【精选高中试题】湖南师大附中高二上学期期末考试数学(理)Word版含答案

2024-2025学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。

1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M⫋N⫋U ，则下列运算结果为U 的是( )A. M ∪NB. (∁U N)∪(∁U M)C. M ∪(∁U N)D. N ∪(∁U M)2.已知α为锐角，且cosα−sinα=15，则下列选项中正确的有( )A. α∈(π4,π2)B. tanα=43C. sinαcosα=1225D. sinα+cosα=753.下列命题正确的是( )A. 若直线a//b ，a//平面α，则b//平面αB. 若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C. 三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D. 已知直线a 与b 异面，不同的两点P ∈a ，Q ∈a ，不同的两点M ∈b ，N ∈b ，则直线PM 与QN 可能相交4.“函数f(x)=log 12(3−ax)在区间[1,2]上单调递增”的充分必要条件是( )A. a ∈(0,+∞) B. a ∈(0,1) C. a ∈(0,32) D. a ∈(0,32]5.2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2mg/cm 3，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过0.1mg/cm 3，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要( )小时？(结果取整数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A. 12B. 8C. 10D. 116.已知M 是△ABC 所在平面内一点，满足AM =34AB +15AC ，则△ABM 与△BCM 的面积之比为( )A. 3B. 4C. 58D. 1257.已知5−a =lna ，b =log 43+log 917，7b +24b =25c ，则以下关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A. b >c >aB. a >c >bC. b >a >cD. a >b >c8.已知函数f(x)={1+log a |x−2|,x ≤1,(x−1)2+4a,x >1(a >0且a ≠1)在R 上为单调函数，若函数y =|f(x)|−x−2有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是( )A. 116 B. 14 C. 12 D. 13169.下列命题为假命题的是( )A. 在复数集C 中，方程x 2+x +1=0有两个根，分别为−12+ 32i ，−12− 32i B. 若三个事件A ，B ，C 两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C. 若OP =xOA +yOB +zOC ，则x +y +z =1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件D. 复平面内满足条件|z +i|≤2的复数z 所对应的点Z 的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆10.已知函数f(x)=sin (ωx +φ)，如图A ，B 是直线y =12与曲线y =f(x)的两个交点，若|AB|=π6，则( )A. f(0)=− 32B. 函数f(x)的最小正周期为7π12C. 若x 1+x 2=91π12，则f(x 1)=f(x 2)D. 若|x 1−x 2|=π24，则|f(x 1)−f(x 2)|的最大值大于1− 3211.如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，B 1C ⊥BC ，AC ⊥B 1C ，BC =CB 1=A 1C 1=2，下列结论中正确的有( )A. 平面BCC 1B 1⊥平面ACC 1A 1B. 直线AA 1与BC 1所成的角的正切值是13C. 三棱锥C−A 1B 1C 1的外接球的表面积是12πD. 该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i ＋i 2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.设x ∈R ，则x >e 的一个必要不充分条件是A.x >1B.x <1C.x >3D.x <3 3.若f (x )＝2cos α－sin x ，则f ′(α)等于A.－sin αB.－cos αC.－2sin α－cos αD.－3cos α 4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为 A.17或－1 B.－17或1 C.－1 D.16.设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为A.10B.20C.241D.4417.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －2)f ′(x )≤0，则必有 A.f (－3)＋f (3)<2f (2) B.f (－3)＋f (7)>2f (2) C.f (－3)＋f (3)≤2f (2) D.f (－3)＋f (7)≥2f (2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是 . 9.用反证法证明命题：“若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2”时，假设的内容应为 .10.已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030成立.类似地，在等比数列{b n }中，有 成立.11.曲线y ＝sin x 在[0，π]上与x 轴所围成的平面图形的面积为 .12.已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则c 的值为 . 13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14.(本小题满分11分)已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋27(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称，试判断f (x )在区间[－4，5]上的单调性，并求出f (x )在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且AC ＝AB ＝BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.(1)证明：AE ⊥PD ；(2)若H 为PD 上一点，且AH ⊥PD ，EH 与平面PAD 所成角的正切值为62，求二面角E －AF －C 的余弦值.必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，且f (4)＝1，则b ＋1a ＋1的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，13 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.(－∞，3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，5 二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A 、B 两种型号电视机的价值分别为a 、b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为110a 、m ln(b ＋1)万元(m ＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A 、B 两种型号的电视机，且A 、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； (2)求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？ 4.(本小题满分13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ·TN 的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：||OR ·||OS 为定值.5.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )x2与直线y ＝m (m >0)公共点的个数；(3)设函数h ()x 满足x 2h ′(x )＋2xh (x )＝f (x )x ，h (2)＝f (2)8，试比较h (e)与78的大小.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ又∵函数f (x )在[－4,5]上连续.∴f (x )在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分) ∴f (x )的最大值是54，f (x )的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，….猜测a n ＝2－12n (5分)(2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；(7分)②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ，(8分)当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3，∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n ∈N ＋时，a n ＝2－12n 都成立.(12分)16.(1)证明：由AC ＝AB ＝BC ，可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE . 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ， 所以AE ⊥PD .(5分)(2)解：因为AH ⊥PD ， 由(1)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE ＝3，此时tan ∠EHA ＝AE AH＝3AH＝62， 在Rt △AOE 中，EO ＝AE ·sin 30°＝32，AO ＝AE ·cos 30°＝32， 又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO ＝AO ·sin 45°＝324，又SE ＝EO 2＋SO 2＝34＋98＝304， 在Rt △ESO 中，cos ∠ESO ＝SO SE ＝324304＝155，即所求二面角的余弦值为155.(12分) 解法二：由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点，所以A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (3，0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1， 所以AE ＝(3，0,0)，AF ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，1.所以cos 〈m ，BD 〉＝m ·BD||m ·||BD ＝2×35×12＝155. 因为二面角E －AF －C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为155.(12分) 必考试卷Ⅱ一、选择题1.D 【解析】由图像可知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f (2a ＋b )<1即2a ＋b <4，原题等价于错误!，求错误!的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得b ＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，5.二、填空题2.－1 【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k 的方程求解.f ′(x )＝(x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x ＋2k )故f ′(0)＝－6k 3，又f ′(0)＝6，故k ＝－1. 三、解答题 3.解：(1)设投放B 型电视机的金额为x 万元，则投放A 型电视机的金额为(10－x )万元，农民得到的总补贴f (x )＝110(10－x )＋m ln(x ＋1)＝m ln(x ＋1)－x10＋1，(1≤x ≤9).(5分)(没有指明x 范围的扣1分)(2)f ′(x )＝m x ＋1－110＝10m －(x ＋1)10(x ＋1)＝－[x －(10m －1)]10(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝10m －1(8分)1° 若10m －1≤1即0＜m ≤15，则f (x )在[1,9]为减函数，当x ＝1时，f (x )有最大值；2° 若1＜10m －1＜9即15<m <1，则f (x )在[1,10m －1)是增函数，在(10m －1,9]是减函数，当x ＝10m －1时，f (x )有最大值；3° 若10m －1≥9即m ≥1，则f (x )在[1,9]是增函数，当x ＝9时，f (x )有最大值.因此，当0＜m ≤15时，投放B 型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当15<m <1时，投放B 型电视机(10m －1)万元，农民得到的总补贴最大； 当m ≥1时，投放B 型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4.解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1；故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(3分)(2)方法一：点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上， 所以y 21＝1－x 214.(*)(4分)由已知T (－2,0)，则TM ＝(x 1＋2，y 1)，TN ＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM ·TN ＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)， 不妨设sin θ>0，由已知T (－2,0)，则TM ·TN ＝(2cos θ＋2，sin θ)·(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin 2θ＝5cos 2θ＋8cos θ＋3＝5⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋452－15.(6分)故当cos θ＝－45时，TM ·TN 取得最小值为－15，此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)(3)方法一：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，(10分)故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21(**)(11分)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，(12分)代入(**)式，得：x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 方法二：设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P (2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线MP 的方程为：y －sin α＝sin α－sin θ2cos α－2cos θ(x－2cos α)，令y ＝0，得x R ＝2(sin αcos θ－cos αsin θ)sin α－sin θ，同理：x S ＝2(sin αcos θ＋cos αsin θ)sin α＋sin θ，(12分)故x R ·x S ＝4(sin 2αcos 2θ－cos 2αsin 2θ)sin α－sin θ＝4(sin 2α－sin 2θ)sin α－sin θ＝4.所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分)5.解：(1)f ()x 的反函数g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则错误!⇒x 0＝e 2，k ＝e －2.所以k ＝e －2.(3分)(2)当x >0，m >0时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)的公共点个数即方程f (x )＝mx 2根的个数.由f (x )＝mx 2⇒m ＝e x x 2，令v (x )＝e x x 2⇒v ′(x )＝x e x (x －2)x4， 则v (x )在(0,2)上单调递减，这时v (x )∈(v (2)，＋∞)；v (x )在(2，＋∞)上单调递增，这时v (x )∈(v (2)，＋∞).v (2)＝e 24.v (2)是y ＝v (x )的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数，讨论如下：当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24时，有0个公共点； 当m ＝e24时，有1个公共点；当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞时有2个公共点；(8分) (3)令F (x )＝x 2h (x )，则F ′(x )＝x 2h ′(x )＋2xh ()x ＝e x x所以h ()x ＝F (x )x 2，故h ′()x ＝F ′(x )x 2－2xF (x )x 4＝F ′(x )x －2F (x )x 3＝e x －2F (x )x 3令G (x )＝e x －2F (x )，则G ′(x )＝e x －2F ′(x )＝e x－2·e x x ＝e x(x －2)x显然，当0<x <2时，G ′(x )<0，G (x )单调递减； 当x >2时，G ′(x )>0，G (x )单调递增；所以，在(0，＋∞)范围内，G (x )在x ＝2处取得最小值G (2)＝0.即x >0时，e x－2F (x )≥0.故在(0，＋∞)内，h ′(x )≥0， 所以h (x )在(0，＋∞)单调递增，又因为h (2)＝f (2)8＝e 28>78，h (2)<h (e)所以h (e)>78.(14分)。

2005年湖南师大附中高二上学期期末考试数学试卷（时量120分钟 满分100分）第 I 卷一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若直线x = 1的倾斜角为α ，则αA ． 等于0B ．等于4π C ． 等于2π D ．不存在 2．双曲线3x 2 －y 2 ＝3的渐近线方程是A ． y = ±3xB ． y = ±3xC ． y =±31x D ． y = ±33x 3．圆x 2 + y 2－2 x = 0和 x 2 + y 2 ＋4y = 0的位置关系是A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交4．下列命题中不正确的是A ．若ααα⊂==⊂⊂lB b l A a l b a 则，,,,I IB ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bC ．若a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，则a ∥αD ．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外5．已知圆C ：x 2 + y 2－2x －4y －20 = 0，则过原点的直线中，被圆C 所截得的最长弦与最短弦的长度之和为A ．10＋45B ．10＋25C ．5＋45D ．5＋256．长轴在x 轴上，短半轴长为1，两准线之间的距离最近的椭圆的标准方程是A ．1222=+y xB ．1222=+y xC ．1322=+y xD ．1422=+y x 7．已知F 1、F 2是双曲线16x 2 －9y 2 ＝144的焦点，P 为双曲线上一点，若 |PF 1||PF 2| =32， 则∠F 1PF 2 =A ．6πB ．3π C ．2π D ．32π 8．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得| PQ | = | PF 2 |，那么动点Q 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线9．设椭圆12222=+ny m x ，双曲线12222=-n y m x ，抛物线y 2 = 2（m +n ）x （m >n >0 ）的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则A ．e 1e 2 > e 3B ．e 1e 2 < e 3C ．e 1e 2 = e 3D ．e 1e 2与e 3的大小关系不确定10．在同一坐标系中，方程a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1与a x + b y 2 = 0 （a > b > 0 ）的曲线大致是A ．B ．C ．D 。

