人教版九年级数学上册知识点总结：第二十二章二次函数

二次函数图像及性质【二次函数的定义】一般地，形如y = ax2+bx + c Wc为常数，“工0）的函数称为兀的二次函数，其中兀为自变量，为因变量，J b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.注意：和一元二次方程类似，二次项系数“工0,而b、c可以为零.二次函数的自变量的取值范朗是全体实数.【二次函数的图象】1.二次函数图象与系数的关系（1）“决左抛物线的开口方向当“>0时，抛物线开口向上；当“<0时，抛物线开口向下.反之亦然.同决过抛物线的开口大小：同越大，抛物线开口越小；同越小，抛物线开口越大.温馨提示：几条抛物线的解析式中，若问相等，则其形状相同，即若"相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.（2）〃和"共同决左抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：S2a当b=o时，抛物线的对称轴为y轴；当方同号时，对称轴在轴的左侧；当〃异号时，对称轴在y轴的右侧・（3）“的大小决泄抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为（o，C）当c=o时，抛物线与y轴的交点为原点：当c>o时，交点在轴的正半轴：当c<0时，交点在y轴的负半轴.2•二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y = ax2 +bx + c化为顶点式y = a（x-h）2 +k，确泄其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0, c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点（2力，c）、与x轴的交点（占，0） , （x2 , 0）（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）・画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与y轴的交点.3•点的坐标设法（1）一次函数y = ax + h图像上的任意点可设为（“与+“）•其中再=0时.该点为直线与y轴交点.（2）二次函数y = ax2+bx + c（心0）图像上的任意一点可设为（石，妙？+站+可.再=0时，该点为抛物线与y轴交点，当x=-A时，该点为抛物线顶点.2a⑶ 点（召，yj关于（兀2，x2）的对称点为（2兀-若，2比-）・4•二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性.（2）根据抛物线的对称轴判断-仝的大小.2a（3）根据抛物线与y轴的交点，判断。

