2021届天津南开中学高三数学统练1

2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A．2ab ＜＜＜b B．2ab ＜＜＜bC．＜2ab ＜＜b D．2ab ＜＜b ＜5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A．{x|x＞5a或x＜﹣a} B．{x|﹣a＜x＜5a} C．{x|x＜5a或x＞﹣a} D．{x|5a＜x＜﹣a}7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D．[﹣2，0]∪[2，+∞）8．当x＜0时，函数的最小值是（）A．B．0 C．2 D． 4 9．不等式≥3的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D．{x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，）B．（，2）C．（1，）D．（0，1）11．对于恒成立，则a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a 的取值范围为．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值范是．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．17．若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2021•天津校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解为x ＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．20．（15分）（2021•天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．21．（15分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x 的不等式；．22．（15分）（2022•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用幂函数与对数函数的性质即可推断．解答：解：∵y=x3是R上的增函数，∴0＜a＜b，又y=log3x为[0，+∞）上的增函数，∴c=log30.3＜log31=0，∴c＜a＜b．故选D．点评：本题考查不等式比较大小，重点考查同学把握与应用幂函数与对数函数的单调性质，属于简洁题．2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即p：﹣1＜x＜1，q：﹣3＜x＜2，则p是q的充分不必要条件，故答案为：￢p是￢q的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据逆否命题的等价性推断p是q的充分不必要条件是解决本题的关键．3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）考点：基本不等式．专题：不等式．分析：问题转化为+a ﹣＞0在x＞0时恒成立，结合二次函数的性质，从而求出a的范围．解答：解：设x＞0，若x+＞1恒成立，则：x2﹣x+a＞0，即+a ﹣＞0，∴a ﹣＞0，解得：a ＞，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道基础题．4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A．2ab ＜＜＜b B．2ab ＜＜＜bC．＜2ab ＜＜b D．2ab ＜＜b ＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：b＞a＞0，且a+b=1，可得：1＞＞a，利用a2+b 2，可得．由＞，可得=．由于﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：∵b＞a＞0，且a+b=1，∴2a＜1=a+b＜2b，∴1＞＞a，=（a+b）（a2+b2）=a2+b 2=，又＞，∴，即=．﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1=2﹣﹣=0，∴＜b．综上可得：2ab ＜＜b．故选：B．点评：本题考查了不等式的基本性质、函数的性质、“作差法”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥考点：基本不等式．分析：依据基本不等式的性质可知．≥排解A ，取，推断出B不成立．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥排解C；看a＜b和a≥b，时D项均成立排解D．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴A ．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b 则≥恒成立若a≥b ，则=2≥0，∴≥故D恒成立点评：本题主要考查了基本不等式问题．考查了同学对基础学问的把握．6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A．{x|x＞5a或x＜﹣a} B．{x|﹣a＜x＜5a} C．{x|x＜5a或x＞﹣a} D．{x|5a＜x＜﹣a}考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出不等式对应的方程的两根，并判定两根的大小，从而得出不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0可化为（x﹣5a）（x+a）＞0；∵方程（x﹣5a）（x+a）=0的两根为x1=5a，x2=﹣a，且2a+1＜0，∴a ＜﹣，∴5a＜﹣a；∴原不等式的解集为{x|x＜5a，或x＞﹣a}．故选：C．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应依据条件，比较对应的方程两根的大小，求出不等式的解集来，是基础题．7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D．[﹣2，0]∪[2，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：首先分析题目求函数使得f（x）≥1的自变量x的取值范围，由于函数是分段函数，故需要在两段分别做分析争辩，然后求它们的并集即可得到答案．解答：解：对于求分段函数，f（x）≥1自变量的取值范围．可以分段求解：当x＜1时候，f（x）=|x+1|≥1，解得x≥0或x≤﹣2．依据前提条件故0≤x≤1，x≤﹣2满足条件．当x≥1时候，f（x）=﹣x+3≥1，解得x≤2，依据前提条件故1≤x≤2满足条件．综上所述x的取值范围是x≤﹣2或0≤x≤2．故选C．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想以及分类争辩的数学思想．要求同学理解分段函数的意义，即为自变量取值不同，函数解析式不同．8．当x＜0时，函数的最小值是（）A．B．0 C．2 D． 4考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：两次利用均值不等式求出最小值，留意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号．解答：解：∵x＜0则﹣x＞0∴﹣x ﹣≥2，当x=﹣1时取等号≥2+2=4当且仅当x=﹣1时取等号故选D．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要留意等号成立，属于基础题．9．不等式≥3的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D．{x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由原不等式可得，即1＜|x|≤2，由此求得x的范围．解答：解：不等式≥3，即≤0，∴，∴1＜|x|≤2，解得1＜x≤2，或﹣2≤x＜﹣1，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式、确定值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，）B．（，2）C．（1，）D．（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|9x＜27x }={x|3＜33x}={x|2x2＜3x}={x|0＜x ＜}，N={x|log（x﹣1）＞0}={x|0＜x﹣1＜1}={x|1＜x＜2}，则M∩N={x|1＜x ＜}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，是解决本题的关键．11．对于恒成立，则a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．考点：函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先将指数函数化成同底，再依据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方即判别式小于零即可．解答：解：=依据y=在R上是单调减函数则x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，△=（3﹣2a）2﹣4a2≤0解得，故选B．点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及依据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为＜x ＜＜1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．解答：解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x ＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故选：C．点评：本题考查一元二次不等式的应用，留意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a 的取值范围为[，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式．分析：依据不等式||＞a的解集为M，且2∉M，可得||≤a，由此即可求a的取值范围．解答：解：∵不等式||＞a的解集为M，且2∉M，∴||≤a，∴|a﹣|≤a∴a2﹣a+≤a2，解得：a≥，∴a的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）．点评：本题考查不等式的解法，考查同学的计算力量，属于基础题．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值范是（0，）∪（2，+∞）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（x）的奇偶性及在（﹣∞，0）上的单调性可推断其在（0，+∞）上的单调性，由f（x）的性质可把f（log x2）＜f（1）转化为具体不等式，解出即可．解答：解：由于f（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，若f（log x2）＜f（1），则﹣1＜log x2＜0，或0＜log x2＜1，解得：x∈（0，）∪（2，+∞）所以实数x的取值范围为（0，）∪（2，+∞），故答案为：（0，）∪（2，+∞）点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是利用函数的基本性质化抽象不等式为具体不等式，体现转化思想．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值范围是（0，1）．考点：确定值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，数形结合求得a的范围．解答：解：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，故有0＜a＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查带有确定值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．17．若正数x，y 满足+=2，则xy 的最小值是6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数x，y满足+=2，∴，化为xy≥6，当且仅当=1时取等号．则xy的最小值是6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2021•天津校级模拟）已知不等式（a+b ）x+（2a﹣3b）＜0的解为x＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：依据一元一次不等式的解求出a=3b＜0，利用消参法转化为含有参数b 的一元二次不等式，进行求解即可．解答：解：∵（a+b）x+（2a﹣3b）＜0，∴（a+b）x＜3b﹣2a，∵不等式的解为x＞﹣，∴a+b＜0，且=﹣，解得a=3b＜0，则不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．等价为bx2+（4b﹣2）x+（3b﹣2）＞0．即x2+（4﹣）x+（3﹣）＜0．即（x+1）（x+3﹣）＜0．∵﹣3+≤﹣1．∴不等式的解为﹣3+＜x＜﹣1．即不等式的解集为（﹣3+，﹣1）．点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式和一元二次函数不等式的求解，考查同学的运算和推理力量．20．（15分）（2021•天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：M⊆[1，4]有两种状况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种状况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：M⊆[1，4]有两种状况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种状况计算a的取值范围．设f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）（2）当△=0时，a=﹣1或2．当a=﹣1时，M={﹣1}⊄[1，4]，故舍去．当a=2时，M={2}⊆[1，4]．…（6分）（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．设方程f （x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M=[x1，x2]，由M⊆[1，4]可得1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）∴，解得2＜a ≤．…（10分）综上可得，M⊆[1，4]时，a的取值范围是（﹣1，]．…（12分）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类争辩的数学思想，属于中档题．21．（15分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x 的不等式；．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；综合题．分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．下面对k进行分类争辩：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．点评：本题主要是应用分类争辩思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1．要有明确的分类标准；2．对争辩对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3．当争辩的对象不止一种时，应分层次进行，以避开混乱．依据确定值的意义推断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．22．（15分）（2022•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数争辩函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f（0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类争辩，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）递减0 递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有微小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，明显A≠∅下面分三种状况争辩：①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]．点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类争辩．。

