二次函数图像与性质总结

二次函数图象和性质总结表格二次函数知识点总结一、二次函数的图像和性质二次函数的图像开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值与函数的参数有关。

当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。

参数a越大，开口越小。

当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。

参数a越小，开口越小。

当二次函数带有平移时，对称轴的位置会发生变化，顶点坐标变为(h,k)。

当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。

当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0.当二次函数带有平移时，解析式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为实数且a≠0.三、二次函数的应用二次函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。

例如，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、建筑物的结构、金融市场的波动等等。

在应用中，我们需要根据实际情况确定二次函数的参数，并利用二次函数的性质进行分析和计算。

总之，二次函数是数学中非常重要的一个概念，掌握二次函数的图像、解析式和应用是我们研究数学的基础。

当x＞h时，随着x的增大，y会减小。

函数a的符号决定了开口的方向，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。

对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

当a的绝对值越大时，开口越小；b的符号决定了对称轴在y轴的位置，当b＞0时，对称轴在y轴左侧，当b＜0时，对称轴在y轴右侧；c的符号决定了抛物线与y轴的交点在哪个象限，当c＞0时，抛物线与y轴正半轴相交，当c＜0时，抛物线与y轴负半轴相交。

初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。

3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。

4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。

三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。

2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。

四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。

2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。

3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。

五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。

2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。

3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。

六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。

2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。

⼆次函数图像与性质完整归纳⼆次函数图像与性质完整归纳————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期:⼆次函数的图像与性质⼀、⼆次函数的基本形式1. ⼆次函数基本形式:2y ax =的性质： a 的绝对值越⼤,抛物线的开⼝越⼩。

2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4． ()2y a x h k =-+的性质: a 的符号开⼝⽅向顶点坐标对称轴性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；0x <时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；0x =时,y 有最⼩值0. 0a < 向下()00，y 轴0x >时,y 随x 的增⼤⽽减⼩；0x <时,y 随x 的增⼤⽽增⼤;0x =时，y 有最⼤值0．a 的符号开⼝⽅向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；0x <时,y 随x 的增⼤⽽减⼩;0x =时，y 有最⼩值c .0a <向下()0c ，y 轴0x >时,y 随x 的增⼤⽽减⼩；0x <时,y 随x 的增⼤⽽增⼤；0x =时，y 有最⼤值c .a 的符号开⼝⽅向顶点坐标对称轴性质()0h ，X ＝hx h >时，y 随x 的增⼤⽽增⼤;x h <时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；x h =时,y 有最⼩值0. 0a <向下()0h ，X=ｈx h >时,y 随x 的增⼤⽽减⼩；x h <时,y 随x 的增⼤⽽增⼤;x h =时,y 有最⼤值0．a 的符号开⼝⽅向顶点坐标对称轴性质0a >向上()h k ， X=hx h >时,y 随x 的增⼤⽽增⼤;x h <时,y 随x 的增⼤⽽减⼩；x h =时，y 有最⼩值k . 0a < 向下 ()h k ，X ＝hx h >时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；x h <时，y 随x 的增⼤⽽增⼤;x h =时,y 有最⼤值k .⼆、⼆次函数图象的平移1．平移步骤:⽅法⼀：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移⽅法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移,负下移”．概括成⼋个字“左加右减，上加下减”．⽅法⼆：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下)平移m 个单位，c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2)三、⼆次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的⽐较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配⽅可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -?=++，其中2424b ac b h k a a -=-=，. 四、⼆次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利⽤配⽅法将⼆次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开⼝⽅向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图．⼀般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下⼏点:开⼝⽅向，对称轴,顶点,与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、⼆次函数2y ax bx c =++的性质1．当0a >时，抛物线开⼝向上，对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??--，.当2b x a <-时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；当2bx a>-时,y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2bx a=-时，y 有最⼩值244ac b a -. 2. 当0a <时，抛物线开⼝向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??--，．当2b x a <-时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2b x a >-时,y 随x 的增⼤⽽减⼩;当2b=-时,y 有最⼤值244ac b a-．六、⼆次函数解析式的表⽰⽅法１．⼀般式:2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠); 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ,h ，k 为常数,0a ≠);3. 两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标)．注意:任何⼆次函数的解析式都可以化成⼀般式或顶点式，但并⾮所有的⼆次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以⽤交点式表⽰．⼆次函数解析式的这三种形式可以互化.七、⼆次函数的图象与各项系数之间的关系1. ⼆次项系数a⼆次函数2y ax bx c =++中，a 作为⼆次项系数，显然0a ≠.⑴当0a >时，抛物线开⼝向上,a 的值越⼤,开⼝越⼩,反之a 的值越⼩,开⼝越⼤；⑵当0a <时，抛物线开⼝向下,a 的值越⼩,开⼝越⼩,反之a 的值越⼤,开⼝越⼤．总结起来,a 决定了抛物线开⼝的⼤⼩和⽅向，a 的正负决定开⼝⽅向，a 的⼤⼩决定开⼝的⼤⼩.2. ⼀次项系数b在⼆次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在0a >的前提下，当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时,02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时,02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定:对称轴a=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0总结：3．常数项c⑴当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上⽅，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下⽅,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯⼀确定的.⼆次函数解析式的确定:根据已知条件确定⼆次函数解析式，通常利⽤待定系数法.⽤待定系数法求⼆次函数的解析式必须根据题⽬的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．⼀般来说，有如下⼏种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,⼀般选⽤⼀般式;2．已知抛物线顶点或对称轴或最⼤(⼩)值，⼀般选⽤顶点式；３. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，⼀般选⽤两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选⽤顶点式．⼋、⼆次函数图象的对称⼆次函数图象的对称⼀般有五种情况，可以⽤⼀般式或顶点式表达１．关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---;２. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++;3．关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转１8０°）2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.5. 关于点()m n ，y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然⽆论作何种对称变换，抛物线的形状⼀定不会发⽣变化，因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或⽅便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开⼝⽅向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开⼝⽅向，然后再写出其对称抛物线的表达式.⼆次函数图像参考：⼗⼀、y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x 2y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x 2+2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2【例题精讲】⼀、⼀元⼆次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y14]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的⼀些值,列表如下:x … -７ -６ -5 -4 -3 -２－１…y … 25 0 23- -2 23- 0 25 …【例２】求作函数342+--=x x y 的图象。