九年级数学上册第二十二章二次函数全部重要知识点单选题1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3，0)，则下列结论正确的是（）A．b>0B．c<0C．a+b+c>0D．3a+c=0答案：D=−1，得b=2a，则b<0，图象经过(−3，0)，根据对分析：图象开口向下，得a<0，对称轴为直线x=−b2a称性可知，图象经过点(1，0)，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b=−1，2a∴b=2a，∴b<0，故A不符合题意；根据对称性可知，图象经过(−3，0)，∴图象经过点(1，0)，当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；∴c=-a-b，∴c>0，故B不符合题意；将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．小提示：本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．2、在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x+2)2−1D．y=(x−2)2−1答案：B分析：先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．解：∵y=x2的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+2)2+1，故选B小提示：本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．3、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(−2,0),B(6,0)，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2−4ac>0；②4a+b=0；③当y>0时，−2<x<6；④a+b+c<0．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1答案：B分析：根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)，∴抛物线对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，即△=b2−4ac＞0，故①正确；对称轴为x=−b2a =6−22，整理得4a＋b＝0，故②正确；由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，x＜－2或x＞6，故③错误，由图像可知，当x＝1时，y=a+b+c＜0，故④正确．∴正确的有①②④，故选：B．小提示：本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4√3cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以√3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为t s，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．答案：B分析：分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB=4√3，∴∠B＝60°，BC=1AB=2√3，AC=√3BC=6，2∵CD⊥AB，∴CD=12AC=3，AD=√3CD=3√3，BD=12BC=√3，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD=AM−AD=3√3−√3t，DN=DC＋CN=3＋t，∴S=12MD·DN=12(3√3−√3t)(3+t)=−√32t2+9√32，当M在BD上时，3＜t≤4，MD=AD−AM=√3t−3√3，∴S=12MD·DN=12(√3t−3√3)(3+t)=√32t2−9√32，故选：B．小提示：本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．5、三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米答案：B分析：根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y =ax 2+32， ∵BC =10，∴点B （﹣5，0），∴0=a ×（﹣5）2+32， ∴a =-350， ∴大孔所在抛物线解析式为y =-350x 2+32，设点A （b ，0），则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =m （x ﹣b ）2，∵EF =14，∴点E 的横坐标为-7，∴点E 坐标为（-7，-3625）， ∴-3625=m （x ﹣b ）2， ∴x 1=65√−1m +b ，x 2=-65√−1m +b ，∴MN =4，∴|65√−1m +b -（-65√−1m +b ）|=4 ∴m =-925， ∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =-925（x ﹣b ）2， ∵大孔水面宽度为20米，∴当x =-10时，y =-92， ∴-92=-925（x ﹣b ）2， ∴x 1=52√2+b ，x 2=-5√22+b ， ∴单个小孔的水面宽度=|（52√2+b ）-（-52√2+b ）|=5√2（米），故选：B ．小提示：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6、如图，顶点为(−3,−6)的抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(−1,−4)，则下列结论中正确的是（ ）A ．b 2−4ac ≥0B ．若点(−2,m),(−4,n)都在抛物线上，则m >nC ．当x <−3时，y 随x 的增大而减小D ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−7有两个不等的实数根答案：C分析：由抛物线与x 轴有两个交点则可对A 进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B 进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C 选项；根据二次函数的最值可对D 进行判断．解：A 、图像与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，b 2-4ac ＞0，故A 选项不符合题意；B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m=n，故B选项不符合题意；C、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x＜-3时，y随x的增大而减小，故C 选项符合题意；D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a≠0）没有实数根，故D选项不符合题意．故选：C．小提示：本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．7、已知实数x，y满足x+y=12，则xy−2的最大值为（）A．10B．22C．34D．142答案：C分析：利用二次函数的性质求解即可．解：∵x+y=12，∴y=12-x，∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，∵-1＜0，∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，故选：C．小提示：本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．8、已知二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点在第一象限C．a≥1D．当x>1时，y的最小值为－1答案：C分析：二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，要满足条件，常数项大于等于0，解不等式即得．∵二次函数y =ax 2+2ax +a −1的图象只经过三个象限，∴a -1≥0，∴a ≥1．故选C ．小提示：本题考查了二次函数y =ax 2+2ax +a −1的图象只经过三个象限，运用函数图象与x 轴的两个交点横坐标的积大于等于0，即常数项大于等于0，是解决此类问题的关键．9、抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：下列结论不正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线x =12C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(2,0)D ．函数y =ax 2+bx +c 的最大值为254 答案：C 分析：利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可解：由题意得{4a −2b +c =0a −b +c =4c =6，解得{a =−1b =1c =6，∴抛物线解析式为y =−x 2+x +6=−(x −12)2+254， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x =12，该函数的最大值为254，故A 、B 、D 说法正确，不符合题意；令y =0，则−x 2+x +6=0，解得x =3或x =−2，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意；故选C ．小提示：本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．10、如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC 的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN ，其中点P 在AC 上，点NM 分别在BC ，AB 上，记PM=x ，PN=y ，图中阴影部分的面积为S ，若NP 在一定范围内变化，则y 与x ，S与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．反比例函数关系，一次函数关系B ．二次函数关系，一次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．一次函数关系，二次函数关系答案：D分析：先求出AM =PM ，利用矩形的性质得出y =﹣x +m ，最后利用S =S △ABC －S 矩形PMBN 得出结论． 设AB =m （m 为常数）．在△AMP 中，∠A =45°，AM ⊥PM ，∴△AMP 为等腰直角三角形，∴AM =PM ，又∵在矩形PMBN 中，PN =BM ，∴x +y =PM +PN =AM +BM =AB =m ，即y =﹣x +m ，∴y 与x 成一次函数关系，∴S =S △ABC －S 矩形PMBN =12m 2-xy =12m 2-x （﹣x +m ）=x 2-mx +12m 2， ∴S 与x 成二次函数关系．故选D ．小提示：本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用，解题的关键是掌握根据题意求出y 与x 之间的函数关系式．填空题11、在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝mx －2mx ＋m －2（m ＞0）．（1）抛物线的顶点坐标为_________；（2）点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＜x2≤3）是拋物线上的两点，若y1＜y2，x2－x1＝2，则y2的取值范围为_________（用含m的式子表示）答案：（1，-2）m−2<y2≤4m−2分析：（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，得到当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，得到当2＜x2≤3时，y1＜y2，再将x=2、x=3代入函数关系式进行求解即可．（1）∵y＝mx2－2mx＋m－2=m(x−1)2−2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2），故答案为（1，-2）．（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，∴当2＜x2≤3时，y1＜y2，对于y=m（x-1）2-2，当x =2时，y=m-2；当x=3时，y=4m-2，∴m−2<y2≤4m−2．小提示：本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．12、如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−1,0)和点(2,0)，以下结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③a+b=0；④当x<1时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有2___________．（填写代表正确结论的序号）答案：①②##②①分析：根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；③与x轴交于点(−1,0)和点(2,0)，则对称轴x=−b2a =−1+22=−12，故a=b，故③错误；④当x<12时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；综上所述，正确的为①②．所以答案是：①②．小提示：本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．13、阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y（kg）与销售单价x （元）之间满足一次函数y=−x+50的关系.若不计其他成本（利润=售价-进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是_________元．答案：400分析：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得w=-（x-30）2+400，再根据二次函数的性质可得答案．解：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得，w=(x−10)(−x+50)=−x2+60x−500=−(x−30)2+400，∵a=-1＜0，∴当x=30时，w最大为400元，所以答案是：400．小提示：本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．14、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．答案：121分析：利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．解：当10≤x ≤20时，设y =kx +b ，，把（10，20），（20，10）代入可得：{10k +b =2020k +b =10， 解得{k =−1b =30， ∴每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的函数解析式为y =−x +30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w 元，w =(x −8)y =(x −8)(−x +30)=−x 2+38x −240=−(x −19)2+121，∵−1<0，∴当x =19时，w 有最大值为121，所以答案是：121．小提示：本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．15、已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则a =______．答案：-12分析：把点（3，a ）代入解析式即可求得a 的值．解：∵点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，∴a =-2×32+2×3=-18+6=-12，所以答案是：-12．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．解答题16、已知y=(k+2)x k2+k−4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）直接写出顶点坐标和对称轴．答案：（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．分析：（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．解：（1）由y=(k+2)x k2+k−4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得{k 2+k−4=2k+2<0，解得k=-3；（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．小提示：本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．17、如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点M ，使得MA +MC 的值最小，求此点M 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在P 点，使△PCD 是等腰三角形，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．答案：(1)y =−x 2+2x +3(2)点M 坐标（1，2）(3)存在，点P 坐标为（1，6），（1，√10），（1，−√10），（1，53） 分析：（1）把A 、C 两点的坐标代入y =-x 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）由抛物线的对称性可知点A 与点B 关于对称轴对称，所以BC 与抛物线对称轴的交点为M ，此时MA+MC 最小，即MA+MC 最小值等于线段BC 长，求出直线BC 与抛物线对称轴交点M 坐标即可；（3）分两种情况讨论：i )当△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC =CD ；②PD =CD ．设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可； ii )当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时，点P 在CD 的垂直平分线上，PC=PD ，利用两点间的距离公式列出方程求解即可．（1）解：把A （-1，0），C （0，3）代入y =-x 2+bx +c ，得：{−1−b +c =0c =3 ，解得：{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3； （2）解：由抛物线的对称性可知点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，所以设BC 与抛物线对称轴的交点为M ，此时MA+MC 最小，即MA+MC 最小值=BC ，如图，∵y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4；∴抛物线的对称轴为直线x =1，∵A （-1，0），点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，∴B （3，0），设直线BC 解析式为y =kx +m ，则{−k +m =0m =3 ，解得{k =−1m =3， ∴直线BC 解析式为y =-x +3，当x =1时，y =2，∴M （1，2）．