1 第一学期期末考试 高二年级数学（理）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直” 的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 2．顶点在原点，且过点1,1 的抛物线的标准方程是（ ）

A．xy2 B．yx2 C．xy2或yx2 D．xy2或yx2 3．以下四组向量中，互相平行的有（ ）组. (1) (1,2,1)a,(1,2,3)b； (2) (8,4,6)a,(4,2,3)b； (3)(0,1,1)a,(0,3,3)b； (4)(3,2,0)a,(4,3,3)b A. 一组 B. 二组 C. 三组 D. 四组 4．若平面的法向量为1(3,2,1)n，平面的法向量为2(2,0,1)n， 则平面与夹角的余弦是

A.7014 B. 7010 C. 7014 D. －7010 5．已知两定点1(5,0)F，2(5,0)F，曲线上的点P到1F、2F的距离之差的 绝对值是6，则该曲线的方程为( )

A．221916xy B．221169xy C．2212536xy D．2212536yx 6．命题“若ab，则acbc”的逆否命题是（ ） A．若acbc，则ab B．若acbc，则ab C．若acbc，则ab D．若acbc，则ab

7．已知椭圆221102xymm，若其长轴在y轴上且焦距为4，则m等 于（ ） A．4 B．5 C．7 D．8 2

8. 已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是（ ）

A. (1,－4,2) B.11(,1,)42 C. 11(,1,)42 D. (0,－1,1) 9．以下有四种说法，其中正确说法的个数为( ) （1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件； (2) “ab”是“22ab”的充要条件； (3) “3x”是“2230xx”的必要不充分条件； （4）“ABB”是“A”的必要不充分条件.

第一学期期末考试高二年级(理科数学)试题卷 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．下列说法正确的是(A) 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”(B) 若命题2:,210p x x x ∃∈-->R ，则命题2:,210p x x x ⌝∀∈--<R (C) 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 (D) “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件2．已知向量(1,1,0)=a ，(1,0,2)=-b ，且(R)k k +∈a b 与2-a b 互相垂直，则k 等于(A) 1 (B)15 (C) 3 (D)753．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为3a =，b =π3A =，则B =(A)π6 (B) 5π6 (C) (D)2π34．若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =(A) 1(B) 9(C) 17(D)195．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(A)2(B) (C) 2 16．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a (2)n a +等于(A) 2)12(-n(B))12(31-n (C) 14-n (D))14(31-n 7．不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -等于(A) 10- (B) 10 (C) 14- (D)148．已知0,0>>b a ，且132=+b a ，则23a b+的最小值为(A) 24(B) 25 (C) 26(D)279．若中心在原点，焦点在y(A) y x =± (B) y x = (C) y = (D)12y x =± 10．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是 (A) 30m -<< (B) 32m -<< (C) 34m -<< (D)13m -<<11．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为(A)13(B)3(C)(D)2312．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛4,27A ，则|||PA PM +的最小值是(A)211 (B) 4 (D)5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量1(8,,),(,1,2)2a x xb x ==，其中0x >，若b a //，则x 的值为__________． 14．过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________． 15．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =__________．16．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。