天津市南开区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数=( )A．﹣i B．i C ．﹣﹣i D ．﹣+i2．已知实数x，y 满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是( )A．0 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣123．设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x ﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x 的准线上，则双曲线的方程为( )A．4x2﹣12y2=1 B．4x2﹣y2=1 C．12x2﹣4y2=1 D ．x2﹣4y2=15．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是( )A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A ．B ．C．4D．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=( ) A ．B ．C ．D ．或8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为( )A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．如图是某学校抽取的同学体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的同学人数为__________．10．已知a＞0，（x﹣）6的二项开放式中，常数项等于60，则（x﹣）6的开放式中各项系数和为__________（用数字作答）．11．假如执行如图所示的程序框图，则输出的数S=__________．12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（ϕ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosθ﹣sinθ=0，则圆C截直线l所得弦长为__________．13．如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为__________．14．已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC 上，且=λ，=λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE 的重心，则•=__________．三.解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．16．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a ，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC ；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．18．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．19．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n﹣b1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=b n•log3a n ，求数列{c n}的前n 项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N *且n≥2，有++…+＜．20．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）假如当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．天津市南开区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数=( )A．﹣i B．i C．﹣﹣i D．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是( )A．0 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y 为，由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0﹣2×4=﹣8．故选：C．点评：本题考查了简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：集合；简易规律．分析：依据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行推断即可．解答：解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据集合关系是解决本题的关键．4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x ﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x 的准线上，则双曲线的方程为( )A．4x2﹣12y2=1 B．4x2﹣y2=1 C．12x2﹣4y2=1 D ．x2﹣4y2=1考点：抛物线的简洁性质；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b．得到椭圆方程．解答：解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x ﹣y=0，∴a：b=：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线x=1上，∴c=1．c2=a2+b2，解得：b2=，a2=∴此双曲线的方程为：x2﹣4y2=1．故选：D．点评：本题考查的学问点是抛物线的简洁性质和双曲线的简洁性质，娴熟把握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．5．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是( )A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先通过配方能够得到0，所以依据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．解答：解：；∴有；所以依据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．点评：配方的方法求二次函数的值域，对数函数的定义域，以及对数函数的图象，依据图象求函数的值域的方法．6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A ．B ．C．4D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，分析出几何体的外形，进而画出几何体的直观图，进而代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如下图所示：其底面ABCD为一个底边长为2和2的矩形，面积S=4，高是P点到底面ABCD的距离，即h=，故几何体的体积V==，故选：A点评：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，其中依据已知分析出几何体的外形，是解答的关键．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=( )A ．B ．C ．D ．或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由余弦定理可得，而b2=a2+bc，可得c=b，a2=b2，再利用余弦定理即可得出．解答：解：由余弦定理可得=，∵b2=a2+bc，∴=0，解得c=b，a2=b2﹣bc=b2，∴cosC===，∵c＜b，∴C 为锐角，．故选：B．点评：本题考查了余弦定理的应用，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为( )A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：依据f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，及题意得m＞1，从而，再依据解集中的整数的个数可知2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），解之即可．解答：解：∵f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，即|mx|＜|x﹣n|，∴（mx）2﹣（x﹣n）2＜0，即[（m﹣1）x+n][（m+1）x﹣n]＜0，由题意：m+1＞0，f（x）＜0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m﹣1＞0，即m＞1，（否则解集中的整数不止3个）故不等式的解为，∵0＜n＜1+m，∴，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当，即2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），又n＜1+m，所以2（m﹣1）＜n＜1+m，即2（m﹣1）＜1+m，解得m＜3，从而1＜m＜3，故选：B．点评：本题考查函数零点的推断，机敏对表达式进行变形、挖掘已知条件中的隐含信息是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．如图是某学校抽取的同学体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的同学人数为60．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：依据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可．解答：解：第2小组的频率为（1﹣0.0375×5﹣0.0125×5）×=0.25；则抽取的同学人数为：=60．故答案为：60．点评：本题考查了读取频率分布直方图中数据的力量，属于基础题．10．已知a＞0，（x ﹣）6的二项开放式中，常数项等于60，则（x ﹣）6的开放式中各项系数和为1（用数字作答）．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：写出二项式的通项，令x的指数等于0，求出r的值，给x赋值，做出二项式开放式的各项系数之和．解答：解：∵a＞0，（x﹣）6的二项开放式中，常数项等于60，∴通项T r+1=C6r（﹣a）r x6﹣3r，当6﹣3r=0时，r=2，常数项是C6r（﹣a ）r=60∴a=2，令x=1，得到二项式开放式中各项的系数之和是1，故答案为：1．点评：本题考查二项式通项和各项系数之和，本题解题的关键是写出通项，这是解这种问题的通法，本题是一个基础题．11．假如执行如图所示的程序框图，则输出的数S=2500；．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1+3+5+7+…+99==2500．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=1，i=3不满足条件i＞99，S=4，i=5不满足条件i＞99，S=9，i=7不满足条件i＞99，S=16，i=9…不满足条件i＞99，S=1+3+5+7+…+99，i=101满足条件i＞99，退出循环，输出S=1+3+5+7+…+99==2500．故答案为：2500．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了等差数列的求和，属于基本学问的考查．12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（ϕ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosθ﹣sinθ=0，则圆C截直线l所得弦长为．考点：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步求出圆心到直线的距离，进一步利用勾股定理求出结果．解答：解：平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2=4，直线l的方程：cosθ﹣sinθ=0，转化成直角坐标方程为：，所以：圆心（0，2）到直线的距离d=1，所以：圆被直线所截得弦长：=2．故答案为：．点评：本题考查的学问要点：参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程，点到直线的距离，勾股定理的应用．13．如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD 的长为2．考点：平行截割定理．专题：选作题；立体几何．分析：利用割线定理，求出PC，再证明AC∥OB，∠2=∠D，∠AOB=∠BOD，即可得出结论．解答：解：设PC=x ，则利用割线定理可得2×4=x（x+8﹣x+8﹣x），∴x=4，连接OA，OB，AC ，则∵A，C 分别为PB ，PO的中点，∴AC∥OB，∴∠1=∠2，∵∠1=LD ，∴∠2=∠D，∴∠AOB=∠BOD，∴BD=AB=2．故答案为：2．点评：本题考查割线定理，考查圆的内接四边形的性质，考查同学的计算力量，比较基础．14．已知正三角形ABC的边长为2，点D ，E分别在边AB ，AC 上，且=λ，=λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE 的重心，则•=0．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：如图，依据向量的加减法运算法则，及重心的性质，用、表示、，再依据正三角形ABC的边长为2，进行数量积运算即可．解答：解：连AO 并延长交DE于G ，如图，∵O 是△ADE的重心，∴DG=GE ，∴，∴==，又=λ，=λ，∴=（），明显，，又==（1﹣）﹣，==﹣（+）=﹣（+﹣）=（）=﹣+，∴=（1﹣）+，∵=﹣，=﹣=（λ﹣1），∴=[+（λ﹣2）]，又正三角形ABC的边长为2，∴||2=||2=4，∴，∴=[（1﹣）+]•[+（λ﹣2）]={（1﹣）2+[+（1﹣）（λ﹣2）+（λ﹣2）}====0．（本题还可以用特殊值法或建立坐标系的方法来解决）点评：本题考查平面对量的数量积的计算，解题时要留意等价转化思想的合理运用，属于中档题．三.解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=cos（2x+）+1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期，由2kπ≤2x+≤（2x+1）π，可解得函数的单调减区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）先求得g（x），由0≤x ≤，可求﹣≤2x ﹣≤，从而可得≤cos（2x ﹣）+1≤2，即可求出f（x）的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x+）+2cos2x=﹣+1+cos2x…2分=cos2x ﹣sin2x+1=cos（2x+）+1…4分所以函数f（x）的最小正周期为π…5分由2kπ≤2x+≤（2x+1）π，可解得k≤x≤kπ+，所以单调减区间是：[k，kπ+]，k∈Z…8分（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=cos（2（x ﹣）+）+1=cos（2x ﹣）+1．…由于0≤x ≤，所以﹣≤2x ﹣≤，所以﹣≤cos（2x ﹣）≤1，…因此≤cos（2x ﹣）+1≤2，即f（x）的取值范围为[，2]．…点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数恒等变换，综合性较强，属于中档题．16．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，直接求解即可．（Ⅱ）ξ=1，2，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，P==．…（Ⅱ）ξ=1，2，…P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为…ξ 1 2Pξ的数学期望E（ξ）=1×+2×=．…点评：本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算力量．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E 的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，以点C 为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P﹣AC﹣E 的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．解答：解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以点C 为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，﹣1，a）．取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC 的法向量，则•=•=0，即，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos ＜，＞|===，则a=2．…于是n=（2，﹣2，﹣2），=（2，2，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|==，即直线PA与平面EAC 所成角的正弦值为．…点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象力量以及计算力量．18．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA 的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F的坐标为（﹣c，0），原点O到直线FA 的距离为b，列出方程，即可求解椭圆的离心率．（Ⅱ）求出椭圆方程，联立方程组，通过韦达定理，设M（x M，kx M+4），N（x N，kx N+4），求出MB方程，NA方程，求出交点坐标，推出结果．解答：解：（Ⅰ）设F的坐标为（﹣c，0），依题意有bc=ab，∴椭圆C的离心率e==．…（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2，∴椭圆方程为．…联立方程组化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，由△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞由韦达定理得：x M+x N =…①，x M x N =…②…设M（x M，kx M+4），N（x N，kx N+4），MB方程为：y=x﹣2，…③NA方程为：y=x+2，…④…由③④解得：y=…===1即y G=1，∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．…点评：本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的简洁性质方程的求法，考查分析问题解决问题的力量．19．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n﹣b1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=b n•log3a n，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）推断a n}是等比数列，求出通项公式，推断{b n}是等比数列，求出通项公式为b n．（Ⅱ）化简c n的表达式，利用错位相减法求解T n即可．（Ⅲ）化简并利用放缩法，通过数列求和证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵a n+1=3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为a n=3n﹣1．…∵2b n﹣b1=S1•S n，∴当n=1时，2b1﹣b1=S1•S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．…∴当n＞1时，b n=S n﹣S n﹣1=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1，∴{b n}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为b n=2n﹣1．…（Ⅱ）c n=b n•log3a n=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1，…T n=0•20+1•21+2•22+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①2T n=0•21+1•22+2•23+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②①﹣②得：﹣T n=0•20+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n =2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n∴T n=（n﹣2）2n+2．…（Ⅲ）===≤+++…+＜++…+==（1﹣）＜．…点评：本题考查等比数列的通项公式的求法，错位相减法以及放缩法的应用，考查计算力量．20．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）假如当x≠0时，f（2x ）＜，求实数k的取值范围．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：分类争辩；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x ）＜⇔[xe x ﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x ﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k争辩，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，推断函数的单调性，即可得到k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=，由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0，知1+（e﹣1）2 f（1）﹣e=0，即f（1）==，f′（1）===﹣．解得a=b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，所以f（2x）＜⇔＜⇔﹣＜0，⇔[xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），则g′（x）=e x+xe x﹣（1﹣k）e2x=e x（1+x﹣（1﹣k）e x）．①设k≤0，当x≠0时，g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，故当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0，可得g（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得g（x）＜0，从而x≠0时，f（2x）＜．②设k≥1，存在x0＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设冲突，③设0＜k＜1，存在x1＜0＜x2，当x1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）单调递增，而g（0）=0，故当1＜x＜x2时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设冲突．综上可得，k的取值范围是[0，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类争辩的思想方法和正确求导是解题的关键．。

