费根堡姆常数

单摆的复杂运动摘要：采用相图方法和庞加莱截面法描述单摆的复杂运动，研究单摆运动中的分岔，混沌等非线性特征。

关键词：单摆；混沌；相图；庞加莱映射正文：物理学家伽利略观察比萨大教堂吊灯的摆动，发现了单摆定律：摆动的周期与摆幅无关。

惠更斯利用摆的“等时性”发现了钟表，直至电子表出现前，摆始终是计时装置的心脏，均匀韵律的象征。

在高中，大学的物理教材中没有不讲单摆定律的，在物理实验中，没有不做单摆实验的。

单摆是物理学中最简单的模型之一，传统力学教材一般只讨论单摆在摆幅很小的条件下作简谐振动，阻尼振动和受迫振动的特征。

事实上，如果不限制其摆幅，单摆在周期性策动力的作用下，其运动将有意想不到的复杂性，本文将从单摆的动力学方程出发，采用相图，牌庞加莱截面等描述方法研究单摆的复杂运动。

1.单摆模型的动力学方程我们把传统的单摆模型一般化：单摆的摆线换成质量可忽略不计的刚性杆，摆角θ的取值范围不受限制，设摆长为L ，摆球的质量为m ，沿切向受阻力yl θ∙-(y 为阻尼系数)，重力的分力sin mg θ-以及周期策动力cos F t ω作用，由牛顿第二定律得此单摆所满足的动力学方程为 sin cos ml rl mg F t θθθω∙∙∙∙=--+ （1）为使（1）式各物理量无量纲化，作如下标度变换：令20/g l ω=，wt τ=，0/ωωΩ=，02Y m βω=，20F F f ml mg ω==，则（1）式变为： 222sin cos d d f d d θθβθπττ=--+Ω （2）引入新变量ω，ϕ，将（2）式化成自治方程形式 ：2sin cos f θωθβωθϕ∙∙==--+ （3）这是一个反映单摆运动所遵循的动力学规律的不显含时间的微分方程组。

（3）式中有3个可调参量；β，f 和Ω，每个变量的改变都会引起解的变化。

可以通过控制Ω，β，f 参量的变化，从而得出反映系统运动特征的信息。

2 单摆运动的相图及庞加莱截面描述方法由于（3）式含有非线性项。

基础物理实验研究性报告非线性电路混沌现象的模拟、探究及费根鲍姆常数的测量Chaos in nonlinear circuit simulation, explorationandFeigenbaum ConstantsAuthor 作者姓名陈涵 ChenHanSchool number作者学号 39071210Institute所在院系机械工程及自动化学院SMEA Major攻读专业机械制造及自动化mechanical engineering2011年5月20日摘要 (3)Abstract (3)关键词 (3)一、引言——非线性科学介绍 (3)二、混沌电路简介及实验综述 (4)三、实验原理 (4)3.1 蔡氏电路及其动力学方程 (4)3.2通向混沌道路方式简述 (5)四、实验仪器 (6)4.1 有源非线性负阻元件： (6)4.2 NCE-1非线性混沌实验仪 (6)五、实验现象的观察及物理量测量 (7)5.1 倍周期分岔的观察 (7)5.2 非线性电阻 (8)六、实验数据的处理 (10)6.1 真实实验数据线性拟合 (10)6.2 matlab模拟分析： (12)七、混沌实验电路装置的另一种设想。

(18)八、费根鲍姆常数测量实验的设计 (19)九、结语 (20)9.1自学能力大大提升 (21)9.2培养实事求是的学风与态度 (21)9.3各项课程的互助提高 (21)十、参考文献 (21)2本文由传统非线性电路“蔡氏电路”的混沌现象着手，记录实验现象及数据，分析后用一元线性回归拟合了有源非线性负阻伏安特性曲线，同时使用matlab 进行四阶-库塔方法编程模拟混沌现象并得出一些拟合曲线。

而后提出了一种新的简单混沌电路的设想和实验方式，最终提出了以G和U为状态参数的费根鲍姆常数测量的方法，并推导了近似公式。

AbstractThis article from the traditional non-linear circuits, "Chua's circuit, "the chaos started, record experimental results and data analysis, linear regression with a nonlinear negative resistance of active volt-ampere characteristic curve, while the fourth order using matlab - Kutta methods programmed simulation of chaotic phenomena and draw some curve fitting. Then, a new vision of a simple chaotic circuit and experimental methods, and ultimately presented to G and U for the status parameters of the Feigenbaum constant measurement method, and deduced the approximate formula.关键词：混沌现象蔡氏电路四阶-库塔方法简单混沌电路费根鲍姆常数一、引言——非线性科学介绍非线性科学是一门新兴的科学,是研究和探索自然界和人类社会中种种复杂的非线性问题及其共同特征的一门综合性学科。

第三章 走向混沌的道路咱们明白，一个动力学系统运动的充分进展是进入混沌状态。

进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。

本章将讨论通向混沌的倍周期分岔道路、阵发性混沌、同步与混沌、湍流道路、保守系统中的不规那么运动、电子电路中的混沌和操纵混沌与同步混沌等内容。

第一节 第一节 由倍周期分岔走向混沌前面已经见到，在平方映射等的数学模型中，在液氦对流实验等的动力学体系中普遍存在着倍周期分岔现象，说明倍周期分岔是许多非线性动力学进程中的常见的现象，也是进入混沌的一种重要方式。

本节先以平方映射为例，说明一个由单峰映射描述的动力学系统能够通过倍周期分岔，以费根鲍姆常数的收敛速度从周期运动走向混沌，接着以杜芬方程为例说明一个物理系统也可从倍周期分岔进入混沌的道路。

1. 平方映射的倍周期分岔道路上一章对平方映射的计算说明，随着参数μ的增加，平方映射发生一系列的倍周期分岔。

但是倍周期分岔将在一临界点c μ=…时终止，从c μ开始的大部份区域，每次迭代取得的值是随机地显现的。

图3-1是μ值为时的迭代情形。

由图可见每次迭代计算取得的n x 值既不趋向于零或稳固值，也不是重复，而变成随机地显现了，因此迭代计算能够无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出此刻先前取得过的某点周围但并无准确相同，于是在继续迭代计算中又专门快地分离开来了。

说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。

事实上上一章对平方映射的计算仅取了少数几个特殊的μ值，因此对平方映射通过倍周期分岔进入混沌尚未一个完整的印象，此刻利用运算机编写的程序，能够由小到大逐个对μ值进行计算。

图3-2的上部确实是平方映射通过倍周期分岔进入混沌的分岔图。

图3-2是从8.2=μ开始计算的，平方映射的分岔现象实际是在1=μ处开始的，从那个地址迭代由零值进入到单周期运动即显现了一次霍夫分岔；随后在＝3处开始了倍周期分岔，从那个地址先由单周期分岔为二周期，然后在＝处由二周期分岔为周围期，接着在处从周围期分岔为八周期，如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，一直到c μμ=为止。

-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计D非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计一、引言混沌是二十世纪最重要的科学发现之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代。

