高考数学二轮复习专项小测24“20题、21题”理

专题24 解答题解题方法与技巧解答题在高考数学试题中占据半壁江山，试题并不是单纯的知识叠加，而是知识、方法和能力的综合，且试题具有明显的区分度，前3题一般难度中等，最后两题一般难度较大、多为把关题．结合近几年的高考试题，题目的设计一般围绕三角函数或解三角形、立体几何、函数、解析几何、数列这几个方面展开．对于考生来说，想要得到高分，必须争取在前3个解答题上不丢分或少失分，这就需要考生在做题时计算准确、推理严谨、书写规范、步骤清晰，从根本上解决“会而不对，对而不全”的“老大难”问题．高频考点一 三角函数或解三角形 【命题角度】(1)三角函数式的求值与化简问题； (2)单纯三角函数知识的综合； (3)三角函数与平面向量交汇； (4)三角函数与解三角形的交汇； (5)单纯解三角形；(6)解三角形与平面向量的交汇. 例1、设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【增粉策略】解决此类问题还应注意： ①化简时，公式应用要准确； ②注意所给角或参数的范围；③在求单调区间、对称轴和对称中心时要注意不能忽略k 取整数； ④求最值或范围时，应满足在定义域内．【变式探究】在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值；(2)求c 的值．【增粉策略】解决三角形问题还应注意：①不要忘记三角形中的隐含条件(A＋B＋C＝π，a＋b>c)；②注意边角互化，化为所求的问题；③利用正、余弦定理解决实际问题时应明确仰角、俯角和方向角等有关术语的含义．高频考点二立体几何【命题角度】(1)证明空间线、面平行或垂直；(2)利用综合法计算空间中的线、面夹角；(3)立体几何中的探索性问题.例2、如图，已知四棱锥P­ABCD，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．(1)证明：CE∥平面P AB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【变式探究】如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB＝1，∠APB＝90°.(1)求证：BD⊥平面APQ；(2)求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．【增粉策略】解决此类题目应注意：①证明线、面平行或垂直，应注意直线在平面内，两直线相交等情况；②找到或作出线面角后，要证明所找或作的线面角为所求角；③计算线面角的大小时一定要仔细．高频考点三函数、导数与不等式【命题角度】导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见 题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值； (2)利用导数证明不等式或探讨方程根； (3)利用导数求解参数的范围或值. (一)利用分类讨论思想探究函数性质 例1、设函数f (x )＝x 22－a ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间和极值． 【感悟提升】 1．解答这类题的模板定义域―→求导数―→零点―→列表―→回答―→遇见参数要讨论哪一步遇见就在哪一步展开讨论2．解答这类题的难点(1)何时讨论参数？由于题目条件的不同，有的在求零点时讨论，有的在列表时讨论；(2)如何讨论参数？需要根据题目的条件确定，有时还需参考自变量的取值范围，讨论的关键是做到不重不漏．【变式探究】函数f (x )＝13x 3＋|x －a |(x ∈R ，a ∈R)．(1)若函数f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范围；(2)若函数f (x )在R 上不单调时，记f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )． (二)利用数形结合思想探究函数的零点例2、函数f (x )＝ax ＋x ln x 在x ＝1处取得极值． (1)求f (x )的单调区间；(2)若y ＝f (x )－m －1在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围． 【感悟提升】利用导数探究函数零点的一般思路(1)转化为可用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k )在该区间上的交点问题．(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象． (3)结合图象求解．【变式探究】设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R.(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．(三)利用函数思想证明不等式例3、已知函数f (x )＝1－xax ＋ln x 在(1，＋∞)上是增函数，且a >0.(1)求a 的取值范围；(2)若b >0，试证明1a ＋b <ln a ＋b b <a b .【感悟提升】1．利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h (x )．(3)利用导数研究h (x )的单调性及最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 2．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))的问题转化为证明 f (x )－g (x )>0(f (x )－g (x )<0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )．(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)主元法：对于(或可化为)f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可选x 1(或x 2)为主元，构造函数f (x ，x 2)(或f (x 1，x ))．(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数． 【变式探究】已知函数f (x )＝e x＋m－x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值； (2)当m ≥1时，证明：f (x )＞g (x )－x 3. (四)利用转化与化归思想求解恒成立问题 例4、已知函数f (x )＝ln x .(1)求函数g (x )＝f (x ＋1)－x 的最大值；(2)若对任意x >0，不等式f (x )≤ax ≤x 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围． 【变式探究】已知函数f (x )＝ln x ＋a2x 2－(a ＋1)x .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－2，求f (x )的单调区间； (2)若x >0时，f x x <f ′x2恒成立，求实数a 的取值范围【感悟提升】函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用．高频考点四、圆锥曲线的综合问题【命题角度】解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解； (3)轨迹方程及探索性问题的求解. (一)巧妙消元证定值例4、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【方法策略】解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等． 【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为(－6，0)，e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． (二)构造函数求最值如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【感悟提升】最值问题的基本解法有几何法和代数法(1)几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；(2)代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决的．【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，短轴长为2.求椭圆的方程；(三)寻找不等关系解范围已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【感悟提升】解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系； (3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 【变式探究】已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若AP ―→＝3PB ―→，求m 2的取值范围． (四)确定直线寻定点已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．【变式探究】已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．(五)假设存在定结论(探索性问题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【方法策略】探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． 【变式探究】已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．【方法策略】圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出； 第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系； 第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中． 在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：13m2＋1n2为定值．【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．【变式探究】已知点F为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4＋y2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x4＋y2＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|P A|·|PB|，求实数λ的取值范围．。

（新高考）高考数学二轮复习专项小测23“20题、21题”理专项小测(二十三) “20题、21题”时间：45分钟 满分：24分20.(12分)已知函数f (x )＝exx＋a (x －ln x )，a ∈R .(1)当a ＝－e 时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )有两个零点，求参数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝exx＋a (x －ln x )，定义域(0，＋∞)，f ′(x )＝e x (x －1)x 2＋a (x －1)x ＝(x －1)(e x＋ax )x2. (2分)当a ＝－e 时， f ′(x )＝(x －1)(e x－e x )x2. 由于e x≥e x 在(0，＋∞)恒成立，所以f (x ) 在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝a ＋e ＝0. (4分)(2)f ′(x )＝(x －1)(e x＋ax )x2. 当a ＝－e 时， f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝a ＋e ＝0，f (x )只有一个零点；(6分)当a >－e 时，ax >－e x ，故e x＋ax >e x－e x ≥0 在(0，＋∞)恒成立，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝a ＋e>0， 故当a >－e 时， f (x )没有零点； (8分)当a <－e 时，令e x＋ax ＝0，得exx ＝－a ，φ(x )＝e xx ，φ′(x )＝(x －1)e xx2， 所以φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，φ(x )min ＝φ(1)＝e, 故φ(x )在(0，＋∞)有两个零点，x 1，x 2,0<x 1<1<x 2，所以f (x )在(0，x 1)上单调递减，在(x 1,1)上单调递增，在(1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，f (1)＝a ＋e <0 ，又x →0，f (x )→＋∞，x →＋∞，f (x )→＋∞， 此时f (x )有两个零点．(10分) 综上，f (x )有两个零点，则a <－e. (12分)21．(12分)《某省高考改革试点方案》规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ＋，B ，C ＋，C ，D ＋，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%, 7%, 16%, 24%, 24%, 16%, 7%, 3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70][51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]8个分数区间，得到考生的等级成绩．原始成绩区间向等级成绩区间的投影假设小明转换后的等级成绩为x ，69－6161－58＝70－xx －61x ＝63.45≈63(四舍五入取整)小明最终成绩：63分某校2017级学生共1 000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A 的学生原始成绩统计如下(1)95的概率；(2)待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到1名同学的物理高考成绩等级为B ＋或A 结束(最多抽取1 000人)，设抽取的学生个数为ζ，求随机变量ζ的数学期望(注： 0.91 000≈1.7×10－46)．解：(1)设物理成绩获得等级A 的学生原始成绩为x ，其等级成绩为y . 由转换公式93－x x －82＝100－y y －91，得y ＝911(x －82)＋91.(2分) 由y ＝911(x －82)＋91≥95，得x ≥86.9≈87.(4分)显然原始成绩满足x ≥87的同学有12人，获得等级A 的学生有30人，恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率为p ＝C 212C 118C 330＝2971015≈0.29. (6分)(2)由题意得，随机抽取1人，其等级成绩为B ＋或A 的概率为3%＋7%＝0.1，学生个数ζ的可能取值为1,2,3， (1000)P(ζ＝1)＝0.1，P(ζ＝2)＝0.9×0.1，P(ζ＝3)＝0.92×0.1，…P(ζ＝999)＝0.9998×0.1，P(ζ＝1000)＝0.9999，(8分) 数学期望：E(ζ)＝1×0.1＋2×0.9×0.1＋3×0.92×0.1＋…＋999×0.9998×0.1＋1000×0.9999＝1×0.1＋2×0.9×0.1＋3×0.92×0.1＋…＋1000×0.9999×0.1＋1 000×0.91000＝0.1×(1＋2×0.9＋3×0.92＋…＋1 000×0.9999)＋1000×0.91 000.其中，S＝1＋2×0.9＋3×0.92＋…＋1 000×0.9999，①0．9S＝1×0.9＋2×0.92＋…＋999×0.9999＋1 000×0.91 000，②应用错位相减法“①－②”得：0．1S＝1＋0.9＋0.92＋…＋0.9999－1 000×0.91 000＝1×(1－0.91 000)0.1－1 000×0.91 000，S＝100－(10×1 000＋100)×0.91 000，(10分)故E(ζ)＝0.1×[100－(10×1 000＋100)×0.91 000]＋1 000×0.91 000＝10×(1－0.91 000)≈10.(12分)。

专项小测(二十四) “20题、21题”时间：45分钟 满分：24分20.(12分)已知函数f (x )＝a cos xx ＋b ，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线方程为6x ＋πy －2π＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)判断方程f (x )＝32π－1在(0,2π]内的解的个数，并加以证明．解：(1)直线6x ＋πy －2π＝0的斜率为－6π，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－1，f ′(x )＝－a (x sin x ＋cos x )x 2，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2a π＝－6π，即a ＝3， (2分) 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝b ＝－1，所以f (x )＝3cos xx －1.(4分) (2)方程f (x )＝32π－1在(0,2π]上有3个解． (5分)证明：令g (x )＝f (x )－32π＋1＝3cos x x －32π， 则g ′(x )＝－3(x sin x ＋cos x )x 2. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝93π－32π＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－32π＜0， 所以g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上至少有一个零点．又g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上单调递减，故在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上只有一个零点．(7分) 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2时，cos x ＜0，故g (x )＜0，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上无零点；(8分)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π时，令h (x )＝x sin x ＋cos x ，h ′(x )＝x cos x ＞0，所以h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递增，h (2π)＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＜0，所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，使得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，x 0上单调递增，在(x 0,2π]上单调递减．又g (2π)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＜0，所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上有2个零点．(10分)综上，方程f (x )＝32π－1在(0,2π]上有3个解． (12分)21．(12分)某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为k ＋1次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p .(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p ＝0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；(2)设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数． ①当k ＝5，p ＝0.1时，求ξ的分布列；②运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．解：(1)对3人进行检验，且检验结果是独立的． 设事件A ∶3人中恰有1人检测结果为阳性， 则其概率P (A )＝C 13·0.1·0.92＝0.243. (4分)(2)①当k ＝5，p ＝0.1时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95，每人所检验的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为1－0.95，则每人所检验的次数为65次，故ξ的分布列为(8分)②分组时，每人检验次数的期望如下： P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝1k ＝(1－p )k ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝1k ＋1＝1－(1－p )k ， 所以E (ξ)＝1k ·(1－p )k ＋⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1[1－(1－p )k ]＝1－(1－p )k ＋1k .不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需1－(1－p )k＋1k ＜1，即1－p ＞1k k，所以当1－p ＞1k k时，用分组的办法能减少检验次数．(12分)。

