天津市南开中学2022-2023学年高三上学期数学统练试卷(含答案)

南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}42. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）AB. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin xy x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）A. 0B.152C. 2D. 36. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b<< B. a b c << C. b a c << D. c a b<<7.π2cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）..A. 19-B.19C.13D.898. 将函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x =，有下列命题：①函数()g x 的图象关于直线πx =对称 ②函数()g x 图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 174⎡⎢⎣C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．的的13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.20. 已知函数()11lnx aF x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x，证明：21a a x x e e -<-<-.的南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】B 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2230x x -->，即()()130x x +->，解得3x >或1x <-，所以{}2|230{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，所以{}|13A x x =-≤≤R ð，又{}1,2,3,4B =，所以(){}1,2,3A B ⋂=R ð.故选：B2. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解：因为sin 0x =，根据三角函数的基本关系式，可得cos 1x ==±，反之：若cos 1x =，根据三角函数的基本关系式，可得sin 0x ==，所以“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件.故选：C.3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是奇函数，排除B ，再取特殊值验证.【详解】因为()()||sin 2||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-所以()f x 是奇函数，排除B ，由02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除A ，由44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，排除D ．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin x y x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A 选项：()()2f x f x -==，不是奇函数，故A 选项错误；B 选项：()()()sin sin sin x x xf x f x x x x---====--，不是奇函数，故B 选项错误；C 选项：因为()f x 的定义域为R ，且()()))()22lg 2lg2lg 414lg10f x f x x x x x -+=++=+-==，∴()f x 是奇函数．设2t x ==因为t =()0,∞+上单调递减，lg y t =在()0,∞+上单调递增，由复合函数单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递减，故C 选项正确；D 选项：()11e 2e x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为1e e ,xxy y ==-在()0,∞+上都单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 选项错误，故选：C ．5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）A. 0B.152C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；【详解】0ln 222423151.1e log 1lg10ln e log 812012log 222+-+++=+-+++=.故选：B6. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】化简得13c =，构造函数()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，通过导数可证得sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，可得a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，从而可得答案．【详解】2711lg 912lg 31log 922lg 2723lg 33c ==⨯=⨯=.设()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则有()cos 10f x x '=-<，()f x 单调递减，从而()(0)0f x f <=，所以sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，故11sin 33<，即a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，故有a c b <<．故选：A ．7.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.19- B.19C.13D.89【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，12sin cos23ααα⎫+-=⎪⎪⎭，1π2cos sin263ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭.πππsin2cos2626αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos2cosπ233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos22sin136αα⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.故选：A8. 将函数()π3sin26f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x=，有下列命题：①函数()g x的图象关于直线πx=对称②函数()g x的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2666y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于①，当πx =时，()π3π3sin 2π62g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不是函数()y g x =的最值，故①错误；对于②，当π12x =时，πππ3sin 2012126g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；对于③，当π5π,2424x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，令(ππ2πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 23k x k =+∈，当0,1,2,3k =时，π5π4π11π,,,3636x =，在[]0,2π上有4个极值点，故④错误．故选：B.9. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. 172144⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】分段函数分段处理，在1x >，01x <<各有1个零点，所以π0x -≤≤有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证π0x -≤≤之间有5个零点即可.【详解】由题，当1x ≥时，()ln 2f x x x =+-，显然()f x 在()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，()22ln 220f =+->，此时()f x 在()1,+∞在有一个零点；当01x <<时，()ln 2f x x x =--，1()10f x x'=-<，所以()f x 在()0,1上单调递减，2211()220e ef =+->，此时()f x 在()0,1上只有一个零点；所有当π0x -≤≤时，()π1sin 42f x x ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭=有5个零点，令()0f x =，则π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π46x k ω+=+，或π5π2π46x k ω+=+，k ∈Z ，解得π2π12k x ω-+=，或7π2π12k x ω-+=，k ∈Z ，当0k =时，12π7π1212,x x ωω--==；当1k =时，34π7π2π2π1212,x x ωω----==；当2k =时，56π7π4π4π1212,x x ωω----==；由题可得π0x -≤≤区间内的5个零点，即π4π12π7π4π12πωω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩，解得54912126ω≤<，即49651212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.故选：C.【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．【答案】18i 55--【解析】分析】运用复数运算法则计算即可.【【详解】2232i (32i)(12i)36i 2i 4i 38i 418i 12i (12i)(12i)14i 1455-----+--====--++--+.故答案为：18i 55--.11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.【详解】521x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()51552215521C C 1rrrr r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-，521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故答案为：-512. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．【解析】【分析】根据函数()f x 的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.【详解】由函数()f x 的图象可知，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2π=πT ω=，2ω=.把5π12x =代入()f x ，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，而ππ22ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以ππππ=2sin 22sin 3333f ⎛⎫⎛⎫⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．【答案】27【解析】【分析】根据已知可得30ECA ∠= ，在EAC 中由正弦定理可得AC ，再利用t ABC R 中计算可得答案.【详解】由图可得3609012012030∠=---= ECA ，在EAC sin 30= EA，即sin 452sin 30===EA AC ，在t ABC R 中，60CAB ∠= ，可得sin 6027=⨯== BC AC 米.故答案为：27.14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.【答案】1410⎛ ⎝【解析】【分析】写出()f x 的解析式并画出()f x 的图象，结合已知条件将问题转化为()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当[0,2)x ∈，()16(1|1|)f x x =--，当2n =时，[2,6)x ∈，此时1[0,2)2x -∈，则11()(1)16(1|2|)8(1|2|)22222x x xf x f =-=⨯--=--，当3n =时，[6,14)x ∈，此时1[2,6)2x -∈，则1155()(1)8(1||)4(1||)2224242x x x f x f =-=⨯--=--，当4n =时，[14,30)x ∈，此时1[6,14)2x-∈，则111111()(1)4(1||)2(1||)2228484x x x f x f =-=⨯--=--，……因为()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，所以()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，如图所示，由图可知，当log a y x =经过点(10,4)A 时，两函数图象有4个交点，经过点(22,2)B 时，两函数图象有6个交点，所以当()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点时，则1log 104log 222a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得1410a <<.故答案为：1410（.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出()f x 的图象，进而可得(,)()t M a b f t ≥，结合已知条件可知只需()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，由()(2)f t f t =+可得ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，联立两者进而可求得结果.【详解】设()ln g x x ax b =++，（0a >），定义域为(0,)+∞，由单调性性质可知，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，设0()0g x =，则()g x 的图象如图所示，所以()f x 的图象如图所示，则由图象可知，{}max (),()(2)()(,)max (),(2)(2),()(2)t f t f t f t f x M a b f t f t f t f t f t ≥+⎧==+=⎨+<+⎩，所以(,)()t M a b f t ≥，如图所示，当()(2)f t f t =+时，有(ln )ln(2)(2)t at b t a t b -++=++++，则ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，①又因为{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，所以()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，所以ln ln 3b t at a ≤----，②由①②得ln(2)ln 2(1)ln ln 32t t a t t at a ++++≤-----，整理得ln(2)ln 2ln 3ln 9t t t +≥+=，即29t t +≥，所以14t ≤.故t 的最大值为14.故答案为：14【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)()a f x ≥恒成立⇔max ()a f x ≥；()a f x ≤恒成立⇔min ()a f x ≤；()a f x ≥能成立⇔min ()a f x ≥；()a f x ≤能成立⇔max ()a f x ≤.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）πT =，()5ππ122k x k =+∈Z （2）min 1y =，max 2y =.【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由x 的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】()()2πcos 2sin πcos 2f x x x x ⎤⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎥⎝⎭⎦)22sin cos 1cos2sin2x x x x x =+⋅=-+sin22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故周期为2ππ2T ==，令2π,32x k k ππ-=+∈Z ，解得()5ππ122k x k =+∈Z ，对称轴方程()5ππ122k x k =+∈Z ，【小问2详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ππ42x ≤≤，∴ππ2π2,363t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当π6t =时，即π4x =时，()min π1sin sin 62t ==，此时min 1y =，当π2t =时，即5π12x =时，()max πsin sin 12t ==，此时max 2y =.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据2C π≠，所以cos 0C ≠或2222a b c b+-≠，化简即可得出1cos 2B =，即可得出答案；（1）根据余弦定理结合第一问得出的角B 的大小得出222a c b ac +-=，结合已知223125b c ac +=-，得出224412a ac c ++=，根据基本不等式得出22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅即32ac ≤，即可由三角形面积公式得出答案；或将224412a ac c ++=化简为2(2)12a c +=，由三角形面积公式结合基本不等式得出ABC 的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，即可得出答案.【小问1详解】方法一：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据正弦定理边化角得：sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，即()sin sin cos 2sin cos cos A C C A A B C +-=，所以sin cos 2sin cos cos A C A B C =，因为2C π≠，所以cos 0C ≠，又sin 0A >，所以1cos 2B =，又0πB <<，所以3B π=.方法二：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据余弦定理：得2222222cos 22b c a a b c b c a B bc ab+-+--=⋅，即2222222cos 22b c a a b c B b b -++-=⋅，因为2C π≠，所以22202a b c b+-≠，所以1cos 2B =，又0πB <<，得3B π=.小问2详解】方法一：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=，因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，因为0,0a c >>，所以22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅，所以32ac ≤，当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC的面积1sin 2S ac B ==≤，所以ABC方法二：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=.因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，即2(2)12a c +=，所以ABC的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，【当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面PBD 的一个法向量，再由向量法求解；（3）求出平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，再由向量法求解.【小问1详解】解：以点A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ，向量()0,1,1BE = ，()1,0,0AB =，故0BE AB ⋅= ，又AB为平面PAD 的一个法向量，又BE ⊄面PAD ，所以//BE 平面PAD .【小问2详解】向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =- ，()0,1,1BE = 设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以cos ,n BE n BE n BE⋅===⋅所以直线BE 与平面PBD【小问3详解】向量()1,2,0BC = ，设平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，220n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x y x z +=⎧⎨-=⎩，令11y =-，得()22,1,1n =- 为平面PBC 的一个法向量，则22BD n d n ⋅===.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为..（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.【答案】（1）22142x y += （2）【解析】【分析】（1）根据题意得出,a b 的值，进而可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，将其与椭圆方程联立，得出EM 斜率，联立方程组得出M 点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k 的方程，解出即可得结果.小问1详解】由题意可得2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，b =，c =∴椭圆C 的方程为22142x y +=.【小问2详解】易知椭圆左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()0,2E k ，()0,2H k -，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2222128840k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，∴()()422644841216k k k ∆=--+=，【则有2122812k x x k +=-+，21228412k x x k-=+，∴()2012214212k x x x k =+=-+，()0022212=+=+k y k x k ，∴0012OP y k x k ==-，∴直线EM 的斜率2EM k k =，∴直线EM 的方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离d =，∴AB ==∴1||2AP AB ==∴241132212APM k S AP d k =⋅=⨯==+△，解得k =.20. 