由于混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，使得混沌在许多领域（如保密通信，自动控制，传感技术等）得到了广泛的应用[1]。

20多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序性和无序的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。

目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通信、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。

混沌(chaos)作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。

理论和实践都证明，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特征。

混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵法混乱和奇异吸引子等现象。

二、混沌电路简介对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，但在状态平面上其相轨迹始终不会重复，但是有界的，而且电路对初始条件十分敏感，这便是非线性电路中的混沌现象。

根据Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。

可见，周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面：第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态；第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道，一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。

第二章混沌经典的动力学理论认为：任何一个系统只要知道了它的初始状态，就可以根据动力学规律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态，拉晋拉斯曾将这种思想推广到整个宇宙，认为只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动力学方程，我们就可以精确地知道宇宙过去和将来的一切情况。

这就是被称为拉普拉斯决定论的基本观点。

概率论和统计的概念引入物理学后，科学思想发生了重大变化，促使科学家从决定论的那种“经典科学缔造的神话”中走了出来。

概率论和统计的观点认为，一个系统的未来状态，并不是完全确定的线性因果链，而有许多偶然的随机的因素，人们只从大量的偶然性中寻求必然的趋势，世界的发展遵循着统计的规律。

对此，历来有着尖锐的争论。

爱因斯坦认为“上帝不是在掷骰子”，只是因为知识不完备，才出现这种情况。

霍金则认为，概率性、统计性是世界的本质，“上帝”不仅在掷骰子，而且会把骰子掷到人们无法知道和根本看不到的地方。

决定论和非决定论，动力学规律和统计规律似乎有着不可调和的矛盾，使科学方法论陷入苦恼的悖论之中。

而对混沌现象的研究，给这种困境带来了希望之光。

混沌理论描述的系统，其动力学方程是完全确定的，然而这种系统的长期演化行为存在着随机性。

在这里，确定性的动力学规律描述的系统出现了统计性结果，使矛盾的两个方面得到了辩证的统一。

人们对混沌现象的研究已有一百多年的历史，但是它不象相对论和量子理论有自己理论的公理性假设，它只是用已有的动力学理论来研究一些复杂系统，使人们看到了自然界的更为复杂的内容，揭示了决定论与概率性之间的内在联系，使人们观察世界的观点和方法比以前有了更进一步的发展，使人类对自然世界的抽象更接近于自然界本身混沌是决定性系统的内在随机性，这句看来似乎是对决定论和概率性的调和性论述，无论对于持决定论观点还是概率统计性观点的人来说都有点难于理解。

但这句话的确揭示了复杂世界的本质，因而对混沌理论的认识将会改变人们观察和思考世界的基本观点，对于当代的大学生，如果不了解混沌，不能不说是知识和思维结构上的缺憾。

费根保姆常数
费根保姆常数（Feigenbaum constant）是一个在混沌理论中被广泛应用的数学常数，它的出现让我们对混沌现象有了更深入的理解。

费根保姆常数由美国物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）在20世纪70年代提出，通过研究非线性动力系统中的分岔现象而得出。

费根保姆常数的值约为4.6692，这个常数的主要作用是描述动力系统中的分岔现象。

在非线性动力系统中，当参数变化时，系统的行为会发生分岔，这种分岔是一种由稳定态向混沌态过渡的特殊现象。

费根保姆常数描述了这种分岔的规律性，即在系统参数逐渐变化时，分岔的倍增方式会呈现出一种普遍的规律性。

这种规律性被称为费根保姆定律，它表明在非线性动力系统中，分岔的倍增比值会趋向于一个常数，而这个常数就是费根保姆常数。

费根保姆常数的发现对混沌理论产生了深远的影响。

混沌现象的出现一度被认为是一种偶然性的现象，但费根保姆的研究表明，混沌现象具有一定的规律性和可预测性。

这种可预测性虽然不完美，但
却为我们提供了一种新的视角来理解复杂的非线性系统。

费根保姆常数的发现也为混沌理论的发展提供了有力的支持，使混沌理论成为了一个独立的研究领域，并在许多领域中得到了广泛的应用。

总之，费根保姆常数的发现为我们提供了一种全新的理解非线性动力系统中复杂行为的方法，它揭示了混沌现象的一种普遍规律性，对于我们理解自然界中的复杂现象具有重要的意义。

费根保姆常数的研究也为混沌理论的发展提供了重要的支持，使我们对非线性动力系统有了更深入的认识。

非线性电路混沌及其同步控制【摘要】 本实验主要对非线性电路混沌进行了研究，并实现了混沌同步和混沌加密通信。

通过实验，获得了非线性负阻的I-U 特性曲线，并测出了准Feigenbaum 常数为5.144；通过蔡氏电路，观测了周期振荡→倍周期分岔→阵发混沌→周期窗口→单吸引子→双吸引子的10个不同状态，深入了解了非线性电路混沌特点；之后实现了混沌同步，并在此基础上完成了混沌加密通信的加密过程和解密过程。

【关键词】非线性电路混沌，Feigenbaum 常数，混沌同步，混沌通信一、引言混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象,它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。

非线性科学建立是在20世纪六七十年代，1963年美国气象学家洛伦兹在《确定论的非周期流》一文中，给出了描述大气湍流的洛仑兹方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”, 从而揭开了非线性研究的序幕。

非线性科学被誉为继相对论和量子力学后，20世纪物理学的“第三次重大革命”。

由非线性科学所引起的对确定论和随即论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。

迄今为止最丰富的混沌现象是在非线性振荡电路中观察到的。

蔡氏电路是能产生混沌行为的最简单的电路，是熟悉和理解非线性现象的个典型电路。

通过蔡氏电路参数的改变可以实现倍周期分叉到混沌，再到周期窗口的全过程。

二、实验原理1、有源非线性负阻正阻：电阻两端电压增大时，电流增大，即I U ∆∆/为正，是消耗功率的耗能元件。

负阻：电阻两端电压增大时，电流减小，即I U ∆∆/为负，是输出功率的产能元件。

自然界中无负阻原件，一般实现负阻是用正阻和运算放大器构成负阻抗变换器电路，因为放大运算器工作需要一定的工作电压，因此这种负阻称为有源负阻。

本实验采用如图1-1所示的负阻抗变换器电路，由两个运算放大器和六个配置电阻来实现，图1-2是其等效电路：图 1-1 R N 内部结构图 图 1-2 R N 内部结构等效电路图由等效电路可知，2211Z I Z I -=，输入阻抗L N Z Z Z I U Z Z I U Z 122211-=-==-+ ，若21Z Z =，可得L N Z Z -=。

中国和希腊的神话故事是最早出现“混沌”一词的，从此之后随着人类文明的进步，文化和科技的发展，中外的文学、艺术、宗教典籍和科学著作早已不断采用“混沌”一词。

“混沌”的英文翻译为“chaos”。

到了近代，特别是近几十年，混沌”一词在各类报刊文章、文献中出现的频率极高。

很多学者认为二十世纪继相对论、量子力学之后的又一次物理学革命就数混沌学了。

法国伟大的数学、物理学家庞加莱（H. Poincare）是研究混沌的第一人, 他在研究太阳系的稳定问题时，猜想能否用数学来证明，从而发现了即使只有三个星体的模型，还是能够产生明显的随机结果。