（3）解：∵y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4，∴对称轴为直线x =1，∴D （1，0）．设点P 的坐标为（1，t ），∵C （0，3），∴CD 2=12+32=10． 分两种情况讨论：i )当△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①若PC =CD ，则12+（t -3）2=10，解得t =0（舍弃）或6，所以点P 的坐标为（1，6）；②若PD =CD ，则t 2=10，解得t=±√10，所以点P 的坐标为（1，√10）或（1，-√10）； ii )当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时，PC =PD ，则1+（t -3）2=t 2，解得：t =53， 所以点P 的坐标为（1，53）；综上所述，点P 的坐标有三个，分别是（1，6）或（1，√10））或（1，-√10）或（1，53）．小提示：本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想．18、园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米．(1)BC 长为________米（包含门宽，用含x 的代数式表示）；(2)若苗圃ABCD 的面积为96m 2，求x 的值；(3)当x 为何值时，苗圃ABCD 的面积最大，最大面积为多少？答案：(1)（36-3x ）(2)8(3)当x 为223米时，苗圃ABCD 的最大面积为3083平方米分析：（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米，即得BC 的长为（36-3x ）米；（2）根据题意得，x ·(36−3x )=96，即可解得x 的值；（3）设苗圃ABCD 的面积为w ，w =x ·(36−3x )=−3(x −6)2+108，由二次函数的性质可得答案．（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米，BC 的长为32-3x +4=（36-3x ）米，所以答案是：（36-3x ）；（2）根据题意得，x ·(36−3x )=96，解得，x =4或x =8，∵当x =4时，36-3x =24>14，∴x =4舍去，∴x 的值为8；（3）设苗圃ABCD 的面积为w ，w =x ·(36−3x )=−3(x −6)2+108，∵4<36-3x ≤14，∴223≤x <323，∵-3<0，图象开口向下，∴当x =223时，w 取得最大值，w 最大为3083； 答：当x 为223米时，苗圃ABCD 的最大面积为3083平方米．小提示：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳完整版单选题1、已知实数a ，b 满足b −a =1，则代数式a 2+2b −6a +7的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2答案：A分析：由已知得b =a +1，代入代数式即得a 2-4a +9变形为(a -2)2+5，再根据二次函数性质求解． 解：∵b -a =1，∴b =a +1，∴a 2+2b -6a +7=a 2+2(a +1)-6a +7=a 2-4a +9=(a -2)2+5，∵(a -2)2≥0，∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +7有最小值，最小值为5，故选：A ．小提示：本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2+5是解题的关键．2、点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（）A ．m >2B ．m >32C ．m <1D ．32<m <2答案：B分析：根据y 1＜y 2列出关于m 的不等式即可解得答案．解：∵点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上，∴y 1=（m -1-1）2+n =（m -2）2+n ，y 2=（m -1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m -2）2+n ＜（m -1）2+n ，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，即-2m+3＜0，∴m＞3，2故选：B．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．3、抛物线y=x2−x−1经过点（m，3），则代数式m2−m−1的值为（）A．0B．1C．2D．3答案：D分析：将点（m，3）代入代数式中即可得到结果．解：将点（m，3）代入m2−m−1中得，m2−m−1=3，故代数式m2−m−1的值为3，故选：D．小提示：本题考查代数式的值，根据函数图象经过的点求函数解析式，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．4、小明在研究抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）A．无论x取何实数，y的值都小于0B．该抛物线的顶点始终在直线y=x−1上C．当−1<x<2时，y随x的增大而增大，则ℎ≥2D．该抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，则y1>y2答案：C分析：根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．解：A．∵y=−(x−ℎ)2−ℎ+1，∴当x=ℎ时，y max=−ℎ+1，当ℎ<1时，y max=−ℎ+1>0，故错误；B．∵抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1的顶点坐标为(ℎ，−ℎ+1)，当x=ℎ时，y=−ℎ−1≠−ℎ+1，故错误；C．∵抛物线开口向下，当−1<x<2时，y随x的增大而增大，∴ℎ≥2，故正确；D．∵抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，∴x1+x2<ℎ，∴点A到对称轴的距离大2于点B到对称轴的距离，∴y1<y2，故错误．故选C．小提示：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x 的范围是（）C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2答案：B分析：利用二次函数和一元二次方程的性质．解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．故选：B．小提示：本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．6、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（）A．5B．8C．9D．10答案：C分析：第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，则数量在60的基础上减少了3(k−1)，每件产品利润在8的基础上增加2(k−1)，据此可求出总利润关系，求出最值即可．解：设总利润为y元，∵第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，∴每天利润为y=[60−3(k−1)][8+2(k−1)]=−6(k−9)2+864，∴当k=9时，产品利润最大，每天获利864元，故选C．小提示：本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．7、已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x=3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．(3,9)B．(3,−9)C．(−3,9)D．(−3,−9)答案：A分析：根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b=3，2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．小提示：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．8、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况描述正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个同号的实数根D．有两个无法确定符号的实数根答案：B分析：根据二次函数的图像判断与x轴有两个交点，且在原点两侧，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0有两个异号的实数根．解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，且在原点两侧，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个异号的实数根，故选：B．小提示：本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x 轴有交点的横坐标即为关一元二次方程ax2+bx+c=0的根是解答本题的关键．10、已知抛物线y=2(x−3)2−5，其对称轴是（）A．直线x=−3B．直线x=3C．直线x=−5D．直线x=5答案：B分析：直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．解：∵y=2(x−3)2−5，∴抛物线对称轴为直线x=3．故选：B．小提示：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．填空题11、已知二次函数y=(x−1)2+3，当x＝_______时，y取得最小值．答案：1分析：根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案．解：∵y=(x−1)2+3，∴该抛物线的顶点坐标为(1,3)，且开口方向向上，∴当x=1时，y取得最小值，所以答案是：1．小提示：本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．12、如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____．答案：3√2分析：由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可．解：连接PB，对于抛物线y=-x2+k，对称轴是y轴，∴PC=PB，∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，所以点B的坐标为（-2，0），所以BD=√(−2−1)2+32=3√2，所以答案是：3√2．小提示：本题考查了抛物线与x轴的交点，轴对称－最短路线问题，找到P点是本题的关键．13、已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．答案：6分析：根据a－b2＝4得出b2=a−4，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．∵a－b2＝4∴b2=a−4将b2=a−4代入a2－3b2＋a－14中得：a2－3b2＋a－14=a2−3(a−4)+a−14=a2−2a−2a2−2a−2=a2−2a+1−3=(a−1)2−3∵b2=a−4≥0∴a≥4当a=4时，(a−1)2−3取得最小值为6∴a2−2a−2的最小值为6∵a2－3b2＋a－14=a2−2a−2∴a2－3b2＋a－14的最小值6所以答案是：6．小提示：本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．14、已知二次函数y =−x 2−2x +3，当a ⩽x ⩽12时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______． 答案：−1−√3##−√3−1分析：先把函数解析式化为顶点式可得当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小，然后分两种情况讨论：若a ≥−1；若a <−1，即可求解．解：y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小，若a ≥−1，当a ⩽x ⩽12时，y 随x 的增大而减小， 此时当x =12时，函数值y 最小，最小值为74，不合题意，若a <−1，当x =a 时，函数值y 最小，最小值为1，∴−a 2−2a +3=1，解得：a =−1−√3或−1+√3（舍去）；综上所述，a 的值为−1−√3．所以答案是：−1−√3小提示：本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．15、已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图像的顶点为(2,−2)，与x 轴交于点(1,0)、(3,0)，根据图像回答下列问题：当x _______时，y 随x 的增大而减小：方程ax 2+bx +c =0的两个根是___________．答案： x ＜2 x 1=1，x 2=3分析：利用开口向上和对称轴以及二次函数与一元二次方程的联系即可得到答案．解（1）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴二次函数的对称轴为直线x=2，∵抛物线的开口向上，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；（2）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3．小提示：本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，属于常考题型．解答题16、在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．答案：(1)v=−12t+10，y=−14t2+10t(2)6cm/s(3)黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球分析：（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，代入（1）式中y关于t的函数解析式求出时间t，再将t代入v关于t的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为w cm，得到w=70+2t−y=14t2−8t+70，化简即可求出最小值，于是得到结论．（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，{10=b 9.5=k+b ，解得{k=−12b=10，∴v=−12t+10，根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得{0=c9.75=a+b19=4a+2b，解得{a=−14b=10c=0，∴y=−14t2+10t;（2）依题意，得−14t2+10t=64，∴t2−40t+256=0，解得，t1=8，t2=32；当t1=8时，v=6；当t2=32时，v=−6（舍）；答：黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s．（3）设黑白两球的距离为w cm，w=70+2t−y=14t2−8t+70=14(t−16)2+6，∵14>0，∴当t=16时，w的值最小为6，∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．小提示：本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．17、已知抛物线y=ax2−4ax+3(a≠0)的图象经过点A(−2,0)，过点A作直线l交抛物线于点B(4,m)．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移n(n>0)个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．答案：(1)y=−14x2+x+3；(2,4)(2)3；2分析：（1）把点A(−2,0)代入y=ax2−4ax+3(a≠0)，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（2）把C(4,m)代入y=−14x2+x+3可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．（1）将A(−2,0)代入y=ax2−4ax+3得：0=4a+8a+3，解得a=−14，∴抛物线的函数表达式为y=−14x2+x+3，∵−b2a =−12×(−14)=2，4ac−b24a=4×(−14)×3−124×(−14)=4，∴顶点坐标为(2,4)；（2）把C(4,m)代入y=−14x2+x+3得，m =−4+4+3=3，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A (−2,0)，B (4,3)代入y =kx +b 得{0=−2k +b 3=4k +b， 解得{k =12b =1， ∴直线AB 的解析式为y =12x +1， ∵顶点的横坐标为2，∴把x =2代入y =12x +1得：y =2，∴n =4−2=2．小提示：本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．18、戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒(1)若每盒售价降低x 元，则日销量可表示为_______盒，每盒口罩的利润为______元．(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．答案：(1)(20+2x )盒，(20-x ) 元(2)每盒售价应定为60元(3)每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元分析：（1）根据题意列出代数式即可；（2）设每盒售价x 元，则每件的销售利润为(x −50)元，日销售量为[20+2(70−x )]件，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可求解；（3）设日利润为y ，由（2）列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．（1）设每盒售价降低x 元，则日销量可表示为(20+2x )盒，每盒口罩的利润为70−50−x =20−x （元）所以答案是：(20+2x)；(20−x)（2）设每盒售价x元，则每件的销售利润为(x−50)元，日销售量为[20+2(70−x)]件，根据题意得，(x−50)[20+2(70−x)]=(70−50)×20解得x1=70,x2=60又∵商家想尽快销售完该款商品，∴x=60．答：每件售价应定为60元；（3）设日利润为y，则y=(x−50)[20+2(70−x)]=−2x2+260x−8000=−2(x−65)2+450∴x=65时，y的最大值为450，即每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．。

