走向高考9-2

第九篇 第一章 第二讲一、选择题1．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形＝40cm 2，S △ABE S △DBA ＝1 5，则AE 的长为( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm [答案] A[解析] ∵∠BAD 为直角，AE ⊥BD ， ∴△ABE ∽△DBA ， ∴S △ABE S △DBA ＝⎝⎛⎭⎫AB DB 2＝15，∴AB DB ＝1 5. 设AB ＝k ，则DB ＝5k ，AD ＝2k ， ∵S 矩形＝40cm 2，∴k ·2k ＝40，∴k ＝25， ∴BD ＝10，AD ＝45，则S △ABD ＝12BD ·AE ＝12×10×AE ＝20，∴AE ＝4cm.2．如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BE EC ＝4，AE 交BD 于F ，BFFD等于( )、A.45B.49 C.59 D.410 [答案] A[解析] 在AD 上取点G ，使AG GD ＝1 4，连结CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ， ∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DGGA ＝4， ∴BF FD ＝45. 3．(文)如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC 切⊙O 于C ，PC ＝3，BP ＝1，则⊙O 的半径为 ( )A. 2B.32 C ．1D.233[答案] C [解析] PB ·P A ＝PC 2，∴P A ＝3，∴AB ＝2，∴R ＝1.(理)(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝ ( )A ．3 B.15C ．3 2D ．3 5 [答案] D[解析] 由切割线定理知： PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.4．AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为 ( )A ．105°B ．115°C ．120°D ．125°[答案] B[解析] ∵PC 是⊙O 的切线，∴∠BDC ＝∠PCB ， 又∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADC ＝∠ACB ＋∠PCB ＝115°. 5．一圆锥侧面展开图为半圆，平面α与圆锥的轴成45°角，则平面α与该圆锥侧面相交的交线为 ( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 [答案] D[解析] 圆锥侧面展开图的中心角180°＝γα·360°，∴γα＝12，∴母线与轴夹角为30°，又平面α与轴夹角为45°>30°，∴截线为椭圆． 6．在△ABC 中，A ＝60°，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，则DEBC＝ ( )A.12B.13C.23D.22 [答案] A[解析] 由题设AD AC ＝12＝AEAB，△ADE ∽△ACB ，∴DE BC ＝AD AC. 7．如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为 ( )A ．13B.635C.656D.636 [答案] C[解析] 过点A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ，∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD .∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5， ∴BE ＝122＋52＝13，∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.8．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为 ( )A.12B.22C.33D.32 [答案] B[解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c ＝22.9．球在点光源的照射下，在一个平面π上的投影的形状为 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．圆或椭圆D ．圆或椭圆或抛物线或双曲线的一支 [答案] D[解析] 所有与球相切的光线组成圆锥面，球在平面π上的投影为圆锥面与平面π的交线，设平面π与PO 的夹角为β(O 为球心，P 为点光源)，若β＝π2，则投影为圆；再设PO与过P 点球的切线的夹角为α，则若α<β<π2，则投影为椭圆；若α＝β，则投影为抛物线；若α>β，则投影为双曲线(一支)． 10．(08·浙江)如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 [答案] B[解析] 其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题．△ABP 的面积为定值，所以点P 到直线AB 的距离为定值(不妨设为d )，所以点P 在以直线AB 为轴，底面半径为d 的圆柱表面上(或者说点P 的轨迹是圆柱表面)，另外点P 又在平面α内，所以点P 的轨迹就是圆柱表面和平面α的公共部分，由于平面α斜截圆柱表面，所以轨迹是一个椭圆．二、填空题 11．(09·广东)如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．[答案] 8π[解析] 连结OA ，OB ，∵∠BCA ＝45°， ∴∠AOB ＝90°.设圆O 的半径为R ，在Rt △AOB 中，R 2＋R 2＝AB 2＝16，∴R 2＝8.∴圆O 的面积为8π. 12．如图，BD 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，AD 交BC 于E ，AE ＝2，ED ＝4.则AB 的长为________．