24分专项练(二) 21、22题1．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫2，153. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l (不过坐标原点)与椭圆C 交于A ，B 两点，求F 1A →·F 1B →的取值范围．2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，圆O ：x 2＋y 2＝2与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M ，N 两点，试判断|PM |·|PN |是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax 2＋ax ＋1e －x ，a 为实数． (1)当a ＝2时，求f (x )的单调递增区间；(2)如果对任意x ≥0，f (x )≤x ＋1恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝e x x－a ln x . (1)当a ＝0时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值；(2)若0<a ≤e 22，求证：f (x )>0.24分专项练(二) 21、22题1．解：(1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，4a 2＋53b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 25＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，F 1B →＝(x 2＋1，y 2)．根据题意设直线l 的方程为x ＝my ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 26＋y 25＝1，消去x 得(5m 2＋6)y 2＋10my －25＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－10m 5m 2＋6，y 1y 2＝－255m 2＋6. 所以F 1A →·F 1B →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝(1＋m 2)·－255m 2＋6＋2m ·－10m 5m 2＋6＋4 ＝－25m 2－15m 2＋6＝－5＋295m 2＋6. 因为5m 2＋6≥6，所以0<295m 2＋6≤296，所以－5<－5＋295m 2＋6≤－16. 所以F 1A →·F 1B →∈⎝⎛⎦⎤－5，－16. 2．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c ，由椭圆C 的离心率为22知，b ＝c ，a ＝2b ，则椭圆C 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.易求得点A (2，0)，则点(2，2)在椭圆C 上，所以22b 2＋2b2＝1，解得b 2＝3，所以a 2＝6，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)|PM |·|PN |为定值2.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为x ＝2，则P (2，0)．由(1)知M (2，2)，N (2，－2)，所以|PM |·|PN |＝2.此时OM →＝(2，2)，ON →＝(2，－2)，OM →·ON →＝0，即OM ⊥ON ，当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，消去y 得x 2＋2(kx ＋m )2＝6， 即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，得Δ>0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.因为OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)·2m 2－61＋2k 2＋km ·－4km 1＋2k 2＋m 2 ＝（1＋k 2）（2m 2－6）－4k 2m 2＋m 2（1＋2k 2）1＋2k 2＝3m 2－6k 2－61＋2k 2＝3（2k 2＋2）－6k 2－61＋2k 2＝0， 所以OM ⊥ON .综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ⊥ON .又在Rt △OMN 中，OP ⊥MN ，由△OMP 与△NOP 相似可得|OP |2＝|PM |·|PN |＝2为定值．3．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(x 2＋2x ＋1)e －x ，f ′(x )＝(2x ＋2)e －x －(x 2＋2x ＋1)e －x ＝－(x ＋1)(x －1)e －x .由f ′(x )>0，得－1<x <1，所以f (x )的单调递增区间为(－1，1)．(2)由f (x )≤x ＋1得12ax 2＋ax ＋1≤(x ＋1)e x ， 即当x ≥0时，(x ＋1)e x －12ax 2－ax －1≥0恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)e x －12ax 2－ax －1， 则g ′(x )＝(x ＋2)e x －ax －a ，则g ″(x )＝(x ＋3)e x －a ，则g (x )＝(x ＋4)e x ，易知，当x ≥0时，g(x )＝(x ＋4)e x >0，从而g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增，g ″(0)＝3－a ，g ′(0)＝2－a ，g (0)＝0.①当a ≤2时，g ″(0)＝3－a >0，由g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增可知，g ″(x )≥3－a >0，所以g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )≥g ′(0)＝2－a ≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而g (x )≥g (0)＝0恒成立；②当2<a ≤3时，g ″(0)＝3－a ≥0，由g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增可知，g ″(x )≥3－a ≥0，所以g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，因为g ′(0)＝2－a <0，所以存在x 1>0，使g ′(x 1)＝0，当0<x <x 1时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减，所以g (x 1)<g (0)＝0，与题意不符； ③当a >3时，g ″(0)＝3－a <0，由g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增可知，存在x 2>0，使g ″(x 2)＝0，当0<x <x 2时，g ″(x )<0，此时g ′(x )单调递减，所以g ′(x 2)<g ′(0)＝2－a <0，故g (x )在(0，x 2)上单调递减，此时g (x 2)<g (0)＝0，与题意不符．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．4．解：(1)当a ＝0时，由f (x )＝e x x (x >0)，得f ′(x )＝（x －1）e x x 2， 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝e.(2)证明：函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝（x －1）e x x 2－a x ＝（x －1）e x －ax x 2. 令g (x )＝(x －1)e x －ax ，x >0，则g ′(x )＝x e x －a ，易知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0<a ≤e 22，所以g ′(0)＝－a <0，g ′(2)＝2e 2－a >0， 所以存在唯一的x 1∈(0，2)，使g ′(x 1)＝0，当x ∈(0，x 1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(x 1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－1，g (2)＝e 2－2a ≥0，所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<g (0)<0，即g (x )在(0，x 1)上无零点．所以存在唯一的x 0∈(x 1，2]，使g (x 0)＝0，即(x 0－1)e x 0＝ax 0，因为g (1)＝－a <0，所以1<x 0<2，则e x 0x 0＝a x 0－1. 当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0x 0－a ln x 0＝a x 0－1－a ln x 0＝ a ⎝⎛⎭⎫1x 0－1－ln x 0，1<x 0<2. 令h (x )＝1x －1－ln x ，则h (x )在(1，＋∞)上单调递减， 因为1<x 0<2，所以h (x 0)>h (2)＝1－ln 2>0.又因为a >0，所以f (x )min >0，从而f (x )>0.。

24分大题抢分练(二)(建议用时：30分钟)20．(12分)(2020·晋冀鲁豫中原名校第三次联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3x －4y ＋3＝0的距离为d 1，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为d 2，且d 1d 2＝35. (1)求抛物线C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且1||PM 2＋1||QM 2为定值，求点M 的坐标． [解](1)由题意知，焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则d 1＝3p 2＋35＝3p ＋610，d 2＝p ，又3p ＋610p ＝35，解得p ＝2.故抛物线C 的标准方程为y 2＝4x . (2)设点M 的坐标为()t ，0，设点P ，Q 的坐标分别为()x 1，y 1，()x 2，y 2， 显然直线l 的斜率不为0.设直线l 的方程为x ＝my ＋t . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋t ，y 2＝4x ， 消去x ，整理得y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16()m 2＋t >0且y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t .由||PM ＝()x 1－t 2＋y 21＝1＋m 2||y 1，||QM ＝()x 2－t 2＋y 22＝1＋m 2||y 2. 有1||PM 2＋1||QM 2＝1()1＋m 2y 21＋1()1＋m 2y 22 ＝y 21＋y 22()1＋m 2y 21y 22＝16m 2＋8t 16()1＋m 2t 2＝t ＋2m 22()1＋m 2t 2. 若1||PM 2＋1||QM 2为定值，必有t ＝2. 所以当1||PM 2＋1||QM 2为定值时，点M 的坐标为()2，0. 21．(12分)已知函数f (x )＝a ln x ()a ≠0与y ＝12ex 2的图象在它们的交点P ()s ，t 处具有相同的切线．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝()x －12＋mf (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求g ()x 2x 1的取值X 围． [解](1)根据题意，函数f (x )＝a ln x ()a ≠0与y ＝12ex 2， 可知f ′(x )＝a x ，y ′＝1ex ， 两图象在点P ()s ，t 处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即1e ×s ＝a s， 化简得s ＝a e ，将P ()s ，t 代入两个函数可得s 22e＝a ln s ， 综合上述两式可解得a ＝1，所以f (x )＝ln x .(2)函数g (x )＝()x －12＋mf (x )＝()x －12＋m ln x ，定义域为()0，＋∞，g ′(x )＝2()x －1＋m x ＝2x 2－2x ＋m x ， 因为x 1，x 2为函数g (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程2x 2－2x ＋m ＝0的两个不等实根，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝m 2，()* 又已知x 1<x 2，所以0<x 1<12<x 2<1， g ()x 2x 1＝()x 2－12＋m ln x 2x 1， 将()*式代入得g ()x 2x 1＝()x 2－12＋2x 1x 2ln x 2x 1＝()x 2－12＋2()1－x 2x 2ln x 21－x 2＝1－x 2＋2x 2ln x 2， 令h ()t ＝1－t ＋2t ln t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，h ′()t ＝2ln t ＋1，令h ′()t ＝0，解得t ＝1e， 当t ∈⎝⎛⎭⎫12，1e 时，h ′()t <0，h ()t 在⎝⎛⎭⎫12，1e 单调递减； 当t ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1时，h ′()t >0，h ()t 在⎝⎛⎭⎫1e ，1单调递增； 所以h ()t min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1－2e ＝1－2e e ， h ()t <max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝⎛⎭⎫12，h ()1，h ⎝⎛⎭⎫12＝12－ln 2<0＝h ()1，即g ()x 2x 1的取值X 围是⎣⎡⎭⎫1－2ee ，0.。