于是，庞加莱在1903年提出了庞加莱猜想。

庞加莱把拓扑学和动力系统有机地结合，并提出了三体问题在一定范围内，其解是随机的。

到1954，前苏联的概率论大师柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）发表的《哈密顿（Hamilton）函数中微小变化时条件周期运动的保持》一文成为了KAM定理的雏形。

到了1963 年, 柯尔莫哥洛夫的学生，年轻的、具有超群才华的V.I.Arnold 对此给出了严格的数学证明, 基本上在同一时间, 瑞士数学家J.Moser 对此给出了改进表述, 并独立地作出了数学证明。

此文的思想为混沌未发生之初，在保守系统中如何出现混沌提供了信息。

这也为早期明确不仅好散系统有混沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。

1963 年，美国的气象学家、物理学家E.N.Lorenz，对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值仿真时，发现在某些条件下可以出现非周期的无规则行为。

这一结果解释了长期天气预报为什么始终没有获得成功的原因，其根本原因为有一种混沌运动存在于确定非线性动力系统中。

E.N.Lorenz 不仅发觉了第一个奇怪吸引子——Lorenz吸引子，而且还揭示了混沌运动的其他一些基本特征。

这个三阶常微分方程组即著名的洛仑兹系统方程组：（1963 年，美国气象学家 E.N.Lorenz发表了著名的论文《确定性非周期流》，他在论文中指出：在三阶非线性自治系统中可能出现非周期的无规则行为。

