高考题汇编2010-2017年全国高考数学真题--第21题导数

全国卷2010----2017文科数学高考真题-------函数（2017新课标3）7．函数2sin 1x y x x =++的部分图像大致为 12．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．11621．（12（1（2（2017A ．(1421．（12（1）讨论的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.（2017新课标1）8．函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．9A ．f C ．y =14．曲线21．（12（1（2（2016新课标3）（7）已知4213332,3,25a b c ===，则(A)b a c << (B)a b c << (C)b c a << (D)c a b <<（16）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________.（21）（本小题满分12分）设函数()ln 1f x x x =-+．（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （x（2016（ (12)x 1,y 1），(x 2,(20)(((（2016新课标1）（8）若a >b >0，0<c <1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b（9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C（12（A （21（（2015DA 运动,记BOP ∠12.A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a =．16.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a =．21.（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.（2015（A （12a =()（A ）1-1421.（I （II （201415．偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________．（2014新课标1）5.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A.)()(x g x f 是偶函数B.)(|)(|x g x f 是奇函数C.|)(|)(x g x f 是奇函数D.|)()(|x g x f 是奇函数12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 ()2,+∞（B ）()1,+∞（C ）(),2-∞-（D ）(),1-∞-15.21.0 （1）求（2（2014f (9)=()A.－21.（1（2（2013（A ）a ＞c ＞b （B ）b ＞c ＞a （C ）c ＞b ＞a （D ）c ＞a ＞b11.已知函数f(x)=32x ax bx c +++,下列结论中错误的是（）（A ）∃0x R ∈,f(0x )=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若0x 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,0x ）单调递减 （D ）若0x 是f （x ）的极值点，则'f (0x )=012.若存在正数x 使2x （x-a ）＜1成立，则a 的取值范围是（）（A ）（-∞，+∞）（B ）(-2,+∞)(C)(0,+∞)(D)（-1，+∞）（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值。

2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---导数（2017全国1.理数.21）已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【考点】：导数综合问题。

【思路】：（1）直接进行求导，分类讨论（2）函数有两个零点，故而函数不单调；根据函数单调性判断函数图像即可。

【解析】：（1）对函数进行求导可得()()()()2'22111x x x x f x ae a e ae e =+--=-+。

○1当0a ≤时，()()()'110x x f x ae e =-+≤恒成立，故而函数恒递减 ○2当0a >时，()()()1'110ln x x f x ae e x a =-+>⇒>，故而可得函数在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln ,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增。

（2）函数有两个零点，故而可得0a >，此时函数有极小值11ln ln 1f a a a⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，故而可得()1ln 100a a a -+<>，令()1g ln 1a a a=-+，对函数进行求导即可得到()21g'0a a a +=>，故而函数恒递增，又()g 10=，()1g ln 101a a a a∴=-+⇒<<，因此可得函数有两个零点的范围为()0,1a ∈。

（2016全国1.理数.21）（本小题满分12分）已知函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞试题解析;（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 综上,a 的取值范围为(0,)+∞．考点：导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.（2015全国1.理数.12）设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ,其中a 1,若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( ) A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1) 12．【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()(21)xg x e x '=+，所以当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>；当12x =-时，[]12max ()2g x e-=-．当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过点()1,0且斜率为a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得312a e≤<，故选D ． 考点：导数的综合应用（2015全国1.理数.21）(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- . (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数.21．解：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则0()0f x =，0()0f x '=，代入可解得012x =，34a =-．因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线． ……5分（Ⅱ）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而{}()min (),()()0h x f x g x g x =≤<，故()h x 在()1,+∞无零点．当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<．{}(1)min (1),(1)(1)0h fg f ==<，故1x =不是()h x 的零点．当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数．（ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+/在()0,1无零点，故()f x 在()0,1单调．而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在()0,1有一个零点；当0a ≥时，()f x 在()0,1无零点．（ⅱ）若30a -<<，则()f x 在⎛⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故在()0,1中，当x =时，()f x 取得最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304a -<<，()f x 在()0,1无零点．②若0f =，即34a =-，()f x 在()0,1有唯一零点．③0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在()0,1有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在()0,1有一个零点． 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当34a >-或54a <-时，()h x 有三个零点． ……12分（2014全国1.理数.11）已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A. ()2,+∞B. ()1,+∞C. (),2-∞-D. (),1-∞- 【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

2017高考真题分类汇编：导数1．【2017浙江 7】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）2．【2017天津 10】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为__________。

3．【2017课标I 14】曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________________。

4．【2017天津 19】设,a b R ∈，||1a ≤。

已知函数()()32634f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =。

⑴求()f x 的单调区间；⑵已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点()00,x y 处有相同的切线，①求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；②若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围。