已知函数()11lnx a F x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x ，证明：21a a x x e e -<-<-.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2a ≤；（Ⅲ）证明见解析.【解析】分析】（Ⅰ）当2a =时对()h x 求导，证明1x >时，()0h x '>即可.（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，根据函数的单调性判断ln x 与()11a x x -+的关系，根据()0F x >恒成立，确定a 的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出2121a a t t x x e e --<-<-，得到【21t t -==，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）()()ln 111x a h x x x x ⎛⎫=--⎪-+⎝⎭当2a =时，()()()21ln 21ln 111x x h x x x x x x -⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭()()()()()()()()2222221211111114x x x x h x x x x x x x x +---+-'=-==+++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上为单调递增函数，因为()10h =，所以()()10h x h >=，（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，则()()()222111x a x f x x x +-+'=+，令()()2211g x x a x =+-+，当1a ≤时，当0x >时，()0g x >，当12a <≤时，2480a a ∆=-≤，得()0g x ≥，所以当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数，且()10f =，所以有()101f x x >-，可得()0F x >．当2a >时，有2480a a ∆=->，此时()g x 有两个零点，设为12,t t ，且12t t <.又因为()12210t t a +=->，121t t =，所以1201t t <<<，在()21,t 上，()f x 为单调递减函数，所以此时有()0f x <，即()1ln 1a x x x -<+，得ln 011x a x x -<-+，此时()0F x >不恒成立，综上2a ≤．（Ⅲ）若()F x 有两个不同的零点12, x x ，不妨设12x x <，则12, x x 为()()1ln 1a x f x x x -=-+的两个零点，且11x ≠，21x ≠，由（Ⅱ）知此时2a >，并且()f x 在()10,t ，()2,t +∞为单调递增函数，在()12,t t 上为单调递减函数，且()10f =，所以()10f t >，()20f t <，因为()201a a a f e e -=-<+，()201aa a f e e =>+，1a a e e -<<，且()f x 图象连续不断，所以()11,a x e t -∈，()22,a x t e∈，所以2121a a t t x x e e--<-<-，因为21t t -==综上得:21||a a x x e e -<-<-.【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.。

高三数学学科第一次月考考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上，答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效，考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（共45分）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,0M x x N x x =-<≤=<，则()R M N ⋂=ð（）A.{}2x x >-B.{}2x x ≥-C.{}1x x ≤ D.{}01x x ≤≤【答案】D 【解析】【分析】根据补集的运算求出R N ð，再由交集的运算可得答案.【详解】{}{}21,0M x x N x x =-<≤=<，则{}R 0N x x =≥ð，所以(){}R 01M N x x ⋂=≤≤ð.故选：D .2.“()sin 2024π0α->”是“α为第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.【详解】易知()sin 2024πsin αα-=，所以()sin 2024π0sin 0αα->⇒>⇒α为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，显然不满足充分性，满足必要性.故选：B 3.函数()1cos ex x xf x -=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】求出=为奇函数，排除CD ；由()π1ππ0e f --=<排除B ，得到答案.【详解】()1cos ex x xf x -=定义域为R ，()()()11cos cos eex x x x x x f x f x -------===-，函数=为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ；又()π1ππ0ef --=<，排除B .故选：A4.5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y （千只）0.50.81.01.21.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为4ˆ0.2ay x =+，则下列说法不正确的是（）A.当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.24个单位B.线性回归方程4ˆ0.2ay x =+中ˆ0.26a =C.由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <D.可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）【答案】B 【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断C 选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B 选项；根据回归方程判断AD 选项.【详解】根据线性回归方程ˆ0.240.28yx =+可得x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.24个单位，故A 正确.由已知数据得()11234535x =++++=，()10.50.8 1.0 1.2 1.515y =++++=，代入ˆˆ0.24yx a =+中得到ˆ130.240.28a =-⨯=，故B 错误；从数据看y 随x 的增加而增加，故变量y 与x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r <，故C 正确；将6x =代入ˆ0.240.28yx =+中得到ˆ0.2460.28 1.72y =⨯+=，故D 正确.故选：B.5.96494log 32log 27log 2log ⋅+⋅=（）A.94B.2C.138D.2924【答案】C 【解析】【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.【详解】96494log 32log 27log 2log ⋅+⋅lg 32lg 27lg 2lg 27lg 9lg 64lg 9lg 4=⨯+⨯35322622lg 2lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 2=⨯+⨯3lg 35lg 23lg 3lg 222lg 36lg 22lg 32lg 2=⨯+⨯5313488=+=.故选：C6.设13260.5,log 3,log 11a b c ===，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<c a b【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“32”即可比较大小.【详解】1030.50.51a =<=，222113log 3log 9log 8222b ==>=，66631log 6log 11log 2c =<=<.综上，a c b <<．故选：B .7.已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（）A.直线7π6x =是函数()f x 图象的对称轴B.()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有两个极值点C.()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.函数()f x 的图象可由cos2y x =向左平移π6个单位长度得到【答案】C 【解析】【分析】利用整体代入法判断A ，利用整体换元法判断B ，利用三角函数的单调性判断C ，利用三角函数平移的性质判断D 即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2πsin 203ϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，可得()4ππ3k k ϕ+=∈Z ，结合0πϕ<<，得23ϕπ=，所以()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于A ，7π7π2πsin 2sin3π0663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线7π6x =不是函数()f x 图象的对称轴，故A 不正确；对于B ，当11,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上只有一个极值点，故B 不正确；对于C ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；对于D ，cos2y x =左移π6个单位长度后得到πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：C ．8.已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭C.5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D.5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()g x 的解析式，再根据题意得到()232h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，分类讨论即可求解．【详解】由题意可得()()22f x g x ax x -+-=-+，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()22f x g x ax x -+=-+，联立()()()()2222f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()22g x ax =+，又因为对于任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，所以()()121255g x g x x x -<-+，即()()112255g x x g x x +<+成立，构造()()2552h x g x x ax x =+=++，所以由上述过程可得()252h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，若0a <，则对称轴0522x a =-≥，解得5<04a -≤；若0a =，则()52h x x =+在()1,2x ∈单调递增，满足题意；若>0，则对称轴0512x a=-≤恒成立；综上，5,4a ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭．故选：B9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的0x >，()()220f x f x ++=恒成立，当[]0,2x ∈时()sin 2xf x π=．若对任意[](),0x m m m ∈->，都有()12f x -≤，则m 的最大值是（）A.73B.103C.4D.133【答案】B 【解析】【分析】先分析∈0,2、(]2,4x ∈、(]4,6x ∈时()f x 解析式以及值域，然后作出()f x 的图象，结合图象确定出符合条件的x 的范围，再根据[],m m -与所求x 的取值范围的关系求解出m 的最大值.【详解】当∈0,2时，()sin2xf x π=，此时()[]0,1f x ∈当(]2,4x ∈时，()()()2222sin2x f x f x π-=--=-，此时()[]2,0f x ∈-当(]4,6x ∈时，()()()()422444sin2x f x f x f x π-=--=-=，此时()[]0,4f x ∈，结合()f x 为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出(),2,2y f x y y ===-的图象如下图所示：由图象可知，若要()2f x ≤恒成立，只需要分析[]6,6x ∈-内的图象即可，因为图象的对称性，不妨考虑[]0,6x ∈时()2f x =的情况，当()2f x =-时，()(]22sin2,2,42x x π--=-∈，所以3x =，当()2f x =时，()(]44sin2,4,62x x π-=∈，所以133x =或173x =，结合图象，若()12f x -≤成立，则有1313133x -≤-≤，所以101633x -≤≤，又因为若对任意[](),0x m m m ∈->，都有()12f x -≤，则有[]1016,,33m m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，所以1031630m m m ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩，所以1003m <≤，所以m 的最大值为103，故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.第Ⅱ卷（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.复数12i3i z -=+的模为__________．【答案】22【详解】【解析】【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.()()()()12i 3i 12i 17i 2,3i 3i 3i 102z z ----===∴=++-．11.122x ⎛- ⎝的展开式中常数项为__________.【答案】1760-【解析】【分析】写出其展开式的通项，然后令指数部分为0，求解即可.【详解】122x ⎛- ⎝的二项展开式的通项为()()4121212311212C 2·12C rrr r r r r r T x x ---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令41203r-=，得9r =，其展开式的常数项为9129931212(1)2C 8C 1760--⋅⋅=-=-.故答案为：1760-12.已知函数()()22log 15f x x ax =-++在14,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为________.【答案】[)8,∞+【解析】【分析】根据对数函数性质分析可知：()215g x x ax =-++在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且>0，结合二次函数列式求解即可.【详解】因为2log y x =在定义域0,+∞内单调递增，由题意可得：()215g x x ax =-++在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且>0，则2≥4=23916+14>0，解得8a ≥，所以实数a 的取值范围为[)8,∞+.故答案为：[)8,∞+.13.某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为__________；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为__________.【答案】①.58##0.625②.0.66##3350【解析】【分析】计算出至少有一人是一级射手的情况有几种，再求出选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况的种数，根据条件概率的计算公式即得答案；求出任选一名射手，分别是一、二、三级射手的概率，根据全概率公式即可求得任选一名射手能够获胜的概率.【详解】由题意得至少有一人是一级射手的情况共有211337C C C 24+=种，选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况1135C C 15=种，故选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为155248=；任选一名射手，分别是一、二、三级射手概率分别为311,,1052，而一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为3110.90.70.50.661052⨯+⨯+⨯=，故答案为：58，0.6614.若5sin 25α=，()10sin 10βα-=，且π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是______．【答案】7π4【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系式，解出相关角的三角函数值，继而求得αβ+的余弦值，结合角的范围即可求解.【详解】因为π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且5sin 205α=>，所以π2,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则25cos 25α==-，且ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5π,24βα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又()10sin 10βα-=，所以π,π2βα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10βα-==-，所以()()cos cos 2αββαα⎡⎤+=-+⎣⎦()()cos cos 2sin sin 2βααβαα=---105105⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2=，又5π,2π4αβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以7π4αβ+=.故答案为:7π4.15.若()221f x x ax ax =---+有四个零点，则实数a 的取值范围为______【答案】(),-∞⋃+∞【解析】【分析】令2()||g x x ax =-，()|2|1h x ax =--，将函数()f x 零点问题转化为函数()g x 与()h x 的图象交点问题，分类讨论0,0,0a a a =><时，函数()g x 与()h x 图象的交点个数，即可求解.【详解】由()0f x =，得2|||2|10x ax ax ---+=，即2|||2|1x ax ax -=--，令2()||g x x ax =-，()|2|1h x ax =--，则函数()f x 有四个零点等价于函数()g x 与()h x 的图象有四个交点，若0a =，则2()1f x x =-，由()0f x =，解得1x =±，仅有两个零点，不满足题意；若0a >，由()0g x =，解得0x =或x a =，由()0h x =，解得1x a=或3x a =，当102030a a a a a a⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即a >如图①所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 有两个交点；同理，在[,)a +∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有四个交点，函数()f x 有四个零点，满足题意；当10203a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，即a <≤如图②所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 有一个交点；同理，在[,)a +∞上，没有交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当1023a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，即1a <≤如图③所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 有一个交点；同理，在[,)a +∞上，没有交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当123aa a aa a ⎧≥⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，即01a <≤时，当(0,)x a ∈时，2|||2|10x ax ax ---+=可化为2()(2)10x ax ax --+-+=，即2210x ax -+=，因为判别式2440a ∆=-<，所以2210x ax -+=无解所以函数()g x 与()h x 的图象在(0,)a 上没有交点，如图④所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 没有交点；同理，在[,)a +∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；若0a <，当102030a a a a a a⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即a <如图⑤所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 有两个交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有四个交点，函数()f x 有四个零点，满足题意；当10203a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪≤⎪⎩，即a ≤<如图⑥所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故没有交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 有且仅有一个交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当1023a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，即1a ≤<-时，如图⑦所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故没有交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 有且仅有一个交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当123aa a aa a ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，即10a -≤<时，当(,0)x a ∈时，2|||2|10x ax ax ---+=可化为2()(2)10x ax ax --+-+=，即2210x ax -+=，因为判别式2440a ∆=-<，即2210x ax -+=无解所以函数()g x 与()h x 的图象在(,0)a 上没有交点，如图⑧所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 没有交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；综上所述，实数a的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故答案为：(,)-∞⋃+∞.16.