一、单选题1．已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ）π3A B ．C D ．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】因为直线的倾斜角是，π3所以此直线的斜率是πtan 3=故选:C.2．对于空间向量，，若，则实数（ ）()1,2,3a = (),4,6b λ= //a b λ=A ． B ． C ．1 D ．22-1-【答案】D 【分析】根据，知它们的坐标对应成比例，求出实数的值.//a b r r λ【详解】因为，所以，即，所以.//a b r r 12346λ==112λ=2λ=故选：D.【点睛】本题主要考查的是空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题.3．在等差数列中，，，则公差（ ）{}n a 214a =55a =d =A ． B ． C ．2 D ．32-3-【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式的性质解出即可【详解】在等差数列中，，{}n a 214a =55a =所以5251435252a a d --===---故选：B.4．双曲线 的左、右焦点分别为点位于其左支上，则（）22124x y -=12F F 、，P 12PF PF -=A ．B ．C ．D ．44--【答案】D【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】由题意得，，，所以 22a =a =12PF PF -=-5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ,AB a AD b == ，则（ ）1AA c = BM =A ．B ． 1122-+ a b c 1122++ a b c C ． D ． 1122--+ a b c 1122a b c -++ 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.1,,AB AD AA BM 【详解】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，M 11A C 11B D M 11A C 11B D 因此11112BM AM AB AA A M AB AA AC AB =-=+-=+- . 1111111()22222AA AB AD AB AA AB AD c a b =++-=-+=-+ 1122a b c =-++ 故选：D.6．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n 次二分形成卦，则n a （ ）3456a a a a +++=A ．120B ．122C ．124D ．128【答案】A 【解析】可根据等比数列的前项和公式计算（或直接计算和）．n 【详解】依题意可得是首项为2，公比为2的等比数列，{}n a 则．34568163264120a a a a +++=+++=故选：A ．7．已知，，，设曲线在处的切线斜率为，则123a =4log 2b =2e c =33ln y x x =-()0x k k =>()f kA ．B ． ()()()f b f a f c <<()()()f a f c f b <<C ．D ． ()()()f c f a f b <<()()()f a f b f c <<【答案】C【分析】根据导数几何意义可得，利用导数可求得在上单调递减；根据大()f k ()f k ()0,∞+,,a b c 小关系可得结论.【详解】当时，，，， 0x >33ln y x x =-233y x x'∴=-()233f k k k ∴=-，在上单调递减； ()2360f k k k '=--< ()f k ∴()0,∞+，即，. 1222241e 231log 2log 2log 22>>>>=>= c a b >>()()()f c f a f b ∴<<故选：C.8．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆，为蒙日圆上一()2222:10x y C a b a b +=>>2222x y a b +=+C M 个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为M C P Q MPQ A （ ）A ．B ．CD ．23b 22b 226b 【答案】A【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定a =PQ 2223x y b +=理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值. 22212MP MQ b +=MPQ A【详解】因为，所以，蒙日圆的方程为c e a ====a =2223x y b +=，由已知条件可得，则为圆的一条直径，则， MP MQ ⊥PQ 2223x y b +=222212MP MQ PQ b +==所以，时，等号成立. 2221324MPQMP MQ S MP MQ b +=⋅≤=△故选：A.二、多选题9．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列B ．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项{}n a ()1n a n n =+C ．在数列中,第8个数是⋅⋅⋅D ．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为21n n a =+【答案】BCD【分析】根据数列概念即可得选项A 正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B 的正误;根据数列的规律,即可得选项C 、D 的正误.【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,所以两个数列不是同一个,故选项A 错误;当时,解得:或(舍),()1110n a n n =+=10n =11n =-即110是该数列的第10项,故选项B 正确;因为数列可写为:,⋅⋅⋅⋅⋅⋅所以第8故选项C 正确;=因为123123213,215,219,a a a =+==+==+=所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D 正确. 45452117,2133,a a =+==+=21n n a =+故选：BCD10．两平行直线和 若直线的方程为， 则直线的方程为（ ） 1l 2l 1l 10x y -+=2l A ．B ．C ．D ．0x y -=2210x y -+=2230x y -+=20x y -+=【答案】BC【分析】设出直线的方程，由两平行线间距离公式列出方程，求出，得到直线方程.2l C 【详解】设直线的方程为，由两平行线间距离公式可知： 2l 0x y C -+=，解得：或， 32C =12当时，直线的方程为，即， 32C =2l 302x y -+=2230x y -+=当时，直线的方程为，即， 12C =2l 102x y -+=2210x y -+=故直线的方程为或.2l 2230x y -+=2210x y -+=故选：BC11．广大青年要从现在做起，从自己做起，勤学、修德、明辨、笃实，使社会主义核心观成为自己的基本遵循，并身体力行大力将其推广到全社会去，努力在实现中国梦的伟大实践中创造自己的精彩人生．若“青年函数”的导函数为，则（ ） ()()()e e N 1!nxn x f x n x n *=-∈>()n f x 'A ．B ．C ．存在零点D ．无零点()10f x >()()1n n f x f x +'=()2f x ()2f x 【答案】ABD 【分析】由题可求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系结合条件逐项分析即得.【详解】∵，()()1e e 1x f x x x =->∴恒成立，()1e e 0x f x '=->∴在时单调递增，()1f x 1x >∴，故A 项正确；()()1110f x f >=∵， ()()()e e N 1!nxn x f x n x n *=-∈>∴，故B 项正确； 1e e ()e (1)e ()(1)!!n n x x n n x x f x n f x n n +'=-+⋅=-=+∵， 222e 1()e e e (1)2!2xx x f x x x =-=->∴，()2e e x f x x '=-又∵恒成立，()2e e 0x f x '=->∴在上单调递增，()2f x '1x >∴，()()2210f x f ''>=∴在上也单调递增，()2f x 1x >∴， ()()22111e e e 22f x f >=-=故不存在零点，故C 项错误，D 项正确．()2f x 故选：ABD ．12．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列1111ABCD A B C D -E F G BC 1CC 1BB选项正确的是（ ）A ．若点在平面内，则必存在实数，使得M AEF x y MA xME yMF =+B ．直线与1A G EFC ．点到直线1A EFD ．存在实数、使得λμ1λμ=+ A G AF AE 【答案】BCD【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若三点共线，则不存在实数，使得，故A 错误；,,M E F x y MA xME yMF =+ 对B ：取的中点为，连接，如下所示：11B C H 11,,A H GH BC在三角形中，分别为的中点，故可得//，1CBC ,E F 1,BC CC EF 1BC 在三角形中，分别为的中点，故可得//，11B BC ,G H 111,BB B C GH 1BC 则//，故直线所成的角即为或其补角； EF GH 1,EF AG 1AGH ∠在三角形中，， 1A GH 11AG A H ====，HG ==由余弦定理可得：，2221111cos 2A G GH A H A GH A G GH +-∠==⨯即直线与B 正确； 1A G EF 对C ：连接如下图所示：1111,,A F A E AC在三角形中，，1A EF 13A E===，13A F ==EF =故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，1A EF 1A EF EF h 则故C 正确；h ===对D ：记的中点为，连接，如下所示：11B C H 1,A H GH由B 选项所证，//，又面面，故//面；GH EF EF ⊂,AEF GH ⊄AEF GH AEF 易知//，又面面，故//面，1A H AE AE ⊂1,AEF A H ⊄AEF 1A H AEF 又面，故平面//面，1,GH A H ⊂11,A HG GH A H H ⋂=1A HG AEF 又面，故可得//面， 1AG ⊂1A GH 1A G AEF 故存在实数、使得，D 正确.λμ1λμ=+ A G AF AE 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.三、填空题13．若直线：与直线：垂直,则______.1l 340ax y a +-=2l 220x y -+==a 【答案】 32【分析】根据两直线垂直的条件,列出等式,求出即可.a 【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,解得. 1l 2l 230a -=32a =故答案为: 3214．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a 的值为______. ()22101x y a a a -=>+【答案】## 180.125【分析】根据题意结合双曲线的几何性质得到.=【详解】因为双曲线的虚轴长是实轴长的3倍， ()22101x y a a a -=>+所以. =18a =故答案为： 1815．在数列{an }中，a 1=2，an+1=an+ln ，则通项公式an=_____.11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】2+ln n【分析】利用累加法求得数列的通项公式.【详解】解析：∵an+1=an+ln ， 11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴a 2-a 1=ln =ln 2， 111⎛⎫+ ⎪⎝⎭a 3-a 2=ln =ln ， 112⎛⎫+ ⎪⎝⎭32a 4-a 3=ln =ln ， 113⎛⎫+ ⎪⎝⎭43……an-an-1=ln =ln . 11-1n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1n n 以上(n-1)个等式相加，得an-a 1=ln 2+ln +…+ln =ln n. 32-1n n ∵a 1=2，∴an=2+ln n.∵a 1=2+ln 1=2，∴{an }的通项公式为2+ln n.答案：2+ln n.16．已知函数,则不等式的解集为______． ()211202320233x x f x x =+-+()()12f x f x +>【答案】 113-<<x 【分析】先分析的奇偶性,再对函数进行求导,判断单调性,根据单调性列出不等式,解出即可.()f x 【详解】解:由题意可知,函数的定义域为, ()f x R 且, ()()()221111202320232023202333x x x x f x f x x x ---=+-=+-=+-+所以函数为偶函数, ()f x 当时,0x ≥()()221122023ln 2023ln 202320233x x x f x x '=+++()()22220232023ln 202303x x xx -=-+≥+因为不恒为零,所以函数在上为增函数,()f x '()f x [)0,∞+因为,只需,()()12f x f x +>()()12f x f x +>即,可得, 12x x +>()2214x x +>整理可得,解得. ()()3110x x +-<113-<<x 故答案为: 113-<<x 【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题,属于难题,关于解不等式的方法有:(1)根据函数解析式判断函数的奇偶性;(2)求导或者直接观察法判断函数在上的单调性;0x >(3)根据单调性奇偶性,列出不等式解出.四、解答题17．已知直线的方程为l ()220ax y a a +--=∈R (1)若与直线平行，求的值；l 20x y +=a (2)若在轴，轴上的截距相等，求的方程.l x y l 【答案】(1)12(2)或40x y +-=0x y -=【分析】（1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值；a （2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得0a =0a ≠l x y 1a =±到直线的方程.l 【详解】（1）因为与直线平行，l 20x y +=所以且，1120a ⨯-=()0220a a ⨯---≠解得：. 12a =（2）当时，：，不满足题意.0a =l 2y =当时，与轴，轴的交点分别为， 0a ≠l x y 22,0a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,22a +因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得. l x y 2222a a a+=+1a =±故的方程为或.l 40x y +-=0x y -=18．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点xOy CP (1,0)(1,0)-(1)求曲线的轨迹方程；C (2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程．(2,2)A -A C l 【答案】(1)22(2)3x y ++=.360y -+=360y ++=【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的轨迹方程；(,)P x y C （2）设出直线的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线的斜率，进而求得直l l 线的方程.l【详解】（1）设， (,)P x y =22(2)3x y ++=故曲线的轨迹方程为；C 22(2)3x y ++=（2）曲线：是以.C 22(2)3x y ++=()2,0-显然直线的斜率存在，设直线的方程为，l l 2(2)y k x -=+即， 220kx y k -++==k =所以直线或， l 20y -=20y -+=.360y -+=360y ++=19．如图所示的几何体中，平面，是ABCDE DA ⊥,EAB CB DA ∥2,,EA DA AB CB EA AB M ===⊥的中点．EC(1)求证：；DM EB ⊥(2)求二面角的余弦值．M BD A --【答案】(1)证明见解析(2) 13【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量，由证得结论；,DM EB 0DM EB ⋅= （2）求出平面BDM 和平面BDA 的法向量，利用向量夹角公式求二面角的余弦值．M BD A --【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，并设，22EA DA AB CB ====1(0,0,2),(1,1,),(2,0,0),(0,2,0)2D ME B 则， ()31,1,,2,2,02DM EB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 所以，从而得； 31(2)12002DM EB ⎛⎫⋅=⨯-+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭DM EB ⊥（2）设是平面的法向量，则由及()1,,n x y z = BDM 11,n DM n DB ⊥⊥ ()31,1,,0,2,22DM DB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得，令，则，则． 11302220n DM x y z n DB y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩ 1x =2y z ==()11,2,2n = 显然，为平面的法向量．()21,0,0n = ABD 设二面角的平面角为，由图可知为锐角，M BD A --θθ则此二面角的余弦值为． 1212121cos cos ,3n n n n n n θ⋅=== 20．