初中二次函数知识点总结初中二次函数知识点总结：二次函数（Quadratic Function）属于初中代数的重要内容，它是由形如y=ax²+bx+c（a≠0）的代数式所确定的函数。

以下是二次函数的相关知识点的总结。

一、二次函数的图像特征1. 平移：二次函数的图像可以平移，平移的方向与平移的量有关。

2. 对称轴：二次函数的图像关于一个虚轴（称作对称轴）对称。

3. 顶点：对于二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为-x=Δ/b/2a，纵坐标为y⏊-Δ/4a。

4. 开口方向：二次函数的开口方向由a的符号所决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

5. 最值：若二次函数的开口方向向上，则该二次函数存在最小值；若二次函数的开口方向向下，则该二次函数存在最大值。

二、二次函数的性质1. 零点：二次函数y=ax²+bx+c的零点，即方程ax²+bx+c=0的解。

2. 应用：二次函数的图像特征常用于解决实际问题，如计算机、物理、化学等领域。

三、二次函数与一次函数的关系1. 一次函数即二次函数的特例：当a=0时，二次函数就变成了一次函数。

2. 交点：二次函数与一次函数可能有1个、2个或无交点。

若两个函数有交点，则这些交点即为方程组的解。

四、解二次方程1. 根的个数：一元二次方程ax²+bx+c=0的根的个数与二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点个数一样（考虑重根）。

2. 用公式解方程：一元二次方程的根可以用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解。

五、平方完成与配方法1. 平方完成：将一元二次方程变形为一个平方前项和一个常数的和可以极大地简化求解过程。

2. 配方法：适用于解决一元二次方程中某些特殊情况下的解法。

六、二次函数的应用1. 最优化问题：通过对二次函数的相关知识的应用，可以解决最优化问题，求得最值点，并求出最优解。

二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点y = ax2当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。