5．【2017北京 20】已知函数()cos xf x e x x =-。

⑴求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；⑵求函数()f x 在区间[]0,2π上的最大值和最小值。

6．【2017江苏 20】已知函数()()3210,f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）。

⑴求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；⑵证明：23b a >；⑶若()(),f x f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围。

7．【2017山东 20】已知函数()()321132f x x ax a R =-∈。

⑴当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；⑵设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。

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本章的【学习目标】如下：1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利
用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题5. 定积分的应用。

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安徽文（20）（本小题满分12分）设函数f （x ）=sinx-cosx+x+1, 0﹤x ﹤2 π,求函数f(x)的单调区间与极值. （本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解：由f(x)=sinx-cosx+x+1，0﹤x ﹤2π, 知'()f x =cosx+sinx+1， 于是'()f x =1+2sin(x+4π). 令'()f x =0，从而sin(x+4π)=-22，得x= π，或x=32 π.当x 变化时，'()f x ，f(x)变化情况如下表：因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0, π）与（32π，2 π），单调递减区间是（π，32 π），极小值为f （32 π）=32 π，极大值为f （π）= π+2. 重庆 文(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数. (Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[1,2]上的最大值和最小值.（19） 解：（Ⅰ）由题意得.23)(2b x ax x f ++='因此)(.)2()13()()()(22x g b x b x a ax x f x f x g 因为函数+++++='+=是奇函数，所以,),()(x x g x g 即对任意实数-=-有 ],)2()13([))(2())(13()(2223b x b x a ax b x b x a x a +++++-=+-++-++-从而的解析表达式为因此解得)(,0,31,0,013x f b a b a =-===+.31)(23x x x f +-=（Ⅱ）由（Ⅰ）知2,0)(,2)(,231)(122-=='+-='+-=x x g x x g x x x g 解得令所以，),2[],2,()(,0)(,22,22+∞--∞<'>-<=在区间从而时或则当x g x g x x x 上是减函数；当,22时<<-x ,0)(>'x g 从而)(x g 在区间]2,2[-上是增函数.由前面讨论知，,2,2,1]2,1[)(时取得能在上的最大值与最小值只在区间=x x g 而.34)2(,324)2(,35)1(===g g g 因此上的最大值为在区间]2,1[)(x g324)2(=g ，最小值为.34)2(=g江西文 17．（本小题满分12分）设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 解： 2()186(2)2f x x a x a '=+++（1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118ax x ==，所以9a =； （2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>，3 / 19所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数. 北京文(18) （本小题共14分）设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4.（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围. (18)(共14分) 解：由32()3a f x x bx cx d =+++ 得 2()2f x ax bx c '=++ 因为2()9290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1,4，所以290168360a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩（*）（Ⅰ）当3a =时，又由（*）式得2608120b c b c +-=⎧⎨++=⎩解得3,12b c =-=又因为曲线()y f x =过原点，所以0d = 故32()312f x x x x =-+ （Ⅱ）由于a>0,所以“32()3a f x x bx cx d =+++在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“2()20f x ax bx c '=++≥在（-∞，+∞）内恒成立”. 由（*）式得295,4b a c a =-=. 又2(2)49(1)(9)b ac a a ∆=-=--解09(1)(9)0a a a >⎧⎨∆=--≤⎩得[]1,9a ∈即a 的取值范围[]1,9 天津 文（20）（本小题满分12分）已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.(20)本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=323x x 12-+，f （2）=3；f ’(x)=233x x -, f ’(2)=6.所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f ’(x)=2333(1)ax x x ax -=-.令f ’(x)=0，解得x=0或x=1a. 以下分两种情况讨论： （1） 若110a 2<≤≥，则，当x 变化时，f ’(x)，f （x ）的变化情况如下表：当11x f x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，（）>0等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28f f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即解不等式组得-5<a<5.因此0a 2<≤.（2） 若a>2，则11<<.当x 变化时，f ’(x),f （x ）的变化情况如下表：5 / 19当11x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，f （x ）>0等价于1f(-)21f()>0,a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,即25811->0.2a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,解不等式组得52a <<或2a <-因此2<a<5. 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5.新课改（文）（21）本小题满分12分）设函数()()21x x f x e ax =--（Ⅰ）若a=12，求()x f 的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时()x f ≥0，求a 的取值范围（21）解： （Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--，'()1(1)(1)x x xf x e xe x e x =-+-=-+.当(),1x ∈-∞-时'()f x >0;当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()0,x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调减少.（Ⅱ）()(1)af x x x ax =--.