数列{}为正项等比数列，且已知.n a 1322,12a a a =-=(1)求数列{}的通项公式；n a (2)在数列{}中的与两项之间插入m 个实数，，，…，.得，，，……，n a 3a 4a 1c 2c 3c m c 3a 1c 2c 3c ，数列{}，要使得等差数列{}的公差d 不大于2，当m 取得最小值时，求m c 4a n b n b 的值.4312m a c c c a +++++ 【答案】(1)123n n a -=⋅(2)684【分析】（1）利用基本量表示即得；（2）利用通项公式和求和公式即得.【详解】（1）设等比数列{}的公比为），n a (0q q >因为，12a =223211121260a a a q a q q q -=⇒-=⇒--=解得或（舍去）3q =2q =-数列{}的通项公式.n a 123n n a -=⋅（2）由（1）可知，318a =454a =所以等差数列{}的首项，n b 1318b a ==2454m b a +==即， ()()21361181541m b db m d m d m +=++=++=⇒+=因为，所以，故.02d <≤11817m m +≥⇒≥min 17m =所以等差数列{}共19项， n b .()3124191918546842m a c c c a S ++++++===21．设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x ． 2:2(0)C y px p =>M F M （1）求抛物线的方程； C （2）设抛物线的准线与x 轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：C N F C ,P Q ． ||||||||PF PN QF QN =【答案】（1）；（2）证明见解析．28y x =【分析】（1）求出点的坐标，利用抛物线的定义列方程可得，进而得出抛物线的方程； M p C （2）设出直线，与抛物线联立，消元写出韦达定理，利用直线斜率公式代入化简，可得PQ ，即为的角平分线，命题得证．PN QN k k =-NF PNQ Ð【详解】（1）由点到得：，M x M y =将代入得：， M y =22y px =M x p =由抛物线的定义得，， 22M p p MF x p =+=+由已知，，6MF =所以， 4p =所以抛物线的方程为；C 28y x =（2）由得，28y x =(20)(20)F N -，，，由题意知与抛物线交于两点，PQ C 可设直线的方程为，，，PQ 2x my =+()11,P x y ()22,Q x y 联立方程，得， 228x my y x=+⎧⎨=⎩28160y my --=所以，，，128y y m +=1216y y =-11222,2x my x my =+=+所以 121212122244PN QN y y y y k k x x my my +=+=+++++， ()()()()()1212121224323204444my y y y m m my my my my ++-+===++++所以，PN QN k k =-则FNP FNQ ∠=∠所以为的角平分线，NF PNQ Ð由角平分线的性质定理，得． PF PN QF QN=22．已知函数．()ln 1,f x a x ax a =-+∈R (1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a 的值；(0,0)()f x (2,(2))f (2)设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a 的取值范围； 21()()12g x f x x =+-()g x 3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式()g x ()g x ()1212,x x x x ≠恒成立，求实数的取值范围．()()()1212g x g x x x λ+<+λ【答案】(1) 11ln 2a =-(2) 16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)2ln 23λ≥-【分析】（1）利用导数的几何意义求过点的直线方程，结合直线过，即可求得的(2,(2))f (0,0)a 值；（2）由函数在区间上单调递减，可知其导数恒成立，分离参数，求解函数()g x ()0g x '≤a的最大值即可； 1(1)21x x -++-（3）依题意可知有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可将问题转化为()0g x '=1ln 12a a λ>--恒成立问题，进而利用导数求的最大值即可. 1()ln 12h a a a =--【详解】（1）由得, ()ln 1f x a x ax =-+()a f x a x'=-所以过点切线的斜率为 , (2,(2))f (2)2a k f '==-因为切线过点,所以 , (0,0)(2)ln 221,2222f a a a a -+=-=-解得：. 11ln 2a =-（2）由得， 21()()12g x f x x =+-()a g x x a x '=+-依题意对区间上的任意实数恒成立， ()0a g x x a x '=+-≤3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦即对区间上的任意实数恒成立， 1(1)21a x x ≥-++-3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦易得在区间单调递减， 1(1)21y x x =-++-3(,2)2在上单调递增，，， (2,4)4163x y ==3292x y ==所以在上的最大值为， 1(1)21y x x =-++-3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦163所以，实数a 的取值范围为 16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3） 2()x ax a g x x-+'=依题意：在上有两个不同的根，()0g x '=(0,)+∞即在上有两个不同的根,20x ax a -+=(0,)+∞所以，可得，21212Δ4000a a x x a x x a ⎧=->⎪+=>⎨⎪=>⎩4a >由于不等式，()()()1212g x g x x x λ+<+可得 ()()()()121212g x g x g x g x x x aλ++>=+又 ()()()()221211122211ln ln 22g x g x a x x x a x x x +=-++-+ ()()221212121ln 2a x x a x x x x =-+++()()2121212121ln 22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦. 21ln 2a a a a =--令, ()()()()1212121()ln 12g x g x g x g x h a a a x x a ++===--+所以，又, 11()2h a a '=-4a >所以，即在区间上严格递减， ()0h a '<1()ln 12h a a a =--(4,)+∞所以, 1()ln 1(4)2ln 232h a a a h =--<=-所以.2ln 23λ≥-【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2019-2020学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）（一）单选题 1．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r表示NM u u u u r ，则NM u u u u r 等于( )A ．1()2a b c -++r r rB ．1()2a b c +-r r rC ．1()2a b c -+r r rD ．1()2a b c --+r r r3．（5分）若a ，b R ∈，使||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．||4a b +…B ．||4a …C ．||2a …且||2b …D ．4b <-4．（5分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．（5分）在10(1)x 的展开式中，x 项的系数为( ) A ．45-B ．90-C ．45D ．906．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020(S =)A ．8080-B ．4040-C ．8080D ．40407．（5分）袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率(|)P B A 为( ) A ．14B ．12 C ．13D ．348．（5分）某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是( ) A ．4B ．12C ．16D ．24（二）多选项择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg 分别服从正态分布1(N μ，21)σ，2(N μ，22)σ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近10．（5分）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是( )A ．当点P 不在x 轴上时，△12PF F 的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，△12PF F 3C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1，3]11．（5分）下列命题中为真命题的是( ) A ．(0,)x ∀∈+∞，(3)sin ln x x +>B ．2000,2x R x x ∃∈+=- C ．220001,sin cos 333x x x R ∃∈+=D ．1311(0,),()log 32x x x ∀∈<12．（5分）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点0(P x ，0)y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ． 则下列结论正确的是( )A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:C y lnx = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）设曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线方程 ． 14．（5分）已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 的直线上，若△12PF F 为等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为 ．16．（5分）已知ABC ∆是边长为的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心．则 （1）球心O 到平面BCD 的距离为； （2）球O 的体积为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若b ，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值．18．（12分）已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1*1222()n n n b b b na n N -++⋯+=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．（12分）如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与DF ，EF 相交于M ，N ． （Ⅰ）求证：//MN 平面CDE ；（Ⅱ）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE ．20．（12分）在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功．游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分． （Ⅰ）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（Ⅱ）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 21．（12分）如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上． 过点(0,2)M -作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r．（Ⅰ）求直线l 和抛物线的方程；（Ⅱ）当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆面积的最大值．22．（12分）已知函数21()xx ax f x e ++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1-，2]上的最大值．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）（一）单选题 1．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(1)2i z +=Q ， ∴22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 则复平面内表示z 的点位于第四象限． 故选：D ．2．（5分）三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，用a r ，b r ，c r表示NM u u u u r ，则NM u u u u r 等于( )A ．1()2a b c -++r r rB ．1()2a b c +-r r rC ．1()2a b c -+r r rD ．1()2a b c --+r r r【解答】解：Q 1()2NM NA NB =+u u u u r u u u r u u u r ，1()2AN AO AC =+u u u r u u u r u u u r ，1()2BN BO BC =+u u u r u u u r u u u r ，AC OC OA =-u u u r u u u r u u u r ，BC OC OB =-u u u r u u u r u u u r ， ∴1111()2222MN AN BN OA OB OC =+=--+u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r111222a b c =--+r r r ，∴111222NM a b c =+-u u u u r r r r ，故选：B ．3．（5分）若a ，b R ∈，使||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．||4a b +…B ．||4a …C ．||2a …且||2b …D ．4b <-【解答】解：由4b <-可得||||4a b +>，但由||||4a b +>得不到4b <-，如1a =，5b =． 故选：D ．4．（5分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解答】解：ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos sin b C c B a A +=Q ，则由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin B C C B A A +=， 即sin()sin sin B C A A +=，可得sin 1A =，故2A π=，故三角形为直角三角形，故选：B ．5．（5分）在101)的展开式中，x 项的系数为( ) A ．45-B ．90-C ．45D ．90【解答】解：101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)t kkkkk k T C C x--+=-=-g g ，令1012k-=，则8k =， 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯， 故选：C ．6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020(S =)A ．8080-B ．4040-C ．8080D ．4040【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为63218S S -=， 则1234561232()18a a a a a a a a a +++++-++=， 即33318d d d ++=，则2d =．因为12015a =-，则2200202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=， 故选：C ．7．（5分）袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率(|)P B A 为( ) A ．14B ．12 C ．13D ．34【解答】解：由P （A ）25=，211()5420P AB =⨯=，由条件概率()1(|)()4P AB P B A P A ==， 故选：A ．8．（5分）某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是( ) A ．4B ．12C ．16D ．24【解答】解：15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有2个奇数和2个偶数．第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有224=种． 第二步安排偶数日出行，分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2种； 第二类，不安排甲的车，只有1种选择，共计123+=． 根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有4312⨯=， 故选：B ．