Gronwall不等式的证明及有关应用

Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式 设 Ｋ为非负常数， ｔ）和 ｇ（￡）为在区间 ０［≤ ｔ≤ 上的非负连续 函数 ，且满足 不等式
调 不 增 ，故
ｕ（ｔ）·ｅｘｐ［一Ｊ ｇ（ｓ）ｄｓ］≤
（ ）－ｅｘｐ［一ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］＝ （ ）＝
ｋ＋ｆ ）ｇ（ｓ） ＝ｋ，
’
￡）≤ｋ＋Ｉ ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ， ≤￡≤
（ ）， （ ）为在 ≤ ≤ 。＋ｈ上初值问题
Ｊ『 ＝ ” ）
Ｉ （ ）一 （ ）Ｉ≤ｌ （‰）一 （‰）１．ｅｘｐ（Ｌ ｌ 一‰Ｉ）。 例 ２（解 的整体存 在性 ） 设 函数 ，Ｙ）在 区
域 Ｊ Ｘ Ｒ内连续 ，Ｊ＝（０，ｂ）且满足 ｌ ｆ（ｘ，Ｙ）ｆ≤ｐ（ｘ）＋ｑ（ｘ）·ｆ Ｙ Ｉ，
ｘｏ
Ｊ ， （ ）］ Ｉ≤
ｘｏ
ｌ ｌ ， （ ）］一 ， （ ）］Ｉ ≤
Ｊ ｘ０
Ｊ ）
（３）
ｔｙ（ｘ０）＝Ｙｏ
的解在整个 ＇，上存在 。
证 明 由题知初值 问题（３）的解 Ｙ＝ （ ， 。，
）是局部存 在 的，设 垒 （ ， ，Ｙｏ）是初 值 问题
（３）在某一区间 。≤ ≤卢（卢∈Ｊ）上的解 。令 为
（１） 或 （ ）≤ｋ·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］， ≤ｆ≤卢
则有 ｔ）≤ｋ·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］， ≤ ≤卢。
由（１）式知， ￡）≤“（￡）≤南·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］。
证明（方法一） 令ｕ（ｆ）＝ｋ＋ｆ ｓ）ｇ（ｓ） ，
由 （１） 式 知 ｔ） ≤ ｕ（ｔ），在 ≤ ｔ≤ 上 ， ＝ ￡）ｇ（￡），由 ）≤ （ ）及 ｇ（￡）≥ ０知 ，
解 的存在唯一性定理 中的唯一 陛。
由此可知Ｍ（ｔ）·ｅｘｐ［一Ｉ ｇ（ｓ）ｄｓ］在 ≤ ≤卢上单
定理 ｌ［ （存在唯一性 ） 如果＿厂（ ，Ｙ）在矩形
收 稿 日期 ：２０１５—０４ —０３ 作者简介 ：彭 良香 ，女 ，安徽霍山人 ，硕士 ，江苏城乡建设 职业学 院基础部讲师 ，研究方 向为图论与网络优化 。
关 键 词 ：Ｇｒｏｎｗａｌｌ不 等式 ；初 值 问题 ；摄 动 方 程 ；渐 近 性 质
ＤＯＩ：１０．１３７５７／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃｎ３４—１１５０／ｎ．２０１５．０４．０２９
中图分类号 ：Ｏ１７８
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１００７－４２６０（２０１５）０４ —０ｌｌ７一ｏ３
Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式是 常微分方程课程ｎ 中的一 个重要不 等式 ，本文 给 出了两种证 明方 法及 相关应 用 。
（方法二）由 ）≤ ＋Ｊ ｓ）ｇ（ ） 得
Ｌ ≤ｌ
，
ｋ＋ｌ厂（ｓ）ｇ（ｓ）
ｄｕ（ｔ）≤ “（ ）ｇ（ｆ）
。
由 ｇ（￡） ≥ ０可 得 ，——
≤ ｇ（ｆ），则
两边同时乘以ｅｘｐ［一ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］得
ｋ＋Ｉ ｓ）ｇ（ｓ）
ｅｘｐ［一Ｊｆ ｔ ） ≤ｅｘｐ［－ ｔ ） － “∽ ）， ｄ ｌｎ［ ＋ ㈤ ］≤ ），从而有
