调和点列(一)解析

极点极线与调和点列的关系《极点极线与调和点列的关系》朋友，你知道极点极线和调和点列吗？这俩概念听起来好像很复杂，其实没那么难理解。

咱们先说极点极线。

比如说，你站在操场上，把操场的某个角当作一个点，然后从这个点向四周看，能看到很多条线，这些线就和这个点有关系，这就有点像极点和极线的关系。

再来说说调和点列。

想象一下，你和小伙伴们排队，你站在中间，前后的小伙伴和你之间的距离有一种特殊的比例关系，这就类似于调和点列。

那极点极线和调和点列有啥关系呢？比如说，在一个图形中，如果有一条极线，那么在这条线上的点就可能形成调和点列。

就像我们画一个三角形，然后找到它的某个极点和对应的极线，在这条极线上取几个点，通过一些计算和推理，就能发现它们构成了调和点列。

怎么样，是不是稍微有点明白了？《极点极线与调和点列的关系》今天咱们来聊聊极点极线和调和点列。

比如说你在纸上画一个圆，然后随便选一个点，通过这个点向圆引一些线，这里面就藏着极点极线的秘密。

那调和点列呢？好比你和几个朋友手拉手站成一排，每个人之间的距离不是随便的，而是有一种特别的规律。

那极点极线咋就和调和点列有关系了呢？假设这个圆是一个神奇的舞台，极点就是舞台上的主角，极线就是主角周围的灯光，而调和点列就是灯光下按照特定节奏排列的舞者。

举个简单例子，在一个椭圆里，找到了极点和极线，然后在这条线上仔细观察几个点，你会惊奇地发现它们就像训练有素的士兵，按照调和点列的规则排列着。

是不是很有趣？《极点极线与调和点列的关系》朋友，让我给你讲讲极点极线和调和点列的关系。

你想想看，假如有一张地图，地图上有一个特别重要的地方，我们叫它极点。

从这个极点延伸出去的道路，就是极线。

调和点列呢，就像是一群小伙伴按照一定的顺序排队。

比如说在一个三角形里，有一个顶点就是极点，从这个顶点出发的对边就是极线。

在这条极线上，如果有几个点，它们之间的距离和位置就可能形成调和点列。

好比我们一起去公园，沿着一条小路走，路边的花朵排列，有时候就像调和点列一样，有着一种特别的美。

调和点列与圆锥曲线圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它是由一个平面上的点P和一个定点F及一条定直线L所定义的几何图形。

