2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第7篇1-1

2011走向高考-贾凤山-高中总复习-第8篇1-2DA．26 B．24C．19 D．20[答案] D4．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，并且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2010)的值为() A．2 B．0C．1 D．－1[答案] B[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2010)＝f(2)，∵f(2＋x)＝f(－x)成立，∴f(2)＝f(0)，又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2010)＝0.5．n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] A[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与相同，故选A.6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B7．某种商品计划提价，现有四种方案，方案(Ⅰ)先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)先提价n %，再提价m %；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价(m ＋n 2)%；方案(Ⅳ)一次性提价(m ＋n )%，已知m >n >0，那么四种提价方案中，哪一种提价最多？( )A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ[答案] C[解析] 设商品原价为a ，方案(Ⅰ)：a (1＋m %)(1＋n %)＝a [1＋(m ＋n )%＋m %n %]方案(Ⅱ)：a (1＋n %)(1＋m %)＝a (1＋(m ＋n )%＋m %n %)方案(Ⅲ)：a (1＋m ＋n 2%)2＝a (1＋(m ＋n )%＋(m＋n2%)2)方案(Ⅳ)：a[1＋(m＋n)%]＝a(1＋(m＋n)%)又∵(m＋n2%)2≥(mn%)2＝m%n%故选C.8．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内[答案] D[解析]由三点A、B、C可以不在平面α的同一侧，知A错；由三点A、B、C可以在平面α的同一侧，知B错；可以找到平面ABC垂直于平面α，知C错．[点评]如何证明选项D，请读者给出自己的理由．9．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R ＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.10．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是() A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上[答案] B[解析]如右图，由“等腰四棱锥”的定义知，PA＝PB＝PC＝PD.设P点在底面ABCD内的射影为O，则OA＝OB＝OC＝OD，从而∠PAO＝∠PBO＝∠PCO＝∠PDO，且四边形存在以O为圆心的外接圆，故A，C都对；在△PAO所在平面内作线段PA的中垂线交PO于M.则MP＝MA，从而MP＝MA＝MB＝MC＝MD.故四棱锥的顶点都在以M为球心的球面上．故D正确；显然当四棱锥为正四棱锥时，各侧面与底面成的角相等．当底面上四点任意排布在⊙O的圆周上时，B错．考查命题的判断与信息捕捉分析能力．二、填空题11．已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1的图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为________．[答案]c n>c n＋1[解析]∵a n＝n2＋1，b n＝n，c n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，随n的增大而减小，∴c n＋1<c n.12．(文)设f(x)定义如表，数列{x n}满足x1＝5，x n＋1＝f(x n)，则x2011x 12345 6f(x)45126 3[答案] 4[解析]由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{x n}是周期为6的周期数列，∴x2011＝x1＝4.据此可知，{x n}周期为4，∴x2011＝x3＝1.(理)(09·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．[答案] 5[解析] 根据规则可知报数为1,1,2,3,5,8,13,21，…，被3除的余数规律为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，而是3的倍数的数出现在4的倍数位置．又甲在第1,6,11,16，…等次数上，则同时满足的有16,36,56,76,96共5个数．13．(文)(09·江苏)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为1 4.类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________． [答案] 18(理)E 、F 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ABC被线段EF 分成两部分的面积之比，S △AEF S △ABC ＝AE ·AF AB ·AC ，类比此结论，则对于三棱锥P －ABC ，若E 、F 、G 分别为三条棱PA 、PB 、PC 上的点，则有________．[答案] V P －EFG V P －ABC ＝PE ·PF ·PG PA ·PB ·PC 14．