天津南开中学2021届高三第三次月考数学

一、单选题1. 某几何体的三视图为三个直角边为1的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．D．2. 已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．3.已知集合，，则等于．A．B．C．D．4. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（）A ．三棱锥的体积大小与点的位置有关B．与平面相交C ．平面平面D．5. 若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）A．B．C．D．6. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情发生后，党中央、国务院高度重视，及时做出防控部署，坚决打赢这场疫情战役，下面是武汉某医院2月6号到15号每天新接收的发热病人数的统计图，下列叙述错误的是（ ）天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题A．从8号到10号，每天新接收的发热病人数逐渐增加B．这10天中每天新接收的发热病人数的平均数是49.3C．从这10天中随机选一天，这一天新接收的发热病人数小于35的概率是D．这10天中每天新接收的发热病人数的中位数是457. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．8. 设，，则（）A．B．C．D．9. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（）A．是最小正周期为的偶函数B．是最小正周期为的奇函数C ．)在上单调递减D．在上的最大值为10. 已知正实数，，满足，，，则，，之间的大小关系为（）A．B．C．D．11. 设函数的零点，函数的零点，其中，，若过点作圆的切线，则的方程为（）A．B．C．D．，12. 图1中，正方体的每条棱与正八面体（八个面均为正三角形）的条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若，则点M到直线的距离等于（）A．B．C．D．13.设函数的最小正周期为.且过点.则下列说法正确的是（）A．B ．在上单调递增二、多选题C．的图象关于点对称D ．把函数向右平移个单位得到的解析式是14.设复数，则（ ）A．B ．4C．D ．215.设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．16.如图，在三棱柱中，底面ABC ，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（）A ．1:2B ．4:5C ．4:9D ．5:717. 已知向量，则（ ）A．B．C．D．18.如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（）A ．是直角三角形B ．异面直线与所成的角为C ．当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值D ．平面平面19. 已知，，且，则下列判断正确的是（ ）A．的最小值为12B．的最小值为C ．若不等式恒成立，则D．的最大值为820.设函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象可由的图象伸缩平移变换得到B ．直线为函数的图象的对称轴C．函数的图象的对称中心是，三、填空题D．函数的单调递增区间是，21. 已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）A．B．C．D．22. 已知函数的定义域为R ，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（ ）A．是偶函数B．C．的图象关于对称D．23. 饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET ”.随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义.温州某高中随机调查了该校某两个班（A 班，B 班）4月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按，，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（）A．B ．A 班该月平均每天产生的饮料瓶比B 班更多C ．若A 班和B 班4月产生饮料瓶数的第75百分位数分别是和，则D ．已知该校共有学生2000人，则约有400人4月份产生饮料瓶数在之间24.已知函数，则（ ）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D ．是以为周期的函数25. 2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D 是垂直下落于点C，某时刻地面上点观测点观测到点D 的仰角分别为，若间距离为10千米（其中向量与同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为___________千米（结果保留整数，参考数据：）.26. 若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为________________．27. 把正整数按如下规律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，构成数列，则__________．28.记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为__________．29. 已知，为单位向量，，且，则________．四、解答题五、解答题30. 直线与圆交，两点，若为等边三角形，则的值为______．31. 我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．32. 设表示不超过的最大整数，如，，则________．33.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求34. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.35.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.36.已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．37. （1）求值：；（2）已知，求的值.38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39. 中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在内的频数为3.(1)求的值；(2)已知抽取的名参赛人员中，成绩在和女士人数都为2人，现从成绩在和的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为，求的分布列与数学期望.40. 已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如(1)将的解析式写成分段函数的形式;(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象;(3)根据图象写出函数的值域.41. 如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且.（1）在∠BDC的角平分线上，是否存在一点O，使得AO∥平面EFC？若存在，请作出证明；若不存在，请说明理由；（2）若平面BCD⊥平面ADC，BD⊥DC，，求二面角F-EC-D的正切值.42. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点．（1）画出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求点到该平面的距离．43. 一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长与身高进行测量，得到数据（单位均为）作为样本如下表所示.20212223242526272829脚掌长(x)六、解答题身高(y )141146154160169176181188197203（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程；（2）若某人的脚掌长为，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．(参考数据：，，，)44. 某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：摸底成绩50354055806065359050期末成绩53515668877146317968并计算得：（1）画出散点图；（2）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩(精确到0.1)；（3）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．(附：)45. 如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O ，．(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点F ，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．46. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，，.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.47. 如图，在五面体中，已知平面，，为正三角形，且．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值．48. 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点为线段上一点.(1)求证：平面；(2)若与平面所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.49. 如图，在长方体中，，，点是线段中点．(1)求证：；(2)求点到平面的距离．50. 如图，在四棱锥中，，平面平面，设平面与平面的交线为.七、解答题(1)证明：平面平面；(2)已知.若直线与直线所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.51. 某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：等级一级正品二级正品次品频数1000800200(1)求这2000个产品的平均利润是多少；(2)该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：满意不满意总计男性3268100女性6139100总计93107200问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82852. 为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以取胜的同学积3分，负的同学积0分；以取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为， 求的分布列和期望.附表：P （K 2≥k 0）0.500.400.250.1500.1000.050k 00.4550.7801.3232.0722.7063.84153. 根据中国造纸协会统计数据显示，2014年以来，我国纸及纸板生产量整体呈现震荡上行趋势，增速保持在低位运行.如图是2014~2020年八、解答题中国纸及纸板生产量统计图.(1)试计算2014~2020年中国纸及纸板生产量的平均值、中位数与极差（平均值结果保留两位小数）；(2)2018年，行业景气度下滑，中国纸及纸板生产量小幅下滑，试计算2014~2017年、2018~2020年两个时间段中国纸及纸板生产量的平均值的大小，并比较这两个时间段中国纸及纸板生产量的方差的大小.54. 8年来，某地第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图表如下图所示，根据该图提供的信息解决下列问题.(1)在所统计的8个生产总值中任取2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；(2)由统计图表可看出，从第5年开始，该地第三产业生产总值呈直线上升趋势，试用线性回归模型预测该地第10年的第三产业生产总值.（参考公式：，）55. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.56. 在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.57.设函数，.（1）若，，求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与直线平行.①求，的值；②求实数的取值范围，使得对恒成立.58. 已知函数(1)当时，①求曲线的单调区间和极值；②求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．59. 已知椭圆：上的点到左焦点的最大距离是，且点在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，是椭圆上的两点，且，求面积的取值范围．60. 如图，平面平面ABC，，，D分别为PA的中点，，．(1)设平面平面，若直线，证明：O为AC中点；(2)在（1）的条件下，求点P到平面BOD的距离．61. 一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.(1)求的概率；(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.62. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．(1)证明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．。