12＋4分项练2 不等式1．(2021届重庆市巴蜀中学三诊)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是( ) A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a c D.a b >ac答案 D解析 取a ＝12，b ＝4，c ＝2可知D 错．故选D.2．(2021·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6 答案 C解析 如图所示，先画出可行域， 作出直线l ：x ＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.∴A (－3,4)．由图可知，平移直线l 至过点A 时，z 取得最大值， z max ＝－3＋2×4＝5. 故选C.3．(2021·辽宁省试验中学模拟)已知实数x ，y 满足x 2－xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 原式可化为：(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝1时x ＋y 有最大值 2.故选B.4．(2021届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y 2x －2y 的最小值为( )A ．4 B.92C ．2 2D ．4 2 答案 A解析 由于xy ＝1且0<y <22， 可知x >2，所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xyx －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4，当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立．故选A.5．(2021届吉林省吉林高校附属中学模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y ＋1≥0，2x ＋y －1≤0，若直线y ＝k (x ＋1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1∶2，则k 等于( ) A.14 B.13 C.12 D.34 答案 A解析 作出不等式组对应平面区域如图(△ABC 及其内部)，A (0,1)，B (1，－1)，∵直线y ＝k (x ＋1)过定点C (－1,0)，∵C 点在平面区域ABC 内， ∴点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离d 上＝|k －1|1＋k2，点B 到直线y ＝k (x ＋1)的距离d 下＝|2k ＋1|1＋k2，∵直线y ＝k (x ＋1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1∶2， ∴2×|k －1|1＋k 2＝|2k ＋1|1＋k 2，解得k ＝14.故选A.6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b －7＝0，4a －b －13＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.所以f (－1)＝c －6，所以0<c －6≤3，解得6<c ≤9，故选C.7．(2021届江西省重点中学联考)假照实数x ，y 满足关系⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，又2x ＋y －7x －3≥c 恒成立，则c 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，95 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫95，＋∞ D ．[3，＋∞) 答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示，若c ≤2x ＋y －7x －3恒成立，则只需c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y －7x －3min ，即c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y －1x －3min ，所以问题转化为求y －1x －3的最小值，y －1x －3表示可行域内动点(x ，y )与定点(3,1)连线的斜率，依据图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3min ＝k BC ＝－15，所以c ≤95，故选A.8．(2021届福建省宁德市质量检查)已知实数x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，3x －2y －3≤0，x ＋y －1≥0表示的平面区域为D ，若存在点P (x ，y )∈D ，使x 2＋y 2≥m 成立，则实数m 的最大值为 ( ) A.18116 B ．1C.913 D .12 答案 A解析 如图，作出可行域D ，要使存在点P (x ，y )∈D ，使x 2＋y 2≥m 成立，只需m ≤(x 2＋y 2)max ，而x 2＋y 2表示阴影部分中的点与原点距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝18116，即m ≤18116，m 的最大值为18116，故选A. 9．(2021·湖北省武汉市调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，假如目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143C ．3或143D ．3或－113答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a<0，(1)当－12≤－1a<0，即a ≥2时，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； (2)当－1a <－12，即0<a <2时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合，舍去； 当a <0时，－1a>0.(3)当0<－1a <12，即a <－2时，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合；(4)当－1a ≥12，即－2≤a <0时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合，舍去． 综上，实数a 的值为3或－113，故选D.10.(2021届河北省衡水中学押题卷)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法争辩代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) C.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再依据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D. 11．(2021·湖南省衡阳市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 作出不等式组所对应的平面区域，由图象可知x >0，y >0，设z ＝x 2y ，则x 2＝zy ，对应的曲线为开口向上的抛物线，由图象可知当直线y ＝x －1与抛物线相切时，z 取得最小值，将y ＝x －1代入抛物线x 2＝zy ，得x 2－zx ＋z ＝0，由Δ＝0⇒z ＝4，z ＝0(舍)． 故选D.12．(2021·湖南省长沙市长郡中学模拟)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 答案 B解析 据已知等式得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，故xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x 2－3xy ＋4y 2xy ＝1x y ＋4y x－3，据基本不等式得xyz＝1x y ＋4yx－3≤12x y ·4yx－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时取得最大值，此时z ＝2y 2且2x ＋1y －2z ＝2y －22y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当y ＝1时取得最大值1. 13．(2021届河南省南阳市第一中学模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≥0，3x －y －a ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 的最小值为－25，则实数a 的值为________．答案 2解析 作出不等式组对应的平面区域为阴影部分ABO .由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点B 时，直线y ＝－x ＋z 截距最小，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－25，2x ＋y ＝0解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝－45.即B ⎝⎛⎭⎫25，－45，同时B 也在直线3x －y －a ＝0上，即3×25－⎝⎛⎭⎫－45－a ＝0，得a ＝2. 14．(2021届云南省师范高校附属中学月考)下表所示为X ，Y ，Z 三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44 000单位维生素A 及48 000单位维生素B 的混合物100千克，所用的食物X ，Y ，Z 的质量分别为x ，y ，z (千克)，混合物的成本最少为________元.X Y Z 维生素A (单位/千克) 400 600 400 维生素B (单位/千克) 800 200 400 成本(元/千克)12108答案 960解析 混合食物成本的多少受到维生素A ，B 的含量以及混合物总量等因素的制约，各个条件综合考虑，得⎩⎪⎨⎪⎧400x ＋600y ＋400z ≥44 000，800x ＋200y ＋400z ≥48 000，x ＋y ＋z ＝100，x ≥0，y ≥0，z ≥0，消去不等式中的变量z ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥20，2x －y ≥40，x ＋y ≤100，目标函数为混合物成本函数P ＝12x ＋10y ＋8z ＝800＋4x ＋2y .画出可行域如图所示，当直线y ＝－2x －400＋P2过可行域内的点A (30,20)时，即x ＝30千克，y ＝20千克，z ＝50千克时，成本P ＝960元为最少．15．(2021届江西省重点中学联考)已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝4，若点P 是边BC 上的动点，且P 到AB ，AC 的距离分别为m ，n ，则4m ＋1n的最小值为________．答案 92解析 由题知AB ＝AC ＝433，则依据三角形面积相等有12×⎝⎛⎭⎫4332×32＝12×433(m ＋n )，则m ＋n ＝2，依据基本不等式，得4m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫5＋4n m ＋m n ≥92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，4n m ＝m n，即m ＝43，n ＝23时，等号成立．16．已知变量x ，y (x ，y ∈R )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥5，y －3≤0，若不等式(x ＋y )2≥c (x 2＋y 2) (c ∈R )恒成立，则实数c的最大值为________． 答案2513解析 作出可行域如图所示，设t ＝y x ，由可行域易知1≤t ≤32.又由(x ＋y )2≥c (x 2＋y 2) (c ∈R )，得 c ≤(x ＋y )2x 2＋y 2＝1＋2xy x 2＋y 2＝1＋2x y ＋y x，即c≤1＋2t＋1t，而2≤t＋1t≤136，所以1＋2t＋1t的最小值为1＋2136＝1＋1213＝2513，所以c≤2513.。

大题规范练(八) “20题、21题”24分练(时间：30分钟 分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，P 两点，与x 轴，y 轴分别相交于点N 和M ，且|PM |＝|MN |，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆C 于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A 1，B 1.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得点N 平分线段A 1B 1？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【导学号：07804240】[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c 1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝3a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)存在这样的直线l .∵y ＝kx ＋m ，∴M (0，m )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k ，0， ∵|PM |＝|MN |， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m k ，2m ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m k，－2m ， ∴直线QM 的方程为y ＝－3kx ＋m . 设A (x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0， ∴x 1＋m k ＝－8km 3＋4k 2，∴x 1＝－3m ＋4k 2k ＋4k 2， 设B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3kx ＋m x 24＋y 23＝1，得(3＋36k 2)x 2－24kmx ＋4(m 2－3)＝0.∴x 2＋m k ＝8km 1＋12k 2， ∴x 2＝－m ＋4k 2k ＋12k 2， ∵点N 平分线段A 1B 1，∴x 1＋x 2＝－2m k， ∴－3m ＋4k 2k ＋4k 2－m ＋4k 2k ＋12k 2＝－2m k ， ∴k ＝±12， ∴P (±2m,2m )，∴4m 24＋4m 23＝1， 解得m ＝±217， ∵|m |＝217＜b ＝3， ∴直线l 的方程为y ＝±12x ±217. 21．已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若x ＞0，证明(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2.[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0.(2)f ′(x )＝e x －1－2ax ，令h (x )＝e x －1－2ax ，则h ′(x )＝e x－2a .①当2a ≤1时，在[0，＋∞)上，h ′(x )≥0，h (x )单调递增，h (x )≥h (0)，即f ′(x )≥f ′(0)＝0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )≥f (0)＝0，∴当a ≤12时满足条件． ②当2a ＞1时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 2a ，在[0，ln 2a )上， h ′(x )＜0，h (x )单调递减，∴当x ∈(0，ln 2a )时，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜f ′(0)＝0，∴f (x )在区间(0，ln 2a )上为减函数，∴f (x )＜f (0)＝0，不合题意． 综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(3)证明：由(2)得，当a ＝12，x ＞0时，e x ＞1＋x ＋x 22，即e x －1＞x ＋x22，欲证不等式(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2，只需证ln(x ＋1)＞2xx ＋2.设F (x )＝ln(x ＋1)－2xx ＋2，则F ′(x )＝1x ＋1－4x ＋2＝x 2x ＋x ＋2.∵当x ＞0时，F ′(x )＞0恒成立，且F (0)＝0，∴F (x )＞0恒成立．∴原不等式得证．。

24分专项练24分专项练(一) 21、22题1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .(1)求抛物线的标准方程； (2)求|AB ||MF |的最小值．2．(2020·山东省普通高等学校统一考试)设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1，32，且离心率为32.F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，⊙F 的半径为PF .(1)求椭圆E 和⊙F 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －3)(k >0)与⊙F 交于A ，B 两点，与E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由．3．已知函数f (x )＝e x －ln (x ＋1)(e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ，a ∈R ，试求函数g (x )的极小值的最大值．4．(2020·山东省普通高等学校统一考试)函数f (x )＝a ＋x1＋x (x >0)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线在y 轴上的截距为112.(1)求a 的值；(2)讨论g (x )＝x (f (x ))2的单调性；(3)设a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )．证明：2n －2|2ln a n －ln 7|<1.24分专项练24分专项练(一) 21、22题1．解：(1)由椭圆方程得椭圆的右焦点为(1，0)．所以抛物线的焦点为F (1，0)，p ＝2，故抛物线的标准方程为y 2＝4x . (2)①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时， |AB |＝2p ＝4，|MF |＝2，|AB ||MF |＝2. ②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知直线的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为y ＝k (x －1)，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1）得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1＋x 2＝2（k 2＋2）k 2，x 1x 2＝1，Δ＝16(k 2＋1)>0.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫2k 2＋4k 22－4＝4（k 2＋1）k 2.FM 所在直线的方程为y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），x ＝－1得点M ⎝⎛⎭⎫－1，2k . 所以|MF |＝22＋4k 2＝21＋k 2k 2， 所以|AB ||MF |＝4（k 2＋1）k 221＋k 2k 2＝21＋1k2>2. 综上所述，|AB ||MF |的最小值为2. 2．解：(1)由题意得：⎩⎨⎧1a 2＋34b2＝1c a ＝32a 2＝b 2＋c2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.当x ＝3时，|PF |＝b 2a ＝12，所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝14.(2)假设存在k 使|AC |＝|BD |，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 因为|AC |＝－12|CF |，|BD |＝|DF |－12，|AC |＝|BD |，所以|CF |＋|DF |＝1，即|CD |＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）x 24＋y 2＝1消去y 整理得(4k 2＋1)x 2－83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0，x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1，x 1x 2＝4（3k 2－1）4k 2＋1，|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋14k 2＋1.|CD |＝1＋k 2|x1－x 2|＝4（k 2＋1）4k 2＋1＝1， 即4k 2＋4＝4k 2＋1，显然上式不成立，故不存在k 使|AC |＝|BD |.3．解：(1)函数f (x )＝e x －ln(x ＋1)的定义域是(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.令h (x )＝e x －1x ＋1，则h ′(x )＝e x ＋1（x ＋1）2>0，所以函数h (x )在(－1，＋∞)上单调递增，且h (0)＝f ′(0)＝0.所以当x ∈(－1，0)时，h (x )＝f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时h (x )＝f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是(－1，0)，单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由g (x )＝f (x )－ax ＝e x －ln(x ＋1)－ax ，得g ′(x )＝f ′(x )－a . 由(1)知，g ′(x )＝f ′(x )－a 在(－1，＋∞)上单调递增． 当x →－1时，g ′(x )→－∞；当x →＋∞时，g ′(x )→＋∞， 则g ′(x )＝0有唯一解x 0.当x ∈(－1，x 0)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以函数g (x )在x ＝x 0处取得极小值，g (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋1)－ax 0，且x 0满足e x 0－1x 0＋1＝a .所以g (x 0)＝(1－x 0)e x 0－ln(x 0＋1)＋1－1x 0＋1. 令φ(x )＝(1－x )e x －ln(x ＋1)＋1－1x ＋1，则φ′(x )＝－x ⎣⎡⎦⎤e x ＋1（x ＋1）2.当x ∈(－1，0)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，可得φ(x )max ＝φ(0)＝1.所以函数g (x )的极小值的最大值为1. 4．解：(1)因为f ′(x )＝1－a （1＋x ）2，所以k ＝f ′(1)＝1－a 4，又f (1)＝a ＋12，所以切线方程为y －a ＋12＝1－a 4(x －1)，即y ＝1－a 4x ＋3a ＋14.又切线在y 轴上的截距为112，所以3a ＋14＝112，所以a ＝7.(2)由(1)得f (x )＝x ＋71＋x ，则g (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋71＋x 2，定义域为(0，＋∞)．g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋71＋x 2＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋71＋x （1＋x ）－（x ＋7）（1＋x ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋71＋x 2＋2x (x ＋7)－6（1＋x ）3＝（x ＋7）（x 2－4x ＋7）（1＋x ）3>0， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增． (3)证明：要证2n －2|2ln a n －ln 7|<1， 即证|ln a 2n7|<12n －2，当n ＝1时，ln 7<2成立， 即证|ln a 2n ＋17|<12n －1，即证|ln a 2n ＋17|<12|ln a 2n7|，由题意得a n >0， 即证|ln a 2n ＋17|<|ln a n 7|.因为a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，所以a n ＋1＝a n ＋7a n ＋1，a n ＋1－7＝a n ＋7a n ＋1－7＝（a n －7）（1－7）a n ＋1， 由a n >0即a n －7与a n ＋1－7异号， ①当a n >7，0<a n ＋1<7，即证ln 7a 2n ＋1<lna n7， 即证7a 2n ＋1<a n7，即证a n a 2n ＋1>77，即证a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋a n 1＋a n 2>77，由(2)知，当a n >7，g (a n )>g (7)＝77成立． ②当a n ＋1>7，0<a n <7，即证ln a 2n ＋17<ln 7a n ，即证a 2n ＋17<7a n，即证a n a 2n ＋1<77，即证a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋a n 1＋a n 2<77， 由(2)知，当0<a n <7，g (a n )<g (7)＝77成立． 综上2n －2|2ln a n －ln 7|<1得证．。