(文)若a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么a n ＋b n 与c n (其中n ∈N *且n >2)的大小关系是________．[答案] a n ＋b n <c n[解析] ∵△ABC 为Rt △，且c 为斜边，∴c 2＝a 2＋b 2，∴c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<b c <1，当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝1， 即a n ＋b n <c n .(理)设x>0，y>0，a＝x＋y，b＝x cos2θ·y sin2θ(θ∈R)，则a与b的大小关系为________．[答案]a>b[解析]∵x>0，y>0，∴x＋y>x，x＋y>y，∴(x＋y)cos2θ>x cos2θ，(x＋y)sin2θ>y sin2θ，∴b＝x cos2θ·y sin2θ<(x＋y)cos2θ·(x＋y)sin2θ＝(x＋y)sin2θ＋cos2θ＝x＋y＝a.三、解答题15．(文)先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b.(2)已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.[解析](1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即x i∈R，|x i|<1(i＝1,2，…，n)时，有________．(理)在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边上的高为h，则1h2＝1AC2＋1BC2，先证明此性质，再类比此性质，给出在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，写出得到的正确结论并证明之．[解析] (1)1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2 (2)Rt △ABC 中，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴1AC 2＋1BC 2＝1AD ·AB ＋1BD ·AB ＝1AB ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1AD ＋1BD ＝1AB ·AD ＋BD AD ·BD ＝1AD ·BD ＝1h 2. 四面体P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PD 、PE 、PF 分别垂直于BC 、AB 、AC ，PO ⊥平面ABC ，即PO ＝h .∴△APD 为直角三角形．∴1PA 2＋1PD 2＝1h2. 同理，1PB 2＋1PF 2＝1h2， 1PC 2＋1PE 2＝1h2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1PD 2＋1PE 2＋1PF 2＝3h 2(*) 又△APB 为直角三角形，∴1PA 2＋1PB 2＝1PE2.同理，1PB 2＋1PC 2＝1PD 2，1PA 2＋1PC 2＝1PF 2. ∴(*)式变为1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＋21PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝3h 2.∴1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝1h 2. 16．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－30°＝6°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin(30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12(sin30°＋2α)＝34. 17．(文)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC 边上有2011个不同的点P 1、P 2、…、P 2011，记M i ＝AP 2i ＋BP i ·CP i (i ＝1、2、…、2011)，求M 1＋M 2＋…＋M 2011的值．[解析] 可取特殊点试验M i 的值，例如，取BC 的中点P ，则∵AB ＝AC ，∴AP ⊥BC ，∴M ＝AP 2＋BP ·PC ＝AP 2＋BP 2＝AB 2＝4，再猜想所有M i 的值可能均为4.验证：取BC 中点P ，又P i 为BC 上任一点，∴M i＝AP 2i ＋BP i ·P i C ＝AP 2i ＋(BP －PP i )(CP ＋PP i )＝AP 2i ＋(BP －PP i )(BP ＋PP i )＝AP 2i ＋BP 2－P i P 2＝(AP 2i －P i P 2)＋BP 2＝AP 2＋BP 2＝AB 2＝4，从而猜想正确，∴M 1＋M 2＋…＋M 2011＝4×2011＝8044.(理)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3；(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．[解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14， a 3＝12a 2＝12a ＋18. (2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38. ∴a 5＝12a 4＝14a ＋316. ∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －14.猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2n －1＋14－14 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列。