㊀㊀㊀㊀㊀１５６㊀关于质数的一些简单探讨关于质数的一些简单探讨Һ易照雄㊀（陕西省汉中市３２０１功能科，陕西㊀汉中㊀７２３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ从小于２０的八个已知质数出发，由数值计算去尝试寻找质数（包括孪生质数）的公式与简便方法；也可结合混沌理论中的费根鲍姆常数以及与质数关系密切的布朗常数，通过应用自然对数和常用对数，再经由数值计算寻找一个估算质数个数的经验公式．ʌ关键词ɔ质数；伪质数；赝质数；自然对数；常用对数；费根鲍姆常数；布朗常数一㊁关于质数的公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７质数（或称之为素数）是指只能被１和其自身所整除的自然数．而合数则是指通过若干个质数相乘所构成的㊁可以被拆分的自然数．正是在这个意义上，人们将质数视为数学中的 原子 ．分析已知的质数不难看出，所有两位及两位以上的质数的个位数只能是１，３，７，９，无一例外．而个位数为０，２，４，５，６，８的自然数，也均无一例外为合数．数值计算表明，所有大于１０的质数都可以由公式Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋７给出．只不过该公式在给出所有质数的同时也给出了相当数量的合数，并不全都是质数，实际上，质数也仅仅只是其中的一部分甚至是一小部分而已．这里，当我们把自然数Ｎ（ｎ）代入上述公式后，如果得到的ｎ值为整数，我们就说自然数Ｎ（ｎ）可以通过 ６ｎ 测试．而由此得到的自然数Ｎ（ｎ），我们则称之为 ６ｎ 质数．我们也可以将公式Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋７改写成Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７，这样的公式包含了１０以内的四个质数：２，３，５，７．至于２ˑ３重复出现了两次，牵强的解释可能是由２，３可以构建５和７，因而２，３显得比５和７更具基础性一些．下面我们运用公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７来尝试寻找２００以内的质数．我们先给出由这两个公式所得到的计算值：Ｎ（１）＝６ˑ１＋５＝１１，Ｎ（１）＝６ˑ１＋７＝１３；Ｎ（２）＝６ˑ２＋５＝１７，Ｎ（２）＝６ˑ２＋７＝１９；Ｎ（３）＝６ˑ３＋５＝２３，Ｎ（３）＝６ˑ３＋７＝２５；Ｎ（４）＝６ˑ４＋５＝２９，Ｎ（４）＝６ˑ４＋７＝３１；Ｎ（１４）＝６ˑ１４＋５＝８９，Ｎ（１４）＝６ˑ１４＋７＝９１；Ｎ（１５）＝６ˑ１５＋５＝９５，Ｎ（１５）＝６ˑ１５＋７＝９７；Ｎ（１６）＝６ˑ１６＋５＝１０１，Ｎ（１６）＝６ˑ１６＋７＝１０３；Ｎ（３２）＝６ˑ３２＋５＝１９７，Ｎ（３２）＝６ˑ３２＋７＝１９９．将以上的计算值制成表１：１１㊀１３㊀１７㊀１９㊀２３㊀２５㊀２９㊀３１㊀３５㊀３７㊀４１４３㊀４７㊀４９㊀５３㊀５５㊀５９㊀６１㊀６５㊀６７㊀７１㊀７３７７㊀７９㊀８３㊀８５㊀８９㊀９１㊀９５㊀９７㊀１０１㊀１０３㊀１０７１０９㊀１１３㊀１１５㊀１１９㊀１２１㊀１２５㊀１２７㊀１３１㊀１３３１３７㊀１３９㊀１４３㊀１４５㊀１４９㊀１５１㊀１５５㊀１５７㊀１６１１６３㊀１６７㊀１６９㊀１７３㊀１７５㊀１７９㊀１８１㊀１８５㊀１８７１９１㊀１９３㊀１９７㊀１９９以上所列出的全部计算值已经包括了２００以内的所有质数，当然也还包括一定数量的非质数．如何去掉那些非质数是我们要找寻质数的关键．本文所给出如下一个比较烦琐但却似乎行之有效的方法，即我们仿照远古时候找寻质数的 筛法 ：（１）按已知质数由小到大的顺序先去掉５ˑ５＝２５，５ˑ７＝３５，５ˑ１１＝５５，５ˑ１３＝６５，５ˑ１７＝８５，５ˑ１９＝９５（１００以内的非质数）和５ˑ２３＝１１５，５ˑ２５＝１２５，５ˑ２９＝１４５，５ˑ３１＝１５５，５ˑ３５＝１７５，５ˑ３７＝１８５（１００与２００之间的非质数），或者更简便的就是直接去掉上面所列的计算值中个位数为５的数：２５，３５，５５，６５，８５，９５和１１５，１２５，１４５，１５５，１７５，１８５；（２）再依次去掉７ˑ７＝４９，７ˑ１１＝７７，７ˑ１３＝９１（１００以内的非质数）和７ˑ１７＝１１９，７ˑ１９＝１３３以及７ˑ２３＝１６１，７ˑ２５＝１７５以及１１ˑ１１＝１２１，１１ˑ１３＝１４３，１１ˑ１７＝１８７，１３ˑ１３＝１６９（１００与２００之间的非质数）．再将以上的计算值制成表２：２５㊀３５㊀４９㊀５５㊀６５㊀７７㊀８５㊀９１㊀９５㊀１１５㊀１１９１２１㊀１２５㊀１３３㊀１４３㊀１４５㊀１５５㊀１６１㊀１６９㊀１７５１８５㊀１８７很显然，表２中的值均为非质数，且全都已经包括在表２里．将表１中属于表２里的计算值全都去掉，这样，我们就得到了２００以内的所有质数，如表３：㊀㊀㊀１５７㊀㊀１１㊀１３㊀１７㊀１９㊀２３㊀２９㊀３１㊀３７㊀４１㊀４３㊀４７㊀５３５９㊀６１㊀６７㊀７１㊀７３㊀７９㊀８３㊀８９㊀９７㊀１０１㊀１０３１０７㊀１０９㊀１１３㊀１２７㊀１３１㊀１３７㊀１３９㊀１４９㊀１５１１５７㊀１６３㊀１６７㊀１７３㊀１７９㊀１８１㊀１９１㊀１９３１９７㊀１９９由上面的表２可知，部分个位数为１，３，７，９的自然数，实际上并不是质数，而是一大类可以通过 ６ｎ 测试的合数，如９１，１４３，１８７，１６９，我们暂且将这类属于 ６ｎ 质数的自然数称为伪质数．我们依次并连续运用上面（１）（２）那样的方法，就可以去掉所有类似的非质数（包括伪质数）．这里，我们把建立在公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５和Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７的基础上并进一步 筛掉 所有非质数的方法，暂且称为 新筛法 ．我们通过这样的 新筛法 ，就有可能筛掉公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７所带来的包括伪质数在内的所有的非质数，最终找到我们所要找寻的质数．不难看出，随着ｎ的增大，一方面上述公式给出了真实的质数，同时也给出了越来越多的非质数，从而导致最终实际给出（存在）的质数越来越稀少．二㊁赝质数公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋３，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋９另外一大类不能通过上面所谓 ６ｎ 测试的自然数，如２１，８７，１１７，１４１，１７７，５６１，１０２３，１６３８３，１０２３４０２９，其个位数也是１，３，７，９，这和前面的伪质数相同．因其仍然为合数，所以我们暂且称之为赝质数．赝质数可从两个连续的 ６ｎ 质数的算术均数中得到，且所有的赝质数都可以被３整除，即被称为赝质数的这类合数都具有最小的质因数３，或者说两个ｎ值不同但连续的 ６ｎ 质数之和都可以被６整除．即：［６（ｎ－１）＋７］＋（６ｎ＋５）２＝６ｎ＋３，６ｎ＋７＋［６（ｎ＋１）＋５］２＝６ｎ＋９．这样的公式Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋３和Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋９就是由公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７而得到的赝质数的计算公式．有趣的是，同一赝质数可以出现在这样的两个公式中，只不过这时ｎ取两个不同但连续的值．例如：５６１，可以同时有：６ˑ９３＋３＝５６１，６ˑ９２＋９＝５６１，但其他类似的公式却没有这样的情形出现．很显然：６ｎ＋３３＝２ｎ＋１，６ｎ＋９３＝２ｎ＋３．这也是另外形式的与寻找质数密切相关的计算公式．相较于其他类似的公式，比如上面的Ｎ（ｎ）＝２ｎ＋１，Ｎ（ｎ）＝２ｎ＋３和Ｎ（ｎ）＝３ｎ＋１，Ｎ（ｎ）＝３ｎ＋２以及Ｎ（ｎ）＝４ｎ＋１，Ｎ（ｎ）＝４ｎ＋３而言，公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５与Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７给出的计算值不但不包括任何偶数，也不包括任何赝质数，且所包含的非质数也是这类公式中最少的．而孪生质数（即双生质数）在公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７中都具有同一个ｎ值． 筛掉 所有非质数及与非质数取相同ｎ值的质数，如２５以及与２５取相同ｎ值３的质数２３，１８５以及与１８５取相同ｎ值３０的伪质数１８７，９１以及与９１取相同ｎ值１４的质数８９；再 筛掉 孪生伪质数，如１１９和１２１．经过这样的筛选，剩下来的就全都是孪生质数了．另外，如果我们说质数是一切数的 原子 ，合数是由若干个质数相乘得到的，那么公式Ｎ（ｎ）＝３ｎ＋１，Ｎ（ｎ）＝３ｎ＋２似乎也表明，２和３可能是所有大于等于５的质数的 原子 ，也即任意一个大于等于５的质数都是由若干个２和３相加来构成的．还有，５和７出现在前面去掉非质数的 新筛法 中，也即５和７都参与 ６ｎ 质数中的部分非质数的构建，但２和３却没有出现在前面去掉非质数的 新筛法 中，这似乎也说明了２和３在质数中的基础性地位和作用．我们从上面的讨论中不难看出，对于个位数是１，３，７，９的自然数，可以分成三大类：质数㊁能通过 ６ｎ 测试的伪质数以及不能通过 ６ｎ 测试的赝质数，伪质数和赝质数本质上都是合数．我们以小于２０的八个质数尤其是三对孪生质数（５和７，１１和１３，１７和１９）为基础，应用本文以上所给出的寻找质数的 新筛法 ，就可以很容易得到１００以内的所有质数．在这个 新筛法 的基础上似乎可以进一步找到小于任意一个自然数（比如本文中的２００）的所有质数，这似乎至少在原则上来讲是可行的和可能的．至于识别任意一个自然数是否为质数或伪质数，我们在这里并不能给出类似于费马小定理的费马素性测试那种简单有效的方法．我们只知道个位数为０，２，４，５，６，８的自然数及赝质数（其个位数为１，３，７，９）都不是质数．尽管我们在原则上似乎可以 筛掉 所有的伪质数，但这里并没有给出能判定任意一个个位数是１，３，７，９的自然数是否为质数或伪质数的简便方法．三㊁费根鲍姆常数α和δ㊁布朗常数Ｂ２与质数分布可能存在的联系我们上面简单讨论了如何去找寻质数和如何识别伪质数以及怎样认定赝质数．与质数密切相关的另一个问题就㊀㊀㊀㊀㊀１５８㊀是质数的分布．作者由于对物理学的一些基本问题的关注和探讨，联想到混沌理论中的费根鲍姆常数是否会和质数分布规律存在一定的关系．若从长久以来大家一直都知晓的小于给定值Ｎ的素数个数的估算公式π（Ｎ）ʈＮｌｎＮ出发，将上述两个费根鲍姆常数以及与质数密切相关的布朗常数Ｂ２（Ｂ２ʈ１．９０２１６０５７８）联系起来进行综合考量，并经过反复的数值计算，可以得到如下一个小于给定值Ｎ的质数个数的估算公式：π（Ｎ）ʈＮ１ｎＮ－１－１１ｎＮ－３－β．这里，对于不同范围的Ｎ值，包含β１３的公式虽然形式上是相同的，但其相关的取值却不同．具体来说，我们可以将自然数由小到大分成三个不同的区间．１．对于Ｎɤ１０８，包含β１３的公式：ａ１ｎＮ＋ｂ１ｎ１ｎＮｃ１ｇＮ＋ｄ１ｇ１ｇＮ＋１＝１＋β１３．式中ａ＝－δ５１６α２Ｂ２２π３æèçöø÷１３ʈ－０．４６９８９８５３４，ｂ＝α２Ｂ２２π３１６δ２æèçöø÷１２ʈ１．４１９４３０８２６，ｃ＝－２π４Ｂ２２δ２ʈ－０．５２８９４１０２５，ｄ＝－δπ２Ｂ４２４α４æèçöø÷１２ʈ－１．９６０４０５０５７．式中，α和δ为混沌理论中的费根鲍姆常数，Ｂ２为与质数关系密切的布朗常数，π为圆周率．这里，我们可以试着做几个具体数值的计算：（１）Ｎ＝１０４，计算值π（Ｎ）ʈ１２２５，与真实值１２２９相比小４．（２）Ｎ＝１０６，计算值π（Ｎ）ʈ７８４９８，与真实值相同．（３）Ｎ＝９１０２２９，计算值π（Ｎ）ʈ７１９８３，与真实值７２０４７相比小６４．（４）Ｎ＝４２９６９１７，计算值π（Ｎ）ʈ３０２６０８，与真实值３０２６２３相比小１５．２．对于１０８ɤＮɤ１０９，包含β１３的公式：Ａᶄ１ｎＮＣᶄ１ｇＮ＋１＝１＋β１３．式中Ａᶄ＝１πδ２αＢ２æèçöø÷１２ʈ０．０３７１１５１４６，Ｃᶄ＝－Ｂ２４α３ʈ－０．０３０３２８６１５．如果取β１３＝０，与之对应的Ｎ值为Ｎᶄ，由Ａᶄ１ｎＮᶄＣᶄ１ｇＮᶄ＋１＝１可得Ｎᶄʈ４．２６０９３７２７５ˑ１０８．则π（Ｎᶄ）ʈ２２６５１４３４，但这个值是否和真实值相符还有待相关专家学者来澄清．３．对于１０９ȡＮ，包含β１３的公式：Ａ１ｎＮ＋Ｂ１ｎ１ｎＮＣ１ｇＮ＋Ｄ１ｇ１ｇＮ＋１＝１＋β１３．式中Ａ＝－６４αＢ４２δ３π６æèçöø÷１４ʈ－０．３８２６０１４４６，Ｂ＝８πα２δＢ４２ʈ２．５７５７１７６６，Ｃ＝－α４２δ２ʈ－０．９０００４４９７２，Ｄ＝δ２π２α４８２Ｂ２æèçöø÷１３ʈ７．３２１００６０４１，我们也可以试着做几个具体数值的计算：（１）Ｎ＝１０１１，计算值π（Ｎ）ʈ４１１８０５５９４４，与真实值４１１８０５４８１３相比约大１１３１．（２）Ｎ＝１０１４，计算值π（Ｎ）ʈ３２０４９４１６２９ˑ１０３，与真实值３２０４９４１７５０．８０２ˑ１０３相比约小１．２１ˑ１０５．（３）Ｎ＝１０１８，计算值π（Ｎ）ʈ２４７３９９５４３３ˑ１０７，与真实值２４７３９９５４２８．７７４０８６０ˑ１０７相比约大５ˑ１０７．显而易见，上述估算质数个数的公式所给出的计算结果，与相应的真实值是符合得比较好的．这个公式中包含了自然对数㊁常用对数以及混沌理论中的两个费根鲍姆常数，还有与质数密切相关的布朗常数Ｂ２以及圆周率π．不过，用以上这些只涉及初等数学的想法与方法去探讨和对待在自然数中寻找质数㊁估算质数个数这样的老问题，也许是很有趣的，但是否正确和有意义则只能由相关的专家学者去评判了．ʌ参考文献ɔ１．陈仁政．说不尽的π［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５．２．（美）约翰㊃德比希尔．素数之恋［Ｍ］．陈为蓬，译．上海：上海科技教育出版社，２０１４．３．（英）马库斯㊃杜㊃索托伊．悠扬的素数［Ｍ］．柏华元，译．北京：人民邮电出版社，２０１９．。