2021届高三数学第二轮复习测试题〔二〕理〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.其中为虚数单位，那么的虚部为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数一共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】虚部为-1，应选A.【点睛】此题考察了复数的运算法那么、复数的一共轭复数等，考察了推理才能与计算才能，属于根底题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.，,假设，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意求出，，要使，那么.【详解】根据题意，可得，，要使，那么，应选B.【点睛】此题考察集合的综合运算，属中档题.的外接圆圆心O，半径为1，且，那么向量在向量方向的投影为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求得，三角形的外心O点在BC的中点处，且∠ABC=，由向量投影的定义，利用条件求出即可．【详解】直角外接圆圆心O落在BC的中点上，根据题意画出图像，又O为△ABC外接圆的圆心，半径为1，∴BC为直径，且BC=2，OA=AB=1，∠ABC=；∴向量在向量方向的投影|cos=．应选：A．【点睛】此题主要考察了向量投影的概念与直角三角形外接圆的性质应用问题，是根底题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法那么，平行四边形法那么等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择大小和方向的向量为基底。

4.的展开式中，的系数为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由求展开式中的系数，由通项公式；，那么系数为；．考点：二项式定理的运用及整体思想．内，过点的最短弦的弦长为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将圆的方程化为HY式，找到圆心和半径，过点的最短弦长是过点M和OM垂直的弦,再根据垂径定理得到结果.【详解】圆，化简为：点在圆的内部，记圆心为O点，那么最短弦长是过点M和OM垂直的弦，OM=根据垂径定理得到弦长为：=故答案为：D.【点睛】这个题目考察的是圆的性质和应用，一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合来解决的，很少联立；在求圆上的点到直线或者者定点的间隔时，一般是转化为圆心到直线或者者圆心到定点的间隔，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者者切线长时，经常用到垂径定理.的图像，可以将的图像向A. 右平移个单位B. 左平移个单位C. 右平移个单位D. 左平移个单位【答案】A【解析】【分析】先根据诱导公式将函数化为同名，再根据函数左加右减的原那么进展平移即可.【详解】=将函数图像向右平移个单位得到，.故答案为：A.【点睛】点睛：此题考察的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原那么，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进展加减和伸缩.7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率准确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，那么输出的n值为 (参考数据：，，)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可完毕循环．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件，退出循环，输出n的值是24．应选：C．【点睛】此题考察循环框图的应用，考察了计算才能，注意判断框的条件的应用，属于根底题．对于循环构造的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.8.假设某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图，那么所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的外表积等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图复原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面间隔为设球心为O，根据勾股定理列出方程即可.【详解】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如下图，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面间隔为设球心为O，由勾股定理得到应选A.【点睛】这个题目考察的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的复原，外接球的体积或者者外表积公式。

高考数学二轮复习数学多选题专项训练试题含答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >答案：BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.2．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题3．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立， 由12+n 递减，且1223n<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 4．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．4答案：BD 【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-，化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1nn a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值答案：AC 【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；6．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >答案：ABD 【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误解析：ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.7．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.8．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =答案：BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】因为、、成等差数列，则，即， 解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =-D ．24n S n n =-答案：AD 【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，. 【详解】所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：， 解方程组得：， 所以，. 故选：AD.解析：AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <答案：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】 因为，所以 ， 因为，所以， 所以等差数列公差， 所以是递减数列， 故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ） A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-答案：AC 【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与． 【详解】等差数列的前项和为．，， ， 解得，， ．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+答案：ABD 【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】 得， ∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，∴12(1)11n a n n +=+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.二、等差数列多选题13．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC14．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 15．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立， 对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确； 对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确； 对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误； 对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.16．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()aa a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.17．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S > D ．110S >解析：ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.18．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.19．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ）A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.20．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.21．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列 解析：AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21解析：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+⎪⎝⎭*n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．23．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d < B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <解析：AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S = D ．15S 是最大值解析：CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上， 抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、等比数列多选题25．题目文件丢失！26．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为400解析：AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC27．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 解析：ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列， 所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .28．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析：BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 29．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路解析：ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确；对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 30．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 解析：BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <.。

人教版高考数学第二轮专题复习测试题附参考答案(附参考答案)A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·福州调研)若x＞0，则x＋的最小值为()．A．2 B．3 C．2D．4解析∵x＞0，∴x＋≥4.答案D2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()．A.B.C.D.23解析∵0＜x＜1，∴1－x＞0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当x＝1－x，即x＝时取等号．答案B 3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()．A．4 B．8 C．16 D．32解析设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16＞x＞0，则围成的两个正方形面积之和为S＝2＋2≥＝8，当且仅当＝，即x＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8.答案B4．(2012·合肥模拟)若正实数a，b满足a＋b＝1，则()．A.＋有最大值4 B．ab有最小值14C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值22解析由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤＝，即＋≤，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．答案C 5．(2011·重庆)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()．A.B．4 C.D．5解析依题意得＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是，选C.答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．若x＞1，则x＋的最小值为________．解析x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，等号当且仅当x－1＝，即x＝3时成立．答案5 7．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．解析∵y＝a1－x恒过点A(1,1)，又∵A在直线上，∴m＋n＝1.而＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时，取“＝”，∴＋的最小值为4.答案4 8．(2011·浙江)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．解析由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.答案233三、解答题(共23分)9．(11分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥2， ∴≥8，∴xy ≥64.故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：＋＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y)·1＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋＋≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.10．(12分)(2011·丽水模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)解 (1)依题意得y ＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋(x ≥10，x ∈N ＋)；(2)∵x ＞0，∴48x ＋≥2＝1 440(元)，当且仅当48x ＝，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2011·皖南八校联考(二))已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()．A．0 B．1 C．2 D．4解析由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则＝≥＝4，当且仅当x＝y时取等号．答案D 2．(2011·厦门模拟)若直线ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()．A.B.C.＋D.＋22解析圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即a＝2(－1)，b＝2－时取等号．答案C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·湖南)x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．解析＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．答案9 4．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．解析假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍．假设P点的坐标为，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4.当且仅当x＝，即x0＝时，取“＝”号．答案4三、解答题(共22分)5．(10分)已知a ，b ＞0，求证：＋≥.证明 ∵＋≥2 ＝2 ＞0，a ＋b ≥2＞0，∴(a ＋b)≥2·2＝4.∴＋≥.当且仅当取等号，即a ＝b 时，不等式等号成立．6．(12分)(2011·洛阳模拟)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．解 (1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝.则总面积S ＝·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ＝x －63⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝1 832－，即S ＝1 832－(x ＞0)．(2)由S ＝1 832－，得S ≤1 832－210 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)．当且仅当＝，此时，x ＝45.。

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P （0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C （x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

（新高考）高考数学二轮复习专项小测26“20题、21题”理专项小测(二十六) “20题、21题”时间：45分钟 满分：24分20.(12分)在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A 镇有基层干部50人，B 镇有基层干部80人，C 镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户．按照分层抽样，从A ，B ，C 三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如下频率分布直方图．(1)求这40人中共有多少人来自B 镇，并估计三镇基层干部共走访多少贫困户．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．解：(1)A ，B ，C 三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则B 镇应选取80×40200＝16(人)．(2分)40名基层干部走访贫困户的平均数量x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5.(4分)用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为28.5×200＝5 700(户)．(6分)(2)由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选1人，其工作出色的概率为35. (7分)易知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，则P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫251×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625，P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625， P (X ＝1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝96625， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625， (10分)所以X 的分布列为E (X )＝35×4＝125.(12分)21．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ，a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若函数f (x )存在两个零点x 1，x 2，使ln x 1＋ln x 2－m ＞0，求m 的最大值．思路分析：(1)求导，分a ≤0和a ＞0讨论单调性；(2)由函数的零点，得ln x 1－ax 1＝0，ln x 2－ax 2＝0，结合已知条件，得lnx 1x 2x 1－x 2＞m x 1＋x 2，不妨设0＜x 1＜x 2，则ln x 1x 2＜m (x 1－x 2)x 1＋x 2，令t＝x 1x 2，则t ∈(0,1)，ln t ＜m (t －1)t ＋1，构造函数g (t )＝ln t －m (t －1)t ＋1(0＜t ＜1)，求导后再分m ≤1、1＜m ≤2、m ＞2讨论求解．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(4分)(2)因为ln x 1－ax 1＝0，ln x 2－ax 2＝0，即ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2.两式相减得ln x 1－ln x 2＝a (x 1－x 2)，即a ＝lnx 1x 2x 1－x 2.由已知ln x 1＋ln x 2＞m ，得a (x 1＋x 2)＞m .因为x 1＞0，x 2＞0，所以a ＞m x 1＋x 2，即lnx 1x 2x 1－x 2＞mx 1＋x 2.(6分)不妨设0＜x 1＜x 2，则ln x 1x 2＜m (x 1－x 2)x 1＋x 2.令t ＝x 1x 2，则t ∈(0,1)，所以ln t ＜m (t －1)t ＋1， 即ln t －m (t －1)t ＋1＜0恒成立． (7分)设g (t )＝ln t －m (t －1)t ＋1(0＜t ＜1)． 则g ′(t )＝t 2＋2(1－m )t ＋1t (t ＋1)2.令h (t )＝t 2＋2(1－m )t ＋1，则h (0)＝1，h (t )的图象开口向上，对称轴方程为t ＝m －1， 方程t 2＋2(1－m )t ＋1＝0的判别式Δ＝4m (m －2)．(8分)①当m ≤1时，h (t )在(0,1)上单调递增，所以当0＜t ＜1时，h (t )＞h (0)＝1，所以g ′(t )＞0.g (t )在(0,1)上单调递增，所以g (t )＜g (1)＝0在(0,1)上恒成立．(9分)②当1＜m ≤2时，Δ＝4m (m －2)≤0，h (t )≥0在(0,1)上恒成立，所以g ′(t )＞0，g (t )在(0,1)上单调递增，所以g (t )＜g (1)＝0在(0,1)上恒成立．(10分)③当m ＞2时，h (t )在(0,1)上单调递减，因为h (0)＝1，h (1)＝4－2m ＜0，所以存在t 0∈(0,1)，使得h (t 0)＝0.当t ∈(0，t 0)时，h (t )＞0，g ′(t )＞0；当t ∈(t 0,1)时，h (t )＜0，g ′(t )＜0. 所以g (t )在(0，t 0)上单调递增，在(t 0,1)上单调递减． 所以当t ∈(t 0,1)时，都有g (t )＞g (1)＝0， 所以g (t )＜0在(0,1)上不恒成立． 综上所述，m 的取值范围是(－∞，2]， 所以m 的最大值为2. (12分)。

