完全四点形和完全四线形调和性质应用例析

4.3 完全四点形和完全四线形内容解析定义4.5 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形，叫做完全四点形． 见图4-3，这个图形含有四个点D C B A ,,,，及六条直线AB ，BC ，CD ，DA ，BD ，AC ，每一个点称为顶点，每一条直线称为边．如图4-5所示，不过同一顶点的两边称为对边（如AD 与BC ），共有三对对边．每一对对边的交点称为对边点或对角点（如AD 与BC 的交点S ），三个对边点（SQR ）构成的三角形（三点形）称为对边三角形．定义4.6 平面内无三线共点的四直线及其两两的交点＃所构成的图形，叫做完全四线形．见图4-6，这个图形含有四条直线（d c b a ,,,）和六个点（A ，B ，C ，D ，E ，F ），每一条直线称为边，每一个点称为顶点．不在同一边上的两个顶点称为对顶点（如A 与D ）．六个顶点分为三对，每一对对顶点的连线，称为对顶线（AD ，EC ，BF ），三条对顶线构成的三角形称为对角三角形（PQR ）．完全四点形和完全四线形具有如下性质．定理4.9 完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这个对角点的两边和34-图B C DA 54-图B CD A S Q R 64-图P Q R a b c dAB CD E F对角三角形的两边．如图4-5，比如对角点S 的两边SA 、SB 和对角三角形SQR 的两边SR 、SQ ．是一组调和线束． 定理4.10 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个点．如图4-6，比如对角线CE 上的两个顶点C 、E 和对角三角形PQR 的两个顶点P 、Q ， 是一组调和点列．典型例题例1 设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，XZ 分别交BD AC ,于M L ,，不用笛沙格定理，证明CM BL YZ ,,共点．证明如图4-7，54-图BC D AS QR64-图PQ R a b c dAB CD E F 74-图对四线形ABCD ，根据定理4.10可知，在对角线AC 边上的四点L Y C A ,,,调和共轭，即1),(-=YL AC ．在四点形YBZL 中，LB 与YZ 交于N ，设MN 与YL 交于C '，由定理4.9可知，过对角点M 有一组调和线束，即MA 、C M '和MY 、ML ，于是1),(-='YL C A ，所以，点C 应与点C '重合，即CM BL YZ ,,共点．（二）完全四点形与完全四线形的调和性习题答案1．设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，XZ 分别交AC 、BD 于L 、M ，不用狄沙格定理证明：YZ 、BL 、CM 共点。

楚雄师范学院（Chuxiong Normal University）高等几何小论文题目：完全四点 ( 线 ) 形的调和性质在初等几何中的应用系（院）：数学系专业：数学与应用数学姓名：张晓艳学号：200810212352011年12月22日完全四点( 线 )形的调和性质在初等几何中的应用摘要 :完全四点形和完全四线形的调和性是射影几何的重要不变性 , 它们在射影几何中占有重要地位。

不仅如此 , 它们在初等几何中也有广泛应用。

本文主要探讨完全四点 ( 线 ) 形的调和性质在初等几何中的应用。

关键词 : 完全四点形；完全四线形；调和比我们知道 ,一直线l上的点偶 P1 ,P2 与Q1 ,Q2成为调和共轭的充要条件是“P1和P2是一个完全四点形的对边点,Q1和Q2是通过第三个对边点的一对对边与l的交点”。

为此,可通过完全四点形的作图来作第四调和点。

1 利用完全四点 ( 线 ) 形的调和性解作图问题下面作图都是利用一把无刻度直尺完成的。

已知线段AB及其中点C,P是直线AB外一点,求作:过P点且平行AB 的直线。

作法 : ①连结AP并延长,在其上取一点Q；②连结CQ,BP交于R；③连结AR,BQ交于S；④连结PS,则直线 PS为所求作直线。

(2) 已知线段AB,且AB平行l,求作AB的中点。

作法 : ①在l上任取两点P,S；②连结 B P , AS 交于R；③连结 A P , BS 交于Q；④连结QR交AB于C,则为所求作的点。

(3) 已知SC是ASB的内角平分线,求作其外角平分线。

作法 :①用不过S的任一直线截SA ,SB ,SC分别于A′,B′,C′；②在SC上任取一点R；③连结A′R交SB于Q；④连结B′R交SA于P；⑤连结PQ交 A′B′于D′；⑥连结SD′,它即为所求作的直线。