天津一中2010-2021 高三年级三月考数学试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时 120 分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利! 一．选择题1．已知集合M = {x | x2 -x0} ，N = {-1 ，0，1，2} ，则M N = ( )A．{-1 ，0，1} B．{-1 ，0} C．{0 ，1} D．{1 ，2}2．已知命题p :| x -1|> 1 ，命题q : lnx 1 ，则p 是q 成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件的图象大致是( )3．函数f ( x) = x3e x -1A．B．C．D．4．某学校共有学生 4000 名，为了了解学生的自习情况，随机调查了部分学生的每周自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[17.5 ，20) ，[20 ，22.5) ，[22.5 ，25) ，[25 ，27.5) ，[27.5 ，30] ．根据直方图，估计该校学生中每周自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )A．2800 B．1200 C．140 D．602 3 5．已知直三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB = 1 ， AC = 3 ，AB ⊥ AC ， AA 1 = 4 ，则球 O 的表面积为 ( )A ． 5πB ．10πC ． 20πD ．20 5π31 1 6．已知 a = ( 1 )- 3 ， b = log2 ， c = (1) 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ()13 A ． a < b < cB ． b < a < cC ． c < a < bD ． b < c < a7．已知双曲线 E : x 2 y 2- = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F (c ， 0)(c > 0) ，过 F 作直线 l ，若 la 2b 2 与双曲线 E 有且只有一个交点，且 l 与 y 轴的交点为 P (0, -2c ) ，则双曲线 E 的离心率为 ( )A ． 3B ． 5C ． 6D ． 3 + 18．已知函数 f ( x ) =3 sin x + cos x ( x ∈ R ) ，将 y = f ( x ) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 π个单位长度，得到2 6y = g ( x ) 的图象，则以下关于函数 y = g ( x ) 的结论正确的是 ( )A ．若 x 1 ， x 2 是 g ( x ) 的零点，则 x 1 - x 2 是 2π 的整数倍B ．函数 g ( x ) 在区间 [- π ， π] 上单调递增4 4C ．点 ( 3π， 0) 是函数 g ( x ) 图象的对称中心4D ． x = π是函数 g ( x ) 图象的对称轴3⎧ x 2 - 2kx + 2k , x 19．已知 k ∈ R ，设函数 f ( x ) = ⎨ ⎩( x - k - 1)e x + e 3, x > 1 ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 在 x ∈ R 上恒成立，则 k 的取值范围为 ( )A ． [0 ， e 2 ]B ． [2 ， e 2 ]C ． [0 ， 4]D ． [0 ， 3] 二．填空题10．已知复数 z 满足 (1 + i ) z = 3 + i (i 为虚数单位），则复数 z 的虚部是， | z |=．11．圆 x 2 + y 2- 4x + 6 y - 7 = 0 被直线 ax - y + 1 = 0 截得的弦长为 8，则 a =．12．若 ( x 3-的展开式中第 7 项为常数项，则常数项为 （用数字填写答案）13．某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学，在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中 随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教．选出的 3 名同 学是来自互不相同学院的概率为 ；设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，则 X 的数学期望为 ．14 ． 已 知 x > 0 ， y > 0 ， 且 x + 2 y = 1 ， 则2 + 1 -16( x - 2 y )2 的最小值为 ．x y15．如图，在 ∆ABC 中， AB = 2 ， AC = 1 ， D ， E 分别是直线 AB ， AC 上的点， AE = 2BE ， CD = 4 AC ，且 BD CE = -2 ，则 ∠BAC = ．若 P是线段 DE 上的一个动点，则 BP CP 的最小值为 ．三．解答题16 ． 已 知 ∆ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 满 足 已 知c cos B + b cos C = a ．2 c os A（1）求角 A 的大小；（2）若 cos B = ，求 sin(2B + A ) 的值；3（3）若 ∆ABC 的面积为 ， a = 3 ，求 ∆ABC 的周长．317 ． 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC - A 1 B 1C 1 中 ， AC ⊥ BC ， 且 AC = BC = CC 1 = 2 ， M 是 AB 1 ， A 1 B 的交点， N 是 B 1C 1 的中点． （1）求证： MN ⊥ 平面 A 1 BC ；（2）求平面 AA 1 B 与平面 A 1 BC 锐二面角的大小；（3）求直线 NB 与平面 A 1 BC 夹角的正弦值．x18．设椭圆2 y 2+ =1(a >b > 0)的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边a2 b2三角形.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点异于点，线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.(ⅰ)求的值；(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程. 19．设{a n} 是等比数列，{b n } 是递增的等差数列，{b n } 的前项和为S n (n ∈N，，，.（1）求{a n } 与{b n} 的通项公式；*) ，（2）设d n =a n +b n ，数列{d n } 的前 n项和为，求满足T n > 2n+1+1成立的的最小值.⎧a n b n ,n为奇数=⎪c（3）对任意的正整数n ，设c n⎨(3b n - 2)a n⎪,n为偶数，求数列{ n }的前 2n 项和.⎩b n b n+220. 已知函数f ( x) = ( x+b)(e x -a) (b > 0) 在点(-1, f (-1)) 处的切线方程为(e -1) x+ey +e -1 = 0 ．（1）求，；（2）设曲线y = f ( x) 与x 轴负半轴的交点为点y =h( x) ，求证：对于任意的实数x ，都有f ( x) ≥h( x) ；（3）若关于x 的方程f ( x) =m 有两个实数根，证明：．参考答案1．【分析】先求出集合M ，再利用集合的交集的定义求解．【解答】解：集合M = {x | x2 -x0} = {x | 0x1} ，∴M N = {0 ，1} ，故选：C ．2．【分析】分别求出关于p ，q 成立的x 的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．【解答】解：命题p :| x -1|> 1 ，故：x > 2 或x < 0 ，命题q : lnx 1 ，故x e ，则p 是q 成立的必要不充分条件，故选：B ．3．【分析】利用特殊点，即可判断；【解答】解：由x = 0 不在定义域内，x =-1 时函数值为正数，图象在x 轴的上方；当x趋向正无穷时，由于指数增长较快，因此函数值趋向于 0．故选：A ．4．【分析】由频率分布直方图计算该校学生中每周自习时间不少于 22.5 小时的频率和频数．【解答】解：由频率分布直方图知，该校学生中每周自习时间不少于 22.5 小时的频率为1 - (0.02 + 0.10) ⨯ (20 -17.5) = 1 - 0.3 = 0.7 ，所有估计该校学生中每周自习时间不少于 22.5 小时的人数是4000 ⨯ 0.7 = 2800（人) ．故选：A ．5．【分析】由题意画出图形，利用勾股定理可求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由直棱柱的外接球的半径与底面三角形的外接圆的半径和棱柱高的一半构成直角三角形．AB =1 ，AC = 3 ，AB ⊥AC ，∴外接圆的半径r =1 BC =1 ⨯12 + ( 3)2 =1，22球心到底面的距离h = 1AA1 = 2 ，2∴球的半径满足R2 =r 2 +h2 =12 + 22 = 5 ，∴球O 的表面积为4πR2 =20π．故选：C ．2 2 336．1 - 1 1 1 【分析】可以得出 ( ) 3 > 1, l og 12 < 0, 0 < ( ) 2< 1 ，然后即可得出 a ， b ， c 的大小关系．2 3 3 1 1 【解答】解： ( 1 )- 3 > ( 1 )0 = 1 ， log 2 < log 1 = 0 ， 0 < (1 ) 2 < (1 )0 = 1 ， 1 1 3 3∴ b < c <a ． 故选： D ． 7．【分析】利用已知条件求出双曲线的渐近线的斜率，然后转化求解离心率即可．x 2 y 2【解答】解：双曲线 E : - = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F (c ， 0)(c > 0) ，过 F 作直a 2b 2 线 l ，若 l 与双曲线 E 有且只有一个交点，且 l 与 y 轴的交点为 P (0, -2c ) ，可得直线 PF 与双曲线的一条渐近线平行，所以 b= 2 ，ab 2 b 2c 2 可得 = 4 ，所以1 + = 5 ，即 = 5 ， a 2 a 2 a 2 所以 e = 故选： B ． 8．【分析】由题意利用函数 y = A s in(ω x + ϕ ) 的图象变换规律，求得 g ( x ) 的解析式，再利用 正弦函数的性质，得出结论．【解答】解：函数 f ( x ) = x + cos x = 2 sin( x + π)( x ∈ R ) ，6将 y = f ( x ) 的图象 上所有点 的横坐标 缩短到原 来的 1 2倍（纵坐标不 变 ），可得 y = 2sin(2 x + π) 的图象；6再将得到的图象上所有点向右平行移动 π个单位长度，6得到 y = g ( x ) = 2 sin(2 x - π) 的图象，6 则关于函数 y = g ( x ) ，若 x 1 ， x 2 是 g ( x ) 的零点，则 x 1 - x 2 是半个周期 π 的整数倍，故 A 错误； 在区间 [- π ， π ] 上， 2x - π ∈ [- 2π ， π] ，函数 g ( x ) 没有单调性，故 B 错误；4 4 6 3 3令 x =3π ，求得 g ( x ) = 2 s in4π= -3 ≠ 0 ，故 C 错误；4 3 令 x = π ，求得 g ( x ) = 2 ，为最大值，故 x = π是函数 g ( x ) 图象的对称轴，故 D 正确，3 3 故选： D ． 9．【分析】当 x 1 时， f (x ) = x 2- 2kx + 2k ，分 k < 1 、 k 1 两类讨论，可求得 k 0 ；当 x > 1 时，f (x ) = (x - k - 1)e x + e 3，分 k 1 、 k > 1 两类讨论，可求得 k 3 ；取其公共部分即可得 到答案． 【解答】解：（1）当 x 1 时， f (x ) = x 2 - 2kx + 2k ， ∴ f ( x ) 的对称轴为 x = k ，开口向上．①当 k < 1 时， f ( x ) 在 (-∞, k ) 递减， (k ,1) 递增， ∴ 当 x = k 时， f ( x ) 有最小值，即 f (k )0 ，∴ 0k < 1 ； ②当 k 1 时， f ( x ) 在 (-∞,1) 上递减，∴ 当 x = 1 时， f ( x ) 有最小值，即 f （1） = 1 ， ∴10 显然成立，此时 k 1 ． 综上得， k 0 ；（2）当 x > 1 时， f (x ) = (x - k - 1)ex+ e 3 ，∴ f '(x ) = (x - k )e x，① ' 当 k 1 时， f ( x ) 在 (1, +∞) 上递增，∴ f ( x ) > f （1） = -ke + e 30 ，∴ k e 2 ，∴ 此时 k 1 ； ② ' 当 k > 1 时， f ( x ) 在 (1, k ) 递减， (k , +∞) 递增，∴ f (x ) f (k ) = -e k + e 30 ，∴ k 3 ， ∴ 此时1 < k 3 ． 综上： 0k 3 ，关于 x 的不等式 f ( x )0 在 x ∈ R 上恒成立，则 k 的取值范围为 0k 3 ， 故选： D ． 10．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得复数 z 的虚部，然后利 用复数模的计算公式求 | z | ． 