2021年天津南开中学高三月考文科数学卷2021-2021学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（这道大题有8道小题，每个小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。

请在答题纸上填写答案！）1．设集合a={2，5}，集合b={1，2}，集合c={1，2，5，7}，则（a∪b）∩c为（）a．{1，2，5}b．{1，2，5}c．{2，5，7}d．{7，2，5}2.假设a和B是实数，那么“a>B”是（）a.充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.充分和必要条件D.既不充分也不必要条件3。

不平等的解集是（）二2a、 d。

b．c。

4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）a、 4b.11c.125．函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）a．0b．1c．26.已知函数f（x）=sin（2xa）7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，（）＜φ＜b．d、 14d．3)，如果有∈ （0，π），所以f（x+a）=f（x+3a）是常数，那么a=（）c．d。

）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是第1页，共16页a．b、疾病控制中心。

8．已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的值范围为（）a．（1，10）b．（5，6）c．（10，15）d．（20，24）二、填空：（这个大问题有6个小问题，每个小问题5分，总共30分。

请在答题纸上填写答案！）9.如果向量=（2,5），=（，y）和⊥ （+2），那么Y的值是。

10.设置向量，，然后βα=。

11．已知12.已知正数A.B满足4A+B=30，因此13．若函数（fx）（x∈r）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为（fx）=，取最小值时，则实数对（a，b）是．哪里，则cosα=．其中0＜α＜β＜π。

如果则f（）+f（）=．14.有四个主张：（1）“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题．二（3）“若q≤1，则x+2x+q=0有实根”的逆否命题；（4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的是．三、答：（本答案共有6个小问题，15-18个小问题得13分，19-20个小问题得14分，共80分。

2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。

2021-2021学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理2021-2021学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 2762．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个：①若α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①④D． 300D．②④3．已知三棱柱ABC��A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（） A．B．C．的正三角形，D．4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（） A． 2B． 1C．D．5．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（） A．6．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x=2py2B． C． D． 2（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A． x=7．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C12y B． x=2y C． x=8y2D． x=16y2于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（） A．8．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于B．C．D．A、B两点．若AB的中点坐标为（1，��1），则E的方程为（） A．B．C． D．二、填空题：（每小题0分，共30分．）*015春?天津校级月考）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+1（n∈N），且a1=1，则通项公式an= ．1015春?天津校级月考）圆心在直线x��2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（��2，0）、B（��4，0），则圆C的方程为．1015春?天津校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则?= ．1015春?天津校级月考）已知cos（x��3）=��，则cosx+cos（x��）= ．1015春?天津校级月考）已知函数y=x��3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是．1015春?天津校级月考）点F是椭圆E：的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为，则直线l的斜率是．三、解答题：（15-18每小题0分，19-20每小题0分，共80分．）1015春?天津校级月考）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．1013?铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；2（Ⅱ）求2sinA+cos（A��C）的范围．1014?东莞二模）如图，在四棱锥P��ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C��PD��G的余弦值为？说明理由．1014?河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．1014?天津三模）已知数列{an}的前n项和Sn=��an��bn=2an．（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设数列{n+2（n∈N），数列{bn}满足*an}的前n项和为Tn，证明：n∈N且n≥3时，Tn＞nn��1**；（3）设数列{cn}满足an（cn��3）=（��1）*λ，使得对任意n∈N，都有cn+1＞cn．λn（λ为非零常数，n∈N），问是否存在整数2021?和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x=4的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（��4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求的取值范围．?22021-2021学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 276 D． 300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4×故选B．×4=240．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个：①若α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①④ D．②④考点：的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．解答：解：①若α∩β=m，n?α，n⊥m，如图，则α与β不一定垂直，故①为假；②若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β；故②为真；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故③为真；④若m∥α，n∥β，m∥n，如图，则α与β可能相交，故④为假．故选B．点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．3．已知三棱柱ABC��A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（） A．B．C．D．的正三角形，考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用三棱柱ABC��A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．即可感谢您的阅读，祝您生活愉快。

优质资料\word 可编辑15 x 天津市天津南开中学等六校2021届高三数学上学期期初检测试题一、选择题（每题 5 分，共 45 分）1. 设全集为 R ，集合 A =x R |0 x 2 ， B =x N | x 1 ，则 A (C R B )7. 在ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c 。

已知ABC 的面积为3 ， 3sin A2 sin C ， cos B 1 ，则cos2 A的值为2. 命题“ x R ， 2x 2 3x ”的否定是 8. 已知 F ， F 分别为双曲线3x 2 y 23a 2a 0 的左右焦点， P 是抛物线 y 28ax 与1 23. 已知a ln ， blg125 ， c 1.3，则a , b , c 的大小关系是双曲线的一个交点，若| PF 1 | | PF 2| 18 ，则抛物线的准线方程为4. 为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队,教练将二人最近6 次篮球比赛的得分数进行统计,甲乙两人的平均得分分别是,则下列说法9. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足： f (x ) f (x ) e 2 x ， f ln 2 4 ，则不等式 f (x ) e 2 x 的解集为A . , ln 2B . ,2C . ln 2，D . 2，二、填空题（每题 5 分，共 30 分）正确的是10. 二项式 253x 的展开式的常数项是A . ,乙比甲稳定,应选乙参加比赛B . ,甲比乙稳定,应选甲参加比赛C .,甲比乙稳定,应选甲参加比赛D .,乙比甲稳定,应选乙参加比赛5. 已知直线m , n ，平面α ， n ，那么“ m // ”是“ m // n ”A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6．函数 f (x )A sin(ωxφ) ，（其中 A 0, ω0,| φ | π）2的一部分图像如图所示，将函数上的每一点的纵坐标不变， 横坐标伸长为原来的2 倍，得到的图像表示的函数可以为11. i 是虚数单位，则 3 4i (1 i)=1 i12．如图，在三棱柱的侧棱 A 1 A 和 B 1B 上各有一动点 P , Q 且满足 A 1PBQ ， 过 P , Q , C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥C ABQP与三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积比为13. 如图，在ABC 中， D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上， BE 2EA ， AD与CE 交于点O 。

