高三数学双曲线的定义及标准方程

m -1 2-m
范围是( D )
(A)m＞2 (C)-1＜m＜2
(B)m＜1或m＞2 (D)-1＜m＜1或m＞2
2．若椭圆
x2 a2
y2 b2
1a b 0 的离心率为
3，则双曲线
2
x2 a2

y2 b2
1的离心率是(
Ｂ)
(A) 5
4
(B) 5
2
(C) 3
2
(D) 5
4
3.已知圆C过双曲线 x2 y2 1 的一个顶点和一个焦点，
y2 a2

x2 b2
1
分别表示中心在原点、焦点在x轴、y轴上的双曲线
3．双曲线的几何性质：以
x2 a2

y2 b2
1
(a、b＞0)表示
的双曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-
a，或x≥a(2)关于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶
点是(±a,0)(4)离心率 e

c a
∈(1,+∞).
1.双曲线的定义
(1)双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距
离差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲
(2)双曲线的第二定义：平面内到一个定点F的距离和 到一条定直线l的距离比是常数e(e＞1)的点的轨迹叫做
2．双曲线标准方程的两种形式
X 2
Y2
a2
b2
1
(a、b＞0)
9 16
16
且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__3_
下焦半径为|PF1|=|ey0+a|，上焦半径为
|PF2|=|ey0-a|
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3.1双曲线及其标准方程1.双曲线的第一定义数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F1和F2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。

两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。

两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。

c^2=a^2+b^2 (a=半长轴，b=半短轴）2.双曲线的第二定义(1)文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。

定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率。

(2)集合语言定义:设 双曲线上有一动点M,定点F,点M 到定直线距离为d,这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.注意:定点F 要在定直线外 且 比值大于1.(3)标准方程设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M 到定直线l:x=a^2/c 的距离为d, 则由 |MF|/d=e>1.推导出的双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.这是中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线标准方程.而中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线标准方程为:1． 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹． 分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？【解析】以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得： 121==-BC AC AB ∵2=BC ∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分2． 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切． （3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．【解析】设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．3． 在周长为48的直角三角形MPN中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程． 分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．【解析】∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ． 由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．。

F2(-c,0)
F1(c,0)
5
注：设两焦点之间的距离
为2c(c>0),
即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
-5Βιβλιοθήκη 5二、根据双曲线的定义找出P点满足的几
P(x,y)
何条件。
-5
F2(-c,0)
| PF2 | | PF1| 2a
F1(c,0)
5
注：P点到两焦点的距 离之差用2a(a>0)表示。
1
-5
5
F2(0,-c)
C2=a2+b2
-5
双曲线的标准方程
x2 a2

