天津市南开中学2021届高三数学统练2(pdf版含答案)

天津市南开中学2021届高三数学上学期统练试题（5）（含解析）一、选择题1.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2.设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A. 2x <3y <5z B. 5z <2x <3y C. 3y <5z <2x D. 3y <2x <5z【答案】D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A. ax by cz ++B. az by cx ++C. ay bz cx ++D.ay bx cz ++【答案】B 【解析】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++ ()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.4.已知函数32()1f x x ax bx =+++，函数(1)1y f x =+-为奇函数，则函数()f x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 试题分析：32(1)1(3)(32)1f x x a x a b x a b +-=++++++++为奇函数，3a ∴=-，2b =，32()321f x x x x ∴=-++，2()362f x x x '∴=-+，则()0f x '=的两根为131x =-，231x =+，所以，()f x 的极小值为2()0f x >．又(0)10f =>，(1)50f -=-<，∴存在0(1,0)x ∈-，使0()0f x =．综上，函数()f x 的零点个数为1,故应选B ．考点：函数的零点和导数的有关知识的运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析表达式，运用题设中的(1)1y f x =+-是奇函数，求出函数解析式中的参数的值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得2()0f x >和，(1)50f -=-<，从而判定函数的零点在区间内．从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用．5.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.6.设函数()f x 满足()()()222,2,8x e e x f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D 【解析】【详解】函数()f x 满足2'()2()xex f x xf x x+=，()2'x e x f x x⎡⎤∴=⎣⎦，令()()2F x x f x =， 则()()()2',24?22x e e F x F f x ===，由()()2'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x-=，令()()2xx e F x ϕ=-， 则()()()2'2',x xe x x e F x xϕ-=-=()x ϕ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()x ϕ∴的最小值为()()()22220,0e F x ϕϕ=-=∴≥.又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，()f x ∴既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.7.若函数()22log 2axf x x x +=---为奇函数，则使不等式21log 60f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立的m 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()(),00,1-∞D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用()22log 2axf x x x+=---为奇函数，求出a ，由此求出该函数的定义域，不等式21log 60f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()11f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()22log 2x f x x x +=---在区间()2,2-s 递减，可得m 的取值范围.【详解】由函数()22log 2axf x x x+=---为奇函数，可得()()f x f x =--. 即：2222log log 22ax ax x x x x+---=-+-+，2222log log 22x ax ax x --∴=++，则2222x axax x --=++，所以，22244x a x -=-，得21a =，解得1a =±.①当1a =-时，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠，定义域不关于原点对称，不合乎题意； ②当1a =时，()22log 2x f x x x+=---，由202xx +>-，解得22x -<<，该函数的定义域为()2,2-，定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，函数()y f x =为奇函数.对于函数22log 2x y x +=-，内层函数24121x u x x +==----在()2,2-上单调递增，外层函数2log y u =在()0,∞+上单调递增，所以，函数22log 2xy x+=-在()2,2-上单调递增. 所以，函数()22log 2xf x x x+=---在()2,2-上单调递减，且()()22211log 31log 3log 6f =--=-+=-，由21log 60f m ⎛⎫+<⎪⎝⎭得()21log 61f f m ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，112m ∴<<，解得112m <<.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于中档题型.8.定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：,01010011;010101011,共14个【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．9.已知f (x )为偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，满足不等式()10f x -<的x 取值范围是（ ） A. ()1,3- B. ()3,1-C. ()(),13,-∞-+∞D. ()(),31,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式()10f x -<转化为()1(2)f x f -<，即可得到结论.【详解】解：由题意：f (x )为偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，可得f (x ) 在(0,)+∞上为减函数，且()20f -=，()10f x -<等价于()10f x -<，即()1(2)f x f -<， 则12x -＞，解得：3x ＞或1x <-， 故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.二、填空题（共6小题：共30分） 10.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，若2ii 12iz -+=+，则b =__________． 【答案】2- 【解析】()()2i 12i 2i i i 12i 5z ---+===-+，2i=z ∴=- a bi +，2b ⇒=-故答案为2-. 11.在二项式5(x -的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52. 【解析】 【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r 的值，然后求解2x 的系数即可. 【详解】结合二项式定理的通项公式有：355215512rrr r rr r T C xC x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r，则2x 的系数为：22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n 、r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 12.已知()331f x x x =+-，()33f a -=-，()31f b -=，则+a b 的值为______.【答案】6. 【解析】 【分析】令()33h x x x =+，可得()h x 为奇函数, ()()1f x h x =-,且()()330h a h b -+-=，可得+a b 的值.【详解】解：令()33h x x x =+，可得()h x 为奇函数，且()()1f x h x =-， 由()33f a -=-，可得()3(3)12h a f a -=-+=-，()31f b -=，可得()3(3)12h b f b -=-+=，可得()()330h a h b -+-=，由()h x 为奇函数，可得330a b -+-=，故6a b +=， 故答案为：6.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题，相对不难.13.已知函数()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，若函数f (x )在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】求出函数的导数，讨论a 的取值范围，得到函数()f x 的单调区间，结合函数的最大值，可得a 的取值范围.【详解】解：由()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，可得'()22f x Inx ax a =-+，设()22()g x Inx ax a x =-+＜0，'112()2ax g x a x x-=-=， 当0a ≤，(0,)x ∈+∞，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增， 当0a ＞，1(0,)2x a∈，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增； 1(,)2x a∈+∞，'()0g x ＜，函数()g x 单调递减； 由f (x )在1x =处取得极大值，可得'(1)0f =，当0a ≤时，'()f x 单调递增，当(0,1)x ∈，'()0f x ＜，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＞，()f x 单调递增，所以f (x )在1x =处取得极小值，与题意不符；当1a 20＜＜时，即12a1＞，可得：'()f x 在1(0,)2x a ∈单调递增，所以当(0,1)x ∈，'()0f x ＜，当1(1)2x a ∈，，'()0f x ＞，即f (x )在(0,1)x ∈单调递减，在1(1,)2x a ∈单调递增，所以f (x )在1x =处取得极小值，与题意不符； 当1a=2时，即1=2a1，'()f x 在(0,1)x ∈单调递增，在(1,+)x ∈∞单调递减， 所以当(0,+)x ∈∞，'()0f x ≤，()f x 单调递减，与题意不符；当12a ＞，即可1012a＜＜，当1(,1)2x a ∈，'()0f x ＞，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＜，函数()f x 单调递减，所以f (x )在1x =处取得极大值，符合题意，故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题.14.给出下列结论：①已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()()12,31f f -=-=-，则()()31f f <-；②函数()212log 2y x x =-的单调递减区间是(,0)-∞； ③已知函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，()2f x x =，则当0x <时，()2f x x =-；④若函数()y f x =的图象与函数xy e =的图象关于直线y x =对称，则对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③ 【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得()()331f f =--= ，而()12f -=，所以()()31f f <- ；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为()2,+∞；③ 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据0x >的解析式，求得0x < 的解析式；④()ln f x x =，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需,0x y >，由()()()f xy f x f y =+，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.15.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t=++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am≥-≤，由折线函数，如图只需11133a-≤-≤，即2433a≤≤，即a的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.三、解答题（共5小题：共65分）16.设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tana b A=，且B为钝角. （1）证明：2B Aπ-=；（2）求sin sinA C+的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）29(,]28.【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可. 试题解析：(Ⅰ)由tan a b A=及正弦定理，得sin sin cos sin A a A A b B==，∴sin cos B A=，即sin sin()2B Aπ=+，又B为钝角，因此(,)22Aπππ+∈，故2B Aπ=+，即2B Aπ-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A Bπ=-+(2)2022A Aπππ-+=->，∴(0,)4Aπ∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A Aπ+=+-2219sin cos22sin sin12(sin)48A A A A A=+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin A <<，因此221992(sin )488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29(,]8． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.17.如图,ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，//AF DE ，AD DE ⊥,26AF =,36DE =.（1）求证：面ACE ⊥面BED ；（2）求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；（3）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60？若存在，求出AMAF的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（213；（3）14.【解析】【详解】试题分析：（1）由平面ADEF ⊥平面ABCD ，AD DE ⊥可推出DE ABCD ⊥面，再根据ABCD 是正方形，可推出AC ⊥平面BDE ，从而可证AC ⊥平面BDE ；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面BEF 的法向量，即可求出直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；（3）点M 在线段AF 上，设()3,0,M t ，026t ≤≤，求出平面MBE 的法向量，根据二面角M BE D --的大小为60，即可求出t .试题解析：(1)证明：∵ADEF ABCD ⊥面面，ADEF ABCD AD 面面⋂=，DE ADEF ⊂面，DE AD ⊥∴DE ABCD ⊥面. ∵AC ABCD ⊂面 ∴DE AC ⊥ 又∵ABCD 是正方形 ∴AC BD ⊥∵DE BD D ⋂=，DE BED ⊂面，BD BED ⊂面 ∴AC ⊥平面BDE . 又∵AC ACE ⊂面 ∴A CE BED 面面⊥ .(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，则()3,0,0A ，(3,0,26F ，(0,0,36E ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，()3,3,0CA =-，(3,3,36BE =--，(3,0,6EF =-设平面BEF 的法向量为()222,,n x y z =，00n BE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1111133360360x y z x z ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩，1116,263x y z 则，===,则()6263n =，，∴-3613cos ,-133239CA n CA n CA n⋅===⨯. ∴直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为13.(3)解：点M 在线段AF 上，设()3,0,M t，0t ≤≤，则()0,3,BM t =-，(3,BE =--设平面MBE 的法向量为()111,,m x y z =，则00m BM m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1111130330y tz x y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令111,3y t z x t ===则，则()36,,3m t t =-，)1cos ,23236m CA m CA m CAt⋅===-+ ，整理得：22150t -+= 解得：()6562t t ==，舍， 此时14AM AF =. 18.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n nn T +=-⨯.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-，所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得()()01212233+3133nnn T n ---=+++--⋅()11121313313n n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n nn T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题. 19.已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x -+=--+-'=.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当0,22a a x ⎛⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当22a a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.20.设函数3()(1)f x x ax b =---，x∈R，其中a,b∈R.（Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若f （x ）存极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；（Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a af f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或313ax =-.当变化时，，的变化情况如下表：3(,1)3a -∞-313a - 33(1,1)33a a -+ 313a + 3(1,)3a++∞＋－＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a-∞-，3(1,)3a++∞.（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：（1）当时，33102133a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max(2),(0)max12,1M f fa b b==----，所以.（2）当时，2333231011213333a a a a-≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a a f f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a af f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a<-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， 233(0)(1)(1)33a a f f f <-=+，233(2)(1)(1)33a af f f >+=-， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤： （1）确定函数f （x ）的定义域（定义域优先）； （2）求导函数f ′（x ）；（3）在函数f （x ）的定义域内求不等式f ′（x ）＞0或f ′（x ）＜0的解集； （4）由f ′（x ）＞0（f ′（x ）＜0）的解集确定函数f （x ）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。

