()10,00f f ''−<>，故()0f x '=在()2,−+∞有唯一实根0x ，且()01,0x ∈−． 当()02,x x ∈−时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得()00001,ln 22x e x x x =+=−+， 故()()()2000011022x f x f x x x x +≥=+=>++ 综上，当2m ≤时，()0f x >．40．【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得1b =−，由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭， 得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2x x+12x．记()()9=-+6xh x f x x ， 则()()()()()()22215454+654'==-<-+12+14+1+6+6+6x h x x x x x x x()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x 因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ， 于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x ．（证法二）由（1）知()()=ln +1f x x ，由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2x x +12x令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ，故()<0k x ， 即()ln +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ， 则当0<<2x 时，()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x ++++−++1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2xx x x x x <++++−++()()=7-18<04+1xx x ．因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6xf x x ．41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x −得2()=31f x x '−=3(x −，当(,)3x ∈−∞−和3+∞（）时，()>0f x '；当(,3x ∈−)3时，()<0f x '，因此，()f x的单调递增区间为(,)3−∞−和3+∞（），单调递减区间为(,3−)3． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x −−−即2311y=(31)2,x x x −−由23113(31)2=y x x x y x x⎧=−−⎪⎨−⎪⎩得3=x x −2311(31)2x x x −−，即211()+2)=0x x x x −（，解得1121=2,2x x x x x x =−=−或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x −=−⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =−和42227=4S x ，又2120x x =−≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3ba−的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a −(，))3b a−平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用2019年1（2019天津理8）已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧−+=⎨−>⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e 2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数32()2f x x ax b =−+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1−且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.3.（2019浙江22）已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =−时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有(),2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数.4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数()sin ln(1)f x x x =−+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2π−存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数()11ln x f x x x −=−+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.6.（2019江苏19）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =−−−∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}−中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 7.（2019北京理19）已知函数321()4f x x x x =−+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[]2,4x ∈−时，求证：()6x f x x −≤≤.(III)设()()()F x f x x a a =−+∈R ，记()F x 在区间[]2,4−上的最大值为()M a ，当()M a 最小时，求a 的值.8.（2019天津理20）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明π()()02f x g x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭…；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =−在区间ππ2,2π42m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明200π22sin c e os n n n x x x ππ−+−<−.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）若2x =−是函数21()(1)x f x x ax e−=+−的极值点，则21()(1)x f x x ax e −=+−的极小值为A ．1−B ．32e −− C ．35e − D ．12．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是xxA ．B ．xxC ．D ． 3．(2016全国I) 函数2||2x y x e =−在[–2,2]的图像大致为A ．B ．C ．D ．4．（2015四川）如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =−+−+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，那么mn 的最大值为A ．16B ．18C ．25D ．8125．（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f −=，当0x >时，'()()xf x f x −0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是A ．()(),10,1−∞−UB ．()()1,01,−+∞UC ．()(),11,0−∞−−UD ．()()0,11,+∞U6．（2015新课标Ⅰ）设函数()(21)xf x e x ax a =−−+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 A ．3[,1)2e −B ．33[,)24e −C ．33[,)24eD ．3[,1)2e7．（2014新课标Ⅱ）若函数()ln f x kx x =−在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2−∞−B ．(],1−∞−C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为(千米)x -6y =-A ．321122y x x x =−− B ．3211322y x x x =+− C ．314y x x =− D ．3211242y x x x =+−9．（2014新课标Ⅱ）设函数()x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 A ．()(),66,−∞−⋃+∞ B ．()(),44,−∞−⋃+∞C ．()(),22,−∞−⋃+∞D ．()(),11,−∞−⋃+∞10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为A ．3131255y x x =− B ．3241255y x x =− C ．33125y x x =− D ．3311255y x x =−+11．（2014辽宁）当[2,1]x ∈−时，不等式32430ax x x −++≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[5,3]−−B ．9[6,]8−− C ．[6,2]−− D ．[4,3]−− 12．（2014湖南）若1201x x <<<，则A ．2121ln ln xxe e x x −>− B ．2121ln ln xxe e x x −<− C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e < 13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =−+与2322y a x ax x a =−++()a R ∈的图像不可能．．．的是B14．（2013新课标Ⅱ）已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是A ．∃()00,0x R f x ∈=B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x −∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则()0'0f x =15．（2013四川）设函数()f x =a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线xy sin =上存在点)(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是 A ． ]e ,1[ B ．]11e[1，−− C ． [1e 1+，] D ． [1e 1e 1−−+，]16．（2013福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x −是()f x −的极小值点C ．0x −是()f x −的极小值点D ．0x −是()f x −−的极小值点 17．（2012辽宁）函数x x y ln 212−=的单调递减区间为 A ．(－1,1] B ．(0,1]C ． [1,+∞)D ．(0,+∞)18．（2012陕西）设函数()xf x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =−为()f x 的极大值点D ．1x =−为()f x 的极小值点19．