第四篇第1章第一节一、阅读下面的文章，完成1～3题。

“网瘾”是不是病？我们耳闻目睹有很多人由于沉迷于上网而严重影响到生活、学习、工作，会凭直觉认为这是心理有病，但是为什么有些心理学专家反对把网瘾当成一种心理疾病呢？一个理由是，沉迷于某种活动并不等于就是一种病态行为。

比如，有很多人整天坐在电视机前消磨时间，也会因此严重影响到生活、学习、工作，是不是该认为这些人得了“电视瘾”，必须加以治疗呢？另一个理由是，有网瘾的人往往有其他心理疾病：青少年沉迷于上网，可能是由于有严重的心理发育问题，例如患有注意力缺乏症(即俗称的多动症)或缺乏社会交往能力；忧郁症或焦虑症患者把上网聊天作为一种释放心理紧张的手段；有人上网赌博难以自拔是由于有赌瘾，等等。

上网过度是这些疾病的表现，但是其本身不是病。

对这些患者，应该针对他们患的心理疾病进行治疗。

例如，对沉迷于上网赌博的患者，应该让他们戒掉赌瘾，而不是试图去戒掉网瘾，否则他们即使不上网，也会在网下继续赌博。

既然学术界目前对有没有网瘾这种心理疾病还存在很大的争议，并没有权威的诊断标准，又根据什么判定某人是否患有网瘾需要治疗，如何治疗，治疗的效果又是如何呢？提起网瘾，人们很容易想起毒瘾、酒瘾、烟瘾、赌瘾。

但是网瘾和它们有着显著的不同。

毒品、酒精、香烟和赌博都有害无益，戒除它们的目标是做到彻底告别它们，而不是减少使用。

例如，酗酒者在戒酒时，往往要记录自己已有多少天滴酒不沾，如果某一天又开喝了就前功尽弃，必须从头开始戒。

但是互联网是一种非常有用的通讯工具，戒除网瘾的目标显然不是要完全放弃上网，否则反而会对生活、学习、工作造成不便。

何况对许多人来说，上网是其谋生手段，整天泡在网上是常态，排斥上网反而不正常。

有一项研究认为，大部分沉迷于上网的人在一年后都自觉减少了上网时间，表明这是一种可以自我纠正的行为。

有些人认为，自己上网过度，主动寻求心理治疗，当然这也是其权利。

但是这样的治疗都带着试验性质，所以医院应该遵循医学临床试验的规范和伦理，对治疗方法的必要性、安全性和可行性作恰当的评估。

第一篇第七章1．母校今年适逢建校60周年，同学小王与你一起表示祝贺。

小王制作了一张纪念贺卡，上面有大海、白云、蓝天、帆船等景物，请你从风、帆、船、蓝天、白云和大海中选取两物，运用排比和比喻两种修辞手法配写一段话，表达对母校的感谢和祝愿，不超过60个字。

答：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 【答案】亲爱的母校，您是风，我是帆，在您的吹拂下，我破浪远航；亲爱的母校，您是蓝天，我是白云，在您的怀抱里，我幸福地翱翔；亲爱的母校，您是大海，我是小船，在您的托扶里，我自由地飘荡。

【解析】内容要贴切，修辞手法运用要恰当。

2．请用“田园”“桃花”“生活”等词语写一段情景交融的文字。

要求想象合理，语言生动，不少于40字。

答：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 【答案】田园里那一树树的桃花，开在山坡上、菜园边、泥墙下，像一片片灿烂的红云，温暖着乡下人家的生活，简朴温馨。

选修七Module 1Ⅰ.单词拼写1．When the dog attacked me, I ________ (防护) myself with a stick.2．I must ________ (道歉). I was wrong.3．________ (复杂的) problems are not easy to solve.4．Are they ________ (专业的) workers?5．They have ________(指派) a new headteacher at my daughter's school.6．Jack is an intelligent pupil, but he lacks m________.7．The medicine's effect is i________. Now I feel a lot better.8．Sadly, the e________ village was destroyed.9．As a child he was d________ by his father.10．She is always polite and c________ towards her employees.答案：1.defended 2.apologise plicated4．professional 5.appointed 6.motivation7.instant8.entire9.dominated 10.considerateⅡ.根据句意，用所给单词或短语的适当形式填空1．The effect seems ________.2．The plane ________ about 300 passengers.3．________ at these lectures is not compulsory.4．This family is one of the most ________ cases.5．Mothers ________ worry about their children.6．We set ________ some money for repairs.7．I ________ go to college in my family.8．I can buy a new one ________.9．An article in the newspaper ________ the mind of my children.10．What is the theory ________？答案：1.immediate 2.holds 3.Attendance4．deserving 5.typically 6.aside7.was the second to8.if necessary9.drew my attention to10.based onⅢ.完成句子1．抱怨不是他的本性。

