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二次函数的概念及的图像与性质要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c ； 若c=0，则y=ax 2+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①（a ≠0）；②（a ≠0）；③（a ≠0）；④（a ≠0），其中；⑤（a ≠0）.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.1．下列函数中，是关于x 的二次函数的是________(填序号)． (1)y ＝-3x 2；(2)21y x x=+； (3)y ＝3x 2-4-x 3；(4)2123y x =--； (5)y ＝ax 2+3x+6； (6)y = 【答案】(1)、(4)；【解析】紧扣二次函数的定义去判断，(1)、(4)符合二次函数的条件；(2)中不是关于x 的整式，而是分式；(3)中x 的最高次数不是2，而是3； (5)中二次项系数a 可能为0；(6)不是整式而是根式，所以(2)、(3)、(5)、(6)均不符合二次函数的条件．【总结升华】判断一个函数是否是二次函数，应抓住三个特征：(1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意含字母的二次项系数是否为0．举一反三：【变式】如果函数232(3)1mm y m x mx -+=-++是二次函数，求m 的值．要点二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x 2关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x 2的顶点是图象的最低点。