令()1ag x x ax =--，则'()xg x e a =-.若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0.若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0. 综合得a 的取值范围为(],1-∞湖北文21.（本小题满分14分）设函数321a x x bx c 32f -++（x ）=，其中a ＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））处的切线方程为y=1（Ⅰ）确定b 、c 的值（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2）证明：当12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围.辽宁文（21）（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-7 / 19山东 文（21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；，在点（时，求曲线))2(2)(1f x f y a =-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．（21）本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.满分12分.解：（Ⅰ） 当=-=)(1x f a 时，),,0(,12ln +∞∈-++x xx x 所以 )('x f 222,(0,)x x x x +-=∈+∞ 因此，，）（12=f 即 曲线.1))2(2)(，处的切线斜率为，在点（f x f y = 又 ,22ln )2(+=f所以曲线.02ln ,2)22(ln ))2(2)(=+--=+-=y x x y f x f y 即处的切线方程为，在点（（Ⅱ）因为 11ln )(--+-=xaax x x f ， 所以 211)('x a a x x f -+-=221xa x ax -+--= ),0(+∞∈x ， 令 ,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x（1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时所以，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递（2）当0a '≠时,由f (x)=0 即210ax x a -+-=，解得1211,1x x a==- ①当12a =时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减；9 / 19②当110,1102a a<<->>时 (0,1)x ∈时，()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减；1(1,1)x a∈-时，()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增； 1(1,),()0x h x a∈-+∞>时，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；③当0a <时，由于110a -<(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在（０，１）上单调递减； 函数()f x 在（１，＋∞）上单调递增；当12a =时，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a -上单调递增；函数1()(1,)f x a-+∞在上单调递减，陕西yzt 文 A21、(本小题满分14分)已知函数()f x =()ln g x a x =，a R ∈（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-,当()h x 存在最小值时，求其最小值()a ϕ的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的()a ϕ，证明：当(0,)a ∈+∞时， ()1a ϕ≤.21解： （Ⅰ）()f x '=()g x '=ax(x>0),由已知得ln ,,a x ax== 解得a=2e ，x=e 2, ∴两条曲线交点的坐标为(e 2,e) 切线的斜率为k =f ’(e 2)=12e∴切线的方程为 y －e=12e (x －e 2)(II)由条件知h(x)= x –aln x (x ＞0), （i ）当a>0时，令()0,h x '=解得24x a =，∴ 当0 <x < 24a 时，()0,h x '<，()h x 在（0，24a ）上递减；当x >24a 时，()0,h x '>，()h x 在2(4,)a +∞上递增.∴ 24x a =是()h x 在(0,)+∞上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()h x 的最小值点.∴ 最小值22()(4)2ln 42(1ln 2).a h a a a a a a ϕ==-=- （ii ）当0a ≤时，()0,h x '=>()h x 在（0，+∞）上递增，无最小值. 故()h x 的最小值 ()a ϕ的解析式为 ()2(1ln 2)(0).a a a a ϕ=-> （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ()2(1ln 2ln ).a a a ϕ=--则 ()2ln 2a a ϕ'=-，令 ()0a ϕ'=解得12a =. 当102a <<时， ()0a ϕ'>，∴ ()a ϕ在1(0,)2上递增；当12a >时， ()0a ϕ'<，∴()a ϕ在1(,)2+∞上递减. ∴ ()a ϕ在12a =处取得最大值1()1,2ϕ= ∵ ()a ϕ在(0,)+∞上有且只有一个极值点，所以1()12ϕ=也是 ()a ϕ的最大值. ∴当(0,)a ∈+∞时，总有 () 1.a ϕ≤11 / 19四川 文yzt22、(本小题满分14分)设1()(0,1),()1xxa f x a a g x a+=>≠-且是()f x 的反函数， （Ⅰ）求()g x（Ⅱ）当[2,6]x ∈时，恒有2()log (1)(7)a tg x x x >--成立，求t 的取值范围. （Ⅲ）当102a <≤时，试比较(1)(2)()f f f n +++与4n +的大小，并说明理由.22、解析：（Ⅰ）由题意得101xy a y -=>+， 故1()log ,(,1)(1,)1ax g x x x -=∈-∞-+∞+， …………………… （3分） （Ⅱ） 由1()log 1ax g x x -=+2log (1)(7)a t x x >-- 得 ① 当1a >时，11x x -+20(1)(7)t x x >>-- ，又 因为[2,6]x ∈，所以 20(1)(7)t x x <<--.令232()(1)(7)9157,[2,6]h x x x x x x x =--=-+-+∈则2()'318153(1)(5)h x x x x x =-+-=---，列表如下：所以 ()5h x =最小值，∴05t <<， ② 当01a <<时，，101x x -<+2(1)(7)t x x <--，又 因为[2,6]x ∈，所以 由①知()32h x =最大值，∴32t >，综上，当1a >时，05t <<；当01a <<时，32t >. …………………（9分）（Ⅲ）设11a p=+，则1P ≥， 当1n =时，12(1)1351a f a p+==+≤<-， 当2n ≥时，设2,k k N *≥∈时，则122122()111(1)1...k k k k kK K K a f k a p C p C p C p+==+=+-+-+++ 所以1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+=+=+-+++， 从而44(2)(3)()1121f f f n n n n +++≤-+-<++. 所以，(1)(2)(3)()(1)14f f f f n f n n ++++<+++≤+综上， 总有(1)(2)(3)()4f f f f n n ++++<+ .………………（14分）浙江文（21）（本题满分15分）已知函数f （x ）＝（x －a ）（x －b ）（a ，b ∈R ，a<b ）. （Ⅰ）当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程; （Ⅱ）设x 1，x 2是f （x ）的两个极值点，x 3是f （x ）的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2. 证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4. (21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识.