当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小。

（0，0）x=0（0，0）y = ax2+ k（0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2）y=a(x+h)2+k（- h，k）x = - h(0，ah2+ k)y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , )2a4a b x=-2a（0，c）2.抛物线的平移法则：（1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。

当k 0时向上平移；当k0时向下平移。

（2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。

当h0时向左平移；当h0时向右平移。

（3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。

当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。

3.二次函数的最值公式：形如y =ax + bx + c的二次函数。

当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac-b2y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a；4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。

6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。

（2）自变量的取值范围不是一切实数：b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。

二次函数图象及性质知识总结二次函数图象及性质知识总结二次函数图象及性质知识总结二次函数概念b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

一般地，形如yax2bxc （a，定义域是全体实数，图像是抛物线解析式图像的性质a0开口a0开口bc 为0时yax2向上．向下y轴b为0时yax2c向上向下y轴bc不为0时yax2bxc 向上向下对称轴顶点坐标a0时yxb2a00，c0，b4acb2，2a4a有最小值a0时yX=0.时y最小值等于0X=0,时Y最小值等于c4acb2b当x时。

y有最小值．2a4a有最大值a0时开口向上a0时开口向下X=0.时X=0,时4acb2b当x时，y有最大值．y 最大值等于0Y最大值等于c2a4ax0时，y随x的增大而增大；x0时，b当x时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而减小；y有最小值0．2a当xx0时，y随x的增大而减小；x0时，b时，y随x的增大而增大2ab时，y随x的增大而增大；2ab时，y随x的增大而减小2ay随x的增大而增大；x0时，y有最大值0当x当x图像画法解析式的表示及图像平移利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、顶点、与y轴的交点0，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.与x轴的交点x1，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.1.一般式：yax2bxc2.顶点式：ya(xh)2k3.两根式：ya(xx1)(xx2)k；在原有函数的2.平移⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，2基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”①yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成22yax2bxcm（或yax2bxcm）②yaxbxc 沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成22ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）扩展阅读：二次函数图象知识点总结专题讲解二次函数的图象知识点回顾：1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：1yax2bxc（a、b、c为常数，a≠0）2ya(xh)k（a、②顶点式：h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。

高考数学中的二次函数图像与性质总结二次函数是高中数学中最重要的一章之一，也是高考数学中出现频率最高的知识点之一。

二次函数是关于自变量的二次多项式，其一般式为：$ y=ax^2+bx+c $。

本文将从二次函数的图像以及性质两个方面进行总结。

一、二次函数图像二次函数的图像是一个通常被称为“开口”的抛物线。

其开口的方向、顶点、轴线等均与函数中的系数有关。

1、开口方向：当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。

在解决应用问题时，我们需要根据问题中的实际含义来确定开口方向。

2、顶点：二次函数的图像上有一个最高点或最低点，被称为顶点。

顶点坐标为 $ ( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} ) $ ，其中 $ \Delta =b^2-4ac $ 称作判别式。

当 $ \Delta > 0 $ 时，二次函数有两个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有两个交点，顶点处为最低点或最高点；当 $ \Delta = 0 $ 时，二次函数有一个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有一个交点，顶点处在此时的交点处；当 $ \Delta < 0 $ 时，二次函数无实数根，此时抛物线与 $ x $ 轴没有交点，顶点处为反比例函数的最高点或最低点。

在实际问题中，顶点常常代表着最优解，需要我们加以研究。

3、对称轴：在二次函数的图像中，顶点是对称轴的中心点。

对称轴的方程为 $ x = -\frac{b}{2a} $。

在实际问题中，通过对称轴我们可以更好的分析函数的性质，例如计算函数的最值、判断函数的增减性等。

二、二次函数性质二次函数的性质多种多样，常常被用于实际问题中的优化模型以及图像的分析。

本文将从函数的零点、单调性、极值、函数值域四个方面进行总结。

1、零点：二次函数的零点是指函数图像与 $ x $ 轴相交的点。

我们可以通过化二次函数的标准式、配方法和公式法等多种方法求得函数的零点。

二次函数图像与性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．。

二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

(1)抛物线开口向(1)抛物线开口向(1)抛物线(1)抛物线4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。