（二）多选项择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg 分别服从正态分布1(N μ，21)σ，2(N μ，22)σ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【解答】解：由正态分布的密度曲线图象可知，甲类水果的平均质量为10.4kg μ=，A 正确；乙类水果的平均质量为20.8kg μ=，所以12μμ<，C 正确； 由甲类水果的正态密度曲线比乙类水果的正态密度曲线更凸起些， 所以12σσ<，得出B 正确；所以D 错误． 故选：ABC ．10．（5分）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是( )A ．当点P 不在x 轴上时，△12PF F 的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，△12PF FC ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1，3]【解答】解：由椭圆方程可知，2,a b ==，从而1c =． 据椭圆定义，1224PF PF a +==，又1222F F c ==， 所以△12PF F 的周长是6，A 项正确． 设点0(P x ，00)(0)y y ≠，因为122F F =， 则12120012PF F S F F y y ==V g ．因为00y b <…，则△12PF F B 项正确． 由图可知，当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大． 此时，122PF PF a ===，又122F F =， 则△12PF F 为正三角形，1260F PF ∠=︒， 所以不存在点P ，使12PF PF ⊥，C 项错误．由图可知，当点P 为椭圆C 的右顶点时，1PF 取最大值，此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时，1PF 取最小值，此时11PF a c =-=，所以1[1PF ∈，3]，D 项正确， 故选：ABD ．11．（5分）下列命题中为真命题的是( ) A ．(0,)x ∀∈+∞，(3)sin ln x x +>B ．2000,2x R x x ∃∈+=- C ．220001,sin cos 333x x x R ∃∈+= D ．1311(0,),()log 32x x x ∀∈<【解答】解：对于A 项，当0x >时，则(3)31ln x ln lne +>>=， 又1sin 1x -剟，所以(3)sin ln x x +>恒成立，即A 正确；对于B 项，因为221772()244x x x ++=++…，所以方程22x x +=-无解，即B 错误；对于C 项，因为对22,sin cos 133x xx R ∀∈+=恒成立，即C 错误； 对于D 项，指数函数1()()2x f x =在1(0,)3上单调递减，所以()(0)1max f x f <=，对数函数13()g x log x =在1(0,)3上单调递减，所以1()()13min g x g >=，所以D 正确，故选：AD ．12．（5分）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点0(P x ，0)y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ． 则下列结论正确的是( )A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:C y lnx = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x =【解答】解：对于A ，因为23y x '=，当0x =时，0y '=，所以在点(0,0)P 处的切线为:0l y =． 当0x <时，0y <；当0x >时，0y >，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，即A 正确； 对于B ，1y x'=，当1x =时，1y '=，在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-．令()1h x x lnx =--，则11()1(0)x h x x x x-'=-=>， 当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<，所以()min h x h =（1）0=． 故1x lnx -…，即当0x >时，曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外），即B 错误； 对于C ，cos y x '=，当0x =时，1y '=，在(0,0)P 处的切线为:l y x =， 由正弦函数图象可知，曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，即C 正确； 对于D ，21cos y x'=，当0x =时，1y '=，在(0,0)P 处的切线为:l y x =， 由正切函数图象可知，曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，即D 正确． 故选：ACD ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线方程 20x y -= ． 【解答】解：3(1)y x ln x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=， 则曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-， 即为2y x =，即20x y -=． 故答案为：20x y -=．14．（5分）已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =12【解答】解：113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 令322p +=，则12p =．故答案为：12． 15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 的直线上，若△12PF F 为等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为 3 ．【解答】解：如图，过点P 作PB x ⊥轴，垂足为B ．由已知，2122PF F F c ==，260BF P ∠=︒， 则2,3BF c BP c ==， 所以3tan 2cPAB a c∠=+． 由33327c a c =+， 解得3c a =，所以双曲线的离心率3e =． 故答案为：3．16．（5分）已知ABC ∆是边长为23的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心．则 （1）球心O 到平面BCD 的距离为 32； （2）球O 的体积为 ．【解答】解：（1）如图，在四面体ABCD 中，AD DC ⊥，AD DB ⊥，则60BDC ∠=︒． 因为3DB DC ==，则3BC =． 设BCD ∆的外心为E ，则OE ⊥平面BCD ． 因为AD ⊥平面BCD ，则//OE AD ．取AD 的中点F ，因为OA OD =，则OF AD ⊥， 所以1322OE DF AD ===．（2）在正BCD ∆中，由正弦定理，得112DE ==．在Rt OED ∆中，OD ==，所以343V π=⋅=球 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若b ，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值． 【解答】解：()I 因为1sin 2S ab C =，所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--，即222sin cos 2c a b C C ab--==-，所以tan 1C =-，又因为0180C ︒<<︒，所以34C π=．()II 因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，所以c =，即sin C A所以sinA C =因为1sin 2ABC S ab C ∆=，且sin ABC S A B ∆，所以1sin sin 22ab C A B =，即sin sin sin abC A B由正弦定理得2()sin sin c C C解得1c =．18．（12分）已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1*1222()n n n b b b na n N -++⋯+=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：()I 由题意，14n n a a n -+=，则128a a +=，又13a =，则25a =．∴等差数列{}n a 的公差212d a a =-=，又13a =Q ，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．()II 由题意，11222n n n b b b na -++⋯+=， 则121122(1)n n n b b b n a ++++⋯+=+，两式相减，得112(1)(1)(23)(21)43n n n n b n a na n n n n n ++=+-=++-+=+， ∴当2n …时，1412n n n b --=． 经检验，13b =也符合该式， ∴数列{}n b 的通项公式是1412n n n b --=，*n N ∈． Q 11137(41)()22n n S n -=++⋯+-g g ，∴211111137()(45)()(41)()22222n n n S n n -=++⋯+-+-g g g g ， 两式相减，得211111134[()()](41)()22222n n n S n -=+++⋯+--g1114734[1()](41)()7222n n n n n -+=+---=-g ． ∴147142n n n S -+=-． 19．（12分）如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与DF ，EF 相交于M ，N ． （Ⅰ）求证：//MN 平面CDE ；（Ⅱ）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE ．【解答】解：()I因为//AB DE，AB在平面DEF外，则//AB平面DEF．因为平面PAB⋂平面DEF MN=，则//AB MN，从而//DE MN．因为MN在平面CDE外，所以//MN平面CDE．()II解法一：分别取线段AB，DE的中点G，H，则//GH CP，所以P，C，G，H四点共面．因为Rt PCA Rt PCB∆≅∆，则PA PB=，所以PG AB⊥．因为//AB DE，则PG DE⊥．若PG CH⊥，则PG⊥平面CDE，从而平面PAB⊥平面CDE．此时，CPG HCG∠=∠，则PC CG CGGH=．因为ABC∆是边长为2的正三角形，则2sin603CG=︒=，又1GH=，则23CGPCGH==，从而2PF PC FC=-=，所以当2PF=时，平面PAB⊥平面CDE．()II解法二：如图，分别取AB，DE的中点O，H，以O为原点，直线OB，OC，OH分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知，2,1,3AB OH OC===(1,0,0),3,0),(0,0,1)B C H，从而(0,3,1),(1,0,0)CH HE OB=-==u u u r u u u r u u u r，设平面CDE的法向量为111(,,)m x y z=r，由m CHm HE⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，得111(3)010y zx⎧-+=⎪⎨=⎪⎩gg取11y=，则3)m=r设CP t =，则点(0,3,)P t ，从而(0,3,)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量222(,,)n x y z =r，由00n OP n OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g r g ，得2223010y tz x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩g ，取2y t =，则(0,,3)n t =-r．因为平面PAB ⊥平面CDE ，则0m n =r rg ， 得，3t =，从而2PF PC FC =-=， 所以当2PF =时，平面PAB ⊥平面CDE ．20．（12分）在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功．游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分． （Ⅰ）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（Ⅱ）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：()I 据题意，游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为：123111,,236p p p ===，设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ， 则1212122()(1)(1)3P A p p p p p p =-+-+=， 所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23． ()II 据题意，ξ的可能取值为0，3，6，7，10． 121(0)(1)(1)3P p p ξ==--=，123123555(3)(1)(1)(1)(1)183612P p p p p p p ξ==--+--=+=， 1235(6)(1)36P p p p ξ==-=， 123123211(7)(1)(1)363612P p p p p p p ξ==-+-=+=， 1231(10)36P p p p ξ===． ξ∴的分布列为ξ 0 3 6 7 10P13512 536 112 136ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上． 过点(0,2)M -作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r．（Ⅰ）求直线l 和抛物线的方程；（Ⅱ）当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可设直线l 的方程为2y kx =-，抛物线方程为22(0)x py p =->（2分）有222y kx x py=-⎧⎨=-⎩得2240x pkx p +-= （3分） 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则122x x pk +=-，21212()424y y k x x pk +=+-=-- ∴21212(,)(2,24)OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r（4分） Q(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ， ∴2242412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩，解得12p k =⎧⎨=⎩（5分）故直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-． （6分）（Ⅱ）据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，APB ∆得面积最大（7分）设点0(P x ，0)y ，由y x '=-，故由02x -=得02x =-，则200122y x =-=-(2,2)P ∴--（9分）∴点P 到直线l 的距离d ===10分） 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩，得2440x x +-= （11分）∴||AB ==12分）ABP ∴∆的面积的最大值为11||22AB d =⨯=g g （14分） 22．（12分）已知函数21()xx ax f x e ++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1-，2]上的最大值．【解答】解：()I 当1a =时，21()x x x f x e ++=，(1)()xx x f x e--'=． 由()0f x '>，得，(1)0x x -<，即01x <<．所以()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞．(1)[(1)]()()xx x a II f x e----'=． 因为1a >-，则12a -<．（1）当112a <-<，即10a -<<时，由()0f x '>，得11x a <<-， 则()f x 在(1,1)a -上单调递增，在[1-，1)和(1a -，2]上单调递减， 所以(){(1)max f x max f =-，(1)}f a -．因为(1)(2)f a e -=-，211(1)(1)1(1)(2)a aa a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-，所以()(2)max f x a e =-．（2）当11a -=，即0a =时，2(1)()0xx f x e --'=…，所以()f x 在[1-，2]上单调递减， 所以()(1)(2)max f x f a e =-=-．（3）当111a -<-<，即02a <<时，由()0f x '>，得11a x -<<， 则()f x 在(1,1)a -上单调递增，在[1-，1)a -和(1，2]上单调递减， 所以(){(1)max f x max f =-，f （1）}，因为222(1)2(1)(1)(1)(2)a a e e f f a e e e ++----=+-=，则 当222(1)01e a e -<<+时，(1)f f ->（1），()(1)(2)max f x f a e =-=-；当222(1)21e a e -<+„时，f （1）(1)f -…，2()(1)max a f x f e+==． （4）当11a --„，即2a …时，()f x 在[1-，1)上单调递增，(1，2]上单调递减， 则2()(1)max af x f e+==． 综上分析，（1）当10a -<<时，()(2)max f x a e =-； （2）当0a =时，()(2)max f x a e =-． （3）当02a <<时，2()(1)max af x f e+==． （4）当2a …时，2()(1)max af x f e+==．。