2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A．2ab ＜＜＜b B．2ab ＜＜＜bC．＜2ab ＜＜b D．2ab ＜＜b ＜5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A．{x|x＞5a或x＜﹣a} B．{x|﹣a＜x＜5a} C．{x|x＜5a或x＞﹣a} D．{x|5a＜x＜﹣a}7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D．[﹣2，0]∪[2，+∞）8．当x＜0时，函数的最小值是（）A．B．0 C．2 D． 4 9．不等式≥3的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D．{x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，）B．（，2）C．（1，）D．（0，1）11．对于恒成立，则a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a 的取值范围为．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值范是．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．17．若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2021•天津校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解为x ＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．20．（15分）（2021•天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．21．（15分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x 的不等式；．22．（15分）（2022•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用幂函数与对数函数的性质即可推断．解答：解：∵y=x3是R上的增函数，∴0＜a＜b，又y=log3x为[0，+∞）上的增函数，∴c=log30.3＜log31=0，∴c＜a＜b．故选D．点评：本题考查不等式比较大小，重点考查同学把握与应用幂函数与对数函数的单调性质，属于简洁题．2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即p：﹣1＜x＜1，q：﹣3＜x＜2，则p是q的充分不必要条件，故答案为：￢p是￢q的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据逆否命题的等价性推断p是q的充分不必要条件是解决本题的关键．3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）考点：基本不等式．专题：不等式．分析：问题转化为+a ﹣＞0在x＞0时恒成立，结合二次函数的性质，从而求出a的范围．解答：解：设x＞0，若x+＞1恒成立，则：x2﹣x+a＞0，即+a ﹣＞0，∴a ﹣＞0，解得：a ＞，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道基础题．4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A．2ab ＜＜＜b B．2ab ＜＜＜bC．＜2ab ＜＜b D．2ab ＜＜b ＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：b＞a＞0，且a+b=1，可得：1＞＞a，利用a2+b 2，可得．由＞，可得=．由于﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：∵b＞a＞0，且a+b=1，∴2a＜1=a+b＜2b，∴1＞＞a，=（a+b）（a2+b2）=a2+b 2=，又＞，∴，即=．﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1=2﹣﹣=0，∴＜b．综上可得：2ab ＜＜b．故选：B．点评：本题考查了不等式的基本性质、函数的性质、“作差法”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥考点：基本不等式．分析：依据基本不等式的性质可知．≥排解A ，取，推断出B不成立．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥排解C；看a＜b和a≥b，时D项均成立排解D．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴A ．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b 则≥恒成立若a≥b ，则=2≥0，∴≥故D恒成立点评：本题主要考查了基本不等式问题．考查了同学对基础学问的把握．6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A．{x|x＞5a或x＜﹣a} B．{x|﹣a＜x＜5a} C．{x|x＜5a或x＞﹣a} D．{x|5a＜x＜﹣a}考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出不等式对应的方程的两根，并判定两根的大小，从而得出不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0可化为（x﹣5a）（x+a）＞0；∵方程（x﹣5a）（x+a）=0的两根为x1=5a，x2=﹣a，且2a+1＜0，∴a ＜﹣，∴5a＜﹣a；∴原不等式的解集为{x|x＜5a，或x＞﹣a}．故选：C．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应依据条件，比较对应的方程两根的大小，求出不等式的解集来，是基础题．7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D．[﹣2，0]∪[2，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：首先分析题目求函数使得f（x）≥1的自变量x的取值范围，由于函数是分段函数，故需要在两段分别做分析争辩，然后求它们的并集即可得到答案．解答：解：对于求分段函数，f（x）≥1自变量的取值范围．可以分段求解：当x＜1时候，f（x）=|x+1|≥1，解得x≥0或x≤﹣2．依据前提条件故0≤x≤1，x≤﹣2满足条件．当x≥1时候，f（x）=﹣x+3≥1，解得x≤2，依据前提条件故1≤x≤2满足条件．综上所述x的取值范围是x≤﹣2或0≤x≤2．故选C．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想以及分类争辩的数学思想．要求同学理解分段函数的意义，即为自变量取值不同，函数解析式不同．8．当x＜0时，函数的最小值是（）A．B．0 C．2 D． 4考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：两次利用均值不等式求出最小值，留意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号．解答：解：∵x＜0则﹣x＞0∴﹣x ﹣≥2，当x=﹣1时取等号≥2+2=4当且仅当x=﹣1时取等号故选D．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要留意等号成立，属于基础题．9．不等式≥3的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D．{x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由原不等式可得，即1＜|x|≤2，由此求得x的范围．解答：解：不等式≥3，即≤0，∴，∴1＜|x|≤2，解得1＜x≤2，或﹣2≤x＜﹣1，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式、确定值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，）B．（，2）C．（1，）D．（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|9x＜27x }={x|3＜33x}={x|2x2＜3x}={x|0＜x ＜}，N={x|log（x﹣1）＞0}={x|0＜x﹣1＜1}={x|1＜x＜2}，则M∩N={x|1＜x ＜}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，是解决本题的关键．11．对于恒成立，则a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．考点：函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先将指数函数化成同底，再依据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方即判别式小于零即可．解答：解：=依据y=在R上是单调减函数则x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，△=（3﹣2a）2﹣4a2≤0解得，故选B．点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及依据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为＜x ＜＜1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．解答：解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x ＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故选：C．点评：本题考查一元二次不等式的应用，留意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a 的取值范围为[，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式．分析：依据不等式||＞a的解集为M，且2∉M，可得||≤a，由此即可求a的取值范围．解答：解：∵不等式||＞a的解集为M，且2∉M，∴||≤a，∴|a﹣|≤a∴a2﹣a+≤a2，解得：a≥，∴a的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）．点评：本题考查不等式的解法，考查同学的计算力量，属于基础题．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值范是（0，）∪（2，+∞）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（x）的奇偶性及在（﹣∞，0）上的单调性可推断其在（0，+∞）上的单调性，由f（x）的性质可把f（log x2）＜f（1）转化为具体不等式，解出即可．解答：解：由于f（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，若f（log x2）＜f（1），则﹣1＜log x2＜0，或0＜log x2＜1，解得：x∈（0，）∪（2，+∞）所以实数x的取值范围为（0，）∪（2，+∞），故答案为：（0，）∪（2，+∞）点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是利用函数的基本性质化抽象不等式为具体不等式，体现转化思想．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值范围是（0，1）．考点：确定值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，数形结合求得a的范围．解答：解：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，故有0＜a＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查带有确定值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．17．若正数x，y 满足+=2，则xy 的最小值是6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数x，y满足+=2，∴，化为xy≥6，当且仅当=1时取等号．则xy的最小值是6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2021•天津校级模拟）已知不等式（a+b ）x+（2a﹣3b）＜0的解为x＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：依据一元一次不等式的解求出a=3b＜0，利用消参法转化为含有参数b 的一元二次不等式，进行求解即可．解答：解：∵（a+b）x+（2a﹣3b）＜0，∴（a+b）x＜3b﹣2a，∵不等式的解为x＞﹣，∴a+b＜0，且=﹣，解得a=3b＜0，则不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．等价为bx2+（4b﹣2）x+（3b﹣2）＞0．即x2+（4﹣）x+（3﹣）＜0．即（x+1）（x+3﹣）＜0．∵﹣3+≤﹣1．∴不等式的解为﹣3+＜x＜﹣1．即不等式的解集为（﹣3+，﹣1）．点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式和一元二次函数不等式的求解，考查同学的运算和推理力量．20．（15分）（2021•天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：M⊆[1，4]有两种状况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种状况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：M⊆[1，4]有两种状况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种状况计算a的取值范围．设f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）（2）当△=0时，a=﹣1或2．当a=﹣1时，M={﹣1}⊄[1，4]，故舍去．当a=2时，M={2}⊆[1，4]．…（6分）（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．设方程f （x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M=[x1，x2]，由M⊆[1，4]可得1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）∴，解得2＜a ≤．…（10分）综上可得，M⊆[1，4]时，a的取值范围是（﹣1，]．…（12分）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类争辩的数学思想，属于中档题．21．（15分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x 的不等式；．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；综合题．分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．下面对k进行分类争辩：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．点评：本题主要是应用分类争辩思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1．要有明确的分类标准；2．对争辩对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3．当争辩的对象不止一种时，应分层次进行，以避开混乱．依据确定值的意义推断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．22．（15分）（2022•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数争辩函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f（0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类争辩，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）递减0 递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有微小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，明显A≠∅下面分三种状况争辩：①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]．点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类争辩．。

天津市南开中学2021届高三下学期第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度的单位：s，v 的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车连续行驶的距离（单位：m）是（）A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln22．若（a∈R）的开放式中x9的系数是﹣，则的值为（）A．1﹣cos2 B．2﹣cos1 C．c os2﹣1 D．1+cos23．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n +（n≥2），则S2021等于（）A．B．C．D ．4．若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos （+β）的值为（）A．0B．C．D ．5．关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）6．如图，在△ABC 中，=2，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若=m ，=n，则mn+m的最小值为（）A．6B．2C．6D．2 7．函数，则下列说法中正确命题的个数是（）①函数y=f（x）﹣ln（x+1）有3个零点；②若x＞0时，函数f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是[，+∞）；③函数f（x）的极大值中肯定存在最小值；④f（x）=2k f（x+2k），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立．A．1B．2C．3D．48．已知不等式a+2b+27＞（m2﹣m）（+2）对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣1，2）D．（﹣1，4）二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知复数z=2+i（i是虚数单位），则的虚部为．10．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=8cosθ与直线l ：（t为参数）相交于P，Q两点，则|PQ|=．11．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且∠EDF=∠C，若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2．则PA=．12．已知实数x，y 满足时，z=+（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为．13．已知定义域是R的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，若时，f（1+xlog27•log7a）≤f（x ﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=，若函数y=f[f（x）]﹣有且只有3个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．设f（x）=sinx+sin（x+）﹣cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．且f（A）=，a=2，b=，求角C及边c．16．在上海世博会期间，小红方案对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A区，3个场馆分布在B区，3个场馆分布在C区．已知A区的每个场馆的排队时间为2小时，B区和C区的每个场馆的排队时间为1小时．参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．（Ⅰ）求小红每个区都参观1个场馆的概率；（Ⅱ）设小红排队时间总和为X（小时），求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．17．如图：已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，直角梯形ABB1N中AN∥BB1，AB⊥AN，CB=BA=AN=2，BB1=4．（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）求二面角C﹣C1N﹣B1的正弦值；（Ⅲ）在BC边上找一点P，使B1P与CN 所成角的余弦值为，并求线段B1P的长．18．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，假如对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．19．已知抛物线y2=4x 的焦点为椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B．经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，且|S1﹣S2|=2，求直线l的方程；（Ⅲ）若M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的两动点，且满足x1x2+2y1y2=0，动点P 满足=+2（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程．20．设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．天津市南开中学2021届高三下学期第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度的单位：s，v 的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车连续行驶的距离（单位：m）是（）A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln2考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可．解答：解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4．∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车连续行驶的距离s===4+25ln5．故选C．点评：娴熟把握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．2．若（a∈R）的开放式中x9的系数是﹣，则的值为（）A．1﹣cos2 B．2﹣cos1 C．c os2﹣1 D．1+cos2考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：先求出二项式开放式的通项公式，再令x的幂指数等于09，求得r的值，即可求得开放式中的x9的系数，再依据x9的系数为﹣，求得a 的值，从而求得的值．解答：解：（a∈R）的开放式的通项公式为T r+1=••x18﹣3r，令18﹣3r=9，求得r=3，可得开放式中x9的系数是﹣•a﹣3=﹣，求得a=2，可得=sinxdx=﹣cosx=﹣（cos2﹣cos0）=1﹣cos2，故选：A．点评：本题主要考查定积分，二项式开放式的通项公式，属于基础题．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n +（n≥2），则S2021等于（）A．B．C．D ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过将a n=S n﹣S n﹣1代入S n +（n≥2），整理即得S n=﹣，写出n=1、2、3时对应的值，猜想通项公式并用数学归纳法证明，进而可得结论．解答：解：∵S n +=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n﹣1++2=0，∴S n=﹣，∵S1=a1=﹣，∴S2=﹣=﹣=﹣，S3=﹣=﹣=﹣，…猜想：S n=﹣．下面用数学归纳法来证明：（1）当n=1时明显成立；（2）假设当n=k≥2时，有S k=﹣，∴S k+1=﹣=﹣=﹣=﹣；综上所述：S n=﹣．∴S2021=﹣=﹣，故选：D．点评：本题考查求数列的前n项和，考查数学归纳法等基础学问，留意解题方法的积累，属于中档题．4．若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos （+β）的值为（）A．0B．C．D ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：综合题；三角函数的求值．分析：由题意可得﹣2β和α﹣是方程x3+sinx﹣2λ=0 的两个实数解．再由﹣α和2β的范围都是[﹣，]，方程x3+sinx﹣2λ=0在[﹣，]上只有一个解，可得﹣α=2β，所以+β=，由此求得cos （+β）的值．解答：解：∵4β3+sinβcosβ+λ=0，∴（﹣2β）3﹣2sinβcosβ﹣2λ=0，即（﹣2β）3+sin（﹣2β）﹣2λ=0．再由（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，可得（α﹣）3 +sin（α﹣）﹣2λ=0．故﹣2β和α﹣是方程x3+sinx﹣2λ=0 的两个实数解．再由α∈[0，π]，β∈[﹣，]，所以﹣α和2β的范围都是[﹣，]，由于函数x3+sinx 在[﹣，]上单调递增，故方程x3+sinx﹣2λ=0在[﹣，]上只有一个解，所以，﹣α=2β，所以+β=，所以cos （+β）=．故选：D．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，式子的变形是解题的关键，属于中档题．5．关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）考点：抛物线的简洁性质；椭圆的简洁性质；双曲线的简洁性质．专题：综合题；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意可知方程有一个根是1，进而可设x3+ax2+bx+c=0=（x﹣1）（x2+mx+n）依据多项式恒等的充要条件，的方程组，联立后可求得m和n，进而可构造函数f（x）=x2+mx+n，则可知f（x）=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率，依据判别式大于0，令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（﹣1，1），则可知的几何意义是直线的斜率，进而可求得范围．