函数的幂级数展开

(2)
= x−
(3) f (x) = cos x =
x3 x5 x 2 n +1 + − LL + (−1) n + …, x∈(-∞, + ∞)。 3! 5! (2n + 1)!
(−1) n 2 n x ∑ n = 0 ( 2 n) !
∞
1
= 1−
x2 x4 x 2n + − LL + (−1) n + …, 2! 4! (2n)!
f ( x) = − g ' ( x) = ∑ n( x − 1) n −1 = ∑ (n + 1)( x − 1) n , x ∈ (0, 2).
n =1 n =0 ∞ ∞
例 5
解
求 f (x)= arcsin x 在 x = 0 的幂级数展开。 1 利用(6)式 (α = − ) ，可知当 x ∈ (-1,1)时， 2 1 ∞ − ⎛− 1 1 2 n 2⎞ ⎟ = (1 − x 2 ) 2 = ∑ ⎜ ⎜ ⎟( − x ) 2 n n =0 ⎝ 1− x ⎠ =1+
n=0 n =0 ∞ ∞
收敛半径为R2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积：
3
f (x)g(x) = ( ∑ a n x n )( ∑ bn x n ) =
n=0 n =0
∞
∞
∑c
n =0
∞
n
xn ,
其中cn =
∑a b
k =0 k
n
n−k
,
∑c
n =0
∞
n
。 x n 的收敛半径 R ≥ min｛R1，R2｝ f ( x) 的幂级数展开：设 g ( x)
∞
x∈(-∞, + ∞)。
(−1) n −1 2 n −1 x (4) f (x) = arctan x = ∑ n =1 2n − 1
x3 x5 x 2 n +1 + − LL + (−1) n + …, 3 5 2n + 1 ∞ (−1) n +1 n x f (x) = ln (1 + x) = ∑ n n =1 = x− = x− x∈[-1, 1]。
n
当b0 ≠ 0 时，我们可以通过待定系数法求 f ( x) = g ( x) 则
∞ ∞ ∞
∑c
n =0
xn ,
∞
( ∑ bn x n ) ( ∑ c n x n )=
n =0 n =0
∑a
n=0
n
xn ,
分离 x 的各次幂的系数，可依次得到 b0 c0 = a0 b0 c1 + b1 c0 = a1 b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2 ⇒
(2n − 1)!! 2 n 1 2 3 x + …， x + x4 + … + (2n)!! 2 8 对等式两边从 0 到 x 积分，利用幂级数的逐项可积性与 x dt ∫0 1 − t 2 = arcsin x， 即得到 ∞ (2n − 1)!! x 2 n +1 arcsin x = x + ∑ ， x∈[-1, 1]。 n =1 ( 2n)!! 2n + 1 其中关于幂级数在区间端点 x = ±1 的收敛性，可用 Raabe 判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于π的一个级数表示： ∞ π (2n − 1)!! 1 =1+ ∑ 。 ⋅ 2 (2n)!! 2n + 1 n =0 f ( x) 的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法” 3．对形如 f ( x) g ( x) ， 。 g ( x) 设 f (x) 的幂级数展开为 ∑ a n x n ，收敛半径为R1，g(x) 的幂级数展开为 ∑ bn x n ,
a0 , b0 a −b c ⇒ c1 = 1 1 0 ， b0 a −b c −b c ⇒ c2 = 2 1 1 2 0 ， b0
c0 =
…… 一直继续下去，可求得所有的cn 。 例 6 求ex sin x的幂级数展开( 到x5 )。 x2 x3 x4 x3 x5 x + + + …)( x − 解 e sin x = ( 1 + x + + −L) 2! 3! 4! 3! 5! 1 1 5 = x + x2 + x3 − x + …， 3 30 由于 e x 与 sin x 的收敛半径都是 R = ∞ ， 所以上述幂级数展开对一切 x∈(-∞, + ∞) 都成立。 例 7 求tan x的幂级数展开( 到x5 )。 解 由于 tan x 是奇函数，我们可以令 sin x tan x = = c1 x + c3 x3 + c5 x5 + …， cos x 于是 x2 x4 x3 x5 + −L) = x − + −L， (c1 x + c3 x3 + c5 x5 + …)( 1 − 2! 4! 3! 5! 比较等式两端x, x3与x5 的系数，就可得到 1 2 c1 = 1, c3 = , c5 = , 3 15 因此 1 2 5 x + …。 tan x = x + x3 + 3 15 4． “代入法” 对于例 7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在