东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2B． C．2 D．44．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x| D．y=|lgx|5．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．246．执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．21 B．34 C．55 D．897．已知，则cos2α=（）A．1 B．﹣1 C．D．08．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B． C． D．211．已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（）A．B．1 C．D．12．已知f（x）=，g（x）=﹣x2﹣x+2（﹣4≤x≤4）给出下列四个命题：①函数y=f[g（x）]有且只有三个零点；②函数y=g[f（x）]有且只有三个零点；③函数y=f[f（x）]有且只有六个零点；④函数y=g[g（x）]有且只有一个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．14．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+||______．15．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为______m．16．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是______（将你认为正确的序号都写上）．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足，且数列{a n}的每一项加上1后成为等比数列．（Ⅰ）求{a n}；（Ⅱ）令b n=|log2（a n+1）|，求数列{b n}的前n项和T n．18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB 和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．20．曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC 的中点．（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e1﹣x cosx，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）在上的单调性；（Ⅱ）证明：∀x∈[﹣1，]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t 恒成立，试求m+n的最小值．2018年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出两集合，求出A 与B的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|}=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，2），故选：B．2．的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部．【解答】解：==1+2i，故虚部是2，故选：A．3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2B． C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．故选：B．4．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x| D．y=|lgx|【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用定义判断f（x）和选项中函数的奇偶性，得出结论．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），∴f（x）是偶函数．对于A，y=sinx是奇函数，对于B，y=x2+x+1的对称轴为x=﹣，∴y=x2+x+1非奇非偶函数，对于C，|﹣x|=|x|，∴y=|x|是偶函数，对于D，y=|lgx|的定义域为（0，+∞），故y=|lgx|为非奇非偶函数．故选：C．5．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．24【考点】计数原理的应用．【分析】有9个座位，现有3个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，∵要求入座的每人左右均有空位，∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可∴不同的坐法种数为A52=20，故选：C．6．执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．21 B．34 C．55 D．89【考点】程序框图．【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，Q=1，i=3满足条件i≤10，F=2，Q=1，S=2，i=4满足条件i≤10，F=3，Q=2，S=3，i=5满足条件i≤10，F=5，Q=3，S=5，i=6满足条件i≤10，F=8，Q=5，S=8，i=7满足条件i≤10，F=13，Q=8，S=13，i=8满足条件i≤10，F=21，Q=13，S=21，i=9满足条件i≤10，F=34，Q=21，S=34，i=10满足条件i≤10，F=55，Q=34，S=55，i=11不满足条件i≤10，退出循环，输出S的值为55．故选：C．7．已知，则cos2α=（）A．1 B．﹣1 C．D．0【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由所给等式得到|sinα|=|cosα|=，由二倍角公式得到结果．【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=﹣sinα，∴|sinα|=|cosα|=，则cos2α=2cos2α﹣1=0，故选：D8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A的射影分别是C1、D1、D．故选D．9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得φ值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ）]=sin（2x+φ﹣）的图象，∵图象关于y轴对称，∴由诱导公式和偶函数可得φ﹣=kπ+，解得φ=kπ+，k∈Z，由|φ|＜可得当k=﹣1时φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]可得2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣即x=0时，函数f（x）在[0，]上取最小值sin （﹣）=﹣，故选：D．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（）A．B．1 C．D．【考点】棱锥的结构特征．【分析】设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2﹣h），四棱锥P﹣ABCD的体积V=×4a2h=h2（2﹣h），变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2﹣h），四棱锥P﹣ABCD的体积V=×4a2h=h2（2﹣h）=≤=，当且仅当h=4﹣2h，即h=时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，故选：．12．已知f（x）=，g（x）=﹣x2﹣x+2（﹣4≤x≤4）给出下列四个命题：①函数y=f[g（x）]有且只有三个零点；②函数y=g[f（x）]有且只有三个零点；③函数y=f[f（x）]有且只有六个零点；④函数y=g[g（x）]有且只有一个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】分别求出f（x），g（x）的单调性与值域，利用函数的单调性得出复合函数的单调性，即可得出零点个数．【解答】解：f（x）在[﹣4，﹣1]上是增函数，在（﹣1，1]上是减函数，在[1，4]是增函数，且f（﹣4）=﹣4，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（4）=4．∴f（x）在区间（﹣4，﹣1），（﹣1，1），（1，4）上各有1个零点，且f（x）的值域为[﹣4，4]．设f（x）的三个零点分别为x1，x2，x3，∵f（﹣3）=log22﹣＜0，f（﹣2）=log23﹣＞0，∴﹣3＜x1＜﹣2，令2|x﹣1|﹣2=0得x2=0，x3=1．作出f（x）的大致函数图象如图所示：做出y=g（x）的函数图象如图所示：显然g（x）在[﹣4，4]上为减函数，且g（x）的值域为[﹣4，4]．令g（x）=0得x=4﹣4，故g（x）的零点为4﹣4．（1）设f[f（x）]=0，则f（x）=x1，或f（x）=0，或f（x）=2．∵﹣3＜x1＜﹣2，由y=f（x）的函数图象可知f（x）=x1只有一解，f（x）=0有三解，f（x）=2有两解，∴f[f（x）]有六个零点，故③正确．（2）设f[g（x）]=0则g（x）=x1或g（x）=0或g（x）=2，显然以上方程各有一解，∴f[g（x）]由三个零点，故①正确．（3）设g[f（x）]=0，则f（x）=4﹣4，∵0，由f（x）的函数图象可知f（x）=4﹣4有三个解，∴g[f（x）]有三个零点，故②正确．（4）设g[g（x）]=0，则g（x）=4﹣4，由g（x）的函数图象可知g（x）=4有一解，∴g[g（x）]有一个零点，故④正确．故选：D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．14．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a=6，运用椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，由向量的中点表示形式，可得B为AF1的中点，C为AF2的中点，运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值．【解答】解：椭圆=1的a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，=（+），可得B为AF1的中点，=（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|=|AF2|，|OC|=|AF1|，即有||+||=（|AF1|+|AF2|）=a=6，故答案为：6．15．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为40 m．【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出图示，利用30°角的性质和勾股定理依次求出BC，CE，AC，AE，则AB=AE+BE．【解答】解：如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60°，∠BCE=30°，∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=．∵∠ACE=60°，∠AEC=90°，∴AC=2CE=20，∴AE==30．∴AB=AE+BE=30+10=40．故答案为：40．16．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是①④（将你认为正确的序号都写上）．【考点】进行简单的合情推理．【分析】逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，把满足运算*构成群的定义的找出来．【解答】解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（iii）∃0∈G，∀a∈G，则）0+a=a+0=a；（iv）∀a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=﹣a，使a+（﹣a）=（﹣a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群；②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（iv）；③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（iii）∃1∈G，∀a ∈G，则）1×a=a×1=a；（iv）∀a∈G，在G中存在唯一一个，使．故答案为：①④．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足，且数列{a n}的每一项加上1后成为等比数列．（Ⅰ）求{a n}；（Ⅱ）令b n=|log2（a n+1）|，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用数列{a n+1}是等比数列可知a1+1=512、，进而可知数列{a n+1}是以512为首项、为公比的等比数列，计算即得结论；（II）通过（I）可知b n=|11﹣2n|，分n≤5和n≥6两种情况讨论即可．【解答】解：（I）由题意，数列{a n+1}是等比数列，设公比为q，则a1+1=512，，∴，即数列{a n+1}是以512为首项、为公比的等比数列，所以，；（II）由（I）可知b n=|11﹣2n|，当，当，故．18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用茎叶图能求出男生跳远成绩的中位数．（Ⅱ）用分层抽样的方法，求出每个运动员被抽中的概率，根据茎叶图，女生有18人，由此能求出抽取的女生的人数．（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（I）利用茎叶图，得男生跳远成绩的中位数（cm）．…（Ⅱ）用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是，…根据茎叶图，女生有18人，∴抽取的女生有（人）；…（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人…X的取值为0，1，2，则，，，…X的分布列如下：X 0 1 2P…∴EX==．…19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB 和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，根据线面平行的判定定理即可证明：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，又MN⊄平面EFDA，ED⊂平面EFDA所以MN∥平面EFDA（Ⅱ）由题意平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF⊂平面EFCB所以CF⊥平面EFDA，以F为坐标原点，FE方向为x轴，FD方向为y轴，FC方向为Z 轴，建立空间直角坐标系．由题意F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，1），N（0，1，1），A（2，1，0），设平面AMN的法向量为=（x，y，z），则=（﹣1，﹣1，1），=（﹣2，0，1），则•=﹣x﹣y+z=0，•=﹣2x+z=0，令x=1，则z=2，y=1，即平面AMN的法向量为，=（1，1，2），同理得平面AFN的法向量为=（1，﹣2，2），设所求的二面角为θ则|cosθ|=||=，又所求二面角为锐角，）所以求二面角的余弦值为．20．曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC 的中点．（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设出C，A的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用C的坐标表示，然后代入曲线方程求得动点C的轨迹方程；（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设出M，N的坐标及直线MN的方程，联立直线方程与抛物线方程，得到M，N的横坐标的和与积，然后分别写出过M，N 的切线方程，知x1，x2是方程的两根，进一步求得P的坐标，则可求得轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），A（m，n），则，∴，又，∴所求方程为x2=4y；（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=kx+1，联立，得x2﹣4kx﹣4=0，则，切线PM的方程为，点P（x0，y0）代入化简得．同理得，知x1，x2是方程的两根，则x1x2=4y0=﹣4．∴y0=﹣1，代入圆方程得x0=0，∴存在点P（0，﹣1）．此时轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积：S==1．21．已知函数f（x）=e1﹣x cosx，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）在上的单调性；（Ⅱ）证明：∀x∈[﹣1，]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据x的范围，判断出f′（x）的符号，从而求出函数的单调性；（Ⅱ）问题转化为证明，在上恒成立，构造函数，，求出g（x）的导数，判断出函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（I）由题f'（x）=﹣e1﹣x（cosx）﹣e1﹣x sinx=﹣e1﹣x （sinx+cosx）…因为所以f'（x）＜0…所以函数f（x）在上单调递减…（II）f（﹣x﹣1）=e x+2•cos（﹣x﹣1）=e x+2•cos（x+1）．而2f'（x）•cos（x+1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）•cos（x+1），…又因为，所以cos（x+1）＞0．…要证原不等式成立，只要证e x+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）＞0，只要证e x+2＞2e1﹣x（sinx+cosx），只要证，在上恒成立．…首先构造函数，，因为=，可得，在x∈[﹣1，0]时，g'（x）≤0，即g（x）在[﹣1，0]上是减函数，在时，g'（x）＞0，即g（x）在上是增函数，…所以，在上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0．所以，，等号成立当且仅当x=0时．…其次构造函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），，因为h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1），可见时，h'（x）≤0，即h（x）在上是减函数，时，h'（x）＞0，即h（x）在上是增函数，所以在上，，所以h（x）≥0，所以，e2x+1≥2x+2，等号成立当且仅当时．…综上所述，，因为取等条件并不一致，所以，在上恒成立，所以，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0成立．…请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t 恒成立，试求m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．2016年9月22日。