第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1．二次函数的概念：一般地，形如y ax 2bx c （a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．a 02.二次函数 y ax 2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．22.1.2 二次函数y ax 2的图象和性质1. 二次函数基本形式：y ax 2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x a0向上0 ，0y轴x0时，y有最小值 0．的增大而减小；x0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x a0向下0 ，0y轴x0时，y有最大值 0．的增大而增大；例 1．若抛物线y=ax2经过 P（ 1，﹣ 2），则它也经过()A ．（ 2，1） B．（﹣ 1， 2） C．（ 1， 2） D．（﹣ 1，﹣ 2）【答案】【解析】试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点 P（ 1， -2），∴x=-1 时的函数值也是 -2，即它也经过点（ -1， -2）．故选 D．考点：二次函数图象上点的坐标特征．例 2．若点 (2，-1) 在抛物线y ax2上，那么，当x=2 时， y=_________【答案】 -1【解析】试题分析：先把 (2， -1)直接代入yax2即可得到解析式，再把x=2 代入即可 .由题意得 4a 1 ，a 1，则 y1x 2，44当 x 2 时，y 14 1. 4考点：本题考查的是二次函数点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式.2. y ax 2 c 的性质：上加下减 .a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0 时，y随a0向上0 ，c y轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值c．x0 时，y随x的增大而减小；x 0 时，y a0向下0 ，c y 轴x 0 时，y有最大值c．随 x 的增大而增大；例 1．若抛物线 y=ax 2+c 经过点 P （ l，－ 2），则它也经过（）A．P1（－ 1，－ 2 ） B ．P2（－ l， 2 ）C． P3（ l ， 2）D． P4（ 2， 1）【答案】 A【解析】试题分析：因为抛物线y=ax2 +c 经过点 P （ l ，－ 2），且对称轴是y 轴，所以点 P （ l ，－ 2）的对称点是（－1，－2），所以 P1（－ 1，－ 2）在抛物线上，故选： A.考点：抛物线的性质 .例 2．已知函数 y=ax+b 经过（ 1， 3），（ 0，﹣ 2），则 a﹣ b=（）A．﹣ 1B．﹣ 3C． 3D． 7【答案】 D．【解析】试题分析：∵函数y=ax+b 经过（ 1， 3），（0，﹣ 2），a b 3a5∴，解得b ．b22∴ a﹣ b=5+2=7 ．故选 D．考点： 1．直线上点的坐标与方程的关系；2．求代数式的值．例 3．两条直线 y1＝ ax＋b 与 y2＝ bx＋ a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的()【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a，b 的值，看看是否矛盾即可．解： A 、由 y1的图象可知， a＜ 0， b＜ 0；由 y2的图象可知， a>0，b<0 ，两结论矛盾，故错误；B、由 y1的图象可知， a＞0， b＞ 0；由 y2的图象可知， a＞ 0， b<0 ，两结论相矛盾，故错误；C、由 y1的图象可知， a>0，b<0；由 y2的图象可知， a＜ 0， b＜ 0，两结论相矛盾，故错误；D、由 y1的图象可知， a＞0， b＞ 0；由 y2的图象可知， a<0， b<0 ，两结论相矛盾，故错误．故无正确答案．点评：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当 k＞ 0， b＞ 0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当 k＞ 0， b＜ 0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当 k＜ 0， b＞ 0 时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当 k＜ 0， b＜ 0 时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．22.1.3 二次函数y a x h2k 的图象和性质左加右减 .a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h，0x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，ya0向上X=hx h 时，y有最小值 0 ．随 x 的增大而减小；a0h，0x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y向下X=hx h 时，y有最大值 0 ．随 x 的增大而增大；2y a x hk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h，k x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，ya0向上X=hx h 时，y有最小值 k ．随 x 的增大而减小；h，k x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，ya0向下X=hx h 时，y有最大值 k ．随 x 的增大而增大；例 1．将二次函数y=x2﹣ 2x﹣ 3化成 y= （ x﹣ h）2+k 形式，则 h+k 结果为（）A．﹣ 5 B．5C． 3D．﹣3【答案】 D．【解析】试题分析： y=x 2-2x-3= （ x2-2x+1 ） -1-3= （ x-1）2-4．则h=1 ，k=-4 ，∴ h+k=-3 ．故选 D．考点 : 二次函数的三种形式．例2．把二次函数 y=x2+6x+4 配方成 y=a（ x-h）2+k 的形式，得 y=___ ，它的顶点坐标是 ___．【答案】（ x+3）2-5，（ -3， -5）【解析】试题分析： y= x2 +6x+4= ( x + 3)2-5 ，则顶点坐标为（－3，－ 5）．考点：二次函数的顶点式．3y 1 x23x4配方成y a x k2＋h的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴.例．把二次函数2＝（－）【答案】y=顶点坐标（3，-），对称轴方程x＝ 3【解析】试题分析： y= x2﹣ 3x+4=（x﹣3）2﹣，则顶点坐标（ 3，﹣），对称轴方程 x=3 ，考点：二次函数的图像及性质1、二次函数图象的平移（ 1）平移步骤：方法一：（ 1）将抛物线解析式转化成顶点式2h ，k ；y a x hk ，确定其顶点坐标 （2）保持抛物线 y ax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 ( k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0) 【或左 ( h<0)】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 ( h<0) 】平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k| 个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k（ 2）平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减 ”．方法二：（ 1） yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位， yax 2 bxc 变成yax 2 bx cm （或 y ax 2 bx c m ）2 y ax2 bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax2bx c变成（ ）ya( x m)2b(x m) c （或ya( x m) 2 b( x m) c ）例 1．将二次函数 y ＝ x 2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为()A ． y ＝ x 2－ 1B ． y ＝ x 2＋ 1C ． y ＝(x －1) 2D ． y ＝ (x ＋ 1)2【答案】 A【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数y ＝x 2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为： y ＝ x 2－ 1.故选 A.例 2．将二次函数y=x 2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移2 个单位后，所得图象的函数表达式是2B ． y=(x+1) 2+2A ． y=(x – 1)+22D ． y=(x+1) 2–2C ． y=(x – 1)– 2【答案】 A ．【解析】试题分析：原抛物线的顶点为（ 0，0），向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y= （ x﹣ h）2+k ，代入得 y= （ x﹣ 1）2+2．故选 A．考点：二次函数图象与几何变换．例 3．将二次函数y x2的图象如何平移可得到y x 2 4 x 3 的图象（）A ．向右平移 2 个单位，向上平移一个单位B．向右平移 2 个单位，向下平移一个单位C．向左平移 2 个单位，向下平移一个单位D．向左平移 2 个单位，向上平移一个单位【答案】 C【解析】 y x24x 3 ( x 2) 21，根据二次函数的平移性质得：向左平移 2 个单位，向下平移一个单位.故选C.例 4．已知点 P（﹣ 1，m）在二次函数y=x 2﹣1 的图象上，则m 的值为；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为．【答案】 0， y=x 2﹣ 2x．【解析】∵点 P（﹣ 1， m）在二次函数y=x2﹣1 的图象上，∴（﹣ 1）2﹣ 1=m，解得 m=0，平移方法为向右平移 1 个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣ 1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（ x﹣ 1）2﹣1=x 2﹣ 2x，即y=x 2﹣ 2x．故答案为： 0， y=x 2﹣ 2x．2、二次函数y a x2k 与 y ax2bx c 的比较h从解析式上看，y a x h 2ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即k 与 y2b2b，k4ac b2y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a3、二次函数y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式y a(x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0，c 、以及 0 ，c 关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.4、二次函数y ax2bx c 的性质b ，4ac 21. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为b．2a2a4a当 x b时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 随x的增大而增大；当x b时， y 有最小值2a 2 a 2 a4ac b2．4a2b时， y 随x的增2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b．当x2a2a4a2a大而增大；当x b时， y 随x的增大而减小；当xb时， y 有最大值4acb2．2a2a4a例 1．当 a < 0 时，方程 ax2+bx+c=0 无实数根，则二次函数y=ax2 +bx+c 的图像一定在（）A 、 x 轴上方B、 x 轴下方C、 y 轴右侧D、 y 轴左侧【答案】 B【解析】试题分析：∵方程 ax2+bx+c=0 无实数根，∴ b2 +4ac<0，即函数图形与 x 轴没有交点又∵a < 0，∴二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像一定在 x 轴下方故选 B．考点：二次函数的性质例 2．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，则a、 b、 c 满足（）A、 a＜ 0， b＜ 0，c＞ 0 C、 a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0B、a＜ 0， b＜0， c＜ 0 D 、a＞ 0， b＜0， c＞ 0【答案】 A 【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a＜ 0，由与 y 轴交于正半轴得到c＞ 0，又由于对称轴x=-b＜0，可以得到b＜2a0，所以可以找到结果．试题解析：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜ 0，∵与 y 轴交于正半轴，∴c＞ 0，又∵对称轴x=-b＜0，2a∴b＜ 0，所以 A 正确．考点：二次函数图象与系数的关系．例 3．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x= ﹣ 1，给出下列结果：①b2＞ 4ac；② abc＞ 0；③ 2a+b=0；④ a+b+c＞ 0；⑤ a﹣ b+c＜ 0，则正确的结论是（）A. ①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线与x 轴有两个交点，可得△=b2﹣ 4ac＞ 0，即b2＞ 4ac，故①正确；根据抛物线对称轴为x= ﹣b＜ 0，与y 轴交于负半轴，因此可知ab＞ 0， c＜ 0， abc＜ 0，故②错误；根据抛物线对称轴为x= ﹣2ab=﹣ 1，∴ 2a﹣b=0 ，故③错误；2a当x=1 时， y＞ 0，即 a+b+c＞ 0，故④正确；当x= ﹣ 1 时，y＜0，即 a﹣ b+c＜0，故⑤正确；正确的是①④⑤．故选 D．考点：二次函数图象与系数的关系例 4．如果二次函数y＝ ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，那么（）A． a＜ 0， b＞ 0，c＞ 0 B． a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0 C． a＞ 0， b＞ 0， c＜ 0 D． a＞ 0， b＜ 0，c＜ 0 【答案】 D【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，所以a＞ 0，又对称轴在y 轴右侧，所以b＞0，所以b＜0，又因为抛物线与y 2a轴的交点在x 轴下方，所以c＜0，所以 a＞ 0， b＜ 0， c＜ 0，故选： D．考点：抛物线的性质．例 5．已知抛物线y=ax2 +bx+c 与 x 轴的公共点是（﹣ 4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．【答案】 x=-1．【解析】试题分析：因为点（-4，0）和（ 2， 0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=x1x2求解即可．2试题解析：∵抛物线与x 轴的交点为（-4，0），（ 2， 0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x=考点：抛物线与x 轴的交点．4221，即x=-1．5、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；ax2.顶点式： y a( x2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；h)3.两根式： y a( x x1)( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .6、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2bx c中，a作为二次项系数，显然a0 ．⑴当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在 a0 的前提下，当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x b0 ，概括的说就是“左同右在 y 轴左边则ab 0，在 y 轴的右侧则ab2a异”总结：3.常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．7、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y2bx c 关于x轴对称后，得到的解析式是y2bx c ；ax axy a x h 2y a x h2 k 关于x轴对称后，得到的解析式是k ；2.关于 y 轴对称y ax2bx c 关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2bx c 关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h2y a x h2 k 关于原点对称后，得到的解析式是k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 °）y ax2bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2bx c b2；2ay a x h 2y a x h2 k 关于顶点对称后，得到的解析式是k ．5. 关于点m，n 对称y a x 22k hk 关于点m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．22.2 二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2bx c 0 是二次函数y ax2bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与 x 轴的交点个数：① 当b 24ac 0 时，图象与x 轴交于两点1，02，0( x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程A x，B xax 2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2 x1b24ac .a②当0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与 x 轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2. 抛物线 y2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；ax3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y2c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象ax bx的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2ax bx c(a 0) 本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与x 轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0抛物线与x 轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .交点例．已知函数 y3x2 6 x k （k 为常数）的图象经过点A（．，y1），B（1．1， y2），10 8C（2，y3），则有（）A ．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2【答案】 C【解析】试题分析：因为函数y3x26x k 的对称轴是 x b6 1 ，且抛物线开口向上，所以可以画出函数图2a6象的草图，观察图象可得：y3＞y1＞y2，故选：C．考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点．例 2．已知二次函数y=x 2＋ 2mx ＋ 2，当 x＞ 2 时， y 的值随 x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是.【答案】 m≥-2．【解析】试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于 2 列式计算即可得解．试题解析：抛物线的对称轴为直线x=- 2m=-m ，2 1∵当 x＞ 2 时， y 的值随 x 值的增大而增大，∴-m≤2，解得 m≥-2．考点：二次函数的性质．例 3．函数y x2bx c 的图象经过点（1， 2），则 b-c 的值为．【答案】 1【解析】试题分析：把点（1， 2）代入y x2bx c ，得：1 b c 2 ，所以 b c 1 .考点：函数图象上的点.例4．已知抛物线 y=ax2+bx+3 的对称轴是直线 x=1 ．（ 1）求证： 2a+b=0；（ 2）若关于 x 的方程 ax2+bx ﹣ 8=0 的一个根为 4，求方程的另一个根．【答案】（ 1）见解析；（ 2） x=－ 2【解析】试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（ 1）中所求，再将 x=4 代入方程求出 a， b 的值，进而解方程得出即可．试题解析：（ 1）证明：∵对称轴是直线x=1= ﹣b，∴ b=－2a∴ 2a+b=0；2a（2）∵ ax2+bx﹣ 8=0 的一个根为 4，∴ 16a+4b﹣ 8=0 ，∵ b= ﹣ 2a，∴ 16a﹣ 8a﹣ 8=0 ，解得： a=1，则 b=﹣ 2，∴ a x2 +bx ﹣ 8=0 为：x2﹣ 2x ﹣ 8=0，则（ x﹣ 4）（ x+2 ） =0，解得：x1 =4，x2 =﹣ 2，故方程的另一个根为：﹣2．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点例 5．已知函数y x2bx1的图象经过点（3， 2）．（ 1）求这个函数的解析式；（ 2）当x 0时，求使y 2 的x的取值范围．【答案】（ 1）y x22x1；（2）x 3 ．【解析】试题分析：（ 1）把（ 3， 2）代入函数解析式求出 b 的值，即可确定出解析式；（ 2）利用二次函数的性质求出满足题意x 的范围即可．试题解析：（ 1）∵函数y x2bx 1的图象经过点（3， 2），∴9 3b1 2 ，解得： b 2 ，则函数解析式为： y x22x1；（ 2）当x 3时，y 2 ，根据二次函数性质当x 3时， y2，则当 x0时，使 y 2的x的取值范围是x 3．考点：待定系数法求二次函数解析式．22.3 实际问题与二次函数例 1．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（）【答案】 C【解析】试题分析： A 、对于一次函数 a＜ 0，对于二次函数 a＞ 0，则不正确； B 、对于一次函数 b＜ 0，对于二次函数 b＞ 0，则不正确； C、正确； D、对于一次函数 b＜ 0，对于二次函数 b＞ 0，则不正确．考点：函数图象例 2．学生校服原来每套的售价是100 元，后经连续两次降价，现在的售价是81 元，则平均每次降价的百分数是（）A．9%B．8．5%C． 9．5% D ．10%【答案】D．【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，根据等量关系“校服原来每套的售价是100 元×（ 1-下降率）2=每套校服现在的售价是81 元”，列出方程100（ 1-x）2 = 81元，解得x 即可，故答案选 D ．考点：一元二次方程的应用．。

