不等式及其应用

a b ab
2 2
2
,
即
n a b ai bi . i 1 i 1 i 1
n 2 i n 2 i
2
备注 2：简单的变形一下，柯西不等式可以对于任意的复数都成立。假设 a1 , a2 ,
, an ，
b1 , b2 ,
, bn 是复数，则
bn 0 时取等号。
例证：取 a1 2, a2 3, a3 5, b1 1, b2 0, b3 4 ，那么
a
2 1
2 2 a2 a3 b12 b22 b32 646 324 a1b1 a2b2 a3b3 . 2
备注 1：柯西不等式一个易于记忆的形式为
, an ， b1 , b2 ,
, bn 为实数，那么
2 an b12 b22 2 bn a1b1 a2b2
a
2 1
2 a2
anbn .
2
当且仅当 ai b j a j bi ，即
a1 a2 b1 b2

an 或 b1 =b2 = bn
2
理“对于任意实数 x ，都有 x 2 0 。 ” （这一定理可以由上述三条公理导出，读者可以自行 尝试）出发，因此可以得到 0 a b a 2 b 2a b ，命题得证。
2
因此，我们需要在第一章中学习一些著名的不等式。更确切地说，三个最常用的不等式 分别是均值不等式，柯西不等式以及排序不等式。但是出于对这份资料完备性的考虑，我们 也将介绍一些其它的不等式，它们中的大多数都可以由三个常用的不等式导出。 第一章中介绍的经典不等式在理解上并没有什么问题， 但是运用它们去证明一些其它的 不等式似乎并不是那么的容易。 更确切地说， 有些不等式不能通过简单的运用一个或多个在 第一章中介绍的经典不等式得到求解。因此，我们将要在第二章中介绍一些常用的方法（例 如换元、变形等）使得我们的证明更加的简便（而不是纯粹的运算） 。 不等式并不是独立的，它是数学众多分支中一个非常常用的代数工具。在第三章中，我 们将接触几何不等式，那时候我们将在几何的背景下学习不等式，当然，我们也会介绍一些 经典的几何不等式。并且讨论一些常见的习题。
16 32 。而在（B）中，平均数 =24 是我们最常见的平均数，被称为算术平均数（A.M.） 2
2 1 1 16 32

64 被称为调和平均数（H.M.） 。在（C）中，平均数 16 32 16 2 被称为几 3
何平均数（G.M.） 。 一般的，对于给定的 n 个正数 a1 , a2 ,

2 1 1 16 32

64 km / h. 3
x 8 ，即 x 4 8 4 2 4 x
对于（C） ，为了使得这些数字呈几何增长，我们需要令
，类似的，我们可以得到 y 8 16 8 2, z 16 32 16 2 。 上面三个例子描述了我们将要学习的三种不同的“平均数” 。在（ A ）中，平均数
2
证明： 1° 假设 a, b, c, d 中存在 0 ，那么这个不等式是显然成立的。当且仅当 a b 0 时或者
c d 0 时取等号。
2° 假设 a, b, c, d 均为非零实数，那么 a 2 d 2 以及 b 2 c 2 均为正数。由平均-几何不等式得
a 2 d 2 b2c 2 2
当且仅当 a b b
1 即 a 2, b 1 时取等号。 b a b
即a
1 的最小值为 3 。 b a b
2. 柯西不等式
在正式给出这个不等式的之前，我们先来看这样一个例子。 例 2.1：对于实数 a, b, c, d ，试证明 a c
2

2
b
2
d 2 ab cd 。


4 4 事实上，这个结论对于任意的 n 个正数都是成立的。
定理 1.1 （均值不等式） 设 a1 , a2 ,
a1a2
a1 a2 a1 a2
2
2

a1 a2
2

a1 a2 2
, an 为正实数，那么有 A.M . G.M . H .M . ，即
一、经典不等式
1. 均值不等式
为了使我们的讨论更加生动，我们首先来看下面几个例子。 （A） 某人驱车行驶 2 小时。前一小时行驶了 16 公里，后一小时行驶了 32 公里。请问他 全程的平均速度为多少？ （B） 某人驱车以 16 km / h 从城市 P 赶往城市 Q ，并以 32 km / h 返回。请问他全程 的平均速度为多少？ （C） 在中国传统游戏麻将中，价值（为了不“鼓励”赌博，我们使用“价值”代替“收 益” ）是由点数决定的，通常它是一个呈几何增长的数列。例如 点数 价值 0 4 1 8 2 16 3 32 4 64 5 128 6 256
a d b c =2 abcd 2abcd ,
2 2 2 2
在不等式两边同时加上 a 2b2 c 2 d 2 ，则
a2b2 c2 d 2 a 2d 2 b2c 2 a 2b2 c 2d 2 2abcd ,
即
a
2
b2 c 2 d 2 ab cd .
零、简介
不等式是由一个或多个不等号： , , , 或 来定义的数学命题。我们假设读者熟悉 不等式的基本运算：不等式两边同时加上或减去同一个数，表达式方向不改变；如果同时乘 上或除以一个负数，不等号的方向要改变。例如，如果 x y ，那么 2 x 2 y 。 有关不等式的基本公理如下： （1） 对于给定的实数 x ，有且只有三种情形： x 0, x 0, x 0 。 （2） 如果 a 0, b 0 ，那么 a b 0, ab 0 。 （3） 如果 a b ，那么 a c b c 。 所有其它的不等式都可以由上面的公理推出。 当然，如果我们从头开始证明这些是非常乏味的。就如同在演绎几何中一样，我们将不 会详细证明每个命题；取而代之，我们将以这些已知的命题为基础。类似的，当我们证明某 个不等式的是， 我们很少直接从上面给出的公理出发进行证明； 而是从某些已知的命题入手。 例如，我们想要证明“对于任意实数 a, b ，都有 a b 2a b 成立。 ” ，那么我们可以从定
a1 a2 n an n a1a2 an 1 1 1 a1 a2 1 an .
当且仅当 a1 =a2 =
=an 时取等号。
例 1.1：对于任意正实数 a, b, c ，试证明
a b c
证明：由平均-调和不等式得
1 1 1 9. a b c
2
当且仅当 a 2 d 2 b2c 2 且 abcd abcd 时，即 ad bc 时取等号。 综上所述，命题得证。 一般的，上面的不等式被描述为“平方的和的积大于等于积的和的平方” 。事实上，对 于任意给定的 2n 个实数，下面的定理都是成立的。 定理 2.1 （柯西不等式）
设 a1 , a2 ,
但在这种情况下，价值增长的太快了。有些人想要修改它们，使得价值每个 2 个 点数增加一倍。例如 点数 价值 0 4 1 2 8 3 4 16 5 6 32
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
z
那么 x, y, z 分别是多少呢？有些人倾向于直接令 x 6, y 12, z 24 ，但是这样， 第二行的数字就不能呈一个几何增长的数列。 我们能否通过确定 x, y, z 的值， 使得
不等式及其应用
2014 年 1 月 江苏省梁丰高级中学 王凯
目录
零、简介................................................................................................................................... 3 一、经典不等式....................................................................................................................... 4 1. 均值不等式 ................................................................................................................. 4 2. 柯西不等式 ................................................................................................................. 6 3. 排序不等式 ................................................................................................................. 8 4. 经典不等式的几个常见变形...................................................................................... 9 5. 习题 ........................................................................................................................... 13 二、证明不等式的技巧 ......................................................................................................... 14 1. 合理运用经典不等式 ............................................................................................... 14