第一篇 第一章 第二节A .笼罩(I o g 属意(zh u) 哈密瓜(h a )闷声不响(m e n)B .尽早(j 1 n)晕车(y U ) 节骨眼(ji e )阿其所好(e) C. 旋风(xu i )搭理(d a) 冠心病(g u i ) 椎心泣血(chu X D. 肚量(d u )泡桐(p a o) 混血儿(h u ) 煽风点火(sh a ) 【答案】B 【解析】A 中“闷”读音应为m en, C 中“冠”读音应为g u an D中“肚”读音应为 4.下列加点的字，读音都不相同的一项是 A .诽谤/傍晚 B. 绯红/扉页C. 省亲仮省 D .偌大/诺言 【答案】DKHQHZY 课后强化作业1 .下列各组词语中加点字的读音完全不相同的一组是 A .角色/矫枉过正 B .枯燥/怙恶不悛 C .否决/否极泰来 D .间距/间不容发 【答案】C【解析】A.读音分别是 ju / /ji ,©ci /q Q hu a n chu ig;B.读音分别是 k u /h ,Ur U r u ch d u/t ;1 C.读音分别是 f o u/p sh /S h , k O n g ga ng2.下列词语中加点的字，每对读音都不沏茶/休戚相关 儒教/相濡以沫 拾掇/拾级而上 数字/数见不鲜 创伤/悲怆欲绝 惆怅/风流倜傥扛枪/力能扛鼎下载/千载难逢 D.读音分别是 ji a n/ji , shn U shu , z i i/z o ai 相同的一组是A .揣度/置之度外 B. 扛旗/力能扛鼎称职/称兄道弟 行当/行云流水 弹劾/言简意赅. 揣摩/惴惴不安模仿/装模作样 绰约/绰绰有余 疏浚/日月如梭.格律/恪守不渝 A A.读音分别是 du c/d U ch e n/ch g, mo/m u; B.读音分别是 k O gga g h og xnq C.读音分别是 x U n/x U , h e /ga, j u n/su; oD.读音分别是 hu /hu / chu a i/zhu , 1g, chu c/chu g (/k e3.下列各组词语中加点的字，注音全都正确的一组是duo供认/供不应求 茁壮/弄巧成拙强制/强词夺理 宁愿/息事宁人模棱两可/装模作样 签订契约/锲而不舍 塞翁失马/闭门塞听 间不容发/挑拨离间【解析】A.读音分别是b d n c/b in g, ge n go ng, mo/m u; B.读音分别是 f e i/f , z hu o /zhu ,q /qi ；C.读音分别是x 1 g, qi Og^qi ag s i s ；D.读音分别是ru e nu e nn g nni g, ji a n/ji。

