数学归纳法的应用举例
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数 学归纳法 的应 用举例
３ ３ ０ ０ １ ３ 江 西科技 师 范 大学 江 西 南 昌 刘 兴 【 摘 要】 数学归纳法作 为由特殊概括 出一般 的一种 思维方 法，
具 有 推 理 、研 究 两种 基 本 意 义 。本 文 主要 给 出了数 学 归纳 法在 各 种 数
学问题 中的应用举例 ， 旨在利 用归纳法发现 和提 出数 学猜想 ，发现问 题 的 结 论 ，找 到 解 题 途 径 。 【 关键词 】 数学归纳法；完全归纳法；应用举例
．
旦
２ ． ３在 函 数迭 代 中的 应 用
些比较简单 的函数 ，它的 ｎ 次迭代表达式 ，可 以根据定义直接 代人计算 ，归纳 出一般规律后 ，再用数学归纳法予 以证 明。所以 ，直 接求法的本质，就是数学归纳法。其 中，关键是通过不完全归纳法 ， 找出 ｆ ｘ ） 的一般表达式 。 ３ ：ｆ Ｉ ｘ ） ： ，求 （ ｘ ） ． 解 由定 义 ， ＝ ，
２ ＋ — ｎ （ ｎ － １ ） （ ２ ｎ －１ ） ＋
—
＋
一
１ ： ！ ！ ！ ２ １ １ ： 二 ！ ± ２
６
１ ２
４
命题证明完毕 ． 归纳法是从个别的论断归结出一般结论 的推理方法 ，一般性结论 ２ ． ５ 在 排 列 、组合 中 的应 用 的正确性依赖于各个个别论断的正确性 ，它可以分为完全 归纳法 和不 由于 数 学 归 纳 法 可 以解 决 有 关 自然 数 的 问题 ，而 排 列 组 合与 自然 完全归纳法两种 ，数学归纳法属于完全归纳法。数学归纳法是一种特 殊 的论证方法 ，是解决有关 整数 问题 的一种工具 ，它使我们 能够在一 数 密切相关 ，所 以，在排列组合的许多结论 ，都可 以用数学归纳法来 些个别实例的基础上 ，对某个普遍规律做出论断。虽然说数学归纳法 证 明。 比如排列数公式 、组合数公式 、自然数 ｒ ｔ 的阶乘公式 ，二项式 定理等重要公式 ，都能用数学归纳法加以证明。 适用于有关整数的问题 ，但是它在很多数学问题 中都有重大 的作用 ， 例５ ：证 明 ｎ个 元 素 的全 排 列 的种 数 可 以按 下列 公 式求 得 ： 很多不等式问题、几何 问题 、函数迭代问题 、整除性 问题用它来解决 ＝ １・ ２・ ３・ …・ ｎ ＝ ｎ ！（ ｎ是 自然数 ）． 都能收到很好的效果。 证明 １ ． 对于ｎ ＝ ｌ ，上式 显 然 是 正确 的 ，Ｐ ． ＝ １ ＝ １ １ ． ２数学 归纳法 的应 用举例 ２ ． 假设 ｎ ＝ ｋ时成 立 ，即 Ｐ ｋ ＝ ｋ ！ ． ２ ． １证明有 关 自然数的等式 当ｎ ＝ ｋ ＋ １ 时， 加入第 ｋ ＋ １ 个元素 ， 则第 ｋ ＋ １ 个元素的放法有 ｋ ＋ １ 种， 例 １ ：证明前 ｎ个 自然数的立方 和＆（ ） ： ！ ２ ＝． ４ 由分步计数原理可得 ：ｋ ＋ １ 个元素的全排列数 １ ２ 上 ，２
证明１ ． ｓ（ １ ） １
．
２ ． 假设与（ ） ：
，
贝 Ｕ （ 一 ＋ １ ） ： ！ ． ！ ： ！ ＋ （ 一 ＋ １ ） ： ！ ； ．
命题证明完毕 ． ２ ． ２ 证 明有关 自然数 的不等式 例２ ：（ 贝 奴 利 不 等 式 ）用 数 学 归 纳 法证 明 ：（ １ ＋ ａ ） “ ＞ ｌ ＋ ｎ ０ ，这 里 ａ ＞ 一 １且不等于 ０ ，ｆ ｌ 是大于 １的 自然数 ． 证明 １ ． 对于 ｎ ＝ ２ ，因 ａ ＞ ０ ，故不等式正确 ． ２ ． 假设不等式对于 ｎ ＝ ｋ成立 ，ｋ∈Ｎ，即 （ １ ＋ ｄ ） ＞ ｌ ＋ ｋ Ｏ ． 当 ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ时，（ １ ＋ ａ ０ ， 从 而 有（ １ ＋ ａ ） （ １ ＋ ｋ ａ ） （ １ ＋ ｄ ） ， 则 （ １ ＋ ａ ） ＞ １ ＋ （ ｋ ＋ １ ） ａ ＋ ｋ ａ ，将不等式右边舍去正项 ｋ ｄ ，可知所求证 不等式成