解答：解：依题意，关于x的方程x3+ax2+bx+c=0有一个根是1所以可设x3+ax2+bx+c=0=（x﹣1）（x2+mx+n）依据多项式恒等的充要条件，得m﹣1=a①n﹣m=b②n+c=0③取①②两式联立得m=a+1，n=a+b+1构造函数f（x）=x2+mx+n 即f（x）=x2+（a+1）x+（a+b+1）依题意f（x）=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率故0＜x1＜1＜x2依据一元二次方程根的分布，可得关于实系数a，b的约束条件：判别式=（a+1）2﹣4（a+b+1）=（a﹣1）2﹣4b﹣4＞0f（0）=a+b+1＞0，f（1）=2a+b+3＜0令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（﹣1，1），k=，则k的几何意义是直线PA的斜率．作图，得﹣2＜k＜0故选：A．点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合学问．涉及到了方程的根的分布，多项式恒等等学问，属中档题．6．如图，在△ABC 中，=2，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若=m ，=n，则mn+m的最小值为（）A．6B．2C．6D．2考点：平面对量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面对量及应用．分析：首先依据的向量的几何意义，利用P，M，Q三点共线，得出m，n的关系，利用基本不等式求最小值．解答：解：由已知，可得===，由于P，M，Q 三点共线，所以=1，所以mn+m===（）（）=≥=2，故选：D．点评：本题考查平面对量的几何运算，最值求解，得出=1是关键．7．函数，则下列说法中正确命题的个数是（）①函数y=f（x）﹣ln（x+1）有3个零点；②若x＞0时，函数f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是[，+∞）；③函数f（x）的极大值中肯定存在最小值；④f（x）=2k f（x+2k），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立．A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假推断与应用；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数推断．专题：数形结合．分析：①分别画出y=f（x）和y=ln（x+1）的图象，找其交点个数；②画出y=的图象，通过k的变化，观看双曲线的变化，找出在y=f（x）图象上方的k值；③通过f（x）的图象得到；④不完全归纳得到f（x）的解析式．解答：解：①先画出y=1﹣|x﹣2|（0≤x≤2）的图象C，由f（x）=f（x﹣2）（x＞2）得：将C的图象向右平移2k（k∈N*）个单位，再将纵坐标缩小为（k∈N*）倍，再画出y=ln（x+1）的图象，发觉有2个交点，故①错；②画出y=（x＞0）的图象，观看k的变化，当图象过点（3，）时，图象恒在y=f（x）的图象上，此时k=，所以实数k的取值范围是[，+∞），故②正确；③由y=f（x）的图象可知，f（x）的极大值中不存在最小值0，故③错；④当k=0，0＜X＜2时，f（x）=20f（x）=1﹣|X﹣1|；当2＜x＜4时，f（x）=f（x﹣2）；当4＜x＜6时，f（x）=f（x﹣4），…，当2k＜x＜2k+2时，f（x）=f（x﹣2k），即有f（x﹣2k）=2k f（x），从而有f（x）=2k f（x+2k）），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立，故④正确．故选：B．点评：本题主要考查分段函数的图象和性质，以及函数的零点、恒成立问题，函数解析式求法，意在考查运用数形结合数学思想方法解决问题的力量，是一道中档题．8．已知不等式a+2b+27＞（m2﹣m）（+2）对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣1，2）D．（﹣1，4）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：将原不等式化为m2﹣m ＜，利用基本不等式得a+2b+27=（a+9）+2（b+9）≥6（+2），求出的最小值，再求出m的范围．解答：解：原不等式化为：m2﹣m ＜对任意正数a，b都成立，由于a+2b+27=（a+9）+2（b+9）≥2+2×2=6（+2），当且仅当a=b=9时取等号，所以≥6，即当a=b=9时的最小值是6，所以m2﹣m＜6，则m2﹣m﹣6＜0，解得﹣2＜m＜3，则实数m的取值范围是（﹣2，3），故选：B．点评：本题考查不等式的性质，基本不等式的机敏应用求最值，以及恒成立问题，属中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知复数z=2+i（i是虚数单位），则的虚部为1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：依据复数的基本运算进行化简求解即可．解答：解：∵z=2+i，∴===1+i，故复数的实部为1，故答案为：1点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．10．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=8cosθ与直线l：（t为参数）相交于P，Q两点，则|PQ|=．考点：参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C：ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为直角坐标方程，把直线l参数方程代入上述方程可得：3t2﹣16t﹣64=0，利用|PQ|=|t1﹣t2|即可得出．解答：解：曲线C：ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．把直线l：（t 为参数）代入上述方程可得：3t2﹣16t﹣64=0，解得t1=﹣，t2=8．∴|PQ|=|t1﹣t2|==．故答案为：．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．11．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且∠EDF=∠C，若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2．则PA=．考点：弦切角．专题：立体几何．分析：利用△DEF∽△CED与已知可得EC的长，进而得到BE，利用相交弦定理可得AE•ED=EB•CE，得到AE．再利用AP∥CD，可得△AEP∽△FED，得到PE，进而得到PB，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC 即可得出．解答：解：在△DEF和△CED中，∵∠EDF=∠C，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴，∵DE=3，EF=2，∴EC==．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由相交弦定理可得AE•ED=EB•CE，∴AE==．∵AP∥CD，∴∠P=∠C，∴∠P=∠EDF．∴△AEP∽△FED，∴，∴==．∴PB=PE﹣EB=．∵PA与⊙O相切，∴PA2=PB•PC==．∴PA=．故答案为：．点评：本题综合考查了相像三角形的判定与性质、相交弦定理、切割线定理、平行线的性质等基础学问与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的力量，考查了推理力量和计算力量，属于难题．12．已知实数x，y 满足时，z=+（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b 的最小值为10．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=+（a≥b＞0）的最大值为1，得到a ，b的关系，利用基本不等式即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=+（a≥b＞0）得y=，∵a ≥b＞0，∴直线斜率k=∈[﹣1，0），平移直线y=，当直线y=经过点A时，y=的截距最大，此时z最大为1，由，解得，即A（1，4），此时，∴a+b=（a+b）（）=5+，当且仅当即b=2a时取等号，但此时不满足a≥b，∴基本不等式不成立，设t=，∵a≥b＞0，∴0＜t≤1，则g （t）=5+t+在（0，1]上是单调递减的，∴当t=1时，g（t）=5+t+取得最小值g（1）=5+1+4=10∴a+b的最小值为10，故答案为：10．点评：本题主要考查线性规划和基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．当基本不等式不成立时，要使用函数f（x）=x+的单调性来解决．13．已知定义域是R的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，若时，f（1+xlog27•log7a）≤f（x ﹣2）恒成立，则实数a 的取值范围是[，1]．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，x∈[，1]时，不等式f（1+xlog2a）≤f（x﹣2）恒成立，可得x∈[，1]时，|1+xlog2a|≤2﹣x，化为≤log2a ≤，x∈[，1]．再利用函数的单调性即可得出．解答：解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，x∈[，1]时，不等式f（1+xlog2a）≤f（x﹣2）恒成立，∴x∈[，1]时，|1+xlog2a|≤2﹣x，∴x﹣2≤1+xlog2a≤2﹣x，x∈[，1]．∴≤log 2a ≤，x∈[，1]．由=1﹣在x∈[，1]的最大值为﹣2，=﹣1在x∈[，1]的最小值为0．∴﹣2≤log2a≤0，解得≤a≤1．故答案为：[，1]．点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，属于中档题．14．已知函数f（x）=，若函数y=f[f（x）]﹣有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（﹣，﹣]．考点：根的存在性及根的个数推断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数y=f[f（x）]﹣有且只有3个零点可化为方程函数f[f（x）]﹣=0有且只有3个根，从而解得．解答：解：①若k≥0，则当f（x）≥0时，f[f（x）]=kf（x）+2≥2，故=，则f（x）=﹣log2＜0；而当x＜0时，f（x）=＞0，当x≥0时，f（x）=kx+2≥2，故不存在x，使f（x）=﹣log2；即函数y=f[f（x）]﹣没有零点；②若k＜0，则方程kx+2=﹣log2有一个根；若f（x）≥0，则kf（x）+2=，故f（x）=﹣；故kx+2=﹣或=﹣；故x=﹣﹣或﹣＞1；故x=﹣﹣≥0或﹣＞1；解得，﹣＜k≤﹣；故答案为：（﹣，﹣]．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．设f（x）=sinx+sin（x+）﹣cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．且f（A）=，a=2，b=，求角C及边c．考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用诱导公式、和差化积公式、积化和差公式进行计算得到f（x）=sin（x+），据此求得其最小正周期和单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得到，易得A=．由正弦定理得到：sinB==．结合角B的取值范围和特殊角的三角函数值推知角B的大小，利用三角形内角和定理可以求得角C的大小，所以由余弦定理来求c的值即可．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x+）﹣cos（x+），=sinx+sinx+cosx ﹣（﹣）cosx+（﹣）sinx，=sinx+cosx，=sin（x+），∴f（x）的最小正周期T=2π．由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），故f（x）的单调递减区间是[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵在锐角△ABC中，f（A）=，∴，即sin（A+）=1．由0≤A ≤，得A=．∵a=2，b=，∴由正弦定理=，得sinB==．由0≤B ≤，得B=．故C=π﹣A﹣B=π﹣﹣=．由余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcosC=4+6﹣2×2×cos=10﹣4×=4+2，故c=+1．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理，三角函数的周期性和单调性，函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2π÷ω．16．在上海世博会期间，小红方案对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A区，3个场馆分布在B区，3个场馆分布在C区．已知A区的每个场馆的排队时间为2小时，B区和C区的每个场馆的排队时间为1小时．参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．（Ⅰ）求小红每个区都参观1个场馆的概率；（Ⅱ）设小红排队时间总和为X（小时），求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出从10个场馆中选三个的基本大事的总数，小红每个区都参观一个场馆的大事包含的基本大事数，然后求解故小红每个区都参观1个场馆的概率．（Ⅱ）X的取值可能是3，4，5，6，分别对应没有大事参观A区场馆，参观一个A区场馆，参观两个A区场馆，参观三个A区场馆，分别求出概率得到分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）从10个场馆中选三个，基本大事的总数为个，小红每个区都参观一个场馆的大事包含的基本大事数为，故小红每个区都参观1个场馆的概率为．（Ⅱ）X的取值可能是3，4，5，6，分别对应没有大事参观A区场馆，参观一个A区场馆，参观两个A区场馆，参观三个A区场馆，=，=，=，=．所以X的分布列为：X 3 4 5 6PE（X）=+=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查计算力量．17．如图：已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，直角梯形ABB1N中AN∥BB1，AB⊥AN，CB=BA=AN=2，BB1=4．（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）求二面角C﹣C1N﹣B1的正弦值；（Ⅲ）在BC边上找一点P，使B1P与CN 所成角的余弦值为，并求线段B1P的长．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明AB⊥BB1，建立空间直角坐标系，证明B1N⊥BN，BN⊥B1C1，然后证明BN⊥平面C1B1N．（Ⅱ）求出平面法C1B1N 向量，设二面角二面角C﹣C1N﹣B1的平面角为θ，求出平面C1CN 的法利用向量的数量积求解即可．（Ⅲ）设P（0，0，a）为BC 上一点，推出，通过=，求解P，然后求解线段B1P的长度．解答：（Ⅰ）证明：∵矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，则CB⊥底面ABB1N，∵AN∥BB1，AB⊥AN，则AB⊥BB1，建立如图所示的空间直角坐标系，则知N（2，2，0），C1（0，4，2），B1（0，4，0），C（0，0，2），∵，则B1N⊥BN，BN⊥B1C1，且B1N∩B1C1=B1，则BN⊥平面C1B1N．（Ⅱ）解：设平面法C1B1N 向量为∵=（2，2，0），∴设=，则求得=（1，1，0）．设二面角二面角C﹣C1N﹣B1的平面角为θ，设平面C1CN 的法向量为：=（x，y，z），则，，由．得=（1，0，1）cosθ==，∴．（Ⅲ）解：设P（0，0，a）为BC 上一点，则，=（2，2，﹣2），则有=，则a2﹣17a+16=0，解得a=1．∴P（0，0，1），，∴=则线段B1P 的长度为．点评：本题考查空间向量的应用，二面角的平面角的求法，空间距离公式的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算力量以及规律推理力量．18．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，假如对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．专题：综合题．分析：（Ⅰ）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到，利用等差数列的定义得证（Ⅱ）利用等差数列的通项公式求出，求出b n，a n．（Ⅲ）先通过裂项求和的方法求出S n ，代入化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的争辩求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知，得2b n=a n+a n+1①，a n+12=b n•b n+1②．由②得③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有．即．∴是等差数列．（Ⅱ）设数列的公差为d，由a1=10，a2=15．经计算，得．∴．∴．∴，．（Ⅲ）由（1）得．∴．不等式化为．即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．当a﹣1＞0，即a＞1时，不满足条件；当a﹣1=0，即a=1时，满足条件；当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n ）的对称轴为，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）=4a﹣15＜0．解得，∴a＜1．综上，a≤1．点评：证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分别参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．19．已知抛物线y2=4x 的焦点为椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B．经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，且|S1﹣S2|=2，求直线l的方程；（Ⅲ）若M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的两动点，且满足x1x2+2y1y2=0，动点P 满足=+2（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过抛物线的焦点，求出椭圆中的c，椭圆的长轴为4得a，然后求解椭圆的标准方程．（Ⅱ）方法一：设直线l ：，代入椭圆方程，设C（x1，y1）、D（x2，y2），通过面积关系求出m，然后求解直线方程．方法二：当直线l斜率不存在时，推出△ABD，△ABC面积相等，当直线l斜率存在（明显k≠0）时，设直线方程为，设C（x1，y1），D（x2，y2）和椭圆方程联立，通过|S1﹣S2|=|2||y2|﹣|y1|求出，得到直线方程．（Ⅲ）设P（x P，y P），M（x1，y1），N（x2，y2），利用=+2，结合x1x2+2y1y2=0…②，M，N是椭圆上的点，推出，可得点P的轨迹方程．解答：解：（Ⅰ）由题设可知：由于抛物线y2=4x 的焦点为（，0），椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点，可得c=，且椭圆的长轴长为4，所以椭圆中的a=2，∴b=．故椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）方法一：设直线l ：，，代入椭圆方程得，设C（x1，y1）D（x2，y2），A（﹣2，0）B（2，0）于是=所以故直线l 的方程为方法二：当直线l 斜率不存在时，直线方程为，此时△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0当直线l斜率存在（明显k≠0）时，设直线方程为设C（x1，y1），D（x2，y2）和椭圆方程联立得到，消掉y 得明显△＞0，方程有根，且此时|S1﹣S2|=|2||y2|﹣|y1||=2|y2+y1|==由于k≠0，上式，解得，所以直线方程为．（Ⅲ）设P（x P，y P），M（x1，y1），N（x2，y2），由=+2可得：…①，x1x2+2y1y2=0…②，M，N是椭圆上的点，故，，由①②可得：=，故，即点P 的轨迹方程是．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的力量，转化思想的应用．20．设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；压轴题．分析：（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥整理成e x≥1+x，组成新函数g（x）=e x﹣x﹣1，然后依据其导函数推断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种状况进行争辩．当a＜0时依据x的范围可直接得到f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，依据导函数推断单调性并求出最值，求a的范围．解答：解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥当且仅当e x≥1+x 令g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即e x≥1+x所以当x＞﹣1时，f（x）≥（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0当a＜0时，若x ＞﹣，则＜0，f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则f（x）≤当且仅当h（x）≤0由于f（x）=1﹣e﹣x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）（i）当0≤a ≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x）h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x）=（2a﹣1）f（x）≤0，h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤（ii）当a ＞时，由（i）知x≥f（x）h'（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（2a﹣1﹣ax）f（x）当0＜x ＜时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x ）＞综上，a的取值范围是[0，]点评：本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用学问的力量及分类争辩的思想，考查考生的计算力量及分析问题、解决问题的力量；导数常作为2021届高考的压轴题，对考生的力量要求格外高，它不仅要求考生坚固把握基础学问、基本技能，还要求考生具有较强的分析力量和计算力量．估量以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的争辩，这也是难点之所在．。