y2 b2
1
y2 a2

x2 b2
1
C2=a2+b2
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
PF1 PF 2 2a
；试管婴儿 试管婴儿
；
做柴薪；而树木葱郁茂盛的林子里，树木却能做栋梁。同样是树木，为何林木密集、生存资源有限的地方，却长得好？原因在于它们生存的环境和这种环境下树木为了生存而必须保持的抢占生存优势的积极状态。 树木如此，人类社会又何尝不是如此？在对手如林的竞争社会里，要想生 存发展，就必须敢于向强大的对手叫阵，敢于在挑战和竞争中完善自我。“到中流击水，浪遏飞舟”，“万类霜天竞自由”，在激烈的竞争中求生存、求发展。 作文题三十九 阅读下面的材料，根据要求作文。 有一个读了万卷书，又准备行万里路的青年问一个智者：我该带些什么上 路？智者没有言语，而是拿起了一个空杯子，往里边倒水，直到水溢了，他仍不停地往里倒。这时，青年连忙提醒智者：已经满了。智者这才罢手，然后递给青年一些空杯子，让他带着上路。青年诧异地问为什么。智者说：“一个人的一生，就是一次旅行，而旅行的过程，就是汲取各种养分、 滋养我们生命的过程。如果我们带太多的东西上路，就像那个装满水的杯子，再也容不得半点水进入，这将是人生最大的悲哀。”青年听了，若有所悟。他没有带太多的东西，而是满怀信心地上路了。 看了这个故事，你有什么感悟？请以“空与实”为话题，写一篇800字左右的文章。题 目自拟，立意自定，文体自选。 [写作提示]一个已经装满了水的杯子是难以再装别的东西了，人心也是如此。人和人生来并没有多大差别，可是为什么有的人功成名就，有的人却一事无成呢？主要在于，前者总是“留一些空杯子”虚心接纳，而后者却自我满足，自以为是，最终固步自 封，自己淘汰了自己。人生如旅行，每一个即将上路的青年，一定要牢记，不论什么时候，都要给自己留一些“空杯子”，虚心求教，学无止境。只有这样，才能不断汲取各种有益身心的营养，并在它们的滋养下最终成为栋梁之才。 一个人如此，一个企业、一个国家又何尝不是这样呢？ 构思可结合自己，由小到大，逐一展开。 ? 作文题四十 阅读下面的材料，根据要求作文。 三个旅行者早上一同外出，一个人拿了根拐杖，一个人拿了把雨伞，第三个人什么也没拿。晚上回来时，拿雨伞的浑身是水，拿拐杖的浑身是伤，而什么也没拿的却安然无恙。于是前两个旅行者 问第三个旅行者为什么会这样。第三个旅行者回答说：“当大雨来临时，我躲着走；当路不好走时，我小心地走。所以我既没淋湿，也没跌伤。你们这样是由于你们过于依仗自己的优势。” 许多时候，我们不是跌倒在自己的劣势上，而是跌倒在自己的优势上。你同意这种观点吗？请以 “优势”为话题，写一篇800字左右的文章。题目自拟，立意自定，文体自选。 [写作提示]所谓优势是指自己在某一方面的特长和强项。每个人都有自己的优势和劣势，关键在于你如何对待。如果一个人善于扬长避短，学他人之长，补自身之短，则不仅可以使优势更优，而且可以化劣为 优，变短为长，勇往直前，立于不败之地；反之，如果以优势自居，看不到自己的短处，躺在优势上睡大觉，不能完善和充实自己，那么优势也就会变成劣势。由此，我们可以得出下列结论：每个人都有自己的优势和劣势，要善于扬长避短；没有永远不变的优势，也没有永远不变的劣势，优 势和劣势可以互相转化。 ? 作文题四十一 ? 阅读下面的材料，根据要求作文。 在2004年雅典奥运会男子10米气手枪决赛中，一路领先的俄罗斯名将内斯特鲁夫最后一枪被王义夫反超，痛失金牌。他没有我们想象中的痛苦甚至是泪流满面，而是大度地张开双臂与王义夫拥抱，表示祝贺。 感谢内斯特鲁夫，他让我们明白了奥运会除了金牌外，还有另外的重要含义——快乐、自然，努力了，就没有什么好遗憾的！ 这就是奥运会——竞争也可充满快乐。我们要感谢对手，他们教会了我们许多。 请以“感谢对手”为话题，写一篇不少于800字的文章，文题自拟，体裁不 限。 [写作提示]我们要感谢的何止内斯特鲁夫呢？你在学习和生活上有对手吗？你的对手让你明白些什么呢？感谢他吧！正是由于他的存在，你才可能成长得更快，生活得更积极。否则，就可能像草原上的羚羊一样，没有了狼的追逐，反而濒临灭绝。 作文题四十二 ? 阅读下面的材料， 根据要求作文。 巴豆，药性最能泻，但只要用量适度，非但不会引起腹泻，反倒能治好腹泻，剂量大了才会引起严重腹泻。 由此，你会得到哪些启示？请以“度”为话题，写一篇作文。题目自拟，立意自定，文体自选，不少于800字。 [写作提示]这是一个富有哲理性的话题， 可以从以下几点思考。①有人说，真理再向前跨出一步，便会走向谬误。在科学研究中，有许多这样的例子。许多事情，都应适当，恰如其分。②对于很多事物，比如，追星热、减肥热、上网热等，有的人盲目狂热，有的人却一概否定，都走了极端。 作文题四十三 认真观察下列，按要求 作文。 ——有感于某些“包装”现象 认真思考这幅漫画的寓意，联系生活实际，以“包装”为话题，写一篇不少于800字的作文，立意自定，题目自拟，文体不限。 [写作提示]从左图到右图说明了“包装”的后果——蜡烛原来可以发光，“包装”之后却熄灭了。联系现实生活， 说明包装是为了使产品美观，吸引消费者乐于购买，收到外观与内质相得益彰的效果。而今有些“包装”，诸如歌星矫揉造作，打扮过分；商品包装花样翻新；房屋装修华而不实。凡此种种，其效果适得其反，追求形式而损害了内容。要结合画面寓意予以剖析。 作文题四十四 阅读下面的 材料，根据要求作文。 两只蚂蚁想翻越一段墙，寻找墙那边的食物。这段墙长有20米，高有10米。其中一只蚂蚁来到墙脚就毫不犹豫地向上爬去，可每爬到大半时，就会因劳累跌落下来。可是它不气馁，它相信只要付出就会有回报。一次次跌下来，它都迅速地调整一下自己，重新开始 向上爬。 而另一只蚂蚁观察一下，决定绕过这段墙。很快地，这只蚂蚁绕过这段墙来到食物面前，开始享用起来；而那只“勇敢”“坚定”的蚂蚁还在不停地跌落下去，又重新开始。 很多时候，我们赞扬那些做事情锲而不舍的人，但是往往忽视方向的选择与方法的运用。实际上， 成功需要坚持，也需要方向、机遇、方法。请以“坚持与选择”为话题写一篇不少于800字的文章。立意自定，文体自拟。 [写作提示]从语法角度看“坚持与选择”是一个并列关系的短语。应着眼于两者之间的关系，不可只写一个方面，应有所侧重。在现实生活中，我们往住重视前者， 而忽视后者。实际上，大到国家、集体，小到个人，都有一个如何处理二者关系的问题，有时候盲目的“坚持”就是一种固步自封、因循守旧；而正确地选择，就能走出低谷，柳暗花明，走向成功。 ? 作文题四十五 阅读下面的材料，根据要求作文。 先哲主张“无我”，那是针对尘世 人们过于“有我”而说的。人们看“我”太认真，所以有种种烦恼。古人说：不复知有我，安知物为贵？知身不是我，烦恼更何侵？现实生活中，符合实际的做法是：给自己合理定位，把自己牢牢镶嵌在各种规矩的坐标中，不生过分的欲望，不生无谓的烦恼。“有我”是一种自知，人贵有自

双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的 ， 两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．2.双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．焦点在y 轴，标准方程是 。

思考：由双曲线的标准方程如何判定焦点的位置以及22,b a3. 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 ．例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．例3：双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．1练习：1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.3．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．4．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．5.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，a =，经过点(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．双曲线的简单几何性质1.（1）双曲线22221x y a b-=的几何性质范围：x ： y ： 。