天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）1 设集合，集合，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案解析】 B分析：根据已知条件，直接求集合的交集即可.解答：因为，，，故选：B．2 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（）A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝【答案解析】 A分析：画出每个函数的图象，即得解.解答：y＝＝，y＝＝，y＝，y＝，它们的图象如图所示:由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增．故选：A.点拨：本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3 函数，图象大致为（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.解答：，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项.由排除选项.由，排除C选项，故本小题选D.点拨：本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.4 已知公差不为0的等差数列{an}的首项，若，，成等比数列，则{an}的前5项之和为（）A. －23B. －25C. －43D. －45【答案解析】 D分析：首先根据题意得到，解得，再计算即可.解答：根据题意，，，成等比数列，即，则有，解可得或（舍，则的前5项之和.故选：D点拨：本题主要考查等差数列的前项和，同时考查了等比中项，属于简单题.5 设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案解析】 B分析：分别判断，和，再代入计算，可得.解答：因为，所以；又因为，所以；又，所以，所以.故选：B.6 椭圆的焦距为4，则m的值为（）A. 1B. 7C. 1或17D. 7或11【答案解析】 D分析：对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得的值. 解答：在椭圆中，由已知可得，解得.若椭圆的焦点在轴上，可得，解得；若椭圆的焦点在轴上，可得，解得.因此，或.故选：D.7 以下命题正确的是（）A. 命题“任意，”的否定为“存在，”B. 设等比数列的前n项和为，则“”是“公比”的充要条件C. 若对于任意实数λ，有，则向量，不共线D. “直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件【答案解析】 D分析：根据全称命题的否定为特称命题判断A选项；举反例判断B选项；若对于任意实数λ，非零向量满足，则向量，不共线，C错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k的值，然后判断两命题之间的关系.解答：命题“任意，”的否定为“存在，”，A错误；，当，n为奇数时有，B错误；若，为零向量，对于任意实数λ，有，但共线，C错误；两直线平行则，解得或1，当时两直线重合不满足条件，所以；由两直线垂直可得，解得或1. 所以“直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件，D正确.故选：D8 已知函数.给出下列结论：①的最小正周期为；②点是曲线的对称中心；③把函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像.其中所有正确结论的序号是（）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案解析】 B分析：本题首先可通过周期计算公式得出①正确，然后求出曲线的对称中心即可判断出②错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出③正确.解答：①：函数的最小正周期，①正确；②：，即，则曲线的对称中心为，点不是曲线的对称中心，②错误；③：函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，因为，所以③正确，故选：B.点拨：关键点点睛：本题考查三角函数的周期性、对称性、图像变换以及诱导公式的应用，函数向左平移个单位，得到，然后横坐标缩小倍，得到，再然后向上平移个单位，可以得到，考查推理能力，是中档题.9 已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.解答：由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,,联立,可得,由，得，结合函数，的图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.故选D.点拨：本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.10 i是虚数单位，纯虚数z满足，则实数m的值为________.【答案解析】 2分析：利用复数的除法运算将复数z整理为的形式，再根据z为纯虚数则实部为零求解m. 解答：为纯虚数，，解得.故答案为：211 在的展开式中，常数项是________.【答案解析】 60分析：由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令，运算即可得解.解答：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的二项展开式中，常数项为.故答案为：12 已知点和圆C：，则P在圆C________(填内､外或上)，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为________________.【答案解析】外；分析：根据点P距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径. 解答：，P在圆C外，设以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为，即，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为.故答案为：外；13 已知向量和的夹角为60°，，，则的值为________.【答案解析】分析：由已知求得，又由，求得，，从而利用，代入可求得答案．解答：因为，所以，又，所以，又向量和的夹角为，所以，得，所以，故答案为：．14 已知，，且，则的最小值为________.【答案解析】分析：利用换元法，设，，所以，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．解答：设，，所以．故，当且仅当时取等号，即时取等号．故答案为：．点拨：本题解题关键是通过换元法设，，转化为常见基本不等式模型，在的条件下求的最小值，从而顺利求解．15 已知.设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________.【答案解析】分析：欲利用单调性求值域，确定将，，分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合恒成立的a的取值范围.解答：（1）当时，，的值域为，则恒成立，故成立（2）当时，当，单调递减，故此时.当时，，当时，单调递增；当时，单调递减①当时，在上单调递增.此时的值域为，恒成立②当时，在时，取得最小值当时，，则恒成立当时，.此时若即时，，此时不符合题意故，恒成立，（3）当时，时，为单调递增的一次函数，.时在上为增函数，值域为要有意义，则此时，.,故因此，恒成立综上所述，故答案为：点拨：（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.16 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求角C的大小；（2）求的值；（3）求的值.【答案解析】（1）30°；（2）；（3）.分析：（1）利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求解即可.（3）首先计算，从而得到，，再计算的值即可.解答：（1）由余弦定理，得，又因为，所以.（2）由（1），有，由正弦定理，得.（3）解：由，知A为锐角，故，进而，，所以.17 如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）设点M为棱的中点，求证：平面；（2）求异面直线和所成角的余弦值；（3）棱SB上是否存在点N，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案解析】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的长为.分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明从而证明线面平行；（2）求出向量、的坐标，代入即可求解；（3）设，用表示出点N的坐标，求出平面SBC、平面ANC的法向量，由题意知则，即可带入坐标求得从而求得.解答：（1）证明：以点A为坐标原点，向量，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，，，，，，.设点P为中点，则有，，，又因为平面，平面，所以平面.（2）由，，得.所以，异面直线和所成角的余弦值为.（3）由（1）中知，设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得，易知分别为平面ABCD、平面ABS的法向量，，平面ABCD与平面SBC不垂直，，平面ABS与平面SBC不垂直，所以点N不在棱SB的端点处，依题意，设，()，可得.设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得.由题意知，，则，解得.此时，.18 设数列{an}是公比为正整数的等比数列，满足，.设数列{bn}满足，.（1）求{an}的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，并求{bn}的通项公式；（3）记，.求证：.【答案解析】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析.分析：（1）由，解得首项和公比可得答案；（2）由，可得进而求得答案；（3），用裂项相消可得证明.解答：（1）设数列的公比为q，有解得所以.（2）证明：，又因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，进而，.（3）由（1）、（2）知，，所以，所以.点拨：方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.19 已知椭圆C：()的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆位于x轴上方的部分，直线AB与y 轴交于点D，点E是y轴上一点，满足，直线与椭圆C交于点G.若的面积为，求直线AB的方程.【答案解析】（1）；（2）.分析：（1）由离心率及过的点和之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）由（1）得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立得的坐标，由题意得点的坐标，再由题意得的坐标，表示出面积，求得的值，得到直线的方程.解答：（1）由已知，有，解得，所以椭圆C的方程为；（2）由（1）知，，.设直线的方程为()，其与椭圆C的交点满足方程组消去y得到，解得.在直线的方程中，令，解得，即得.设，由题意，有，解得. 进而得到直线的方程为，其与椭圆C的交点满足方程组消去x得到，解得，进而.由上述过程可得，，点G到直线的距离为.因此，，化简得，解得，所以直线的方程为.点拨：思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题意，结合椭圆的性质，结合之间的关系求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立消元，根据题中所给的条件，建立相应的等量关系，求得结果.20 已知函数，.（1）若，求函数的最大值；（2）若，（i）求过原点且与曲线相切的直线方程；（ii）设，为方程()的解，求证：.【答案解析】（1）0；（2）（i）；（ii）证明见解析.分析：（1）当时，，求导.分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求函数的最大值.（2）（i）记.设切点，求得过点P处的切线方程为.由已知解得，代入可得其切线方程；（ii）构造函数，求导，令，求导得，可得单调递增.又由，得出单调性，从而可得证.解答：解：（1）当时，，.当时，有，则单调递增；当时，有，则单调递减.因此，存在极大值，也即函数的最大值，所以函数的最大值为.（2）（i）记.取曲线上一点，则P处的切线方程为.由题意，有，即，变形后得到方程.记函数，由，知为增函数，故.将其代入切线方程，故所求切线方程.（ii）构造函数，则，令，则.有，故单调递增.又，因此当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，.由题意，.不妨设，由前述知，，即.所以.点拨：方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。