立．
（ ＋１ ） ＝ｋ！ （ 七＋１ ） ＝（ ＋１ ） ！ ． 从而 ，当 ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ 时上式也成立．命题证明完毕． ２ ． ６ 在 数 列 中的应 用 数列是 中学数学的一个重要 内容 ，其中等差数列 、等比数列尤为 重要 ，它与高中数学中的很 多知识都有联系，作为解决整数问题 的数 学归纳法 ，同样可以用来解决一些有关数列的知识 。如等差数列、等 比数 列 的通 项 公 式 以及 前 ｎ 项 和 公 式 的证 明都 需 要 用数 学 归 纳法 。
１引言
将 这 些 等 式相 加 ， 得：＋ 兰 二 手 蔓’ （ ２ ） ： （ １ ） ＋ 三 ’
‘
＿２ ） ＋－ － １ ＋ ＿Ｉ ） ＿２ 】 ＋． － ＋ １ ］ ＋ １ 】
：
一
因此 ，对一切 自然数 ｎ的值 ，前 ｎ项和公式都是成立的． ２ ． ７有 关 整 除 的 问题 例７ ：求 证 ： 对 于 整 数 ｆ ｌ≥ ０下 面 的 式 子 能 被 １ ３ ３整 除 ：
１ ｌ ｎ ＋ ２ ＋１ ２ “
．
证明 １ ． 当ｎ ＝ ０时 ，上式等于 １ ３ ３ ，显然能被 １ ３ ３ 整除 ． ２ ． 假设当 ｎ ＝ ｋ时 ，１ ｌ ｋ ＋ ２ ＋ １ ２ 能被 １ ３ ３整 除 ． 当ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ 时，
＝
＋
证 ２ 妻 明 、 １ ． 当 ｎ 等 ＝ ｌ 时 ， 公 式 成 立 ， ， … ｍ ， ． ． 、 ２ Ｓ １ ： ａ ， ．
假设 当 ｎ ＝ ｋ时公 式 正 确 ， 即 ～ ２ ， 当ｎ ： ｋ ＋ １ 时， ＋ 。 ＝ ＋ ＋ 。 ＝ ＋ — ｋ （ ｋ － １ ） ｄ＋ ａ 。 ＋ ＝ （ ＋ １ ） ｑ＋
３ ３ ０ ０ １ ３ 江 西科技 师 范 大学 江 西 南 昌 刘 兴 【 摘 要】 数学归纳法作 为由特殊概括 出一般 的一种 思维方 法，
具 有 推 理 、研 究 两种 基 本 意 义 。本 文 主要 给 出了数 学 归纳 法在 各 种 数
学问题 中的应用举例 ， 旨在利 用归纳法发现 和提 出数 学猜想 ，发现问 题 的 结 论 ，找 到 解 题 途 径 。 【 关键词 】 数学归纳法；完全归纳法；应用举例
．
旦
２ ． ３在 函 数迭 代 中的 应 用
些比较简单 的函数 ，它的 ｎ 次迭代表达式 ，可 以根据定义直接 代人计算 ，归纳 出一般规律后 ，再用数学归纳法予 以证 明。所以 ，直 接求法的本质，就是数学归纳法。其 中，关键是通过不完全归纳法 ， 找出 ｆ ｘ ） 的一般表达式 。 ３ ：ｆ Ｉ ｘ ） ： ，求 （ ｘ ） ． 解 由定 义 ， ＝ ，
２ ＋ — ｎ （ ｎ － １ ） （ ２ ｎ －１ ） ＋
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１ ： ！ ！ ！ ２ １ １ ： 二 ！ ± ２
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命题证明完毕 ． 归纳法是从个别的论断归结出一般结论 的推理方法 ，一般性结论 ２ ． ５ 在 排 列 、组合 中 的应 用 的正确性依赖于各个个别论断的正确性 ，它可以分为完全 归纳法 和不 由于 数 学 归 纳 法 可 以解 决 有 关 自然 数 的 问题 ，而 排 列 组 合与 自然 完全归纳法两种 ，数学归纳法属于完全归纳法。数学归纳法是一种特 殊 的论证方法 ，是解决有关 整数 问题 的一种工具 ，它使我们 能够在一 数 密切相关 ，所 以，在排列组合的许多结论 ，都可 以用数学归纳法来 些个别实例的基础上 ，对某个普遍规律做出论断。虽然说数学归纳法 证 明。 比如排列数公式 、组合数公式 、自然数 ｒ ｔ 的阶乘公式 ，二项式 定理等重要公式 ，都能用数学归纳法加以证明。 