2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-6

1.(文)(2011·安徽合肥市质检)已知sin(α＋π4)＝14，则sin2α的值为( )A.78B.158 C ．－ 158D ．－78[答案] D[解析] 由已知得sin α＋cos α＝24，两边平方得1＋2sin αcos α＝18，即sin2α＝－78，故选D. (理)已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( )A.1010B ．－1010C.31010 D ．－ 31010[答案] C[解析] 设该等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，0<α2<π2， ∵2cos 2α2－1＝cos α，∴sin β＝sin(π2－α2)＝cos α2＝cos α＋12＝31010，故选C.2．(文)(2011·福建文，9)若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33 C. 2 D. 3[答案] D[解析] sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋cos 2α－sin 2α ＝cos 2α＝14，∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，sin α＝32，∴tan α＝ 3.(理)已知tan α＝－2，则142α＋25cos 2α的值是( )A.257 B.725 C.1625 D.925[答案] B[解析] 14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋252αsin 2α＋cos 2α ＝14tan 2α＋25tan 2α＋1＝725. 3．(2011·陕西宝鸡质检)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2B. 3C ．1 D.33[答案] C[解析] 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)，因为β为锐角，所以sin β＋cos β≠0，所以sin α＝cos α，即tan α＝1，故选C.4．设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为( )A.105B ．－ 105C ．－ 155D.155[答案] C[解析] ∵5π2<θ<3π，∴cos θ<0，∴cos θ＝－15∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2<0， 又cos θ＝1－2sin 2θ2，∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35，∴sin θ2＝－155.5．(文)已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45 B ．－45C.415 D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2sin2α2cos 2α2sin 2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.(理)(2011·浙江杭州质检)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)等于( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255[答案] A[解析] 由已知得tan α＋11－tan α＝12，解得tan α＝－13，即sin αcos α＝－13，cos α＝－3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，结合－π2<α<0，可得sin α＝－1010， 所以2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝22sin α(sin α＋cos α)sin α＋cos α22sin α＝22×(－1010)＝－255，故选A.6．已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365 C ．－ 3365D ．－ 6365[答案] A[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧0<α<π2－π2<β<0，∴0<α－β<π，又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝45；∵－π2<β<0，且sin β＝－513，∴cos β＝1213.从而sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.7．(2010·江苏泰州模拟)已知sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈(0，π2)，则α＋β＝________. [答案] π2[解析] ∵α，β∈(0，π2)，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×35－35×45＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.8．(2010·安徽省两校三地模拟)已知：sin α＋cos α＝15，0<α<π，则cos α2________.[答案] 55[解析] 由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15sin 2α＋cos 2α＝10<α<π得，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，∴cos α2＝1＋cos α2＝55.1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2·tan C2的值是( ) A ．±3 B ．－ 3 C. 3 D.33[答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2·tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝3，故选C.2．(文)(2011·哈尔滨六中一模)sin 235°－12sin20°的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1[答案] B[解析] sin 235°－12sin20°＝2sin 235°－12sin20°＝－cos70°2sin20°＝－sin20°2sin20°＝－12，故选B.(理)(2011·天津蓟县模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x 在区间[－π4，π3]上的最大值为( ) A.12 B.1＋32C ．1 D.32[答案] D[解析] f (x )＝1＋cos2x 2＋32sin2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12∵－π4≤x ≤π3，∴－π3≤2x ＋π6≤5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )的最大值为32.3.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4 [答案] C[解析] 原式＝sin (30°－20°)＋sin (30°＋20°)sin (45°－10°)·sin (45°＋10°)＝2sin30°cos20°12cos 210°－12sin 210°＝cos20°12cos20°＝2. 4．(文)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．(理)(2011·北京四中测试)实数a ，b 均不为零，若a sin α＋b cos αa cos α－b sin α＝tan β，且β－α＝π6，则b a ＝( )A. 3B.33C ．－ 3D ．－33[答案] B[解析] ∵tan β＝a sin α＋b cos αa cos α－b sin α＝tan α＋b a1－(tan α)·b a ，令tan φ＝b a ，∵β－α＝π6，∴tan(α＋π6)＝tan(α＋φ)，∴α＋φ＝α＋π6＋k π(k ∈Z)，∴tan φ＝33.5．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2<θ<3π4，则cos2θ的值是________．