满分15分. (Ⅰ)解：当a =1,b =2时， 因为f ′(x )=(x -1)(3x -5). 故f ′(2)=1.又f （2）＝0，所以f （x ）在点（2，0）处的切线方程为y ＝x －2. （Ⅱ）证明：因为f ′（x ）＝3（x －a ）（x －23a b+），由于a <b .13 / 19故a <23a b+. 所以f （x ）的两个极值点为x ＝a ，x ＝23a b+. 不妨设x 1＝a ，x 2＝23a b+， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点， 故x 3＝b .又因为23a b +－a ＝2（b －23a b+），x 4＝12（a ＋23a b +）＝23a b +，所以a ，23a b +，23a b+，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝23a b+.湖南 文yzt21.（本小题满分13分）已知函数a x a x xax f 151+-++=ln )()(, 其中,0<a 且1-≠a （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）设函数⎩⎨⎧>⋅≤--++-=)()()()()(1164632223x x f e x e a a ax ax x x g x （e 是自然对数的底数），是否存在a ，使g(x)在[a,-a]上是减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.21. （Ⅰ）)(x f 的定义域为),(+∞0，22111xx a x x a x a x f ))(()(-+=-++-=' （1）若-1<a<0,则当0<x<-a 时，0>')(x f ；当-a <x<1时，0<')(x f ；当x>1时，0>')(x f .故)(x f 分别在),(),,(+∞-10a 上单调递增，在),(1a -上单调递减. （2）若a<-1,仿（1）可得)(x f 分别在),(),,(+∞-a 10上单调递增，在),(a -1上单调递减.（Ⅱ）存在a ，使g(x)在[a,-a]上是减函数.事实上，设)()()(R x e a a ax ax x x h x∈--++-=64632223，则x e a ax x a x x h ])([)(223412232-+-+-='，再设)()()(R x a ax x a x x m ∈-+-+-=223412232，则当g(x)在[a,-a]上单调递减时，h(x)必在[a,0]上单调递,所以0≤')(a h ，由于0>x e ，因此0≤)(a m ，而)()(22+=a a a m ，所以2-≤a ，此时，显然有g(x)在[a,-a]上为减函数，当且仅当)(x f 在[1,-a]上为减函数，h(x)在[a,1上为减函数,且)()(11f e h ⋅≥，由（Ⅰ）知，当a<-2时，)(x f 在),(a -1上为减函数 ①又41303134112-≤≤-⇔≤++⇔⋅≥a a a f e h )()( ② 不难知道，0101≤∈∀⇔≤'∈∀)(],,[)(],,[x m a x x h a x因))(()()(a x x a x a x x m -+-=+-+-='26122662，令0=')(x m ，则x=a或x=-2,而2-≤a于是 （1）当a<-2时，若a <x<-2,则0>')(x m ，若-2 <x<1,则0<')(x m ,因而)(x m 分别在),(2-a 上单调递增，在),(12-上单调递减；（2）当a ＝-2时， 0≤')(x m ,)(x m 在),(12-上单调递减.综合（1）（2）知，当2-≤a 时，)(x m 在],[1a 上的最大值为812422---=-a a m )(，所以，20812402012-≤⇔≤---⇔≤-⇔≤∈∀a a a m x m a x )()(],,[ ③又对01=∈)(],,[x m a x ，只有当a=-2时在x=-2取得，亦即0=')(x h 只有当a=-2时在x=-2取得.因此，当2-≤a 时，h(x)在[a,1上为减函数，从而由①，②，③知 23-≤≤-a综上所述，存在a ，使g(x)在[a,-a]上是减函数，且a 的取值范围为],[23--.广东文15 / 19（2）当32≤≤x 时，120≤-≤x)32()4)(2()2()(≤≤--=-=x kx x k x f x f 当02≤≤-x 时，220≤+≤x )02)(2()2()(≤≤-+=+=x x kx x kf x f当23-≤≤-x 时，021≤+≤-x)23)(4)(2()4)(2()2()(2-≤≤-++=++⋅=+=x x x k x x k k x kf x f)23(),4)(2(-≤≤-++x x x)02)(2(≤≤-+x x )20)(2≤≤-x x)32()4)(2(≤≤--x kx xc. 当1-<k 时12-<-k ，kk 1->- 此时：2min max )3()(,)1()(k f x f k f x f -=-=-=-= 福建 文yzt 22．（本小题满分14分） 已知函数f(x)=的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为32y x =-.（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）设224(2)22,1y x p x =-==-()()1mg x f x x =+-是[2,)+∞上的增函数. （ⅰ）求实数m 的最大值；（ⅱ）当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线能与曲线()y g x =围成17 / 19两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.22. 本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想.满分14分. 解法一：（Ⅰ）由2'()2f x x x a =-+及题设得'(0)3(0)2f f =⎧⎨=-⎩即32a b =⎧⎨=-⎩.（Ⅱ）（ⅰ）由321()3231m g x x x x x =-+-+- 得22'()23(1)mg x x x x =-+--. ()g x 是[2,)+∞上的增函数， '()g x ∴0≥在[2,)+∞上恒成立，即22230(1)mx x x -+-≥-在[2,)+∞上恒成立. 设2(1)x t -=.[2,),[1,)x t ∈+∞∴∈+∞，即不等式20mt t+-≥在[1,)+∞上恒成立 当0m ≤时，不等式20mt t +-≥在[1,)+∞上恒成立.当0m >时，设2my t t=+-，[1,)t ∈+∞因为2'10m y t =+>，所以函数2my t t=+-在[1,)+∞上单调递增，因此min 3y m =-.min 0,30y m ≥∴-≥，即3m ≤.又0m >，故03m <≤. 综上，m 的最大值为3. （ⅱ）由（ⅰ）得3213()3231g x x x x x =-+-+-，其图像关于点1(1,)3Q 成中心对称.证明如下：3213()3231g x x x x x =-+-+- 3213(2)(2)(2)3(2)2321g x x x x x ∴-=---+--+--321833331x x x x=-+-++-因此，2()(2)3g x g x +-=.上式表明，若点(,)A x y 为函数()g x 在图像上的任意一点，则点2(2,)3B x y --也一定在函数()g x 的图像上.而线段AB 中点恒为点1(1,)3Q ，由此即知函数()g x 的图像关于点Q 成中心对称.这也就表明，存在点1(1,)3Q ，使得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等. 解法二： （Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）（ⅰ）由321()3231m g x x x x x =-+-+- 得22'()23(1)mg x x x x =-+--.()g x 是[2,)+∞上的增函数， '()g x ∴0≥在[2,)+∞上恒成立，即22230(1)mx x x -+-≥-在[2,)+∞上恒成立. 设2(1)x t -=.[2,),[1,)x t ∈+∞∴∈+∞，即不等式20mt t+-≥在[1,)+∞上恒成立. 所以22m t t ≤+在[1,)+∞上恒成立.令22y t t =+，[1,)t ∈+∞，可得min 3y =，故3m ≤，即m 的最大值为3.（ⅱ）由（ⅰ）得3213()3231g x x x x x =-+-+-， 将函数()g x 的图像向左平移1个长度单位，再向下平移13个长度单位，所得图像相应的函19 / 19数解析式为313()23x x x xφ=++，(,0)(0,)x ∈-∞+∞. 由于()()x x φφ-=-，所以()x φ为奇函数，故()x φ的图像关于坐标原点成中心对称. 由此即得，函数()g x 的图像关于点1(1,)3Q 成中心对称.这也表明，存在点1(1,)3Q ，是得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等.。