（2011福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =−−+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．920．（2011浙江）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =−为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A B C D21．（2011湖南）设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12 C D ．2二、填空题22．（2015安徽）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）①3,3a b =−=−；②3,2a b =−=；③3,2a b =−>；④0,2a b ==； ⑤1,2a b ==．23．（2015四川）已知函数xx f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）．对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m −−=，2121)()(x x x g x g n −−=，现有如下命题：①对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；②对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ； ③对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m −=． 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．24．（2015江苏）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>−−≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 ．25．（2011广东）函数32()31f x x x =−+在x =______处取得极小值． 三、解答题26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数1()ln f x x a x x=−+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2−<−−f x f x a x x ．27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数2()e =−xf x ax ．(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ； (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++−．(1)若0a =，证明：当10x −<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．29．(2018北京)设函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =−+++．(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 30．(2018天津)已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >．(1)求函数()()ln h x f x x a =−的单调区间；(2)若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=−； (3)证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线．31．(2018江苏)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+−不存在“S 点”； (2)若函数2()1f x ax =−与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知函数2()f x x a =−+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．32．(2018浙江)已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>−； (2)若34ln 2a −≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．33．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()(2)xx f x aea e x =+−−．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．34．（2017新课标Ⅱ）已知函数2()ln f x ax ax x x =−−，且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x −−<<．35．（2017新课标Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =−−．(1)若()0f x ≥，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．36．（2017浙江）已知函数()(xf x x e−=1()2x ≥．（Ⅰ）求()f x 的导函数；（Ⅱ）求()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围．37．（2017江苏）已知函数32()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72−，求a 的取值范围． 38．（2017天津）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+−−+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈U ，函数0()()()()h x g x m x f m =−−，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈U 满足041||p x q Aq −≥． 39．（2017山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =−+−，其中2.71828e =L 是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()h x g x af x =−()a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．40．(2016年山东)已知()221()ln ,R x f x a x x a x−=−+∈． （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立． 41．(2016年四川) 设函数2()ln f x ax a x =−−，其中a R ∈.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x−>−在区间(1,)+∞内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．42．(2016年天津)设函数3()(1)f x x ax b =−−−,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II)若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； (Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[−上的最大值不小于．．．41． 43．(2016年全国Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =−+−有两个零点．（I ）求a 的取值范围；（II ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 44．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数2()e 2xx f x x −=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x −++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x−−> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．45．(2016年全国Ⅲ) 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+−+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A ． （Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．46．（2016年浙江高考）已知3a ≥，函数()F x =2min{2|1|,242}x x ax a −−+−，其中min{,}p q =,>p p qq p q ⎧⎨⎩，≤ ．（I ）求使得等式2()242F x x ax a =−+−成立的x 的取值范围； （II ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a ．47．(2016江苏) 已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．（1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x −≥恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =−有且只有1个零点，求ab 的值． 48．(2015新课标Ⅱ）设函数2()mxf x ex mx =+−．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)−∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈−，都有12|()()|f x f x −1e −≤，求m 的取值范围． 49．(2015山东)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++−，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．50．（2015湖南）已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞．记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点．证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列；（2）若a ，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立．51．（2014新课标Ⅱ）已知函数32()32f x x x ax =−++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为－2． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =−只有一个交点．52．(2014山东）设函数())ln 2(2x xk x e x f x +−=（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围． 53．（2014新课标Ⅰ）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a −=+−≠，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01af x a <−，求a 的取值范围． 54．（2014山东）设函数1()ln 1x f x a x x −=++ ，其中a 为常数．。