[答案] 2 3[解析] ∵∠ABC ＝∠C ，∠C ＝∠D ，∴∠ABC ＝∠D ，又∠BAE ＝∠DAB ，∴△ABE ∽△ADB ，∴AB 2＝AE ·AD ，∴AB ＝2 3.13．已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝________，AD ＝________.[答案] 52，5[解析] ∵OD ⊥AC ，BC ⊥AC ，∴△ADO ∽△ACB ，∴OD BC ＝AOAB，∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10，设OD ＝R ，则AO ＝53R ，∴R ＋53R ＝10，∴R ＝154，AE ＝AB －2R ＝52，AD OD ＝AC BC ＝43，∴AD ＝5.14．在△ABC 中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，∠DAB ＝∠DBA ，AB ＝18，BE ＝12，则CE ＝________.[答案] 15[解析] ∵∠DAB ＝∠DBA ，∴AD ＝BD ，又AD 是BC 边上中线， ∴BD ＝CD .易知∠BAC ＝90°，又AE ⊥BC .由射影定理可知AB 2＝BE ·BC ， ∴BC ＝27，∴CE ＝15. 三、解答题15．(文)在△ABC (AB >AC )的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP CP ＝BDCE.[分析] 如图，要证BP CP ＝BDCE，可过点C 作CM ∥AB ，易证△CPM ∽△BPD ，此时只需证明CM ＝CE 即可．[证明] 过点C 作CM ∥AB ，交DP 于点M . ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED .又AD ∥CM ，∠ADE ＝∠CME ，∠AED ＝∠CEM ， ∴∠CEM ＝∠CME ，∴CE ＝CM .∵CM ∥BD ，∴△CPM ∽△BPD ，∴BP CP ＝BD CM ，即BP CP ＝BDCE.(理)如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求证：OE ＝OF ；(2)求OE AD ＋OEBC的值；(3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.[解析] (1)证明：∵EF ∥AD ∥BC ， ∴OE BC ＝AE AB ＝DF DC ＝OFBC，∴OE ＝OF . (2)解：∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BEAB.由(1)知OE BC ＝AEAB，∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AE AB＝1. (3)证明：由(2)知OE AD ＋OE BC ＝1，∴2OE AD ＋2OEBC ＝2.又EF ＝2OE ，∴EF AD ＋EF BC ＝2，所以1AD ＋1BC ＝2EF.16．(文)如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，作CM ⊥AB ，垂足为点M .(1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)求证：AM ·MB ＝DF ·DA .[证明] (1)∵∠OAC ＝∠OCA ，又∠OAC ＝∠CAF ，∴∠CAF ＝∠OCA ，∴OC ∥AD ， ∵CD ⊥AF ，∴CD ⊥OC ，∴CD 是⊙O 的切线． (2)在Rt △ACB 中，CM ⊥AB ，∴CM 2＝AM ·MB ，又DC 是⊙O 的切线，∴DC 2＝DF ·DA ，易证△ACD ≌△ACM ，∴CM ＝DC ，∴AM ·MB ＝DF ·DA .(理)如图，已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G .求证：BA ·DC ＝GC ·AD .[证明] ∵AC ⊥OB ，∴∠AGB ＝90°， 又AD 为⊙O 的直径，∴∠DCA ＝90°，又∵∠BAG ＝∠ADC ，∴Rt △AGB ∽Rt △DCA ， ∴BA AD ＝AG DC ，又∵GC ＝AG ，∴BA AD ＝GC DC ， ∴BA ·DC ＝GC ·AD .17．(文)如图以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边的中点．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)连结OE 、AE ，当∠CAB 为何值时，四边形AOED 是平行四边形，并在此条件下求sin ∠CAE 的值．[解析] (1)在△OBE 与△ODE 中， OB ＝OD ，OE ＝OE .∵E 、O 分别为BC 、AB 中点．∴EO ∥AC ，∴∠EOB ＝∠DAO ，∠DOE ＝∠ADO ， 又∠OAD ＝∠ADO ，∴∠EOB ＝∠DOE ，∴△OBE ≌△ODE ，∴∠ODE ＝∠OBE ＝90°， ∴ED 是⊙O 的切线．(2)∠CAB ＝45°，sin ∠ACE ＝1010.(理)如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长． [解析] (1)∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ， 又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC . (2)设BP ＝x ，PE ＝y ，∵P A ＝6，PC ＝2， ∴xy ＝12(1)∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝APPC ，∴9＋x y ＝62(2)由(1)、(2)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4(∵x >0，y >0)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16， ∵AD 是⊙O 2的切线， ∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12.。