从哲学的角度认识混沌理论混沌学是当代系统科学的重要组成部分，与相对论和量子力学的产生一样，混沌理论的出现对现代科学产生了深远的影响。

混沌运动的本质特征是系统长期行为对初值的敏感依赖性，所谓混沌的内在随机性就是系统行为敏感地依赖于初始条件所必然导致的结果。

我们可把混沌理解为：在一个非线性动力学系统中，随着非线性的增强，系统所出现的不规则的有序现象。

这些现象可以通过对初值的敏感依赖性、奇异吸引子、费根鲍姆常数、分数维、遍历性等来表征。

牛顿力学描绘的世界图景是钟表模式的世界图景：宇宙间的一切事物都象一架钟表，它们按照确定的方式运行，科学的任务就是阐明钟表的结构.揭示它的运行规律。

混沌学的研究则破坏了这种模式的科学根基，引导人们重新确定科学研究的任务。

未来科学的任务是从混沌的观点阐明客观世界这个超级巨系统的结构方式和运行机制。

混沌学从根本上打破了人类长期形成的片面的固定思维方式，不仅促进了自然科学向前发展，而且丰富了科学的唯物辩证法和方法论，具有划时代的哲学意义和科学意义。

混沌给我们带来的影响是巨大的，促进了科学思想和方法论一系列的重大革命，改变着人们的思维，促使人们在哲学上对其进行深层次的认识。

混沌学是非线性科学范畴，它认为世界的真实面目就是非线性的，经典物理学研究的线性不是自然界普遍存在的，而是相对于非线性的一个特例。

经典科学的线性观导致事物发展的简单性、确定性和还原性，而混沌理论的非线性世界观是对经典科学线性观的扬弃，它是有序与无序确定性和随机性、完全性和非完全性、自相似性和"：自相似性相统一的世界，它们之间是可以互相转化、对立而统一的，遵循着辩证法的规律。

从简单到复杂，从线性到非线性，这是符合认识发展的规律的。

分叉、突变，对初值的敏感依赖性，长期行为的不可预见性，分形几何特性等是非线性的性质，分数维、费根鲍姆常数是对非线性系统作定量描述的普遍概念，所以，混沌的主要特性是可以被我们认识和描述的。

