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O
x
配套训练 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a ≠0) 在同一平面直角坐标系的图象可能是（ A ） y
y
O A
x y
y
O x B
O
x
O D
x
C
专题五 二次函数与一元二次方程的关系
例5 结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题：
①写出方程ax2+bx+c=0的根；
②写出不等式ax2+bx+c>0的解集； ③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； y 2 ④若方程ax +bx+c=k有两个不相等的实数根， 4 求k的取值范围. 解析 本题结合图象从中发现信息进行解题. -1 O 3 x
解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于
（-1,0），（3,0）两点.∴方程的根为x1=-1，x2=3；
（2）由图象可知当-1<x<3时，函数的图象位于x轴的上方， 所以不等式的解集为-1<x<3； （3）由图象可知，在x轴的右侧，y随着x的增大而减小， ∴y随着x的增大而减小的x的取值范围为x>1; (4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与 二次函数图象有两个交点，∴k的取值范围为k<5.
(3)当x>0时，y随x的增大而减小.
x
配套训练 1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（ C ） A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2) 2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c=
1 4
.
-4 3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2 ，则 b=_______.
当x=2.5时，y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.
y (1,1.5) 丙 (0,1) 1m
丁
(4,1) x
甲O
1m
2.5m 4m
乙
（2）如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同
学的距离为s米, 要使绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合 图像,直接写出s的取值范围.
丙
丁
1m
m2 5 m 8
3
是关于x的二次数.
(1) 求满足条件的m的值，并写出解析式； （2）抛物线有最高点和最低点吗？二次函数有最大值还是最 小值？最值是多少？
（3）当x为何值时y随x的增大而减小？
解析 （1）根据定义可知m2+5m+8=2且m+2≠0;(2)在（1）的 基础上根据a的符号再作确定；（3）判断抛物线的增减性要 结合开口方向及对称轴.
m 2, m 2 0, 解：（1）由题意得 2 解得 m 2或m 3, m 3. m 5m 8 2,
∴满足条件的m=-3,这时二次函数的解析式为y=-x2+3. y (2)抛物线y=-x2+3有最高点，该二次
y=-x2+3
O
函数有最大值，最大值是3.
③在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的
大小：y1________ y2(填“＞”“＜”或“＝”). ＜
配套训练 2.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0 时，x的取值范围是 -1<x<3 . y
3
-1
O
1
x
专题三 二次函数图象图象的变换
例3 如图，二次函数y1=－x2+2图象向右平移1个单位得到的 y2 ．回答下列问题：
配套训练 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程 ax2+bx+c-8=0的根的情况是（ C ） y 8
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
O
x
专题六 待定系数法求二次函数的解析式
例6 你能求出图中抛物线的解析式吗？ 解析 图象中提供了我们解题的很多信息， y 4
x x1 x2 2
,因此这条抛物线的对称轴是直线
x
(1) 3 1 2
.
配套训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的 部分对应值如下表： x y
… …
-1 10
0 5
1 2
2 1 ； .
3 2
… …
则①抛物线的对称轴是 直线x=2 ②当y<5时，x的取值范围是 0<x<4
方法提示 知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线
与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线
上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用 最熟悉的方法.
配套训练 已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2，
2 －8)，则二次函数的解析式是 y=-2(x-1) -6 .
交点式
y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 性 质 六点、一轴、一方及增减性与最值 抛物线与 x 轴交点的 二次函数与一元二次方程的关系 横 坐 标 就 是 其 对 应 一元二次方程的根 二次函数的应用
专题复习
专题一 二次函数的定义及基本性质
例1 已知函数 y
m 2 x
如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是
（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴 是直线x=2及顶点坐标是(1,4).
你有几种方法可 以求这条抛物线 的解析式，你最 喜欢哪一种？
-1 O
3
x
解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k.由图象可知抛物线的对 称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标 为（1,4），∴有y=a（x-1）2+4，代入（-1,0）.∴a（-1-1） 2+4=0，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.
优翼 课件
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十二章 二次函数
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
知识网络
定义 二次函数的概念 一般形式
y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)
全体实数
自变量的取值范围
图 二 次 函 数 象 一条抛物线 一般式 解析式形式 顶点式
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2)
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）存在，理由如下：
作点C关于抛物线对称轴直线x=-1的对称点C’，由抛物线的
性质可知点C‘在抛物线上，点C’的坐标是（-2,3），连接点
A.开口向下，顶点坐标(5,3) B.开口向上，顶点坐标(5,3) C.开口向下，顶点坐标(-5,3) D.开口向上，顶点坐标(-5,3)
2.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是
（ A ） y y
y
y
O A
x
O B
x
O
C
x
O
x
D
3.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得到的图象
甲 1m
2.5m 4m 1<s<3
乙
课堂小结
二次函数的 定 义
二次函数的概念 及 图 象 特 征 用数形结合 的方法去研 究和运用
二次函数
二次函数的 图象及性质
二次函数的 应 用
建立二次函数模型， 将实际问题数学化， 运用二次函数知识 解 决 实 际 问 题
课后训练
1.对于抛物线y=-2(x-5)2+3 ，下列说法正确的是（ A ）
的函数解析式是 y=2x2+1
.
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴 为 直线x=1 .
5.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（-3，
0）两点，与y轴交于点C（0,3）. （1）求该抛物线的解析式； y=-x2-2x+3 Q（-1，2）
专题四 二次函数图象与系数的关系
例4 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为
（-1，0）．则下面的四个结论 ：①2a＋b＝0；②4a－2b＋
c>0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜-1或x＞3．其中正确的是 （ C ） A.①② C.①④ B. ①③ D. ②③ y C
(0,1) 1m
丁
(4,1)
甲
1m
2.5m 4m
乙
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1 a b 1 1.5, 点（1,1.5）、（4,1）在抛物线上，得 16a 4b 1 1,
1 2 解得： a ,b 6 3
1 2 2 y x x 1(1≤x≤4）, ，所以抛物线解析式为 6 3
函 数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) a>0 a<0 y
O
图
象
y x
x b 2a 2
O
x
开 口 性
向上，并向上无限延伸 向下，并向下无限延伸