天津市南开中学2020-2021学年高三（上）统练数学试题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设U =R ，{|21}x A x =>，2{|log 0}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|1}x x >C ．{|01}x x <D ．{|01}x x <2．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（ ） A ．1BC ．2D．3．设函数f (x )＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式f (x )>f (1)的解集是（ ）A ．(－3，1)∪(3，＋∞)B ．(－3，1)∪(2，＋∞)C ．(－1，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，3)4．下列四个函数：①3y x =-；②()120x y x -=>；③2210y x x =+-；④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．13(,]8-∞ C ．(0,2) D ．13[,2)86．已知函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1，则a 的取值范围是（ ） A ．1[,1)2B ．(0,1)C ．1(0,]2D ．(1,)+∞7．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，，B ．(1)(01)-∞-⋃，，C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，，D ．(10)(01)-⋃，， 8．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意[2,2]m ∈-，2(3)()0f ma f a -+>恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞ C ．()3,3-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞9．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有(6)()+(3)f x f x f +=成立，且(6)2f -=-，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-.则给出下列命题：①(2016)2f =-；②6x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴；③函数()y f x =在(9,6)--上为减函数；④方程()0f x =在[9,9]-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题10．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()2(1f x f x=，则()f x =_______ 11．已知函数()f x 的定义域为R ，直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，且()01f =，则()()410f f +=________.12．设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n *⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是____________ 13．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234____.x x x x +++=15．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2yx 是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数()3f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________.三、解答题16．设函数2()sin cos sin ()4f x x x x π=--.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()6f x π-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 17．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.（1）求证：//AC 平面PDB ； （2）求二面角PAB C 的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CECP的值；如果不存在，请说明理由.18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*11·()3n n n n S S a n N n++=+∈，且11a =. （1）证明：数列{}na n是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19．已知函数()()21ln 3f x t x tx t =+++，t ∈R .（1）若0t =，求证:当0x ≥时，()2112x f x x -≥+； （2）若()4f x x ≥对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求t 的取值范围.20．已知函数()()12f x lnx ax a R x=++∈在2x =处的切线经过点()4,2ln 2- （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式2211lnx m x x>--恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【分析】利用对数函数的性质，求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，利用指数函数的性质确定出集合A ，由全集U =R ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的公共部分，即可确定出所求的集合 【详解】易知{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则{|01}U A C B x x ⋂=<， 故选：C . 【点睛】本题属于以考查不等式的解法为平台，考查了交､并､补集的混合运算，是高考中常考的基本题型. 2．B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高考点：圆锥的面积 3．A 【分析】先求出(1)f ，再分0x ≥和0x <代入解析式解不等式，求出解集. 【详解】解：f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞)． 【点睛】本题考查了对分段函数的理解与应用，一元二次不等式的解法，属于基础题. 4．B 【分析】分别求出所给4个函数的定义域和值域比较是否相同. 【详解】①3y x =-的定义域与值域均为R ， ②()120x y x -=>的定义域为()0,∞+，值域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，， ③2210y x x =+-的定义域为R ，值域为[]11,-+∞，④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的定义域值域求解，考查学生对于一些简单基本初等函数的掌握情况，较简单. 5．B 【分析】根据题意，由单调性的定义可得22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，求出a 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，必有22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，解可得138a ，即13(,]8a ∈-∞； 故选：B. 【点睛】该题考查函数单调性的性质，注意分段函数的单调性的分析方法，属于基础题目. 6．A【分析】对x 进行分类讨论，当2x ≤时，()1f x x 和当2x >时，2log 1a x +≤.由最大值为1得到a 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，()1f x x ，()()21max f x f ∴==,函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1 ∴当2x >时，2log 1a x +≤.∴0121a a log <<⎧⎨≤-⎩，解得1[2a ∈，1)故选：A 【点睛】本题考查已知分段函数的最值求参数的范围，涉及对数函数求值域，属于中档题. 7．D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内8．A 【解析】()()f x f x -=-, 且()2cos 30f x x =-<' ，所以函数()f x 为单调递减的奇函数，因此()()230f ma f a-+>222(3)()()3f ma f a f a ma a⇒->-=-⇒-<-即223123111323a a a a a a a-<<⎧-<-⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--<-⎩⎩ ，选A. 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内 9．D 【分析】①首先判断出函数()y f x =是以6为周期的周期函数，可得(2016)(0)f f =，即可得到答案;②根据函数的周期性可以直接得到结论; ③利用单调性的定义可以得到答案;④根据(3)(3)0f f =-=，以及函数的周期性，得出答案. 【详解】对于①，令3x =-，由(6)()+(3)f x f x f +=得(3)0f -=，又函数()y f x =是R 上的偶函数，∴(3)(3)0f f =-=，∴(6)()f x f x +=，即函数()y f x =是以6为周期的周期函数，∴(2016)(3366)(0)f f f =⨯=；又(6)2f -=-，所以(0)2f =-，从而(2016)2f =-，即①正确；对于②，函数关于y 轴对称，周期为6，∴函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-，故②正确； 对于③，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-设12x x <，则12()()f x f x <，故函数()y f x =在[0,3]上是增函数，根据对称性，易知函数()y f x =在[3,0]-上是减函数，根据周期性，函数()y f x =在(9,6)--上为减函数，故③正确；对于④，因为(3)(3)0f f =-=，又由其单调性及周期性可知在[9,9]-，有且仅有(3)(3)(9)(9)0f f f f =-==-=，即方程()0f x =在[9,9]-上有4个根，故④正确.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的周期性和单调性，做题时要认真审题，属于中档题，1013【分析】根据1()2(1f x f x =，考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x ，用1x代替x 代入 1()2(1f x f x=-，解关于()f x 与1()f x 的方程组，即可求得()f x ．【详解】考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x，故可考虑利用换元法进行求解．在1()2(1f x f x =，用1x代替x ，得1()2(1f f xx=-，将1()1f x =-代入1()2(1f x f x=中，可求得1()3f x =．13+. 【点睛】此题是个基础题．本题主要考查通过给定条件求函数解析式的问题．联立方程求函数解析式是求解析式的一种重要方法． 11．2 【分析】（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，从而可推出()()2f x f x =+，进而可得出答案．（性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2，从而可求出答案． 【详解】解：（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，则()()222f x f x +=++⎡⎤⎣⎦，所以()()2f x f x =+，则()()()()410002f f f f +=+=. （性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2. 又()01f =，则()()()()410002f f f f +=+=. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，考查函数的周期性，属于中档题． 12．8 【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．82 【解析】试题分析：由()3sin 2f x x x =++知当时，()()1222f x f x +=⨯.1120-+=⨯，1919202020-+=⨯，⋅⋅⋅，(1)(1)22f f ∴-+=⨯，1919()()222020f f -+=⨯，⋅⋅⋅，则()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由()3sin 2f x x x =++可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难题. 14．8- 【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可. 【详解】解：定义在R 上的奇函数()f x ，所以()()f x f x -=-，(0)0f =，又(4)()f x f x -=-，所以()()(4)8f x f x f x =--=-，8是函数()f x 的一个周期，所以()(4)()4f x f x f x -=-=+，所以2x =-是函数的一条对称轴，函数的对称轴是()42x k k Z =-∈，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，12344,12x x x x +=+=-，所以12348x x x x +++=-， 故答案为：8- 【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.15．33,4⎛--⎤⎥⎝⎦【分析】根据新定义可得31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】解：设11x -<<，()()()()11111f f f x m --==+--，∴31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，∴()311x m x -=-，21m x x =---，()1,1x ∈-.∵2213124y x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在()1,1-的值域为33,4⎛--⎤ ⎥⎝⎦， 所以方程有解实数m 的取值范围是33,4⎛--⎤⎥⎝⎦， 故答案为：33,4⎛--⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查函数在区间上能成立的问题，常用分离变量法，属于难题．16．（1）最小正周期π；（2）最大值是12，最小值是【分析】（1）由三角恒等变换化简()f x ，利用周期公式即可求最小正周期. （2）求()6f x π-解析式，1()sin(2)632f x x ππ-=--，然后根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出其值域后，，即可得到最大最小值. 【详解】 （1）21()sin cos sin ()sin 242f x x x x x π=--=-，∴函数()f x 的最小正周期T π=；（2）由（1）得1()sin(2)632f x x ππ-=--， [0x ∈，]2π，22333x πππ∴--，sin(2)[3x π∴-∈1]，1()[62f x π∴-∈-，1]2，()6f x π∴-在[0，]2π上的最大值是12，最小值是. 【点睛】本题考查三角函数的周期性和三角函数的值域，以及三角函数平移变换和三角恒等变换，属于中档题.17．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）7-;（Ⅲ）见解析. 【详解】试题分析：（1）证线面平行，则要在平面PDB 找一线与之平行即可，显然分析//DB AC 即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠，所以PC 与AB 不垂直，故不存在试题解析：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD =，所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=， 又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB ⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ， 所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.以,,DB DA DP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则由已知可知()1,0,0B，()A ，()0,0,1P，()C .平面ABC 的法向量()n 0,0,1=，设()m ,,x y z =为平面PAB 的一个法向量，则 由m 0,{m 0BA BP ⋅=⋅=可得令1y =，则x z ==，所以平面PAB的一个法向量(m 3,1,=，所以m n 3cos m,n 7m n⋅===所以二面角PAB C 的余弦值为7-. （Ⅲ）由（Ⅱ）可得()1,AB =，()1PC =-， 因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠， 所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性18．（1）证明见解析；（2）99314423nn n S ⎛⎫ ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭⎭⎪⎝.【分析】（1）利用11n n n S S a ++-=化简，证明n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）可得113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅，再利用错位相减法求和. 【详解】解：（1）证明：根据题意可得，11·3n n n n S S a n++-=， 11·3n n n a a n ++∴=， ∴11·13n n a an n +=+， 11a =，∴数列{}n a n是以1为首项，以13为公比的等比数列，（2）由（1）可得11()3n n a n -=，11·()3n n a n -∴=，012111111()2()3()()3333n n S n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，∴123111111()2()3()()33333n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅， ∴123111************()()()()()()()()1333333322313n n n n n n S n n n --=++++⋯+-⋅=-⋅=-+⋅-， 9931()()4423n n n S ∴=-+⋅.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式､数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2）[)1,+∞． 【分析】（1）将0t =代入解析式得()ln f x x =，从而有()()1ln 1f x x +=+，令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，求导判断函数的单调性，从而求出最值得出结论； （2）由题意得()21ln 340t x tx t x +++-≥，令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，先根据()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，从而可推出函数()x ϕ在[)1,+∞递增，从而得出结论． 【详解】（1）证：当0t =时，()ln f x x =，()()1ln 1f x x +=+，即证()21ln 12x x x -≥+； 令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，则()201xg x x '=>+，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ≥=， 即()2112x f x x -≥+； （2）解：由()()241ln 340f x x t x tx t x ≥⇒++-≥+， 令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，首先由()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，因为1t ≥所以()16810t t ∆=-+≤， 所以()0h x ≥恒成立，即()0x ϕ'≥，()x ϕ在[)1,+∞递增， 故()()1440x t ϕϕ≥=-≥， 综上：t 的取值范围[)1,+∞． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查恒成立问题，属于难题． 20．（1）()f x 在0,单调递减；（2）(],0-∞.【解析】 试题分析：(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数a 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论m 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数b 满足()0g x b >> ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为0 . 试题解析：（1）由题意得()221,0f x a x x x=+->' ∴()324f a '=+， ∴()f x 在2x =处的切线方程为()()()222y f f x '-=- 即32214y a x ln ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， ∵点()4,22ln -在该切线上，∴1a =-， ∴()()22212110x f x x xx--=--=≤'函数()f x 在()0,+∞单调递减； （2）由题意知0x >且1x ≠，原不等式2211lnx m x x>--等价于21121lnx x m x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，设()()22111211g x lnx x f x x x x⎛⎫=-+= ⎪--⎝⎭， 由（1）得()f x 在()0,+∞单调递减，且()10f =，当01x <<时，()()0,0f x g x >>；当1x >时，()()0,0f x g x ； ∴()0g x >，假设存在正数b ，使得()0g x b >>，若01b <≤，当1x b >时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； 若1b >，当11x b <<时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； ∴不存在这样的正数b ，使得()0g x b >>，∴()g x 的值域为()0,+∞ ∴m 的取值范围为(],0-∞.点睛：(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将分离系数后考查恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．。