常数表数学常数表物理常数表常用化合物常数表序号化学名分子式CAS 分子量熔点（℃）沸点（℃）密度（kg/m3) 折光率纯度(%) 闪点（℃）爆炸极限(体积)1 氨水NH3·H2O 7664-41-7 17.03 0.77 112 甲醛HCHO 50-00-0 30.03 -15 96 1.0900 1.3765 37%水溶液56 ———3 甲醇CH3OH 67-56-1 32.04 -98 64 0.7900 ≥99.0 11 6～31.004 乙腈CH3CN 75-05-8 41.05 -46 81--82 0.7860 1.3440 99 5 3～16.005腈胺CH2N2 420-04-2 42.04 ，45 260 95 1416 乙醛CH3CHO 75-07-0 44.05 -125 21 0.7850 1.3320 ≥99.5 -40 4～57.007 乙胺水溶液70% C2H7N 1975-4-7 45.08 ——————0.8 1.383-1.385 ———-17 3～12.808 甲酸HCOOH 64-18-6 46.03 8.2--8.4 100--101 1.2200 1.3704 96 68 14～33.009 甲肼CH3NHNH2 60-34-4 46.07 -21 87 0.8660 1.4325 98 21 2.5～97.0010 乙醇C2H5OH 64-17-5 46.07 -114 78 0.7900 1.3600 99.5 16 3.3～19.011 水合肼H4N2·H2O 7803-57-8 50.06 -51.7 120.1 1.0320 1.4280 98 73 3.5～99.9912 甲醇钠CH3ONa 124-41-4 54.02 300 —————— 7.3～36.0013 环丙胺C3H7N 765-30-0 57.10 -50 49--50 0.8240 1.4206 99 -25 ———14 丙酮CH3COCH3 67-64-1 58.08 -94 56 0.7910 1.3590 ≥99.0 -17 2.5～13.0015 乙酰胺C2H5NO 60-35-5 59.07 ，79--81 221 99 ——————16 甲酸甲酯HCOOCH3 107-31-3 60.05 -100 34 0.9740 1.3430 99 -26 5～23.017 乙酸CH3COOH 64-19-7 60.05 16-16.5 117 - 118 1.0490 96 4018 脲CH4N2O 57-13-6 60.06 133--135 ——— 1.3350 98 ——————19 异丙醇（CH3）2CHOH 67-63-0 60.10 -89.5 82.4 0.7850 1.3770 99.9 11 2～1220 乙二胺C2H8N2 107-15-3 60.10 8.5 118 0.8990 1.4565 99 33 2.7～16.6021 乙醇胺H2NCH2CH2OH 141-43-5 61.08 10.5 170 1.0120 1.4540 99 93 5.5～17.0022 乙醇钠C2H5ONa 141-52-6 68.05 91 0.868 1.385 96 2223 氯化羟胺H3NO.HCl 5470-11-1 69.49 155-157 ——— 1.67 97 152 ———24 丁酮CH3COC2H5 78-93-3 72.11 -87 80 0.8050 1.3790 ≥99.0 -3 1.8～11.5025 四氢呋喃C4H8O 109-99-9 72.11 -108 65--67 0.8890 1.4070 99.9 -17 1.5～12.0026 正戊烷C5H12 109-66-0 72.15 -130 36 0.626 1.358 ≥99.0 -49 1.4～8.0027 DMF C3H7NO 1968-12-2 73.09 -61，153-154 0.94 99 57 2.2～16.0028 二乙胺(C2H5)2NH 109-89-7 73.14 -50 55 0.7070 1.3850 ≥99.0 -28 1.7～10.1029 正丁胺CH3(CH2)3NH2 109-73-9 73.14 -49 78 0.7400 1.4010 99.5 -14 1.7～10.0030 甲酸乙酯HCOOC2H5 109-94-4 74.08 -80 52--54 0.9170 1.3590 97 -19 2.7～16.5031 乙酸甲酯CH3COOCH3 79-20-9 74.08 -98 57.5 0.9320 1.3610 99.5 -9 3～16.0032 乙醚C2H5OC2H5 60-29-7 74.12 -116 34.6 0.7060 1.3530 ≥99.0 -40 1.7～48.0033 叔丁醇（CH3）3COH 75-65-0 74.12 25-25.5 83 0.78 1.386-1.388 99.5 11 2.4～8.0034 正丁醇C4H9OH 71-36-3 74.12 -90 117.7 0.8100 1.3990 99.8 35 0.01～0.1135 乙二醇甲醚CH3OCH2CH2OH 109-86-4 76.10 -85 124--125 0.9650 1.4020 ≥99.9 46 1.8～20.0036 二硫化碳CS2 75-15-0 76.13 -111 46 1.262 1.6272 99.9 -30 1～6037 二甲基亚砜CH3SOCH3 67-68-5 78.13 18.4 189 1.1010 1.4790 99.9 95 2.60 ～42.0038 乙酰氯CH3COCl 75-36-5 78.50 -112 52 1.1040 1.3890 98 4 7.3～19.0039 吡啶C5H5N 110-86-1 79.10 -42 115 0.9780 ≥99.0 20 1.8～12.4040 氰氨化钙CCaN2 156-62-7 80.10 >30041 氢溴酸HBr 10035-10-6 80.91 -11 126 1.4942 二甲胺盐酸盐C2H7N·HCl 506-59-2 81.55 170--173 ——— 99 ——————43 乙酸钠CH3COONa 127-09-3 82.03 324 ——— 1.5280 99.99 ——————44 正己烷C6H14 110-54-3 86.18 -95 69 0.6590 1.3750 95 -23 1.1～8.0045 N,N-二甲基乙酰胺（CH3）2NCOCH3 127-19-5 87.12 -20 164.5--166 0.9370 1.4380 ≥99.9 70 1.8～11.546 氟硼酸HBF4 16872-11-0 87.81 -90 130 1.4147 1,4-二氧六环C4H8O2 123-91-1 88.11 11.8 100-102 1.0340 1.4220 ≥99.0 12 2～22.0048 乙酸乙酯CH3COOC2H5 141-78-6 88.11 -84 76.5--77.5 0.9020 1.3720 ≥99.5 -3 2～12.0049 叔丁基甲醚(CH3)3COCH3 1634-04-4 88.15 -109 55--56 0.7400 1.3690 99 -32 1.6～15.1050 异戊醇（CH3）2CHC2H4OH 123-51-3 88.15 -117 130 0.8090 1.4060 ≥99.0 45 1.2～8.0051 氰化亚铜CuCN 544-92-3 89.56 474 ——— 2.92 99 ——————52草酸HOOCCOOH 144-62-7 90.04 190 ——— 98 ——————53 三聚甲醛C3H6O3 110-88-3 90.08，61--62.5 ，114-116 1.17 ≥99.5 45 3.6～2954 乙二醇二甲醚C4H10O2 ，110-71-4 90.12 -58 ，85 0.8670，1.3790 ≥99.0 0 1.6～10.4055 1,4-丁二醇C4H10O2 ，110-63-4 90.12 20 229.2 1.01 1.4442-1.4462 ≥99.0 135 2.4～15.3056 丙三醇C3H8O3 56-81-5 92.09 20 182/20mm 1.2610 1.4740 ≥99.5 160 ———57 甲苯C6H5CH3 108-88-3 92.14 -93 110.6 0.8650 1.4960 99.5 4 1.2～7.0058 环氧氯丙烷C3H5ClO 106-89-8 92.53 -57 115--117 1.1830 1.4380 ≥99.0 33 3.8～21.0059 氯代正丁烷C4H9Cl 109-69-3 92.57 -123 77--78 0.8860 1.4024 ≥99.0 -6 1.0～10.1060 苯胺C6H5NH2 62-53-3 93.13 -6 184 1.0220 1.5860 ≥99.5 70 1.2～1161 4-甲基吡啶C6H7N 108-89-4 93.13 2.4 145 0.9570 1.5050 98 56 1.3～8.7062 苯酚C6H5OH 108-95-2 94.11 40--42 182 1.0710 99 79 1.3～9.5063 间氨基吡啶C5H6N2 462-08-8 94.11 60-63，248 99 124 ———64 2-甲基吡嗪C5H6N2 109-08-0 94.12 -29 135/761mm 1.0300 1.5050 ≥99.0 50 ———65 氟苯C6H5F 462-06-6 96.10 -42 85 1.0240 1.4650 99 -1266 1，2-二甲基咪唑C5H8N2 1739-84-0 96.13 29-30 204 1.084 98 92 ———67 间氟吡啶C5H4FN 372-47-4 97.09 0 107-108 1.13 1.472-1.474 99 13 ———68 顺丁烯二酸酐C4H2O3 108-31-6 98.06 54--56 200 1.48 99 103 1.4～7.1069 甲基环已烷C6H11CH3 108-87-2 98.19 -126 101 0.7700 1.4220 99 -3 1.2～6.7070 丁二酸酐C4H4O3 ，108-30-5 ，100.07 ，119--120 261 ≥99.0 ——————71 环丙基甲酸甲酯C5H8O2 ，2868-37-3 ，100.11 119 0.9800 1.417--1.419 98 17 ———72 正庚烷CH3（CH2）5CH3 142-82-5 100.21 -91 98 0.6840 1.3870 ≥99.0 -1 1.1～7.0073 二异丙胺C6H15N 108-18-9 101.19 -61 84 0.7220 1.3920 99 -6 1.5～8.5074 三乙胺C6H15N 121-44-8 101.19 -115 88.8 0.7260 1.4000 99 -6 1.2～8.0075 正戊酸C4H9COOH 109-52-4 102.13 -20-- -18 185 0.9390 1.4080 99 88 1.6～7.3076 异丙醚C6H14O 108-20-3 102.18 -85 68--69 0.7250 1.3680 ≥99.0 -12 1.1～21.0077 