最新中小学教育资源新定义类创新题一、选择题1．[2018 ·潍坊一中 ] 定义会合运算： A B z| z xy, x A, y B ，设 A 1,2 ， B 0,2 ，则会合A B的全部元素之和为（）A． 0B． 2C． 3D． 62．[2018 ·山东联考 ] 已知函数① f x x 1 ；② f x 2 x 2 ；③ f x 1；④ f x ln x ；⑤ f x cos x ．其x中对于 f x 定义域内的随意，都存在，使得 f x1 f x2 x1x2建立的函数是（）A．①③ B．②⑤ C．③⑤ D．②④3． [2018 ·牛栏山一中] 定义平面向量之间的一种运算“⊙”以下，对随意的a m, n ，b p, q ，令⊙b mq np 以下说法错误的选项是（）A．若与共线，则令⊙b0B．⊙b b ⊙C．对随意的R 有 a ⊙ ba bD． a2 2 2 2b a b a b4． [2018 ·赣州模拟] 我国南宋有名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，1 a2 c2 b 2 2设△ABC 三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为 S a2 c2 ．若4 2a 2 sin C 24sin A ，a sinC sin B cb 27 a2 sin A ，则用“三斜求积公式”求得的（）A．3 165 B．15 5C．15 6 D．15 74 4 4 45．[2018 ·安庆质检 ] 设非空会合 S x | m x n 知足：当 x S 时，有 x2 S ，给出以下三个命题：①若 m 1 ，则 S 1 ；②若m 1，则 1 n 1；③若 n 1 ，则 20 ．此中正确的命题的个数为（）m2 4 2 2A． 0B． 1C． 2D． 36． [2018 ·武邑中学 ] 祖暅是南北朝时代的伟大科学家， 5 世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，假如截面面积都相等，那么这两个几何体的体积必定相等．现将曲线x2 y21绕轴旋转一周获得的几何体叫36 48做椭球体，记为，几何体的三视图以下图．依据祖暅原理经过观察能够获得的体积，则的体积为（）最新中小学教育资源A． 48 3πB． 72 3πC． 96 3πD． 192 3π7．[2018 ·双流中学 ] 对于函数 f x 和 g x ，设x R f x 0 ，x R g x 0 ，若存在、，使得1，则称 f x 与 g x 互为“零点关系函数”．若函数 f x e x 1 x 2 与g x x2 ax a 3互为“零点关系函数”，则实数的取值范围为（）A．7,3 B． 2, 7 C． 2,3 D． 2,4 3 38．[2018 ·工大附中 ] 若三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且知足1 1 2x1 x2 ，则称，，成一个“等差x3数列”．已知会合 M x x 100,x Z，则由中的三个元素构成的全部数列中，“等差数列”的个数为（）A． 25B． 50C．51D． 1009． [2018 ·河南适应 ] 定义域为 a, b 的函数 y f x 的图象的两个端点分别为 A a, f a ， B b, f b ，M x, y 是 f x 图象上随意一点，此中x a 1 b 0 1 ，向量 BN BA ．若不等式MN k恒成立，则称函数 f x 在 a,b 上为“函数”．已知函数y x3 6x2 11x 5 在0,3 上为“函数”，则实数的最小值是（）A． 1B． 2C． 3D． 410．[2018 ·新余四中 ] 已知函数 f x 的定义域为0,f x上为增函数，则称 f x 为“一，若 y 在 0,x阶比增函数”；若f x在 0, 上为增函数，则称 f x 为“二阶比增函数”．我们把全部“一阶比增函yx2数”构成的会合记为，全部“二阶比增函数”构成的会合记为．若函数 f x x3 2hx2 hx ，且 f x 1，f x 2 ，则实数的取值范围是（）A． 0, B． 0, C．,0 D．,011．[2018 ·兰州一中 ] 函数 f x 定义域为，若知足① f x 在内是单一函数；②存在 a,b D 使 f x 在 a, b上的值域为 a , b ，那么就称 y f x 为“成功函数”，若函数 f x log a a x t a 0,a 1 是“成功函2 2最新中小学教育资源数”，则的取值范围为（）A． 0,B．,1C． 0,1D． 0,1 4 4 412．[2018 ·武邑中学 ] 已知为抛物线 C : y2 4x 的焦点，，，为抛物线上三点，当FA FB FC 0 时，称△ABC 为“和睦三角形”，则“和睦三角形”有（）A．0 个 B．1 个 C．3 个 D．无数个二、填空题13． [2018 ·汕头模拟] 假如函数 f x 在区间上是凸函数，那么对于区间内的随意，，，，f x1 f x2 f x nf x x xn，若 y sin x 在区间 0,π内是凸函数，则在△ ABC 中，都有n 1 2 nsin A sin B sin C 的最大值是 _____．14．[2018 ·朝鲜族中学 ] 卵形线是常有曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点 ( 叫作焦点 ) 的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了有关性质的研究，设F1c,0 ， F2 c,0 是平面内的两个定点，PF1PF2 a 2 ( 是定长 ) ，得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若 a c ，则曲线过原点；③若 0 a c ，则曲线不存在；④若 0 c a ，则a2 c2 x2 y2 a2 c2．此中正确命题的序号是________．15．[2018 ·南昌检测 ] 记为不超出的最大整数，如 2.7 2 ， 1.3 2 ，则函数 f x ln x 1x 的全部零点之和为 ________．16． [2018 ·日照联考 ] 若存在实常数和，使得函数 f x 和 G x 对其公共定义域上的随意实数都知足：F x kx b ，和G x kx b 恒建立，则称此直线y kx b 为 F x 和 G x 的“隔绝直线”，已知函数f x x2 x R ，g x 1 x 0 ，h x 2eln x ( 为自然对数的底数) ，有以下命题：x① m x f x g x 在 x 1 ,0 内单一递加；3 2② f x 和 g x之间存在“隔绝直线”，且的最小值为；③ f x 和 g x 之间存在“隔绝直线”，且的取值范围是4,1 ；④ f x 和 h x 之间存在独一的“隔绝直线”y 2 ex e ．此中真命题的序号为__________． ( 请填写正确命题的序号)答案与分析一、选择题1．【答案】 D【分析】依据题意，设 A 1,2 ， B 0,2 ，则会合 A B 中的元素可能为0，2，0，4，会合元素的互异性，则 A B 0,2,4 ，其全部元素之和为0 2 4 6，应选 D．2．【答案】 B【分析】由 f x1 f x2 x1x2 0 知，对函数 f x 图象上随意一点 A x1, f x1，都存在一点 B x2 , f x2 ，使 OA OB ，若斜率都存在，则k k 1 ．OA OB对于①，因为 f x x 1 ，所以不论两个点怎样取，和的斜率均等于1，故①不建立；对于②，因为 f x 2 x 2 ，联合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象订交，即对函数 f x 图象上任意一点，都存在一点，使OA OB ，故②建立；对于③，因为 f x 1，若 f x1 f x21 x1x2，则x1x2 2x1 x21 ，明显不建立，故③不建立；x对于④，因为 f x ln x ，则当x1 1时，故 k OA 0 ，直线为轴，此时与直线垂直的直线为轴，而轴与函数 f x 的图象无交点，故④不建立；对于⑤，因为 f (x) cos x ，联合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象订交，即对函数 f x 图象上随意一点，都存在一点，使OA OB ，故⑤建立．综上可得切合条件的是②⑤，应选B．3．【答案】 B【分析】依据两向量共线的坐标表示可知 A 正确，a b mq np ，b a pn mq ，所以 B 不正确；a b a b mq np ，所以 C正确；a b 2 2 2 2m2 n2 p 2 q 22 2n 2 p2 q2，a b mq np mp nq ，而 a b m2所以 D正确，应选B．4．【答案】 D【分析】由 a2 sinC 24sin A ，可得 a2c 24a ，ac 24 ，由 a sin C sinB c b 27 a2 sin A ，可得 a c b c b 27 a2 a ，整理计算有 a2 c2 b2 27 ，2 2 2 21 242 2联合三角形面积公式可得S 1 a2 c2 a c b 27 15 7．4 2 4 2 4 应选 D．5．【答案】 D【分析】已知非空会合 S x | m x n 知足：当 x S 时，有x2 S ，故当 x n 时，n2 S 即 n2 n ，解得0 n 1，当 x m 时， m2 S 即 m2 m ，解得m 0 ，或 m 1 ；依据m n ，得m 0；①若 m 1 ，由 1 m n 1 ，可得 m n 1，即S 1 ，故①正确；②若 m 1 ，m2 1 S ，即 1 n ，且1n ，故1n 1 ，故②正确；2 4 2 4 4m 11，由 m2 S ，可得 2 ，联合 m 0 2③若 n ，可得m 0 ，故③正确；2 m2 1 2 2应选 D．6．【答案】 D【分析】由三视图可得几何体是一个底面半径为6，高为4 3 的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为极点，上底面为底面的圆锥，则圆柱的体积为π 62 4 3 144 3π，圆锥的体积1π 62 4 3 48 3π，3利用祖暅原理可计半椭球的体积为144 3π 48 3π 96 3π，所以的体积为 2 96 3π 192 3π，应选D．7．【答案】 C【分析】 f x e x 1x 2 ， f x 为单一递加的函数，且x 1 是函数独一的零点，由 f x，g x互为“零点相邻函数”，则g x 的零点在0,2 之间．（ 1）当 g x 有独一的零点时，0 ，解得 a 2 ，解得 x 1 知足题意；（ 2）当 g x 在 0,2之间有独一零点时， g 0 g 20 ，解得 a7,3 ；3（ 3）当 g x 在 0,2 之间有两个点时，0 ， g 0 g 20 ，解得 a2,7，3综上所述，解得 a 2,3 ，应选 C ．8．【答案】 B【分析】 由三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且知足 112 ，x 1 x 2x 32x 2 x 1 x 3 知 112 ，消去，并整理得2x 1 x 3x 1 x 30 ，x 1 x 2x 3所以 x 1 x 3 （舍去）， x 32x 1 ，于是有 x1 x ．221在会合 M x x 100,x Z 中，三个元素构成的全部数列必为整数列，所以必能被 2 整除，且x 150,50， x 0 ，故这样的数组共50 组，答案选 ．1 B9．【答案】 D【分析】 当 x0 时， y 5 ，当 x 3 时， y 1 ．所以 A 0,5，B3,1．所以 x M0 13 3 1． y M27 3 27 2 6 1 ．因为向量 BN BA ，所以 BN3, 63 , 6，所以 MNBN BM3 , 63 , 27 3 27 2 60,27327 2 ，所以 MN 27 3 27 2227 3 272 2721，设 g27211 ， g54 81 2，所以函数 g在 0,2单一递加，在 2 ,1上单一递减，所以 gmax g 24 ，33 3所以 k 4 ，应选 D ．10．【答案】 C【分析】 因为 f x1 且 fx2 ，即 g xf xx 2 2hx h 在 0,是增函数，x所以 h0 ，而 h xfxh2h不是增函数，而 hx1 hx 2x在 0, x 2 ，x最新中小学教育资源所以当 h x 是增函数时，有 h0 ，当 h x 不是增函数时，有 h 0 ，综上所述，可得的取值范围是,0 ，应选 C ．11．【答案】 C【分析】 ∵ f xlog a a x t a 0, a1 是“成功函数”，∴ f x 在其定义域内为增函数，1 x ，∴ a x x， a xxf xlog a a x tt a 2 a 2 t 0 ，2x，∴ m 2令 m c 20 mt0有两个不一样的正数根，∴1 4t 0，解得 t0, 1 ，应选 C ．t 0412．【答案】 D【分析】 抛物线方程为 y 24x ，，，为曲线上三点，当FA FB FC 0 时，为 △ ABC 的重心，用以下方法结构 △ ABC ，连结并延伸至，使 FD1 AF ，2当在抛物线内部时，设D x 0 , y 0 ，若存在认为中点的弦，设 B m 1 ,n 1 ， C m 2 ,n 2 ，则 m 1 m 2 2x 0 ， n 1 n 2 2y 0n 1 n 2k BC ，，m 2m 1则n 124m 1 ，两式相减化为 nn n 1 n 24 ， k BCn 1 n 22 ， n 2 24m 212m 1 m 2m 1 m 2y 0所以总存在认为中点的弦，所以这样的三角形有无数个，应选D ．二、填空题13．【答案】332f x 1f x 2f x 3 f x nx x 2x【分析】 由题意，知凸函数 fx 知足f 1n，nn又 y sin x 在区间 0,π 上是凸函数，所以 sinA sinBsinC3sinAB C3sin π33 ．33214．【答案】 ①②③④【分析】 由题意设 P x, y ，则x c2x c2a 2，y 2y 2最新中小学教育资源即2 2a4，①把方程中的被代换，方程不变，故此曲线对于轴对称；把方程中的被x cy 2 x cy2代换，方程不变，故此曲线对于轴对称；把方程中的被代换，被代换，方程不变，故此曲线对于原点对称；故①正确；② a c ，0,0 代入，方程建立则曲线过原点，故②正确；③∵PF1 PF2min2c ，（当且仅当，PF1 PF2 c 时取等号），∴PF PFmin c2，∴若0 a c ，则曲线不存在，故③正确；④若0 c a ，1 2则类比椭圆的性质，可得 a 2 c 2x 2 y 2 a 2 c 2 ，故④正确．故答案为①②③④．15．【答案】 e 12 e【分析】由题意可知 x 1 x x ，令 g x ln x 1 x 1 ， x 310 ．．有 g ' x 1x 1所以 g x 在 3, 上单一递减，有g x g 3 ln4 2 0 ，所以 f x ln x 1 x 在 3, 上无零点，1 x 0，0 x 1，1 x 2，2 x 3，只要考虑：ln x 1 ln x 1 1 ln x 1 2 ln x 1 1 0可得三个零点分别为11 ，e 1 ，，故答案为 e1．e2e16．【答案】①②④【分析】联合题意逐个观察所给命题的真假：①∵ m x f x g x x2 1， x1，则 m' x1 2 x3 1，,0 2xx20 x 3 2 x2∴ F x f x g x 在 1 ,0 内单一递加，故①对；3 2②、③设 f x 、g x 的隔绝直线为y kx b ，则x2 kx b 对一确实数建立，即有 1 0 ，k2 4b 0 ，b 0 ，又1kx b 对全部x 0 建立，则 kx2 bx 1 0 ，即 2 0 ， b2 4k 0，k 0 ，x即有 k 2 4b 且 b2 4k ， k 4 16b2 64k 4 k 0 ，同理可得 4 b 0 ，故②对，③错；④函数 f x 和 h x 的图象在x e 处有公共点e,e ，所以若存在 f x 和 g x 的隔绝直线，那么该直线过这个公共点，设隔绝直线的斜率为，则隔绝直线方程为y e k x e ，即 y kx k e e ，由 f x kx k e e x R，可得x2 kx k e e 0 当x R恒建立，最新中小学教育资源0 ，即k 2 e 2，故 k 2 e ，此时直线方程为y 2 ex e ，则0 下边证明 h x 2 ex e ：令 G x 2 ex e h x 2 ex e2 e x e2eln x ，则 G ' xx，当 x e 时，G x 0 ，当0 x e 时，G x 0 ，当x e 时，G x 0 ，则当 x e 时，G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值．所以 G x 2 ex e h x 0 ，则 h x 2 e x e 当x 0 时恒建立．∴函数 f x 和 g x 存在独一的隔绝直线y 2 ex e ，故④正确．故答案为①②④．。