②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5. 抛物线与x轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。

②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。

二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）。

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：2.抛物线的平移法则：（1）抛物线k ax +=2y 的图像是由抛物线2y ax =的图像平移k 个单位而得到的。

当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移。

（2）抛物线2)(h x a y +=的图像是由抛物线2y ax =的图像平移h 个单位而得到的。

当0>h 时向左平移；当0<h 时向右平移。

（3）抛物线的k h x a y ++=2)(图像是由抛物线2y ax =的图像上下平移k 个单位，左右平移h 个单位而得到的。

当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移；当0>h 时向左平移；当0<h 时向右平移。

3.二次函数的最值公式：形如c bx ax y ++=2的二次函数。

时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值a b ac y 442-=最小值；时当0<a，图像有最高点，函数有最大值，a b ac y 442-=最大值；4.抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标是（0，c ）5.抛物线的开口大小是由a 决定的，a 越大开口越小。

6.二次函数c bx ax y ++=2的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。

（2）自变量的取值范围不是一切实数：自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴abx 2-=,把他与取值范围相比较，再进行求最值。

6.二次函数与一元二次方程的关系：(1)抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标的横坐标方程02=++c bx ax 的两根。

(2)抛物线与x 轴的交点个数是由ac b 42-=∆决定的：当0>∆时抛物线与x 轴有两个交点；当0=∆抛物线与x 轴有一个交点；当0<∆时抛物线与x 轴没有点。

0≥∆时抛物线与x 轴有交点。

（此定理的逆定理也成立。

）7.二次函数的三种常用形式：（1）一般式：k h x a y ++=2)( （2）顶点式：c bx ax y ++=2（3）两根式：))((21x x x x a y --=8.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。

二次函数知识点总结笔记二次函数是一种在数学中非常重要的函数，它可以描述许多自然界和社会现象。

本文将对二次函数的定义、图像、性质、解析式和应用做一些简单的总结和介绍。

一、二次函数的定义二次函数是指一个以$x$为自变量，$y=ax^2+bx+c$为因变量的函数，其中$a$、$b$和$c$都是实数且$a\ne 0$。

其中，$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，形状与二次项系数$a$的正负有关。

当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。

三、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像具有关于直线$x=-\frac{b}{2a}$的对称性。

也就是说，当$x=-\frac{b}{2a}+t$时，$y$的取值和$x=-\frac{b}{2a}-t$时的取值相等。

2. 零点：二次函数的零点是指方程$ax^2+bx+c=0$的解。

若$ax^2+bx+c=0$有两个不同的实数根$x_1$和$x_2$，则二次函数的图像在$x=x_1$和$x=x_2$处与$x$轴相交；若方程$ax^2+bx+c=0$只有一个实数根$x_0$，则二次函数的图像在$x=x_0$处与$x$轴相切；若方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，则二次函数的图像不与$x$轴相交。

四、二次函数的解析式二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

二次函数的解析式常常使用最简式$y=a(x-\alpha)^2+\beta$来表示，其中$\alpha=-\frac{b}{2a}$为抛物线的对称轴上的点横坐标，$\beta$为抛物线与$y$轴的交点纵坐标。

五、二次函数的应用二次函数在几何学、物理学、经济学等各个领域都有广泛的应用。

其中，一些具有代表性的应用如下：1. 飞行物体的轨迹：在物理学中，二次函数可以用来描述飞行物体的轨迹。

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。

书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
初三下册数学《二次函数的图象和性质》知识点总结
及时对知识点进行总结，整理，有效应对考试不发愁，下文由初中频道为大家带来了二次函数的图象和性质知识点总结，欢迎大家参考阅读。

二次函数图像的性质：1.二次函数(a&ne;0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点是原点(0,0)。

(1)二次函数图像怎幺画?作法：①列表：一般取5 个或7 个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y 轴的两侧各取2 个或3 个点，注意对称取点;
②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。

(2)二次函数与的图像和性质：
2.二次函数(a，k 是常数，a&ne;0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，k)，它与的图像形状相同，只是位置不同。