[答案] －725[解析]由⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1消去cos θ得，sin 2θ－15sin θ－7225＝0，∵π2θ<3π4，∴sin θ>0， ∴sin θ＝45，∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝－725.6．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，取最小值－73.(理)(2010·天津理)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值．[解析] (1)解：由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)解：由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6.又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.所以cos2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 7．(2010·哈三中)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x 4，cos x 4，n ＝sin x 4，cos x 4. (1)若m ·n ＝3＋12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值； (2)记f (x )＝m ·n －12，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] (1)m ·n ＝3＋12＝3cos x 4sin x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝32， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝－12； (2)f (x )＝m ·n －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 则f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6 因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，则(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C即2sin A cos B ＝sin A ，则B ＝π4∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34π，A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π24 则f (A )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.1．已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin(α＋β)· sin(α－β)等于( )A ．－a 2 B.a 2C ．－aD ．a [答案] C[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)·cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .故选C.2．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－ 173 C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－89<0，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝173，故选D. 3．已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( )A ．(－22，0)B ．(－1，－22) C ．(0，22) D ．(22，1) [答案] A[解析] ∵tan θ>1，∴k π＋π4<θ<k π＋π2，k ∈Z ， 又∵sin θ＋cos θ<0，∴k π＋3π4<θ<k π＋π，k ∈Z. ∴2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ， 因此－22<cos θ<0，选A. 4．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( )A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4. ∴1＋sin α＋1－sin α ＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2 ＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2. 5.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是( )A ．4cos4－2sin4B ．2sin4C ．2sin4－4cos4D ．－2sin4[答案] D[解析] ∵5π4<4<3π2，∴sin4<cos4<0. ∴2＋2cos8＋21－sin8＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.故选D.6．(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 [答案] A[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π2＝π. 7．在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，则( ) A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．b ，a ，c 依次成等差数列C ．a ，c ，b 依次成等差数列D ．a ，b ，c 既成等差数列，也成等比数列[答案] A[解析] ∵a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ， ∴a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ， ∴(a ＋c )＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ，∵a cos C ＋c cos A ＝b ，∴a ＋c ＝2b ，∴a、b、c依次成等差数列．。

国，领导立法，
带头守法，保证 执法，不断推进
会发展规律，以科
学的思想、制度和 方法领导中国特色
坚持和健全民主集中制， 国家经济、政治、 以发展党内民主带动人 民民主，壮大最广泛的 爱国统一战线 文化、社会生活 的法制化、规范 化
社会主义事业
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第3单元
第6课高考政治总复习 Nhomakorabea科学执政
民主执政
依法执政
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第6课
高考政治总复习
中国共产党坚持科学执政、民主执政、依法执政
中国共产党坚持科学执政、民主执政、依法执政，不断 完善党的领导方式和执政方式。 (1)科学执政：就是遵循共产党执政规律、社会主义建 设规律、⑥________规律，以科学的思想、制度和方法领导 中国特色社会主义事业。
法是统筹兼顾
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特别提醒
党内民主与人民民主
党内民主 人民民主
地位
主体
是党的生命
中国共产党全体党员 属于政党层面，是非国 家形态的民主 适用于执政的中国共产 党党内政治生活
是中华人民共和国的生命
全体中国人民，其中当然包 括中国共产党党员 属于国家层面，是国家形态 的民主 适用于中华人民共和国国家 政治生活和社会生活
24 25 (5)科学发展观的第一要义是 ○________，核心是 ○ 26 27 ________ ， 基 本 要 求 是 ○ ________ ， 根 本 方 法 是 ○ 28 ________。它科学地回答了○________问题。它是与马克
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思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重