天津市南开中学2021届高三数学开学统练试题（含解析）一、选择题1.设集合{}{}{}1,1,2,3,5,2,3,4,|13A B C x R x =-==∈≤<，则()A C B =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3D.{}1,2,3,4【答案】D 【解析】 【分析】 求出AC 后可求()A C B .【详解】{}1,2A C =，故{}()1,2,3,4A C B =，故选D.【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题. 2.设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. 86πB. 46πC. 26πD. 6π【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即 364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，34466633V R ∴=π==π，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 2 3 C. 25【答案】D 【解析】【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率． 【详解】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===．故选D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度． 5.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log 2log 2a =<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．6.设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]nt n=同时成立，则正整数n 的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得， 由得，所以，所以，由得， 所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可．【详解】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=；又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴==2ω=，2A =，又()4g π=∴()2sin 2f x x =，3()8f π= 故选C ．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ．8.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. []0,1 B. []0,2C. []0,eD. []1,e【答案】C 【解析】 【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 二、填空题9.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________. 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项． 【详解】8848418831(2)()(1)28rrrr r r r r T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r，所以的常数项为228(1)28C -=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的． 10.设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】xy =0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．11. 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535(,)22D ． 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒， 所以直线BE 的斜率为3，其方程为3(23)y x =-，直线AE 的斜率为3-，其方程为3y x =-． 由3(23),33y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．12.已知直线l ：330mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与y 轴交于C ，D两点，若||AB =，则||CD =__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案. 【详解】因为AB =，且圆的半径为r =，所以圆心()0,0到直线30mx y m ++-=3=，则由3=，解得m =，代入直线l的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．13.已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 14.已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________ 【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--， 函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去； ②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论． 三、解答题15. 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】(Ⅰ) 14-；(Ⅱ) . 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cos B 的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】(Ⅰ)在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =. 由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=2224161992423a a a a a +-==-⋅⋅. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-.故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）20243【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从面()()33210,1,2,333k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====.由题意知事件{}3,1X Y ==与{}2,0X Y ==互斥，且事件{}3X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立， 从而由(Ⅰ)知：{}{}()()3,12,0P M P X Y X Y =====()()3,12,0P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 17.如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）49（Ⅲ）87【解析】 【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF 的方向向量和平面ADE 的法向量的关系即可证明线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE 的方向向量和平面BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF 长度的方程，解方程可得CF 的长度.【详解】依题意，可以建立以A 为原点，分别以,,AB AD AE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E .设()0CF h h =>，则()1,2,F h .(Ⅰ)依题意，()1,0,0AB =是平面ADE 的法向量， 又()0,2,BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE . (Ⅱ)依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--，设(),,n x y z =为平面BDE 的法向量，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令z =1，可得()2,2,1n =， 因此有4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅〈〉==-.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. (Ⅲ)设(),,m x y z =为平面BDF 的法向量，则00m BD m BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y y hz -+=⎧⎨+=⎩. 不妨令y =1，可得21,1,m h ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 由题意，有41cos ,332m n m n m n-⋅===⨯，解得87h =. 经检验，符合题意｡ 所以，线段CF 的长为87. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.18.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.【答案】（Ⅰ）22154x y +=. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b ,c 的方程，解方程可得椭圆方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的坐标，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,c b a ==，又222a b c =+，可得a =b =2，c =1.所以，椭圆方程为22154x y +=.(Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2245200kxkx ++=，可得22045P kx k=-+， 代入2y kx =+得2281045P k y k-=+， 进而直线OP 的斜率24510P P y k x k-=-， 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-. 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -.由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭， 化简得2245k =，从而5k =±. 所以，直线PB5-. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列(){}221n n a c -的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n 项和公式可得21ni i i a c =∑的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩，故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32nn b =⨯.(Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n nnnn a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n na c -=⨯-. (ii )()22111n n i iiiii i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n niiii i a a c===+-∑∑()2212432n n n⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑ ()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力. 20.设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)构造函数()()()2h x f x g x x π⎛⎫-= ⎝+⎪⎭，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数()h x 的最小值即可证得题中的结论；(Ⅲ)令2n n y x n π=-，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.【详解】(Ⅰ)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的单调递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n ny x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e n x n n n x n n N πππ---∈=.由()()20e 1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y . 由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<. 【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.。