2017文(全国高考导数解答题) 科．高考如是考1、2017年全国一卷21．（12分）xx2xaa已知函数=e(e﹣)﹣．)f(x（1）讨论的单调性；)(xf a的取值范围．，求（2）若0?xf()2、2017全国二卷（21）（12分）x2xf(x). 设函数)e=(1-f(x) 1（）讨论的单调性；axf(x)ax. ）当0时，，求+1的取值范围2（??）（本小题20（文）数学北京卷（3、2017年分）13．已知函数x x ecos x??f(x)（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；(0)))(?yfx(0,fπ上的最大值和最小（Ⅱ）求函数在区间)(fx][0,2值．高考如是考参考答案年全国一卷21．（12分）1、2017xx2xaa )﹣﹣．已知函数=e(e)f(x（1）讨论的单调性；)f(x a）若，求的取值范围．（20f(x)?，为义域的解析】（1）函数定【),??(x)(??f，. ，在单调递增①若，则xx2xx2?)??ef?(x)2eea?aea?a)(?(2.x2e)?xf()(??,??0a?得，则由②若?0)f?(x ax?a?0ln，所时，当时，；当??0)?()?0?x(ln a,??)x?x(??,ln a)ff(x. 以在单调递减，在单调递增)a(x),(??,ln a)??(ln f a. ③若，则由得?)ln(?x?0f(x)?0a?2aa，当时，时，；当??)???x?(ln(?x?(??,ln(),))0f)(x?x0)f?(22aa单调递减，在在单调递增故. )),??))?(ln(??(,ln(?)f(x22（2）①若，则，所以.②若，则由（1）得，当时，取得最2x e?x)(f0(x)?f0a?小)xf(a ln xa?0?值，最小值为.从而当且仅当，.22a ln)f(ln a??a0?a ln a?时，即0?)x(f1?aa取得最时，）得，当，则由（③若1)?x?ln()(xf0?a2a3a 从而当且仅当.小值，最小值为2)]?ln(a[(ln(f??))?224.3a3，即时22e a??0?)]?ln(a[?0(fx)?4243的取值范围为综上，.a,1]e2[?42、2017全国二卷（21）（12分）2x xf(x). =(1-)e设函数f(x)的单调性； 1）讨论（xf(x)axa.时，）当（20的取值范围，求+1??．分））（本小题1320（（文）数学北京卷、32017年．已知函数x xx)?ecos x?(f在点（Ⅰ）求曲线处的切线方程；(0))(0,fxy?f()π[0,]上的最大值和最小（Ⅱ）求函数在区间)x(f2值．?. 1)(【答案】Ⅰ；最小值；（Ⅱ）最大值?1y?2。