当点P沿着定直线L 移动时，点P到定点F的距离与点P到定直线L的距离的比值保持不变，这个比值称为离心率。

圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线的特例。

本文将探讨调和点列与圆锥曲线之间的关系。

调和点列是指一个序列中相邻两项点的连接线经过一个定点。

这个定点称为调和中心，调和中心是调和点列的一个重要性质。

调和点列在几何学中有着广泛的应用，尤其是在圆锥曲线的研究中，调和点列是解决圆锥曲线问题的常用工具。

对于任意一条圆锥曲线，都存在一个调和点列，这个调和点列的构造方法是通过圆锥曲线上的两个点P和Q，以及圆锥曲线的离心率e，构造出一个调和点列。

具体的构造方法如下：1. 以点P和点Q为圆锥曲线的两个焦点，连接两个焦点，得到一条直线F1F2。

2. 在点P和点Q的中垂线上分别取一点A和B，使得PA/AB=e。

3. 连接点A和点B，得到一条直线L。

4. 在直线L上取一点C，使得PC与QC的比值等于e。

5. 连接点P和点Q，得到一条直线F3F4。

6. 连接点C和直线F3F4的交点D，得到一条直线F5F6。

7. 以点P和点Q为圆锥曲线的两个焦点，以点D为调和中心，连接点P、D、Q，得到调和点列P、D、Q。

构造出的调和点列P、D、Q具有以下性质：1. 点D是点P和点Q的中垂线上的点，即PD=QD。

2. 点D到点P和点Q的距离的倒数之和为2，即1/PD+1/QD=2。

3. 调和点列P、D、Q是圆锥曲线上的一条直线。

因此，调和点列是圆锥曲线上的一条直线，这个性质在解决圆锥曲线问题时非常有用。

例如，在求解圆锥曲线的渐近线时，可以利用调和点列的性质来求解。

对于一条双曲线，其渐近线是通过双曲线两个焦点的中垂线的交点的调和点列；对于一条椭圆，其渐近线是通过两个焦点和两个顶点的调和点列；对于一条抛物线，其渐近线是经过抛物线顶点和焦点的调和点列；对于一条圆，其渐近线是不存在的。

调和点列知二推二【原创版】目录1.调和点列的定义和性质2.调和点列的应用3.调和点列的推广和发展正文调和点列是指在平面直角坐标系中，满足如下条件的点集：对于任意一个点 P(x, y) 在该点列中，总存在另外两个点 Q(x1, y1) 和 R(x2, y2)，使得 P、Q、R 三点共线，且 PR 的斜率为 -1。

这个性质使得调和点列在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

首先，我们来介绍一下调和点列的定义和性质。

调和点列最早由法国数学家 Poncelet 在 19 世纪提出，他发现在满足一定条件下，可以通过三个共线的点来描述一个调和点列。

具体来说，如果点 P(x, y) 在调和点列中，那么可以通过以下公式来描述另外两个点 Q 和 R 的坐标：x1 = 2x - xy, y1 = 2y - xyx2 = 2x + xy, y2 = 2y + xy其中，x1、y1、x2、y2 分别为点 Q 和 R 的坐标。

可以看出，Q 和R 的坐标是关于 x 和 y 的一次函数，因此 P、Q、R 三点共线。

另外，根据斜率公式，可以证明 PR 的斜率为 -1，满足调和点列的定义。

接下来，我们来介绍一下调和点列的应用。

在计算机图形学中，调和点列常常用于生成平滑的曲线和曲面。

通过在起点和终点之间选择适当的点，可以得到一个近似于所需曲线或曲面的调和点列。

另外，在图像处理和模式识别领域，调和点列也有着广泛的应用，例如用于图像的缩放和插值等。

最后，我们来介绍一下调和点列的推广和发展。

随着调和点列研究的深入，人们逐渐发现了一些新的性质和应用。

例如，可以通过对调和点列进行推广，得到高维调和点列，用于描述空间中的曲线和曲面。

另外，调和点列还可以与其他数学概念相结合，如代数几何、拓扑学等，从而得到更深入的理论和应用。

总之，调和点列作为一种重要的数学概念，在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

用调和点列圆锥曲线大题
调和点列圆锥曲线题目是一道典型的几何题目，需要我们熟练掌握圆锥曲线的知识，同时还需要运用调和点的概念来解决问题。

下面我们来一步步分析这道题目。

步骤一：了解圆锥曲线
圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们的特点分别是：
椭圆：离心率小于1，是由一个锥体和一个平面截面所得的曲线。