初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.|a|越大,则二次函数图像的开口越小.1、决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右.事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.2、决定二次函数图像与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点.二次函数图像与y轴交于（0，c)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

Array 2. 2=+的性质：上加下减。

y ax c3. ()2=-的性质：左加右减。

y a x h Array 4. ()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2.二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）1、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数1．二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)2．关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.3．y=ax2(a≠0)的特性：当y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 (a≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；4．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.5．二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程x=h 和函数的最值y= k.最值6．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.7．二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：k值增大<=> 图象向上平移；k值减小<=> 图象向下平移；（x-h）值增大<=> 图象向左平移；(x-h)值减小<=> 图象向右平移.8．二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式：9．二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：(1) a＞0 <=> 抛物线开口向上；a＜0 <=> 抛物线开口向下；(2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过；c=0 <=> 抛物线从原点通过；c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；(3) a, b异号<=> 对称轴在y轴的右侧；a, b同号<=> 对称轴在y轴的左侧；b=0 <=> 对称轴是y轴；(4) b2－4ac＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点；b2－4ac =0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）；b2－4ac＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.10．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.。

人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳知识点1 二次函数的概念和一般形式1.概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

其中， x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

【注意】（1）自变量x的最高次数是2，a≠0，b，c可以为0；（2）含自变量x 的代数式是整式而不是分式或根式。

2.一般式：y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）知识点2 二次函数的图像和性质1.二次函数的图像：是一条平滑的曲线叫做抛物线。

2.二次函数图像的画法：①列表；②描点；③连线。

3.二次函数的解析式（4种形式）（1）y = ax 2（a≠0）（2）y = ax 2+k（a，k是常数，a≠0）（3）y = a（x-h）2（a，h是常数，a≠0）（4）y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠04.二次函数的图像和性质：分别从五种图像（4种特殊+1个一般式）和7个性质（顶点特点、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、形状和大小等7个方面研究）。

如下图：二次函数的图像与性质a <05.图像平移后的解析式：y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠0）平移规则：左加右减，上加下减。

知识点3 用待定系数法求二次函数的解析式：一般式、顶点式、交点式。

（1）已知抛物线上普通的3点的坐标，一般选用一般式；（2）顶点在原点，可设y = ax 2（3）顶点在x轴上，若抛物线与x轴有一个交点，可设y = a（x-h）2；若抛物线与x轴有两个交点，可设y=a（x-x1）（x-x2）；（4）顶点在y轴上（或对称轴在y轴上），可设y = ax 2+k；（5）已知顶点（h，k），可设顶点式y = a（x-h）2+k知识点4 二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴（直线y=0）交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。