2017高考真题分类汇编：导数1．【2017浙江 7】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）2．【2017课标II 11】若2x =-是函数()()211x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）（A ）1- （B ）32e -- （C ）35e - （D ）13．【2017课标III 11】已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则（ ）（A ）12-（B ）13 （C ）12（D ）1 4．【2017北京 19】已知函数()cos xf x e x x =-。

⑴求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；⑵求函数()f x 在区间[]0,2π上的最大值和最小值。

5．【2017天津 20】设a Z ∈，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()1,2内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数。

⑴求()g x 的单调区间；⑵设[)(]001,,2m x x ∈，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；⑶求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且[)(]001,,2px x q∈，满足041||p x q Aq-≥。

6．【2017江苏 20】已知函数()()3210,f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）。

⑴求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；⑵证明：23b a >；⑶若()(),f x f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围。

全国卷2017-2010理数学试题及详细答案分类汇编十二十二、函数和导数1、(2010全国理数3)4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )2、(2010全国理数3)5．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 为增函数． p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 43、(2010全国理数3)8．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}4、(2010全国理数3)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)5、(2010全国理数3)13．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分10⎰f (x )d x .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分1⎰f (x )d x 的近似值为________．6、(2010全国理数2)（2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是A 211(0)x y e x +=->B 211(0)x y e x -=+> C211(R)x y e x +=-∈ D 211(R)x y e x -=+∈7、(2010全国理数1)（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8、(2010全国理数1)（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞9、(2010全国理数1) (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .10、(2011全国理数)函数0)y x =≥的反函数为（ ）（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 11、(2011全国理数)曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1 12、(2011全国理数)设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)1213、(2011全国理数)下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 （A ） (B) （C ）(D)14、(2011全国理数)由曲线及轴所围成的图形的面积为（A ） （B ）4 （C ） （D ）615、(2011全国理数)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 16、 (2011全国理数)已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）+∞（0，）3y x =1y x =+21y x =-+2xy -=y =2y x =-y 10316311y x=-2sin (24)y x x π=-≤≤A: B: C:D17、(2011全国理数)设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）()A 1ln2- ()B ln 2)- ()C 1ln2+ ()D ln 2)+18、(2012全国理数3)（10）已知函数y=x 3-3x+c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则c=( ). A .-2或2 B .-9或3 C .-1或1 D .-3或119、(2013全国理数1)（11）已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]20、(2013全国理数1)（16）若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．21、(2013全国理数2)（10）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝022、(2013全国理数3)（4）已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．(－1,0)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭23、(2013全国理数3)（5）函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)24、(2013全国理数3)（9）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )．A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)25、(2014全国理数1)（3）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数26、(2014全国理数1)（6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为27、(2014全国理数1)（11）已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）28、(2014全国理数)2（8）设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ， 则a =A. 0B. 1C. 2D. 329、(2014全国理数2)（12）设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞30、(2014全国理数2)（15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.31、(2014全国理数3)（7）曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）32、(2014全国理数3)（12）函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--A ．2eB ．eC ．2D ．133、(2015全国理数2)（5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．1234、(2015全国理数2)（10）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）35、(2015全国理数2)（12）设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞D P CBOAx36、(2015全国理数1)（12）设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）37、(2015全国理数13）若函数f (x )=x ln （x 2a x +）为偶函数，则a =38、（2016全国理数1）（7）函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ） （D ）39、（2016全国理数2）（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0（B ）m（C ）2m （D ）4m40、（2016全国理数3）（15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．41、（2017全国理数1）（5）函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（）A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，42、（2017全国理数2）（11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e -D.143、（2017全国理数3）（11）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A.12-B.13C.12D.144、（2017全国理数3）（15）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________。