炎德·英才大联考湖南师大附中春季高二期末考试暨高三摸底考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足(2＋i)＝2－i(i为虚数单位)，则等于A．3＋4i B．3－4iC.35＋45i D.35－45i2．已知P＝{|2－5＋4＜0}，Q＝{}x|y＝4－2x，则P∩Q等于A．(1，4) B．[2，4)C．(1，2] D．(－∞，2]3．已知两组样本数据{1，2，…，n}、{y1，y2，…，y m}的平均数分别为h和，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A.h＋k2B.nh＋mkm＋nC.mh＋nkm＋nD.h＋km＋n4．已知{a n}为等比数列，a1>0，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a4＋a7＋a10等于A．－7 B．－5 C．5 D．75．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为A ．2或233 B .6或233C ．2或 3D .3或 67．函数f()＝sin (2＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是A ．0B .π6C .π3D .5π68．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为A ．1－3π6 B ．1－3π12 C ．1－3π9 D ．1－3π189．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A .22π3 B .3π3 C .23π3 D .2π310．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为A .4π5 B .3π4 C ．(6－25)π D .5π411．已知函数f()＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x ＞0，F()＝f()－－1，且函数F()有2个零点，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)12．已知[)x 表示大于的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是 ①函数f()＝[)x －的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若∈(1，2 018)，则方程[)x －＝12有2 017个根．A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示)14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋)6展开式中2的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝OA →＋yOB →，则＋y 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分11分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ADC ＝β. (1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．已知正项等比数列{}a n 的公比为q ，且a 3＋a 4＋a 5＝716，3a 5是a 3，a 4的等差中项．数列{}b n 满足b 1＝1，数列{}()b n ＋1－b n ·a n 的前n 项和为2n 2＋n.(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP →＝13PC →.求证：ΜΡ∥平面C ΝΒ1；(2)设二面角Β－C Β1－Ν大小为θ，求sin θ的值．某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝＋m(，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．设函数f()＝ln(＋a)＋2.(1)若f()为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g()＝e＋2－f()，当a≤2时，证明：g()>0.炎德·英才大联考湖南师大附中 春季高二期末考试暨高三摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题1．D 【解析】由(2＋i)＝2－i ，得＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝35－45i ，故选D.2．C 【解析】解2－5＋4＜0，即(－1)(－4)＜0，得1＜＜4，故P ＝(1，4)．Q 表示函数y ＝4－2x的定义域，所以4－2≥0，所以∈(－∞，2]，即Q ＝(－∞，2]．故P ∩Q ＝(1，2]．故选C.3．B 【解析】因为样本数据{1，2，…，n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为m ，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nh ＋mkm ＋n，故选B. 4．B 【解析】由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为PA ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.6．A 【解析】由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝ba，∴＝3或33，则e ＝ca，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 7．D 【解析】f ()＝sin(2＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后得到的函数是g ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，又g (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝±1，得φ－π3＝π＋π2(∈)，∴φ＝π＋5π6(∈)，故选D.8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A.9．D 【解析】设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ，由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ，在Rt △AOO 1中，⎝ ⎛⎭⎪⎫22－R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝2π3.10．A 【解析】设直线l ：2＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4π5.故选A.11．B 【解析】因为F ()＝f ()－－1，且函数F ()有2个零点，即f ()－－1＝0有2个实数根，所以当≤0时，令e －－1＝0，解得＝0，此时只有一个实数根，当＞0时，令f ()－－1＝0，即2＋(a －1)＝0，即[－(1－a )]＝0，此时解得＝1－a ，要使得函数F ()有2个零点，则1－a ＞0，所以a ＜1，故选B.12．D 【解析】当∈时，[)x ＝＋1，f ()＝[)x －＝＋1－＝1；当时，令＝n ＋a ，n ∈，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f ()＝[)x －＝1－a ∈(0，1)，因此f ()＝[)x －的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当∈时，f ()＝1；当，＝n ＋a ，n ∈，a ∈(0，1)时，f ()＝1－a ＝1－(－n )＝n ＋1－，所以f (＋1)＝f ()，即f ()＝[)x －是周期为1的函数，由于∈(1，2)时f ()＝2－＝12，＝32，即一个周期内有一个根，所以若∈(1，2 018)，则方程[)x －＝12有2 017个根．①④正确，故选D.二、填空题13.35 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35.14．3 【解析】圆柱体体积公式V ＝πr 2h ，而由题意有V ＝112×(2πr )2×h ，所以π＝3.15．30 【解析】因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋)6＝1·(1＋)6＋1x2·(1＋)6，则(1＋)6展开式中含2的项为1·C 262＝152，1x 2·(1＋)6展开式中含2的项为1x2·C 464＝152，故2的系数为15＋15＝30.16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB →＝(1，0)，OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，设直线AB 与OC 的交点为点D ，若OD →＝OA →＋yOB →，则＋y ＝1.又由线性规划知识知当P 在C 点时，＋y 有最大值，此时OP →＝5OD →，故＋y 的最大值是5.三、解答题17．【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3， 0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3， 故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.5分(2)由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，7分由正弦定理AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD ，故AB ＝sin βsin αBD ＝4373314×1＝83，9分故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.11分18．【解析】(1)依题意，a 3＋a 4＋a 5＝716，6a 5＝a 3＋a 4，则a 5＝116，a 3＋a 4＝38，得a 5q 2＋a 5q ＝38，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍)，所以q ＝12，a 1＝1，∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.5分(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )·a n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，则S n ＝2n 2＋n ，所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），解得c n ＝4n －1.7分 所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·2n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·2n －2，n ≥2，b n －b 1＝()b n －b n －1＋()b n －1－b n －2＋…＋()b 3－b 2＋()b 2－b 1＝(4n －5)·2n －2＋(4n －9)·2n －3＋…＋7·21＋3，9分设T n ＝3＋7·21＋…＋(4n －9)·2n －3＋(4n －5)·2n －2， 2T n ＝3·2＋7·22＋…＋(4n －9)·2n －2＋(4n －5)·2n －1，所以，－T n ＝3＋4·21＋…＋4·2n －3＋4·2n －2－(4n －5)·2n －1，因此T n ＝(4n －9)·2n －1＋5，n ≥2，又b 1＝1， 所以b n ＝(4n －9)·2n －1＋6.11分19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形， 俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．且BC ＝4，BA ＝4，BB 1＝8，AN ＝4， 以BA ，BB 1，BC 分别为，y ，轴建立空间直角坐标系，如图则N (4，4，0)，B 1(0，8，0)，C 1(0，8，4)，C (0，0，4)，∴M (2，0，0)． ∵BP PC ＝13，∴P (0，0，1)，则MP →＝(－2，0，1)，设n 2＝(，y ，)为平面NCB 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CN →＝0n 2·NB 1→＝0⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，z ）·（4，4，－4）＝0（x ，y ，z ）·（－4，4，0）＝0⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n 2＝(1，1，2)，∴MP →·n 2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM 平面CNB 1，∴MP ∥平面CNB 16分 (2)由(1)可知平面ΒC Β1的一个法向量为BA →＝(4，0，0)，平面C Β1Ν的法向量为n 2＝(1，1，2)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n 2|BA →||n 2|＝（4，0，0）·（1，1，2）4×6＝66，∴sin θ＝306.12分 【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分．20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的． 所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516.4分(2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B (5，0.5)．从而ξ的数学期望是E ξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12分21．【解析】(1)由e ＝22，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋2y2a2＝1，点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，等价于点P 在椭圆上，∴12a 2＋32a 2＝1，∴a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)设A (1，y 1)，B (2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0， 消去y 并整理得(1＋22)2＋4m ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>01＋2k 2>m2x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－21＋2k2①.7分设△AOB 的重心为G (，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得2＋y 2＝49.②由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式，整理可得(1＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝4(1＋2)2＋[(1＋2)＋2m ]2＝4，③将①式代入③式并整理，得m 2＝（1＋2k 2）21＋4k2，10分 则m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k4.又由Δ>0可知≠0，令t ＝1k2>0，∴t 2＋4t >0， ∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分22．【解析】(1)解法1：f ()的定义域为(－a ，＋∞)，f ′()＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a方程22＋2a ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－2<a <2，在f ()的定义域内f ′()>0，故f ()单调递增． (ⅱ)若Δ＝0，则a ＝2或a ＝－ 2.若a ＝2，∈(－2，＋∞)，f ′()＝（2x ＋1）2x ＋2.当＝－22时，f ′()＝0，当∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，＋∞时，f ′()>0，所以f ()单调递增． 若a ＝－2，∈(2，＋∞)，f ′()＝（2x －1）2x －2>0，f ()单调递增．(ⅲ)若Δ>0，即a >2或a <－2，则22＋2a ＋1＝0有两个不同的实根1＝－a －a 2－22，2＝－a ＋a 2－22.当a <－2时，1<－a ，2<－a ，从而f ′()在f ()的定义域内没有零点，故f ()单调递增． 当a >2时，1>－a ，2>－a ，f ′()在f ()的定义域内有两个不同的零点，即f ()在定义域上不单调．综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.6分 解法2：很显然f ′()不可能有连续零点，若f ()为定义域上的单调函数， 则f ′()≤0或f ′()≥0恒成立，又f ′()＝1x ＋a＋2，因为＋a >0， 所以f ′()<0不可能恒成立，所以f ()为定义域上的单调函数时，只可能f ′()≥0恒成立， 即1x ＋a ＋2≥0恒成立，即1x ＋a ＋2(＋a )－2a ≥0，即2a ≤1x ＋a ＋2(＋a )，而1x ＋a＋2(＋a )≥22， 所以2a ≤22，a ≤2，即实数a 的取值范围为a ≤ 2.解法3：由解法2可知∈(－a ，＋∞)，1x ＋a ＋2≥0恒成立，得2x 2＋2ax ＋1x ＋a ≥0恒成立，即22＋2a ＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a ≤0时，－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2≥0，所以22＋2a ＋1>2a 2－2a 2＋1＝1，所以当a ≤0时22＋2a ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a >0时，－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2<0，所以(22＋2a ＋1)min ＝－a 22＋1，所以－a 22＋1≥0时22＋2a ＋1≥0恒成立，解得0<a ≤2，综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.(2)因为g ()＝e ＋2－f ()＝e －ln(＋a )，当a ≤2，∈(－a ，＋∞)时，ln(＋a )≤ln(＋2)，故只需证明当a ＝2时，g ()>0. 当a ＝2时，函数g ′()＝e －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增， 又g ′(－1)<0，g ′(0)>0，故g ′()＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根0，且0∈(－1，0)， 当∈(－2，0)时，g ′()<0，当∈(0，＋∞)时，g ′()>0，从而当＝0时，g ()取得最小值g (0)． 由g ′(0)＝0得e 0＝1x 0＋2，ln(0＋2)＝－0， 故g (0)＝e 0－ln(0＋2)＝1x 0＋2＋0＝x 20＋2x 0＋1x 0＋2＝（x 0＋1）2x 0＋2>0，所以g ()≥g (0)>0.综上，当a ≤2时，g ()>0.12分。