九年级数学上册第二十二章二次函数重难点归纳单选题1、如图，在抛物线y=−x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2；在y轴上有一动点C，当BC+AC最小时，则点C的坐标是（）A．（0.0）B．（0，−1）C．（0，2）D．（0，−2）答案：D解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，当x＝﹣1时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝﹣4，所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），设直线A′B为y=kx+b∴{−k+b=−12k+b=−4∴k=−1b=−2∴y=−x−2当x=0时，y=-2即C（0，-2）故选D小提示：本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．2、如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−2，下列结论正确的是（）A．a<0B．c>0C．当x<−2时，y随x的增大而减小D．当x>−2时，y随x的增大而减小答案：C分析：由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C小提示：本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．3、一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．答案：B分析：本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx的图象相比是否一致．>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符合题意；解：A．由抛物线可知，a>0，x=−b2aB．由抛物线可知，a>0，x=−b>0，得b<0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项符合题意；2a>0，得b>0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符合题意；C．由抛物线可知，a<0，x=−b2aD．由抛物线可知，a<0，x=−b>0，得b>0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项不符合题意．2a故选：B．小提示：本题考查抛物线和直线的性质，用假设法以及数形结合的方法是解题的关键．4、已知实数a，b满足b−a=1，则代数式a2+2b−6a+7的最小值等于（）A．5B．4C．3D．2答案：A分析：由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a 2+2(a +1)-6a +7=a 2-4a +9=(a -2)2+5，∵(a -2)2≥0，∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +7有最小值，最小值为5，故选：A ．小提示：本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2+5是解题的关键．5、点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（）A ．m >2B ．m >32C ．m <1D ．32<m <2答案：B分析：根据y 1＜y 2列出关于m 的不等式即可解得答案．解：∵点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上，∴y 1=（m -1-1）2+n =（m -2）2+n ，y 2=（m -1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m -2）2+n ＜（m -1）2+n ，∴（m -2）2-（m -1）2＜0，即-2m +3＜0，∴m ＞32，故选：B ．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m 的不等式．6、已知二次函数y =2x 2−4x +5，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是（ ）A ．x <1B ．x >1C ．x <2D ．x >2答案：B分析：先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．解：∵y=2x2−4x+5=2(x−1)2+3∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．小提示：本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．7、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x 的范围是（）C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2答案：B分析：利用二次函数和一元二次方程的性质．解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．故选：B．小提示：本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．8、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（）A．5B．8C．9D．10答案：C分析：第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，则数量在60的基础上减少了3(k−1)，每件产品利润在8的基础上增加2(k−1)，据此可求出总利润关系，求出最值即可．解：设总利润为y元，∵第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，∴每天利润为y=[60−3(k−1)][8+2(k−1)]=−6(k−9)2+864，∴当k=9时，产品利润最大，每天获利864元，故选C．小提示：本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．9、二次函数y=x的图象经过的象限是（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限答案：A分析：由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．∵y=x2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），∴抛物线经过第一，二象限．故选：A．小提示：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．10、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(−2,0),B(6,0)，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2−4ac>0；②4a+b=0；③当y>0时，−2<x<6；④a+b+c<0．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1答案：B分析：根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)，∴抛物线对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，即△=b2−4ac＞0，故①正确；对称轴为x=−b2a =6−22，整理得4a＋b＝0，故②正确；由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，x＜－2或x＞6，故③错误，由图像可知，当x＝1时，y=a+b+c＜0，故④正确．∴正确的有①②④，故选：B．小提示：本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．填空题11、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______．答案：（2，0）分析：根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD 的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标．解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，∴该抛物线的对称轴是直线x=52，点D的坐标为（0，4），∴OD＝4，∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，∴CD∥AB，即CD∥x轴，∴CD=5×2＝5，2∴AD＝5，∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，∴AO=√AD2−OD2=√52−42=3，∵AB＝5，∴OB＝5﹣3＝2，∴点B的坐标为（2，0），所以答案是：（2，0）．小提示：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＝0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④对于任意实数m，总有a﹣b≥am2﹣bm．其中正确的是 _____（填写序号）．答案：①④##④①分析：根据抛物线的对称轴，开口方向，与y轴的交点位置，即可判断①，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），即可求得对称轴，以及当x=1时，y=0，进而可以判断②③，根据顶点求得函数的最大值，即可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴x=−b<0,a<0，2a∴b<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故①正确，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），=−1，则b=2a，∴对称轴为x=−b2a当x=1，y=a+b+c=a+2a+c=0，∴3a+c=0，故②不正确，由函数图象以及对称轴为x=−1，可知，当x<−1时，y随x的增大而增大，故③不正确，∵对称轴为x=−1，则当x=−1时，y=a−b+c取得最大值，∴对于任意实数m，总有a−b+c≥am2−bm+c，即a−b≥am2−bm，故④正确．所以答案是：①④．小提示：本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．13、写出一个满足“当x>2时，y随x增大而减小”的二次函数解析式______．答案：y=−(x−2)2（答案不唯一）分析：先根据二次函数的图象和性质取对称轴x=2，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，由于在抛物线对称轴的右边，y随x增大而减小，得出a<0，于是去a=-1，即可解答．解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，∵在抛物线对称轴的右边，y随x增大而减小，∴a<0，符合上述条件的二次函数均可，可取a=-1，则y=-(x-2)2．所以答案是：y=-(x-2)2．小提示：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．14、已知二次函数y=(x−1)2+3，当x＝_______时，y取得最小值．答案：1分析：根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案．解：∵y=(x−1)2+3，∴该抛物线的顶点坐标为(1,3)，且开口方向向上，∴当x=1时，y取得最小值，所以答案是：1．小提示：本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．15、定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y ＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b 的“滋生函数”是y=ax2−3x+a+1，那么二次函数y=ax2−3x+a+1的“本源函数”是______．答案：y=﹣2x-1分析：由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax2−3x+a+1的本源函数．解：由题意得{﹣3=a+ba+1=b解得{a=﹣2 b=﹣1∴函数y=ax2−3x+a+1的本源函数是y=﹣2x-1．所以答案是：y=﹣2x-1．小提示：本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．解答题16、如图，抛物线y =mx 2+(m 2+3)x −(6m +9)与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知B(3,0)．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若S △PBC =S △ABC ，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若∠ACQ =45°，求点Q 的坐标．答案：（1）m =−1，y =x −3；（2）P (2,1)，P (3+√172,−7+√172)，P (3−√172,−7−√172)；（3）Q (72,−54) 分析：（1）求出A ，B 的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A 关于BC 的平行线AP 1，联立直线AP 1与抛物线的表达式可求出P 1的坐标，设出直线AP 1与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移，平移的距离为GC 的长度，可得到直线P 3P 2，联立方程组即可求出P ；（3）取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD ⊥CQ 于点D ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点C 作CE ⊥DF 于点E ，得直线CD 对应的表达式为y =12x −3，即可求出结果； （1）将B (3,0)代入y =mx 2+(m 2+3)x −(6m +9)，化简得m 2+m =0，则m =0（舍）或m =−1，∴m =−1，得：y =−x 2+4x −3，则C (0,−3)．设直线BC 对应的函数表达式为y =kx +b ，将B (3,0)、C (0,−3)代入可得{0=3k +b −3=b，解得k =1， 则直线BC 对应的函数表达式为y =x −3．（2）如图，过点A 作AP 1∥BC ，设直线AP 1与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移 GC 个单位，得到直线P 3P 2，由（1）得直线BC 的解析式为y =x −3，A (1,0)，∴直线AG 的表达式为y =x −1，联立{y =x −1y =−x 2+4x −3， 解得：{x =1y =0 （舍），或{x =2y =1， ∴P 1(2,1)，由直线AG 的表达式可得G (−1,0)，∴GC =2，CH =2，∴直线P 3P 2的表达式为y =x −5，联立{y =x −5y =−x 2+4x −3， 解得：{x 1=3+√172y 1=−7+√17 ，{x 2=3−√172y 2=−7−√17 ， ∴P 3(3+√172,−7+√172)，P 2(3−√172,−7−√172)， ∴P (2,1)，P (3+√172,−7+√172)，P (3−√172,−7−√172)．（3）如图，取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD ⊥CQ 于点D ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点C 作CE ⊥DF 于点E ，∵∠ACQ =45°，∴AD=CD ，又∵∠ADC =90°，∴∠ADF +∠CDE =90°，∵∠CDE +∠DCE =90°，∴∠DCE =∠ADF ，又∵∠E =∠AFD =90°，∴ΔCDE ≌ΔDAF ，则AF =DE ，CE =DF ．设DE =AF =a ，∵OA =1，OF =CE ，∴CE =DF =a +1．由OC =3，则DF =3−a ，即a +1=3−a ，解之得，a =1．所以D (2,−2)，又C (0,−3)，可得直线CD 对应的表达式为y =12x −3， 设Q (m,12m −3)，代入y =−x 2+4x −3， 得12m −3=−m 2+4m −3，12m =−m 2+4m ，m 2−72m =0， 又m ≠0，则m =72．所以Q (72,−54)．小提示：本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．17、2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1:y=−112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2:y=−18x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．答案：（1）y=−18x2+32x+4；（2）12米；（3）b≥3524．分析：（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线C2:y=−18x2+bx+c 即可求解；（2）高度差为1米可得C2−C1=1可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线C1:y=−112x2+76x+1可知坡顶坐标为(7,6112)，此时即当x=7时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即y=−18×72+7b+c≥6112+3，由此即可求出b的取值范围．解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线C2:y=−18x2+bx+c得，{c=4−18×42+4b+c=8，解得：{c=4b=32，∴抛物线C2的函数解析式y=−18x2+32x+4；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，∴(−18x2+32x+4)−(−112x2+76x+1)=1，解得：x1=−4（不合题意，舍去），x2=12，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵点A（0，4），∴抛物线C2:y=−18x2+bx+4，∵抛物线C1:y=−112x2+76x+1=−112(x−7)2+6112，∴坡顶坐标为(7,6112)，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，∴y=−18×72+7b+4≥6112+3，解得：b≥3524．小提示：本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4) 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．18、现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．答案：(1)y=−925(x−5)2+9(2)A(5−5√33,6),B(5+5√33,6)分析：（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)2+9，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．（1）依题意，顶点P(5,9)，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)2+9，将(0,0)代入，得0=a(0−5)2+9．解之，得a=−925．∴抛物线的函数表达式为y=−925(x−5)2+9．（2）令y=6，得−925(x−5)2+9=6．解之，得x1=5√33+5,x2=−5√33+5．