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解析函数展开成幂级数的方法分析毕业论文

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- - . - - 考试资料. 解析函数展开成幂级数的方法分析 姓 名： 媛媛 学 号： 1 专 业： 物理教育 指导教师： 莉莉 - - .

- - 考试资料. 解析函数展开成幂级数的方法分析

某某大学物理与电气信息工程学院 摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。 关键词： 解析函数，幂级数，展开，奇点等。

一 前 言

解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。 关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD* ，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓 。解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（ f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出 - - . - - 考试资料. 将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析函数的环路积分为0；复连通域内，解析函数的广义环路积分（即包括内外边界，内边界取顺时针为正）为0。[1] 由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。 幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种。 解析函数的相关问题与幂级数的相关问题已被研究很久，上述就是研究成果的很小很小的一部分，但在这里我们只讨论解析函数展开成幂级数的方法与分析。 二 幂级数的解析性

定理：幂级数0)(nn

nazc的和函数，f（z）是收敛圆内的一个解析函数，且

其各阶导数为：()()(1)(1)()pnpnnpfzcnnnpza，其中，p为自然数， - - . - - 考试资料. ()()(0,1,2,)!ppfa

cpp。

三 解析函数的泰勒展开 通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值。 泰勒(Taylor)展开定理：设f（z）在区域D：0||zzR内解析，则在D内f

（z）可展为泰勒级数：000()(), (||)nnnfzazzzzR，其中，()010()1() (0,1,2,)2i()!nnnCfzfdanzn



。且展式是唯一的。特别地，当

00z时，级数()0(0)!nn

nfzn称为麦克劳林级数。

泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出代入即可，这种方法称为直接展开法。[2]当f（z）较复杂时，求()0()n

fz比较麻烦。根据泰勒展式的唯一性，

因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：

20111, !2!!nznnzezzzznn

1212240(1)11(1)cos1, (2)!2!4!(2)!nnnnnzzzzzznn





2121350(1)11(1)sin, (21)!3!5!(21)!nnnnnzzzzzzznn







2011, 11nnnzzzzzz

 - - . - - 考试资料. 例：将函数()1zfzz，在|1|2z内展开成幂级数。 解：1()111zfzzz 11(1)2z



0111111(1)122212nnnzz





10(1)1(1), (12)2nnnnzz



还有在直接利用基本展开公式时，还可以利用替换法求得，例如：将函数31()zfzz，以z=-1为中心展开为幂级数。

解：令1z，即3312(1)zz，利用0(1)mmkkkzaz得到，

330(1)()kkka

，所以31()zfzz302()kkka。

四 零点的孤立性及唯一性定理 定义：如果f（z）在a点及其邻域内解析，f（a）=0，则称z=a为f（z）的零点。设f（z）在z=a点及其邻域内解析，则当｜z-a︱充分小时，f（z）=0nnnaza,故若z=a为零点，则必有0110maaa,0ma。此时，称z=a点为f（z）

的m阶零点，相应地10mfafafa,

0mfa

mfzzaz,其z中在a的邻域内解析且不等于零。

解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性。 解析函数的零点孤立性定理：若f（z）不恒等于零，且在0||zzR内解析，

z=a为零点，则必能找到z=a的一个邻域，使f（z）在此邻域内无其他零点。[3] - - . - - 考试资料. 五 解析函数的洛朗展开 一个函数除了可在解析点作泰勒展开外，有时还需要将它在奇点附近展开成幂级数，这时就得用洛朗展开。 洛朗定理：设f（z）在以b为圆心的环形区域12||RzbR上单值解析，则

对于环域内的任何z点，f（z）可以用幂级数展开为nnnfzazb，

12||RzbR，其中，



112nnCfadib



，C是环域内绕内圆一周的任意一

条闭合曲线。 洛朗的展开条件也可以放宽为f（z）在区域12||RzbR内单值解析。[4] 六 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展开 奇点：f（z）在0z不解析，但在0z的任一邻域内总有f（z）的解析点，则0z

称为f（z）的奇点。 孤立奇点：如果f（z）在点a的某一去心邻域Ka：0＜︱z-a︱＜R内解

析，点a为f（z）的奇点，则称a为f（z）的一个孤立奇点。[5] 定理：如果a为f（z）的一个孤立奇点，则必存在正数R，使得f（z）在a的去心邻域Ka：0＜︱z-a︱＜R内可展成洛朗级数。

例：函数sin1zz，奇点z=1，在其去心邻域01z内进行洛朗展开。 解：1sinsin(1)11zzz 11sin1coscos1sin11zz



22100(1)(1)sin1cos1(2)!(1)(21)!(1)nnnnnnnznz





 - - . - - 考试资料. 23221cos1sin1cos1sin1cos1sin1(1)(1)12!(1)3!(1)(2)!(1)(21)!(1)nnnnzzznznz