2020-2021学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设a 为常数命题:[0p x ∃∈，1]，20x a -，则p 为真命题的充要条件是( ) A ．1aB ．1aC ．2aD ．2a2．（3分）已知向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4b =，若(3)a b a λ+⊥，则实数(λ= ) A ．32-B ．32C ．2-D ．23．（3分）已知2)n x的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为( ) A ．34-B ．672-C ．84D ．6724．（3分）围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为( ) A ．19B ．827C ．1627D ．17815．（3分）已知α是第四象限，且3cos()5πα-=-，则1)4(sin()2παπα+-=+ ) A ．25-B ．15-C ．25D ．1456．（3分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是( )A．2y =B．2y =C ．28x y =D ．216x y =7．（3分）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息( )（参考数据：20.301lg ≈，130.477)g ≈A ．4.1小时B ．4.2小时C ．4.3小时D ．4.4小时8．（3分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A ．423B ．163C ．163D ．323二、多项选择题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．（3分）已知复数(12)(2)z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为3i B ．||5z = C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限10．（3分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为12π、712π，图象在y 轴上的截距为3．则下列结论正确的是( )A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间5[,]1212ππ-上单调递增 D ．()6f x π+为偶函数11．（3分）设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 为C 上一动点，(3,1)E 为定点，则下列结论正确的是( ) A ．准线l 的方程是2x =-B ．||||ME MF -的最大值为2C ．||||ME MF +的最小值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切 12．（3分）已知函数()2af x x x=+-，则下列结论正确的是( ) A ．当1a >时，()f x 无零点 B ．当1a =时，()f x 只有一个零点C ．当1a <时，()f x 有两个零点D ．若()f x 有两个零点1x ，2x ，则122x x += 三、填空题．13．（3分）已知球O 的表面积为16π，点A ，B ，C 在球O 的球面上，且3AC =，60ABC ∠=︒，则球心O 到平面ABC 的距离为 ．14．（3分）当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化．为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有 种．15．（3分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使||||PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为 ．16．（3分）若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线:(1)x C y x e '=-相切，则a 的取值范围是 ．四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin c A ． （1）求角C 的大小；（2）若2b =，c =ABC ∆的面积．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12(21)(21)n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足1340nT >的正整数n 的最小值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，3PA =．点E 在侧棱PC 上（端点除外），平面ABE 交PD 于点F ． （1）求证：四边形ABEF 为直角梯形；（2）若2PF FD =，求直线PC 与平面ABEF 所成角的正弦值．20．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如表频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区． 垃圾量 [12.5，15.5)[15.5，18.5)[18.5，21.5)[21.5，24.5)[24.5，27.5)[27.5，30.5)[30.5，33.5]频数56912864（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(,27.04)N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：若X服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+≈；(22)0.9544P X μσμσ-<+≈；(33)0.9974P X μσμσ-<+≈．21．如图，已知动圆M 过点(1,0))E -，且与圆22:(1)8F x y -+=内切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过圆心F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点P ，使当直线l 绕点F 任意转动时，PA PB ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数2()(1)f x xlnx a x =+-，e 为自然对数的底数．（1）当22e a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若对任意1x ，都有()0f x 成立，求实数a 的取值范围．2020-2021学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设a 为常数命题:[0p x ∃∈，1]，20x a -，则p 为真命题的充要条件是( ) A ．1aB ．1aC ．2aD ．2a【解答】解：命题p 为真⇔当[0x ，1]时，20x a -能成立，即2x a 能成立，所以(2)2x max a =， 故选：C ．2．（3分）已知向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4b =，若(3)a b a λ+⊥，则实数(λ= ) A ．32-B ．32C ．2-D ．2【解答】解：已知向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4b =， 则：||||cos23a b a b π==，已知：(3)a b a λ+⊥， 则：(3)0a b a λ+=， 即：230a a b λ+=， 解得：32λ=-，故选：A ．3．（3分）已知2)n x的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为( ) A ．34-B ．672-C ．84D ．672【解答】解：由已知，可得2512n =，则9n =，∴展开式的通项公式为93921992()(2)rr rr r rr T C C x x--+=⋅-=-．令930r -=，得3r =，∴常数项为339(2)884672C -=-⨯=-， 故选：B ．4．（3分）围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为( ) A ．19B ．827C ．1627D ．1781【解答】解：甲以3:0获胜为事件A ，甲以3:1胜为事件B ，则A ，B 互斥， 且328()()327P A ==，2232128()()33327P B C =⋅⨯=，所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为： 8816()272727P A B +=+=， 故选：C ．5．（3分）已知α是第四象限，且3cos()5πα-=-，则1)4(sin()2παπα+-=+ ) A ．25-B ．15-C ．25D ．145【解答】解：由已知得3cos 5α=，4sin 5α=-，则原式21cos2sin 22cos 2sin cos 6822cos 2sin cos cos 555ααααααααα+++===+=-=-．故选：A ．6．（3分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是( )A．2y =B．2y =C ．28x y =D ．216x y = 【解答】解：双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =． 因为抛物线的焦点(0,)(0)2pF p >0y -=的距离为2，2=，即8p =， 所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ．7．（3分）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息( )（参考数据：20.301lg ≈，130.477)g ≈A ．4.1小时B ．4.2小时C ．4.3小时D ．4.4小时【解答】解：设经过x 小时，血液中的酒精含量为y ， 则0.3(125%)0.30.75x x y =⨯-=⨯， 由0.30.750.09x ⨯，得0.750.3x ， 则0.750.3xlg lg ， 因为0.750lg <，所以0.3310.47715234.184 4.20.75340.4770.602125lg lg xlg lg lg --=≈==≈--， 所以开车前至少要休息4.2小时， 故选：B ．8．（3分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A B C D 【解答】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ， 平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ⋂平面ABC BC =， AC ⊂平面ABC ，AC BC ⊥， AC ∴⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为2h AC x ==，2PC BC ==，2PB x =，(02)x <<，M 为PB 的中点，CM PB ∴⊥，CM =，解得122PBC S x ∆=⨯1(23A PBCV x -=⨯⨯=，设t =(02)t <<，则224x t =-，232(4)8223A PBCt t t V ---∴==，(02)t <<， 关于t 求导，得286()3t V t -'=，令()0V t '=，解得233t =或233t =-（舍)，由()V t 单调性得当233t =时，323()27A PBC max V -=．故选：D ．二、多项选择题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．（3分）已知复数(12)(2)z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为3i B ．||5z = C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限 【解答】解：因为(12)(2)43z i i i =+-=+， 所以z 的虚部为3，选项A 错误；由22||||435z z ==+=，所以选项B 正确； 由43z i -=为纯虚数，所以选项C 正确；由43z i =-对应的点(4,3)-在第四象限，所以选项D 正确． 故选：BCD ．10．（3分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为12π、712π，图象在y 轴上的截距为3．则下列结论正确的是( )A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间5[,]1212ππ-上单调递增 D ．()6f x π+为偶函数【解答】解：由图知，()f x 的最小正周期72()1212T πππ=-=，则2ω=． 由2122ππϕ⨯+=，得3πϕ=．由(0)f =sin3A π，则2A =，所以()2sin(2)3f x x π=+．由于函数的最小正周期为22ππ=，故A 不正确； 显然，()f x 的最大值为2，故B 正确； 当5[,]1212x ππ∈-时，2[32x ππ+∈-，]2π，则()f x 单调递增，故C 正确；． 因为2()2sin[2()]2sin(2)6633f x x x ππππ+=++=+，则()6f x π+不是偶函数，故D 不正确，故选：BC ．11．（3分）设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 为C 上一动点，(3,1)E 为定点，则下列结论正确的是( ) A ．准线l 的方程是2x =-B ．||||ME MF -的最大值为2C ．||||ME MF +的最小值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切【解答】解：因为抛物线开口，4p =，则准线l 的方程是2x =-，所以A 正确；因为焦点(2,0)F ，则||||||ME MF EF -=当点F 在线段ME 上时取等号，所以||||ME MF -，所以B 不正确； 过点M ，E 分别作准线l 的垂线，垂足为A ，B ， 则||||||||||5ME MF ME MA EB +=+=，当点M 在线段EB 上时取等号，所以||||ME MF +的最小值为5．所以C 正确；设点0(M x ，0)y ，线段MF 的中点为D ，则02||22D x MF x +==， 所以以线段MF 为直径的圆与y 轴相切，所以D 正确； 故选：ACD ．12．（3分）已知函数()2af x x x=+-，则下列结论正确的是( ) A ．当1a >时，()f x 无零点 B ．当1a =时，()f x 只有一个零点C ．当1a <时，()f x 有两个零点D ．若()f x 有两个零点1x ，2x ，则122x x += 【解答】解：令()0f x =，则20a x x+-=，即220(0)x x a x -+=≠，即22(0)a x x x =-+≠， 考察直线y a =和抛物线22(0)y x x x =-+≠的位置关系，由图可知，当1a >时，()f x 无零点，故A 正确； 当1a =或0a =时，()f x 只有一个零点，故B 正确； 当1a <且0a ≠时，()f x 有两个零点，故C 错误；若()f x 有两个零点1x ，2x ，则1x ，2x 是方程220x x a -+=的两根， 由韦达定理，得122x x +=，故D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题．13．（3分）已知球O 的表面积为16π，点A ，B ，C 在球O 的球面上，且3AC =，60ABC ∠=︒，则球心O 到平面ABC 的距离为 1 ．【解答】解：设球O 的半径为R ，ABC ∆的外接圆半径为r ，球心O 到平面ABC 的距离为d ．由2416R ππ=，得2R =；由32sin 60r ==︒r =，所以1d =．故答案为：1．14．（3分）当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化．为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有 36 种．【解答】解：先将4名医务人员分成无记号3组，其中有一组2人，另两组各1人，有246C =种方法；再将三组人员安排到3个乡镇，有336A =种方法． 据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有6636⨯=种． 故答案为：36．15．（3分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使||||PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为 2 ．【解答】解：设双曲线的左焦点为E ， 在EFP ∆中，||2EF c =，||||PF OF c ==，由余弦定理，得2222221||||||2||||cos 42244PE EF PF EF PF OFP c c c c c =+-⋅∠=+-⋅⋅⋅=， ||2PE c ∴=，由双曲线的定义知，||||2PE PF a -=， 22c c a ∴-=，即2c a =，∴离心率2ce a==． 故答案为：2．16．（3分）若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线:(1)x C y x e '=-相切，则a 的取值范围是 (3,1)- ．【解答】解：设点000(,(1))x B x x e -为曲线C 上任意一点，(1)x x x y e x e xe '=+-=，∴000|x x x y x e ='=，则曲线C 在点B 处的切线l 的方程为00000(1)()x x y x e x e x x --=-．据题意，切线l 不经过点A ，则关于0x 的方程00000(1)()x x x e x e a x --=-，即200(1)10x a x -++=无实根，∴△2(1)40a =+-<，解得31a -<<，a ∴的取值范围是(3,1)-．故答案为：(3,1)-．四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin c A ． （1）求角C 的大小；（2）若2b =，c =ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由已知及正弦定理可得2sin sin C A A =． 因为A 为锐角，则sin 0A ≠，所以sin C =． 因为C 为锐角，则3C π=．（2）由余弦定理，2222cos a b ab C c +-=， 则244cos73a a π+-=，即2230a a --=，即(3)(1)0a a -+=． 因为0a >，则3a =．所以ABC ∆的面积11sin 32sin 223S ab C π==⨯⨯=．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12(21)(21)n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足1340nT >的正整数n 的最小值．【解答】解：（1）依题意，当2n 时，由124n n S a n +=+-，可得 12(1)4n n S a n -=+--，两式相减，可得112n n n n n a S S a a -+=-=-+，整理，得122n n a a +=-， 两边同时减2，可得122212(2)n n n a a a +-=--=-， 122a -=，∴数列{2}n a -是首项和公比都为2的等比数列，12222n n n a -∴-=⋅=，∴22n n a =+，*n N ∈，（2）由题意及（1），可得1112211(21)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n a b +++-===-++++++， 则12n n T b b b =++⋯+ 2231111111()()()212121212121n n +=-+-+⋯+-++++++ 111321n +=-+， 1340n T >，即1111332140n +->+， 即11113121340120n +<-=+， 121120n +∴+>，即12119n +>，当5n =时，5162264119+==<， 当6n =时，61722128119+==>，∴当6n 时，不等式1340n T >成立， ∴正整数n 的最小值为6．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，3PA =．点E 在侧棱PC 上（端点除外），平面ABE 交PD 于点F ． （1）求证：四边形ABEF 为直角梯形；（2）若2PF FD =，求直线PC 与平面ABEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ， 则//AB 平面PCD ．因为AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ⋂平面PCD EF =，则//AB EF ． 又EF CD AB <=，所以四边形ABEF 为梯形． 因为PA ⊥平面ABCD ，则AB PA ⊥，又AB AD ⊥， 因为PAAD A =，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ．又AF ⊂平面PAD ，则AB AF ⊥． 所以四边形ABEF 为直角梯形．（2）解法一：因为AB ⊥平面PAD ，则平面ABEF ⊥平面PAD ． 作PM AF ⊥，垂足为M ，则PM ⊥平面ABEF ． 连接EM ，则PEM ∠为直线PC 与平面ABEF 所成的角．在Rt PAD ∆中，因为3PA AD ==．则32PD =．因为2PF FD =，则22PF = 在APF ∆中，因为45APF ∠=︒，所以由余弦定理，得2223(22)2322455AF =+-⨯⨯︒=，则5AF =．由sin45AF PM PA PF ⨯=⨯︒25322PM =⨯5PM = 因为//EF CD ，CD PD ⊥，则222222333PE EC PC PD CD ==+= 在Rt PME ∆中，15sin 523PM PEM PE ∠===⨯， 所以直线PC 与平面ABEF 15．解法二：以A 为原点，向量AB ，AD ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．则点(3B ，0，0)，(3C ，3，0)，(0D ，3，0)，(0P ，0，3)． (3,0,0)AB =，(0,0,3)AP =，(0,3,3)PD =-，(3,3,3)PC =-．因为2PF ED =，则2(0,0,3)(0,2,2)(0,2,1)3AF AP PF AP PD =+=+=+-=．设(,,)m x y z =为平面ABEF 的法向量，则00m AB m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30,20.x y z =⎧⎨+=⎩取1y =，则2z =-，所以(0,1,2)m =-．因为15cos ,||||533m PC m PC m PC ⋅〈〉===⋅⨯，所以直线PC 与平面ABEF 所成角的正弦值为15．20．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如表频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(,27.04)N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：若X服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+≈；(22)0.9544P X μσμσ-<+≈；(33)0.9974P X μσμσ-<+≈．【解答】解：（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32， 则145176209231226829632422.7650x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨， （2）据题意，22.8μ=，227.04σ=，即 5.2σ=，则10.6826(28)()0.15872P X P X μσ->=>+==． 因为3200.158750.78451⨯=≈，估计该市A 类社区中“超标”社区约51个．（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个， 则垃圾量在[27.5，30.5)内的“超标”社区也有4个， 则X 的可能取值为1，2，3，4．1444581(1)14C C P X C ===，2344583(2)7C C P X C ===，3244583(3)7C C P X C ===，4144581(4)14C C P X C ===． 则X 的分布列为：所以1331512341477142EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．如图，已知动圆M 过点(1,0))E -，且与圆22:(1)8F x y -+=内切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过圆心F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点P ，使当直线l 绕点F 任意转动时，PA PB ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由圆F 的方程知，圆心为(1,0)F ，半径为22 设圆M 和圆F 内切于点D ，则D ，M ，F 三点共线，且||22DF = 因为圆M 过点E ，则||||ME MD =，于是||||||||||2||2ME MF MD MF DF EF +=+==>=， 所以圆心M 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆．因为222a =2a 1c =，则2221b a c =-=，所以曲线C 的方程：2212x y +=．（2）当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1x ty =+，代入2212x y +=，得22(1)22ty y ++=，即22(2)210t y ty ++-=．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+． 设点(,0)P m ，则11(,)PA x m y =-，22(,)PB x m y =-，则12121212()()(1)(1)PA PB x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+2222212122212(1)(1)(1)()(1)(1)22t t m t y y t m y y m m t t +-=++-++-=--+-++222(32)1(1)2m t m t -+=-+-+． 若PA PB ⋅为定值，则32112m -=，解得54m =，此时2157(1)2416PA PB ⋅=-+-=-为定值．当直线l 与x 轴重合时，点(A ，B ． 对于点5(,0)4P ，则5(,0)4PA =-．5(2,0)4PB =，此时25721616PA PB ⋅=-=-． 综上分析，存在点5(,0)4P ，使得716PA PB ⋅=-为定值．22．已知函数2()(1)f x xlnx a x =+-，e 为自然对数的底数．（1）当22e a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若对任意1x ，都有()0f x 成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当22e a =时，22()(1)2e f x xlnx x =+-，2()1f x lnx e x '=++，因为当0x >时，21()0f x e x''=+>，则()f x '单调递增，又221()20f lne e -'=+=，则当210x e<<时，()0f x '<；当21x e >时，()0f x '>， 所以()f x 在21(0,)e 上单调递减，在21(,)e +∞上单调递增． （2）()12f x lnx ax '=++，1()2f x a x ''=+，当1x 时，11x，则()12f x a ''+， ①若210a +，即12a -，则()0f x ''，()f x '在[1，)+∞上单调递减， ()f x f ''（1）120a =+，从而()f x 在[1，)+∞上单调递减，所以()f x f （1）0=，符合题意；②若0a ，则当1x 时，0xlnx ，2(1)0a x -，从而()0f x ，不合题意；③若102a -<<，当1x 时，由()0f x ''>，得120a x +>，即210ax x +>，解得112x a<-， 则当1(1,)2x a∈-时，()f x '单调增，从而()f x f ''>（1）120a =+>，所以()f x 单调递增，此时()f x f >（1）0=，不合题意； 综上分析，a 的取值范围是1(,]2-∞-．。