【解答】解：由 (1 + i ) z = 3 + i ，得 z = 3 + i = (3 + i )(1 - i )= 2 - i ，∴ 复数 z 的虚部是 -1 ， | z |= 故答案为： -1 ； 5 ． 11．1 + i 22+ (-1)2 =(1 + i )(1 - i )5 ． 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标，再由题意利用点到直线的距离公 式，求得 a 的值．【解答】解：圆 x 2 + y 2 - 4x + 6 y - 7 = 0 ，即 ( x - 2)2 + ( y + 3)2= 20 ， 它的圆心 (2, -3) 到直线 ax - y + 1 = 0 的距离为 | 2a + 3 + 1 | = 2a 2 + 19 10 10 3 7 3 7 3 7 3 7 C 3 7 3 7C C C C C C C C C ∴ a = - 3，4 故答案为： - 3．412． 【分析】求出展开式的第 7 项，令 x 的指数为 0，即可求得 n 值，从而可得常数项．【解答】解： ( x 3 n的展开式中第 7 项为常数项， 6 ( 3 )n -6 ( 1 )6( 1)6 6 3n - 27 ∴T 7 = C nx- = - C n x ， ∴ 3n - 27 = 0 ，解得 n = 9 ， 故常数项为 (-1)6 C 6= 84 ． 故答案为：84．13．【分析】从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教．基本事件总数 n = C 3，设“选出的 3 名同学是来自互不相同学院”为事件 A ，事件 A 包含的基本事件个 数 m = C 1C 2 + C 0C 3 ，由此能求出选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和 数学期望． 【解答】解：从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教． 基本事件总数 n = C 3， 设“选出的 3 名同学是来自互不相同学院”为事件 A ， 事件 A 包含的基本事件个数 m = C 1C 2 + C 0C 3， 则选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为：P （A ） = C 1C 2 + C 0C 3 3 10= 49 ．60 随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，P ( X = 0) =P ( X = 1) = 0 3 4 6 3 10 1 2 4 6 3 10 C 2C 1 = 1， 6 = 1 ， 23 P ( X = 2) =4 6 = ， 3 10 3 0 P ( X = 3) = 4 6 1010 =1 ，30所以随机变量X 的分布列是：E(X) =0⨯+1⨯+2⨯+3⨯=．6 2 10 30 5( ( 14．【分析】利用基本不等式求出结果即可．2 + 1 -16( x - 2 y )2 = 1-16[( x + 2 y )2 - 8xy ] 【解答】x y xy= 1 + 128xy -16 ≥ 16 2 xy 答案为：16 ． 15．【分析】由题可知 AE = 2 A B ， AD = 5 A C ，由 BD CE = -2 ，2 可得 11AB A C - 5 A C 2- 2 A B = -2 ，代入相应数 据即 可求得 cos ∠BAC 的值，从而求得 ∠BAC ；设 EP = λ ED ， λ ∈[0 ， 1] ，根据平面向量的混合运算可推出BP CP = 21λ 2 - 12λ + 7 ，再利用配方法即可得解．【解答】 解： AD = 5 A C ，BD CE = -2 ，AE = 2BE ， CD = 4 A C ， ∴ AE = 2 A B ， ∴ ( A D - AB )( A E - AC ) = (5 A C - AB )(2 A B - AC ) 2 = 11AB A C - 5 A C 2- 2 A B = 11⨯ 2 ⨯1⨯ cos ∠BAC - 5 ⨯1 - 2 ⨯ 4 = 22 c os ∠BAC - 13 = -2 ， 解得 cos ∠BAC = 1，2∠BAC ∈ (0,π ) ，∴∠BAC = π．3设 EP = λ ED ， λ ∈[0 ，1] ， 14 ∴ BP CP = (BE + EP )(CD + DP ) = [ AE + λ ( A D - AE )][ AD + (1 - λ )( A E - AD )]2 5= ( 1 - λ )(1 - λ ) AE 2 + λ (λ - 1 ) A D 2 + 17 λ - 1- 2λ 2 ) AD A E 2 5 10 10= 16( 1 - λ )(1 - λ ) + 25λ (λ - 1 ) + 17 λ - 1- 2λ 2 ) ⨯ 5 ⨯ 4 ⨯ cos π2 5 10 103 = 21λ 2 - 12λ + 7= 21(λ -6 )2 + 37 ． 21 7∴ 当 λ = 6 时， BP CP 有最小值，为 37 ．21 7 故答案为： 37．7 16．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合 sin A ≠ 0 ， 可求 cos A = 1，结合范围 0 < A < π ，可求 A 的值．2（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin B 的值，利用二倍角公式，两角和 的正弦函数公式即可求解．（3）由已知利用三角形的面积公式可求 bc 的值，进而根据余弦定理可求 b + c 的值， 即可得解 ∆ABC 的周长．【解答】解：（1） c cos B + b cos C =由正弦定理得 sin C cos B + sin B cos C = a，2 c os Asin A ，2 c os A从而有 sin(B + C ) = s in A ≠ 0 ，∴ cos A = 1，2 0 < A < π ， ∴ A = π ；3sin A 2 c os A⇒ sin A = sin A ，2 c os A（2）由已知得， sin B =3 ∴ sin 2B = 2 s in B cos B =， cos 2B = 2 c os 2 B - 1 = - 1， 3 3∴ sin(2B + A ) = sin(2B + π ) = sin 2B cos π + cos 2B sin π = 2 ，3 3 3 6 （3） S = 1 bc sin A = 1 bc =∴ bc = 16，32 2 23 由余弦定理得， a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = (b + c )2 - 2bc - 2bc cos A ， 即 9 = (b + c )2 - 3 ⨯ 16，解得 b + c = 5 ，3 ∴ ∆ABC 的周长为 a + b + c = 8 ． 17．【分析】（Ⅰ）以 C 为原点，分别以 CB 、 CC 1 、 CA 为 x 、y 、 z 轴建立 坐 标系，用 坐 标表示点 与 向量 A 1 B 、 CB 、MN ，可得 MN ⊥ A 1 B ， MN ⊥ CB ， 从而可得 MN ⊥ 平面 A 1 BC ；（Ⅱ） 作 CH ⊥ AB 于 H 点，则 平面 A 1 BA 的一个 法向 量为CH = (1, 0,1) ，平面 A 1 BC 的一个法向量为 MN = (0,1, -1) ，利 用向量的夹角公式，即可求得平面 AA 1 B 与平面 A 1 BC 夹角．【解答】（1）证明：以 C 为原点，分别以 CB 、 CC 1 、 CA 为 x 、 y 、 z 轴建立坐标 系，则由 AC = BC = CC 1 = 2 ，知 A 1 (0 ，2， 2) ， B 1 (2 ，2， 0) ， B (2 ，0， 0) ， C 1 (0 ， 2， 0) ，∴ M (1 ，1，1) ， N (1 ，2， 0) ，∴ A 1 B = (2 ． -2 ， -2) ， CB = (2 ，0， 0) ， MN = (0 ，1， -1) ， （3 分）∴ MN A 1 B = 0 - 2 + 2 = 0 ， MN CB = 0 + 0 + 0 = 0 ，∴ MN ⊥ A 1 B ， MN ⊥ CB ，∴ MN ⊥ 平面 A 1 BC ；（6 分）（2）作CH ⊥AB 于H 点， 平面ABC ⊥平面ABB1 A1 ，∴C H ⊥平面A1BA ，故平面A1BA 的一个法向量为CH = (1, 0,1) ，而平面A1BC 的一个法向量为MN = (0,1, -1) ，（9 分）∴c os <CH , MN >=|CH MN| CH || MN ||=12<CH,MN >∈(0,π) ，2π∴平面AA1B 与平面A1BC 夹角的大小为．3（12 分）（3）BN=（-1,2,0)设 BN 与平面A1BC 夹角为θsin θ=| cos <MN ,BN >|= =518．= n19．(II)因为 d n = a n + b nnn (n + 1) 所以 T n = 2(2 -1) +2因此 T n > 2n +1+ 1 解得 n > 2 n ∈ N *∴ n ≥ 3 即满足条件 的最小值为 3 .⎧a n b n , n 为奇数 = ⎪（3）因为 c n ⎨ (3b n - 2)a n , n 为偶数 ，⎪ ⎩ 当 n 为偶数时， c b n bn + 2 (3b - 2) a n(3n - 2)2n 2=n + 2 2n n = = - ， b b n n + n + nn n + 2 22 n + 2( 2) 2 记 N= c 2 + c 4 + + c 2 n = - 2 ；2n + 2当 n 为奇数时， c = a b = n ⋅ 2n ， n n n记 3 5 2 n -1M = c 1 + c 3 + c 5 + ... + c 2 n -1 = 1⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 + ... + (2n - 1) ⋅ 2 ①则 4M = 1⋅ 23 + 3 ⋅ 25 + 5 ⋅ 27 + ... + (2n -1) ⋅ 22 n +1② ① - ②得 -3M = 2 + 2 ⋅ 23 + 2 ⋅ 25 + 2 ⋅ 27 + ... + 2 ⋅ 22 n -1 - (2n -1) ⋅ 22 n +1⎪24 (1-22n-2 )= 2 + 24 + 26 + 28 +...+22n -(2n -1)⋅22n+1 = 2 +-(2n -1)⋅22n+11-2224 (1 - 22 n-2 ) 10 ⎛5 ⎫= 2 +- (2n -1) ⋅22 n+1 =-+ - 2n ⎪⋅22 n+1 ，1 - 22所以M =10+⎛2n-5 ⎫⋅22n+1 ，3 ⎝3 ⎭9 ⎝3 9 ⎭2n 52n+12=2n+ 28因此数列{c n }的前2n 项和为(- ) ⋅2+-.20.3 9 2n + 2 9（1）将代入切线方程中，有．，即．又，所以若，则，与矛盾，故．2））可知，令f (x)= 0 ，有x =-1 或x = 0故曲线与轴负半轴的唯一交点为．曲线在点，则．令，则，所以F '(x)= f '(x)-f '(-1)=e x (x+ 2)-1 ，．e当时，若x ∈(-∞, -2] ，F '(x)< 0 ，若x ∈(-2, -1) ，F '(x)=ex(x+3)> 0 ， F '(x)在x ∈(-2, -1)时单调递增，F '(x)<F '(-1)= 0 .故，在上单调递减，当时，由F '(x)=e x (x+3)> 0 知F '(x)在x ∈(-1, +∞)时单调递增，F '(x)>F '(-1)= 0 ，在上单调递增．所以，即（3），设的根为，则，又单调递减，且所以．m =h (x1' )=f (x1 )≥h (x1 )，设曲线在点处的切线方程为，有，令，，当时，，故函数在，所以当，当，所以函数在区间上单调递减，在区间所以即，设，则，故．又，。

天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，集合，，则( )A. B.C.D.2.函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.3.已知a ，，则“”是“函数是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏5.设，，，则 ( )A. B.C.D.6.若向量，满足：，，则在上的投影向量为( )A.B.C.D.7.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线的方程为( )A. B. C. D.8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是( )A. B. C. D.9.直线l：与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：的交点为C，D，给出下面三个结论：，；，；，其中，所有正确结论的序号是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则__________.11.某次体检，7位同学的身高单位：米分别为，，，，，，，则这组数据的第75百分位数是__________米12.的展开式的常数项为_______用数字作答13.海棠同学在参加南开中学陶艺社时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为厘米，则该球的表面积为__________平方厘米．14.已知，函数若对任意恒成立，则a 的取值范围是__________.15.某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛.已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为__________.记所选3人中高一年级学生的人数为X，则随机变量X的数学期望__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）1 设集合，集合，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案解析】 B分析：根据已知条件，直接求集合的交集即可.解答：因为，，，故选：B．