双曲线：离心率大于1，是由一个锥体和一个平面截面所得的曲线，与直角双曲线相似。

抛物线：离心率等于1，是由一个锥体和一个平面截面所得的曲线，与直角双曲线相似。

步骤二：了解调和点
调和点指的是直线上任意两点的中垂线与这两点的交点。

它具有如下性质：
1. 调和点与两点的距离相等。

2. 调和点将这两点分成相等的两段。

3. 直线上任意取点向两个端点的连线相交于这个点的中垂线上的点，该点就是这两个端点的调和点。

步骤三：圆锥曲线大题的解法
当出现圆锥曲线大题时，我们需要通过已知条件使用调和点的概念来解题。

例如，题目可能要求我们证明给定的点在圆锥曲线上，或者要求我们找到圆锥曲线上满足特定条件的点。

我们可以使用如下步骤解决圆锥曲线大题：
1. 使用已知条件连接两点，并求出它们的中点。

2. 求出这两点的中垂线，然后找到这条中垂线上的调和点。

3. 判断调和点是否在圆锥曲线上，或者找到满足题目要求的圆锥曲线上的点。

4. 根据题目要求给出答案。

总之，圆锥曲线大题需要我们熟练掌握圆锥曲线和调和点的概念，以及能够正确运用这些概念来解决问题。

通过不断地练习和掌握相关知识，相信我们一定能够轻松应对圆锥曲线大题。

调和点列性质The document was finally revised on 2021调和点列研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。

射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。

在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中着名的定理。

后来在19世纪，又经过•彭赛列、J.施泰纳、施陶特、•麦比乌斯、A•凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。

亠 < AR AD定义：直线上依次四点A、B、C、D满足乔=乔，则称A、B、C、D C DCD四点构成调和点列。

其中A、C和B、D称为调和共觇。

性质仁如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F,交BC与点E则A、D、E、F四点调和。

证明人D、E、F四点调和。

等等o符罟①AD AD^ AC BD * DC乔—丽乔—丽CF_DE _ S®. _ BD CD sin ZBDC _ BD CDTT ---- = ---- --- = ------------------------------- = ------------FE S汕吃BF*FC*sin ZBFC BF FC 故①成立。

得证！推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC （此直线也C性质2：证明：1 1 2A、B、C、D调和。

五+而=花椭圆于D、F,交BC与E则A、D、E. F成调和点列。

证明：暂路。

一1 1 2 1 1 2 b c叩—+ ------ = ---- o— -------------- -- ------- o--------------- = ------------------------- AB AD AC a a+b+c a + b a(a+b) (a + b)(a+ b + c) b c a a+b+co _ = --------------- o —= ---------------a a+b+c h c即证。

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射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。

在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中著名的定理。

后来在19世纪，又经过J.V.彭赛列、J.施泰纳、K.G.C.von施陶特、A.F.麦比乌斯、A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。

定义：直线上依次四点A、B、C、D满足，则称A、B、C、D四点构成调和点列。

其中A、C和B、D称为调和共轭。

性质1：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和。

证明: ①又而故①成立。

得证！推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC （此直线也叫极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调和点列。

证明：暂略。

性质2：证明：而即证。

推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则.反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且，则A、B、C、D四点调和。

性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足则必有MC平分，MA外角平分.这是调和点列应用中相当重要的一个性质。

证明：反证法。

反设MC不平分，作MC’平分角交BD与C’，MA’外角平分角交DB延长线与A’ ，则由内角平分线定理，有外角平分线定理，所以②由A、B、C、D成调和点列知注意到成立成立所以与②矛盾！所以MC平分，MA外角平分。