第八篇 第1章 第一讲一、选择题1．(文)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是 ( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1[答案] D(理)对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是 ( )A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件[答案] B[解析] ∵ ⎭⎬⎫a >b c <0⇒/ ac >bc ，故A 错；若a ＝b ，则ac ＝bc .故B 正确．另外，⎭⎬⎫ac >bc c <0⇒/ a >b ； ⎭⎪⎬⎪⎫ac ＝bc c ＝0⇒/ a ＝b . 2．(文)命题甲：⎝⎛⎭⎫12x 、21－x 、2x 2成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋1)、lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件[答案] B[解析] 甲：⎝⎛⎭⎫12x ·2x 2＝(21－x )2，∴x ＝1或－2， 乙：lg x ＋lg(x ＋3)＝2lg(x ＋1)，∴x ＝1，∴甲⇒/ 乙，而乙⇒甲．(理)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解，∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件； 又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法2：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θ＝0或cos θ＝－12， ∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ， 显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3 A ，故选A. 3．(文)下列判断正确的是 ( )A ．x 2≠y 2⇔x ≠y 或x ≠－yB ．命题：“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”C ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D ．已知a 、b 、c 是实数，关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集，必有a >0且Δ≤0[答案] C[解析] x 2≠y 2⇔x ≠y 且x ≠－y“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”．不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集时，除了a >0，还应讨论a ＝0的情况．故选C. (理)已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.4．(文)若命题p ：x ∈A ∩B ，则┐p ( )A ．x ∈A 且x ∉B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∉A ∪B[答案] B[解析] ∵“x ∈A ∩B ”⇔“x ∈A 且x ∈B ”，∴┐p ：x ∉A 或x ∉B .故选B.(理)对于函数①f (x )＝|x ＋2|，②f (x )＝(x －2)2，③f (x )＝cos(x －2)，判断如下两个命题的真假；命题甲：f (x ＋2)是偶函数；命题乙：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有序号是 ( )A ．①②B ．①③C ．②D ．③[答案] C[解析] ①f (x ＋2)＝|x ＋4|不是偶函数，排除A 、B ；③f (x )＝cos(x －2)不可能在(－∞，2)上单调递减，排除D ，∴选C.5．(文)△ABC 中“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ，∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C >π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B. (理)设p ：x 2－x －20>0，q ：1－x 2|x |－2<0，则p 是q 的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 由x 2－x －20>0得x >5或x <－4.由1－x 2|x |－2<0得：x >2或－1<x <1或x <－2， ∴M p ＝{x |x >5或x <－4}，N q ＝{x |x <－2或－1<x <1或x >2}，显然M p N q ，∴p 是q 的充分不必要条件．[点评] 考查不等式的解法与充要条件的基础知识，准确解出不等式和弄清集合的包含关系与充要条件的联系是解决本题的关键．6．(文)设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是 ( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BCD ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC[答案] C(理)若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是( ) A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ[答案] C[解析] 若m ⊂β，α⊥β，则m 与α的关系可能平行也可能相交，则A 为假命题；选项B 中，α与β可以平行也可能相交，则B 为假命题；选项D 中β与γ也可能平行或相交(不一定垂直)，则D 为假命题．故选C.7．(文)如果x 、y 是实数，那么“xy >0”是“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由xy >0知x 、y 同号，则|x ＋y |＝|x |＋|y |.从而xy >0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y |；反之不一定成立，因为x ＝0，y ≠0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立，但xy >0不成立．所以“xy >0”是“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充分但不必要条件．故选A.(理)已知h >0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足|a －b |<2h ；命题乙为：两个实数a 、b 满足|a －1|<h 且|b －1|<h .那么甲是乙的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵|a －1|<h ，|b －1|<h ，∴|a －b |＝|(a －1)－(b －1)|<|a －1|＋|b －1|<2h .同理若|a －2|<h ，|b －2|<h ，也能得出|a －b |<2h ，∴乙⇒甲，但甲⇒/ 乙，故选B.8．(09·陕西)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 由m >n >0可以得方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．故选C.9．(09·天津)命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是 ( )A ．不存在x 0∈R,2x 0＞0B ．存在x 0∈R,2x 0≥0C ．对任意的x ∈R,2x ≤0D ．对任意的x ∈R,2x ＞0[答案] D[解析] 命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是：“对任意的x ∈R,2x >0”．10．(09·海南、宁夏)有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12p 2：∃x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin yp 3：∀x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中假命题的是 ( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4[答案] A[解析] ∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故p 1为假命题． ∵∀x ∈[0，π]，sin x ≥0， ∴1－cos2x 2＝|sin x |＝sin x ，∴p 3真，故选A. 二、填空题11．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．[答案] [1,2)[解析] x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}，即x ∈[2,5]∪{x |x <1或x >4}，即x ∈{x |x <1或x ≥2}，此命题为假，∴x ∈[1,2)．12．给出命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 且c ≠d ”，则“a ＋c ≠b ＋d ”．对该命题及其逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题的个数为________．[答案] 0[解析] 3≠5,4≠2但3＋4＝5＋2，∴原命题假．逆命题：若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 且c ≠d .也是假命题．如a ＝3，c ＝4，b ＝3，d ＝6满足a ＋c ≠b ＋d ，但a ＝b ，故全为假命题．13．给出以下四个关于圆锥曲线的命题，①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|P A →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点． 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．[答案] ③④[解析] ①表示双曲线的一支；②动点P 的轨迹为圆；③两根x 1＝2，x 2＝12正确；④25＋9＝35－1正确．14．给出下列命题：①∀x ∈R ，x 2≥x ；②∃x ∈R ，x 2≥x ；③4≥3；④“x 2≠1”的充要条件是“x ≠1，或x ≠－1”，其中真命题的序号是________．[答案] ②③三、解答题15．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p ，q ，r 中有且只有一个是真命题，问：肖像在哪一个盒子里？为什么？[解析] 因为r 即非p ，所以r 与p 有且只有一个为真，因为p 、q 、r 有且只有一个真命题，则q 为假命题，则非q 是真命题，即肖像在银盒里．[点评] 本题亦可分类讨论去处理，但没有此解法简便．16．设有两个命题，p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R 等价于∀x ∈R ，ax 2－x ＋a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝1－4a 2<0，解得a >12，即q ：a >12. 由a x >1的解集是{x |x <0}得，p ：0<a <1.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 真q 假或p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1a >12，解得0<a ≤12或a ≥1. 17．已知函数f (x )是R 上的增函数，a 、b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a)＋f(－b)．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解析](1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．用反证法证明：设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∵f(x)是R上的增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，为真命题．由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，又∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，∴原命题真，故逆否命题为真．。