设0a >且1a ≠，函数()()()()()log 1,log 2a a f x x g x x t t 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点问题，关键在于将零点问题转化为直线与曲线的交点问题，应用数形结合、分类讨论思想判断交点个数.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.=-=+∈R .（1）当1t =时，求不等式()()2f x g x ≤的解集；（2）若函数()()222f x h x a tx t =+++在区间(]1,3上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）24311t -<≤-【解析】【分析】（1）化简不等式()()2f x g x ≤为()()2log 1log 21a a x x -≤+，按照01a <<和1a >分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可；（2）将零点问题转化为2121x t x +=-+有解，设(]12,4m x =+∈，则132m t m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，利用函数32y m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的单调性求解参数范围即可.【小问1详解】当1t =时，不等式()()2f x g x ≤可化为()()2log 1log 21a a x x -≤+，若01a <<，则()210210121x x x x ⎧->⎪⎪+>⎨⎪-≥+⎪⎩，解得4x ≥，所以不等式()()2f x g x ≤的解集为[)4,+∞；若1a >，则()210210121x x x x ⎧->⎪⎪+>⎨⎪-≤+⎪⎩，解得14x <≤，所以不等式()()2f x g x ≤的解集为(]1,4；综上所述，当01a <<时，不等式()()2f x g x ≤的解集为[)4,+∞；当1a >时，不等式()()2f x g x ≤的解集为(]1,4；【小问2详解】由题意可知()()log 1222221a x h x a tx t tx x t -=+++=+++，令2210tx x t +++=，即()()221t x x +=-+，因为(]1,3x ∈，所以(]12,4x +∈，所以20,20t x ≠+≠，所以2121x t x +=-+，设(]12,4m x =+∈，则()212132m m t m m -+⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，因为函数32y m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在(]2,4上单调递减，所以111342t -≤<-，所以24311t -<≤-.17.已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=-，且π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求cos2α的值．【答案】（1）π4π2π+,2π+,33k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z （2）43310+【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数()f x 的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得()g x 解析式，得π3sin 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据整体角范围求余弦值，再由ππ2266αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππsin cos cos sin cos cos sin sin cos 6633x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭11sin cos cos cos 2222x x x x x =+-++πcos 2sin6x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z 即π4π2π+,2π+,33x k k k ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦Z 时，函数单调递减，所以函数()f x 的单调递减区间为π4π2π+,2π+,33k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），则得到函数π(2)2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，所以πππ()2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.若()65g α=-，则π6()2sin 265g αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，π3sin 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得ππ2π2,623α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又πsin 206α⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以ππ2,062α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4331433525210+⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭.故cos2α的值为310+.18.如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90,ADC BAD F ∠=∠=︒为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）求平面ABCD 与平面BCP 的夹角的余弦值；（3）求点F 到平面BCP 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2；（3）14.【解析】【分析】（1）设CP DE G = ，由三角形中位线性质可得//AC FG ，由线面平行判定推理即可.（2）以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面BCP 的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果.（3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果.【小问1详解】令CP DE G = ，连接FG ，由四边形PDCE 为矩形，得G 为PC 中点，又F 为PA 中点，则//AC FG ，又FG ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以//AC 平面DEF .【小问2详解】由PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90ADC ∠=︒，得直线,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，直线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,0),(1,1,0),B C P，(1,1,0),(0,BC CP =-=- ，设平面BCP 的法向量(,,)n x y z =，则020BC n x y CP n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，得n = ，由z 轴⊥平面ABCD ，得平面ABCD 的法向量(0,0,1)m = ，则|||cos ,|2||||m n m n m n ⋅〈〉== ，所以平面ABCD 与平面BCP 的夹角的余弦值为22.【小问3详解】由（2）知：12(,0,22F ，则12(,0,22PF =- ，而平面BCP的法向量n = ，所以点F 到平面BCP 的距离1||1224||PF n d n ⋅=== .19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，上､下顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F的面积为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：(0)y kx m m =+>与椭圆C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于原点的对称点分别为M ，N ，若22OP OQ +是一个与m 无关的常数，则当四边形PQMN 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的性质及已知条件可得a ，b ，c 的关系，从而可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）直线l 方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出|OP |2+|OQ |2，由|OP |2+|OQ |2是一个与m 无关的常数，可求出k 的值，表示出四边形PQMN 面积，求出当四边形PQMN 面积最大时m 的值，即可求解直线l 的方程．【小问1详解】12c e a ==，112212222A F A F S c b bc =⋅⋅==四边形bc =因为a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，b =，c ＝1，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】如图，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），()()22222222221122112233||3344OP OQ x y x y x x x x +=+++=+-++-()(2221212121166[)244x x x x x x ⎤=++=++-⎦，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，Δ＝（8km ）2﹣4（4m 2﹣12）（3+4k 2）＞0，即m 2＜3+4k 2，所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+.，22222218824||6[)43434km m OP OQ k k ⎛⎤--+=+- ⎥++⎝⎦22222213224967264(34)k m m k k -++=+⋅+，因为|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，所以32k2﹣24＝0，23 4k=，32k=±，124 3 kmx x-+=，212263mx x-=，PQ=点O到直线l的距离Od=，所以12POQ OS PQ d===≤=，=，即m2＝3，因为m＞0，所以m=因为S四边形MNPQ＝4S△POQ，所以S四边形MNPQ最大，所以2l y x=+：2y x=-+．20.已知函数()()sin ln1f x a x x=-+.（1）当2a=时，求曲线()y f x=在0x=处的切线方程；（2）若对(]1,0x∀∈-时，()0f x≥，求正实数a的最大值；（3）若函数()()1e sinxg x f x a x+=+-的最小值为m，试判断方程()1e ln10x m x+--+=实数根的个数，并说明理由.点问题，分析()f x的单调性，确定使得()0【答案】（1）y=x（2）1（3）1个实数根，理由见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求解即可；（2）两次求导后，分0<a≤1和a>1两种情况，结合隐零f x≥对(]1,0x∀∈-恒成立时正实数a的值即可；（3）先结合隐零点问题的处理方法，求得m的取值范围，再将原问题转化为求方程()1e e ln10x m x+-+=的实数根的个数，然后构造函数()1()e e ln1x mH x x+=-+，并再次运用隐零点证明()H x有唯一零点，进而得解.【小问1详解】当2a =时，()()2sin ln 1f x x x =-+，1()2cos 1f x x x '=-+，所以(0)0f =，(0)1f '=，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y x=【小问2详解】由题意知，1()cos 1f x a x x '=-+，令1()cos 1h x a x x =-+，所以()21()sin 1h x a x x '=-++，因为(]1,0x ∈-，所以sin 0x <，而a 为正实数，所以()21()sin 01h x a x x '=-+>+在(]1,0x ∈-上恒成立，所以函数()()f x h x '=在区间(]1,0-上单调递增，且(0)1f a '=-，①当01a <≤时，()(0)0f x f ''≤≤在区间(]1,0-上恒成立，所以函数()f x 在(]1,0-上单调递减，此时()(0)0f x f ≥=，符合题意；②当1a >时，(0)10f a =->'，11(1)cos(1)0f a a a a a a '-=--<-=，由零点存在定理知，011,0x a ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，所以函数()f x 在0(1,)x -上单调递减，在0(,0)x 上单调递增，则当0(,0)x x ∈时，有()(0)0f x f <=，不符合题意，综上，正实数a 的最大值为1【小问3详解】方程()1e ln 10x m x +--+=实数根有且只有一个，理由如下：()()11e sin e ln(1)x x g x f x a x x ++=+-=-+()1x >-，所以()11e 1x g x x +'=-+，令()11e 1x G x x+=-+，则()()121e 01x G x x +'=+>+在(1,)-+∞上恒成立，所以()()g x G x '=在(1,)-+∞上单调递增，因为(0)e 10g '=->，1()202g '-=-<，所以11(,0)2x ∃∈-，使得1()0g x '=，即1111e 1x x +=+，两边同时取对数得，11111ln ln(1)1x x x +==-++，而()g x 在()11,x -上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，所以111111min ()()n 1e l (1)11x m g x g x x x x +-+=++==+=，令11t x =+，则1(,1)2t ∈，所以1m t t=+，在1(,1)2t ∈上单调递减，所以522m <<因为()()11e ln 1e e e ln 10x m m x m x x +--+⎡⎤-+=-+=⎣⎦，且e 0m -≠，所以方程()1e ln 10x m x +--+=的实数根等价于()1e e ln 10x m x +-+=的实数根，设()1()e e ln 1x m H x x +=-+，其中522m <<，则1e ()e 1m x H x x+'=-+，令1e ()e 1m x t x x+=-+，则()12e ()e 01m x t x x +'=+>+在(1,)-+∞上恒成立，所以()()H x t x '=在(1,)-+∞上单调递增，又(0)e e 0mH '=-<，e (1)(1)0m m H m m -'-=>，所以2(0,1)x m ∃∈-，使得2()0H x '=，即212e e 1m x x +=+，两边取对数得，221ln(1)x m x +=-+，即221ln(1)m x x =+++，又1111ln 1x x +=+，且11111m x x =+++，所以1111ln 11m x x +=++，设()ln m x x x =+，则1()10m x x '=+>在(0,)+∞上恒成立，所以函数()m x 在(0,)+∞上单调递增，所以21111x x +=+，且()2111ln 1ln 11x x x +==++，因为函数()H x 在2(1,)x -上单调递减，在2()x +∞上单调递增，所以()()()21min 2222221()()e e ln 1e ln 1e 1101x m m m H x H x x x x x x +⎡⎤==-+=-+=+-+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎣⎦，即函数()H x 只有唯一零点2x ，故方程()212e e ln 10x m x +-+=的实数根有且只有一个，即方程()1e ln 10x m x +--+=实数根有且只有一个.【点睛】关键点睛：第二问的关键是两次求导得当()f x '的单调性，结合隐零点以及零点存在定理分类讨论得到()f x 的单调性，第三问的关键是将方程()1e ln 10x m x +--+=的实数根等价于()1e e ln 10x m x +-+=的实数根，构造函数()1()e e ln 1x m H x x +=-+，结合导数研究根的个数.。

2023-2024学年度第一学期阶段性质量监测（一）高三年级数学学科2023．11本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径.·台体的体积公式()13V S S h '=++台体，其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,0,1,2,3},{1,1}U A =-=-，{1,2,3}B =-，则()U A B =ð（）.A.∅B.{1}C.{1,0,1}- D.{1,0,1,2}-2.命题p 的否定为“ x ∃∈R ，使得210x x -+<”，则命题p 为（）．A.x ∃∈R ，使得210x x -+≥B.x ∃∉R ，使得210x x -+<C.x ∀∈R ，使得210x x -+< D.x ∀∈R ，使得210x x -+≥3.已知函数()f x 的部分图象如图，则函数()f x 的解析式可能为（）.A.()()22sin xxf x x -=+ B.()()22sin x xf x x-=-C.()()22cos xxf x x-=+ D.()()22cos xxf x x-=-4.“2x x <”的充要条件的是（）．A.1x <B.11x>C.22x x x x-=- D.233x x>5.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C.a b c<< D.c b a<<6.已知函数π()2cos 2([0,π])3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，且()()()121245f x f x x x ==≠，则12x x +=（）A.5π6B.4π3 C.5π3D.2π37.圆台上、下底面的圆周都在一个表面积为100π的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）．A.61πB.(41+C.61D.1838.已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++（其中0,0,0||A ωϕ>><<π）的部分图象如图所示，则下列结论中：①函数π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数；②2π()3f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭；③π()26f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；④曲线()y f x =在π12x =处的切线斜率为2-所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③④C.③④D.②③④9.对于任意的实数[0,2]x ∈，总存在三个不同的实数y ，使得)224(2)(2)e 0y y a x y x -+-+=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）．A.2e ,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.2e 62,42⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ C.65,2⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭D.2e 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若2i z =-（i 为虚数单位），则13iiz z =⋅+__________．11.已知ππsin sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=__________．12.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱1BB ，AB 的中点，P 为棱11C D 上一点，则三棱锥1A PMN -的体积为__________．13.已知()1533log 9xx f x -=-，则(1)f =__________，(5)f =__________．14.在ABC 中，已知1,2,120AB AC A ==∠=︒，点P 是ABC 所在平面上一点，且AP xAB yAC =+，若3BP BC =uu r uu u r，则xy =__________；若1x =，则BP CP ⋅ 取得最小值时，实数y 的值为__________．15.已知函数223 ()232f x x x x x =-+++-，若方程()23f x ax =+至少有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知集合{}2215πsin cos 0,,(21)20212A yy x x x x B x x m x m ⎧⎫⎡⎫==+-∈=-++<⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭∣∣.（1）若1m =-，求()R A B ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．17.在ABC中，角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ．已知()()222222sin sin ,bc a A a c b B +-=+-13,cos 4c C ==.（1）证明：A B =；（2）求a ；（3）求cos 3B 的值．18.如图，在四棱锥P ABCD-中，PC ⊥平面ABCD ，,,22,AB CD CD AD PC AB CD BC ⊥====∥，E 是棱PB 上一点．（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，（i ）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．（ii ）求平面PDC 和平面EAC 的夹角的余弦值．19.