椭圆调和点列证明 -回复
椭圆调和点列是指在椭圆上存在无重复的一列点，它们的调和平
均等于椭圆上的一点。

下面给出椭圆调和点列的证明。

设椭圆的焦点为F1, F2，它的长轴长度为2a，短轴长度为2b，
且椭圆的离心率小于1。

取椭圆上的一点P(x,y)，我们需要证明存在
无重复的一列点，它们的调和平均等于P点。

首先，我们取F1P和F2P的长度为a(n)，其中n为正整数。

那么根据椭圆的性质，F1P + F2P = 2a，即a(n) + a(n) = 2a，即a(n) = a。

接下来，我们取F1P和F2P的长度为bn，其中n为正整数。

那么根据椭圆的性质，F1P + F2P = 2b，即bn + bn = 2b，即bn = b。

现在，我们来构造点列。

从点P开始，我们每次在椭圆上取F1P
和F2P的长度为an(n = 1, 2, 3, ...)得到的点，将它们按顺序连接
起来。

这样就构成了一列从P出发的点。

同样地，我们从点P开始，
每次在椭圆上取F1P和F2P的长度为bn(n = 1, 2, 3, ...)得到的点，将它们按顺序连接起来。

这样就构成了另一列从P出发的点。

根据上述构造方法，由于a(n) = a和bn = b，我们可以得到两
列点的调和平均分别等于P点。

在证明过程中，我们没有使用任何网址、超链接和电话等外部资料，仅仅利用椭圆本身的性质进行推导，从而得出椭圆调和点列的证明。

调和点列及调和线束性质的证明与应用举例首都师范大学附属回龙观育新学校(102208)李路军李洪景摘要本文考虑了由完全四边形与椭圆所呈现的一些调和点列及调和线束的性质,并用初等方法给出了证明;并通过4个例子说明了这些性质在解题中的应用.关键词调和点列;调和线束常在资料上看到一些证明不完整的有关调和点列和调和线束性质的叙述,作为教师只有理清其本质,使用起来才能心明眼亮.本文给出的例子,让我们更清楚的洞穿题目的意图及本质,为我们的教学提供了坚实的基础.本文着重对椭圆中的调和点列及调和线束问题予以讨论,实际上所提及的性质在二次曲线系中都是成立的,可类比得出.调和点列的定义若同一直线上四点G,A,H,B 满足GA ×HB =GB ×AH ,即GA AH =GBHB,则称A,B 调和分割线段GH 或G,H 调和分割线段AB ,A,B,G,H 为调和点列(G,H 与A,B 称为调和共轭).一、完全四边形中的调和点列1.完全四边形.两两相交又没有三线共点的四条直线段及它们的六点所构成的图形称作完全四边形,如图1,ABMCKD 是一个完全四边形.2.完全四边形中的调和点列.图1图2作为准备,我们考虑如下张角定理:张角定理[1](本质是正弦定理的面积形式).如图2,三角形ABC 中,D 为BC 上一点,连接AD ,设∠CAD =α,∠BAD =β,则sin (α+β)AD =sin αAB +sin βAC.证明因为S ∆ABC =S ∆ABD +S ∆ADC ,所以12AC ·AB sin (α+β)=12AC ·AD sin α+12AD ·AB sin β两边同时除以AB ·AC ·AD ,整理得:sin (α+β)AD=sin αAB +sin βAC.完全四边形中的调和点列[2]如图3.1,完全四边形ABMCKD 中,设AC 与BD 的交点为G ,连接MG 交AD 于H ,则A,D,H,K 为调和点列.证明设∠MAC=α,∠KAC=β,在∆AMH,∆ABD,∆AMD,∆ABK 中,分别有:sin (α+β)AG =sin αAH +sin βAM(1)sin (α+β)AG =sin αAD +sin βAB (2)sin (α+β)AC =sin αAD +sin βAM (3)sin (α+β)AC =sin αAK +sin βAB(4)[(1)−(2)]−[(3)−(4)]:0=sin α(1AH +1AK −2AD );因为sin α=0,所以1AH +1AK =2AD;所以AD AH +AD AK =2⇒AH +DH AH +AK −DK AK=2⇒DH AH =DK AK ,即AH ×DK =AK ×DH ,则A,D,H,K 为调和点列.根据线段间的数量关系,调和点列有不同的等价形式:DHAH =KH −KD KA −KH =DK AK ⇒1KD +1KA =2KH ,1HD −1HA =2HK ;1DH −1DK =2DA ;1AH +1AK =2AD 都可以说明点A,D,H,K 为调和点列.