2 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（）A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝【答案解析】 A分析：画出每个函数的图象，即得解.解答：y＝＝，y＝＝，y＝，y＝，它们的图象如图所示:由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增．故选：A.点拨：本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3 函数，图象大致为（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.解答：，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项.由排除选项.由，排除C选项，故本小题选D.点拨：本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.4 已知公差不为0的等差数列{an}的首项，若，，成等比数列，则{an}的前5项之和为（）A. －23B. －25C. －43D. －45【答案解析】 D分析：首先根据题意得到，解得，再计算即可.解答：根据题意，，，成等比数列，即，则有，解可得或（舍，则的前5项之和.故选：D点拨：本题主要考查等差数列的前项和，同时考查了等比中项，属于简单题.5 设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案解析】 B分析：分别判断，和，再代入计算，可得.解答：因为，所以；又因为，所以；又，所以，所以.故选：B.6 椭圆的焦距为4，则m的值为（）A. 1B. 7C. 1或17D. 7或11【答案解析】 D分析：对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得的值. 解答：在椭圆中，由已知可得，解得.若椭圆的焦点在轴上，可得，解得；若椭圆的焦点在轴上，可得，解得.因此，或.故选：D.7 以下命题正确的是（）A. 命题“任意，”的否定为“存在，”B. 设等比数列的前n项和为，则“”是“公比”的充要条件C. 若对于任意实数λ，有，则向量，不共线D. “直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件【答案解析】 D分析：根据全称命题的否定为特称命题判断A选项；举反例判断B选项；若对于任意实数λ，非零向量满足，则向量，不共线，C错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k的值，然后判断两命题之间的关系.解答：命题“任意，”的否定为“存在，”，A错误；，当，n为奇数时有，B错误；若，为零向量，对于任意实数λ，有，但共线，C错误；两直线平行则，解得或1，当时两直线重合不满足条件，所以；由两直线垂直可得，解得或1. 所以“直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件，D正确.故选：D8 已知函数.给出下列结论：①的最小正周期为；②点是曲线的对称中心；③把函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像.其中所有正确结论的序号是（）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案解析】 B分析：本题首先可通过周期计算公式得出①正确，然后求出曲线的对称中心即可判断出②错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出③正确.解答：①：函数的最小正周期，①正确；②：，即，则曲线的对称中心为，点不是曲线的对称中心，②错误；③：函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，因为，所以③正确，故选：B.点拨：关键点点睛：本题考查三角函数的周期性、对称性、图像变换以及诱导公式的应用，函数向左平移个单位，得到，然后横坐标缩小倍，得到，再然后向上平移个单位，可以得到，考查推理能力，是中档题.9 已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.解答：由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,,联立,可得,由，得，结合函数，的图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.故选D.点拨：本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.10 i是虚数单位，纯虚数z满足，则实数m的值为________.【答案解析】 2分析：利用复数的除法运算将复数z整理为的形式，再根据z为纯虚数则实部为零求解m. 解答：为纯虚数，，解得.故答案为：211 在的展开式中，常数项是________.【答案解析】 60分析：由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令，运算即可得解.解答：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的二项展开式中，常数项为.故答案为：12 已知点和圆C：，则P在圆C________(填内､外或上)，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为________________.【答案解析】外；分析：根据点P距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径. 解答：，P在圆C外，设以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为，即，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为.故答案为：外；13 已知向量和的夹角为60°，，，则的值为________.【答案解析】分析：由已知求得，又由，求得，，从而利用，代入可求得答案．解答：因为，所以，又，所以，又向量和的夹角为，所以，得，所以，故答案为：．14 已知，，且，则的最小值为________.【答案解析】分析：利用换元法，设，，所以，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．解答：设，，所以．故，当且仅当时取等号，即时取等号．故答案为：．点拨：本题解题关键是通过换元法设，，转化为常见基本不等式模型，在的条件下求的最小值，从而顺利求解．15 已知.设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________.【答案解析】分析：欲利用单调性求值域，确定将，，分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合恒成立的a的取值范围.解答：（1）当时，，的值域为，则恒成立，故成立（2）当时，当，单调递减，故此时.当时，，当时，单调递增；当时，单调递减①当时，在上单调递增.此时的值域为，恒成立②当时，在时，取得最小值当时，，则恒成立当时，.此时若即时，，此时不符合题意故，恒成立，（3）当时，时，为单调递增的一次函数，.时在上为增函数，值域为要有意义，则此时，.,故因此，恒成立综上所述，故答案为：点拨：（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.16 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求角C的大小；（2）求的值；（3）求的值.【答案解析】（1）30°；（2）；（3）.分析：（1）利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求解即可.（3）首先计算，从而得到，，再计算的值即可.解答：（1）由余弦定理，得，又因为，所以.（2）由（1），有，由正弦定理，得.（3）解：由，知A为锐角，故，进而，，所以.17 如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）设点M为棱的中点，求证：平面；（2）求异面直线和所成角的余弦值；（3）棱SB上是否存在点N，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案解析】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的长为.分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明从而证明线面平行；（2）求出向量、的坐标，代入即可求解；（3）设，用表示出点N的坐标，求出平面SBC、平面ANC的法向量，由题意知则，即可带入坐标求得从而求得.解答：（1）证明：以点A为坐标原点，向量，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，，，，，，.设点P为中点，则有，，，又因为平面，平面，所以平面.（2）由，，得.所以，异面直线和所成角的余弦值为.（3）由（1）中知，设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得，易知分别为平面ABCD、平面ABS的法向量，，平面ABCD与平面SBC不垂直，，平面ABS与平面SBC不垂直，所以点N不在棱SB的端点处，依题意，设，()，可得.设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得.由题意知，，则，解得.此时，.18 设数列{an}是公比为正整数的等比数列，满足，.设数列{bn}满足，.（1）求{an}的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，并求{bn}的通项公式；（3）记，.求证：.【答案解析】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析.分析：（1）由，解得首项和公比可得答案；（2）由，可得进而求得答案；（3），用裂项相消可得证明.解答：（1）设数列的公比为q，有解得所以.（2）证明：，又因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，进而，.（3）由（1）、（2）知，，所以，所以.点拨：方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.19 已知椭圆C：()的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆位于x轴上方的部分，直线AB与y 轴交于点D，点E是y轴上一点，满足，直线与椭圆C交于点G.若的面积为，求直线AB的方程.【答案解析】（1）；（2）.分析：（1）由离心率及过的点和之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）由（1）得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立得的坐标，由题意得点的坐标，再由题意得的坐标，表示出面积，求得的值，得到直线的方程.解答：（1）由已知，有，解得，所以椭圆C的方程为；（2）由（1）知，，.设直线的方程为()，其与椭圆C的交点满足方程组消去y得到，解得.在直线的方程中，令，解得，即得.设，由题意，有，解得. 进而得到直线的方程为，其与椭圆C的交点满足方程组消去x得到，解得，进而.由上述过程可得，，点G到直线的距离为.因此，，化简得，解得，所以直线的方程为.点拨：思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题意，结合椭圆的性质，结合之间的关系求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立消元，根据题中所给的条件，建立相应的等量关系，求得结果.20 已知函数，.（1）若，求函数的最大值；（2）若，（i）求过原点且与曲线相切的直线方程；（ii）设，为方程()的解，求证：.【答案解析】（1）0；（2）（i）；（ii）证明见解析.分析：（1）当时，，求导.分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求函数的最大值.（2）（i）记.设切点，求得过点P处的切线方程为.由已知解得，代入可得其切线方程；（ii）构造函数，求导，令，求导得，可得单调递增.又由，得出单调性，从而可得证.解答：解：（1）当时，，.当时，有，则单调递增；当时，有，则单调递减.因此，存在极大值，也即函数的最大值，所以函数的最大值为.（2）（i）记.取曲线上一点，则P处的切线方程为.由题意，有，即，变形后得到方程.记函数，由，知为增函数，故.将其代入切线方程，故所求切线方程.（ii）构造函数，则，令，则.有，故单调递增.又，因此当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，.由题意，.不妨设，由前述知，，即.所以.点拨：方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。

天津市南开中学2021届高三年级第三次月考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A = {x||x|<2},集合B = {x|-3<%<1),则A^\B=() A. (-1,0,1} B. (-2,1]c. [-3,1]D. --------- B分析: 根据已知条件，直接求集合的交集即可.解答：因^jA = {x\\x\<2} = {x\-2<x<2], B = (x| -3< x< 1}, .•- Ap|8 = (-2,1], 故选：B.2,下列函数中，在区间(0, +oo)上单调递增的是()A.--------- A分析: 画出每个函数图象，即得解. 解答：尸U =五，广2-'= (?)'，>=1°顼C. y=l°gE2D. 1尸一X[-3,2]B. y=—,它们的图象如图所示: x由图象知，只有y= J 在（0, +8）上单调递增.Ji故选：A.点拨：本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.cin 3x3.函数y = ---------- ,尤£（—4*）图象大致为（）1 + cos x分析: 根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项. 解答：f(x)= Sin3x ，/■(—》)= _ Sin3x故函数为奇函数，图像关于原点对1 + cos X1 + cos X.71sin — 17 1—— =—>0排除3选项.由、 兀 J31 + cos — 1 + 丑 6 2.5丸 sin —— 1 7 1----- = 〉。