2024年高考数学（理科）第二次模拟考试卷及答案解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}5log 1A xy x ==-∣，集合{}Z03B y y =∈≤≤∣，则()R A B ⋂=ð（）A ．()0,1B ．[]0,1C ．∅D ．{}0,1【答案】D【分析】先表示出集合,A B ，再由交集和补集的运算得出结果即可.【详解】集合(){}{}5log 11A xy x x x ==-=>∣∣，集合{}{}Z030,1,2,3B y y =∈≤≤=∣，集合{}R |1A x x =≤ð，所以()R A B ⋂=ð{}0,1.故选：D2．设i 为虚数单位，且()1i 2z +=，则z =（）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i+【答案】D【分析】根据复数的除法运算求z ，进而可得共轭复数.【详解】由题意可得：()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以z =1i +.故选：D.3．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b上的投影向量为（）A ．12b- B ．13b - C ．23bD ．23b - 【答案】D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=-，由a 在b 上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,12n S a a +=且123,6,a a a +成等差数列，则105S S 为（）A ．244B ．243C ．242D ．241【答案】A【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意可知，1212a a +=且()13226a a a +=+，设等比数列的公比为q ，则2111112a a q a q a a q +=++，得3q =，()()10110510555113131313244131313a S S a ---===+=---.故选：A5．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（）A ．35B ．2150C ．611D ．34【答案】B【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，甲去场馆,,A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，甲不去场馆A ，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种；情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种，场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种，所以甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B ．6．已知函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--，则()f x 是（）A ．奇函数，且在(0,e)上是增函数B ．奇函数，且在(0,e)上是减函数C ．偶函数，且在(0,e)上是增函数D ．偶函数，且在(0,e)上是减函数【答案】A【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.【详解】若函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--有意义，则e 0e 0x x ->⎧⎨+>⎩，解得e e x -<<，即函数()f x 的定义域为(e,e)-，因为()()()()()ln e ln e ln e ln e ()f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，函数e 2e ()ln(e )ln(e )ln ln 1e e x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+--==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，因为函数2e1e u x=-+-在(0,e)上递增，函数ln y u =在定义域上递增，所以函数()f x 在(0,e)上是增函数.故选：A 7．“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．3【答案】C【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ==.故选：C9．4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【分析】将21x x+看成一个整体，得到41421()(1)rr r r T C x x -+=+-，再展开421()r x x -+得到430r m --=，分别取值得到答案.【详解】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421((1)rrr r T C x x-+=+-421()rx x -+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x-----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r =系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-=当1m =时，1r =系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=-故答案选B【点睛】本题考查了二项式定理，将21x x +看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.10．若函数()()π3cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒有()()2πf x f ≤，且()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，则ω的值为（）A ．16-B ．56C ．116D ．56或116【答案】D【分析】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，可求出16k ω=-，再由ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求出ω的范围，即可得出答案.【详解】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，16k ω=-，k ∈Z ．由()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，得ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，所以02ω<≤．所以56ω=或116．经检验，56ω=或116均满足条件．故选：D ．11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法不正确的是（）A ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π2B ．异面直线1DD 与1B FC ．点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP D ．过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+【答案】D【分析】对于A ：转化为长方体的外接球分析运算；对于B ：根据异面直线夹角分析运算；对于C ：根据面面平行分析判断；对于D ：根据平行关系求截面，进而可得周长.【详解】对于A ：三棱锥1B BEF -的外接球即为以1BB 、BE 、BF 为邻边的长方体的外接球，因为11BB =，12BE BF ==，可得外接球的半径4R =，所以外接球的表面积23π4π2S R ==，故A 正确；对于B ：因为11//DD BB ，则异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F ，且11BB =，12BF =，可得12B F =，所以111cos BB BB F B F ∠==所以，异面直线1DD 与1B FB正确；对于C ：取11A B 、11A D 、11C D 的中点M 、Q 、N ，连接AM 、MN 、QN 、DN ，，由题意可得：1//AE B M ，1AE B M =，则1AEB M 为平行四边形，所以1//B E AM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，M 、N 分别为11A B 、11C D 的中点，则11//A M D N ，11A M D N =，所以，四边形11A D NM 为平行四边形，所以，11//MN A D ，11MN A D =，又因为11//AD A D ，11AD A D =，可得//MN AD ，MN AD =，则AMND 为平行四边形，所以//AM DN ，可得1//B E DN ，因为1B E ⊂平面1B EF ，DN ⊄平面1B EF ，则//DN 平面1B EF ，因为11//AA CC ，11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC AC ，因为E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，同理可得11//QN A C ，则11//EF AC ，可得//QN EF ，因为EF ⊂平面1B EF ，QN ⊄平面1B EF ，则//QN 平面1B EF ，因为DN QN N =I ，DN 、QN ⊂平面DNQ ，所以平面//DNQ 平面1B EF ，则点P 在线段QN 上，可得11122QN A C ==，2DQ QN ==，所以当点P 为线段QN 的中点时，DP QN ⊥，DP 4=，故C 正确；对于D ：连接AC 、11A C ，因为E 、F 为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，又因为11//AA CC ，11AA CC =，则11AAC C 为平行四边形，可得11//AC A C ，则11//EF AC ，过1D 作11//KL AC ，设11KL AB K = ，11KL BC L = ，则//KL EF ，可得111KA AB =，111LCBC =，连接KE 、LF ，设1KE AA G = ，1LF CC H = ，连接1D G 、1D H ，可得过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1EFHDG ，因为12KA AE =，12LC CF =则1223GA AG ==，1223HC CH ==，可得113D G D H ==，6GE HF ==，EF所以截面周长为22+D 错误；故选：D.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.12．若点P 既在直线20l x y -+=:上，又在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，C 的左、右焦点分别为12,F F ，122F F =，且12F PF ∠的平分线与l 垂直，则C 的长轴长为（）AB C D 【答案】B【分析】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，由12F PF ∠的平分线与l 垂直可得12F PN F PM ∠=∠，即可得1F N P 与2F PM 相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出1PF 、2PF ，结合椭圆定义即可得长轴长.【详解】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，作12F PF ∠的平分线PH 与x 轴交于H ，由122F F =，故()11,0F -、()21,0F ，则1F N =，2F M =，由PH l ⊥且PH 为12F PF ∠的平分线，故12F PH F PH ∠=∠，故12F PN F PM ∠=∠，又1F N l ⊥、2F M l ⊥，故1F N P 与2F PM 相似，故1122132F N NP PF F M MP PF ===，由20l x y -+=:，令0y =，则2x =-，故直线l 与x 轴交于点()2,0G -，故NG ==2MG ==，故22MN =-=由112213F N NP PF F MMPPF ===，故144NP MN ==，344MP MN ==，故14PF ==，24PF ==，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故2a =即C故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于作出1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，再将12F PF ∠的平分线与l 垂直这个条件转化为12F PN F PM ∠=∠，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及122F F =得到1PF 、2PF 的值.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()()5cos 2,tan tan 46αβαββ+=+=-，写出符合条件的一个角α的值为.【答案】2π3（答案不唯一）【分析】根据题目条件得到()1cos cos 6αββ+=和()2sin sin 3αββ+=-，从而求出()121cos cos 632ααββ⎡⎤=+-=-=-⎣⎦，进而求出角α的值.【详解】()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ⎡⎤+=++=+-+⎣⎦，故()()5cos cos sin sin 6αββαββ+-+=，()tan tan 4αββ+=-，即()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()55cos cos 6αββ+=，即()1cos cos 6αββ+=，则()()2sin sin 4cos cos 3αββαββ+=-+=-，则()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+++⎣⎦121632=-=-，可取2π3α=.故答案为：2π314．在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC 若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为12tan A AO ∠=2r ，所以111AA BB CC ===，2113323O P AP ==⨯=，同理16O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以)212PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C 中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()222236PQ r ⎫=+⎪⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以棱台的体积为143V =+=⎝⎭．故答案为：12.15．已知函数()32f x x ax b =++满足对任意的实数m ，n 都有()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为．【答案】30x y -=【分析】构造函数()()2g x f x =+，将已知等式转化为()()()g mn g m g n =，再利用赋值法求得()0g 与()1g ，进而求得,a b ，再利用利用导数的几何意义即可得解．【详解】因为()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，所以()()()()()222+=++f mn f m f n ，设()()3222g x f x x b x a +++=+=，则()()()g mn g m g n =，令0m n ==，则()()200g g =，则()00g =，或()01g =，若()01g =，则由()()()00g g m g =，得()1g m =，显然不成立，所以()00g =，即20b +=，则2b =-令1m =，则()()()1g n g g n =，由于()g n 不恒为0，故()11g =，即121a b +++=，则0a =，此时()32f x x =-，经检验，满足要求，则()13f -=-，()23f x x '=，所以()13f '-=，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为()331+=+y x ，即30x y -=．故答案为：30x y -=16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22b c bc+的取值范围为.【答案】342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sin 2cos 2A A +=，再根据同角关系式可得sin A ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，结合条件可得tan C 取值范围，进而求得bc 的取值范围，令b t c =，则221b c t bc t +=+，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由()222S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+，因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，2B A C ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221b c b c t bc c b t+=+=+，由对勾函数单调性知1y t t =+在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1t =时，2y =；当35t =时，3415y =；当53t =时，3415y =，所以342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，即22b c bc+的取值范围是342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，进而可以求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若114(1)n n n n n b a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】(1)21n a n =-(2)101220242025T =【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-....................................................6分（2）由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.....................................................12分18．（12分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN BC的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，14=BN BC 【分析】（1）利用勾股定理证明CD BD ⊥，再根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；....................................................6分（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =-- ．....................................................7分设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =- ，....................................................9分假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，设BN BC λ=uuu r uu u r ，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 602n AN n AN ⋅︒== ，整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．....................................................12分19．（12分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压X （单位：V ）服从正态分布(40,4)N ，且X 的累积分布函数为()F x ，求(44)(38)F F -；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T （单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.（ⅰ）设120t t >>，证明：1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-；（ⅱ）若第n 天元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ，则(||)0.6827P Y μσ-<=，(||2)0.9545P Y μσ-<=，(||3)0.9973P Y μσ-<=．【答案】(1)0.8186(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）716．【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解，（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()F x P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由题设得(3842)0.6827P X <<=，(3644)0.9545P X <<=，所以(44)(38)(44)((4044)(3840)F F P X P X P X P X -=-=+≤≤≤≤≤≤1(0.68270.9545)0.81862=⨯+=...................................................3分（2）（ⅰ）由题设得：[]12111122222()()()1()1()(|)()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >⋂>>-≤->>===>>-≤-=1121221111444111144t t t t t t -⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21121212()1()1()4t t P T t t P T t t G t t ->--≤-=--==,所以1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-．...................................................8分（ⅱ）由（ⅰ）得1(1|)(1)1(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=-=-=≤，所以第1n +天元件B ，C 正常工作的概率均为14．为使第1n +天系统仍正常工作，元件B ，C 必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2171(1)416--=．....................................................12分20．（12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，若ABC 的三个顶点都在抛物线E 上，且满足0FA FB FC ++= ，则称该三角形为“核心三角形”．(1)设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2，求直线AB 的方程；(2)已知ABC 是“核心三角形”，证明：ABC 三个顶点的横坐标都小于2．【答案】(1)210x y --=(2)证明见解析【分析】（1）设AB 的方程为2y x t =+，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据(1,0)F 及0FA FB FC ++= 得到点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线方程，求出1t =-，得到直线方程；（2）设直线BC 的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A 的坐标为()2342,4m n m ---，代入抛物线方程，得到2342n m =-，由根的判别式得到2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标242m <，同理可证另两个顶点横坐标也小于2.【详解】（1）设直线AB 的方程为2y x t =+，与24y x =联立得2220y y t -+=，由480t ∆=->得12t <，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则12122,2+==y y y y t ，所以()12121212x x y y t t +=+-=-，由题意知(1,0)F ，因为()()()1122330,1,,1,,1,FA FB FC FA x y FB x y FC x y ++==-=-=- ，所以()1231233,(0,0)x x x y y y ++-++=，所以12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，故()333122x t t y ⎧=--=+⎨=-⎩即点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线E 的方程得：44(2)t =+，解得1t =-，满足条件12t <，所以直线AB 的方程为210x y --=．....................................................6分（2）证明：设直线BC 的方程为x my n =+，与24y x =联立得2440y my n --=，()2Δ160m n =+>，所以22323,4,4n m y y m y y n >-+==-，所以()22323242x x m y y n m n +=++=+．由（1）知12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，所以2113424x m n y m ⎧=--⎨=-⎩，即点A 的坐标为()2342,4m n m ---．又点A 在抛物线24y x =上，所以()22164342m m n =--，所以2342n m =-，又2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标2234242m n m --=<，同理可证，B ，C 两点的横坐标也小于2．所以ABC 三个顶点的横坐标均小于2．....................................................12分【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21．（12分）已知函数1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0a >．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值集合；(2)证明：()111sin sin sin ln 2122n n n n++++<∈++N ．【答案】(1){}1(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求函数()f x 的最小值，转化恒成立条件列不等式可求a 的取值集合；（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明1111ln 21232n n n n>+++++++ ，再结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.【详解】（1）由题可知函数()f x 的定义域为{}0x x >，221()a x a f x x x x -'=-= ，令()0f x '=，得x a =，由x ，()f x ，()f x '列表如下()()min ln 1f x f a a a ==-+，因为()0f x ≥恒成立，所以ln 10a a -+³，(0,)a ∈+∞．令()ln 1g x x x =-+，则11()1x g x x x -'=-=，由x ，()g x ，()g x '列表如下x ()0,11()1,∞+()g x +0-()g x '递增极大值递减()()max 10g x g ∴==．又()0,1a ∈ ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，(1,)∈+∞a ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，1a ∴=，故a 的取值集合为{}1．....................................................5分（2）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 10x x+-≥，11ln 1x x x x -≥-=，ln(1)1x x x ∴+≥+（当0x =时，“=”成立），令1()x n n+=∈N ，111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，则11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭，()1ln 1ln 1n n n +->+，由累加法可知()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎬+-+>⎪+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-->⎪⎭累加可得1111ln(2)ln 1232n n n n n n ->+++⋅⋅⋅++++，即1111ln 21232n n n n>+++++++ ，令()sin h x x x =-，,()0x ∈+∞，()cos 10h x x '=-≤ 恒成立，()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递减，()(0)0h x h <=∴，sin x x ∴<，11111111sin sin sin sin 12321232n n n n n n n n∴++++>++++++++++ ，1111ln 2sinsin sin sin ()1232n n n n n +∴>++++∈+++N ....................................................12分【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][()4,∞∞-⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。