( 4) 已知SD是∠ASB的外角平分线,求作其内角平分线。

作法:①用不过S的任一直线截SA ,SB ,SD 分别于A′B′、D′；②过D′任作一直线交SA,SB分别于P,Q；③连结A′, B′交于R；④连结SR ,它即为所求作的直线。

其他问题知识定位共点线与共线点是初中竞赛中一个非常重要的知识，包括没捏劳斯定理、塞瓦定理等当然也包括射影变换，要熟练掌握射影变换中的点列与线束的交比与调和比；完全四点形和完全四线形的调和性质；一维基本形的射影对应；一维基本形的对合，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、点列与线束的交比和调和比（1）点列的四点的交比我们知道，单比是仿射变换的基本不变量，但对于中心投影来说，单比不是不变量.这样就发生如何建立中心投影的基本不变量的问题，这个基本不变量就是交比.交比是两个单比的比，它有许多基本性质，见教材中的定理.由这些定理知，共线四点A ，B ，C ，D 共有24种排列，即有24个交比，分为6类，每类的四个交比值相等.当（AB ，CD ）=－1时，CD 调和分割线段AB ，由调和分割的关系是对等的，因此A ，B ，C ，D 称为调和点列.（AB ，CD ）=（CD ，AB ）=－1（2）交比的代数表示设点P 1，P 2，P 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），单比（P 1P 2P ）=μ，则μμ--=121x x x μμ--=121y y y （1） P 的齐次坐标（21x x μ-，21y y μ-，μ-1）：当μ=1时，（1）式无意义；但当μ→1时，可得到P 1，P 2所在直线上的无穷远点.所以（P 1P 2P ∞）=1即一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1，也就是（P 1P 2，P 3P ∞）=（P 1P 2P 3） 如果四点P 1，P 2，P 3，P 4中，P 1或P 2为无穷远点，则上式可作为交比的定义.设四个不同的共线点P 1（A+λ1B ），P 2（A+λ2B ），P 3 (A+λ3B )，P 4 (A+λ4B )，则))(())((),(413242314321λλλλλλλλ----=P P P P 其中λi （i =1，2，3，4）彼此不相等. 设四个不同的共线点的三点及其交比k （k ≠1，k ≠0）为已知，则第四点必唯一确定.（3）线束的四直线的交比与调和比与点列的四点的交比类似，线束中四直线的的交比是利用三条直线的单比定义的.（AB ，CD ）=)()(ABD ABC 应该注意，四直线的交比值与直线μ的取法无关.如果线束S 的四直线A ，B ，C ，D 被任何一条直线S 截于四点A ，B ，C ，D ，则（AB ，CD ）=（AB ，CD ）由这个结论可以推出与点列交比性质相类似的关于线束交比的性质，因此也可知四条直线所构成的24个交比值分为6类，每类的四个交比值相等.交比经中心投影后不变，即交比为射影性质.2、完全四点形与完全四线形调和性利用完全四点形的性质，可以解决“已知共线三点，求作第四调和点”的作图方法.设S，S'是完全四点形ABCD的一对对边，它们的交点是对边点X，X与其它二对边点的连线是l，l'，图4-1.则必有（SS'，ll'）=－1图4-1设S，S'是完全四线形ABCD的一对对顶点，它们的连线是对顶线x，x与其它两对顶线交点T，T'，图4-2.则（SS'，TT'）=－1.图4-23、一维基本形的射影对应（1）透视对应如果一个点列和一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做透视对应，点列和线束叫做透视的.显然，点列与线束的透视关系具有对称性.点列与点列或线束与线束的透视关系都具有对称性.交比在透视对应下不变.（2）射影对应两个一维基本图形之间的射影对应的性质：①是一一对应的②A∧B则B∧A③具有传递性，即若A∧B，B∧C，则A∧C两个点列间的一一对应是射影对应⇔任何四点的交比与其对应四点的交比相等.已知两个一维图形的三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应.两个点列间的射影对应是透视对应⇔它们底的交点自对应.两个线束间的射影对应是透视对应⇔它们顶点的连线自对应.4、一维基本形的对合对合是射影变换的一种特殊的情况，在对合里每对对应元素的每个元素归入哪个基本形都可以.