，排除C 选项，故本小题选D. 1 + cos-1一重6 2点拨：本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.4.已知公差不为0的等差数列｛%｝的首项％=3,若代，a 3, %成等比数列，贝1J ｛%｝的前5项之和为（）A. -23B. -25C. -43D. -45-------- D71 称，排除A 选项.由 5兀分析：首先根据题意得到(％)2=角％，解得d = —6,再计算S5即可.解答：根据题意，但，&3，％成等比数列，艮叽％)2=。

2021-2021学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理2021-2021学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 2762．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个：①若α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①④D． 300D．②④3．已知三棱柱ABC��A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（） A．B．C．的正三角形，D．4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（） A． 2B． 1C．D．5．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（） A．6．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x=2py2B． C． D． 2（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A． x=7．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C12y B． x=2y C． x=8y2D． x=16y2于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（） A．8．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于B．C．D．A、B两点．若AB的中点坐标为（1，��1），则E的方程为（） A．B．C． D．二、填空题：（每小题0分，共30分．）*015春?天津校级月考）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+1（n∈N），且a1=1，则通项公式an= ．1015春?天津校级月考）圆心在直线x��2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（��2，0）、B（��4，0），则圆C的方程为．1015春?天津校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则?= ．1015春?天津校级月考）已知cos（x��3）=��，则cosx+cos（x��）= ．1015春?天津校级月考）已知函数y=x��3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是．1015春?天津校级月考）点F是椭圆E：的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为，则直线l的斜率是．三、解答题：（15-18每小题0分，19-20每小题0分，共80分．）1015春?天津校级月考）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．1013?铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；2（Ⅱ）求2sinA+cos（A��C）的范围．1014?东莞二模）如图，在四棱锥P��ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C��PD��G的余弦值为？说明理由．1014?河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．1014?天津三模）已知数列{an}的前n项和Sn=��an��bn=2an．（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设数列{n+2（n∈N），数列{bn}满足*an}的前n项和为Tn，证明：n∈N且n≥3时，Tn＞nn��1**；（3）设数列{cn}满足an（cn��3）=（��1）*λ，使得对任意n∈N，都有cn+1＞cn．λn（λ为非零常数，n∈N），问是否存在整数2021?和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x=4的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（��4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求的取值范围．?22021-2021学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 276 D． 300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4×故选B．×4=240．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个：①若α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①④ D．②④考点：的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．解答：解：①若α∩β=m，n?α，n⊥m，如图，则α与β不一定垂直，故①为假；②若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β；故②为真；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故③为真；④若m∥α，n∥β，m∥n，如图，则α与β可能相交，故④为假．故选B．点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．3．已知三棱柱ABC��A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（） A．B．C．D．的正三角形，考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用三棱柱ABC��A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．即可感谢您的阅读，祝您生活愉快。

天津市南开中学滨海生态城学校2021届高三数学下学期第三次月考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共45分）1.已知集合{}35M x x =-<≤，{5N x x =<-或}5x >，则M N ⋃=（ ） A. {5x x <-或}3x >- B. {}55x x -<< C. {}35x x -<< D. {3x x <-或}5x >【答案】A 【解析】【详解】由并集的定义可得{5M N x x ⋃=<-或}3x >-. 故选A. 2.若1tan 3θ= ，则cos2θ=( ) A. 45-B. 15-C.15D.45【答案】D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++ 故选D.3.数列{}n a 满足：()*11,0,n n a a n N R λλλ+=-∈≠∈，若数列{}1n a -是等比数列，则λ值是（ ）A. 1B. 2C.12D. 1-【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的定义，可知11211n n n n a a q a a λ+--==--，根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.【详解】数列{}1n a -为等比数列 11211n n n n a a q a a λ+--⇒==--即：2n n a qa q λ-=- 上式恒成立，可知：2qq λ=⎧⎨-=-⎩2λ⇒=本题正确选项：B【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果.4.偶函数()f x 在[0,2]上递增，则1221(1),log ,log 4a f b f c f ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭大小为( ) A. c a b >> B. a c b >> C. b a c >>D.c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合对数函数的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】()112211log 2log 242b f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 为偶函数，则122211log log 2222c f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 在[]0,2上递增，1122<<，所以b a c >>. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查对数函数的性质，属于基础题.5.以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A. 函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C. 点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D. 将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.6.圆22:(1)1C x y -+=的圆心到直线:0(0)l x y a a -+=>，则a 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】依题意0a >，圆的圆心为()1,0，到直线l1a ====. 故选：B【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查根据圆的标准方程求圆心，属于基础题.7.过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）C. 2【答案】C 【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为by x a=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥ ∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒ ∴tan 60ba=︒=223b a=. ∴双曲线的离心率为22c ae a a====故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．8.在平行四边形ABCD 中，2,4,60AD CDABC ︒==∠=，,E F 分别是,BC CD 的中点，DE 与AF 交于H ，则AH DE ⋅的值A. 16B. 12C.165D.125【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出1463,5H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而可计算AH DE .【详解】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则()0,0B ，(2,23A ，()2,0C ，(4,23D ， 故(1,0)E ，(3F ， 所以:343AF y x =+2323:33DE y x =-， 由3432323y x y y x ⎧=+⎪⎨==⎪⎩可得1463,55H ⎛ ⎝⎭，443,55AH ⎛=- ⎝⎭，(3,23DE =--，故122412555AH DE =-+=，故选D. 【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．9.已知函数()||f x lnx =，20,01,()|42,1x g x x x <⎧=⎨--⎩若关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是( ) A. []0,ln2 B. (]2ln2,0-- C. ()2ln2,0-- D. []0,2ln2+【答案】B 【解析】 【分析】设()()h x f x m =+，则()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到，分析函数()h x 与()g x 的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．