关于Gronwall不等式的一个注记_赵云
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第14卷第4期
2011年7月高等数学研究
ST U DIES IN COL L EG E M A T H EM AT ICS Vo l.14,N o.4Jul.,2011
关于Gronw all 不等式的一个注记
赵云
(苏州大学数学科学学院,江苏苏州215006)
收稿日期:2009-10-23;修改日期:2011-05-12.
基金项目:国家自然科学基金(11001191);江苏省高校自然科学基
金(09KJB110007).
作者简介:赵云(1979-),男,江苏溧阳人,博士,副教授,主要从事动
力系统研究.Email:z haoyun @.
摘
要
通过构造辅助函数的方法,给出Gr onwall 不等式的一个新证明,并由此得到一个新不等式,最后利
用G ro nw all 不等式证明一阶微分方程解的唯一性.
关键词 G ro nw all 不等式;唯一性;微分中图分类号 O 175.1;O178,
文献标识码 A
文章编号 1008-1399(2011)04-0017-02
在常微分方程的教学中,Gro nw all 不等式是非常重要的一个不等式,其相关的推广形式也得到众多的研究.关于Gro nw all 不等式的证明有好几种,见文献[1]和[2],其中文献[2]修正了之前一些教材和文献中关于Gronw all 不等式证明的一些疏误之处.本文将给出一个新的证明并得到一个更为有趣的结果.
命题1(Gronw all 不等式) 设K 为非负常数,f (t)和g(t)都是区间[a,b]上的连续非负函数,且满足不等式
f (t)[K +Q
t
a f (s)g(s)d s,
P t I [a,b],(1)
则有
f (t)[K ex p Q t
a g (s)d s
,P t I [a,b].
进一步,我们有
K +
Q t
a
f (s)g(s)d x [K exp
Q t a
g (s)d s
,P t I [a,b].
证明1 命题的后一结论暗含着前一结论,而前一结论正是经典的Gronw all 不等式所包含的内容.现在利用数学分析中证明不等式的常用方法,即构造辅助函数法,来证明后一不等式.
不妨令
F(t)=K +
Q
t
a f (s)g(s)d s -K ex p
Q
t
a
g (s)d s ,t I [a,b].
那么,根据不等式(1),有
F c (t)=f (t)g(t)-K exp
Q
t
a
g(s)d s g (t)=f (t)-K ex p
Q t
a g (s)d s g (t)[K +Q
t
a
f (s)g(s)d s -K ex p Q
t a
g (s)d s g (t)=F(t)g(t).
在上述不等式两边同乘以ex p -Q
t a g (s)d s ,并令
G(t)=F(t)ex p -Q
t a
g (s)d s ,
则可得
G c (t)[0.
由此可见函数G(t)在区间[a,b]上是单调递减的,从而
G(t)[G(a)=0,P t I [a,b].
因此由函数G(t)的定义可知
F(t)[0,P t I [a,b],
从而命题结论得证.
证明2 不妨令
R(t)=
Q
t
a f (s)g(s)d s,那么有
R c (t)=f (t)g(t),
从而根据条件不等式(1)可得
R c (t)-R(t)g(t)=[f (t)-R(t)]g(t)[K g (t).
在上述不等式两边同乘以ex p -Q t
a
g (s)d s
,可得
R c(t)ex p-Q t a g(s)d s-
R(t)g(t)ex p-Q t a g(s)d s[
K g(t)ex p-Q t a g(s)d s.
在上述不等式两边从a到t积分,可得
R(t)ex p-Q t a g(s)d s[
-K ex p-Q t a g(s)d s+K,
所以
R(t)[K exp Q t a g(s)d s-K.
结合条件不等式(1),可得
f(t)[R(t)+K[
K ex p Q t a g(s)d s,P t I[a,b].
命题获证.
注1值得注意的是:上述两种证明方法避免了讨论常数K,函数f(t),g(t)为零时的特殊情形,而关于这种特殊情形的证明正是文献[2]的主要内容.此外,还有一个有趣的结论,即在命题的条件下,我们事实上证明了一个新的不等式
K+Q t a f(s)g(s)d s[
K ex p Q t a g(s)d s,P t I[a,b].
文[3]83给出了一定条件下方程解的存在唯一性定理.现在,我们利用上述Gro nw all不等式,就其中的唯一性给出一种新证明.我们把他写成一个推论的形式.
推论1设f(x,y)在矩形域
R:|x-x0|[a,|y-y0|[b 上连续且关于y满足Lipshitz条件(L为Lipschitz常数),则下述积分方程
y=y0+Q x x0f(N,y)d N(2)在x0[x[x0+h上存在唯一的解,其中
h=min{a,b
M
},
M=m ax{|f(x,y)|:(x,y)I R}.
证明方程(2)解的存在性可参见文[3]82.以下给出唯一性的另一种证明.
假设函数U(x)和W(x)分别是积分方程(2)在区间[x0,x0+h]上的两个解,则
|U(x)-W(x)|[
Q x x0|f(N,U(N))-f(N,W(N))|d N[
Q x x0L|U(N)-W(N)|d N.
分别把|U(x)-W(x)|,L和常数0当作命题中的函数f(x),g(x)和常数K,则由命题我们可得
0[|U(x)-W(x)|[0#exp Q x x0L d s=0
(x0[x[x0+h).
因此
U(x)=W(x)(x0[x[x0+h).
唯一性得证.
参考文献
[1]赵玉萍.G ro nw all不等式的应用及微分方程的奇解[J].
青海师专学报:自然科学版,2002,22(5):20-21..
[2]孙莉.关于G ro nw all不等式证明的注记[J].高等数学研
究,2007,10(1):69-70.
[3]王高雄,周之铭,朱恩铭,等.常微分方程[M].北京:高
等教育出版社,2006:82-84.
A Note on Gronwall Inequality
ZHAO Yun
(Depar tment o f M athematics,Soo cho w U niv ersity,Suzhou215006,P RC)
Abstract:In this note,a new proof of Gronw all inequality is given by constructing an auxiliary function,and a new inequality is obtained.U sing Gronw all inequality,a proof of the uniqueness o f so lutions for first o rder differential equations is pro vided.
Keywords:Gro nw all inequality,uniqueness,difference
18高等数学研究2011年7月。