适用于有关整数的问题 ，但是它在很多数学问题 中都有重大 的作用 ， 例５ ：证 明 ｎ个 元 素 的全 排 列 的种 数 可 以按 下列 公 式求 得 ： 很多不等式问题、几何 问题 、函数迭代问题 、整除性 问题用它来解决 ＝ １・ ２・ ３・ …・ ｎ ＝ ｎ ！（ ｎ是 自然数 ）． 都能收到很好的效果。 证明 １ ． 对于ｎ ＝ ｌ ，上式 显 然 是 正确 的 ，Ｐ ． ＝ １ ＝ １ １ ． ２数学 归纳法 的应 用举例 ２ ． 假设 ｎ ＝ ｋ时成 立 ，即 Ｐ ｋ ＝ ｋ ！ ． ２ ． １证明有 关 自然数的等式 当ｎ ＝ ｋ ＋ １ 时， 加入第 ｋ ＋ １ 个元素 ， 则第 ｋ ＋ １ 个元素的放法有 ｋ ＋ １ 种， 例 １ ：证明前 ｎ个 自然数的立方 和＆（ ） ： ！ ２ ＝． ４ 由分步计数原理可得 ：ｋ ＋ １ 个元素的全排列数 １ ２ 上 ，２
证明１ ． ｓ（ １ ） １
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２ ． 假设与（ ） ：
，
贝 Ｕ （ 一 ＋ １ ） ： ！ ． ！ ： ！ ＋ （ 一 ＋ １ ） ： ！ ； ．
命题证明完毕 ． ２ ． ２ 证 明有关 自然数 的不等式 例２ ：（ 贝 奴 利 不 等 式 ）用 数 学 归 纳 法证 明 ：（ １ ＋ ａ ） “ ＞ ｌ ＋ ｎ ０ ，这 里 ａ ＞ 一 １且不等于 ０ ，ｆ ｌ 是大于 １的 自然数 ． 证明 １ ． 对于 ｎ ＝ ２ ，因 ａ ＞ ０ ，故不等式正确 ． ２ ． 假设不等式对于 ｎ ＝ ｋ成立 ，ｋ∈Ｎ，即 （ １ ＋ ｄ ） ＞ ｌ ＋ ｋ Ｏ ． 当 ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ时，（ １ ＋ ａ ０ ， 从 而 有（ １ ＋ ａ ） （ １ ＋ ｋ ａ ） （ １ ＋ ｄ ） ， 则 （ １ ＋ ａ ） ＞ １ ＋ （ ｋ ＋ １ ） ａ ＋ ｋ ａ ，将不等式右边舍去正项 ｋ ｄ ，可知所求证 不等式成
立．
（ ＋１ ） ＝ｋ！ （ 七＋１ ） ＝（ ＋１ ） ！ ． 从而 ，当 ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ 时上式也成立．命题证明完毕． ２ ． ６ 在 数 列 中的应 用 数列是 中学数学的一个重要 内容 ，其中等差数列 、等比数列尤为 重要 ，它与高中数学中的很 多知识都有联系，作为解决整数问题 的数 学归纳法 ，同样可以用来解决一些有关数列的知识 。如等差数列、等 比数 列 的通 项 公 式 以及 前 ｎ 项 和 公 式 的证 明都 需 要 用数 学 归 纳法 。
１引言
将 这 些 等 式相 加 ， 得：＋ 兰 二 手 蔓’ （ ２ ） ： （ １ ） ＋ 三 ’
‘
＿２ ） ＋－ － １ ＋ ＿Ｉ ） ＿２ 】 ＋． － ＋ １ ］ ＋ １ 】
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一
因此 ，对一切 自然数 ｎ的值 ，前 ｎ项和公式都是成立的． ２ ． ７有 关 整 除 的 问题 例７ ：求 证 ： 对 于 整 数 ｆ ｌ≥ ０下 面 的 式 子 能 被 １ ３ ３整 除 ：
１ ｌ ｎ ＋ ２ ＋１ ２ “
．
证明 １ ． 当ｎ ＝ ０时 ，上式等于 １ ３ ３ ，显然能被 １ ３ ３ 整除 ． ２ ． 假设当 ｎ ＝ ｋ时 ，１ ｌ ｋ ＋ ２ ＋ １ ２ 能被 １ ３ ３整 除 ． 当ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ 时，
＝
＋
证 ２ 妻 明 、 １ ． 当 ｎ 等 ＝ ｌ 时 ， 公 式 成 立 ， ， … ｍ ， ． ． 、 ２ Ｓ １ ： ａ ， ．
假设 当 ｎ ＝ ｋ时公 式 正 确 ， 即 ～ ２ ， 当ｎ ： ｋ ＋ １ 时， ＋ 。 ＝ ＋ ＋ 。 ＝ ＋ — ｋ （ ｋ － １ ） ｄ＋ ａ 。 ＋ ＝ （ ＋ １ ） ｑ＋