专项小测( 二十三) “20 题、21 题”时间：45 分钟满分：24 分20.(12 分)xe已知函数 f (x) ＝＋a( x－ln x) ，a∈R.x(1) 当a＝－e 时，求 f ( x) 的最小值；(2) 若f ( x) 有两个零点，求参数 a 的取值范围．解：(1) f ( x) ＝xe＋a( x－ln x) ，定义域(0 ，＋∞) ，xf ′(x) ＝xe x－ 12 ＋axx－1x＝x＋axx－1 e2 . (2 分)x当a＝－e 时， f ′(x) ＝x－e x x－1 e2 .x因为 ex≥e x 在(0 ，＋∞) 恒建立，因此 f ( x) 在(0,1) 单一递减，在(1 ，＋∞) 单一递加，故f ( x) min＝f (1) ＝a＋e＝0. (4 分)(2) f ′(x) ＝x＋ax x－1 e2 .x当a＝－e 时， f ( x)在(0,1) 上单一递减，在(1 ，＋∞) 上单一递加， f ( x) min＝f (1) ＝a＋e ＝0，f( x) 只有一个零点；(6 分)x x当a>－e 时，ax>－e x，故 e ＋ax>e －e x≥0 在(0 ，＋∞) 恒建立，因此f ( x) 在(0,1) 上单一递减，在(1 ，＋∞) 上单一递加， f ( x) min＝f (1) ＝a＋e>0，故当a>－e 时， f ( x) 没有零点；(8 分)当a<－e 时，令 ex＋ax＝0，xe得＝－a，φ( x) ＝xxe，φ′(x) ＝xxx－1 e2 ，x因此φ( x) 在(0,1) 上单一递减，在(1 ，＋∞) 上单一递加，φ( x) min＝φ(1) ＝e,故φ( x) 在(0 ，＋∞) 有两个零点，x1，x2, 0<x1 <1<x2，因此f ( x) 在(0 ，x1) 上单一递减，在( x1, 1) 上单一递加，在(1 ，x2) 上单一递减，在( x2，＋∞) 上单一递加， f (1) ＝a＋e<0 ，又x→0，f( x) →＋∞，x→＋∞， f ( x) →＋∞，此时 f ( x) 有两个零点．(10 分) 综上，f ( x) 有两个零点，则a<－e. (12 分)21．(12 分 )《某省高考改革试点方案》规定：从2020 年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低区分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E 共8 个等级．参照正态散布原则，确立各等级人数所占比率分别为3%, 7%, 16%, 24%, 24%, 16%, 7%, 3%. 选考科目成绩计- 1 -入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比率变换法例分别变换到[91,100] ，[81,90] ，[71,80] ，[61,70][51,60] ，[41,50] ，[31,40] ，[21,30]8 个分数区间，获取考生的等级成绩．原始成绩区间向等级成绩区间的投影假定小明变换后的等级成绩为x，69－61 70－x＝61－58 x－61x＝63.45≈63(四舍五入取整)小明最后成绩：63 分某校2017 级学生共 1 000 人，以期末考试成绩为原始成绩变换了本校的等级成绩，为学生合理选科供给依照，此中物理成绩获取等级A的学生原始成绩统计以下成绩93 91 90 88 87 86 85 84 83 82人数 1 1 4 2 4 3 3 3 2 7(1) 从物理成绩获取等级A的学生中任取 3 名，求恰巧有 2 名同学的等级分数不小于95 的概率；(2) 待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到 1 名同学＋的物理高考成绩等级为 B 或A结束( 最多抽取 1 000 人) ，设抽取的学生个数为ζ，求随机变量ζ的数学希望( 注：0.9 1 000 ≈1.7 ×10 －46) ．解：(1) 设物理成绩获取等级A的学生原始成绩为x，其等级成绩为y.由变换公式93－xx－82＝100－yy－91，得y＝9( x－82) ＋91. (2 分)11由y＝9( x－82) ＋91≥95，得x≥86.9 ≈87. (4 分) 11明显原始成绩知足x≥87 的同学有12 人，获取等级A的学生有30 人，恰巧有 2 名同学的等级分数不小于95 的概率为p＝2 1C12C18＝3C30297≈0.29. (6 分) 1015(2) 由题意得，随机抽取 1 人，其等级成绩为 B＋或A的概率为3%＋7 %＝0.1 ，学生个数ζ的可能取值为1,2,3 ，⋯，1000，- 2 -P(ζ＝1) ＝0.1 ，P( ζ＝2) ＝0.9 ×0.1 ，P( ζ＝3) ＝0.9 2 ×0.1 ，⋯P(ζ＝999) ＝0.9 998×0.1 ，P( ζ＝1000) ＝0.9 999，(8 分)数学希望：E(ζ) ＝1×0.1 ＋2×0.9 ×0.1 ＋3×0.9 2×0.1 ＋⋯＋999×0.9 998×0.1 ＋1000×0.9999 ＝1×0.1 ＋2×0.9 ×0.1 ＋3×0.9 2×0.1 ＋⋯＋1000×0.9 999×0.1 ＋1 000×0.91000＝0.1 ×(1 ＋2×0.9 ＋3×0.9 2＋⋯＋1 000×0.9 999) ＋1000×0.9 1 000.此中，S＝1＋2×0.9 ＋3×0.9 2＋⋯＋1 000×0.9 999 ，①0．9S＝1×0.9 ＋2×0.9 2＋⋯＋999×0.9 999＋1 000×0.9 1 000 ，②应用错位相减法“①－②”得：0．1S＝1＋0.9 ＋0.9 2 ＋⋯＋0.9 999 －1 000×0.9 1 0001×1－0.9 ＝0.1 1 000－1 000×0.9 1 000 ，1 000S＝100－(10×1 000＋100)×0.9 ，(10 分)故E( ζ) ＝0.1 ×[100 －(10×1 000＋100)×0.9 1 000] ＋1 000×0.9 1 000 ＝10×(1 －0.91 000) ≈10. (12 分)- 3 -。

大题规范练(十二) “20题、21题”24分练(时间：30分钟 分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．如图12，在平面直角坐标系xOy 中，已知R (x 0，y 0)是椭圆C ：x 224＋y 212＝1上的一点，从原点O 向圆R ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .图12(1)若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； (2)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求k 1k 2的值.[解] (1)连接OR (图略)．设圆R 的半径为r ，由圆R 的方程知r ＝22，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以|OR |＝2r ＝4，即x 20＋y 20＝16.① 又点R 在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012＝1，② 联立①②，解得⎩⎨⎧x 0＝22，y 0＝22，所以圆R 的方程为(x －22)2＋(y －22)2＝8. (2)因为直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22＝22， 化简得(x 20－8)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－8＝0，(x 20－8)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－8＝0.所以k 1，k 2是方程(x 20－8)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－8＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系，得k 1k 2＝y 20－8x 20－8， 因为点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012＝1，即y 20＝12－12x 20，所以k 1k 2＝4－12x 20x 20－8＝－12. 21．已知函数f (x )＝a x －1x 2－b ＋ln x (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3，函数f (x )有3个零点，求实数b 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋2x 3＋1x .由题意可得f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即－a x 2＋2x 3＋1x ≥0，所以a x 2≤2x 3＋1x ，因为x ＞0，所以x 2＞0，故a ≤2x ＋x .由基本不等式可得2x ＋x ≥22(当且仅当2x ＝x ，即x ＝2时等号成立)，故实数a 的取值范围为(－∞，22]．(2)当a ＝3时，f (x )＝3x －1x 2－b ＋ln x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋2x 3＋1x ＝x 2－3x ＋2x 3＝(x －1)(x －2)x 3. 由f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )极小值为f (2)＝32－122－b ＋ln 2＝54－b ＋ln 2.要使函数f (x )有3个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＞0，54－b ＋ln 2＜0，解得54＋ln 2＜b ＜2.故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋ln 2，2.。