天津市南开区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题第I 卷注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：●锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.●对于事件(),,0A B P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅∣.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}1,0,1,2,3,0,1,2,{12}U A B x x =-==∈-<<Z ∣，则()U A B =ð（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.【详解】{}{12}0,1B x x =∈-<<=Z ∣，{}1,0,1,2,3U =-{}U 1,2,3B ∴=-ð又{}0,1,2A = ∴()U A B = ð{}2故选：C2.函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案.【详解】因为2()sin 12xf x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xxx f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B.33223322sin(10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.3.“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】因为2R,0x x x a ∃∈-+<，所以()2140a ∆=-->，解得14a <.所以(),1-∞1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（）A.0.02B.0.2C.0.04D.0.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1,10,0.45,10,0.05a a ，则0.1100.45100.05200.61a a a ++++=+=，解得0.020a =.故选：A.5.设0.40.40.3log ,log 022,.3a b c ===，则（）A.a c b <<B.b a c <<C.c b a <<D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.【详解】20.0.3243log ,o lo 1122log 0.4l g 0.g a b ====，由2log y x =在()0,∞+上单调递增，0.40.3>，得220.40.30>log log >，所以22110log 0.4log 0.3<<，即0.40.30log l 2og 2<<，于是有0a b <<，由0.40.30c =>，得0a b c <<<，所以a b c <<.故选：D.6.数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（）A.16B.16-C.6D.6-【答案】D 【解析】【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果.【详解】当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121aa a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-.故选：D.7.已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（）A.13B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】易证AB ⊥平面1CDO ，然后由11--=+ABCD A CDO B CDO V V V 求解.【详解】解：如图所示：连接11CO DO ，因为AB CD ⊥，12AB O O ⊥，且122O O CD O ⋂=，所以AB ⊥平面1CDO ，所以11--=+ABCD A CDO B CDO V V V ，111142223323=⋅=⨯⨯⨯⨯= CDO S AB ，故选：D8.设函数()()(0,π)f x x ωϕωϕ=-><.若π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A.17π,312ωϕ==-. B.111π,324ωϕ==C.2π,312ωϕ==-D.211π,312ωϕ==【答案】C 【解析】【分析】由题意求得4T，再由周期公式求得ω，再由5π8⎛⎫= ⎪⎝⎭f π2π12k ϕ=--，结合||πϕ<，求得ϕ值，即可得解．【详解】由()f x 的最小正周期大于2π，可得π42T >，因为π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5ππ3π4884=+=T ，则3πT =，且0ω>，所以2π23T ω==，即2()3ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ，由5π25π838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得5ππ2π122ϕ-=+k ，k ∈Z ，则π2π12k ϕ=--，k ∈Z ，且π<ϕ，可得0k =，π12ϕ=-，所以23ω=，π12ϕ=-.故选：C ．9.已知()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为6π，则双曲线的标准方程为（）A.22163x y -= B.22136x y -= C.2218y x -= D.2218x y -=【答案】B 【解析】【分析】设点P 为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得14PF a =，22PF a =，在12PF F △中，根据大边对大角可知12PF F ∠为最小角，进而根据余弦定理求得a ，再得到b ，即可得到答案.【详解】设点P 为双曲线右支上一点，则12PF PF >，因为122PF PF a -=，且126PF PF a +=，所以14PF a =，22PF a =，由题，因为1226F F c ==，则2242c a a a>⎧⎨>⎩，所以12PF F ∠为最小角，故126PF F π∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理可得，()()()22242232422a c a a c+-=⋅⋅，解得a =所以b ，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：B第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数1212i,i z z a =+=-，若12z z ⋅是实数，则实数a 的值为__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得()()12221i ⋅=++-z z a a ，进而结合题意可得210a -=，运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()()1212i i 221i ⋅=+-=++-z z a a a ，若12z z ⋅是实数，则210a -=，解得12a =.故答案为：12.11.6⎛⎫展开式中，3x 的系数等于________．【答案】15【解析】【详解】⎛⎫6的通项为T r ＋1＝C 6r⎛⎫6－r ⎛ ⎝r ＝C 6r (－1)r x6－32ry 32r －3，令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 62(－1)2＝15.12.直线21y x =+与圆C ：22450x y x +--=相交于M ，N 两点，则MN =______．【答案】4【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.【详解】解：圆C ：()2229x y -+=，其圆心坐标为()2,0，半径为3．圆心()2,0到直线2x －y ＋1＝0的距离d ==则4MN ===．故答案为:4.13.设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为__________.【答案】0.82##4150【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件1A =“甲乘汽车前往某目的地”，事件2A =“甲乘动车前往某目的地”，事件B =“甲正点到达目的地”.()()()()()11220.40.70.60.90.82P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.故答案为：0.8214.在ABC 中，1,90AC BC C ∠===，则CA CB +=__________；若P 为ABC 所在平面内的动点，且3PC =，则PA PB ⋅ 的取值范围是__________.【答案】①.②.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立，利用向量的坐标运算求CA CB + ；设33cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的坐标运算结合辅助角公式可得()1sin 3PA PB θϕ⋅=-+ ，再结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】如图，以C 为坐标原点，,AC BC 分别为,x y 轴所在直线，建立平面直角坐标系，则()(()1,0,,0,0A B C ，可得()(1,0,CA CB == ，则(CA CB +=，所以CA CB +==；因为3PC =，设cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得1cos,sin,cos sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33331cos cos sin sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+--⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11sin cos sin3333θθθϕ⎛⎫=-+=-+⎪⎪⎝⎭，其中cos,sin33ϕϕ==，因为()[]sin1,1θϕ+∈-，所以()124sin,333PA PBθϕ⎡⎤⋅=-+∈-⎢⎥⎣⎦.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15.已知函数()()1221,1,log1,1,x xf xx x-⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x m=有三个不等的实根，则实数m的取值范围是__________；函数()()()()322g x f f x f x=--的零点个数是__________.【答案】①.(]1,2②.4【解析】【分析】作出()f x大致图象，结合图象可得实数m的取值范围；令()f x t=，将问题转化为()322f t t=+，根据图象分析得()122f t t=+有两个零点为10t=，()21,2t∈，从而考虑()1f x t=与()2f x t=根的个数即可求解.【详解】作出()f x大致图象如下：若方程()f x m=有三个不等的实根，由图象可得实数m的取值范围是(]1,2；令()f x t=，则()3202f t t--=，可得()322f t t=+，且()302f =，结合图象可知方程()322f t t =+的一个根10t =，另一个根()21,2t ∈，当10t =时，()f x 与1y t =的图象有1个交点，所以()1f x t =有1个实根，当()21,2t ∈时，()f x 与2y t =的图象有3个交点，所以()2f x t =有3个实根，综上所述：()g x 共有4个零点.故答案为：(]1,2；4.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且)2222sin ac B a c b =+-，2a c =.（1）求角B 的大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -的值.【答案】（1）π3B =（2）π4A =（3）28【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；（2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（3）可得5π12=C ，代入结合降幂公式分析求解.【小问1详解】因为)2222sin ac B a c b =+-，由余弦定理可得2sin cos =ac B B ，则tan B =.又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为2a c +=，由正弦定理可得sin 2sin A B C =，即π2sin 2sin π33A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 2A A A +=+，则cos 2A =.因为0πA <<，所以π4A =.【小问3详解】由（1）（2）可得()5ππ12=-+=C A B ，则2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -5π5π1cos sin ππππ66sin cos cos sin 432432-=⋅⋅-⋅3111222222228+=⨯-=.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11AB 上一点（不含端点），F 为棱BC 的中点.（1）若E 为棱11A B 的中点，（i ）求直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值；（ii ）求平面11A BC 和平面AC 的夹角的余弦值；（2）求直线EF 与11A C 所成角余弦值的取值范围.【答案】（1）（i ）23；（ii）3（2）,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；（i ）求出直线EF 的方向向量和平面A 1BC 1的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（ii ）分别求出平面A 1BC 1和平面AC 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（2）根据（1）的结论，分别求出直线EF 和直线A 1C 1的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若E 为棱11A B 的中点，则()()2,1,2,1,2,0E F ，()()()112,2,0,2,0,2,0,2,2B A C .所以()()()1112,2,0,0,2,2,1,1,2A C BA FE =-=-=- .（i ）设平面11A BC 的一个法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A C n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则()1,1,1n = .设EF 与平面11A BC 所成角为α，则有sin cos ,3n FE n FE n FEα⋅==== .故直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值为23.（ii ）易知平面AC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面PDC 和平面EAC 的夹角为β，则有||cos |cos ,|||||3m n m n m n β⋅=〈〉== .故平面11A BC 和平面AC的夹角的余弦值为3.【小问2详解】设直线EF 与11A C 所成角为(),2,,2(02)E m m θ<<，则()1,2,2FE m =- .所以111111cos cos ,A C FE A C FE A C FE θ⋅====因为02m <<，所以952m m +>，即1211954m m <-<+-1<，所以102102<，即102cos 102θ<<.故直线EF 与11A C所成角余弦值的取值范围为,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.18.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点226,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且其左焦点坐标为()1,0-.（1）求椭圆的方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.【答案】（1）22143x y +=（2）487.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出AC BD +，利用二次函数可得答案.【小问1详解】因为椭圆E 的左焦点坐标为()1,0-，所以右焦点坐标为()1,0,1c =.又椭圆E经过点2,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以24,a b ====所以椭圆的方程为22143x y +=.【小问2详解】①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，7AC BD +=.②当直线AC 的斜率存在且不为0时，设直线AC 的方程()()11221,,,,x ty A x y C x y =+，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2212134t AC t +=+.设直线BD 的方程为11x y t =-+，同理得()2212134t BD t +=+，所以()()()22228413434t AC BD t t ++=++，设21m t =+，则1m >，则()()22284848448113141711491224m AC BD m m m m m +===≥+-⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，所以2m =时，AC BD +有最小值487.综上，AC BD +的最小值是487.19.已知正项等比数列{}n a 满足1232,12a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为12,1n S b =，当2n ≥时，10n n n S S b -+=.（1）求{}n a 的通项公式：（2）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n S ；（3）设数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()29n n T n a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）2nn a =（2）证明见解析，11n S n =+（3）3λ≤.【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；（2）利用n a 与n S 的关系以及等差数列的定义求解；（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由1232,12a a a =+=，得22212q q +=，解得2q =，所以2n n a =.【小问2详解】当2n ≥时，10n n n S S b -+=，所以()110n n n n S S S S --+-=，整理得1111n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S b ==为首项，1为公差的等差数列.所以11n n S =+，即11n S n =+.【小问3详解】由（1）､（2）知()12n n n a n S =+⋅，所以()1231223242212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ，①()23412223242212,n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ②①-②得()()231422212n n n T n +-=++++-+⋅ 12n n +=-⋅,所以12n n T n +=⋅.由()29n n T n a λ≤+得()12292n n n n λ+⋅≤+⋅，即922n nλ≤+，因为9322n n +≥=，当且仅当3n =时，等号成立，所以3λ≤.20.已知函数()()ln ,a f x x x g x x x =-=+，且函数()f x 与()g x 有相同的极值点.（1）求实数a 的值；（2）若对121,,3e x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x f x k -≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()e cos x x f x g x x++<.【答案】（1）1（2）()2ln3,∞-+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的极大值点为1x =，由(1)0g '=可得1a =，经检验可确定1a =；（2）先求得()f x 在1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，然后分1k >-和1k <-两种情况可得k 的取值范围；21(0)2x x >和21ln e 2x x x x -<-即可证令()（3）所证不等式即为x ln x -e x <cos x -1，通过证明cos x -1>-得结果.【小问1详解】110f x x'=-=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>在()0,1单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<在()1,+∞单调递减，故函数()f x 的极大值点为1x =.令()210a g x x=-='，由题意可得()110g a '=-=，解得1a =，经验证符合题意，故实数a 的值为1.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()1,3单调递减，又()()111,11,3ln33e e f f f ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，且1ln3311e-<--<-，所以当1,3e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max min ()11,()3ln33f x f f x f ==-==-，若不等式()()12f x f x k -≤恒成立，则()max min ()()1ln332ln3≥-=---=-k f x f x ，所以k 的取值范围为()2ln3,∞-+.【小问3详解】所证不等式即为ln e cos 1x x x x -<-.先证：21cos 1(0)2x x x ->->，即证21cos 102x x +->在()0,∞+上恒成立，设()()21cos 1,sin 2h x x x h x x x =+-='-+，设()()'=d x h x ，因为()cos 10'=-+>d x x 在()0,∞+上恒成立，所以()h x '在()0,∞+单调递增，则()()00h x h ''>=，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()00h x h >=，所以21cos 1(0)2x x x >->.再证：21ln e 2x x x x -<-，即证2ln e 12x x x x <-.设()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -'==，当()0,e x ∈时，()()0,m x m x '>单调递增，当()e,x ∈+∞时，()()0,m x m x '<单调递减，所以()()1e em x m <=.设()()()232e e 1,2x x x x x x x ϕϕ-=-='，当()0,2x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()2e 1242x ϕϕ>=-.所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x <<-<-，即2ln e 12x x x x <-.综上，ln e cos 1x x x x -<-，得证.【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明ln e cos 1x x x x -<-转化为证明21cos 1(0)2x x x ->->和21ln e 2x x x x -<-.。