炎德·英才大联考湖南师大附中春季高二期末考试暨高三摸底考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足(2＋i)＝2－i(i为虚数单位)，则等于A．3＋4i B．3－4iC.35＋45i D.35－45i2．已知P＝{|2－5＋4＜0}，Q＝{}x|y＝4－2x，则P∩Q等于A．(1，4) B．[2，4)C．(1，2] D．(－∞，2]3．已知两组样本数据{1，2，…，n}、{y1，y2，…，y m}的平均数分别为h和，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A.h＋k2B.nh＋mkm＋nC.mh＋nkm＋nD.h＋km＋n4．已知{a n}为等比数列，a1>0，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a4＋a7＋a10等于A．－7 B．－5 C．5 D．75．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为A ．2或233 B .6或233C ．2或 3D .3或 67．函数f()＝sin (2＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是A ．0B .π6C .π3D .5π68．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为A ．1－3π6 B ．1－3π12 C ．1－3π9 D ．1－3π189．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A .22π3 B .3π3 C .23π3 D .2π310．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为A .4π5 B .3π4 C ．(6－25)π D .5π411．已知函数f()＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x ＞0，F()＝f()－－1，且函数F()有2个零点，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)12．已知[)x 表示大于的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是 ①函数f()＝[)x －的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若∈(1，2 018)，则方程[)x －＝12有2 017个根．A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示)14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋)6展开式中2的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝OA →＋yOB →，则＋y 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分11分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ADC ＝β. (1)求2cos α－cos β的最大值；1 7，求△ABD的面积．(2)若BD＝1，cosβ＝已知正项等比数列{}a n 的公比为q ，且a 3＋a 4＋a 5＝716，3a 5是a 3，a 4的等差中项．数列{}b n 满足b 1＝1，数列{}()b n ＋1－b n ·a n 的前n 项和为2n 2＋n.(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP →＝13PC →.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1；(2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝＋m(，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．设函数f()＝ln(＋a)＋2.(1)若f()为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g()＝e＋2－f()，当a≤2时，证明：g()>0.炎德·英才大联考湖南师大附中 春季高二期末考试暨高三摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题1．D 【解析】由(2＋i)＝2－i ，得＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝35－45i ，故选D.2．C 【解析】解2－5＋4＜0，即(－1)(－4)＜0，得1＜＜4，故P ＝(1，4)．Q 表示函数y ＝4－2x的定义域，所以4－2≥0，所以∈(－∞，2]，即Q ＝(－∞，2]．故P ∩Q ＝(1，2]．故选C.3．B 【解析】因为样本数据{1，2，…，n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为m ，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nh ＋mkm ＋n，故选B. 4．B 【解析】由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为PA ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.6．A 【解析】由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝ba，∴＝3或33，则e ＝ca，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 7．D 【解析】f ()＝sin(2＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后得到的函数是g ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，又g (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝±1，得φ－π3＝π＋π2(∈)，∴φ＝π＋5π6(∈)，故选D.8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A. 9．D 【解析】设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ，由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ，在Rt △AOO 1中，⎝ ⎛⎭⎪⎫22－R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝2π3. 10．A 【解析】设直线l ：2＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4π5.故选A.11．B 【解析】因为F ()＝f ()－－1，且函数F ()有2个零点，即f ()－－1＝0有2个实数根，所以当≤0时，令e －－1＝0，解得＝0，此时只有一个实数根，当＞0时，令f ()－－1＝0，即2＋(a －1)＝0，即[－(1－a )]＝0，此时解得＝1－a ，要使得函数F ()有2个零点，则1－a ＞0，所以a ＜1，故选B.12．D 【解析】当∈时，[)x ＝＋1，f ()＝[)x －＝＋1－＝1；当时，令＝n ＋a ，n ∈，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f ()＝[)x －＝1－a ∈(0，1)，因此f ()＝[)x －的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当∈时，f ()＝1；当，＝n ＋a ，n ∈，a ∈(0，1)时，f ()＝1－a ＝1－(－n )＝n ＋1－，所以f (＋1)＝f ()，即f ()＝[)x －是周期为1的函数，由于∈(1，2)时f ()＝2－＝12，＝32，即一个周期内有一个根，所以若∈(1，2 018)，则方程[)x －＝12有2 017个根．①④正确，故选D.二、填空题13.35 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35.14．3 【解析】圆柱体体积公式V ＝πr 2h ，而由题意有V ＝112×(2πr )2×h ，所以π＝3.15．30 【解析】因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋)6＝1·(1＋)6＋1x2·(1＋)6，则(1＋)6展开式中含2的项为1·C 262＝152，1x 2·(1＋)6展开式中含2的项为1x2·C 464＝152，故2的系数为15＋15＝30.16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB →＝(1，0)，OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，设直线AB 与OC 的交点为点D ，若OD →＝OA →＋yOB →，则＋y ＝1.又由线性规划知识知当P 在C 点时，＋y 有最大值，此时OP →＝5OD →，故＋y 的最大值是5.三、解答题17．【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3， 0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3， 故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.5分(2)由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，7分由正弦定理AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD ，故AB ＝sin βsin αBD ＝4373314×1＝83，9分故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.11分18．【解析】(1)依题意，a 3＋a 4＋a 5＝716，6a 5＝a 3＋a 4，则a 5＝116，a 3＋a 4＝38，得a 5q 2＋a 5q ＝38，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍)，所以q ＝12，a 1＝1，∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.5分(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )·a n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，则S n ＝2n 2＋n ，所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），解得c n ＝4n －1.7分 所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·2n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·2n －2，n ≥2，b n －b 1＝()b n －b n －1＋()b n －1－b n －2＋…＋()b 3－b 2＋()b 2－b 1＝(4n －5)·2n －2＋(4n －9)·2n －3＋…＋7·21＋3，9分设T n ＝3＋7·21＋…＋(4n －9)·2n －3＋(4n －5)·2n －2， 2T n ＝3·2＋7·22＋…＋(4n －9)·2n －2＋(4n －5)·2n －1，所以，－T n ＝3＋4·21＋…＋4·2n －3＋4·2n －2－(4n －5)·2n －1，因此T n ＝(4n －9)·2n －1＋5，n ≥2，又b 1＝1， 所以b n ＝(4n －9)·2n －1＋6.11分19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形， 俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．且BC ＝4，BA ＝4，BB 1＝8，AN ＝4， 以BA ，BB 1，BC 分别为，y ，轴建立空间直角坐标系，如图则N (4，4，0)，B 1(0，8，0)，C 1(0，8，4)，C (0，0，4)，∴M (2，0，0)． ∵BP PC ＝13，∴P (0，0，1)，则MP →＝(－2，0，1)，设n 2＝(，y ，)为平面NCB 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CN →＝0n 2·NB 1→＝0⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，z ）·（4，4，－4）＝0（x ，y ，z ）·（－4，4，0）＝0⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n 2＝(1，1，2)，∴MP →·n 2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM 平面CNB 1，∴MP ∥平面CNB 16分 (2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为BA →＝(4，0，0)，平面CΒ1Ν的法向量为n 2＝(1，1，2)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n 2|BA →||n 2|＝（4，0，0）·（1，1，2）4×6＝66，∴sin θ＝306.12分 【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分．20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的． 所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516.4分(2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B (5，0.5)．从而ξ的数学期望是E ξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12分21．【解析】(1)由e ＝22，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋2y2a 2＝1，点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，等价于点P 在椭圆上，∴12a 2＋32a 2＝1，∴a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)设A (1，y 1)，B (2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0， 消去y 并整理得(1＋22)2＋4m ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>01＋2k 2>m 2x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－21＋2k2①.7分设△AOB 的重心为G (，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得2＋y 2＝49.②由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式，整理可得(1＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝4(1＋2)2＋[(1＋2)＋2m ]2＝4，③将①式代入③式并整理，得m 2＝（1＋2k 2）21＋4k2，10分 则m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k4.又由Δ>0可知≠0，令t ＝1k2>0，∴t 2＋4t >0， ∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分22．【解析】(1)解法1：f ()的定义域为(－a ，＋∞)，f ′()＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a方程22＋2a ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－2<a <2，在f ()的定义域内f ′()>0，故f ()单调递增． (ⅱ)若Δ＝0，则a ＝2或a ＝－ 2.若a ＝2，∈(－2，＋∞)，f ′()＝（2x ＋1）2x ＋2.当＝－22时，f ′()＝0，当∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，＋∞时，f ′()>0，所以f ()单调递增．若a ＝－2，∈(2，＋∞)，f ′()＝（2x －1）2x －2>0，f ()单调递增．(ⅲ)若Δ>0，即a >2或a <－2，则22＋2a ＋1＝0有两个不同的实根1＝－a －a 2－22，2＝－a ＋a 2－22.当a <－2时，1<－a ，2<－a ，从而f ′()在f ()的定义域内没有零点，故f ()单调递增． 当a >2时，1>－a ，2>－a ，f ′()在f ()的定义域内有两个不同的零点， 即f ()在定义域上不单调．综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.6分 解法2：很显然f ′()不可能有连续零点，若f ()为定义域上的单调函数， 则f ′()≤0或f ′()≥0恒成立，又f ′()＝1x ＋a＋2，因为＋a >0， 所以f ′()<0不可能恒成立，所以f ()为定义域上的单调函数时，只可能f ′()≥0恒成立， 即1x ＋a ＋2≥0恒成立，即1x ＋a ＋2(＋a )－2a ≥0，即2a ≤1x ＋a ＋2(＋a )，而1x ＋a＋2(＋a )≥22， 所以2a ≤22，a ≤2，即实数a 的取值范围为a ≤ 2.解法3：由解法2可知∈(－a ，＋∞)，1x ＋a ＋2≥0恒成立，得2x 2＋2ax ＋1x ＋a ≥0恒成立，即22＋2a ＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a ≤0时，－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2≥0，所以22＋2a ＋1>2a 2－2a 2＋1＝1，所以当a ≤0时22＋2a ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a >0时，－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2<0，所以(22＋2a ＋1)min ＝－a 22＋1，所以－a 22＋1≥0时22＋2a ＋1≥0恒成立，解得0<a ≤2，综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.(2)因为g ()＝e ＋2－f ()＝e －ln(＋a )，当a ≤2，∈(－a ，＋∞)时，ln(＋a )≤ln(＋2)，故只需证明当a ＝2时，g ()>0. 当a ＝2时，函数g ′()＝e －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增， 又g ′(－1)<0，g ′(0)>0，故g ′()＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根0，且0∈(－1，0)， 当∈(－2，0)时，g ′()<0，当∈(0，＋∞)时，g ′()>0，从而当＝0时，g ()取得最小值g (0)． 由g ′(0)＝0得e 0＝1x 0＋2，ln(0＋2)＝－0， 故g (0)＝e 0－ln(0＋2)＝1x 0＋2＋0＝x 20＋2x 0＋1x 0＋2＝（x 0＋1）2x 0＋2>0，所以g ()≥g (0)>0.综上，当a ≤2时，g ()>0.12分。