2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（24）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9}，B＝{x∈Z|﹣3≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}2．（5分）已知i是虚数单位，则的虚部为（）A．B．i C．1D．i3．（5分）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图，则函数y＝f（x）•g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）若函数是增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（0，1）6．（5分）设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞1，则的大小关系是（）A．B．C．D．7．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P （P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2＝2px（p＞0）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若＝（+），则双曲线的离心率的平方为（）A．B．C．+1D．8．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象相邻的两条对称轴的距离为2π，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称给出下列命题：①函数f（x）关于直线x＝对称；②函数f（x）在[﹣，]上单调递增；③函数f（x）关于点（﹣，0）对称．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）﹣ax＝0有两个根，则a的取值范围是（）A．（0，]∪[﹣，﹣2）B．（0，）∪[﹣，﹣2]C．（﹣∞，﹣）∪[，+∞）∪{0，﹣2}D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．（5分）在的展开式中，x5项的系数为（用数字作答）．11．（5分）已知两圆的方程分别为x2+y2﹣4x＝0和x2+y2﹣4y＝0，则这两圆公共弦的长等于．12．（5分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则E（X）＝．13．（5分）14．如图，A1B1C1D1是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB＝4，BC＝3，AA1＝DD1＝5，BB1＝CC1＝8，则该几何体的体积为．14．（5分）不等式x+2≤a（x+y）对任意正数x，y恒成立，则正数a的最小值是．15．（5分）如图，菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于O点，||＝2，E 为BC边（包含端点）上一点，则||的取值范围是，的最小值为．三、解答题：本大题共5个小题，共计75分.16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a cos C＝（2b﹣c）cos A．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．17．（15分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在线段A1B1上，且．（Ⅰ）求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ＝时，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数λ的值．18．（15分）在数列{a n}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．（Ⅰ）证明：a4，a5，a6成等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记b n＝，S n＝b1+b2+…+b n（n∈N*），证明：S n＜．19．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求|OA|cos ∠OAB+的最大值．20．（16分）已知函数f（x）＝sin x﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，令h（x）＝f（x）﹣sin x+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（24）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9}，B＝{x∈Z|﹣3≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【解答】解：∵集合A＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x∈Z|﹣3≤x≤2}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，则的虚部为（）A．B．i C．1D．i【解答】解：i是虚数单位，则＝＝＝＝1+i，∴的虚部为1．故选：C．3．（5分）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sinα＝0可得α＝kπ（k∈Z），∴cosα＝±1，反之成立，∴“sinα＝0”是“cosα＝1”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图，则函数y＝f（x）•g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝f（x）的有两个零点，并且g（x）没有零点；∴函数y＝f（x）•g（x）也有两个零点M，N，又∵x＝0时，函数值不存在∴y在x＝0的函数值也不存在当x∈（﹣∞，M）时，y＜0；当x∈（M，0）时，y＞0；当x∈（0，N）时，y＜0；当x∈（N，+∞）时，y＞0；只有A中的图象符合要求．故选：A．5．（5分）若函数是增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（0，1）【解答】解：当x∈（0，1]时，函数是增函数，最大值为：e，最小值大于1，函数是增函数，x≤0时，f（x）＝af（x+1），可得0＜a并且af（1）≤e0，可得0＜a≤．故选：B．6．（5分）设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞1，则的大小关系是（）A．B．C．D．【解答】解：∵log2x＝log3y＝log5z＞1，∴log2x﹣1＝log3y﹣1＝log5z﹣1＞0，∴log2＝log3＝log5＞0，设log2＝log3＝log5＝k，则＝2k，＝3k，＝5k，∵f（x）＝x k在（0，+∞）上为增函数，∴2k＜3k＜5k，即＜＜．故选：B．7．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P （P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2＝2px（p＞0）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若＝（+），则双曲线的离心率的平方为（）A．B．C．+1D．【解答】解：由＝（+），可得P为FQ的中点，设F（c，0），由渐近线方程y＝x，①可设直线FP的方程为y＝﹣（x﹣c），②由①②解得P（，），由中点坐标公式可得Q（﹣c，），代入抛物线的方程可得＝2p•（﹣c），③由题意可得c＝，即2p＝4c，③即有c4﹣a2c2﹣a4＝0，由e＝可得e4﹣e2﹣1＝0，解得e2＝．故选：D．8．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象相邻的两条对称轴的距离为2π，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称给出下列命题：①函数f（x）关于直线x＝对称；②函数f（x）在[﹣，]上单调递增；③函数f（x）关于点（﹣，0）对称．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象相邻的两条对称轴的距离为2π，故函数的最小正周期为4π，故ω＝，所以f（x）＝sin（x+φ），将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到g（x）＝sin（x++φ）的图象关于y轴对称，由于|φ|＜，故φ＝．所以f（x）＝sin（x+）．对于①；函数f（）＝sin（）＝1，故函数的图象关于直线x＝对称，故①正确；对于②：由于x∈[﹣，]，所以，故函数在该区间上先增后减，故②错误；对于③：当x＝﹣，时，f（﹣）＝0，故函数f（x）关于点（﹣，0）对称，故③正确；故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）﹣ax＝0有两个根，则a的取值范围是（）A．（0，]∪[﹣，﹣2）B．（0，）∪[﹣，﹣2]C．（﹣∞，﹣）∪[，+∞）∪{0，﹣2}D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：设函数y＝f（x）和y＝ax，作出函数f（x）的图象如图：要使方程f（x）﹣ax＝0有两个根，即函数y＝f（x）和y＝ax有两个不同的交点，∵f（﹣2）＝5，f（5）＝|5+﹣4|＝，当y＝ax经过点（5，）时，a＝；当过点（﹣2，5）时，此时a＝﹣，当直线y＝ax与y＝x2+1相切时，联立，得x2﹣ax+1＝0，由△＝a2﹣4＝0，解得a＝±2，结合图象可得a＝﹣2，综上所述，a的取值范围为[﹣，﹣2）∪（0，]，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．（5分）在的展开式中，x5项的系数为﹣80（用数字作答）．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝（﹣2）r••x，令＝5，求得r＝3，故开式中含x5项系数为（﹣2）3•＝﹣80，故答案为：﹣80．11．（5分）已知两圆的方程分别为x2+y2﹣4x＝0和x2+y2﹣4y＝0，则这两圆公共弦的长等于2．【解答】解：这两个圆的圆心分别为（2，0），（0，2），半径都是2，两圆方程相减可得x﹣y＝0，这是公共弦所在直线方程，（2，0）到直线的距离为d＝＝，所以公共弦长为l＝2＝2．故答案为2．12．（5分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则E（X）＝．【解答】解：每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，故这是5次独立重复试验，在第20层下电梯的概率为，所以X～B（5，），故E（X）＝5×＝．故答案为：．13．（5分）14．如图，A1B1C1D1是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB＝4，BC＝3，AA1＝DD1＝5，BB1＝CC1＝8，则该几何体的体积为78．【解答】解：如图，过A1D1作平行于底面的平面，交BB1于E，交CC1于F，则多面体ABCD﹣A1EFD1为长方体，A1EB1﹣D1FC1为直三棱柱，长方体ABCD﹣A1EFD1的体积V1＝4×3×5＝60，三棱柱A1EB1﹣D1FC1的体积，∴该几何体的体积为V＝V1+V2＝60+18＝78．故答案为：78．14．（5分）不等式x+2≤a（x+y）对任意正数x，y恒成立，则正数a的最小值是2．【解答】解：由x+2≤a（x+y）可得a≥＝，令＝t（t＞0），f（t）＝（t＞0），则f′（t）＝，令f′（t）＝0可得t＝或t＝﹣（舍）．∴当0＜t＜时，f′（t）＞0，当t＞时，f′（t）＜0，∴f（t）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当t＝时，f（t）取得最大值f（）＝2．∴a≥2．故答案为：2．15．（5分）如图，菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于O点，||＝2，E 为BC边（包含端点）上一点，则||的取值范围是，的最小值为．【解答】解：根据菱形性质可得OC＝，则BO＝．（1）作AF⊥BC，则AF＝，此时AE最短，当E与C重合时，AE最长，故，即||∈；（2）以O为原点，BD所在直线为x轴建系如图：则A（0，）B（﹣，0），C（0，﹣），D（，0），所以BC：y＝，设E（m，）则＝＝+，其中m对称轴为m＝，故当m＝时最小，最小值为．故答案为：；．三、解答题：本大题共5个小题，共计75分.16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a cos C＝（2b﹣c）cos A．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sin B＝2sin B cos A，又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是，又A亦为三角形内角，因此，．…（6分）（Ⅱ）∵，＝，＝，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．…（12分）17．（15分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在线段A1B1上，且．（Ⅰ）求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ＝时，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数λ的值．【解答】（Ⅰ）证明：以点A位坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），M（0，2，1），N（1，1，0），B1（2，0，2），因为，可得P（2λ，0，2），所以，故，所以，故不论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）解：当λ＝时，P（1，0，2），所以，平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝3，y＝2，故，所以＝＝，故平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值为；（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知，点P（2λ，0，2），所以，，设平面PMN的法向量为，则，即，令a＝3，则b＝2λ+1，z＝﹣2（λ﹣1），故，因为直线AM与平面PMN所成角的正弦值为，则＝，解得．18．（15分）在数列{a n}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．（Ⅰ）证明：a4，a5，a6成等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记b n＝，S n＝b1+b2+…+b n（n∈N*），证明：S n＜．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意可知a2＝a1+2＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+4＝8，a5＝a4+4＝12，a6＝a5+6＝18．∴＝，∴a4，a5，a6成等比数列；（Ⅱ）由题意知：a2k+1﹣a2k﹣1＝4k，k∈N*，∴a2k+1﹣a1＝（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+（a2k﹣3﹣a2k﹣5）+•+（a3﹣a1）＝4k+4（k﹣1）+4（k﹣2）+•+4×1＝2k（k+1），k∈N*，又a1＝0，∴a2k+1＝2k（k+1），∴a2k＝a2k+1﹣2k＝2k2．∴数列{a n}的通项公式为：a n＝；（Ⅲ）由（Ⅱ）知a2k＝2k2，∴b k＝＝（﹣），∴S n＝[1﹣+﹣+•+﹣]＝[1﹣]＜．19．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求|OA|cos ∠OAB+的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，e＝，a2﹣b2＝c2，bc＝，解得a＝，b＝1，c＝，即有椭圆的方程为+y2＝1；（Ⅱ）由题意可知，k存在，设直线为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），|OA|cos∠OAB+＝|AT|+．将直线y＝kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，由直线l与圆O：x2+y2＝相切，可得，即有4m2＝3（1+k2），|AB|＝•＝•＝•＝•＝•≤•，当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．∴|OA|cos∠OAB+的最大值为2．20．（16分）已知函数f（x）＝sin x﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，令h（x）＝f（x）﹣sin x+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin x﹣ax＞0，sin x﹣ax＞0，∵0＜x＜1，∴a＜，令g（x）＝，g'（x）＝令m（x）＝x cos x﹣sin x，m'（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x＜0，∴m（x）在（0，1）递减，∴m（x）＜m（0）＝0，∴g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，∴g（x）＞g（1）＝sin1，∴a≤sin1；（Ⅱ）a＝1时，h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝﹣1＝，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）＝0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）＝ln（1+x）﹣x，则g′（x）＝﹣1＝，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x＝0时，g（x）＝ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）＝0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x＝，则ln（1+）＝ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．。

2021届天津市南开区高三下学期3月一模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷共150分，考试时间120分钟第I 卷参考公式： 球的体积公式343V r π=，球的表面积公式24S r π=，其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{3,0,1},{1,2}S T =-=-，则()U S T 等于 A. ∅ B. {2,3}- C. {2,1,2,3}-- D. {3,1,0,1,2}--2. 已知,x y R ∈，则“1,1x y >>”是“1xy >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要3. 函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x A. 2()1||x f x x =- B. 22()1x f x x =+ C. 22()1x f x x =- D. 221()1x f x x +=-4. 某校抽取100名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于13秒到18秒之间，将测试结果分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，……，第五组[17,18)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于a 即为优秀，如果优秀的人数为14人，则a 的估计值是A. 14B. 14.5C. 15D. 15.55. 已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是A.B. C. 4π D. 43π 6. 已知0.3434,0.3,log 10a b c ===，则A. b c a >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->满足12()()4f x f x -=，则12||x x -的最小值为2π，则()8f π的值为A. 2B. 1C. D. 2 14 15 16 17 18 秒 0.32 0.060.16 0.08O 0.38 频率组距13。