图3.1图3.2如图3.2连接KG 交AM 于L ,则点A,B,L,M 也为调和点列,这也正是本文要讲的调和线束性质2.图3.2中有7线9点,存在四个完全四边形,这个图形也成为完全四点形[3].二、圆锥曲线中的调和点列圆、椭圆、双曲线、抛物线这个家族中,有很多共性,这里以椭圆为例证明.性质1给定椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),过点F (x 0,y 0)(F 不在椭圆上且不为原点)的直线与椭圆交于A,B 不同两点,若点P,F,A,B 为调和点列,则点P 为直线AB 与直线x 0xa 2+y 0y b2=1的交点.证明设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (m,n ).当直线AB 斜率存在时,设AB 方程为y −y 0=k (x −x 0).与椭圆方程联立,化简得:(a 2k 2+b 2)x 2+2ka 2(y 0−kx 0)x +a 2(y 0−kx 0)2−a 2b 2=0.当∆ 0时,x 1+x 2=−2ka 2(y 0−kx 0)a 2k 2+b 2,x 1x 2=a 2(y 0−kx 0)2−a 2b 2a 2k 2+b 2.点P,F,A,B 为调和点列,即满足x 0−x 1x 0−x 2=x 1−mm −x 2,即2mx 0+2x 1x 2−(x 0+m )(x 1+x 2)=0;两根之和之积代入,化简得:a 2y 0(m −x 0)k +(mx 0b 2+a 2y 20−a 2b 2)=0.又k =y 0−n x 0−m ;代入化简得x 0ma 2+y 0nb 2=1,即有P 点在直线x 0x a 2+y 0yb2=1上.如果过F 的直线斜率不存在,且与椭圆也有两个不同的交点时,根据纵坐标间的关系,可验证P 点也满足直线x 0x a 2+y 0yb 2=1方程.综上,P 点恒在直线x 0x a 2+y 0yb 2=1上.得证.当点F 为(t,0)(−a <t <a,t =0)时,点P 在直线x =a 2t上;点F 为焦点时,点P 在相应的准线上.当点F 为(0,t )(−b <t <b,t =0)时,点P 在直线y =b 2t上.评注在射影几何中,直线x 0x a 2+y 0yb2=1称为点F (x 0,y 0)关于椭圆的x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)极线,点F (x 0,y 0)称为直线x 0x a 2+y 0yb2=1的极点.从上面的证明过程可知,过点F (x 0,y 0)的直线与椭圆交于A,B 不同两点,若点P,F,A,B 为调和点列时,点P 为直线AB 与点F 的极线的交点.所以在圆锥曲线中,调和点列与曲线的极线极点相关.双曲线x 2a2−y 2b 2=1中,点F (x 0,y 0)对应的极线为x 0x a 2−y 0y b2=1;抛物线y 2=2px 中,点F (x 0,y 0)对应的极线为yy 0=p (x +x 0);圆x 2+y 2=r 2中,点F (x 0,y 0)对应的极线为x 0x +y 0y =r 2;当点F 在曲线外时,对应的极线为点F 的切点弦所在的直线方程;当点F 在曲线上时,对应的极线是过点F 的切线所在的直线方程.三、调和线束的两条性质调和线束的定义如图4,如果K,H,D,A 是调和点列,直线外一点M 与它们的连线称为调和线束,即直线MK,MH,MD,MA 为一簇调和线束.平面内不过点M 也不与KA 重合的直线,可以划分为两类,一类是与其中一条线束平行;一类是与四条线束都不平行,下面研究它们的性质.图4图5调和线束性质1平面内若一条直线与调和线束中的其中一条平行而与其余三条相交,则相交线段被平分.下面仅以与MA 平行进行证明.如图5,过点D 作MA 的平行线,分别交直线MK,MH 于点C,B ,则D 为线段CB 中点.证明:∆KDC ∆KAM ,所以KD KA =CDMA ;又∆DBH ∆AMH ,所以DB AM =HD HA;又因为K,H,D,A 为调和点列,KD KA =HDHA,所以CD =DB ,即D 为BC 中点.则所有与MA 平行的直线被MK,MD,MH 所截,得到的线段被平分.如果直线与MH 平行,可以过点K 作辅助线进行证明.其余类推.