射影变换成为对合对应的充分必要条件.5、交比和调和比仿射变换（对应）是对平行射影而言的，单比是仿射几何中最重要的概念，它又是仿射变换的基本不变量.在研究中心射影时，我们引进了无穷远元素.可以证明，在中心射影下，共线三点的单比不是不变量.由此引入交比概念，首先研究共线四点的交比（1）关于交比的定义定义（4.2）把交比定义为两个单比的比，即共线四点A ，B ，C ，D 的交比定义为两个单比（ABC ）和（ABD ）的比，表为(AB ,CD )=)()(ABD ABC .交比也称复比，即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另一种定义，即代数法定义：设四个不同的共线点A ，B ，C ，D 的坐标顺次为A ，B ，A+λ1B ，A+λ2B ，则 (AB ，CD )=21λλ 以上两种定义方法是不同的.用第一种方法定义(AB ，CD )=)()(ABD ABC =ADBC BD AC ⋅⋅，所用坐标的非齐坐标，AC ，BD ，BC ，AD 都指有向线段的代数长度；第二种定义方法(AB ，CD )=21λλ,用齐次坐标.例如，共线四点A （2，1，-1），B （1，-1，1），C （1，0，0），D （1，5，-5），求（AB ，CD ）时，可把A 和B 作为基础点对，则C =A + B ，λ1=1，D = 2A -3B ，λ2 =32-所求交比 21λλ=32- 注意，第二种定义方法采用齐次点坐标，可以不限制这四个点中是否有无穷远点.所以，定义(AB ，CD )=)()(ABD ABC =ADBC BD AC ⋅⋅，还属于欧氏平面上的定义，不能解决无穷远点的问题，在射影平面，应使用(AB ，CD )=21λλ的定义方法. 关于交比的定义，要注意以下问题：① A ，B ，C ，D 四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同；② AC ，BD ，BC ，AD 都是有向线段的代数长，因而交比（AB ，CD ）是个数值.（2）交比的性质由于A ，B ，C ，D 四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于每个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已知排列的交比，因此，这24种排列所产生的交比值，实际上只有6类，并且在24个排列中，只要求出1个交比值，就可求出其它23个交比值.例如，已知（AB ，CD ）=3，则可知（DC ，BA ）=（BA ，DC ）=（AB ，CD ）=3.而（AC ，BD ）=1－（AB ，CD ）= －2（3）几个特殊的交比共线四点A ，B ，C ，D 中，设A ，B ，C 是固定点，第四点D 沿直线移动.可以证明，点D 在直线上的每个位置都对应一个确定的交比（AB ，CD ）的值.点D 的不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D 和D '在两个不同的位置，且有（AB ，CD ）=（AB ，CD '）则)()()()(D AB ABC ABD ABC '=，因而（ABD ）=（ABD '）这只有在D = D '时，等式才成立，因此，（AB ，CD ）的每个值，对应点D 的一个确定的位置.当这四个点中有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论.证明如下：设已知三点的坐标是A ＋1λB ，A ＋2λB ，A ＋3λB 则由k =----))(())((41324231λλλλλλλλ （其中k 为定值，且k ≠0，1）可以求出4λ，确定第四点.因此第四点A ＋4λB 唯一确定.下面讨论交比的几个特殊情况①D 与C 重合时，则有（AB ，CD ）= 1②当D 与B 重合时，则有（AB ，CD ）=（AB ，CB ）=AB BC BB AC ⋅⋅ = 0 ③当D 与A 重合时，（AB ，CD ）=（AB ，CA ）= ∞=⋅⋅AABC BA AC ④D 为无穷远点时，则有（AB ，CD ）=（AB ，CD ∞）==∞)()(ABD ABC （ABC ） 可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比（ABC ），利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其交比.