七 化成微分方程法

用下面的例子说明这种方法。 例：将函数11()zfze以00z为中心展开成幂级数。

解：21fzfzz，于是，2

10zfzfz

对上逐次求导有， 21230zfzzfz，

23

14520zfzzfzfz，

… 令z=0则，依次可得到：0fe，03fe

，3013fe，…

八 结论 解析函数在不同的形式下，用不同的方法展开成幂级数，每个方法有每个方法的简便之处。所以，在以后遇到解析函数展开成幂级数的问题，首先想想条件，例如，想想泰勒展开定理或洛朗定理的使用条件，在分析适用于哪方法，最后以最简洁的方法解决，而不是盲目地试用各种方法。

参考文献： [1] 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].：清华大学出版社，2004. [2] 王海英. 解析函数中的罗必达法则[J]. 安顺学院学报, 2009,(03) . [3] 梁会. 解析函数的几个等价条件的证明及其应用[J]. 毕节学院学报, 2010,(04) . [4] 潮兰萍. 代数基本定理的八种证明方法[J]. 安徽广播电视大学学报, 2002,(02) . [5] 朱石焕. 复变函数展成幂级数的一种新方法[J]. 安阳师范学院学报, 2000,(02) .

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数学分析中的级数展开

数学分析中的级数展开

数学分析中的级数展开在数学分析中，级数展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。

级数展开在数学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和行为。

本文将介绍级数展开的基本概念、常见的级数展开方法以及一些实际应用。

一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，即将函数表示为一系列项的和。

通常情况下，我们希望将一个函数展开成幂级数的形式，即形如∑an(x-a)n的级数。

其中，an是系数，x是变量，a是展开点。

二、常见的级数展开方法1. 泰勒级数展开泰勒级数展开是最常见的级数展开方法之一。

它将一个函数在某个展开点附近展开成幂级数的形式。

泰勒级数展开的公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2! + f'''(a)(x-a)3/3! + ...2. 麦克劳林级数展开麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，展开点为0。

麦克劳林级数展开的公式为：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x2/2! + f'''(0)x3/3! + ...3. 幂级数展开幂级数展开是将一个函数展开成幂级数的形式，不限于泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。

幂级数展开的公式为：f(x) = ∑an(x-a)n三、级数展开的实际应用级数展开在数学和物理学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 函数逼近级数展开可以将一个复杂的函数逼近为一个简单的级数，从而方便计算和分析。

例如，利用泰勒级数展开可以将一个非线性函数逼近为一个多项式函数，从而简化计算。

2. 解析几何级数展开在解析几何中有重要的应用。

例如，利用幂级数展开可以将一个复杂的曲线或曲面表示为一系列简单的项的和，从而方便研究其性质和行为。

3. 物理学级数展开在物理学中有广泛的应用。

高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开

高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开


sin x x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 x (,) .
3! 5!
(2n 1)!
12
二、 函数的幂级数展开
2.间接展开法
间接展开法, 就是利用已知函数的幂级数展开式, 通过幂级 数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分等）以及变量代换等, 获得所求函数的幂级数展开式.这种方法不但计算简单, 而且可以 避免研究余项.由于函数的幂级数展开式是唯一的, 因此间接法与 直接法展成的幂级数是一致的.
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 )!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、 函数的幂级数展开 例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
称为函数 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数,
特别地, 函数 f (x) 在 x0 0 处的泰勒级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n) (0) xn
第二步 求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步 写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,
函数展开成幂级数

函数展开成幂级数


∴f
(0) = 0, f ( 2 n+1) (0) = ( −1) n , ( n = 0,1,2,⋯)
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) x ξ ( x − x0 )n+1( 在x0与 之 ). 其 Rn( x) = 中 间 (n + 1)!
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
如, 例 , 当x 很 时 e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x 如 小 ,
x
（如下图） 如下图）
y = ex
y = ex
y= x
y = ln(1 + x)
y = 1+ x
n= 0
∞
的泰勒级数, 定理 2 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数, 在U δ ( x0 ) 内收 敛于 f ( x ) ⇔ 在U δ ( x0 ) 内 lim Rn ( x ) = 0 .
n→∞
证明（ 证明（略）
定理 3
设 f (x) 在U ( x0 ) 上有定义,∃M > 0, 对 上有定义, ( n) ∀ x ∈ ( x0 − R, x0 + R),恒有 f ( x) ≤ M
n=0
存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
问题: 如果能展开 如果能展开, 是什么? 问题 1.如果能展开 a n 是什么 2.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一 3.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
11-5函数展开成幂级数

11-5函数展开成幂级数


an
f ( n) (0) n!

n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0

收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0

且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n