2023—2024学年度第一学期阶段性质量监测（二）高三年级 数学学科2024.01本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利!第I 卷注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：●锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.●对于事件(),,0A B P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅∣.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}{}1,0,1,2,3,0,1,2,{12}U A B x x =-==∈-<<Z ∣，则()U A B =ð（ ）A. ∅B. {}1 C. {}2 D. {}1,22. 函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ）A. B.C. D.3. “1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（ ）A. 0.02B. 0.2C. 0.04D. 0.45. 设0.40.40.3log ,log 022,.3a b c ===，则（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c b a<< D. a b c<<6. 数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积n T ，则10T 等于（ ）A.16B. 16-C. 6D. 6-7. 已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ）A.13B.23C. 1D.438. 设函数()()(0,π)f x x ωϕωϕ=-><.若π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A.17π,312ωϕ==-. B.111π,324ωϕ==C.2π,312ωϕ==-D.211π,312ωϕ==9. 已知()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为6π，则双曲线的标准方程为（）为A. 22163x y -= B. 22136x y -= C. 2218y x -= D. 2218x y -=第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 已知复数1212i,i z z a =+=-，若12z z ⋅是实数，则实数a 的值为__________.11. 6展开式中，3x 的系数等于________．12. 直线21y x =+与圆C ：22450x y x +--=相交于M ，N 两点，则MN =______．13. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为__________.14. 在ABC中，1,90AC BC C ∠===，则CA CB +=__________；若P 为ABC 所在平面内的动点，且PC =PA PB ⋅ 的取值范围是__________.15. 已知函数()()1221,1,log 1,1,x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x m =有三个不等的实根，则实数m 的取值范围是__________；函数()()()()322g x f f x f x =--的零点个数是__________.三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且)2222sin ac B a c b =+-，2a c =.（1）求角B 大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -的值.17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点（不含端点），F 为棱BC 的中点.的（1）若E 为棱11A B 的中点，（i ）求直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值；（ii ）求平面11A BC 和平面AC 的夹角的余弦值；（2）求直线EF 与11A C 所成角余弦值的取值范围.18. 设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23⎛ ⎝，且其左焦点坐标为()1,0-.（1）求椭圆方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.19. 已知正项等比数列{}n a 满足1232,12a a a =+=，数列{}n b 前n 项和为12,1n S b =，当2n ≥时，10n n n S S b -+=.（1）求{}n a 的通项公式：（2）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列，并求n S ；（3）设数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()29n n T n a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.20. 已知函数()()ln ,af x x xg x x x=-=+，且函数()f x 与()g x 有相同的极值点.（1）求实数a 的值；（2）若对121,,3ex x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x f x k -≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()e cos x xf xg x x++<.的的是2023—2024学年度第一学期阶段性质量监测（二）高三年级 数学学科2024.01本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利!第I 卷注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：●锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.●对于事件(),,0A B P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅∣.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}{}1,0,1,2,3,0,1,2,{12}U A B x x =-==∈-<<Z ∣，则()U A B =ð（ ）A. ∅B. {}1 C. {}2 D. {}1,2【答案】C 【解析】【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.【详解】{}{12}0,1B x x =∈-<<=Z ∣，{}1,0,1,2,3U =-{}U 1,2,3B ∴=-ð又{}0,1,2A = ∴()U A B = ð{}2故选：C2. 函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案.【详解】因为2()sin 12xf x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xxx f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B.33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.3. “1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】因为2R,0x x x a ∃∈-+<，所以()2140a ∆=-->，解得14a <.所以(),1-∞ 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故 “1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（ ）A. 0.02B. 0.2C. 0.04D. 0.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1,10,0.45,10,0.05a a ，则0.1100.45100.05200.61a a a ++++=+=，解得0.020a =.故选：A.5. 设0.40.40.3log ,log 22,.3a b c ===，则（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c b a <<D. a b c<<【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.【详解】20.0.3243log ,o lo 1122log 0.4l g 0.g a b ====，由2log y x =在()0,∞+上单调递增，0.40.3>，得220.40.30>log log >，所以22110log 0.4log 0.3<<，即0.40.30log l 2og 2<<，于是有0a b <<，由0.40.30c =>，得0a b c <<<，所以a b c <<.故选：D.6. 数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ）A.16B. 16-C. 6D. 6-【答案】D 【解析】【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果.【详解】当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121a a a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-.故选：D.7. 已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ）A.13B.23C. 1D.43【答案】D 【解析】【分析】易证AB ⊥平面1CDO ，然后由11--=+ABCD A CDO B CDO V V V 求解.【详解】解：如图所示：连接11C OD O，因为AB CD ⊥，12AB O O ⊥，且122O O CD O ⋂=，所以AB ⊥平面1CDO ，所以11--=+ABCD A CDO B CDO V V V ，111142223323=⋅=⨯⨯⨯⨯= CDO S AB ，故选：D 8. 设函数()()(0,π)f x x ωϕωϕ=-><.若π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A17π,312ωϕ==-. B.111π,324ωϕ==C.2π,312ωϕ==-D.211π,312ωϕ==【答案】C 【解析】【分析】由题意求得4T，再由周期公式求得ω，再由5π8⎛⎫= ⎪⎝⎭f π2π12k ϕ=--，结合||πϕ<，求得ϕ值，即可得解．【详解】由()f x 的最小正周期大于2π，可得π42T >，因为π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5ππ3π4884=+=T ，则3πT =，且0ω>，所以2π23T ω==，即2()3ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ，由5π25π838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得5ππ2π122ϕ-=+k ，k ∈Z ，则π2π12k ϕ=--，k ∈Z ，且π<ϕ，可得0k =，π12ϕ=-，所以23ω=，π12ϕ=-.故选：C ．.9. 已知()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为6π，则双曲线的标准方程为（ ）A. 22163x y -= B. 22136x y -= C. 2218y x -= D. 2218x y -=【答案】B 【解析】【分析】设点P 为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得14PF a =，22PF a =，在12PF F △中，根据大边对大角可知12PF F ∠为最小角，进而根据余弦定理求得a ，再得到b ，即可得到答案.【详解】设点P 双曲线右支上一点，则12PF PF >，因为122PF PF a -=，且126PF PF a +=，所以14PF a =，22PF a =，由题，因1226F F c ==，则2242c a a a>⎧⎨>⎩，所以12PF F ∠为最小角，故126PF F π∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理可得，()()()222422242a c a a c+-=⋅⋅，解得a =所以b =，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：B第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 已知复数1212i,i z z a =+=-，若12z z ⋅是实数，则实数a 的值为__________.【答案】12##0.5为为【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得()()12221i ⋅=++-z z a a ，进而结合题意可得210a -=，运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()()1212i i 221i ⋅=+-=++-z z a a a ，若12z z ⋅是实数，则210a -=，解得12a =.故答案为：12.11. 6展开式中，3x 的系数等于________．【答案】15【解析】【详解】6的通项为T r ＋1＝C 6r6－r ⎛ ⎝r ＝C 6r (－1)r x6－32ry 32r －3，令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 62(－1)2＝15.12. 直线21y x =+与圆C ：22450x y x +--=相交于M ，N 两点，则MN =______．【答案】4【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.【详解】解：圆C ：()2229x y -+=，其圆心坐标为()2,0，半径为3．圆心()2,0到直线2x －y ＋1＝0的距离d ==则4MN ===．故答案为:4.13. 设甲乘汽车､动车前往某目地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为的0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为__________.【答案】0.82##4150【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件1A =“甲乘汽车前往某目的地”， 事件2A =“甲乘动车前往某目的地”， 事件B =“甲正点到达目的地”.()()()()()11220.40.70.60.90.82P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.故答案为：0.8214. 在ABC 中，1,90AC BC C ∠=== ，则CA CB += __________；若P 为ABC 所在平面内的动点，且PC =PA PB ⋅ 的取值范围是__________.【答案】①. ②. 24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立，利用向量的坐标运算求CA CB + ；设P θθ⎫⎪⎪⎭，利用向量的坐标运算结合辅助角公式可得()1sin 3PA PB θϕ⋅=-+ ，再结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】如图，以C 为坐标原点，,AC BC 分别为,x y 轴所在直线，建立平面直角坐标系，则()(()1,0,,0,0A B C ，可得()(1,0,CA CB == ，则(CA CB += ，所以CA CB +== ；因为PC =P θθ⎫⎪⎪⎭，可得1,,PA PB θθθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1PA PB θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11sin 33θθθϕ⎫=-=-+⎪⎪⎭，其中cos ϕϕ==，因为()[]sin 1,1θϕ+∈-，所以()124sin ,333PA PB θϕ⎡⎤⋅=-+∈-⎢⎥⎣⎦.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15. 已知函数()()1221,1,log 1,1,x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x m =有三个不等的实根，则实数m 的取值范围是__________；函数()()()()322g x f f x f x =--的零点个数是__________.【答案】①. (]1,2 ②. 4【解析】【分析】作出()f x 大致图象，结合图象可得实数m 的取值范围；令()f x t =，将问题转化为()322f t t =+，根据图象分析得()122f t t =+有两个零点为10t =，()21,2t ∈，从而考虑()1f x t =与()2f x t =根的个数即可求解.【详解】作出()f x大致图象如下：若方程()f x m =有三个不等的实根，由图象可得实数m 的取值范围是(]1,2；令()f x t =，则()3202f t t --=，可得()322f t t =+，且()302f =，结合图象可知方程()322f t t =+的一个根10t =，另一个根()21,2t ∈，当10t =时，()f x 与1y t =的图象有1个交点，所以()1f x t =有1个实根，当()21,2t ∈时，()f x 与2y t =的图象有3个交点，所以()2f x t =有3个实根，综上所述：()g x 共有4个零点.故答案为：(]1,2；4.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且)2222sin ac B a c b=+-，2a c =.（1）求角B 的大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -的值.【答案】（1）π3B =（2）π4A =（3【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；（2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（3）可得5π12=C ，代入结合降幂公式分析求解.【小问1详解】因为)2222sin ac B a c b =+-，由余弦定理可得2sin cos =ac B B，则tan B =.又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为2a c +=，由正弦定理可得sin 2sin A B C =，即π2sin 2sin π33A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin sin A A A +=+，则cos A =.因为0πA <<，所以π4A =.【小问3详解】由（1）（2）可得()5ππ12=-+=C A B ，则2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -5π5π1cos sin ππππ66sin cos cos sin 432432-=⋅⋅-⋅⋅12=.17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点（不含端点），F 为棱BC 的中点.（1）若E 为棱11A B 的中点，（i ）求直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值；（ii ）求平面11A BC 和平面AC 的夹角的余弦值；（2）求直线EF 与11A C 所成角余弦值的取值范围.【答案】（1）（i；（ii（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；（i ）求出直线EF 的方向向量和平面11A BC 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（ii ）分别求出平面11A BC 和平面AC 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（2）根据（1）的结论，分别求出直线EF 和直线11A C 的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】在正方体1111ABCD A B C D -中以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若E 为棱11A B 的中点，则()()2,1,2,1,2,0E F ，()()()112,2,0,2,0,2,0,2,2B A C .所以()()()1112,2,0,0,2,2,1,1,2A C BA FE =-=-=- .（i ）设平面11A BC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n A C n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则()1,1,1n = .设EF 与平面11A BC 所成角为α，则有sin cos ,n FE n FE n FEα⋅==== .故直线EF 与平面11A BC.（ii ）易知平面AC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面PDC 和平面EAC 夹角为β，则有||cos |cos ,|||||m n m n m n β⋅=〈〉=== .故平面11A BC 和平面AC.【小问2详解】设直线EF 与11A C 所成角为(),2,,2(02)E m m θ<<，则()1,2,2FE m =- .所以111111cos cos ,A C FE A C FE A C FE θ⋅=====因为02m <<，所以952m m +>，即1211954m m <-<+-1<<，<<cos θ<<.故直线EF 与11A C所成角余弦值的取值范围为.18. 设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23⎛ ⎝，且其左焦点坐标为()1,0-.（1）求椭圆的方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.【答案】（1）22143x y += （2）487.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；的（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出AC BD +，利用二次函数可得答案.【小问1详解】因为椭圆E 的左焦点坐标为()1,0-，所以右焦点坐标为()1,0,1c =.又椭圆E经过点23⎛ ⎝，所以24,a b =+===所以椭圆的方程为22143x y +=.【小问2详解】①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，7AC BD +=.②当直线AC 的斜率存在且不为0时，设直线AC 的方程()()11221,,,,x ty A x y C x y =+，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2212134t AC t +==+.设直线BD 的方程为11x y t =-+，同理得()2212134t BD t +=+，所以()()()22228413434t AC BD t t ++=++，设21m t =+，则1m >，则()()22284848448113141711491224m AC BD m m m m m +===≥+-⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，所以2m =时，AC BD +有最小值487.综上，AC BD +的最小值是487.19. 已知正项等比数列{}n a 满足1232,12a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为12,1n S b =，当2n ≥时，10n n n S S b -+=.（1）求{}n a 的通项公式：（2）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n S ；（3）设数列的前n 项和为n T ，若()29n n T n a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）2n n a =（2）证明见解析，11n S n =+ （3）3λ≤.【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；（2）利用n a 与n S 的关系以及等差数列的定义求解；（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由1232,12a a a =+=，得22212q q +=，解得2q =，所以2n n a =.【小问2详解】当2n ≥时，10n n n S S b -+=，所以()110n n n n S S S S --+-=，整理得1111n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S b ==为首项，1为公差的等差数列.所以11nn S =+，即11n S n =+.【小问3详解】由（1）､（2）知()12n n na n S =+⋅，所以()1231223242212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ，①()23412223242212,n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ②①-②得()()231422212n n n T n +-=++++-+⋅ 12n n +=-⋅,所以12n n T n +=⋅.由()29n n T n a λ≤+得()12292n n n n λ+⋅≤+⋅，即922n nλ≤+，因为9322n n +≥=，当且仅当3n =时，等号成立，所以3λ≤.20. 已知函数()()ln ,a f x x x g x x x =-=+，且函数()f x 与()g x 有相同的极值点.（1）求实数a 的值；（2）若对121,,3e x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x f x k -≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()e cos x x f x g x x++<.【答案】（1）1（2）()2ln3,∞-+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的极大值点为1x =，由(1)0g '=可得1a =，经检验可确定1a =；（2）先求得()f x 在1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，然后分1k >-和1k <-两种情况可得k 的取值范围；（3）所证不等式即为ln e cos 1x x x x -<-，通过证明21cos 1(0)2x x x ->->和21ln e 2x x x x -<-即可证得结果.【小问1详解】令()110f x x'=-=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>在()0,1单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<在()1,+∞单调递减，故函数()f x 的极大值点为1x =.令()210a g x x=-='，由题意可得()110g a '=-=，解得1a =，经验证符合题意，故实数a 的值为1.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()1,3单调递减，又()()111,11,3ln33e e f f f ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，且1ln3311e-<--<-，所以当1,3e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max min ()11,()3ln33f x f f x f ==-==-，若不等式()()12f x f x k -≤恒成立，则()max min ()()1ln332ln3≥-=---=-k f x f x ，所以k 的取值范围为()2ln3,∞-+.【小问3详解】所证不等式即为ln e cos 1x x x x -<-.先证：21cos 1(0)2x x x ->->，即证21cos 102x x +->在()0,∞+上恒成立，设()()21cos 1,sin 2h x x x h x x x =+-='-+，设()()'=d x h x ，因为()cos 10'=-+>d x x 在()0,∞+上恒成立，所以()h x '在()0,∞+单调递增，则()()00h x h ''>=，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()00h x h >=，所以21cos 1(0)2x x x >->.再证：21ln e 2x x x x -<-，即证2ln e 12x x x x <-.设()()2ln 1ln ,x x m x m x x x-'==，当()0,e x ∈时，()()0,m x m x '>单调递增，当()e,x ∈+∞时，()()0,m x m x '<单调递减，所以()()1e em x m <=.设()()()232e e 1,2x x x x x x x ϕϕ-=-='，当()0,2x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()2e 1242x ϕϕ>=-.所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x <<-<-，即2ln e 12x x x x <-.综上，ln e cos 1x x x x -<-，得证.【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明ln e cos 1x x x x -<-转化为证明21cos 1(0)2x x x ->->和21ln e 2x x x x -<-.。