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(2)加强数学思想方法的训练．数学思想方法是高考 的重要内容．分类讨论、转化思想、整体思想、正难则反 等数学思想在本章试题中经常考查． (3)注意本章内容的特殊性和思维方式的独特性，狠 抓两个基本原理，合理建立数学模型，恰当进行转化，及 时归纳总结．
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●课程标准 1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数 原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或 分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．
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本章试题的特点是： 综合性强，应用性强，数学思想方法要求高，这种命 题特点在以后的高考中仍会保持下去．
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●备考指南 (1)加深对概念的理解和把握，立足基础知识和基本 方法．恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托 和思维的合理定势，如对排列应用题可用①某元素排在某 位上；②某元素不排在某位上；③某几个元素排在一起； ④某几个元素不得相邻；⑤某几个元素顺序一定等基本问 题，加强思维的规范训练．
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一、选择题1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1[答案] C[解析] f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数 ∴f (x )的最大值为f (π)＝π－sinπ＝π，故选C.2．(2012·西安模拟)若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.4．当x ≥2时，ln x 与x －12x 2的关系为( )A ．ln x >x －12x 2B ．ln x <x －12x 2C ．ln x ＝x －12x 2D ．大小关系不确定[答案] A[解析] 构造函数F (x )＝ln x ＋12x 2－x ，则F ′(x )＝1x ＋x －1＝x 2－x ＋1x .∵x ≥2，∴F ′(x )>0，∴F (x )在[2，＋∞)上为增函数． 又∵F (2)＝ln2＋2－2＝ln2>0， ∴F (x )>0在[2，＋∞)上恒成立， ∴即ln x ＋12x 2－x >0，∴ln x >x －12x 2.5．(2011·湖南理，8)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值． ∵f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，图象如下∴|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x (x >0)令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x .令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小． 6．(文)(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算．∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，得x ＝9时；当x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(9，＋∞)，y ′<0.y 先增后减，∴x ＝9时函数取最大值，选C.(理)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( )A.33cm B.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝203 3.当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0 所以当x ＝2033时，V 取最大值．二、填空题7．如下图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f (f (0))＝________；函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.[答案] 2，－28．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为____．[答案] a ≥1[解析] 由已知得a ＞1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln xx 2＜0 (x ＞1)，∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内单调递减， ∴g (x )＜g (1)，∵g (1)＝1，∴1＋ln xx ＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1. 三、解答题9．(文)已知a 为实数，函数f (x )＝(x 2＋1)(x ＋a )，若f ′(－1)＝0，求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.∵f ′(－1)＝0，∴3－2a ＋1＝0，即a ＝2.∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x ＋1)． 由f ′(x )≥0，得x ≤－1或x ≥－13；由f ′(x )≤0，得－1≤x ≤－13.因此，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13. ∴f (x )在x ＝－1取得极大值f (－1)＝2，f (x )在x ＝－13取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝5027.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138，f (1)＝6，且5027>138，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值为f (1)＝6，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138.(理)(2011·北京理，18)已知函数f (x )＝(x －k )2e xk .(1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x )＝0，得x ＝±k . 当k >0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：(－k ，k )．当k <0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：(k ，－k )．(2)当k >0时，因为f (k ＋1)＝ek ＋1k>1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e .当k <0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f (－k )＝4k 2e . 所以∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 等价于f (－k )＝4k 2e ≤1e . 解得－12≤k <0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0)．一、选择题1．(2011·浙江文，10)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的图像是( )[答案] D[解析] 本题考查了导数的极值及有关函数图像问题． 由F (x )＝f (x )·e x 得， F ′(x )＝f ′(x )e x ＋f (x )·(e x )′ ＝e x [ax 2＋(2a ＋b )x ＋b ＋c ]∵x ＝－1是F (x )的极值点，∴F ′(－1)＝0，得c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a ，∴f ′(x )＝2ax ＋b ∴f ′(－1)＝－2a ＋b ，f (－1)＝2a －b由f ′(－1)＝0，则b ＝2a ，f (－1)＝0，b ＝2a ，故A ，B 选项可能成立； 由f ′(－1)>0，∴－2a ＋b >0，∴f (－1)<0，故C 选项也成立；所以，答案选D.2．