设函数2 ()(0,1)x x a b f x a a a-=>≠且是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求a ，b 的值；（2）设2()()(),g x x p x q p q =--<，若(),(())()0x f g x f mxg x '∀∈-+≤R （()g x '为函数()g x 的导数），试写出符合上述条件的函数()g x 的一个解析式，并说明你的理由．20.已知函数()2ln ,f x ax x x a =+∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为1，求a 的值；（2）讨论()f x 的零点个数；（3）若()1,x ∈+∞时，不等式()1ea x xf x x ++>恒成立，求a 的最小值．2023-2024学年度第一学期阶段性质量监测（一）高三年级数学学科2023．11本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径.·台体的体积公式()13V S S h '=++台体，其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,0,1,2,3},{1,1}U A =-=-，{1,2,3}B =-，则()U A B =ð（）.A.∅ B.{1}C.{1,0,1}- D.{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{1,0,1,2,3},{1,1}U A =-=-，{1,2,3}B =-，{0,1}U B =ð，则()U A B = ð{1,0,1}-.故选：C2.命题p 的否定为“ x ∃∈R ，使得210x x -+<”，则命题p 为（）．A.x ∃∈R ，使得210x x -+≥B.x ∃∉R ，使得210x x -+<C.x ∀∈R ，使得210x x -+< D.x ∀∈R ，使得210x x -+≥【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出对应命题即可.【详解】命题p 的否定为“ x ∃∈R ，使得210x x -+<”，所以命题:p x ∀∈R ，使得210x x -+≥，故选：D3.已知函数()f x 的部分图象如图，则函数()f x 的解析式可能为（）.A.()()22sin xxf x x -=+ B.()()22sin x xf x x-=-C.()()22cos xxf x x-=+ D.()()22cos xxf x x-=-【答案】A 【解析】【分析】由奇偶性可排除BC ，由特殊点可排除D ，即可求解【详解】由于图像关于原点对称，所以()f x 为奇函数，对于B ：由()()22sin x xf x x -=-，得：()()()22sin()22sin ()xx x x f x x x f x ---=--=-=，()f x 为偶函数，故可排除B ；对于C ：由()()22cos xxf x x -=+，得：()()()22cos()22cos ()xx x x f x x x f x ---=+-=+=，为偶函数，故可排除C ；由图知图象不经过点π(,0)2，而对于D ：ππππ22cos f -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22022，故可排除D ；故选：A4.“2x x <”的充要条件的是（）．A.1x <B.11x>C.22x x x x -=- D.233x x>【答案】B 【解析】【分析】结合充要条件的定义逐个判断即可.【详解】由“2x x <”，解集为(0,1)，A ，解集为(,1)-∞，A 错误；B ，由11x>，解集(0,1)，B 正确；C ，由，即22x x x x -=-，即20x x -≤，解集[0,1]，C 错误；D ，由233x x >，即2x x >，即解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞，D 错误.故选：B5.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C.a b c <<D.c b a<<【答案】C 【解析】【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可.【详解】由.0131090.9.<=，则1a <，由0.9011.3 1.3>=，.10931.3 1.3 1.<=，则.b <<113，由2221.5log log 3log =<=，则.c >15.则a b c <<.故选：C6.已知函数π()2cos 2([0,π])3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，且()()()121245f x f x x x ==≠，则12x x +=（）A.5π6B.4π3 C.5π3D.2π3【答案】B 【解析】【分析】由题意得出1π2cos(235x -=，2π2cos(2)35x -=，从而确定12πππ5π2,2[]3333x x --∈，它们关于πx =对称，从而可得结论．【详解】由已知1π42cos(2)35x -=，即1π2cos(2)35x -=，同理2π2cos(2)35x -=，又12,[0,π]x x ∈，即1ππ5π2[,333x -∈-，2ππ5π2[,]333x -∈-，21052<<，12x x ≠，当πππ2[]333x -∈-时，1πcos(2)123x ≤-≤，所以12ππ2(2)2π33x x -+-=⨯，所以124π3x x +=，故选：B ．7.圆台上、下底面的圆周都在一个表面积为100π的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）．A.61πB.(41+C.61D.183【答案】A 【解析】【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得球的半径和圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积.【详解】设球的半径为R ，则24π100πR =，则5R =，圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为O '，则圆台的高3OO '===，据此可得圆台的体积：()221π3554461π3V =⨯⨯+⨯+=.故选：A.8.已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++（其中0,0,0||A ωϕ>><<π）的部分图象如图所示，则下列结论中：①函数π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数；②2π()3f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭；③π()26f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；④曲线()y f x =在π12x =处的切线斜率为2-所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③④C.③④D.②③④【答案】D 【解析】【分析】由图象求得函数解析式，然后由正弦函数性质判断各选项①②③，利用导数的几何意义判断④．【详解】由题意2012A -==，2012B +==，ππ2[(π36T =⨯--=，∴2π2Tω==，又π3π22π+,Z 32k k ϕ⨯+=∈，又0πϕ<<，∴5π6ϕ=，∴5π()sin(216f x x =++，ππ5π7π(sin(2)1sin(216366f x x x +=+++=++不是偶函数，①错；2π4π5ππ()sin(1sin()103362f -=-++=-+=是()f x 的最小值，②正确；5π2π,Z 6x k k +=∈，π5π,Z 212k x k =-∈，当1k =时可得π(,1)12是()y f x =图象的一个对称中心，∴π()26f x f x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，③正确；5π()2cos(26f x x '=+，ππ5π(2cos()21266f '=+=-，④正确．正确的有②③④，故选：D ．9.对于任意的实数[0,2]x ∈，总存在三个不同的实数y ，使得)224(2)(2)e 0y y a x y x -+-+=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）．A.2e ,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.2e 62,42⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ C.65,2⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭ D.2e 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】先分离,x y ，构造关于y 的函数，然后画出图像，根据图像有三个交点，求出参数的取值范围.【详解】)()())()()()222422e 0422e y y y a x y x a x y x +-+-+=⇒+-+=+2e ya y⇒-=，令()2e y f y y =，则()()243e 2e 2e y y y y y yf y y y -⨯-⨯'==，令()0f y '>，解得2y >或者0y <，令()0f y '<，解得02y <<，所以()f y 在(),0∞-和()2,+∞单调递增，在()0,2单调递减，如图所示，要使得直线与函数()f y 有3个交点，则直线要在点A 上方，2422x x +==+，当且仅当22x x =⇒时取到等号，所以min 4422a a x ⎫+-=-⎪ ⎪+⎝⎭，所以只需满足22e e 2244a a ->⇒<-即可，故选：A【点睛】方法点睛：分离参数后再构造函数，由解的问题转化为两个函数交点问题是处理含参导数问题的常用方法.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若2i z =-（i 为虚数单位），则13i iz z =⋅+__________．【答案】15i 2+【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及除法运算即可化简求解.【详解】由2i z =-可得()()2i 2i 5z z ⋅=-+=，所以()()()213i 5i 13i 13i 1365i i 5i 5i 5i 2615i z z -+====⋅++++-，故答案为：15i2+11.已知ππsin sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=__________．【答案】2+2【解析】【分析】根据和差角公式，结合同角关系即可求解.【详解】由ππsin sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6633αααα-=+，所以11sin cos 2222αααα-=+，即3113sinsin tan 222cos ααααα-+=⇒==+，故答案为：2+12.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱1BB ，AB 的中点，P 为棱11C D 上一点，则三棱锥1A PMN -的体积为__________．【答案】1【解析】【分析】换底（顶点），即由11A PMN P A MN V V --=计算．【详解】由题意P 到平面1A MN 的距离等于112D A =，又12111322*********A MN S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△，∴11132132A PMN P A MN V V --==⨯⨯=，故答案为：1.13.已知()1533log 9x x f x -=-，则(1)f =__________，(5)f =__________．【答案】①.13②.13-【解析】【分析】令3x t =，求得()f t 后，由1t =计算(1)f ，由5t =计算(5)f ．【详解】∵()15553333log 9log 92log 333x x x x x x f x -=-=-=-，令3x t =，则51()2log 3f t t t =-，∴511(1)12log 133f =⨯-=，511(5)52log 533f =⨯-=-．故答案为：13；13-．14.在ABC 中，已知1,2,120AB AC A ==∠=︒，点P 是ABC 所在平面上一点，且AP xAB yAC =+，若3BP BC =uu r uu u r ，则xy =__________；若1x =，则BP CP ⋅ 取得最小值时，实数y 的值为__________．【答案】①.6-②.58##0.625【解析】【分析】根据向量的线性运算即可求解空1，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质即可求解最值.【详解】()3332AP AB BP AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=- ,所以2,3x y =-=，故6xy =-，当1x =时，AP AB y AC =+ ，()()()()211BP CP AP AB AP AC y AC AB y AC y AC AB y y AC ⎡⎤⋅=-⋅-=⋅+-=⋅+-⎣⎦ ，由于21cos120121,42AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭，所以()22145BP CP y AC AB y y AC y y ⋅=⋅+-=- ，故当58y =时，此时()245f y y y =-，故BP CP ⋅ 最小，故答案为：6-，5815.已知函数223 ()232f x x x x x =-+++-，若方程()23f x ax =+至少有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是__________．【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】作出函数的图象，利用两函数图象的交点个数，结合参数对应的几何意义求参数范围即可.【详解】由题意知，,()()x f x f x ∀∈-=R ，则()f x 是偶函数，则其图象关于y 轴对称.令2230x x +-≥，解得3x ≤-（舍），或1x ≥.此时，222323x x x x +-=+-，令2230x x +-<，解得01x ≤<.此时，222323x x x x +-=--+，则当1x ≥时，2()2f x x =；当01x ≤<时，()6464f x x x =-=-；由函数的解析式与图象的对称性作出函数()f x 的图象.直线23y ax =+过定点(0,3)，且2a 为直线的斜率，若方程()23f x ax =+至少有三个不同的实根，则直线23y ax =+与()f x 的图象至少有三个公共点，由图可知[]21,1a ∈-，解得11,22a ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，故答案为：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知集合{}2215πsin cos 0,,(21)20212A y y x x x x B x x m x m ⎧⎫⎡⎫==+-∈=-++<⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭∣∣.（1）若1m =-，求()R A B ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）R {1}A B =ðI （2）1142m -≤≤【解析】【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换将函数化简，结合正弦型函数的值域即可化简集合A ，再由集合的运算，即可得到结果；（2）根据题意，分12m =，12m >以及12m <讨论，即可得到结果.【小问1详解】211cos 21sin cos sin 2222 2x y x x x x -=-=+-31πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为5π012≤<x ，所以2π2663ππ-≤-<x ，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即112A y y ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣.若1m =-，则{}220{21}B x x x x x =+-<=-<<∣∣，从而R {2B x x =≤-∣ð或}1x ≥．所以R {1}A B =ðI ．【小问2详解】{(1)(2)0}B x x x m =--<∣，①当21m =，即12m =时，B =∅，所以B A ⊆．②当21m >，即12m >时，{12}B x x m =<<∣，所以B A Ø．③当21m <，即12m <时，{21}B x m x =<<∣，若B A ⊆，则122m ≥-，所以14m ≥-.综上，1142m -≤≤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知()()222222sin sin ,b c a A a c b B +-=+-13,cos 4c C ==.（1）证明：A B =；（2）求a ；（3）求cos 3B 的值．【答案】（1）证明见解析（2）a =（3）8-【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理将原式化简，再由正弦定理可得cos cos A B =，即可证明；（2）由13,cos ,4c C a b ===结合余弦定理即可得到结果；（3）由条件可得cos3cos(π)cos()B B C B C =+-=--，然后结合两角差的余弦公式及诱导公式计算即可得到结果.【小问1详解】因为()()222222sin sin b c a A a c b B +-=+-，所以由余弦定理可得2cos sin 2cos sin bc A A ac B B =，即cos sin cos sin b A A a B B=又由正弦定理sin sin a bA B =，得cos cos A B =，因为角A ，B 为ABC 的内角，所以A B =．【小问2详解】由（1）知A B =，所以a b =．又13,cos 4c C ==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2219224a a =-⨯，即2392a =，解得a =.【小问3详解】由1cos 4C =，得sin 4C =，因为21cos cos(π2)cos 212cos 4C B B B =-=-=-=，因为A B =，所以B 为锐角，所以cos 44B B ==.所以cos3cos(π)cos()B B C B C =+-=--cos cos sin sin B C B C=--144448=-⨯-⨯=-.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，,,22,AB CD CD AD PC AB CD BC ⊥====∥，E 是棱PB 上一点．（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，（i ）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．（ii ）求平面PDC 和平面EAC 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（i ）3；（ii ）3．【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由两平面的法向量垂直得证两平面垂直；（2）（i ）由空间向量法求线面角；（ii ）由空间向量法求面面角.【小问1详解】因为,,22,AB CD CD AD AB CD BC ⊥===∥，取AB 中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，1CM ==又PC ⊥平面ABCD ，,CM CD ⊂平面ABCD ，所以,CP CM CP CD ⊥⊥，故以CM 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)C A B P -，所以(1,1,2),(1,1,2),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)PA PB CA CB CP =-=--==-=．因为0,0CA CB CA CP ⋅=⋅=，所以,CA CB CA CP ⊥⊥ ，所以CA ⊥ 平面PBC ，即CA 为平面PBC 的法向量．设(1,1,2)PE PB λλ==-- ，则(,,22)CE CP PE λλλ=+=-- ．设平面EAC 的法向量为()111,,m x y z =r，，则0,0,m CA m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()111110,220,x y x y z λλλ+=⎧⎨-+-=⎩令11x λ=-，则()1,1,m λλλ=-- ．因为0CA m ⋅= ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为E 是PB 的中点，所以1,(1,1,1)2m λ==-- ．（i ）设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则||2sin |cos ,|3||||36m PA m PA m PA θ⋅=〈〉===⋅ ，故直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23．（i ）显然平面PDC 的法向量为(1,0,0)n =，设平面PDC 和平面EAC 的夹角为α，则||13cos |cos ,|||||33m n m n m n α⋅=〈〉== ．故平面PDC 和平面EAC 的夹角的余弦值为3．19.设函数2 ()(0,1)x x a b f x a a a-=>≠且是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求a ，b 的值；（2）设2()()(),g x x p x q p q =--<，若(),(())()0x f g x f mxg x '∀∈-+≤R （()g x '为函数()g x 的导数），试写出符合上述条件的函数()g x 的一个解析式，并说明你的理由．【答案】（1）2（2）2()(1)g x x x =+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和过定点，代入即可；（2）结合奇函数和单调性性，可化为()()mxg x g x '≤对x ∀∈R 恒成立，整理的{}2()(13)[(2)()]0x q m x m p q p q x pq --++-++≥，分13m ≠与13m =讨论即可.【小问1详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，即22x xx x a b a ba a ----=-，整理得()(1)0x x b a a --+=，解得1b =，所以()x x f x a a -=-，又()y f x =的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，则132a a --=，解得2a =或12a =-，又0a >，且1a ≠，所以2a =．【小问2详解】因为()f x 为奇函数，所以()(())()0f g x f mxg x '-+≤，得()()(())f mxg x f g x '≤．由（1）可得，()22x x f x -=-，因为()()22ln 20x x f x -'=+>，所以()f x 为R 上的单调递增函数，所以()()mxg x g x '≤对x ∀∈R 恒成立．因为2()()()g x x p x q =--，2()()2()()g x x q x p x q '=-+--，所以2()(32)()()mx x q x p q x p x q ---≤--，整理得{}2()(13)[(2)()]0x q m x m p q p q x pq --++-++≥，*当13m ≠时，左边是一个一次因式乘一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，所以13m =．所以*式化为()[(2)3]0x q p q x pq --++≥恒成立，所以320,2pq p q q p q+<=+．①若0q =，则0p <；②若0q ≠，则312p p q =+，即p q =，与p q <矛盾，舍去．综上，1,0,03m p q =<=，所以2()(1)g x x x =+为满足条件的()g x 的一个解析式．（答案不唯一）20.