天津市南开区2021届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数=( )A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i2．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是( )A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．某单位有840名职工，现接受系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )A．11 B．12 C．13 D．144．下列函数是奇函数的是( )A．f（x）=﹣|x| B．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=x3﹣15．如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则推断框内可以填入( )A．k＜132？B．k＜70？C．k＜64？D．k＜63？6．已知双曲线C ：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为( )A ．B ．C ．D ．7．已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( )A ．B ．C ．D ．8．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC 边的三等分点，则•=( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．在区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m 的概率为，则m=__________．10．若集合A={x|2x+1＞0}，B={x|（x﹣1）2≤4}，则A∩B=__________．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为__________m3．12．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为__________．13．如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，则EB=__________．14．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c 的取值范围为__________．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（Ⅰ）用卡片上的数字列出全部可能的结果；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（Ⅲ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B ，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求f（B）的取值范围．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．18．如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．19．在等比数列{a n}中，已知a 1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n2﹣a n}的前n项和为S n，记b n=，求证：数列{b n}的前n项和T n＜．20．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．天津市南开区2021届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，则复数=( )A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．解答：解：===﹣6﹣5i．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．2．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是( )A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0考点：命题的否定．专题：简易规律．分析：由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规章写出其否定，对比选项即可得出正确选项解答：解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．点评：本题考查命题否定，解题的关键是娴熟把握全称命题的否定的书写规章，本题易由于没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要留意精确把握规律．3．某单位有840名职工，现接受系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )A．11 B．12 C．13 D．14考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：依据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．解答：解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．点评：本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．下列函数是奇函数的是( )A．f（x）=﹣|x| B．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=x3﹣1考点：函数奇偶性的推断．专题：函数的性质及应用．分析：先看定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，从而依据奇函数、偶函数的定义作出推断．解答：解：对于函数f（x）=﹣|x|，由于f（﹣x）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f（x），故函数f（x）为偶函数．对于f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），它的定义域为（﹣1，1），且满足f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．对于函数f（x）=2x+2﹣x，由于f（﹣x）=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）为偶函数．对于函数f（x）=x3﹣1，由于f（﹣x）=﹣x3﹣1≠﹣f（x），故不是奇函数，故选：B．点评：本题主要考查函数的奇偶性的推断方法，先看定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，属于中档题．5．如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则推断框内可以填入( )A．k＜132？B．k＜70？C．k＜64？D．k＜63？考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K的值，当K=64时，由题意，此时应当不满足条件，退出循环，输出S=2×4×8×32×64，结合选项可知，推断框内可以填入k＜70？解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1，K=2，满足条件，S=2，K=4满足条件，S=2×4，K=8满足条件，S=2×4×8，K=16满足条件，S=2×4×8×32，K=32满足条件，S=2×4×8×32×64，K=64由题意，此时应当不满足条件，退出循环，输出S=2×4×8×32×64，结合选项可知，推断框内可以填入k＜70？故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，当K=64时，由题意结合选项推断退出循环的条件是解题的关键，属于基本学问的考查．6．已知双曲线C ：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为( )A ．B ．C ．D ．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C ：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C ：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查同学的计算力量，属于基础题．7．已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( )A ．B ．C ．D ．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：先依据函数的最小正周期为π求出ω的值，再由平移后得到y=为偶函数可知，即可确定答案．解答：解：由已知，周期为，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D点评：本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用．8．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC 边的三等分点，则•=( )A ．B ．C ．D ．考点：平面对量数量积的运算．专题：计算题；平面对量及应用．分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的学问，化简即可得到所求．解答：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．点评：本题考查平面对量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算力量，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．在区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m 的概率为，则m=3．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．解答：解：如图区间长度是6，区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．点评：本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．10．若集合A={x|2x+1＞0}，B={x|（x﹣1）2≤4}，则A∩B=（﹣，3]．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x|（x﹣1）2≤4}={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B={x|﹣＜x≤3}=（﹣，3]；故答案为：（﹣，3]点评：本题主要考查集合的基本运算，依据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为30m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图推断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是6边形，几何体的体积为：（2×3+）×4=30（m 3）．故答案为：30．点评：本题考查三视图与几何体的关系，推断三视图复原的几何体的外形是解题的关键，考查空间想象力量与计算力量．12．已知圆x2+y 2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为﹣4．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件依据弦长公式求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d=．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4；故答案为：﹣4．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．13．如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，则EB=．考点：与圆有关的比例线段；相像三角形的判定．专题：立体几何．分析：连接OC，证明△AOD≌△COD，设EB=x，通过，列出方程求出x即可．解答：解：连接OC则∠DOA=∠CBO=∠BCO=∠COD则△AOD≌△COD，则OC⊥CD，则CD是半圆O的切，设EB=x，由BC∥OD得，△EBC∽△EDO∴，则EC=2x，则（2x）2=x•（x+2），则．故答案为：．点评：本题考查三角形的全等与相像，考查规律推理力量．14．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c 的取值范围为（2π，2022π）．考点：分段函数的应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：如图所示，不妨设a＜b＜c，由于f（a）=f（b）=f（c），可得0＜a＜b＜π＜c＜2021π，a+b=π，即可得出．解答：解：如图所示，当x∈时，f（x）=sinx．不妨设a＜b＜c，若满足f（a）=f（b）=f（c），则0＜a＜b＜π＜c＜2021π，a+b=π，∴2π＜a+b+c＜2022π．∴a+b+c的取值范围为（2π，2022π）．故答案为：（2π，2022π）．点评：本题考查了三角函数与对数函数的图象与性质、函数图象的交点，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（Ⅰ）用卡片上的数字列出全部可能的结果；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（Ⅲ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）全部的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，一一列举即可；（Ⅱ），而满足a+b=c的（a，b，c有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．（Ⅲ）全部的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．解答：解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）全部的可能为：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为大事A，则大事A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）==．因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为．（Ⅲ）设“抽取的卡片上的数字a，b ，c不完全相同”为大事B，则大事包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．所以P（B）=1﹣P （）=1﹣=．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c 不完全相同”的概率为．点评：本题主要考查相互独立大事的概率乘法公式的应用，属于中档题．16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B ，C 的对边分别是a，b ，c，且满足2acosC+c=2b，求f（B）的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的正切函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x﹣）+1+，由此求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）在△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，可得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（B）的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=（sinx+cosx）2+2sin2x=1+sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+1+=2sin（2x﹣）+1+，故函数f（x）的最小正周期为=π．（Ⅱ）在△ABC中，∵2acosC+c=2b，∴2a•+c=2b，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=．∴0＜B＜，﹣＜2B﹣＜π，∴sin（2B﹣）∈（﹣，1]，可得f（B）∈，即f （x ）的值域为．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）欲证PA∥平面BDE，依据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内始终线平行，设AC∩BD=H，连接EH，依据中位线定理可知EH∥PA，而又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，满足定理所需条件；（2）欲证AC⊥平面PBD，依据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．解答：解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，由于AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：由于PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，可得DH=CH=在Rt△BHC中，tan∠CBH=，所以直线BC与平面PBD 所成的角的正切值为．点评：本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础学问，考查空间想象力量、运算力量和推理力量．18．如图所示，椭圆C ：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B 的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．考点：椭圆的简洁性质．专题：计算题；平面对量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）运用向量共线的学问，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值．解答：解：（I）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II ）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，则x1=，x2=．又由于，，，所以，所以λ=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算力量，属于中档题．19．在等比数列{a n}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n2﹣a n}的前n项和为S n，记b n =，求证：数列{b n}的前n项和T n ＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a2，a1+a3，a4成等差数列及a1=2，计算即得结论；（Ⅱ）通过S n=（a12+a22+a32+…+a n2）﹣（a1+a2+a32+…+a n）可得b n的表达式，分别分母、并项相加即得结论．解答：（Ⅰ）解：设等比数列的公比为q，由已知得：2（a1+a3）=a2+a4，即2（a1+a1q2）=a1q+a1q3，解得q=2，又∵a1=2，∴a n=a1q n﹣1=2n；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：S n=（a12+a22+a32+…+a n2）﹣（a1+a2+a32+…+a n）=（4+42+43+…+4n）﹣（2+22+23+…+2n）=﹣=（2n﹣1）（2n+1﹣1），∴b n ==（﹣），∴T n =（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=（1﹣）＜．点评：本题考查求数列的通项和前n项和的取值范围，留意解题方法的积累，属于中档题．20．设函数f（x）=lnx ﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；根的存在性及根的个数推断；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k ≤恒成立，知导函数≤恒成立，再转化为所以a≥（﹣，x02+x0）max求解．（III）先把程f（x）=mx 有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=b=时，f（x）=lnx ﹣x2﹣x，f′（x）=﹣x ﹣=．令f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，所以k=F′（x0）=≤，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]当x0=1时，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，由于方程f（x）=mx在区间内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解．∴，设g（x）=，则g′（x）=．令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，所以m=1+，或1≤m＜1+．点评：本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本学问，同时考查运用导数争辩函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．。