【详解】设()()h x f x m =+， 则()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到， 当x=1时，h （1）f =（1）1m ln m m +=+=， 所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m ）,当x=1时，g(1)=0,当x=2时，g （2）2=-，所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），当x=2时，h （2）2ln m =+，所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m ）, 要使方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解， 则等价为()h x 与()g x 的图象有三个不同的交点，则满足(1)(1)(2)(2)h g h g ⎧⎨>⎩，即022m m ln ⎧⎨+>-⎩得022m m ln ⎧⎨>--⎩，即220ln m --<，即实数m 的取值范围是(22ln --，0]， 故选B ．【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10.已知复数32i 1iz -=-，i 为虚数单位，则2z =__________. 【答案】132【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果. 【详解】()()()()32i 1i 32i 1i 1i 1i z -+-==--+5i2+=, 225113442z ∴=+=，故答案为132.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 11.曲线()32932f x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为_____________.【答案】12 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，求得x=1时的导数值得答案． 【详解】由题意可得：()2f'39x x x =+,∴()f'13912=+= ∴曲线()32932f x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为12， 故答案为12【点睛】本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．12.二项式53x x（-）的展开式中常数项为__________． 【答案】10-． 【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第1r +项为5552326155(1)(1)r rr r rr rr T C xC x---+=-=-，令55026r -=，则3r =，∴335(1)10A C =-=-．考点：二项式定理．13.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 . 【答案】24 【解析】试题分析：设正方体外接球的半径为R ,由：34433R ππ=，解得：3R 设该正方体的边长为a ，根据223412a R ==解得2a =，所以正方体的表面积为：266424a =⨯=，所以答案为24.考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的表面积和体积公式.14.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】将224m n a a a =写成等比数列基本量1a 和q 的形式，由1a q =可得28m n +=；从而利用()2112128m n m n m n ⎛⎫+=⋅++ ⎪⎝⎭，根据基本不等式求得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：1【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到,m n 满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.15.已知函数()f x 满足，(),0ln ,0kx k x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，其中0k ≥，若函数()()1y f f x =+有4个零点，则实数k 的取值范围是___.【答案】1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先作函数()f x 图象，结合图象确定()1f m =-的根的情况，再结合图象与根的情况确定函数()()1y ff x =+有4个零点所需满足的条件.【详解】先作函数()f x 图象，由图可得()1f m =-有两根，其中1211,=m m e<-， 因此1()f x m =必有两根,因此要使函数()()1y f f x =+有4个零点，需2()f x m =有两根,即21k m k e≥∴≥，【点睛】本题考查函数图象与函数零点，考查基本分析求解能力，属中档题. 三、解答题16.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 【答案】（1）12；（2）1 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析：（1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =． 由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =， ∴2BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 22xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232222x -=1x =，即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．17.如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）10【解析】【详解】试题分析：（1） 取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-，()0,0,1n =，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --的余弦值为105． 试题解析：（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ． 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ,12EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=︒得//BC AD ，又12BC AD =所以．四边形BCEF 为平行四边形， //CE BF ．又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故//CE PAB 平面 （2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，(01P ，，，(10PC =，，,()100AB ，，=则()(1,1BM x y z PM x y z =-=--，，，，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，是底面ABCD 的法向量，所以 0,cos sin45BM n ==即（x-1）²+y²-z²=0又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则x ,1,y z λ===由①，②得()2x=1+x=1-22y=1y=1z z ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩舍去，所以M 1-,1⎛⎝⎭，从而AM 1-2⎛= ⎝⎭设()000x ,y ,z m =是平面ABM 的法向量，则(0000x 2y 0·AM 0·AB 0x 0m m ⎧++=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即 所以可取(0,2)m =.于是·10,m n cos m n m n==因此二面角M-AB-D 点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m ，n >|=·m n m n．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．18.已知椭圆2222+=1(>>0)x y ab a b 经过点(2,3P -离心率=3e （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F 的直线(不经过点P 且不与x 轴重合)与椭圆交于A B 、两点，与直线l :3x =-交于点M ，记直线,,PA PB PM 的斜率分别为1233,,0k k k k ≠（）.则是否存在常数λ，使得向量m =123(,),(,1)k k n k λ+=共线？若存在求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点P ⎛-⎝⎭，离心率e =，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）直线AB 的方程为()2y k x =+， 代入椭圆方程整理得()222231121260k x k x k +++-=，求得M 的坐标为()3,k --，求出()121212124224x x k k k x x x x +++=+++ ,利用韦达定理化简可得1232k k k +=，从而可得结果.【详解】（1）由P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，∴224213a b +=.① 由已知e得c =，∴2223c a = 又222c a b =-，∴223a b .②②代入①解得226,2a b ==.∴椭圆C 的方程为22162x y +=.（2）假设存在常数λ，使得向量()()123,,,1m k k n k λ=+=共线，∴()12310k k k λ+⨯-⨯=，即123k k k λ+=.由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()2y k x =+，③代入椭圆方程22360x y +-=并整理，得()222231121260k x k x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+.④ 在方程③中令3x =-得，M 的坐标为()3,k --.从而11132y k x =+，22232y k x =+，331k k k -==-∴()()12121212112233332222y y k x k x k k x x x x +++=+=+++++()1212124224x x k x x x x ++=+++ , ⑤④代入⑤得22122222124312221262443131k k k k k k k k k k k -+⎛++=== -⎝⎭-+++，又303k k =+≠，∴1232k k k +=. 故存在常数2λ=符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.19.已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a 与4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，1nn i i S b ==∑.求n S 及使12500n nS n ++⋅->成立的最小正整数n 的值.【答案】（1）2n n a =（2）见解析【解析】试题分析： 1? \*?GB2?=⑴由已知条件利用等差数列的性质和等比数列的通项公式求出等比数列的首项和公比，由此能求出数列{}n a 的通项公式； ⑵求出n b 和n S 的表达式，对题目中的不等式进行变形即可解答； 解析：（1）设此等比数列首项为1a ，公比为q ，其中10a ≠，0q ≠，由题意知：2311128a q a q a q ++=，()3211122a q a q a q +=+， 得3211161560a q a q a q -+=，即225202q q q -+=⇒=，12q =， ∵等比数列{}n a 单调递增，∴12a =，22nn q a =⇒=. （2）①2nn b n =-⋅，∴123n n S b b b b =++++= ()231222322n n -⨯+⨯+⨯++⋅，设231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅， 则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅，得231121212122n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ()1122n n +=---，∴()1122n n S n +=---，②要使12500n n S n ++⋅->成立，即()111222500n n n n ++---+⋅->，即226n >，∵421626><，523226>>，且2xy =是单调递增函数， ∴满足条件的n 的最小值为5. 20.设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果. 【详解】（1）()()2ln 0f x ax x x =-->，∴()11'ax f x a x x-=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数. 综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+； 当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数； 又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<； 故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈；又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===， 由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ∈，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