苯腈C7H5N 100-47-0 103.12 -13 188-191 1.01 1.528 99 71 1.4～7.278 二乙烯三胺C4H13N3 111-40-0 103.17 -35 199--209 0.9550 1.4826 99 94 4.4～16.1079 苯乙烯C6H5CH=CH2 100-42-5 104.15 -31 145--146 0.9090 1.5470 ≥99.0 31 1.1～6.1080 一缩二乙二醇C4H10O3 111-46-6，106.12 -10 245 1.1100 1.445-1.448 99 143 0.02～0.1281 苯甲醛C6H5CHO 100-52-7 106.12 -26 178--179 1.0440 1.5450 ≥99.5 62 1.4～8.582 对二甲苯CH3C6H4CH3 106-42-3 106.17 12--13 138 0.8660 1.4950 ≥99.0 25 1.1～7.0083 乙基苯C6H5Et 100-41-4 106.17 -95 136 0.8670 1.4950 99.8 22 1～7.8084 间二甲苯C8H10 108-38-3 106.17 -48 138--139 0.8680 1.4970 ≥99.0 25 1.7～7.685 苄胺C6H5CH2NH2 100-46-9 107.16 10 184--185 0.9810 1.5430 99 60 0.9～1486 邻甲苯胺CH3C6H4NH2 95-53-4 107.16 -23 199--200 1.0040 1.5720 99 85 1.5～7.5087 间甲苯胺CH3C6H4NH2 108-44-1 107.16 -30 203--204 0.9990 1.5680 99 85 ———88 对甲苯胺CH3C6H4NH2 106-49-0 107.16 41--46 200 0.9730 99 88 1.1～6.6089 2,6-二甲基吡啶C7H9N 108-48-5 107.16 -6 143--145 0.9200 1.4970 99 33 ———90 对苯醌C6H4O2 106-51-4 ，108.10 113--115 98 ———91 苯甲醇C6H5CH2OH 100-51-6 108.14 -15 205 1.0450 1.5400 99 93 1.3～1392 苯甲醚C6H5OCH3 100-66-3 108.14 -37 154 0.9950 1.5160 99 51 ———93 间苯二胺C6H8N2 108-45-2 108.14 64--66 282-284 ≥99.0 175 ———94 对氯三氟甲苯F3CC6H4Cl 98-56-6 108.56 -36 136--138 1.3530 1.4460 98 47 ———95 对氨基苯酚HOC6H4NH2 123-30-8 109.13，188--190 ，284 97.5 189 ———96 1,4-对苯二酚HOC6H4OH 123-31-9 110.11 172--175 285 1.32 99 65 ———97 邻氟甲苯C7H7F 95-52-3 110.13 -62 113-114 1 1.472-1.474 ≥99.0 8 ———98 对氟甲苯FC6H4CH3 352-32-9 110.13 -56 115.5 1.0007 1.4674--1.4694 97 17 ———99 间氟甲苯C7H7F 352-70-5 110.13 -87 115 0.99 1.4685-1.4705 99 12 ———100 苯硫酚C6H5SH 108-98-5 110.18 -15 169 1.0730 1.5880 ≥99.0 50 ———101 间氟苯胺C6H6FN 372-19-0 111.11 ——— 186(756mm) 1.15 1.543-1.545 98 77 ———102 对氟苯胺C6H6FN 371-40-4 111.11 -1.9 187 1.157 1.5385-1.5405 98 73 ———103 脲嘧啶C4H4N2O2 66-22-8 112.09 >300 ———≥99.0 ——————104 氯苯C6H5Cl 108-90-7 112.56 -45 132 1.1070 1.5240 99.9 23 1.30 ～11.00105 己内酰胺C6H11NO 105-60-2 113.16 69-71 268 ≥99.0 139 1.6～11.90106 三氟乙酸CF3COOH 76-05-1 114.02 -15.4 72.4 1.4800 1.3 99 ——————107 邻二氟苯C6H4F2 367-11-3 114.09 -34 92 1.15 1.4417-1.4437 98 2 ———108 对二氟苯C6H4F2 540-36-3 114.09 -13 88-89 1.17 1.44-1.442 ≥99.0 2 ———109 异辛烷C8H18 540-84-1 114.23 -107 98--99 0.6920 1.3910 ≥99.0 -7 1.1～6.00110 氯磺酸HClO3S 7790-94-5 116.51 -80 151-152（755mm) 1.75 1.4331 98 3.3～37.70111 2-甲基苯腈C8H7N 529-19-1 117.15 -13 205 0.98 1.5269-1.5289 98 84112 亚硝酸异戊酯C5H11NO2 110-46-3 ，117.15 ——— 99 0.8720 1.3860 97 10 ———113 乙二醇一丁醚HOC2H4O（CH2）3CH3 111-76-2 118.18 -75 171/743mm 0.9000 99 60 1.9～10.3114 二氯亚砜Cl2OS 7719-9-7 118.96 -105 76 1.63 1.519-1.521 ≥99.5 ——————115 苯乙酮C6H5COCH3 98-86-2 120.15 19--20 202 1.0300 1.5325 99 82 1.4～5.20116 特戊酰氯C5H9ClO 3282-30-2，120.57 -56 105 0.98 1.411-1.413 99 14 1.9～7.4117 戊酰氯C5H9ClO 638-29-9 120.57 ——— 125-127 1.01 1.419-1.421 98 23 ———118 对氟苯腈C7H4FN 1194-02-1 121.11 33-36 188（750mm）99 65 ———119 N,N-二甲基苯胺C6H5N（CH3）2 121-69-7 121.18 1.5--2.5 193--194 0.9560 1.5580 ≥99.5 62 1.2～7.00120 苯甲酸C6H5COOH 65-85-0 122.12 121--123 249 1.08 99 121 ———121 苯乙醚C6H5OC2H5 103-73-1 122.17 -30 169--170 0.9660 1.5080 99 57 ———122 氯乙酸乙酯CH2ClCOOC2H5 105-39-5 122.55 -26 143 1.14 1.4210 99 65 ———123 1-溴丙烷C3H7Br 106-94-5 123.00 -110 71 1.3540 1.4336 99 110 4.6～——124 硝基苯C6H5NO2 98-95-3 123.11 5--6 210--211 1.1960 1.5510 ≥99.0 87 1.8～40.00125 邻氨基苯甲醚NH2C6H4OCH3 90-04-0 123.16 5--6 225 1.0920 1.5740 ≥99.0 98 ———126 对甲氧基苯酚C7H8O2 150-76-5 ，124.13 54 243 99 133 ———127 茴香硫醚C7H8S 100-68-5 124.2 -15 188 1.05 1.5842-1.5862 99 57 ———128 邻苯三酚C6H6O3 87-66-1 126.11 133--134 ，309 99 293 ———129 硫酸二甲酯(CH3)2SO4 77-78-1 126.13 -32 188 1.3330 1.3865 ≥99.0 83 3.6～23.20130 氯化苄C6H5CH2Cl 100-44-7 126.59 -43 177-181 1.1000 1.5380 99 73 1～14.00131 间氯甲苯CH3C6H4Cl 108-41-8 126.59 -48 160--162 1.0720 1.5220 97 50 ———132 邻氯甲苯C7H7Cl 95-49-8 126.59 -36 157--159 1.0830 1.5250 98 47 ———133 对氯苯胺H2NC6H4Cl 106-47-8 ，127.57 69--72，232 98 > 188 ———134 对苯二腈NCC6H4CN 623-26-7，128.13，224--227 ——— 98 ——————135 5,5-二甲基海因C5H8N2O2 77-71-4 ，128.13，176--178 ——— 97 ——————136 萘C10H8 91-20-3 ，128.17 80--82 ，217.7 ≥99.0 78 0.9～5.9137 丙烯酸丁酯CH2=CHCOOC4H9 ，141-32-2，128.17 -64 145，0.8940 1.4180 ≥99.0 39 1.5～7.80138 3,4-二氟苯胺C6H5F2N 3863-11-4，129.1 ——— 77(7mm) ，1.302 1.512-1.514 > 99 85 ———139 2 6-二氟苯胺C6H5F2N 5509-65-9 ，129.1 ——— 51-52(15mm)，1.199 1.507-1.509 97 43 ———140 2,4-二氟苯胺C6H5F2N 367-25-9 ，129.11 -7.5 170/753mm，1.2680，1.5070 99 62 ———141 喹啉C9H7N 91-22-5 129.16 -16-- -15 ，113--114/17mm 1.0930 ，1.6270 99，101 1.2～7.00142 5-氟尿嘧啶C4H3FN2O2 51-21-8 ，130.08 280--282 ——— 99 280 ———143 3,5-二氟苯酚C6H4F2O，2713-34-0 ，130.09 51-55 ——— 99 70 ———144 乙酰乙酸乙酯C6H10O3 ，141-97-9，130.14 -45，180 1.03 1.418-1.42 99 70 1～54 145 异辛醇C8H18O 104-76-7 ，130.23 -76 ，184 0.833 ，1.43-1.433 99 77 1.1～7.4146 二聚环戊二烯C10H12 77-73-6，132.2 -1 ，170 0.982 ，1.51-1.512 95 26 0.8～6.30 147 1,1,1-三氯乙烷CH3CCl3 ，71-55-6，133.41，-35 74--76 ，1.3380 1.4366 99.5 ———8.0～15.50148 NCS C4H4ClNO2 ，128-09-6，133.53 ，144-150 ———≥98.0 ——————149 草酸钠C2Na2O4 62-76-0 134.00 250-270 ———。