第一篇 第1章 第一讲一、选择题1．(08·全国Ⅱ)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}[答案] B[解析] ∵M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，∴M ∩N ＝{－1,0,1}，故选B.2．(文)已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|>2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，则(∁U A )∩B 等于( )A ．[－1,4)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(－1,4)[答案] C[解析] 解法1：A ＝{x |x >3或x <－1}，B ＝{x |2<x <4}，∁U A ＝{x |－1≤x ≤3}， ∴(∁U A )∩B ＝(2,3]，故选C.解法2：验证排除法，取x ＝0，x ∉B ，故排除A 、D.取x ＝3,3∉A,3∈B .∴3∈(∁U A )∩B .排除B.(理)已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于 ( )A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |x <1}D ．∅[答案] B [解析] M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．3．已知M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |x 2＋y 2＝2}，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)，(－1,1)}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0，2][答案] D [解析] ∵M ＝[0，＋∞)，N ＝[－2，2]，∴M ∩N ＝[0，2]，故选D.[点评] 本题特别易错的地方是将数集误认为点集．4．若A ＝{x ∈Z |2≤22－x <8}，B ＝{x ∈R ||log 2x |>1}，则A ∩(∁R B )的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] A ＝{0,1}，B ＝{x |x >2或0<x <12}， ∴A ∩(∁R B )＝{0,1}．5．P ＝{α|α＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝ ( )A ．{1，－2}B ．{(－13，－23)}C ．{(1，－2)}D ．{(－23，－13)}[答案] B[解析] α＝(m －1,2m ＋1)，β＝(2n ＋1,3n －2)，令α＝β得，⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝2n ＋12m ＋1＝3n －2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝－7∴P ∩Q ＝{(－13，－23)}．6．若A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆AC ．A ≠CD ．A ＝∅[答案] A[解析] 考查集合的基本概念及运算．∵B ∩C ⊆B ⊆A ∪B ，A ∪B ＝B ∩C ⊆B ，∴A ∪B ＝B ，B ∩C ＝B ，∴A ⊆B ，B ⊆C ，∴A ⊆C ，选A.7．(08·天津)设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3<a <－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a <－3或a >－1[答案] A[解析] S ＝{x |x >5或x <－1}， ∵S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1a ＋8>5， ∴－3<a <－1，故选A.8．(09·全国Ⅰ)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个[答案] A[解析] A ∩B ＝{4,7,9}，A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，∁U (A ∩B )＝{3,5,8}，故选A.9．(09·全国Ⅱ)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N )＝ ( )A ．{5,7}B ．{2,4}C ．{2,4,8}D ．{1,3,5,6,7}[答案] C[解析] M ∪N ＝{1,3,5,6,7}，∴∁U (M ∪N )＝{2,4,8}，故选C.10．(09·北京)设D 是正△P 1P 2P 3及其内部的点构成的集合，点P 0是△P 1P 2P 3的中心．若集合S ＝{P |P ∈D ，|PP 0|≤|PP i |，i ＝1,2,3}，则集合S 表示的平面区域是 ( )A ．三角形区域B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域[答案] D[解析] 依题意，由P ∈D 且|PP 0|＝|PP 1|知，点P 的轨迹为线段P 1P 0的垂直平分线A 1A 2.