ｐ（ｘ）在 ０≤ ≤ 上≤卢上有
Ｉ ｌ （ ）一 （ ）ｌ ｄ ，
Ｊ ｘｏ
利用 Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式有
Ｉ （ ）一 （ ）ｌ≤０·ｅｘｐ（Ｊ￡ｄ ）＝０，
ｘ０
即 （ ）＝ （ ），唯一性得证 。 下面通过几个例子来说明 Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式在常
其 中 ｐ（ｘ）、ｑ（ｘ）是 －，内 的连 续 非负 函数 ，试 证 ：对
ｔｙ（ｘ０）＝Ｙｏ
Ｖ（ 。，ｙ０）∈Ｊ Ｘ Ｒ，初值 问题
的解，则有 （ ）毫Ｙｏ＋Ｉ ， （ ）］ ，
Ｊ ｘｏ
Ｏ（ｘ）；Ｙｏ＋Ｊ ， （ ）］ｄ ，
ｘｏ
故 ｌ （ ）一 （ ）ｌ＝Ｉ Ｊ ， （ ）］ｄ 一
· ｌ ｌ８·
安庆师范学院学报 （自然科学版 ）
２０１５证
区域 Ｒ：Ｉ — 。Ｉ≤ｎ，ｌ Ｙ—Ｙｏ ｌ≤ ｂ上连续且关于 ｌ （ ）一０（Ｘｏ）１．ｅｘｐ（Ｊ ）（Ｇｒｏｎｗａｌｌ
Ｙ满足利普希兹条件 ，则方程
孕： ，ｙ）
（ＩＸ
（２） Ｉ （ ０）一 （ ｏ）Ｉ·ｅｘｐ［Ｚ（ｘ— ０）］。 当 ｏ≤ ≤ 。时 ，类似可证
Ｇｒｏｎｗａｌｌ不 等 式 的证 明及 有 关 应 用
彭 良 香
（江苏城乡建设职业学 院 基础部 ，江苏 常州 ２１３１４７）
摘 要：在证 明 Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式的基 础上，应用 Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式来 证明存在唯一性定理 中的唯一性 、解的不等式 、特
殊 的初值 问题 的解的存在性 ，以及有关微分方程及摄 动方程 的解 的渐近性质 。
￣１ ］ｅｘｐ［一 ㈤ ｄｓ］· 州 ｃ）．
ｌｎ［ｋ十ｆ－厂（ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ］≤Ｊ ｇＯ）ｄ￣＋ｃ，
ａ
“
ｄ ｅｘｐ［一ｆ ｇ（ｓ） ］
—
—
～
≤ ０，
即 ｄ
ｅｘｐ［
一
㈤ ］｝≤ｏ
即ｋ＋ｆ＿厂（ｓ）ｇ（ｓ） ≤ｋ·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ ） ］， 。
故厂（ｆ）≤ｋ＋ｆ ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ≤ｋ·ｅｘｐ［Ｊ ｇＯ）ｄｓ］。 。 ａ 下面利用 Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式来证明一阶微分方程
２０１５年 １１月 第 ２１卷第 ４期
安庆 师 范学院 学报 （自然 科 学版 ）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｑｉｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
ＮＯＶ．２０１５ Ｖ０Ｉ．２１ Ｎｏ．４
网 络 出 版 时 间 ：２０１６—１—５ １３：Ｏ１ 网 络 出 版 地址 ：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３４．１１５０．Ｎ．２０１６０１０５．１３０１．０２９．ｈｔｍｌ
）≤
存 在唯一解 Ｙ＝ （ ），定义 于区间 ｆ — 。ｆ≤ ｈ上 ， Ｉ （ ）一 （ ）Ｉ≤Ｉ （％）一 （ 。）Ｉ·ｅｘｐ［Ｌ·（ — 。）］。
连续且满足初始条件 （‰）＝Ｙｏ，其中
故
∈［ａ，ｂ］都有
＝ｍｉｎ（ｎ， ｂ） ＝ ， （
ｌ ，ｙ）Ｉ。
证 明 解 的存 在性 证 明可 见 文 献 ［１］。假 定