天津市南开中学2023届高三年级统练数学科目本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。

共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共45分）1．已知集合{}2A x x =≥，{}N B x x =∈，则()A B =R （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1 2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()333x x x x f x −+=+的部分图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．函数2ln y x x =−的零点所在的大致区间是（ ）A ．1(,1)eB ．(1,2)C ．(2,e)D ．(e,)+∞5．已知 0.10.9ln 2.3, 2.3,log 1.2a b c ===， 则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ） A ．3 B ．4 C ．1 D ．27．已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128．已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是（ ）A ．(,)42ππB ．3(,)24ππC ．5(,)4ππD ．(,)24ππ−− 9．已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==−⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +−=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1mB ．1m ≥C ．1m <D ．1m ≤第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（每小题5分，共30分）10．复数i 2i=+_________. 11．已知()3sin 32sin 2παπα⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，求()()()3sin 5sin 22cos 2sin ππααπαα⎛⎫−−− ⎪⎝⎭=−−−___________. 12．732x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是_____． (用数字作答) 13.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定两位同学每天到校情况相互独立．用X 表示甲同学上学期间的某周五天中7：30之前到校的天数，则()E X =______，记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学恰好多3天”为事件M ，则()P M =______． 14．若点()cos ,sin P θθ与点cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 关于y 轴对称，则绝对值最小的θ值为_____．15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=−，当[]01x ∈，时，()f x x =，若函数()log (1)a y f x x =−+（0a >且1a ≠）有且仅有6个零点，则a 的取值范围是______．三、 解答题16.（本小题14分） 已知3π4απ<<， 110ta tan n 3a α=−＋. (1)求tan α的值；(2)求sin cos sin cos αααα+−的值； (3)求222sin sin co 3co s s αααα−− 的值.17. （本小题15分）在四棱锥P ABCD −中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AB =，2AD =，1CD =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =．(1)若E 是PA 的中点，求证：//DE 平面PBC ；(2)求证：BD ⊥平面PAC ；(3)求BC 与平面PAC 所成角的正弦值．18．（本小题15分）已知函数()824x xx a f x a ⋅+=⋅（a 为常数，且0a ≠，R a ∈）． (1).当1a =−时，若对任意[]1,2x ∈，都有()()2f x mf x ≥成立，求实数m 的取值范围；(2).当()f x 为偶函数时，若关于x 的方程()()2f x mf x =有实数解，求实数m 的取值范围．19．（本小题15分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在1x =−处取得极值．(1).求函数()f x 的单调区间；(2).若函数()()1g x f x m =+−有三个零点，求m 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数()()21ln 2x f x m x m x m =−+++，()f x '为函数()f x 的导函数．(1).讨论()f x 的单调性；。

2021届天津市南开中学高三上学期三模考试数学试卷★祝考试顺利★（解析版）一、选择题（每题4分,共36分）1. 已知集合{}1,0,2,4M =-,集合{}2log 2N x x =<,则MN =（ ） A. {}1,0,2,4-B. {}0,2,4C. {}1,0,2-D. {}2 【答案】D【解析】【分析】解对数不等式得集合N ,再由交集定义求解．详解】由题意{}2log 2{|04}N x x x x =<=<<,∴{2}MN =． 故选：D ．【点睛】本题考查集合的交集运算,考查对数函数的性质,属于基础题．2. 若0,0a b >>,则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】 本题根据基本不等式,结合选项,判断得出充分性成立,利用“特殊值法”,通过特取,a b 的值,推出矛盾,确定必要性不成立.题目有一定难度,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时,a b +≥,则当4a b +≤时,有4a b ≤+≤,解得4ab ≤,充分性成立；当=1, =4a b 时,满足4ab ≤,但此时=5>4a+b ,必要性不成立,综上所述,“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”,通过特取,a b 的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3. 已知123a =,b log =92c log =,则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. .a c b >>C. .b a c >>D. .c b a >>【答案】A【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围,从而可得结果 【详解】因为102331a =>=,2211log log ,122b b =>=<<, 3911log 2log 222c ==< 所以a b c >>,故选：A.4. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当(],0x ∈-∞时,()22f x x x =-+,若实数m 满足()2log 3f m ≤,则m 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (]0,8D. 1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A【解析】根据题意,结合函数的解析式可得()f x 在区间(-∞,0]上为增函数,进而可得()f x 在R 上为增函数,且()13f =；据此可得()()()22log 3log 1f m f m f ⇒2log 1m ⇒,解可得m 的取值范围,即可得答案．【详解】解：根据题意,当(x ∈-∞,0]时,22()2(1)1f x x x x =-+=--+,则()f x 在区间(-∞,0]上为增函数,且(1)(1)2(1)3f -=-+⨯-=-,又由()f x 为奇函数,则()f x 在区间[0,)+∞上为增函数,且()()113f f =--=；。

第7讲 函数填空压轴题1．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知，，若有两零点、，且，则的取值范围是___________． 2．（2021·江苏省滨海中学高三月考）对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______．3．（2021·湖北高三月考）已知不等式对任意恒成立，则实数a 的取值范围是___________．4．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）已知．设函数若关于x 的不等式恒成立，则a 的取值范围为________．5．（2021·北京西城区·高三一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅰ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．6．（2021·全国天一大联考（理））已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，若，且．给出以下不等式：①；②； ③；0a ≠0b >()2222f x b ax b a x b b =+-+-1x 2x 120x x +<ab1(,)x m ∈-+∞21mx nex m +-≥n m 2(2ln )(1)10ax x x a x ⎡⎤--++≥⎣⎦0x >a ∈R 1,11,()ln , 1.a ax x f x x a x x +--≤≤⎧=⎨->⎩(())0f f x ≥[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =100sin 200y x π=()f x ()0+∞，()f x '()0f x >()()0f x f x '+<1201x x <<<121=x x ()()2112x x f x ef x ->()()1221x f x x f x <()()1122x f x x f x >④．其中正确的有___________．(填写所有正确的不等式的序号)7．（2021·浙江宁波市·高三月考）已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______．8．（2021·超级全能生联考（文））已知是定义在上的偶函数，当时，，设，若函数，则在区间上的零点个数为___________．9．（2021·浙江温州市·温州中学高三开学考试）已知函数，若对任意，存在、使得，则的最大值为__________．10．（2021·江西宜春市·高三期末（理））已知函数存在个零点，则实数的取值范围是__________．11．（2021·北京朝阳区期末）设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则； ④若函数具有性质，则． 其中，正确结论的序号是________． 12．（2021·山西八校联考（理））已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________．()()()2111f x x f x >-0a >b R ∈()3242||2ax bx ax bx a b x b -+≤+++122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，b a ()f x R (],0x ∈-∞()123x f x =+()sin h x x π=()()()g x f x h x =-()g x []2020,2019-()()210f x a x a=>+x ∈R 1x 2x ()()()()1212f x f x f x x x -=-a ()24ln 2ln x f x e x mx x e x=-+-4m ()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-M e e 2x x y -+=M 8log (2)y x =+[0,]x t ∈M 510t =3sin 4x ay +=M 5a =113k ≤<()311x kf x k =--+()1212,x x x x <()3121x kg x k =--+()3434,x x x x <()()4321x x x x -+-13．（2021·郑州市·河南省实验中学高三月考（文））已知函数（其中为自然对数的底数），若关于的方程有4个实根，则实数的取值范围________． 14．