故由|PP 0|≤|PP 1|知点P 在直线A 1A 2上及其含P 0的一侧，由P ∈D ；同理由|PP 0|≤|PP 2|及|PP 0|≤|PP 3|知，S 表示的平面区域为如图所示的六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2及其内部．11．若集合M ＝{y |y ＝3－x }，P ＝{y |y ＝3x －3}，则M ∩P ＝( )A ．{y |0<y ≤13}B ．{y |0≤y ≤13} C ．{y |y >0} D ．{y |y ≥0}[答案] C [解析] M ＝{y |y >0}，P ＝{y |y ≥0}，∴M ∩P ＝{y |y >0}．12．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |y ＝lg(4x－x 2－3)}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <0}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}[答案] C[解析] 由x 2>4得x >2或x <－2，∴M ＝{x |x >2或x <－2}，由4x －x 2－3>0得，1<x <3，∴N ＝{x |1<x <3}；图中阴影部分为N ∩∁U M ＝{x |1<x <3}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |1<x ≤2}，故选C.二、填空题13．若|x －1|<a 的充分条件是|x －1|<b (其中a 、b >0)，则a 、b 之间的大小关系是________．[答案] a ≥b[解析] ∵|x －1|<a 的充分条件是|x －1|<b .∴|x －1|<b 的解集应是|x －1|<a 的解集的子集，∴a ≥b .14．设全集为R ，A ＝{x |x 2－6x ＋5>0}，B ＝{x ||x －3|<a }(a 是实数)，且7∈B ，则A ∪B ＝________.[答案] R[解析] A ＝{x |x 2－6x ＋5>0}＝{x |x >5或x <1}∵7∈B ，∴a >4，∴3－a <0<1，a ＋3>7>5∵B ＝{x |3－a <x <a ＋3}，∴A ∪B ＝R .15．对于两个集合S 1、S 2，我们把一切有序实数对(x ，y )所组成的集合(其中x ∈S 1，y ∈S 2)，叫做S 1和S 2的笛卡尔积，记作S 1×S 2.如果S 1＝{1,2}，S 2＝{－1,0,1}，则S 1×S 2的真子集的个数为________个．[答案] 63[解析] ∵S 1×S 2＝{(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，∴真子集共26－1＝63个．16．对于集合N ＝{1,2,3，…，n }及它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为5.当集合N 中的n ＝2时，集合＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3、n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3、S 4，并根据其结果猜测集合N ＝{1,2,3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ .[答案] S n ＝n ·2n －1[解析] S 1＝1＝1×20，S 2＝4＝2×21，S 3＝12＝3×22，S 4＝32＝4×23，故猜想S n ＝n ·2n －1.17．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意a ∈A ，都有a ～a ；(2)对称性：对于a ，b ∈A ，若a ～b ，则有b ～a ；(3)传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a ～b ，b ～c ，则有a ～c .则称“～”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出两个等价关系：______________________.[答案] (不唯一)如“图形的全等”“非零向量的共线”“命题的充要条件”等．以上答案满足三个条件，学生可仿例再举．三、解答题18．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3<0，B ＝{x |ax 2－x ＋b ≥0}，且A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求a 与b 的值． [解析] 由x ＋1x －3<0得－1<x <3，∴A ＝{x |－1<x <3}，又∵A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ， ∴A 与B 是两个互补的集合，故B ＝∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，由已知，则有ax 2－x ＋b ＝0的两个根为－1,3，∴⎩⎨⎧－1＋3＝1a －1×3＝b a ，∴a ＝12，b ＝－32.。