天津市南开中学2021届高三数学上学期统练试题（5）（含解析）一、选择题1.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2.设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A. 2x <3y <5z B. 5z <2x <3y C. 3y <5z <2x D. 3y <2x <5z【答案】D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A. ax by cz ++B. az by cx ++C. ay bz cx ++D.ay bx cz ++【答案】B 【解析】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++ ()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.4.已知函数32()1f x x ax bx =+++，函数(1)1y f x =+-为奇函数，则函数()f x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 试题分析：32(1)1(3)(32)1f x x a x a b x a b +-=++++++++为奇函数，3a ∴=-，2b =，32()321f x x x x ∴=-++，2()362f x x x '∴=-+，则()0f x '=的两根为131x =-，231x =+，所以，()f x 的极小值为2()0f x >．又(0)10f =>，(1)50f -=-<，∴存在0(1,0)x ∈-，使0()0f x =．综上，函数()f x 的零点个数为1,故应选B ．考点：函数的零点和导数的有关知识的运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析表达式，运用题设中的(1)1y f x =+-是奇函数，求出函数解析式中的参数的值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得2()0f x >和，(1)50f -=-<，从而判定函数的零点在区间内．从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用．5.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.6.设函数()f x 满足()()()222,2,8x e e x f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D 【解析】【详解】函数()f x 满足2'()2()xex f x xf x x+=，()2'x e x f x x⎡⎤∴=⎣⎦，令()()2F x x f x =， 则()()()2',24?22x e e F x F f x ===，由()()2'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x-=，令()()2xx e F x ϕ=-， 则()()()2'2',x xe x x e F x xϕ-=-=()x ϕ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()x ϕ∴的最小值为()()()22220,0e F x ϕϕ=-=∴≥.又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，()f x ∴既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.7.若函数()22log 2axf x x x +=---为奇函数，则使不等式21log 60f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立的m 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()(),00,1-∞D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用()22log 2axf x x x+=---为奇函数，求出a ，由此求出该函数的定义域，不等式21log 60f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()11f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()22log 2x f x x x +=---在区间()2,2-s 递减，可得m 的取值范围.【详解】由函数()22log 2axf x x x+=---为奇函数，可得()()f x f x =--. 即：2222log log 22ax ax x x x x+---=-+-+，2222log log 22x ax ax x --∴=++，则2222x axax x --=++，所以，22244x a x -=-，得21a =，解得1a =±.①当1a =-时，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠，定义域不关于原点对称，不合乎题意； ②当1a =时，()22log 2x f x x x+=---，由202xx +>-，解得22x -<<，该函数的定义域为()2,2-，定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，函数()y f x =为奇函数.对于函数22log 2x y x +=-，内层函数24121x u x x +==----在()2,2-上单调递增，外层函数2log y u =在()0,∞+上单调递增，所以，函数22log 2xy x+=-在()2,2-上单调递增. 所以，函数()22log 2xf x x x+=---在()2,2-上单调递减，且()()22211log 31log 3log 6f =--=-+=-，由21log 60f m ⎛⎫+<⎪⎝⎭得()21log 61f f m ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，112m ∴<<，解得112m <<.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于中档题型.8.定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：,01010011;010101011,共14个【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．9.已知f (x )为偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，满足不等式()10f x -<的x 取值范围是（ ） A. ()1,3- B. ()3,1-C. ()(),13,-∞-+∞D. ()(),31,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式()10f x -<转化为()1(2)f x f -<，即可得到结论.【详解】解：由题意：f (x )为偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，可得f (x ) 在(0,)+∞上为减函数，且()20f -=，()10f x -<等价于()10f x -<，即()1(2)f x f -<， 则12x -＞，解得：3x ＞或1x <-， 故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.二、填空题（共6小题：共30分） 10.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，若2ii 12iz -+=+，则b =__________． 【答案】2- 【解析】()()2i 12i 2i i i 12i 5z ---+===-+，2i=z ∴=- a bi +，2b ⇒=-故答案为2-. 11.在二项式5(x -的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52. 【解析】 【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r 的值，然后求解2x 的系数即可. 【详解】结合二项式定理的通项公式有：355215512rrr r rr r T C xC x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r，则2x 的系数为：22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n 、r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 12.已知()331f x x x =+-，()33f a -=-，()31f b -=，则+a b 的值为______.【答案】6. 【解析】 【分析】令()33h x x x =+，可得()h x 为奇函数, ()()1f x h x =-,且()()330h a h b -+-=，可得+a b 的值.【详解】解：令()33h x x x =+，可得()h x 为奇函数，且()()1f x h x =-， 由()33f a -=-，可得()3(3)12h a f a -=-+=-，()31f b -=，可得()3(3)12h b f b -=-+=，可得()()330h a h b -+-=，由()h x 为奇函数，可得330a b -+-=，故6a b +=， 故答案为：6.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题，相对不难.13.已知函数()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，若函数f (x )在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】求出函数的导数，讨论a 的取值范围，得到函数()f x 的单调区间，结合函数的最大值，可得a 的取值范围.【详解】解：由()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，可得'()22f x Inx ax a =-+，设()22()g x Inx ax a x =-+＜0，'112()2ax g x a x x-=-=， 当0a ≤，(0,)x ∈+∞，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增， 当0a ＞，1(0,)2x a∈，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增； 1(,)2x a∈+∞，'()0g x ＜，函数()g x 单调递减； 由f (x )在1x =处取得极大值，可得'(1)0f =，当0a ≤时，'()f x 单调递增，当(0,1)x ∈，'()0f x ＜，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＞，()f x 单调递增，所以f (x )在1x =处取得极小值，与题意不符；当1a 20＜＜时，即12a1＞，可得：'()f x 在1(0,)2x a ∈单调递增，所以当(0,1)x ∈，'()0f x ＜，当1(1)2x a ∈，，'()0f x ＞，即f (x )在(0,1)x ∈单调递减，在1(1,)2x a ∈单调递增，所以f (x )在1x =处取得极小值，与题意不符； 当1a=2时，即1=2a1，'()f x 在(0,1)x ∈单调递增，在(1,+)x ∈∞单调递减， 所以当(0,+)x ∈∞，'()0f x ≤，()f x 单调递减，与题意不符；当12a ＞，即可1012a＜＜，当1(,1)2x a ∈，'()0f x ＞，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＜，函数()f x 单调递减，所以f (x )在1x =处取得极大值，符合题意，故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题.14.给出下列结论：①已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()()12,31f f -=-=-，则()()31f f <-；②函数()212log 2y x x =-的单调递减区间是(,0)-∞； ③已知函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，()2f x x =，则当0x <时，()2f x x =-；④若函数()y f x =的图象与函数xy e =的图象关于直线y x =对称，则对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③ 【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得()()331f f =--= ，而()12f -=，所以()()31f f <- ；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为()2,+∞；③ 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据0x >的解析式，求得0x < 的解析式；④()ln f x x =，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需,0x y >，由()()()f xy f x f y =+，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.15.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t=++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am≥-≤，由折线函数，如图只需11133a-≤-≤，即2433a≤≤，即a的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.三、解答题（共5小题：共65分）16.设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tana b A=，且B为钝角. （1）证明：2B Aπ-=；（2）求sin sinA C+的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）29(,]28.【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可. 试题解析：(Ⅰ)由tan a b A=及正弦定理，得sin sin cos sin A a A A b B==，∴sin cos B A=，即sin sin()2B Aπ=+，又B为钝角，因此(,)22Aπππ+∈，故2B Aπ=+，即2B Aπ-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A Bπ=-+(2)2022A Aπππ-+=->，∴(0,)4Aπ∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A Aπ+=+-2219sin cos22sin sin12(sin)48A A A A A=+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin A <<，因此221992(sin )488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29(,]8． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.17.如图,ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，//AF DE ，AD DE ⊥,26AF =,36DE =.（1）求证：面ACE ⊥面BED ；（2）求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；（3）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60？若存在，求出AMAF的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（213；（3）14.【解析】【详解】试题分析：（1）由平面ADEF ⊥平面ABCD ，AD DE ⊥可推出DE ABCD ⊥面，再根据ABCD 是正方形，可推出AC ⊥平面BDE ，从而可证AC ⊥平面BDE ；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面BEF 的法向量，即可求出直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；（3）点M 在线段AF 上，设()3,0,M t ，026t ≤≤，求出平面MBE 的法向量，根据二面角M BE D --的大小为60，即可求出t .试题解析：(1)证明：∵ADEF ABCD ⊥面面，ADEF ABCD AD 面面⋂=，DE ADEF ⊂面，DE AD ⊥∴DE ABCD ⊥面. ∵AC ABCD ⊂面 ∴DE AC ⊥ 又∵ABCD 是正方形 ∴AC BD ⊥∵DE BD D ⋂=，DE BED ⊂面，BD BED ⊂面 ∴AC ⊥平面BDE . 又∵AC ACE ⊂面 ∴A CE BED 面面⊥ .(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，则()3,0,0A ，(3,0,26F ，(0,0,36E ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，()3,3,0CA =-，(3,3,36BE =--，(3,0,6EF =-设平面BEF 的法向量为()222,,n x y z =，00n BE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1111133360360x y z x z ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩，1116,263x y z 则，===,则()6263n =，，∴-3613cos ,-133239CA n CA n CA n⋅===⨯. ∴直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为13.(3)解：点M 在线段AF 上，设()3,0,M t，0t ≤≤，则()0,3,BM t =-，(3,BE =--设平面MBE 的法向量为()111,,m x y z =，则00m BM m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1111130330y tz x y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令111,3y t z x t ===则，则()36,,3m t t =-，)1cos ,23236m CA m CA m CAt⋅===-+ ，整理得：22150t -+= 解得：()6562t t ==，舍， 此时14AM AF =. 18.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n nn T +=-⨯.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-，所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得()()01212233+3133nnn T n ---=+++--⋅()11121313313n n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n nn T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题. 19.已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x -+=--+-'=.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当0,22a a x ⎛⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当22a a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.20.设函数3()(1)f x x ax b =---，x∈R，其中a,b∈R.（Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若f （x ）存极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；（Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a af f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或313ax =-.当变化时，，的变化情况如下表：3(,1)3a -∞-313a - 33(1,1)33a a -+ 313a + 3(1,)3a++∞＋－＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a-∞-，3(1,)3a++∞.（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：（1）当时，33102133a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max(2),(0)max12,1M f fa b b==----，所以.（2）当时，2333231011213333a a a a-≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a a f f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a af f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a<-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， 233(0)(1)(1)33a a f f f <-=+，233(2)(1)(1)33a af f f >+=-， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤： （1）确定函数f （x ）的定义域（定义域优先）； （2）求导函数f ′（x ）；（3）在函数f （x ）的定义域内求不等式f ′（x ）＞0或f ′（x ）＜0的解集； （4）由f ′（x ）＞0（f ′（x ）＜0）的解集确定函数f （x ）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。