设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中任意阶可导，要求它在O(x0, r)中的幂级数 展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法： 1． 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。 1 例 1 求 f ( x) = 在 x = 0 的幂级数展开。 3 + 5x − 2 x 2 解 利用部分分式得到 ⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎞ 1 ⎜ 1 ⎟ ⎟ + 2 ⋅⎛ f ( x) = ⋅ ⎟ ， ⎜ x ⎟ 7 ⎝ 1 + 2x ⎠ 21 ⎜ ⎜1− ⎟ 3⎠ ⎝ 再利用（6）式（ α = −1 ） ，得到 1 ∞ ⎡ 1 1 1 n +1 ⎤ f ( x) = ∑ ⎢ n +1 − (− 2 ) ⎥ x n ， x ∈ (− , ). 7 n =0 ⎣ 3 2 2 ⎦ π 例2 求 f ( x) = sin 3 x 在 x = 的幂级数展开。 6 3 1 3 ⎛π π ⎞ 1 π 解 f ( x) = sin 3 x = sin x − sin 3 x = sin ⎜ + ( x − ) ⎟ − cos 3( x − ) 4 4 4 ⎝6 6 ⎠ 4 6
= 3 3 3 1 π π π sin( x − ) + cos( x − ) − cos 3( x − ) ， 8 6 8 6 4 6
2
利用（2）式与（3）式，即得到 3 3 ∞ (−1) n π 2 n +1 3 ∞ (−1) n π ( ) x − − ∑ (2 ⋅ 3 2 n −1 − 1)( x − ) 2 n , x ∈ (−∞,+∞). ∑ 8 n =0 (2n + 1)! 6 8 n =0 (2n)! 6 x −1 例3 求 f ( x ) = ln x, ( x > 0) 关于变量 的幂级数展开。 x +1 1+ t x −1 解 令t = , 则x = , (0 < t < 1) 。利用（5）式，即得到 1− t x +1 ∞ (−1) n +1 n ∞ 1 n 1+ t t +∑ t ln x = ln = ln(1 + t ) − ln(1 − t ) = ∑ n 1− t n =1 n =1 n ∞ ∞ 1 1 x − 1 2 n +1 = 2∑ ⋅ t 2 n +1 = 2∑ ⋅( ) , x > 0. x +1 n =1 2 n + 1 n =1 2 n + 1 2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 1 例 4 求 f ( x) = 2 在 x = 1 的幂级数展开。 x ∞ 1 1 解 由于 g ( x) = = = ∑ ( x − 1) n ，利用逐项求导，即可得到 x 1 + ( x − 1) n =0 f ( x) =
4
1 = 1− u
2 4
∑u
n=0
∞
n
= 1 + u + u2 + …
x x − + L 代入，可得到 2! 4! x2 x4 x2 x4 1 =1+( − +L) + ( − + L )2 + … 2! 4! 2! 4! cos x 5 x4 + …， = 1 + x2 + 24 1 的 Cauchy 乘积，同样得到上述关于 tan x 的幂级数展开。 然后求 sin x 与 cos x 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x = x 0 的小邻域中，幂级数展开是成立 π π 的（事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (- , )，它的证明需要用到复 2 2 变函数的知识） 。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x)，ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展 开问题。 例 8 求 f ( x) = e sin x 在 x = 0 的幂级数展开( 到x4 ) 中，以 u = 解 以 u = sin x = ∑
(5)
x2 x3 x4 xn + − + LL + (−1) n −1 + …, x∈(-1, 1]。 2 3 4 n (6) f ( x ) = (1 + x )α ，α≠0 是任意实数。 当 α 是正整数 m 时， m(m − 1) 2 f (x) = (1 + x)m = 1 + mx + x + … + mx m −1 + xm ，x∈(-∞, +∞) 2 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当 α 不为 0 和正整数时， ⎧ x ∈ (−1,1), 当α ≤ −1, ∞ ⎛α⎞ n ⎪ α (1 + x) = ∑ ⎜ ⎨ x ∈ (−1,1], 当 − 1 < α < 0, ⎜n⎟ ⎟x , n =0 ⎝ ⎠ ⎪ x ∈ [−1,1], 当α > 0. ⎩ α ⎛ ⎞ α(α − 1) LL (α − n + 1) ⎛α ⎞ ⎜ ⎟ , ( n = 1,2, … ) 和 其中 ⎜ = ⎜n⎟ ⎜0⎟ ⎟ = 1。 n! ⎝ ⎠ ⎝ ⎠