∴A(5−5√33,6),B(5+5√33,6)．小提示：本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳单选题1、定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A (0,2)，点C (2,0)，则互异二次函数y =(x −m )2−m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）A ．4，-1B ．5−√172，-1C ．4，0D ．5+√172，-1 答案：D分析：分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m 的不等式组，求解即可． 解：由正方形的性质可知：B （2,2）；若二次函数y =(x −m )2−m 与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当m ≤0时，则当A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有{m ≤0m 2−m ≤2， 解得：−1≤m <0；当0<m ≤1时，则当C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有{0<m ≤1(2−m )2−m ≥0， 解得：0<m ≤1；当1<m ≤2时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有{1<m ≤2m 2−m >0， 解得：1<m ≤2；当m >2时，则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有{m >2m 2−m ≥0(2−m )2−m ≤2 ，解得：2<m≤5+√17；2，−1．综上可得：m的最大值和最小值分别是5+√172故选：D．小提示：本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，若−2< x1<−1，则下列四个结论：①3<x2<4，②3a+2b>0，③b2>a+c+4ac，④a>c>b．正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正确，∵−b= 1，2a∴b=- 2а，∴3a＋2b= 3a-4a= -a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2 -4ac > a+ c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；故选B小提示：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．3、抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( )A．0≤x1＜x2B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D．以上都不对答案：D分析：根据二次函数图象及性质，即可判定．∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2＞0，x1≤0且x2+x1＞0，或x2＜0，x1＞0且x2+x1＜0，故选：D．小提示：本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．4、如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上，点NM分别在BC，AB上，记PM=x，PN=y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．反比例函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系答案：D分析：先求出AM=PM，利用矩形的性质得出y=﹣x+m，最后利用S=S△ABC－S矩形PMBN得出结论．设AB=m（m为常数）．在△AMP中，∠A=45°，AM⊥PM，∴△AMP为等腰直角三角形，∴AM=PM，又∵在矩形PMBN中，PN=BM，∴x+y=PM+PN=AM+BM=AB=m，即y=﹣x+m，∴y与x成一次函数关系，∴S =S △ABC －S 矩形PMBN =12m 2-xy =12m 2-x （﹣x +m ）=x 2-mx +12m 2， ∴S 与x 成二次函数关系．故选D ．小提示：本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用，解题的关键是掌握根据题意求出y 与x 之间的函数关系式．5、二次函数y =x 的图象经过的象限是（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限答案：A分析：由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．∵y =x 2， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），∴抛物线经过第一，二象限．故选：A ．小提示：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．6、关于x 的方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1、x 2，若x 2=2x 1，则4b −9ac 的最大值是（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2答案：D分析：根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．解：由方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1、x 2可得，a ≠0，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ∵x 2=2x 1，可得3x 1=−b a ，2x 12=c a ，即2(−b 3a )2=c a 化简得9ac =2b 2 则4b −9ac =−2b 2+4b =−2(b 2−2b)=−2(b −1)2+2故4b −9ac 最大值为2故选D小提示：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．7、已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．−5或2B．−5C．2D．−2答案：B分析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．解：函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2；再向上平移1个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴0=(0−3)2+k(0−3)−k2+1即k2+3k−10=0解得：k=−5或k=2∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧∴x=−k＞02∴k＜0∴k=−5故选：B．小提示：此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y＝ax＋b的图象不可能是( )A．B．C．D．答案：D分析：根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合；当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意；当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意；当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；只有选项D的两图象的交点不经过x轴，故选D.小提示：本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．9、已知二次函数y=mx2−4m2x−3（m为常数，m≠0），点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m<0B．m≥1C．m≤−1或m>0D．m≤−1答案：A分析：先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m>0或m<0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．解：∵二次函数y=mx2−4m2x−3，∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为(0,−3)，∵点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，∴①当m>0时，对称轴x=2m>0，此时，当x=4时，y≤−3，即m⋅42−4m2⋅4−3≤−3，解得m≥1；②当m<0时，对称轴x=2m<0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤−3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m<0．故选：A．小提示：本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．10、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（）A．0.4mB．0.6mC．0.8mD．1m答案：C分析：根据题意可建立平面直角坐标系，然后设函数关系式为y=ax2，由题意可知A(−0.8,−2)，代入求解函数解析式，进而问题可求解．解：建立如图所示的坐标系：设函数关系式为y=ax2，由题意得：A(−0.8,−2)，∴−2=0.8×0.8×a，，解得：a=−258∴y=−25x2，8x2，当y=-0.5时，则有−0.5=−258解得：x=±0.4，∴水面的宽度为0.8m；故选C．小提示：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．填空题11、已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式−3m2+3m+2022的值为______．答案：2019分析：先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴-3m2+3m+2022=-3（m2-m）+2022=-3+2022=2019．所以答案是：2019．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2mx+m−2（m为常数，且m>0）与直线y＝2交于A、B两点．若AB＝2，则m的值为______．答案：√21−12分析：设A（x1，2），B（x2，2），抛物线y=−x2+2mx+m−2中，令y=2，得x2−2mx−m+4=0，利用根与系数关系求得AB，可建立关于m的方程并解出即可．解：设A（x1，2），B（x2，2），抛物线y=−x2+2mx+m−2中，令y=2，得：−x2+2mx+m−2=2，即：x2−2mx−m+4=0∴x1+x2=2m,x1x2=−m+4，∴AB=|x2−x1|=√(x2+x1)2−4x1x2=√(2m)2−4(−m+4)=2，∴m2+m−5=0，解得：m1=√21−12,m2=−√21−12(舍去)，所以答案是：√21−12．小提示：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这三个知识点的综合应用是解题关键．13、平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数y=x2+2x+c（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为(1,2)，则新抛物线的函数表达式为_______．答案：y=(x−3)2−2分析：将（1，2）代入y=x2+2x+c，解得c=-1，设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，然后将（1，2）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．解：将（1，2）代入y=x2+2x+c，得12+2×1+c=2，解得c=-1．设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，将（1，2）代入，得（1+1-m）2-2=2．整理，得2-m=±2．解得m1=0（舍去），m2=4．故新抛物线的表达式为y=（x-3）2-2．故答案是：y=(x−3)2−2．小提示：本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“关联点”的含义．14、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m=________时，水面宽为5m？答案：1.125分析：以抛物线的顶点为原点建立坐标系，则可以设函数的解析式是y=ax2，然后求得水面与抛物线的交点坐标，利用待定系数法求解抛物线的解析式，再利用点的坐标特点即可求解．解：如图，建立如下的坐标系：水面与抛物线的交点坐标是（-2，-2），(2,−2)，设函数的解析式是y=ax2，则4a=-2，解得a=−12，则函数的解析式是y=−12x2．当水面宽为5米时，把x=52代入抛物线的解析式可得：y=12×(52)2=258=3.125,∴3.125−2=1.125（米），所以答案是：1.125．小提示：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，建立合适的平面直角坐标系，求得水面与抛物线的交点是解题的关键．15、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是ℎ=−5t2+20t，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．答案：2分析：将函数关系式转化为顶点式即可求解．根据题意，有ℎ=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，当t=2时，ℎ有最大值．所以答案是：2．小提示：本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．解答题16、某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m>0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．答案：（1）y=−3x+300；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）m=5分析：（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；（2）根据题意得W=(−3x+300)(x−a)，再由表格数据求出a=20，得到W=(−3x+300)(x−20)=−3(x−60)2+4800，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；（3）根据题意得W=−3(x−100)(x−20−m)(x⩽55)，由于对称轴是直线x=60+m2>60，根据二次函数的性质即可得到结论．解：（1）设y=kx+b，由题意有{40k+b=180 70k+b=90，解得{k=−3b=300，所以y关于x的函数解析式为y=−3x+300；（2）由（1）W=(−3x+300)(x−a)，又由表可得：3600=(−3×40+300)(40−a)，∴a=20，∴W=(−3x+300)(x−20)=−3x2+360x−6000=−3(x−60)2+4800．所以售价x=60时，周销售利润W最大，最大利润为4800；（3）由题意W=−3(x−100)(x−20−m)(x⩽55)，其对称轴x=60+m2>60，∴0<x⩽55时上述函数单调递增，所以只有x=55时周销售利润最大，∴4050=−3(55−100)(55−20−m)．∴m=5．小提示：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．17、“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y1=ax2+ c，部分对应值如表：221．③1~7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1=12t+2，x2=1 4t2−32t+3，函数图象见图2．请解答下列问题：(1)求a，c的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．答案：(1)a=−15,c=9(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元分析：（1）运用待定系数法求解即可；（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x售价−x成本列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．（1）把{x=3,y=7.2，{x=4,y=5.8代入y需求=ax2+c可得{9a+c=7.2,①16a+c=5.8.②②-①，得7a=−1.4，解得a=−15，把a=−15代入①，得c=9，∴a=−15,c=9．（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，有w=x售价−x成本=12t+2−(14t2−32t+3)，化简，得w=−14t2+2t−1=−14(t−4)2+3，∵−14<0,t=4在1≤t≤7的范围内，∴当t=4时，w有最大值．答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．（3）由y供给=y需求，得x−1=−15x2+9，化简，得x2+5x−50=0，解得x1=5,x2=−10（舍去），∴售价为5元/千克．此时，y供给=y需求=x−1=4（吨）=4000（千克），把x=5代入x售价=12t+2，得t=6，把t=6代入w=−14t2+2t−1，得w=−14×36+2×6−1=2，∴总利润=w⋅y=2×4000=8000（元）．答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．小提示：此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．18、一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米．（1）求该抛物线的解析式；（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ （居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG ，使H 、G 两点在抛物线上，A 、B 两点在地面DE 上，设GH 长为n 米，“脚手架”三根木杆AG 、GH 、HB 的长度之和为L ，当n 为何值时L 最大，最大值为多少？ 答案：（1）y=-14x 2+4；（2）能安全通过，见解析；（3）n=4时，L 有最大值，最大值为14分析：（1）根据题意和函数图象，可以设出抛物线的解析式，然后根据抛物线过点F 和点M 即可求得该抛物线的解析式；（2）先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度，便可判断该车辆能安全通过．（3）射出H 的坐标，用n 表示出L ，利用二次函数的性质求解即可．解：（1）由题意得M （0，4），F （4，0）可设抛物线的解析式为y=ax 2+4，将F （4，0）代入y=ax 2+4中，得a=-14， ∴抛物线的解析式为y=-14x 2+4； （2）当x=3，y=74， 74+2-12=3.25>3.2，∴能安全通过； （3）由GH=n ，可设H （n 2，−n 216+4），∴GH+GA+BH=n+（−n 216+4）×2+2×2=−18n 2+n +12，∴L=−18n 2+n +12，∵a ＜0，抛物线开口向下，∴当n=-b=4时，L有最大值，最大值为14．2a小提示：本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是要注意自变量的取值范围必须使实际问题有意义．。