（2021·浙江衢州市·高三学业考试）若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_________15．（2021·江苏南通市·高三期末）已知函数，若关于x 的方程有6个不同的根，则实数k 的取值范围是_________ ．（用集合或区间表示）16．（2021·江西高三其他模拟（理））已知直线分别与函数和的图象交于点，现给出下述结论：①；②；③；④___________． 17．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期中（理））已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是______________．18．（2021·邵东市第一中学高三月考）定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则的值为______．19．（2021·河南郑州市·高三月考（理））已知函数，若关于的方程有9个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．20．（2021·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知函数定义在上的偶函数，在是增函数，且恒成立，则不等式的解集为___________．()1xf x e e x=+⋅e x ()2xmf x e x⋅=m ()()22f x x ax ax a a R =---∈a 2,02()2(1)1,0x x f x x f x x ⎧≤≠-⎪=+⎨⎪-+>⎩且()f x kx=2y x =-+xy e =ln y x =()()1122,,A x y B x y 、122x x +=122x x e e e +>1221ln ln 0x x x x +<12x x >()f x R 0x >22log ,02()147,22x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+>⎪⎩()(01)y f x a a =-<<123456,,,,,x x x x x x 123456x x x x x x +++++()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[]x x []1.31=[]1.52-=-[]22=[)*0,N x n n ∈∈()f x n A n A n a 234202111111111a a a a ++++----ln(1),1()11,1x x f x x x ⎧--<-⎪=⎨--≥-⎪⎩x 22()3()50f x af x a ++-=a ()f x R [)0,+∞()()22241f x ax b f x x ++≤++2sin 222x x x a b π--≥21．（2021·海伦市第一中学高三月考）已知函数定义在上，，满足，且数列，，若，，则______． 22．（2021·广东佛山市·高三月考）已知，若方程有2个不同的实根，则实数m 的取值范围是_______．23．（2021·浙江高三专题练习）若（且）恒成立，则实数的取值范围为________．24．（2021·上海市洋泾中学高三期中）已知在上有且仅有个零点，则的取值范围为________ ．25．（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已知与的图象有且只有两个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则的取值范围是_______． 26．（2021·安徽省涡阳第一中学高三月考（文））已知函数，若存在实数使得的解集恰为，则的取值范围是_____．27．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高三月考（理））已知函数，则下列命题：①的最小值是；②是偶函数；③函数有个零点；④函数的单调递增区间是，其中正确命题的序号是______．28．（2021·四川成都市·（文））对于定义在区间上的函数，若满足对，且时都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”且，，又当，恒成立，有下列命题 ①()f x ()1,1-112f ⎛⎫=⎪⎝⎭()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭112x =1221nn n x x x +=+11a =()()1122n n n nna f x a n N ++=-∈n a =ln 2,02()(4),24x x ef x f e x e x e <≤⎧=⎨-<<⎩()0f x mx -=2log a x x >0a >1a ≠a ()21f x x a x =--+()1,1-1a ()()()11xxf x ae x e x =++++2()xg x e =e a ()()()1,0,x af x a R x e x=-∈∈+∞,m n ()0f x ≥[],m n a 2()log (32)1f x x =-+-(3)y f x =-0(3)y f x =+1()()2xy f x =-2()y f x =[0,)+∞D ()f x 1x ∀2x D ∈12x x ≠()()()()12120x x f x f x --≥f x （）D ()f x []0,2()22f =()()22f x f x +-=3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()21f x x ≤-()11f =② ③，④ 其中正确的所有命题的序号为______．29．（2021·广东高三月考）已知函数有三个互不相同的零点，，，则a 的取值范围是______；的取值范围是______．30．（2021·河南新乡市·高三月考（理））函数的零点个数为__________．31．（2021·陕西省宝鸡市长岭中学高三期中（理））已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是________．32．（2021·广西师范大学附属中学高三月考）设m ≠-1，函数则使得成立的实数m 的个数为__________． 33．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三月考）已知函数则根为_____________；若函数有四个零点，则实数的取值范围是___________． 34．（2021·广东高三其他模拟）对于正整数n ，设是关于x 的方程的实数根．记，其中表示不超过x 的最大整数，则____________；设数列的前n 项和为___．3322f ⎛⎫=⎪⎝⎭3,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()1f x ≥192527414161814f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1,01,0xax x f x a x a e x ->⎧⎪=⎨---<⎪⎩1x 2x 3x 123x x x 1()lg(9)ln109xxx xf x e =++-()()21,122,1ax x f x x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩()1y f x =-a 2log (),,()1,,x m x m f x x m x m+>-⎧⎪=⎨<-⎪+⎩1((1))2f f =21,0,()2,0.x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩()0f x =(())y f f x a =-a n x 2121log 3n n x n n x+-=+12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]x 1a ={}n a n S =35．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高三期末）函数是单调函数．①的取值范围是_____；②若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是_____． 36．（2021·山东聊城市·高三期中）设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为________； 的最小值为________．37．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）已知，若存在实数，，，满足，且，则的取值范围为______；的最大值为______．38．（2021·广东东莞市·高三月考）关于的方程的实根个数记为．若，则=_________；若，存在使得成立，则的取值范围是_________．39．（2021·江苏镇江市·高三月考）已知二次函数(，，均为正数)过点，值域为，则的最大值为______；实数满足取值范围为_______．()21,1,1x x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩a ()f x R ()()ln f x x m =+m ln ,03()(6),36x x f x f x x ⎧<≤=⎨-<<⎩()f x m =(1,2,3,4)i x i =m 22222341x x x x +++()12sin ,13x f x x x π≤≤=<≤⎪⎩1x 2x 3x 21303x x x ≤<<≤()()()123f x f x f x ==2x 2314x x x π-x ()()g x t t R =∈()f t ()ln g x x =()f t 2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a R ∈t (2)()f t f t +>a 2y ax bx c =++a b c ()1,1[)0,+∞ac λ1b -=λ。

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()RA B ⋂=ð（）A.()0,1 B.(]0,1 C.[)0,1 D.[]0,12.设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（）A.B.C.D.4.设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b<< B.a b c<< C.b<c<aD.c a b<<5.设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（）A.116B.117C.16D.176.已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（）A.3log 15B.5log 15C.3log 45D.5log 457.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A.84B.66C.126D.1058.记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（）A.39B.40C.41D.429.将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A.()g x 为奇函数B.()3πcos 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.()g x 的最小正周期为2πD.()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11.在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12.已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13.锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14.D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD =______；若1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15.若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 的中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1A CD ；（2）求平面1A CD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1A CD 的距离．18.椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19.已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nkn i kd T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意的*n ∈N 都有212nn nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20.已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①.②.4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】①.1233a b + ②.π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）306；（3）63.【18题答案】【答案】（1）22154x y +=（2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2nn b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i ）1a <<，（ii ）证明见解析。