已知函数()2ln ,f x ax x x a =+∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为1，求a 的值；（2）讨论()f x 的零点个数；（3）若()1,x ∈+∞时，不等式()1ea x x f x x ++>恒成立，求a 的最小值．【答案】（1）1a =-（2）答案见解析（3）e -．【解析】【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可；（2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数；（3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据a 最小时为负确定单调性区间，最后求出a 的最小值.【小问1详解】()()ln 12f x a x x '=++，依题意，()121f a '=+=，解得1a =-．【小问2详解】()2ln f x ax x x =+的零点ln 0a x x ⇔+=的根．设()()()ln ,0,,1a g x a x x x g x x'=+∈+∞=+，①当0a =时，()()(),0,,g x x x g x =∈+∞没有零点；②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+内是增函数．取111e ,e 1e 0aa a x g ---⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭，取()1,110x g ==>，所以()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点；③当a<0时，当0x a <<-时，()0g x '<，当x a >-时，()0g x '>，所以()g x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，从而()()()min ln g x g a a a a =-=--．当e 0a -<<时，()()()min ln 0,g x a a a g x =-->没有零点；当a e =-时，()()()min ln 0,g x a a a g x =--=在()0,∞+上有且仅有一个零点；当e a <-时，()()min ln 0g x a a a =--<，取111e ,e 1e 0aa a x g ---⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭，取()1,110x g ==>，所以()g x 在(0,)+∞上有两个零点．综上，当e 0a -<≤时，()f x 没有零点；当a e =-或0a >时，()f x 有且仅有一个零点；当e a <-时，()f x 有两个零点．【小问3详解】()121ln e e a a x x x x f x x ax x x x +++>⇔++>111ln ln ln ln e e e a a a a a x x xx x a x x x x x ⇔+>-=-⇔->-，构造函数()ln ,0h x x x x =->，则()1e a x h h x ⎛⎫>⎪⎝⎭．而()11h x x'=-，令()0h x '>，解得()1,x ∈+∞，此时()h x 单调递增，令()0h x '<，解得()0h x '<，此时()h x 单调递减，而当1x >时，101ex <<，a x 与1的大小不定，但当实数a 最小时，只需考虑其为负数的情况，此时01a x <<．因为当01x <<时，()h x 单调递减，故1e a x x <，两边取对数得，ln (1)x a x x -<>，所以ln x a x >-，令()ln x x xϕ=-，则21ln ()(ln )x x x ϕ-'=，令()0x ϕ'>得，1e x <<，令()0x ϕ'<得，>x e ，所以()ϕx 在(1,e)单调递增，在(e,)+∞单调递减，所以()(e)e x ϕϕ≤=-，故a 的最小值是e -．【点睛】关键点睛：本题难度大，需要不断的化简最后同构得到相关函数，再通过相关函数的单调性求解参数，要求较高.。

天津市南开区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题第I 卷注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：●锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.●对于事件(),,0A B P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅∣.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}1,0,1,2,3,0,1,2,{12}U A B x x =-==∈-<<Z ∣，则()U A B =ð（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.【详解】{}{12}0,1B x x =∈-<<=Z ∣，{}1,0,1,2,3U =-{}U 1,2,3B ∴=-ð又{}0,1,2A = ∴()U A B = ð{}2故选：C2.函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案.【详解】因为2()sin 12xf x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xxx f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B.33223322sin(10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.3.“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】因为2R,0x x x a ∃∈-+<，所以()2140a ∆=-->，解得14a <.所以(),1-∞1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（）A.0.02B.0.2C.0.04D.0.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1,10,0.45,10,0.05a a ，则0.1100.45100.05200.61a a a ++++=+=，解得0.020a =.故选：A.5.设0.40.40.3log ,log 022,.3a b c ===，则（）A.a c b <<B.b a c <<C.c b a <<D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.【详解】20.0.3243log ,o lo 1122log 0.4l g 0.g a b ====，由2log y x =在()0,∞+上单调递增，0.40.3>，得220.40.30>log log >，所以22110log 0.4log 0.3<<，即0.40.30log l 2og 2<<，于是有0a b <<，由0.40.30c =>，得0a b c <<<，所以a b c <<.故选：D.6.数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（）A.16B.16-C.6D.6-【答案】D 【解析】【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果.【详解】当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121aa a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-.故选：D.7.已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（）A.13B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】易证AB ⊥平面1CDO ，然后由11--=+ABCD A CDO B CDO V V V 求解.【详解】解：如图所示：连接11CO DO ，因为AB CD ⊥，12AB O O ⊥，且122O O CD O ⋂=，所以AB ⊥平面1CDO ，所以11--=+ABCD A CDO B CDO V V V ，111142223323=⋅=⨯⨯⨯⨯= CDO S AB ，故选：D8.设函数()()(0,π)f x x ωϕωϕ=-><.若π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A.17π,312ωϕ==-. B.111π,324ωϕ==C.2π,312ωϕ==-D.211π,312ωϕ==【答案】C 【解析】【分析】由题意求得4T，再由周期公式求得ω，再由5π8⎛⎫= ⎪⎝⎭f π2π12k ϕ=--，结合||πϕ<，求得ϕ值，即可得解．【详解】由()f x 的最小正周期大于2π，可得π42T >，因为π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5ππ3π4884=+=T ，则3πT =，且0ω>，所以2π23T ω==，即2()3ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ，由5π25π838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得5ππ2π122ϕ-=+k ，k ∈Z ，则π2π12k ϕ=--，k ∈Z ，且π<ϕ，可得0k =，π12ϕ=-，所以23ω=，π12ϕ=-.故选：C ．9.已知()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为6π，则双曲线的标准方程为（）A.22163x y -= B.22136x y -= C.2218y x -= D.2218x y -=【答案】B 【解析】【分析】设点P 为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得14PF a =，22PF a =，在12PF F △中，根据大边对大角可知12PF F ∠为最小角，进而根据余弦定理求得a ，再得到b ，即可得到答案.【详解】设点P 为双曲线右支上一点，则12PF PF >，因为122PF PF a -=，且126PF PF a +=，所以14PF a =，22PF a =，由题，因为1226F F c ==，则2242c a a a>⎧⎨>⎩，所以12PF F ∠为最小角，故126PF F π∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理可得，()()()22242232422a c a a c+-=⋅⋅，解得a =所以b ，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：B第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数1212i,i z z a =+=-，若12z z ⋅是实数，则实数a 的值为__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得()()12221i ⋅=++-z z a a ，进而结合题意可得210a -=，运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()()1212i i 221i ⋅=+-=++-z z a a a ，若12z z ⋅是实数，则210a -=，解得12a =.故答案为：12.11.6⎛⎫展开式中，3x 的系数等于________．【答案】15【解析】【详解】⎛⎫6的通项为T r ＋1＝C 6r⎛⎫6－r ⎛ ⎝r ＝C 6r (－1)r x6－32ry 32r －3，令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 62(－1)2＝15.12.直线21y x =+与圆C ：22450x y x +--=相交于M ，N 两点，则MN =______．【答案】4【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.【详解】解：圆C ：()2229x y -+=，其圆心坐标为()2,0，半径为3．圆心()2,0到直线2x －y ＋1＝0的距离d ==则4MN ===．故答案为:4.13.设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为__________.【答案】0.82##4150【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件1A =“甲乘汽车前往某目的地”，事件2A =“甲乘动车前往某目的地”，事件B =“甲正点到达目的地”.()()()()()11220.40.70.60.90.82P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.故答案为：0.8214.在ABC 中，1,90AC BC C ∠===，则CA CB +=__________；若P 为ABC 所在平面内的动点，且3PC =，则PA PB ⋅ 的取值范围是__________.【答案】①.②.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立，利用向量的坐标运算求CA CB + ；设33cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的坐标运算结合辅助角公式可得()1sin 3PA PB θϕ⋅=-+ ，再结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】如图，以C 为坐标原点，,AC BC 分别为,x y 轴所在直线，建立平面直角坐标系，则()(()1,0,,0,0A B C ，可得()(1,0,CA CB == ，则(CA CB +=，所以CA CB +==；因为3PC =，设cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得1cos,sin,cos sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33331cos cos sin sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+--⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11sin cos sin3333θθθϕ⎛⎫=-+=-+⎪⎪⎝⎭，其中cos,sin33ϕϕ==，因为()[]sin1,1θϕ+∈-，所以()124sin,333PA PBθϕ⎡⎤⋅=-+∈-⎢⎥⎣⎦.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15.已知函数()()1221,1,log1,1,x xf xx x-⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x m=有三个不等的实根，则实数m的取值范围是__________；函数()()()()322g x f f x f x=--的零点个数是__________.【答案】①.(]1,2②.4【解析】【分析】作出()f x大致图象，结合图象可得实数m的取值范围；令()f x t=，将问题转化为()322f t t=+，根据图象分析得()122f t t=+有两个零点为10t=，()21,2t∈，从而考虑()1f x t=与()2f x t=根的个数即可求解.【详解】作出()f x大致图象如下：若方程()f x m=有三个不等的实根，由图象可得实数m的取值范围是(]1,2；令()f x t=，则()3202f t t--=，可得()322f t t=+，且()302f =，结合图象可知方程()322f t t =+的一个根10t =，另一个根()21,2t ∈，当10t =时，()f x 与1y t =的图象有1个交点，所以()1f x t =有1个实根，当()21,2t ∈时，()f x 与2y t =的图象有3个交点，所以()2f x t =有3个实根，综上所述：()g x 共有4个零点.故答案为：(]1,2；4.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且)2222sin ac B a c b =+-，2a c =.（1）求角B 的大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -的值.【答案】（1）π3B =（2）π4A =（3）28【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；（2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（3）可得5π12=C ，代入结合降幂公式分析求解.【小问1详解】因为)2222sin ac B a c b =+-，由余弦定理可得2sin cos =ac B B ，则tan B =.又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为2a c +=，由正弦定理可得sin 2sin A B C =，即π2sin 2sin π33A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 2A A A +=+，则cos 2A =.因为0πA <<，所以π4A =.【小问3详解】由（1）（2）可得()5ππ12=-+=C A B ，则2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -5π5π1cos sin ππππ66sin cos cos sin 432432-=⋅⋅-⋅3111222222228+=⨯-=.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11AB 上一点（不含端点），F 为棱BC 的中点.（1）若E 为棱11A B 的中点，（i ）求直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值；（ii ）求平面11A BC 和平面AC 的夹角的余弦值；（2）求直线EF 与11A C 所成角余弦值的取值范围.【答案】（1）（i ）23；（ii）3（2）,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；（i ）求出直线EF 的方向向量和平面A 1BC 1的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（ii ）分别求出平面A 1BC 1和平面AC 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（2）根据（1）的结论，分别求出直线EF 和直线A 1C 1的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若E 为棱11A B 的中点，则()()2,1,2,1,2,0E F ，()()()112,2,0,2,0,2,0,2,2B A C .所以()()()1112,2,0,0,2,2,1,1,2A C BA FE =-=-=- .（i ）设平面11A BC 的一个法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A C n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则()1,1,1n = .设EF 与平面11A BC 所成角为α，则有sin cos ,3n FE n FE n FEα⋅==== .故直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值为23.（ii ）易知平面AC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面PDC 和平面EAC 的夹角为β，则有||cos |cos ,|||||3m n m n m n β⋅=〈〉== .故平面11A BC 和平面AC的夹角的余弦值为3.【小问2详解】设直线EF 与11A C 所成角为(),2,,2(02)E m m θ<<，则()1,2,2FE m =- .所以111111cos cos ,A C FE A C FE A C FE θ⋅====因为02m <<，所以952m m +>，即1211954m m <-<+-1<，所以102102<，即102cos 102θ<<.故直线EF 与11A C所成角余弦值的取值范围为,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.18.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点226,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且其左焦点坐标为()1,0-.（1）求椭圆的方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.【答案】（1）22143x y +=（2）487.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出AC BD +，利用二次函数可得答案.【小问1详解】因为椭圆E 的左焦点坐标为()1,0-，所以右焦点坐标为()1,0,1c =.又椭圆E经过点2,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以24,a b ====所以椭圆的方程为22143x y +=.【小问2详解】①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，7AC BD +=.②当直线AC 的斜率存在且不为0时，设直线AC 的方程()()11221,,,,x ty A x y C x y =+，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2212134t AC t +=+.设直线BD 的方程为11x y t =-+，同理得()2212134t BD t +=+，所以()()()22228413434t AC BD t t ++=++，设21m t =+，则1m >，则()()22284848448113141711491224m AC BD m m m m m +===≥+-⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，所以2m =时，AC BD +有最小值487.综上，AC BD +的最小值是487.19.已知正项等比数列{}n a 满足1232,12a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为12,1n S b =，当2n ≥时，10n n n S S b -+=.（1）求{}n a 的通项公式：（2）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n S ；（3）设数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()29n n T n a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）2nn a =（2）证明见解析，11n S n =+（3）3λ≤.【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；（2）利用n a 与n S 的关系以及等差数列的定义求解；（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由1232,12a a a =+=，得22212q q +=，解得2q =，所以2n n a =.【小问2详解】当2n ≥时，10n n n S S b -+=，所以()110n n n n S S S S --+-=，整理得1111n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S b ==为首项，1为公差的等差数列.所以11n n S =+，即11n S n =+.【小问3详解】由（1）､（2）知()12n n n a n S =+⋅，所以()1231223242212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ，①()23412223242212,n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ②①-②得()()231422212n n n T n +-=++++-+⋅ 12n n +=-⋅,所以12n n T n +=⋅.