函数的图像是由抛物线向上(或下)平移|k|个单位得到的。

当a 大于0 时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(x 小于0 时)，曲线自左向右下降，函数y 随x 的增大而减小;在对称轴的右边(x 大于0 时)，曲线
自左向右上升，函数y 随x 的增大而增大。

顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y 取得最小值，即当x=0 时，y 最小值=k。

当a 小于0 时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(x 小于0 时)，曲线自左向右上升，函数y 随x 的增大而增大;在对称轴的右边(x 大于0 时)，曲线
自左向右下降，函数y 随x 的增大而减小。

顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y 取得最大值，即当x=0 时，y 最大值=k。

今天的努力是为了明天的幸福。

适用标准文档二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax 2的性质：a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质0，0 x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值0．x 的增大而减小；a0，0 x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下 y 轴x0时，y 有最大值0．x 的增大而增大；的绝对值越大，抛物线的张口越小。

yax 2c 的性质：上加下减。

a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a0，c x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值c ．x 的增大而减小；a 00，c x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下y 轴x0时，y 有最大值c ．x 的增大而增大；3.yax 2h 的性质：左加右减。

a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a 0 向上 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而增大； xh 时，y随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值0．a 0 向下 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小； xh 时，y随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值0．4.yax 2hk 的性质：a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴性质a0h，k xh时，y随x的增大而增大；xh时，y向上X=hx h时，y有最小值k．随x的增大而减小；a0h，k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y向下X=hx h时，y有最大值k．随x的增大而增大；文案大全适用标准文档二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线分析式转变为极点式yaxh 2h ，k ；k ，确立其极点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0) 【或左(h<0) 】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴y ax 2 bx c 沿y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变为yax 2 bx c m （或y ax 2 bx cm ）⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2 bx c 变为ya(x m)2 b(x m) c （或y a(x m)2 b(x m) c ）三、二次函数yax h 2k 与y2bx c 的比较ax从分析式上看， y a x 2k 与y ax 2 bxc 是两种不一样的表达形式，后者经过配hb 24ac b 2b，k4ac b 2方能够获得前者，即y a x，此中h ．2a4a2a4a四、二次函数yax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为极点式y a(x h)2k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c 、以及 0，c 对于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x 1，0 ，x 2，0（若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与 x 轴的交点，与y 轴的交点.文案大全五、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．2a2a4a当x b时，y随x的增大而减小；当x b时，y随x的增大而增大；当x b 2a2a2a 2时，y有最小值4acb．4a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．当2a2a4ax b时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当x b时，y 2a2a2a 2有最大值4ac b．4a六、二次函数分析式的表示方法1.一般式：y ax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：y a(x h)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：y a(x x1)(x x2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0．⑴当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；⑵当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大．总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定张口方向，a的大小决定张口的大小．一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右边．2a文案大全⑵在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左边．2a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点．ab的符号的判断：对称轴xb0，在y轴左边则ab0，在y轴的右边则ab2a归纳的说就是“左同右异”总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点．总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称y ax2bx c对于x轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2yax h2 k对于x轴对称后，获得的分析式是k；对于y轴对称y ax2bx c对于y轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2y ax h2 k对于y轴对称后，获得的分析式是k；文案大全适用标准文档对于原点对称y ax2bx c对于原点对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y ax h 2y a x h2k；k对于原点对称后，获得的分析式是4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）y ax2bx c对于极点对称后，获得的分析式是y ax2bx c b2；2ay ax h 2y a x h2k．k对于极点对称后，获得的分析式是5.对于点m，n对称y ax h 2y a x h22nk k对于点m，n对称后，获得的分析式是2m依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必定不会发生变化，所以a永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依照题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及张口方向，而后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参照：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x2y=2x2y=2(x-4)2x2十y=2y=2(x-4)2-3一、y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y=-2x2文案大全适用标准文档【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y1x24x6的图象1x221(x2【解】y4x68x12)22 1[(x24)2-4]1(x24)2-222以x4为中间值，取x的一些值，列表以下：x-7-6-5-4-3-2-1y 53-2352222【例2】求作函数y x24x3的图象。