天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．54．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．105．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取名．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b 的等比中项，则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：依据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：依据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而依据充要条件的定义可得答案．解答：解：“a3＞b3”⇔“a＞b”，“log3a＞log3b”⇔“a＞b＞0”，故“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故选：B点评：推断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系．3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的学问，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．10考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列与等比数列的性质可求得a=﹣5，b=﹣3，从而可得答案．解答：解：∵﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，∴2a=﹣1﹣9=﹣10，b2=9，∴a=﹣5，b=﹣3（b为第三项，b＜0），∴ab=15．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，b=﹣3的确定是易错点，属于中档题．5．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．解答：解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是生疏三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对选项逐一分析，依据空间线面关系，找出正确选项．解答：解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A 错误；对于B，α，γ还有可能相交，故B 错误；对于C，依据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；对于D，α，β有可能相交．故选C．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象力量、运算力量和推理论证力量，属于基础题．7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列考点：等比关系的确定．专题：计算题．分析：依据g（n）的通项公式可求得g（1），g（2），g（3）直至g（n），进而可求a1，a2，a3，┉，a n进而发觉数列{a n}是等比数列解答：解：已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，则g（1）=b+1，g（2）=b2+b+1，g（3）=b3+b2+b+1，┉，g（n）=b n+┉+b2+b+1．a1=b，a2=b2，a3=b3，┉，a n=b n故数列{a n}是等比数列点评：本题主要考查等比关系的确定．属基础题．8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．由A（0，3），C（4，0），可得．由于，可得=0．利用•==即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．∵A（0，3），C（4，0），∴．∵，∴=0．∴•====8﹣=．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的三角形法则，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取40名．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．解答：解：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴2022-2021学年高一应抽取的同学数为800×=40．故答案为：40．点评：本题考查了分层抽样的定义，娴熟把握分层抽样的特征是关键．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．解答：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．点评：本题考查的学问点是由三视图求体积，其中依据已知中的三视图推断出几何体的外形是解题的关键．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．考点：数量积推断两个平面对量的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ值，即为所求．解答：解：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣，故答案为﹣．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，是解题的关键．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=（1，2]．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分a﹣2为0与不为0两种状况求出（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立a的范围，确定出A ，求出访不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a的集合确定出B，求出B补集与A的交集即可．解答：解：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，满足题意；当a﹣2≠0，即a≠2时，依据题意得到二次函数开口向下，且与x轴没有交点，即a﹣2＜0，△=4（a﹣2）2+16（a﹣2）＜0，解得：a＜2，﹣2＜a＜2，综上，a的范围为﹣2＜a≤2，即A=（﹣2，2]，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成的B=（﹣∞，1），∴∁R B=[1，+∞），则A∩∁R B=（1，2]．故答案为：（1，2]点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，娴熟把握各自的定义是解本题的关键．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC 为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的学问点是切线的性质，圆周角定理，其中依据切线的性质，圆周角定理，推断出△ABE 是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得的最大值．解答：解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则a2=1﹣4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴．∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1．∴≤=∵∴≥4，∴的最大值为=．故答案为：．点评：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先依据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）开放再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，依据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先依据x的范围求出2x ﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x ）取最小值，所以函数f（x ）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础学问的把握状况．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；平面对量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面对量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联马上可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面对量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟把握定理是解本题的关键．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（I）依据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；（II）过E作EG∥PA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线相互垂直，可证出∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．分别在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函数的定义，得到tan∠EHG==．最终由同角三角函数的关系，计算得cos∠EHG=．（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出=（1，1，0），=（0，，），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为=（﹣1，1，﹣2 ）．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC ，则=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），且有⋅=0．所以⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形∴PA⊥AD﹣﹣﹣（2分）又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，∴PA⊥平面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∵△PAB中，PE=2ED∴AG=2GD，EG=PA=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．∵OD⊥AC，GH∥OD∴GH⊥AC∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．由同角三角函数的关系，得cos∠EHG==．∴二面角D﹣AC﹣E 的平面角的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，1，0），=（0，，）﹣﹣﹣（9分）设平面AEC 的法向量=（x，y，z），依据数量积为零，可得，即：，令y=1，得=（﹣1，1，﹣2 ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）假设侧棱PC上存在一点F ，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC ，则⋅=0．又∵=+=（0，1，0）+（﹣λ，﹣λ，λ）=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，∴λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题给出一个特殊的棱锥，通过证明线面垂直和求二面角的大小，着重考查了用空间向量求平面间的夹角、直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等学问点，属于中档题．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）依据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n项和S n．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n ==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般实行错位相减的方法．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）对已知等式整理成数列递推式，然后用叠乘法，求得S n，最终利用a n=S n﹣S n﹣1求得答案．（Ⅱ）依据（Ⅰ）中a n，求得b n，设出C n，分n为偶数和奇数时的T n．（Ⅲ）依据数列为递减数列，只需满足C n+1﹣C n＜0，求得﹣的最大值，即可求得λ的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知=，且S1=a1=1，当n≥2时，S n=S1••…•=1•••…•=，S1也适合，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，且a1也适合，∴a n =．（Ⅱ）b n=4（）2=（n+1）2，设C n=（﹣1）n（n+1）2，当n为偶数时，∵C n﹣1+C n=（﹣1）n﹣1•n2+（﹣1）n•（n+1）2=2n+1，T n=（C1+C2）+（C3+C4）+…（C n﹣1+C n）=5+9+…+（2n﹣1）==，当n为奇数时，T n=T n﹣1+C n =﹣（n+1）2=﹣，且T1=C1=﹣4也适合．综上得T n =（Ⅲ）∵C n=2n （﹣λ），使数列{C n}是单调递减数列，则C n+1﹣C n=2n （﹣﹣λ）＜0，对n∈N*都成立，则（﹣）max＜λ，∵﹣==，当n=1或2时，（﹣）max =，∴λ＞．点评：本题主要考查了数列的求和问题，求数列通项公式问题．对于利用a n=S n﹣S n﹣1肯定要a1对进行验证．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后依据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的微小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．解答：（Ⅰ）解：由于f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（Ⅱ）证：由于函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得微小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（Ⅲ）证：由于，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x ﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并争辩解的个数，由于g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数争辩函数单调性的方法及推理和运算力量．。

天津市南开中学2021届高三数学开学统练试题（含解析）一、选择题1.设集合{}{}{}1,1,2,3,5,2,3,4,|13A B C x R x =-==∈≤<，则()A C B =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3D.{}1,2,3,4【答案】D 【解析】 【分析】 求出AC 后可求()A C B .【详解】{}1,2A C =，故{}()1,2,3,4A C B =，故选D.【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题. 2.设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. 86πB. 46πC. 26πD. 6π【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即 364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，34466633V R ∴=π==π，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 2 3 C. 25【答案】D 【解析】【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率． 【详解】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===．故选D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度． 5.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log 2log 2a =<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．6.设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]nt n=同时成立，则正整数n 的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得， 由得，所以，所以，由得， 所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可．【详解】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=；又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴==2ω=，2A =，又()4g π=∴()2sin 2f x x =，3()8f π= 故选C ．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ．8.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. []0,1 B. []0,2C. []0,eD. []1,e【答案】C 【解析】 【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 二、填空题9.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________. 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项． 【详解】8848418831(2)()(1)28rrrr r r r r T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r，所以的常数项为228(1)28C -=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的． 10.设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】xy =0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．11. 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535(,)22D ． 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒， 所以直线BE 的斜率为3，其方程为3(23)y x =-，直线AE 的斜率为3-，其方程为3y x =-． 由3(23),33y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．12.已知直线l ：330mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与y 轴交于C ，D两点，若||AB =，则||CD =__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案. 【详解】因为AB =，且圆的半径为r =，所以圆心()0,0到直线30mx y m ++-=3=，则由3=，解得m =，代入直线l的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．13.已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 14.已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________ 【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--， 函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去； ②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论． 三、解答题15. 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】(Ⅰ) 14-；(Ⅱ) . 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cos B 的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】(Ⅰ)在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =. 由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=2224161992423a a a a a +-==-⋅⋅. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-.故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）20243【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从面()()33210,1,2,333k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====.由题意知事件{}3,1X Y ==与{}2,0X Y ==互斥，且事件{}3X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立， 从而由(Ⅰ)知：{}{}()()3,12,0P M P X Y X Y =====()()3,12,0P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 17.如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）49（Ⅲ）87【解析】 【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF 的方向向量和平面ADE 的法向量的关系即可证明线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE 的方向向量和平面BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF 长度的方程，解方程可得CF 的长度.【详解】依题意，可以建立以A 为原点，分别以,,AB AD AE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E .设()0CF h h =>，则()1,2,F h .(Ⅰ)依题意，()1,0,0AB =是平面ADE 的法向量， 又()0,2,BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE . (Ⅱ)依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--，设(),,n x y z =为平面BDE 的法向量，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令z =1，可得()2,2,1n =， 因此有4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅〈〉==-.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. (Ⅲ)设(),,m x y z =为平面BDF 的法向量，则00m BD m BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y y hz -+=⎧⎨+=⎩. 