由()29n n T n a λ≤+得()12292n n n n λ+⋅≤+⋅，即922n nλ≤+，因为9322n n +≥=，当且仅当3n =时，等号成立，所以3λ≤.20.已知函数()()ln ,a f x x x g x x x =-=+，且函数()f x 与()g x 有相同的极值点.（1）求实数a 的值；（2）若对121,,3e x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x f x k -≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()e cos x x f x g x x++<.【答案】（1）1（2）()2ln3,∞-+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的极大值点为1x =，由(1)0g '=可得1a =，经检验可确定1a =；（2）先求得()f x 在1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，然后分1k >-和1k <-两种情况可得k 的取值范围；21(0)2x x >和21ln e 2x x x x -<-即可证令()（3）所证不等式即为x ln x -e x <cos x -1，通过证明cos x -1>-得结果.【小问1详解】110f x x'=-=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>在()0,1单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<在()1,+∞单调递减，故函数()f x 的极大值点为1x =.令()210a g x x=-='，由题意可得()110g a '=-=，解得1a =，经验证符合题意，故实数a 的值为1.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()1,3单调递减，又()()111,11,3ln33e e f f f ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，且1ln3311e-<--<-，所以当1,3e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max min ()11,()3ln33f x f f x f ==-==-，若不等式()()12f x f x k -≤恒成立，则()max min ()()1ln332ln3≥-=---=-k f x f x ，所以k 的取值范围为()2ln3,∞-+.【小问3详解】所证不等式即为ln e cos 1x x x x -<-.先证：21cos 1(0)2x x x ->->，即证21cos 102x x +->在()0,∞+上恒成立，设()()21cos 1,sin 2h x x x h x x x =+-='-+，设()()'=d x h x ，因为()cos 10'=-+>d x x 在()0,∞+上恒成立，所以()h x '在()0,∞+单调递增，则()()00h x h ''>=，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()00h x h >=，所以21cos 1(0)2x x x >->.再证：21ln e 2x x x x -<-，即证2ln e 12x x x x <-.设()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -'==，当()0,e x ∈时，()()0,m x m x '>单调递增，当()e,x ∈+∞时，()()0,m x m x '<单调递减，所以()()1e em x m <=.设()()()232e e 1,2x x x x x x x ϕϕ-=-='，当()0,2x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()2e 1242x ϕϕ>=-.所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x <<-<-，即2ln e 12x x x x <-.综上，ln e cos 1x x x x -<-，得证.【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明ln e cos 1x x x x -<-转化为证明21cos 1(0)2x x x ->->和21ln e 2x x x x -<-.。

周六数学统练三 （第I 卷）一、单选题1．设集合{}|24xA x =≥，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则A B ⋃=（）A ．[1,2)B ．(1,2]C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞2．命题“[]02,4x ∃∈-，20320x x -+>”的否定为（） A ．[]2,4x ∀∉-，2320x x -+≤ B ．[]02,4x ∃∈-，2320x x -+≤C ．[]2,4x ∀∈-，2320x x -+≤D ．[]02,4x ∃∉-，20320x x -+> 3．已知函数()f x 为奇函数，函数(1)f x +为偶函数，当01x ≤≤时，()e 1xf x =-，则(7)f =（）A ．2e -B ．1e -C ．e 1-D ．04．设()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是（） A ．[]2,1-B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[]0,1 5．若函数()f x 为奇函数，且在()0,∞+内是增函数，又()20f =，则()()0f x f x x-->的解集为（）A ．()()2,00,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,02,-+∞6．给定函数()2=xf x ，2()g x x x =-+，x ∈R .用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为{}()min (),()m x f x g x =，则()m x 的最大值为（） A ．14B ．1C ．0D ．27．已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20212f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．2 B ．22C 32D 28．若关于x 的方程19310x x m ++-+=有解，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(]1,39．已知1sin 2211sin ,log sin ,222a b c -==-=，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>10．设a ，b R ∈，则“22a b >”是“21a b ->”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知正实数a ，b ，c 满足12432b a-=⋅，()32log log 1c c b =⋅+，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b <<D ．b c a <<12．若22225555112,3,,23a b c d ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（） A ．a >b >c >dB ．b >a >d >cC ．b >a >c >dD ．a >b >d >c13．下列函数中，图像关于原点对称且在区间(11)-，上单调递增的是（） A ．()cos()2f x x π=+B ．2()f x x=-C ．2()ln2xf x x-=+ D ．()22x x f x -=-14．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与MN最接近的是（） A ．3310B ．5310C ．7310D ．931015．设a ，1b >，且满足1log 2>a b ，则（） A ．a b <B ．a b >C ．2a b <D ．2a b >16．设0απ<<，7sin cos 13αα+=，则1tan 1tan αα-+的值为（） A ．177B ．717C ．177-D ．717-17．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，需要把函数sin 2y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度18．函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的单调增区间为（）A ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．设函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()y f x =的图象关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增20．sin15sin 75的值为（） A ．14B ．12C ．34D ．2421．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，射线OA 与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()βα-的值是（） A ．2425- B ．2425C ．725D ．725-22．如图，函数()()2sin 0,y x ωϕωϕπ=+><的部分图象经过点(0,1)-和11,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则（） A ．2,6πωϕ==-B ．52,6πωϕ==-C ．2,116πωϕ==-D ．145,116πωϕ==-23．函数()()22cos f x x x x -=+在[)(],00,ππ-上的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．24．已知tan 2θ=-，则sin2θ=（） A ．23-B ．23C ．45-D ．4525．已知ABC 中，2236a b B π===，，，那么满足条件的ABC （） A ．有两个解 B ．有一个解C ．无解D ．不确定26．若直线l 与曲线y x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +1227．设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（） A ．a b < B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >28．已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．29．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞ B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-二、填空题30．若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________ 31．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.第Ⅱ卷三、解答题32. 质点做直线运动，己知路程s 是时间t 的函数()2321s t t t =++. （1） 求从2t=到2t d =+之间质点的平均速度；（2） 求出当0.1,0.01,0.001d =时质点的平均速度； （3） 求在2t =时质点的瞬时速度.33. 某人拉动一个物体前进，他所做的功W （单位：焦耳）是时间()t s 的函数，可以表示为()32616W t t t t =-+.求()2W '，并解释它的实际意义.34. 已知函数()cos x f x e x x =-，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程.35. 已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （1） 求a 的值；（2） 若对任意[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.（3） 证明()12ln 21221ni n i =-+<-∑(n ∈N ∗) .36. 已知函数()()22x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.参考答案1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．D 11．B 12．C 13．D 14．D 15．C 16．C 17．C 18．D 19．D 20．A21．D 22．B 23．C 24．C 25．A 26．D 27．D 28．B 29．C 30．(),0-∞31．1ye=-。

天津市南开中学2023届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．64B ．654．函数()3sin 3291x xx f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-图像大致为（ ）A ．．．．．三个数20.4a =，2log 0.3b =之间的大小关系是（ ）．a c b<<B ．a b <b a c<<D ．b<c<a()α1sin cos αα++二、填空题三、解答题中，角A，B，C 16．在ABC(1)求B；外一点，且(2)如图，若D为ABC∠.并求BC.sin BDC⊥；(1)证明：BE DC(2)求直线BE与平面PBD(3)若F为棱PC上一点，满足18．已知等差数列{}a为递增数列，参考答案：若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，则1x ，2x 是方程220x x a ---=的两个不等的实数根，实数根，所以12x x a =，34ln ln x x -=，所以ln x 所以(0,1)x x x x a =∈，故①正确；当1e>a 时由图可知只有3个交点，当令()ln g x x ax =-，()1,x ∈+∞，则(g '单调递增，当1x a>时()0g x '<，即g 所以当1x a =时，函数取得极大值即最大值，2CD AB = ，G 为CD 中点，∴四边形ABCG 为平行四边形，又E 为BC 中点，//EF CG ∴且连接BD，因为AD AB⊥所以22BD AB AD=+=所以πABD∠=，所以∠依题意，(1,0,0),(2,2,0),B C 向量()0,1,1BE = ，(2,0,0DC =u u u r （2）向量(1,2,0),BD PB =-。

2024届天津南开中学高三数学上学期第四次月考试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试结束后，请交回答题卡．第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,2,2A =--，{}2320B x x x =-+=，则()U A B =U ð（）A ．{}1,3B ．{}0,3C ．{}2,1-D ．{}2,0-2．若x ，R y ∈，则“x y >”的一个必要不充分条件可以是（）A ．20.5x y ->B ．22x y >C ．1x y>D ．22x y ->3．已知0.1e a =，12lg 2b =-，32log 10c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a>>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．b a c >>4．函数()y f x =图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（）A ．()2211f x x =-+B ．()13f x x=C ．()2121x f x =-+D ．()112xf x =-5．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（）A ．图中a 的值为0.020B ．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为81.5C ．估计样本数据的75%分位数为88D ．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7200人6．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A ．B ．4023C ．D ．46237．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*12n n a S n +=+∈N ．在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个等差数列，记插入的这n 个数之和为n T ，5T 的值为（）A ．240B ．360C ．480D ．5608．抛物线()220y ax a =>上的点()0,3M x 到其焦点的距离是M 到y 轴距离的2倍，过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点A 、B 作C 的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P 、Q ，3PQ =，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．C ．D ．9．已知函数()()2sin f x x a ωϕ=++，0ω>则下列结论中正确个数为（）①若对于任意x ∈R ，都有()1f x ≤成立，则1a ≤-②若对于任意x ∈R ，都有()()πf x f x +=成立，则2ω=③当π3ϕ=时，()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为10,3⎛⎤⎥⎝⎦④当a =ϕ∈R ，函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有两个零点，则ω的取值范围为[)4,+∞A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．10．设i 为虚数单位，复数()()()2i 3i z a a a =-+∈R 的实部与虚部的和为234，则=a ．11．631x 的展开式中常数项为．12．直线l ：3y x =+与圆C ：()()()222120x y a a -+-=>交A ，B 两点，若ABC 为等边三角形，则a 的值为．13．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则均合格品的概率为；若在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为．14．在Rt ABC △中，已知3,4,AB AC P ==是斜边BC 上一动点，点Q 满足2PQ =，若AQ mAB nAC =+，若点Q 在边BC 所在的直线上，则m n +的值为；m n +的最大值为.15．()1,0e1e ,02x x xx f x x +⎧≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，若()()2g x mf x =-有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且cos 2cos a Ab B=-．(1)求a c．(2)若1cos 4C =，ABCABC 的周长．(3)在（2）的条件下，求πcos 26B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1126AB A B ==，E ，F 分别为DC ，BC 的中点，上下底面中心的连线1O O 垂直于上下底面，且1O O 与侧棱所在直线所成的角为45°．(1)求证：1BD ∥平面1C EF ；(2)求点1A 到平面1C EF 的距离；(3)边BC 上是否存在点M ，使得直线1A M 与平面1C EF，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，若椭圆的焦距为4且经过点(-，过点()T 的直线交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆方程；(2)求OPQ 面积的最大值，并求此时直线PQ 的方程；(3)若直线PQ 与x 轴不垂直，在x 轴上是否存在点(),0S s 使得PST QST ∠=∠恒成立？若存在，求出s 的值；若不存在，说明理由．19．已知数列{}n a 满足：()*122n n n a a a n ++=+∀∈N ，正项数列{}n b 满足：()2*12n n n b b b n ++=⋅∀∈N，且1122a b ==，42a b =，534b b =．(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)已知()()()211232211n n n n n nn a b n c a b n b b --+⎧⎪=--⎨⎪++⎩，为奇数为偶数，求：211n k k c +=∑；(3)求证：()()()2221211111163313131n a a a ≤++⋅⋅⋅+<+++．20．已知函数()e sin xf x a x a =--．（注：e 2.718281=⋅⋅⋅是自然对数的底数）．(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0a >时，函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极值点1x ．①求实数a 的取值范围；②求证：()f x 在区间()0,π内有唯一的零点0x ，且012x x <．1．B【分析】根据并集、补集的定义求解即可【详解】{}{}23201,2B x x x =-+==，又{}1,2,2A =--，所以{}1,1,2,2A B =-- ，又{}2,1,0,1,2,3U =--，(){}U 0,3A B ⋃=ð故选：B 2．A【分析】由必要不充分条件的意义和指数函数的性质逐一判断即可.【详解】A ：120.5211x y x y x y -->=⇔->-⇔>-，是“x y >”的必要不充分条件，故A 正确；B ：22x y x y >⇔>，是“x y >”的既不充分也不必要条件，故B 错误；C ：()100x x y y x y y y->⇔>⇔->，是“x y >”的既不充分也不必要条件，故C 错误；D ：2211x y x y x y ->⇔->⇔>+，是“x y >”的充分不必要条件，故D 错误；故选：A 3．B【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.【详解】由题意可得：0.10e e 1a =>=，12lg 21lg 4b =-=-，且0lg1lg 4lg101=<<=，则01b <<，因为33log 10log 92>=，则32log 100c =-<，故选：B 4．C【分析】根据奇偶性可排除AD ，根据()11f <可排除B ；结合指数函数性质可知C 正确.【详解】对于A ，()()()22221111f x f x x x -=-=-=+-+ ，()f x \为偶函数，则()f x 图象关于y 轴对称，与已知图象不符，A 错误；对于B ，当1x =时，()11f =，与已知图象不符，B 错误；对于D ，()()11122x x f x f x --=-=-≠- ，()f x \不是奇函数，则()f x 图象不关于原点对称，与已知图象不符，D 错误；对于C ，()22112121x x x f x -=-=++ ，()()21122112x xx xf x f x ----∴-===-++，()f x \为奇函数，图象关于原点对称；221x y =+Q 为R 上的减函数，()2121x f x ∴=-+为R 上的增函数；又()2111133f =-=<，()f x \图象与已知图象符合，C 正确.故选：C.5．D【分析】根据频率和为1，计算a 的值,判断选项A ；根据平均数公式，判断B ；根据百分位数公式，判断C ；计算体测成绩在内的频率，再结合总人数，即可判断D.