2010年高考数学试题汇编及解析2010辽宁文数（12）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ解析：选D.2441212x x x xxe y e e e e'=-=-++++，12,10xx e y e '+≥∴-≤< ， 即1tan 0α-≤<，3[,)4παπ∴∈ 2010安徽（17）（本小题满分12分）设a 为实数，函数()22,.x f x e x a x R =-+∈ （I ）求()f x 的单调区间与极值；（II ）求证：当ln 210a x >->且时，22 1.x e x ax >-+本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （I ）解：由()22,()2,.x x f x e x a x f x e x '=-+∈=-∈R R 知令()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时的变化情况如下表：()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+ （II ）证：设2()21,,x g x e x ax x =-+-∈R于是()22,.x g x e x a x '=-+∈R由（I ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为 ,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,于是当ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有 而(0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意 即22210,2 1.x x e x ax e x ax -+->>-+故2010北京理（18）（本小题共13分）已知函数2()ln(1)2k f x x x x =+-+,0k ≥. （Ⅰ）当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程； （Ⅱ）求f (x )的单调区间. 解：（Ⅰ）当2k =时，21()ln(1),()121f x x x x f x x x'=+-+=-++ 由于3(1)ln 2,(1)2f f '==所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3ln 2(1)2y x -=-即322ln 30.x y w -+-=（Ⅱ）(1)(),(1,)1x kx k f x x x+-'=∈-+∞+当0k =时，()1x f x x'=-+ 所以，在区间（-1，0）上，()0f x '>； 在区间（0，+∞）上，()0f x '< 故()f x 的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞） 当01k <<时，由(1)()01x kx k f x x+-'==+得1210,0kx x k-==> 所以，在区间（-1,0）和1(,)kk -+∞上，()0f x '>；在区间1(0,)kk-上，()0f x '< 故()f x 的单调递增区间是（-1,0）和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-。