调和线束性质2平面内若一条直线与调和线束都相交,且交于不同的四个点,则相应的交点也成调和点列.下面分四种情况进行证明.(1)直线与射线MK,MD,MH,MA 都相交或者与其反向延长线都相交的情况.如图6,过点K 作一条直线l 与直线MD,MH,MA 分别相交于点D 1,H 1,A 1,则K,H 1,D 1,A 1为调和点列.证明过点D 1作MA 的平行线交MK,MH 于E,F 两点.根据性质1,可知D 1为EF 的中点.∆KED 1 ∆KMA 1,所以KD 1KA 1=ED 1MA 1;又∆D 1F H 1 ∆A 1MH 1,所以D 1F A 1M =D 1H 1A 1H 1;所以KD 1KA 1=H 1D 1H 1A 1,则K,H 1,D 1,A 1为调和点列.根据平行性,平面内与l 平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.图6图7.1(2)直线与其中三条射线相交,与另一条射线反向延长线相交的情况.仅以与MK反向相交为例.如图7.1,过点D 作一直线l与射线MK反向延长交于点K1,与MH,MA 分别交于点H1、A1,则相应的点K1,H1,D,A1成调和点列.证明过点D作MA的平行线交MK,MH于E,F两点.根据性质1,可知D为EF的中点.∆K1ED ∆K1MA1,所以K1DK1A1=EDMA1;又∆DF H1 ∆A1MH1,所以DFA1M =DH1A1H1;所以K1DK1A1=H1DH1A1,则K1,H1,D,A1为调和点列.根据平行性,平面内与l平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.(3)直线与其中两条射线相交,与另两条射线反向延长线相交的情况.这里以与MK、MD反向相交为例.如图7.2,过点H作一直线l与射线MK、MD反向延长线交于点K1, D1,与MA交于A1,则相应的点K1,H,D1,A1成调和点列.证明过点K1作MH的平行线交MD1,MA于E,F 两点.根据性质1,可知K1为EF的中点.∆K1ED1 ∆HMD1,所以EK1MH =D1K1D1H;又∆A1F K1 ∆A1MH,所以K1FHM =K1A1HA1;所以K1D1K1A1=HD1HA1,则K1,H,D1,A1为调和点列.根据平行性,平面内与l平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.图7.2图7.3(4)直线与其中一条射线相交,与其余三条射线反向延长线相交的情况.这里以与MA相交为例.如图7.3,过点A作直线l与射线MK、MD、MH反向延长线交于点K1,D1,H1,则相应的点K1,H1,D1,A成调和点列.证明过点D1作MA的平行线交MH,MK的反向延长线于E,F两点.根据性质1,可知D1为E,F的中点.∆H1ED1 ∆H1MA,所以ED1MA=H1D1H1A;又∆D1F K1 ∆AMK1,所以D1FAM=D1K1AK1;所以K1D1K1A=H1D1H1A,则K1,H1,D1,A为调和点列.根据平行性,平面内与l平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.综上,平面内任意一不过点M的直线都有相应的情况对应.四、应用举例例1(2018年武汉大学自主招生试题[4])已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,A,B分别为椭圆E的左右顶点,D(1,0)为线段OF2的中点,且−−→AF2+5−−→BF2=−→0.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)若点M为椭圆E上的动点(异于A,B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于P,Q,连接P Q,设直线MN、P Q的斜率存在且分别为k1,k2,试问是否存在常数λ,使得k1+λk2=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.图8简析(Ⅰ)x29+y25=1;(Ⅱ)如图8,点D对应的极线是x=9,设NM、P Q交极线于点R,NP,MQ交极线于点G,则有完全四边形NMRQGP,连接RD,并延长交NP G于点K,则N,P,K,G为调和点列,RN,RP,RK,RG为调和线束,根据性质2,x轴与线束的相应交点依然为调和点列,设RQ与x轴的交点为I,极线与x轴的交点为H,即F1,D,I,H为调和点列,满足F1DF1H=IDIH,把坐标代入,可得x I=197,则λ=−k1k2=F1HIH=−74.