【详解】由频率分布直方图可知，()100.0050.020.040.021a ⨯++++=，得0.015a =，故A 错误；()550.005650.015750.02850.04950.0210805⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.，故B 正确；设75%百分位数为x ，100.005100.015100.020.40.75⨯+⨯+⨯=<，而100.005100.015100.02100.040.80.75⨯+⨯+⨯+⨯=>，所以[)80,90x ∈，则()100.005100.015100.02800.040.75x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得88.75x =，故C 错误；则体测成绩在[]80,100的频率为100.04100.020.6⨯+⨯=，估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为120000.67200⨯=人，故D 对，故选：D 6．D 【分析】求出棱长为a 的正四面体的体积，再结合割补法求出体积.【详解】棱长为a 的正四面体的底面正三角形半径23r =，则该正四面体的高h a =，该正四面体的体积223112sin 603212V a h a a a =⨯⨯= ，所以该截角四面体的体积为332246264212123V '=-⨯⨯=.故选：D 7．A【分析】先求得n a ，然后利用等差数列的性质求得5T .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()*12n n a S n +=+∈N ，则2131222a a a a a =+⎧⎨=++⎩，即213122424a a a a =+⎧⎨=+⎩，所以322a a =，所以322a q a ==，则112a q a =+，则11122,2a a a =+=，所以2n n a =，所以5656232,264a a ====，56326496a a +=+=，所以59652402T =⨯=.故选：A 8．A【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得0,a x ，进而可得A 、B 坐标，结合双曲线渐近线性质及3PQ =列方程求双曲线参数c ，即可得离心率.【详解】由题设得0009222ax a x x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0332a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，故C ：22219x y b -=，所以()()3,0,3,0A B -，渐近线为3b y x =±，设P 、Q 在3by x =-上，设直线3b y x =-的倾斜角为α，则tan 3bα=-，又22sin cos 1sin tan cos 3b ααααα⎧+=⎪⎨==-⎪⎩，解得cos α=，所以3cos OP OQ α==-=183PQ c ==，即6c =，所以623c e a ===，故选：A.9．C【分析】①结合三角函数的值域来处理恒成立问题；②根据题干可得到函数的周期，结合三角函数的最小正周期和周期的关系进行判断；③根据三角函数的单调性进行求解；④由于ϕ的任意性，类比sin y x =至少一个周期才保证至少有两个零点.【详解】对于①，若()1f x ≤恒成立，只需要()max 1f x ≤，根据正弦函数的值域可知，只需要21a +≤，则1a ≤-，①正确；对于②，()()πf x f x +=说明周期是πT =，但不能说明最小正周期是πT =，最小正周期的倍数是π均符合题意，例如()()2sin f x x a ωϕ=++最小正周期是π2，此时π2π42ωω=⇔=，显然()()πf x f x +=也成立，②错误；对于③，π3ϕ=时，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,3323x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数sin y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递增可知，ππππ3232ω<+≤，解得10,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，③正确；对于④，3a =()()2sin 3f x x ωϕ=+-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π,2x ωωϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若ϕ∀∈R ，()f x 有两个零点，则π,2ωϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦中至少包含sin y x =一个完整的周期，即π2π2ωϕϕ+-≥，得到4ω≥，④正确.综上所述故有3项正确.故选：C 10．12-##0.5-【分析】由复数的运算和解一元二次方程得出结果.【详解】()()222i 3i i+66i z a a a a a a =-+=+=++，所以22364a a ++=，解得12a =-，故答案为：12-.11．1【分析】根据给定条件，求出二项式6的展开式中3x 项即可得解.【详解】二项式6的展开式中3x 项为0636C x =，所以631x 的展开式中常数项为3311x x ⋅=.故答案为：1123【分析】由圆心到直线的距离等于等边三角形的高求出结果即可.【详解】圆心()1,2C ，半径r a =，圆心到直线的距离d ==因为ABC 为等边三角形，所以d a ==⇒=，13．0.810.2408【分析】利用独立重复事件的概率以及全概率公式求解.【详解】在该市场中购买甲长的两个灯泡，则均合格的概率为0.90.90.81⨯=，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.60.90.40.80.86⨯+⨯=，在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为12C 0.860.140.2408⨯⨯=故答案为：0.81；0.2408.14．1116##516【分析】根据共线定理推论即得；建立直角坐标系，写出直线BC 的方程，根据方程设点P 坐标，结合条件可得Q 的轨迹方程，进而设出点Q 坐标，根据已知表示出m n +然后利用三角函数的性质即得.【详解】因为AQ m AB n AC =+，若点Q 在边BC 所在的直线上，则1m n +=；以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()3,0B ，()0,4C ，得直线BC 的方程为134x y+=，则可设4,43P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中03t ≤≤，由2PQ =，得点Q 在以点P 为圆心，2为半径的圆上，可设42cos ,42sin 3Q t t θθ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，由()3,0AB =u u u r ，()0,4AC = ，42cos ,42sin 3AQ t t θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，因为AQ m AB n AC =+ ，所以()42cos ,42sin 3,43t t m n θθ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，所以2cos 3442sin 43t m t n θθ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，即2cos 3442sin 34t m t n θθ+⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，则()442sin 2cos 1253sin cos 1sin 134236t t m n θθθθθϕ-+++=+=++=++（其中4tan 3ϕ=），所以551166m n -≤+≤+，即11166m n ≤+≤，故m n +的最大值为116.故答案为：1；116.15．()(),42e,-∞-+∞ 【分析】当0x ≥时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图象，变换得到()2f x m=，根据函数图象得到102e m <<或1202m-<<，解得答案.【详解】当0x ≥时，()e x x f x =，()1e xxf x ='-，当[)0,1x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0f x '≤，函数()f x 单调递减，且()11ef =，当0x <时，()11e 2x f x +=--，其图象可以由e x y =的图象向左平移一个单位，再向下平移12个单位，再把x 轴上方的图象翻折到x 轴下方得到，画出函数图象，如图所示：()()2g x mf x =-，当0m =时，()2g x =-，无零点；当0m ≠时，()()20g x mf x =-=，即()2f x m=，函数()g x 有两个零点，即函数()f x 与函数2y m=的图象有两个交点，根据图象知：102e m <<或1202m-<<，解得2e m >或4m <-.故实数m 的取值范围是()(),42e,∞∞--⋃+.故答案为：()(),42e,∞∞--⋃+.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题是解题的关键，数形结合的思想需要熟练掌握.16．(1)12(2)10(3)731516-【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦展开式可求；（2）由三角形面积公式和同角三角函数关系求出sin C =8ab =，再由余弦定理解方程组可得三角形边长，进而求出周长；（3）由余弦展开式和二倍角公式求出结果即可.【详解】（1）由cos 2cos a A b B=-得到2cos cos a a B b A -=，由正弦定理和两角和的正弦展开式可得()2sin sin cos sin cos sin sin A A B B A A B C =+=+=，所以sin 1sin 2a A c C ==.（2）1sin 2S ABC ab C ==1cos 4C =，由22sin cos 1,0C C C +=>，解得sin C =8ab =，又由余弦地理和上问2c a =可得222221cos 34422a b c C b a abc a ⎧+-==⎪⇒-=⎨⎪=⎩，将8b a=代入上式可得()()22316402a a a +-=⇒=，所以，4b c ==，所以ABC 的周长为10.（3）2πcos 26ππcos 2cos sin 2sin661222sin cos B B B B B B B B⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-=-=- ①，由上问可知，等腰ABC ，4b c ==，2a =，所以1cos cos 4B C ==，sin 4B =，所以6πc s 261o B ⎛⎫-=⎭+ ⎪⎝.17．(1)详见解析；(2)(3)1【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面1C EF 的一个法向量为(),,n x y z =，论证10BD n ⋅= 即可；（2）由11//AC n，得到点1A 到平面1C EF 的距离为11d AC = 求解；（3）假设在边BC 上存在点M ，设(),6,0M x，由111cos ,5A M n A M n A M n⋅==⋅求解.【详解】（1）证明：由题设可得四棱台为正四棱台，故可建立如图所示空间直角坐标系：则()()()1113393396,6,0,,0,3,0,3,6,0,,,,,222222B D E F A C ⎛⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所有()1133993,3,0,,,,,,222222EF C E BD ⎛⎛==---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面1C EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则100EF n C E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即330330222x y x y z +=⎧⎪⎨---=⎪⎩，令1x =，则1,0y z ==，所以()1,1,0n =-，因为10BD n ⋅=，且1BD ⊄平面1C EF ，所以1BD ∥平面1C EF ；（2）易知()113,3,0A C =- ，则11//AC n，所以点1A 到平面1C EF的距离为11d A C ==；（3）假设在边BC 上存在点M ，设(),6,0M x ，则199,,22A M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因为直线1A M 与平面1C EF 所成的角的正弦值为225，所以111cos ,A M n A M n A M n ⋅=⋅ 即2341450x x -+=，解得5x =或29x =（舍去），则()5,6,0M ，此时1BM =.18．(1)22184x y +=(2)面积最大值为:0PQ x y +或0x y -+=(3)存在，S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由焦距是4求出c，将(-代入椭圆方程求出,a b ，得到答案；（2）根据题意设直线:PQ x my =1212,y y y y +，由1212OPQ S OT y y =⨯⨯- ，代入运算化简，利用不等式求出OPQ △面积的最大值；（3）根据题意有0PS QS k k +=，转化为)()121220my y sy y -++=，由第二问代入运算得解.【详解】（1）由题意，2c =，将点(-代入椭圆方程得22224421a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得28a =，24b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）根据题意知直线PQ 的斜率不为0，设直线:PQ x my =()11,P x y ，()22,Q x y ，联立22184x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22220m y +--=，12y y ∴+12222y y m -=+，且232160m ∆=+>，121622OPQ OTP OTQ S S S OT y y ∴=+=⨯⨯-=⨯=，令t =1t≥，3OPQ S t t∴=+V 当且仅当3tt=，即t =1m =±时，等号成立，所以OPQ △面积的最大值为PQ的方程为0x y +或0x y -+=.（3）在x轴上存在点,03S ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭使得PST QST ∠=∠，理由如下：因为PST QST ∠=∠，所以0PS QS k k +=，即12120y y x s x s+=--，整理得()()12210y x s y x s -+-=，即()()12210y my s y my s +=，即)()121220my y sy y -++=，则)22202m s m -⨯-⨯+，又0m ≠，解得463s =-，所以在x轴上存在点S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭使得PST QST ∠=∠.19．(1)n a n =，2nn b =(2)1211122414(121)48359n n k n k n n c +++=+=-++-∑(3)证明见详解【分析】（1）由题意可得数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，再分别求解公差与公比即可求；（2）代入化简可得12(21)2,2,2121n n nn n n c n n n -+⎧-⎪=⎨+-⎪++⎩为奇数为偶数，再分组根据错位相减与裂项相消求和即可；（3）放缩可得()()()21111132313323131n n n n n ⎛⎫<=⨯- ⎪-+-+⎝⎭+，再裂项相消求和即可.【详解】（1）因为()*122n n n a a a n ++=+∀∈N ，所以数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，因为()2*12n n n b b b n ++=⋅∀∈N ，所以数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，且0q >，因为1122a b ==，42a b =，534b b =，所以11421134a d b q b q b q +=⎧⎨=⎩，即421324d q q q +=⎧⎨=⎩，解得21q d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，1222n nn b -=⨯=.（2）由（1）可知，由()()1122(21)2,(21)2,(32)222,,21212121n n nn n n nn n n n n c n n n n n --++⎧-⎧-⎪⎪==--⎨⎨+-⎪⎪++++⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数，记11352121n n n A c c c c c +-+=+++++ 024*********(43)2(41)2n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ 0121145494(43)4(41)4n nn n -=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ 12114 1454 (43)4(41)4n n n A n n ++=⨯+⨯++-⨯++⨯ 作差,得:2311131444(41)4n n n A n +++-=+++⋅-+⨯ 21116413(112)41(41)41433n n n n n +++--=+-+⨯=-+-所以,1113(121)499n n n A ++-=+2462n nB c c c c =++++ 令2446682222446682222121212121212121n n nn ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1222541n n ++=-+∴1121111113(121)4222(121)422839954194145n n n k n n n n k n n n n c A B ++++++=-+-+=+=++-=-+++∑.（3）令()2131n d n =+，因为0n d >，且1116d =，所以()()()2221111163132131n ++⋅⋅⋅+≥+⨯++成立；因为()()()21111132313323131n n n n n ⎛⎫<=⨯- ⎪-+-+⎝⎭+，所以()()()2221111111111344732313132131n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⨯++⎣⎦ 111331n ⎛⎫=⨯- +⎝⎭，因为*n ∈N ，所以1031n >+，故11113313n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭，综上，所以()()()2221211111163313131n a a a ≤++⋅⋅⋅+<+++.20．(1)20x y -=(2)()0,1a ∈；证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）①利用导数研究函数的极值，分离参数计算函数的单调性计算即可求实数a 的取值范围；②结合①的结论先判定()f x 的单调性与最值，根据零点存在性定理即可判定零点个数，再根据函数的单调性结合构造函数来证明()120f x >即可证明结论.【详解】（1）当3a =时，()()3e sin 33e cos x xf x x f x x =--⇒=-'，所以()()00,02f f '==，即切点()0,0，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：20x y -=；（2）①.函数()e sin x f x a x a =--，()e cos xf x a x '=-，（ⅰ）当1a ≥时，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1x a >，()cos 0,1x ∈，()0f x ∴'>，则()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；（ⅱ）当01a <<时，设()e cos x x a x ϕ=-，则()e sin 0xx a x ϕ=+>'在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()x ϕ在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，即()f x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，又()010f a -'=<，π2πe 02f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点1x ，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极值点，符合题意，综上，a 的取值范围是()0,1．②由①知01a <<，当,ππ2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0xf x a x =->'，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,πx x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以()10,x x ∈时，()()00f x f <=，则()10f x <，又因为()()πππe e 10f a a a =-=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点0x ，即()f x 在()0,π上有唯一零点0x ．因为()12112e sin2xf x a x a =--，由①知()10f x '=，所以11cos xae x =，则()1112111111cos 2e sin2e cos 2sin cos e x xx x f x a x a x x x =--=--11111cos e 2sin e x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设()e 2sin e x xh x x -=--，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()e 2cos e x xh x x -=+'-，e e 2x x -+> ，2cos 2x <，所以()e e 2cos 0x xh x x -='+->()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增，又()00h =，所以()0h x >，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 0x >，所以()1111112cos e 2sin 0e xx f x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭．所以()()1020f x f x >=．由前面讨论知112πx x <<，10πx x <<，()f x 在()1,πx 单调递增，所以012x x <．【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