2017年高考真题分类汇编(理数）：专题2 导数一、单选题（共3题;共6分)1、(2017•浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是( ）A、B、C、D、2、（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x)的极小值为（）A、﹣1B、﹣2e﹣3C、5e﹣3D、13、（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A、﹣B、C、D、1二、解答题（共8题；共50分）4、(2017•浙江)已知函数f(x）=（x﹣)e﹣x（x≥ ）．（Ⅰ）求f（x）的导函数;（Ⅱ)求f(x）在区间[ ,+∞）上的取值范围．5、（2017•山东）已知函数f（x)=x2+2cosx，g（x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2）,其中e≈2.17828…是自然对数的底数．(13分）(Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π)）处的切线方程；（Ⅱ）令h（x)=g （x）﹣a f（x）（a∈R）,讨论h（x）的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值．6、（2017•北京卷）已知函数f(x)=e x cosx﹣x．（13分）（1）求曲线y=f(x）在点(0，f(0)）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0, ]上的最大值和最小值．7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．(Ⅰ）求g（x）的单调区间;（Ⅱ）设m∈[1，x0)∪（x0，2]，函数h（x)=g（x)（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证:存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q，且∈[1，x0）∪（x0，2],满足｜﹣x0｜≥ ．8、（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R)有极值，且导函数f′(x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（Ⅰ）求b关于a的函数关系式,并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a;（Ⅲ）若f(x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．9、(2017•新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（12分)(1)讨论f（x）的单调性；（2）若f(x）有两个零点,求a的取值范围．10、（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx,且f（x）≥0．（Ⅰ）求a;（Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0, 且e﹣2＜f(x0）＜2﹣2．11、（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x)=x﹣1﹣alnx．（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值；（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】函数的图象，函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】解：由当f′(x）＜0时，函数f（x)单调递减,当f′(x）＞0时，函数f（x)单调递增，则由导函数y=f′（x)的图象可知:f（x）先单调递减，再单调递增,然后单调递减,最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧，排除B,故选D【分析】根据导数与函数单调性的关系,当f′(x)＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x)＞0时，函数f（x)单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置,即可求得函数y=f（x）的图象可能2、【答案】A【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′(x）=(2x+a）e x﹣1+(x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x)=（x2+ax﹣1)e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x)=（2x﹣1)e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2)e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时,f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数,x=1时，函数取得极小值:f（1）=(12﹣1﹣1)e1﹣1=﹣1．故选：A．【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a,然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．3、【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的零点【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+ ）=0,所以函数f(x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1)2=a（e x﹣1+ ）有唯一解,等价于函数y=1﹣（x﹣1)2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象只有一个交点．①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点,矛盾；②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1,+∞)上递减，且y=a（e x﹣1+ ）在(﹣∞，1）上递增、在(1，+∞)上递减,所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1,此时函数y=1﹣（x﹣1)2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾;③当a＞0时，由于y=1﹣(x﹣1）2在（﹣∞，1)上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+ )在（﹣∞，1)上递减、在（1,+∞）上递增，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1,1）,y=a（e x﹣1+ ）的图象的最低点为B（1,2a），由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1，即a= ,符合条件；综上所述，a= ，故选：C．【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．二、解答题4、【答案】解：（Ⅰ）函数f（x)=（x﹣)e﹣x（x≥ ），导数f′(x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+ )e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（Ⅱ）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x)（1﹣）e﹣x，可得f′(x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′(x)＜0，f（x)递减;当1＜x＜时，f′(x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥ ⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）= e ，f(1)=0，f( ）= e ,即有f(x)的最大值为 e ,最小值为f（1）=0．则f（x)在区间［，+∞)上的取值范围是［0， e ]．【考点】简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）求出f（x)的导数，注意运用复合函数的求导法则,即可得到所求；（Ⅱ)求出f（x)的导数,求得极值点,讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f(x）≥0,计算f（），f（1），f（),即可得到所求取值范围．5、【答案】解：(Ⅰ）f(π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx,∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点(π，f(π）)处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h(x）=g （x)﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx)h′(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2)+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2(x﹣sinx）(e x﹣a)=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u(x）＞0；x＜0时,u（x）＜0．（i)a≤0时，e x﹣a＞0,∴x＞0时，h′（x)＞0，函数h（x)在(0,+∞)单调递增;x＜0时，h′（x)＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x)取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（ii）a＞0时，令h′（x）=2(x﹣sinx）（e x﹣e lna)=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈(lna,0）时，e x﹣e lna＞0,h′（x）＜0，函数h(x）单调递减；x∈（0，+∞）时,e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h(x）单调递增．∴当x=0时，函数h(x）取得极小值,h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2］．②当a=1时，lna=0，x∈R时,h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈(﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′(x）＞0，函数h（x）单调递增;x∈（0,lna）时，e x﹣e lna＜0,h′(x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈(lna，+∞)时，e x﹣e lna＞0，h′（x)＞0,函数h(x)单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值,h(0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a［ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2］．综上所述：a≤0时，函数h(x）在(0,+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x)在（﹣∞,0）单调递减．x=0时，函数h（x)取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x)在x∈(﹣∞,lna）是单调递增;函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时,函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin （lna)+cos(lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞,0），（lna，+∞)上单调递增；函数h（x）在(0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna)=﹣a［ln2a ﹣2lna+sin(lna）+cos（lna）+2]．【考点】导数的加法与减法法则,导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′(x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率,利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx)（e x ﹣a）=2（x﹣sinx)(e x﹣e lna）．令u（x)=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时,u(x）＞0；x＜0时，u(x)＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时,利用导数研究函数的单调性极值即可得出．6、【答案】(1）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′(x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0,f(0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0,切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x)在点（0，f(0））处的切线方程为y=1;（2）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x)=e x（cosx﹣sinx)﹣1,令g（x)=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′(x）=e x(cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，］,可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x)在［0, ］递减，可得g（x)≤g(0）=0,则f（x）在[0, ]递减，即有函数f（x）在区间[0, ］上的最大值为f（0)=e0cos0﹣0=1；最小值为f（)=e cos ﹣=﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1.）求出f（x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2。