高中数学第一章典型例题函数y=Asin(ωx+φ)的图象分析素材北师大版必修4

1 函数图象例题分析 ［例1］由图4—14所示函数图象，求y＝Asin（ωx＋φ） （｜φ｜＜π）的表达式. 选题意图：考查数形结合的思想方法. 解：由图象可知A＝2

22,)8(87即T

又（－8，0）为五点作图的第一个点 因此2×（－8）＋φ＝0，∴φ＝4 因此所求函数表达式为y＝2sin(2x＋4) 说明：在求y＝Asin（ωx＋φ）的过程中，A由函数的最值确定，ω由函数的周期确定，φ可通过图象的平移或“五点法”作图的过程确定.

［例2］函数y＝Asin(ωx＋φ）（｜φ｜＜π）的图象如图4—15，求函数的表达式. 选题意图：考查数形结合的思想方法. 解：由函数图象可知A＝1 函数的周期为T＝2［3－（－1）］＝8，即2＝8 ∴ω＝4 又(－1，1)为“五点法”作图的第二个点 即4（－1）＋φ＝2，∴φ＝43 ∴所求函数表达式为y＝sin（4x＋43） 说明：如果利用点(－1，1)，（1，0），（3，－1）在函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象上，得到







1)3sin(0)sin(1)sin(AAA

，则很难确定函数关系式中的A、ω、φ.

图4—14 图4—15 2

［例3］如图4—16，已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(｜φ｜＜2)的图象，那么 A.ω＝1110，φ＝6 B.ω＝1110，φ＝－6 C.ω＝2，φ＝6 D.ω＝2，φ＝－6 选题意图：考查数形结合的思想方法. 解：由(0，1)点在函数的图象上，知2sinφ＝1，又｜φ｜＜2 ∴φ＝6 又(1211，0)是“五点法”作图的第五个点 因此ω·61211＝2π，解得ω＝2. 答案：C 说明：在本题求ω的过程中，若利用(1211，0)在图象上，即sin（1211ω＋6）＝0，则求出ω＝2或ω＝1110，很难判断我们所要选择的答案，因此图象上点的坐标适合关系式一定要慎重使用.

［例4］画出函数)3sin(2xy，Rx的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到此函数的图像． 解：函数)3sin(2xy的周期T=2，先画出它在长度为2的闭区间上的简图． 列表 X 3



65 34 611 37

3x 0 2  23 2



3sin2x 0 2 0 －2 0

描点画图：描点，连接，根据这五个关键点画出函数3sin2x．37,3x的简图（图4-37） 3

利用函数的周期性，可以把得到的在闭区间37,3上的简图向左，右分别扩展，从而得到函数：3sin2xy．xR的简图． 函数xxy,3sin2R的图像可以由正弦曲线经过如下的变换得到： （1）先把xysin的图像上所有的点向右平行移动3个单位，得到3sinxy的图像；再把3sinxy的图像上的所有的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到3sin2xy的图像． （2）先把函数xysin的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数xysin2的图像；再把xysin2的图像上所有的点向右平行移动3个单位，

得到3sin2xy的图像．

评析：比较函数3sin2xy的图像和xysin2图像，容易发现，对于xysin

的图像上每一点ooyx,，在3sin2xy的图像上总存在唯一一点ooyx23，和它对应，因此3sin2xy，xR的图像．可以看作是先把正弦曲线上所有的点向右平行移动3个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到；也可以看作是先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）再把所得 4

各点向右平行移动3个单位长度而得到．变换的次序可以改变． 一般有，函数xAysin．xR，)0,1,0(AA的图像，可以看作是用下面的两种方法得到的： （1）先把正弦曲线上所有的点向左（当0时）时或向右（当0时）平行移动

个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当10A）到原来的A倍（横坐标不变） （2）先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当10A）到原来的A倍（横坐标不变），再把所得各点向左（（当0）时）或向右（当0时）平行移动个单位长度．

［例5］画出函数xxy,62sinR的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到该函数的图像． 解：函数62sinxy的周期T，先画出它在长度为的闭区间上的简图． 列表： X 12 6 12

5

32

1211

62x 0 2  23 2



62sinx 0 1 0 －1 0

描点画图：描点、连接，根据五个关键点画出函数1211,12,62sinxxy的简图，如图4-38所示． 5

利用函数的周期性，把它在1211,12上的简图向左、右分别扩展，就得到函数xxy,62sinR的简图．

函数xxy,62sinR的图像可以由正弦曲线经过下面的两种方式的变换得到： （1）先把xysin图像上所有的点向左平行移动6个单位长度，得到



6sinxy

的图像；再把6sinxy的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到62sinxy的图像． （2）先把xysin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到xy2sin的图像；再把xy2sin的图像上所有的点向左平行移动12个单位长度，得到

siny



62x的图像．

评析：比较函数62sinxy的图像与xysin的图像，不难看出，对于xysin

的图像上每一点ooyx,，在62sinxy的图像上总存在唯一一点ooyx,122和它对应，因此62sinxy的图像，可以看作是先把正弦曲线上所有的点向左平行移动6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）而得到的；也可

以看作是先把正弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）再把所得各点 6

向左平行移动12个单位而得到的．（变换次序可以改变）． 注意：在由xy2sin的图像变换成62sinxy的图像时，因为



12262xx中的12x与2x中的x相对应，所以平移的是12个单位，而不是

6



个单位．（这里是学生经常出现错误的地方，必须设法避免）． 一般地，函数xxy(,sinR)0,1,0,的图像，可以看作是用下面两种方法得到的： （1）先把正弦曲线上所有的点向左（当0时）或向右（当0时）平行移动

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当1时）或伸长（当1o时）到原来的1倍（纵坐标不变）． （2）先把正弦曲线上所有的点的横坐标缩短（当1时）或伸长（当10时）到原来的1倍（纵坐标不变），再把所得各点向左（当1时）或向右（当1时）平

行移动个单位长度． 说明：讲例2和例3两题的目的有二：一是把本节课的知识引伸，二是为下节课作好准备，这样处理教学内容虽然本节课的难点增加了，难度加大了，但下一节课的难点分散了，难度降低了，实践证明这样做可以收到较好的教学效果，便于学生理解和掌握．

［例6］将余弦曲线xycos上每一点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的51倍，再将所得图像向右平移8个单位，所得函数图像的一个解析式为___________________． 解一：先把xycos的图像上所有的点的纵坐标缩短到原来的51倍（横坐标不变），得到xycos51的图像；再把xycos51的图像上所有的点向右平移8个单位，得到

8cos51xy的图像．所求的解析式为

8cos51xy．

解二：先把xycos的图像上的所有的点向右平移8个单位，得到8cosxy的