(文)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0[答案] B[解析] f (x )是奇函数，g (x )为偶函数．x >0时，f (x )，g (x )都单调递增，x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )>0，g ′(x )<0.(理)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，则a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b[答案] D[解析] 由f (x )＝f (2－x )知函数图像关于直线x ＝1对称，由x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0得x ∈(－∞，1)时f ′(x )>0，所以x ∈(－∞，1)时f (x )是增函数，又c ＝f (3)＝f (－1)，而f (－1)<f (0)<f (12)，即c <a <b .故选D.二、填空题3．(2012·广州综测)若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)． 当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (1)<0，解得－2<a <2.4．(文)(2011·山东济南模拟)将长为52cm 的铁丝剪成两段，各围成一个长与宽之比为2:1及3:2的矩形，那么面积之和的最小值为________cm 2.[答案] 78[解析] 设剪成的两段中其中一段为x ，另一段为52－x .由题意知，面积之和为S ＝x 6·2x 6＋3(52－x )10·2(52－x )10＝118x 2＋350(52－x )2，S ′＝19x －325(52－x )．令S ′＝0，则x ＝27，另一段为52－27＝25.此时S min ＝78(cm 2)． (理)将边长为1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是________．[答案] 3233[解析] 本题主要考查了导数在实际问题中的应用，求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数，进而利用导数工具求函数的最值，重点考查了考生的建模能力和运算能力．如上图，设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x ，又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴S ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)，∴S ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2，令S ′＝0，得x ＝13或3(舍去)，当x ∈(0，13)时，S ′<0，S 递减；当x∈(13，1)时，S ′>0，S 递增；故当x ＝13时，S 的最小值是3233. 三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，求f (x )的极值．[解析] ∵f (x )过(1,0)点，∴f (1)＝1－p －q ＝0.∵f ′(x )＝3x 2－2px －q ，且f (x )与x 轴相切于点(1,0)，∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 1－p －q ＝0，3－2p －q ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1. ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)，其图像如上图所示．∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＝427， f (x )极小值＝f (1)＝13－2×12＋1＝0.(理)(2012·东北四校联考)已知函数f (x )＝ln x x －x ，求函数f (x )的最大值．[解析] ∵f ′(x )＝1－ln x x 2－1， 令f ′(x )＝0得x 2＝1－ln x .显然x ＝1是方程的解．令g (x )＝x 2＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝2x ＋1x >0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解∵当0<x <1时，f ′(x )＝1－ln x x 2－1>0， 当x >1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴当x ＝1时函数有最大值f (x )max ＝f (1)＝－1.6．(文)(2011·全国大纲卷文，21)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a －4(a ∈R)．(1)证明：曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线过点(2,2)；(2)若f (x )在x ＝x 0处取得最小值，x 0∈(1,3)，求a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3－6a由f (0)＝12a －4，f ′(0)＝3－6a 得曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝(3－6a )x ＋12a －4，由此知曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线经过点(2,2)．(2)由f ′(x )＝0，得x 2＋2ax ＋1－2a ＝0(ⅰ)当Δ≤0，即－2－1≤a ≤2－1时，f (x )没有极小值．(ⅱ)当Δ>0，即a >2－1或a <－2－1时，由f ′(x )＝0得x 1＝a －a 2＋2a －1，x 2＝－a ＋a 2＋2a －1故x 0＝x 2，由题设知，1<－a ＋a 2＋2a －1<3当a >2－1时，不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3无解当a <－2－1时，解不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3得－52<a <－2－1 综合(ⅰ)(ⅱ)得a 的取值范围是(－52，－2－1)．(理)(2011·新课标文，21)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x x －1. [解析] (1)f ′(x )＝a (x ＋1x －ln x )(x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎨⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以 f (x )－ln x x －1＝11－x 2(2ln x －x 2－1x )． 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2. 所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，可得11－x 2h (x )>0.从而当x >0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0，即f (x )>ln x x －1. 7．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解析] (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为f (x )升．依题意得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128000x 3－380x ＋8·100x ＝11280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， f ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令f ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(80,120]时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．∴当x ＝80时，f (x )取到极小值f (80)＝11.25(升)．因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．。