图9例2(2017年高考北京卷理科第18题)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1),过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(I)求抛物线C的方程;(II)求证:A为线段BM的中点.简析(I)抛物线C的方程为y2=x;(II)如图9,设点(0,12)为K,OP恰为点K的切点弦所在的直线,即OP为点K的极线.设MN与OP的交点为Q,则点K,Q,M,N为调和点列,那么OK,OQ,OM,ON 为调和线束,又直线MA与OK平行,根据调和线束性质1, MA与其余三条调和线束的相交线段被平分,即A为线段BM的中点.例3(2013年高考江西卷理科)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(1,32),离心率e=12,直线l的方程为x=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记P A,P B,P M的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3.若存在求λ的值;若不存在,说明理由.简析(Ⅰ)x24+y23=1.(Ⅱ)如图10,直线x=4是右焦点的极线,所以点M,F,B,A为调和点列,P M,P F,P B,P A为调和线束,由调和线束性质2,则x轴与调和线束相应的交点依然为调和点列,设P M,P B,P A与x轴的交点依次为K,R,X,则K,F,R,X为调和点列,有1F R−1F X=2F K,则P F F R −P FF X=2P FF K,化简k P A+k P B=2k P M.图10例4设A,B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴(长轴)的两个端点,P为平面内任意一点(不在直线AB上),设直线P A,P B与椭圆分别交于E,F,与长轴(短轴)所在直线分别相交于C,D,直线EF与短轴(长轴)所在直线相交于M,则直线P M平分线段CD[5].简析如图11,实际上,此试题可认为是过y轴上一点M(不与原点、A,B重合)作直线交椭圆于E,F,连接AE,BF,相交于一点P,则直线P E,P M,P F被x轴所截,截得的线段被平分.图11设BE与AF的交点与点P的连线与y轴的交点为L,在完全四边形BF P EMA中,M,L,A,B为调和点列, P M,P L,P A,P B为调和线束,又点M在y轴上,其极线P L一定与y轴垂直,根据调和线束性质1,那么x轴与另外三条线束的相交线段被平分.图12如果点P在椭圆上(不与顶点重合),如图12,设过点P的切线与x轴交于Q点,M,L,A,B为调和点列, P M,P L,P A,P B为调和线束,根据调和线束性质1,那么x轴与另外三条线束的相交线段被平分,则Q为CD中点.本文仅仅是对圆锥曲线中的椭圆进行了相应的研究,而在圆、双曲线、抛物线中也是成立的.圆锥曲线压轴题,一向都是思维的难点与计算的痛点,但是如果能先从几何的角度去认识它,分析它,就有助于对习题的深刻理解,并减少运算.所以人们常说,解析几何首先是几何,要有几何的眼光.调和线束的性质应用,在一些竞赛中也常常隐蔽出现[6],只有掌握了其本质,解决问题时才能直入主题,才能站在高处思考问题,故以后的教学中,要有意的培养学生洞察问题本质的意识,不仅仅是“解析”.如果不能从几何角度解释,说明我们还没有找到几何解释的方法.参考文献[1]赖百奇.张角公式的若干应用[J].数学通报,2005(7).[2]张景中.面积关系帮你解题[M].上海:上海教育出版社,1982.[3]邹宇,张景中,饶永生.作辅助线求完全四边形线段比列的机械化方法.数学通报,2016(1).[4]满在伟,杨列敏.对一道解析几何问题的探究与推广[J].中学数学教学参考,2019(11).[5]李伟键.椭圆的一个结论的演变历程[J].数学通讯,2017(12).[6]曾建国.调和点列的一个性质在线段中点问题中的应用[J].中学数学研究,2019(7).。