不妨令y =1，可得21,1,m h ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 由题意，有41cos ,332m n m n m n-⋅===⨯，解得87h =. 经检验，符合题意｡ 所以，线段CF 的长为87. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.18.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.【答案】（Ⅰ）22154x y +=. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b ,c 的方程，解方程可得椭圆方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的坐标，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,c b a ==，又222a b c =+，可得a =b =2，c =1.所以，椭圆方程为22154x y +=.(Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2245200kxkx ++=，可得22045P kx k=-+， 代入2y kx =+得2281045P k y k-=+， 进而直线OP 的斜率24510P P y k x k-=-， 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-. 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -.由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭， 化简得2245k =，从而5k =±. 所以，直线PB5-. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列(){}221n n a c -的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n 项和公式可得21ni i i a c =∑的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩，故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32nn b =⨯.(Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n nnnn a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n na c -=⨯-. (ii )()22111n n i iiiii i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n niiii i a a c===+-∑∑()2212432n n n⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑ ()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力. 20.设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)构造函数()()()2h x f x g x x π⎛⎫-= ⎝+⎪⎭，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数()h x 的最小值即可证得题中的结论；(Ⅲ)令2n n y x n π=-，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.【详解】(Ⅰ)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的单调递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n ny x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e n x n n n x n n N πππ---∈=.由()()20e 1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y . 由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<. 【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.。

2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−1,0,1,2,3}，B ={x |y =lg (5−x 2)}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {−1,1}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}2.设m ∈R.下列选项中，|m +1m |>2的充要条件是( )A. m ≠0B. m ≠1C. m 2≠1D. m 3≠m3.函数f(x)=e x +1e x −1⋅cosx 的部分图象大致为( )A. B.C. D.4.下列说法错误的是( )A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到χ2=3.937，根据小概率α=0.05值的独立性检验(x 0.05=3.841)，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.055.已知a =log 23，b =(32)23，c=cos (−53π)−sin (−π2)，比较a ，b ，c 的大小为( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >b >aD. c >a >b6.若cos (α+π4)=23，则tanα−1sin α=( )A. −125B. 65C. 125D. 5127.已知函数f(x)=log 3x 3⋅log 3x 27，若f(x 1)=f(x 2)(其中x 1≠x 2)，则1x 1+9x 2的最小值为( )A. 34B. 32C. 2D. 238.已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P(x,33)，则sinα的值为( )A.3−3 26 B.3 2− 36C.3+3 26 D.3 2+ 36二、多选题：本题共1小题，共6分。

2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（24）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9}，B＝{x∈Z|﹣3≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}2．（5分）已知i是虚数单位，则的虚部为（）A．B．i C．1D．i3．（5分）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图，则函数y＝f（x）•g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）若函数是增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（0，1）6．（5分）设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞1，则的大小关系是（）A．B．C．D．7．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P （P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2＝2px（p＞0）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若＝（+），则双曲线的离心率的平方为（）A．B．C．+1D．8．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象相邻的两条对称轴的距离为2π，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称给出下列命题：①函数f（x）关于直线x＝对称；②函数f（x）在[﹣，]上单调递增；③函数f（x）关于点（﹣，0）对称．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）﹣ax＝0有两个根，则a的取值范围是（）A．（0，]∪[﹣，﹣2）B．（0，）∪[﹣，﹣2]C．（﹣∞，﹣）∪[，+∞）∪{0，﹣2}D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．（5分）在的展开式中，x5项的系数为（用数字作答）．11．（5分）已知两圆的方程分别为x2+y2﹣4x＝0和x2+y2﹣4y＝0，则这两圆公共弦的长等于．12．（5分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则E（X）＝．13．（5分）14．如图，A1B1C1D1是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB＝4，BC＝3，AA1＝DD1＝5，BB1＝CC1＝8，则该几何体的体积为．14．（5分）不等式x+2≤a（x+y）对任意正数x，y恒成立，则正数a的最小值是．15．（5分）如图，菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于O点，||＝2，E 为BC边（包含端点）上一点，则||的取值范围是，的最小值为．三、解答题：本大题共5个小题，共计75分.16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a cos C＝（2b﹣c）cos A．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．17．（15分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在线段A1B1上，且．（Ⅰ）求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ＝时，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数λ的值．18．（15分）在数列{a n}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．（Ⅰ）证明：a4，a5，a6成等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记b n＝，S n＝b1+b2+…+b n（n∈N*），证明：S n＜．19．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求|OA|cos ∠OAB+的最大值．20．（16分）已知函数f（x）＝sin x﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，令h（x）＝f（x）﹣sin x+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（24）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9}，B＝{x∈Z|﹣3≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【解答】解：∵集合A＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x∈Z|﹣3≤x≤2}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，则的虚部为（）A．B．i C．1D．i【解答】解：i是虚数单位，则＝＝＝＝1+i，∴的虚部为1．故选：C．3．（5分）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sinα＝0可得α＝kπ（k∈Z），∴cosα＝±1，反之成立，∴“sinα＝0”是“cosα＝1”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图，则函数y＝f（x）•g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝f（x）的有两个零点，并且g（x）没有零点；∴函数y＝f（x）•g（x）也有两个零点M，N，又∵x＝0时，函数值不存在∴y在x＝0的函数值也不存在当x∈（﹣∞，M）时，y＜0；当x∈（M，0）时，y＞0；当x∈（0，N）时，y＜0；当x∈（N，+∞）时，y＞0；只有A中的图象符合要求．故选：A．5．（5分）若函数是增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（0，1）【解答】解：当x∈（0，1]时，函数是增函数，最大值为：e，最小值大于1，函数是增函数，x≤0时，f（x）＝af（x+1），可得0＜a并且af（1）≤e0，可得0＜a≤．故选：B．6．（5分）设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞1，则的大小关系是（）A．B．C．D．【解答】解：∵log2x＝log3y＝log5z＞1，∴log2x﹣1＝log3y﹣1＝log5z﹣1＞0，∴log2＝log3＝log5＞0，设log2＝log3＝log5＝k，则＝2k，＝3k，＝5k，∵f（x）＝x k在（0，+∞）上为增函数，∴2k＜3k＜5k，即＜＜．故选：B．7．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P （P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2＝2px（p＞0）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若＝（+），则双曲线的离心率的平方为（）A．B．C．+1D．【解答】解：由＝（+），可得P为FQ的中点，设F（c，0），由渐近线方程y＝x，①可设直线FP的方程为y＝﹣（x﹣c），②由①②解得P（，），由中点坐标公式可得Q（﹣c，），代入抛物线的方程可得＝2p•（﹣c），③由题意可得c＝，即2p＝4c，③即有c4﹣a2c2﹣a4＝0，由e＝可得e4﹣e2﹣1＝0，解得e2＝．故选：D．8．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象相邻的两条对称轴的距离为2π，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称给出下列命题：①函数f（x）关于直线x＝对称；②函数f（x）在[﹣，]上单调递增；③函数f（x）关于点（﹣，0）对称．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象相邻的两条对称轴的距离为2π，故函数的最小正周期为4π，故ω＝，所以f（x）＝sin（x+φ），将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到g（x）＝sin（x++φ）的图象关于y轴对称，由于|φ|＜，故φ＝．所以f（x）＝sin（x+）．对于①；函数f（）＝sin（）＝1，故函数的图象关于直线x＝对称，故①正确；对于②：由于x∈[﹣，]，所以，故函数在该区间上先增后减，故②错误；对于③：当x＝﹣，时，f（﹣）＝0，故函数f（x）关于点（﹣，0）对称，故③正确；故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）﹣ax＝0有两个根，则a的取值范围是（）A．（0，]∪[﹣，﹣2）B．（0，）∪[﹣，﹣2]C．（﹣∞，﹣）∪[，+∞）∪{0，﹣2}D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：设函数y＝f（x）和y＝ax，作出函数f（x）的图象如图：要使方程f（x）﹣ax＝0有两个根，即函数y＝f（x）和y＝ax有两个不同的交点，∵f（﹣2）＝5，f（5）＝|5+﹣4|＝，当y＝ax经过点（5，）时，a＝；当过点（﹣2，5）时，此时a＝﹣，当直线y＝ax与y＝x2+1相切时，联立，得x2﹣ax+1＝0，由△＝a2﹣4＝0，解得a＝±2，结合图象可得a＝﹣2，综上所述，a的取值范围为[﹣，﹣2）∪（0，]，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．（5分）在的展开式中，x5项的系数为﹣80（用数字作答）．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝（﹣2）r••x，令＝5，求得r＝3，故开式中含x5项系数为（﹣2）3•＝﹣80，故答案为：﹣80．11．（5分）已知两圆的方程分别为x2+y2﹣4x＝0和x2+y2﹣4y＝0，则这两圆公共弦的长等于2．【解答】解：这两个圆的圆心分别为（2，0），（0，2），半径都是2，两圆方程相减可得x﹣y＝0，这是公共弦所在直线方程，（2，0）到直线的距离为d＝＝，所以公共弦长为l＝2＝2．故答案为2．12．（5分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则E（X）＝．【解答】解：每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，故这是5次独立重复试验，在第20层下电梯的概率为，所以X～B（5，），故E（X）＝5×＝．故答案为：．13．（5分）14．如图，A1B1C1D1是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB＝4，BC＝3，AA1＝DD1＝5，BB1＝CC1＝8，则该几何体的体积为78．【解答】解：如图，过A1D1作平行于底面的平面，交BB1于E，交CC1于F，则多面体ABCD﹣A1EFD1为长方体，A1EB1﹣D1FC1为直三棱柱，长方体ABCD﹣A1EFD1的体积V1＝4×3×5＝60，三棱柱A1EB1﹣D1FC1的体积，∴该几何体的体积为V＝V1+V2＝60+18＝78．故答案为：78．14．（5分）不等式x+2≤a（x+y）对任意正数x，y恒成立，则正数a的最小值是2．【解答】解：由x+2≤a（x+y）可得a≥＝，令＝t（t＞0），f（t）＝（t＞0），则f′（t）＝，令f′（t）＝0可得t＝或t＝﹣（舍）．∴当0＜t＜时，f′（t）＞0，当t＞时，f′（t）＜0，∴f（t）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当t＝时，f（t）取得最大值f（）＝2．∴a≥2．故答案为：2．15．（5分）如图，菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于O点，||＝2，E 为BC边（包含端点）上一点，则||的取值范围是，的最小值为．【解答】解：根据菱形性质可得OC＝，则BO＝．（1）作AF⊥BC，则AF＝，此时AE最短，当E与C重合时，AE最长，故，即||∈；（2）以O为原点，BD所在直线为x轴建系如图：则A（0，）B（﹣，0），C（0，﹣），D（，0），所以BC：y＝，设E（m，）则＝＝+，其中m对称轴为m＝，故当m＝时最小，最小值为．故答案为：；．三、解答题：本大题共5个小题，共计75分.16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a cos C＝（2b﹣c）cos A．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sin B＝2sin B cos A，又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是，又A亦为三角形内角，因此，．…（6分）（Ⅱ）∵，＝，＝，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．…（12分）17．（15分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在线段A1B1上，且．（Ⅰ）求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ＝时，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数λ的值．【解答】（Ⅰ）证明：以点A位坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），M（0，2，1），N（1，1，0），B1（2，0，2），因为，可得P（2λ，0，2），所以，故，所以，故不论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）解：当λ＝时，P（1，0，2），所以，平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝3，y＝2，故，所以＝＝，故平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值为；（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知，点P（2λ，0，2），所以，，设平面PMN的法向量为，则，即，令a＝3，则b＝2λ+1，z＝﹣2（λ﹣1），故，因为直线AM与平面PMN所成角的正弦值为，则＝，解得．18．（15分）在数列{a n}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．（Ⅰ）证明：a4，a5，a6成等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记b n＝，S n＝b1+b2+…+b n（n∈N*），证明：S n＜．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意可知a2＝a1+2＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+4＝8，a5＝a4+4＝12，a6＝a5+6＝18．∴＝，∴a4，a5，a6成等比数列；（Ⅱ）由题意知：a2k+1﹣a2k﹣1＝4k，k∈N*，∴a2k+1﹣a1＝（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+（a2k﹣3﹣a2k﹣5）+•+（a3﹣a1）＝4k+4（k﹣1）+4（k﹣2）+•+4×1＝2k（k+1），k∈N*，又a1＝0，∴a2k+1＝2k（k+1），∴a2k＝a2k+1﹣2k＝2k2．∴数列{a n}的通项公式为：a n＝；（Ⅲ）由（Ⅱ）知a2k＝2k2，∴b k＝＝（﹣），∴S n＝[1﹣+﹣+•+﹣]＝[1﹣]＜．19．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求|OA|cos ∠OAB+的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，e＝，a2﹣b2＝c2，bc＝，解得a＝，b＝1，c＝，即有椭圆的方程为+y2＝1；（Ⅱ）由题意可知，k存在，设直线为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），|OA|cos∠OAB+＝|AT|+．将直线y＝kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，由直线l与圆O：x2+y2＝相切，可得，即有4m2＝3（1+k2），|AB|＝•＝•＝•＝•＝•≤•，当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．∴|OA|cos∠OAB+的最大值为2．20．（16分）已知函数f（x）＝sin x﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，令h（x）＝f（x）﹣sin x+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin x﹣ax＞0，sin x﹣ax＞0，∵0＜x＜1，∴a＜，令g（x）＝，g'（x）＝令m（x）＝x cos x﹣sin x，m'（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x＜0，∴m（x）在（0，1）递减，∴m（x）＜m（0）＝0，∴g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，∴g（x）＞g（1）＝sin1，∴a≤sin1；（Ⅱ）a＝1时，h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝﹣1＝，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）＝0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）＝ln（1+x）﹣x，则g′（x）＝﹣1＝，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x＝0时，g（x）＝ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）＝0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x＝，则ln（1+）＝ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．。