非线性电路中的混沌现象一：数据处理：1．计算电感L本实验采用相位测量。

根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。

测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则：32222106.7)()(4)(-⨯=+=C C u f f u L L u 即mH L u 16.0)(=最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：（2）数据处理：根据RU I RR=可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11由此可得对应的1R I 值。

对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。

故我们在V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。

使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12- 20.02453093-0.002032U I经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。

李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。

)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。

r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。

=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。

c r r >
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。

但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。

是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。

巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。

————用非线性电路研究混沌现象————班级 03101 姓名陈剑南中文摘要本实验旨在通过简单的非线性电路使我们知道什么是混沌，什么是产生混沌现象的基本条件？通过实验，我们看到了混沌具有的一些特征，并讨论了产生混沌的途径。

从而使我们对混沌有了一个整体的认识。

A b s t r a c tThis experiment is to make us understand chaos and the basic conditions which lead to chaos’display through simple nolinear circuit. Meanwhile ,we find out some features of chaotic system, as well as the approachs to chaos. In all,this experiment makes us know chaotic system in main.１.１、前言本世纪六十年代初，混沌学开始在美国兴起。

二三十年间，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。

混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。

混沌学使人们原来限于简单系统的观念发生了革命性的转变，使人们更清楚地认识了简单与复杂、确定与随机的内在联系，难怪有的学者将混沌学誉为本世纪继相对论与量子论之后的第三次科学革命。

但是混沌的定义很难确切地下出来，到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，科学家们只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。

1．2、实验目的：1．通过对非线形电路的分析，了解产生混沌现象的基本条件2．通过调整Chua电路的参数，学习倍周期分叉走向混沌的过程3．在示波器上观察混沌的各种相图：单吸引子和双吸引子4．测量电路中非线性电阻的I-V特性2．1、实验原理[1]混沌是过程的科学、演化的科学，而不是状态的科学，变是混沌的本性。

非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书北航实验物理中心2013-03-09教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。

5.2 非线性电路中的混沌现象二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。

许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。

目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。

混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。

理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。

混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。

实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。

此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。

5.2.1 实验要求1．实验重点①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。

②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。

③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。

熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。

④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。

了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。

2．预习要点（1）用振幅法和相位法测电感①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。