2022届天津市南开中学高三上学期第四次阶段检测数学试题一、单选题1．已知集合{}2A x x =<，{}2,1,0,1,2,3B =--，则()R A B =（ ） A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2,3 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3答案：D根据集合补集交集的定义进行计算即可． 解：解：{|2}R A x x =， 则(){2R A B =，3}， 故选：D ．2．()()52x y x y ++的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40答案：C【解析】把()5x y +按照二项式定理展开，可得()()52x y x y ++的展开式中33x y 的系数. 解：解：()()52x y x y ++()()051423232344555555552x y C x C x y C x y C x y C x y C y =+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅，故它的展开式中含33x y 的系数为3255230C C +=，故选：C ．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.3．函数()22()log 56f x x x =--的单调递减区间是（ ）A ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()6,+∞答案：B【解析】先求得()f x 的定义域，根据复合函数同增异减原则，求256y x x =--的单调递减区间即可，结合定义域，即可得答案.解：令2560x x -->，解得()f x 定义域为(,1)(6,)-∞-+∞，根据复合函数同增异减原则，求()f x 的单调递减区间，即求256y x x =--的单调递减区间即可，根据二次函数图象与性质， 256y x x =--的单调递减区间为5(,)2-∞，结合()f x 定义域可得()f x 的单调递减区间为(),1-∞-， 故选：B4．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()f x 是增函数，则()0.82a f =，12log 4.1b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21log 5c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>答案：C根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．解：解：122(log 4.1)(log 4.1)b f f =-=， ()f x 是奇函数，∴2221(log )(log 5)(log 5)5c f f f =-=--=，222log 5log 4.1log 42>>=，0.8122<<，则0.822log 5log 4.12>>， 当0x 时，()f x 是增函数， 0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f ∴>>，即c b a >>， 故选：C ．5．设函数()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下列结论中错误的是（ ）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个零点为6x π= 答案：D【解析】根据解析式即可得出周期和最大值，即可判断AB ；求出函数的单调递减区间即可判断C ；将6x π=代入即可验证D.解：()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个周期为221T ππ==，故A 正确；()f x 的最大值为2，故B 正确； 令322,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，263ππ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故C 正确； 22sin33f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且252sin 2sin 0636πππ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：D.6．已知抛物线2C y px =：(p 为常数)过点()13A ，，则抛物线C 的焦点到它的准线的距离是（ ） A ．13B ．16C ．3D ．23答案：B【解析】根据点()13A ，可求出p ，即可求出焦点到它的准线的距离. 解：抛物线过点()13A ，，3p ∴=， ∴抛物线的方程为213x y =，则焦点为10,12⎛⎫⎪⎝⎭，准线为112y =-， ∴焦点到它的准线的距离为16.故选：B.7．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++= A ．21 B ．42 C ．63 D ．84答案：B 解：由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.8．甲､乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，两人获一等奖的概率分别为13和12，若两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）A ．0.5B ．0.4C ．0.7D ．0.3答案：A甲乙两人中恰有一人获得一等奖有两种情况：甲获得一等奖而乙未获得一等奖、乙获得一等奖而甲未获得一等奖，由相互独立事件概率可求解. 解：由题意，设甲乙分别获得一等奖的概率为()13P A =和()12P B =,则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为()()1121132322P P AB P AB =+=⨯+⨯=.故选：A.9．已知k ∈R ，设函数2322,1()(1),1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+=⎨--+>⎩，若关于x 的不等式()0f x 在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为( ) A ．[0，2]e B ．[2，2]e C ．[0，4] D ．[0，3]答案：D当1x 时，2()22f x x kx k =-+，分1k <、1k 两类讨论，可求得0k ；当1x >时，3()(1)x f x x k e e =--+，分1k 、1k >两类讨论，可求得3k ；取其公共部分即可得到答案．解：解：（1）当1x 时，2()22f x x kx k =-+， ()f x ∴的对称轴为x k =，开口向上．当1k <时，()f x 在(,)k -∞递减，(,1)k 递增，∴当x k =时，()f x 有最小值，即()0f k ，01k ∴<；当1k 时，()f x 在(,1)-∞上递减，∴当1x =时，()f x 有最小值，即f （1）1=， 10∴显然成立，此时1k ．综上得，0k ；（2）当1x >时，3()(1)x f x x k e e =--+，()()x f x x k e '∴=-， 当1k 时，()f x 在(1,)+∞上递增，()f x f ∴>（1）30ke e =-+，2k e ∴，∴此时1k ；当1k >时，()f x 在(1,)k 递减，(,)k +∞递增，3()()0k f x f k e e ∴=-+，3k ∴，∴此时13k <．综上：03k ，关于x 的不等式()0f x 在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为03k ， 故选：D ．点评：本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题． 二、填空题10．若3nx⎛ ⎝的展开式中第7项为常数项，则常数项为_________(用数字填写答案).答案：84【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.解：根据二项式定理：6363(6)632727n n n n T C x x C x---⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴ 3270,9n n -==， ∴ 636629997T C x x C -⎛⎫== ⎪⎝⎭，故常数项为6984C =. 故答案为：84.11．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2- 4y = 0所截得的弦长为__________.答案：由题意求出直线方程、圆的标准方程、圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即得解解：设弦长为l ，过原点且倾斜角为60°的直线方程为0y y =⇔-= 整理圆的方程为：22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径2r = 圆心到直线的距离为：|20|12+=则：2ll ===故答案为：12．已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__答案：【解析】先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ．解：解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径25r =，∴圆心(2,4)-到l 的距离|281|55d -+==，2222205215AB r d ∴=-=-=．故答案为：215．点评：本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．13．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF mAB nAD =+，则mn=__________.答案：23【解析】根据平面向量线性运算可得到1324AF AB AD =+，由此确定,m n 的值，从而求得结果. 解：()11112222AF AD DF AD DE AD DC CE AD AB CB ⎛⎫=+=+=++=++ ⎪⎝⎭11132224AD AB AD AB AD ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，AF mAB nAD =+，12m ∴=，34n =，23m n ∴=.故答案为：23.点评：本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算，考查学生对于平面几何中的向量运算掌握的熟练程度. 14．下列四种说法：①命题“x R ∃∈，使得213x x +>”的否定是“x R ∀∈，都有213x x +≤”；②“2m =-”是“直线()210m x my +++＝与直线()()2230m x m y ++﹣﹣＝相互垂直”的必要不充分条件；③过点（12，1）且与函数1y x=图象相切的直线方程是430x y +-=．④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出的两个球恰好是同色的概率是12. 其中正确说法的序号是_________． 答案：①④【解析】①中特称命题的否定为全称命题；②中求出“直线（m +2）x +my +1＝0与直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0相互垂直”的充要条件，再进行判断；③中利用导数求解验证即可； ④利用概率乘法和加法公式计算即可．解：解：①中命题“∃x ∈R ，使得x 2+1＞3x ”为特称命题，其否定为全称命题，是“x R ∀∈，都有213x x +≤”，故①正确；②中2m =-时，两直线为：﹣2y +1＝0和﹣4x ﹣3＝0，两直线垂直， 而两直线垂直时，有()()()22+20m m m m +-+=，解得m ＝1或2m =-所以“2m =-”是“直线()210m x my +++＝与直线()()2230m x m y ++﹣﹣＝相互垂直”的充分不必要条件，故②错误；③若过点（12，1）且与函数1y x=图象相切的直线方程是430x y +-=正确， 设切点为P （x 0，y 0）， 则函数1y x=在P 点处的切线的斜率为 0201|4x x y x '==-=-， 解得012x =，所以切点为P 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 但切点P 1,22⎛⎫⎪⎝⎭不在切线430x y +-=上，故③错误；④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出的两个球恰好是同色的概率2222144442P =⨯+⨯=，故④正确．故答案为：①④． 三、双空题15．已知复数z 满足(1)3i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是_______，||z =______． 答案： 1-把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得复数z 的虚部，然后利用复数模的计算公式求||z ．解：由(1)3i z i +=+，得3(3)(1)21(1)(1)i i i z i i i i ++-===-++-， ∴复数z 的虚部是1-，22||2(1)5z =+-=． 故答案为：1-；5． 四、解答题16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若7c =，332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 答案：（1）3C π=（2）57+【解析】解：试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）1313sin 362222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-=a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为57+【解析】正余弦定理解三角形.17．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B －A 1D －A 的正弦值．答案：(1)17．(2)74．解：试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值．试题解析：解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{}1,,AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz . 因为AB =AD =2，AA 1=3，120BAD ∠=︒. 则()()()()()()110,0,0,3,1,0,0,2,0,3,0,0,0,0,3,3,1,3A B D EA C -.(1) ()()113,1,3,3,1,3A B AC =--=，则()()1111113,1,33,1,31cos ,77A B AC A B AC A B AC --⋅⋅===-.因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)平面A 1DA 的一个法向量为()3,0,0AE =.设(),,m x y z =为平面BA 1D 的一个法向量， 又()()13,1,3,3,3,0A B BD =--=-，则10,0,m A B m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即330,330.x y z x y -=+=⎪⎩不妨取x =3，则2y z ==，所以()2m =为平面BA 1D 的一个法向量，从而23,4AE m cosAE m AE m⋅⋅===,设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3cos 4θ=.因为[]0,θπ∈，所以sin θ==因此二面角B -A 1D -A 点睛:利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且2F 也是抛物线E ：24y x=的焦点，P 为椭圆C 与抛物线E 在第一象限的交点，且253PF =．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线()1y k x =-与椭圆C 交于R ，S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时，总有OTS OTR ∠=∠？说明理由． 答案：(1)22143x y += (2)存在，理由见解析（1）根据2F 也是抛物线E ：24y x =的焦点，求得c ，设点()00P x y ，，根据253PF =，求得点P 的坐标，代入椭圆方程，再根据,,a b c 三者的关系求出22,a b ，即可得出答案；（2）假设存在()0T t ，满足.OTS OTR ∠=∠设()11R x y ，，()22S x y ，，联立()2213412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消y ，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，由OTS OTR ∠=∠，故0TS TR k k +=，分析计算即可得出答案. (1)解：2F 也是抛物线E ：24y x =的焦点，()210F ∴，，1c ∴=，且抛物线的准线方程为1x =-，设点()00P x y ，， 253PF =， 0513x ∴+=， 023x ∴=，0y ∴==， 2248193a b∴+=， 2221a b c -==，解得24a =，23b =，∴椭圆方程为22143x y +=； (2)解：假设存在()0T t ，满足.OTS OTR ∠=∠设()11R x y ，，()22S x y ，， 联立()2213412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消y 整理得()22223484120k x k x k +-+-=， 由韦达定理有2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+①，其中0>恒成立， 由(OTS OTR ∠=∠显然TS ，TR 的斜率存在)，故0TS TR k k +=，即12120y y x t x t+=--②， 由R ，S 两点在直线()1y k x =-上，故()111y k x =-，()221y k x =-，代入②整理有()()12122120x x t x x t -+++=③，将①代入③即有：2624034t k -=+④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t =“时成立， 综上所述存在()40T ，，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠． 19． 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*112222n n a c a c a c n N +++∈. 答案：（I ）3n a n =，3n n b =；（II ）22(21)369()2n n n n +*-++∈N （I ）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得33d q =⎧⎨=⎩，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；（II ）根据题中所给的n c 所满足的条件，将112222n n a c a c a c +++表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.解：（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩， 故33(1)3n a n n =+-=，1333n n n b -=⨯=，所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n n b =；（II ）112222n n a c a c a c +++ 135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++ 123(1)[36](6312318363)2n n n n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ 21236(13233)n n n =+⨯⨯+⨯++⨯， 记 1213233n n T n =⨯+⨯++⨯ ①则 231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯ ② ②-①得，231233333n n n T n +=-----+⨯113(13)(21)333132n n n n n ++--+=-+⨯=-， 所以122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯ 22(21)369()2n n n n N +*-++=∈. 点评：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.20．已知()e (R e x f x x a a =-∈，为自然对数的底)．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()2e x f x ≤对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数()f x 有两个不同零点1x ，2x ，求证：122x x +>．答案：(1)见解析(2)1a ≥-(3)证明见解析（1）求出原函数的导函数()1e x f x a '=-，分0a ≤和0a >两种情况讨论，由导函数的符号确定原函数的单调性；（2）2()e e e x x x x f x a ≤≥⇔-，设()e ex x x F x =-，利用导数求出()F x 的最大值，则实数a 的取值范围可求；（3）由()f x 有两个不同零点1x ，2x ，得11e x x a =，22e x x a =，两式作差可得1212(e e )x x x x a -=-，即1212e e x x x x a -=-，要证122x x +>，只要证明12(e e )2x x a +>，即证121212e e ()2e ex x x x x x +->-，不妨设12x x >，记12t x x =-，则0t >，e 1t >，转化为(2)e 20t t t -++>，构造函数()(2)e 2(0)t h t t t t =-++>，利用导数证明(2)e 20t t t -++>成立即可．(1)解：()1e x f x a ='-，当0a ≤时，()0f x '>，所以()e x f x x a =-在R 上是增函数，当0a >，当ln x a <-时，()0f x '>，当ln x a >-时，()'0f x <，所以函数()f x 在()ln a -∞-，上是增函数，在()ln a -+∞，上是减函数； (2)解：()2e x f x ≤对R x ∈恒成立可化为2e e x x x a -≤对R x ∈恒成立， 故2e e xxx a -≥对R x ∈恒成立， 令()2e e xxx F x -=， 则()21e ex x x F x --'=，因为函数21e x y x =--时减函数，且()00F '=， 则当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上递增，在()0,∞+上递减，故F ()2e exx x x -=在0x =处有最大值()01F =- 所以1a ≥-；(3)证明：()f x 有两个不同零点1x ，2x ，则1212e ,e x x x a x a ==， 因此1212(e e )x x x x a -=-，即1212e e x x x x a -=-． 要证122x x +>，只要证明()12e e 2x x a +>，即证121212e e ()2e e x x x x x x +->-， 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0t >，e 1t >， 因此只要证明e 12e 1t t t +⋅>-，即(2)e 20t t t -++>． 记()(2)e 2(0)t h t t t t =-++>，()(1)e 1t h t t '=-+，令()()1e 1t t t ϕ=-+，则()e t t t ϕ'=，当0t >时，)0(e t t t ϕ'>=，所以函数()()1e 1t t t ϕ=-+在()0,∞+上递增，则()()00t ϕϕ>=，即()(0)0h t h '>'=，则()h t 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h t h ∴>=，即()2e 20t t t -++>成立，122x x ∴+>．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，正确求导是关键，主要查了学生的数据分析能力和逻辑推理能力，属难题．。