22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标（一）学习目标1．了解一元二次方程的根的几何意义，知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. （二）学习重点：1. 二次函数与一元二次方程之间的联系.2. 用图象法求一元二次方程的近似根并且估算.（三）学习难点：1. 理解一元二次方程的根在二次函数中的意义.2．用函数观点看一元二次方程，二次函数与一元二次方程的区别与联系. 3. 体会数形结合解决问题的思想方法.二、教学设计（一）课前设计 1. 预习任务: 二次函数2yax bx c 的图象与x 轴的交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：①有两个不相等的实数根，②有两个相等的实数根，③没有实数根(二)课堂设计1. 知识回顾（1）二次函数的定义：形如20yax bx c a b c a（、、为常数，）的函数，叫做二次函数.（2）二次函数的图象和性质：二次函数2y ax bx c 的图象是一条抛物线，当0a 时，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小，当2bx a时，y 随着x 的增大而增大； 当0a 时，当2bxa时，y 随着x 的增大而增大，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小. （3）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）（4）一元二次方程20ax bx c 的根的情况怎样判定：用根的判别式：ac b d 42-= ①当d ＞0时，方程20ax bx c 有两个不相等的实数根； ②当d=0时，方程20ax bx c 有两个相等的实数根； ③当d<0时，方程20ax bx c 没有实数根. 2. 问题探究探究一 二次函数与一元二次方程之间的联系 重点、难点知识★▲ ●活动① 通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系问题 如图，以40m s 的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位: m ）与飞行时间t （单位: s ）之间具有函数关系 师问：考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20m ？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 一般地，我们可以利用二次函数2y ax bx c 深入讨论一元二次方程20ax bx c . 师问：二次函数223yx x ，221yx x ，222yx x 的图象如下图所示，每个图象与x 轴有几个交点？223yx x 的图象 221yx x 的图象 222y x x 的图象师问：一元二次方程2230x x ，2210x x 有几个实数根？用判别式验证一下. 一元二次方程2220x x 有实数根吗？.师问：二次函数2yax bx c 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程20ax bx c 的根有什么关系？ 总结：一般地，从二次函数2y ax bx c 的图象可得如下结论：（1）抛物线2yax bx c 与x 轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.反之亦然.（即：由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系） （2）如果抛物线2y ax bx c 与x 轴有交点，交点的横坐标是0x ，那么当0xx 时，函数值是0，因此0xx 是一元二次方程20ax bx c 的一个根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的. 探究二 利用二次函数的图象求一元二次方程的根 ●活动② 通过例子，解决问题例 利用函数图象求方程2220x x 的实数根（结果保留小数点后一位）.解：画出函数222yx x 的图象（图22.2－3），它与x 轴的公共点的横坐标大约是7.0-、2.7，所以方程2220x x 的实数根为7.01-≈x ，7.22≈x（图22.2－3）我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 观察函数222yx x 的图象，可以发现，当自变量为2时函数值小于0（点(2,2)在x 轴的下方），当自变量是3时函数值大于0，（点(3,1)在x 轴的上方）.所以抛物线222yx x 在23x 这一段经过x 轴.（抛物线没有间断点，因而抛物线从x 轴下方通过x 轴上方时一定经过x 轴.）也就是说，当自变量取2,3之间的某个值时，函数值为0，即方程2220x x 在23，之间有根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.（每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半.）例如，取2,3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0,0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5,2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.5625,2.75之间，在2.6875,2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在的范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于2.6875 2.750.06250.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.你能用这种方法得出方程2220x x 的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？这种求根的近似值的方法也适用于更高的一元方程.【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： （1） 画出函数的图象（可用计算机画）；（2）根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间； 可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. （3）确定方程的近似根.探究三 例题讲解 学以致用 ●活动① 基础性例题例1：抢答：判断下列抛物线与x 轴的交点个数. （1）2242yx x （2）2621yx x （3） 2324y x x【答案】一个交点，没有交点，两个交点． 练习：二次函数2340y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，则线段AB 长为 ．【答案】13例2 （1）已知二次函数277y kx x 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围为（ ）A ．74kB ．047≠-≥k k 且 C ．74k D ．704k k -≠＞且 【答案】B （2）若二次函数23yx x m 的图象全部在x 轴的下方，则m 的取值范围为 ． 【答案】94m． 练习：抛物线2yx x b 的图象全部在x 轴的上方，则b 的取值范围为 ．【知识点】抛物线与x 轴的交点问题 【答案】14b●活动② 提升型例题 例3 下表是一组二次函数235yx x 的自变量x 与函数值y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y﹣1﹣0.490.040.591.16那么方程2350x x 的一个近似根是（ ） A ．1 B ．1.1 C ．1.2 D ．1.3【答案】C练习：在平面直角坐标系中，抛物线20yax bx c a （）的部分图象如图所示，直线1x 是它的对称轴．若一元二次方程20ax bx c 的一个根1x 的取值范围是123x ，则它的另一个根2x 的取值范围是 ．【答案】210x●活动③ 探究型例题例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233yx x 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ．（1）填空：点A 的坐标为（ ， ），点B 的坐标为（ ， ），点C 的坐标为（ ， ），点D 的坐标为（ ， ）； （2）点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；【答案】(1) 0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、83；（2）① 35(,)22E -，② 3522EF =或；练习：如图，抛物线2y ax bx =+过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标． 【答案】24y x x =-+,3 , （5，﹣5） 3. 课堂总结 【知识梳理】（1）填表：二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=的关系：判别24b ac - 0∆> 0∆= 0∆<函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象0a >0a <20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根12,x x有两个相等的实数根122b x x a==-没有实数根抛物线与x 轴 的交点情况有两个交点 有一个交点 无交点（2）一般地：已知二次函数2y ax bx c =++的函数值为m ，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程2ax bx c m ++=．反之，解一元二次方程2ax bx c m ++=又可以看作已知二次函数2y ax bx c =++的值为m 的自变量x 的值．（3）利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： ①画出函数的图象（可用计算机画）；②根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；③可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. ④确定方程的近似根. 【重难点归纳】1. 注意抛物线与x 轴的交点与抛物线的对称轴之间的关系：当已知方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x 时，那么抛物线2y ax bx c =++的对称轴为122x x x +=. 2. 注意四个“二次”之间的区别与联系，即二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次三项式；利用他们之间的转化解决问题.（1）二次三项式2ax bx c ++恒正⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴上方0a ⇔>且0∆<； （2）二次三项式2ax bx c ++恒负⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴下方0a ⇔<且0∆<. 3. 利用二次函数图象求不等式解集的方法：“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“0,0y y ><或0,0y y ≥≤”，从图象看是指曲线在x 轴上方或x 轴下方时的x 值（对应的自变量x 的取值范围）。