（4）点列中四点的调和比调和比是交比的重要特例.当（AB ，CD ）=－1时，称为C ，D 调和分割A ，B .或称点偶A ，B 与点偶C ，D 调和共轭.D 叫做A ，B ，C 的第四调和点.应当注意，在调和分割中，两对点的关系是完全对等的.点列中四点A ，B ，C ，D 所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下，这六个交比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可以组成调和共轭的两对点偶时，（注意排除两点重合和虚点不考虑），那么这六个交比值才有相同的.（5）线束的交比和调和比①由定义知，四直线A ，B ，C ，D 的交比为)()(ABD ABC =ADBC BD AC ⋅⋅，注意这个定义中数目的排列.②要注意定理4.7：如果线束S 的四线A ，B ，C ，D 被任何一条直线S 截于四点A ，B ，C ，D ，则（AB ，CD ）=（AB ，CD ）的证明.在上述定理中，若点S ，A ，B ，C ，D 都是有穷远元素时，或者，当S 为无穷远点或S 为无穷远直线时（即A ，B ，C ，D 都是无穷远点），此定理仍成立.即（AB ，CD ）的值与直线S 的取法无关，所以仍可取（AB ，CD ）=（AB ，CD ）③定理4.7是一个非常重要的定理，由于定理可以证明“两点列同时截一线束，则此点列上对应四点的交比相等.”还可以推广证明投影于同一点列的两线束的四条对应直线的交比相等.可以知道，此定理使点列和线束的问题沟通了，为研究交比是中心射影下的不变量打下基础，同时点列和线束的问题可以对偶地进行研究.（6）有关交比的作图问题① 有关交比的作图可以根据共线四点的交比的定义，借助初等几何作图来完成，需要用相应例题来理解.② 第四调和点的作图● 用“一角两条边和这个角内外平分线调和共轭”作第四调和点.● 利用相似三角形作第四调和点.（7）利用交比的调和共轭解初等几何问题交比和调和共轭是几何学中的重要概念，它们在几何的研究中有重要的作用，运用这些概念和有关性质，可以解决一些初等几何问题主要在以下三个方面：①角平分线的调和性.②利用交比证明有关圆的问题.③与图有关的调和共轭问题.6、完全四点形和完全四线形的调和性完全四点形和完全四线形是射影几何中的重要图形，由于这两个图形具有调和性，而交比又是射影变换的不变量，所以对完全四点形的性质的研究在射影几何中占有重要地位.值得注意的是，在前面调和比是用交比来定义的，而交比之定义为单比之比，所以定义调和比此时用了变量概念.对完全四点形的性质的研究，可以使我们完全不用度量概念，而使用下列方法来定义调和比或调和共轭.即“一直线S上的点偶A，B与C，D，A，B是一个完全四点形的对边点，C，D是通过第三个对边点的两条对边与S的交点，则A，B与C，D成调和共轭”.这种定义是综合地纯射影的定义，这种定义方法只与直线和直线相交的作图有关，与度量无关.由于完全四点形的调和性是射影性质，所以它的对偶图形完全四线形也有调和性.应注意以下问题：（1）注意完全四点形与中学所熟悉的四边形的区别四边形指简单四边形，由顶点依次连接而成，顶点数等于边数，均为4，如图4-3.ABCD 为简单四边形.而完全四点形是平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形，如图4-4.完全四点形ABCD有四个顶点A，B，C，D，有六条边（即任何两顶点的连线都是边），通过同一顶点的边叫邻边，不通过同一顶点的边叫对边，因此有三对对边：AB与CD；AC与BD；AD与BC，对边交点叫对边点，共三个，即AB×CD=X，AC×BD=Y，AD×BC=Z.三个对边点组成对边三点形XYZ.图4-3 图4-4完全四点形的一对对边被通过这两个边交点的对边三点形的两边调和分割.完全四线形的一对对顶点被连接这两个点的对角三角形的两边调和分割.（2）利用完全四点形的调和性作第四调和点我们知道，一直线l上的点偶P1，P2，Q1，Q2成为调和共轭的充要条件是：“P1和P2是一个完全四点形的对边点，Q1和Q2是通过第三个对边点的两条对边与l的交点”，根据这个道理，可以通过完全四点形的作图来作第四调和点.如图4-5，已知直线l上有三点P1，P2，P3，求作点P4，使（P1P2，P3P4）=-1.作法如下：过P1P2若任作一直线交于点A，在P2A上任取一点B，连B P3，过P1A于点C，再连P2C，P1B，交于点D.连AD与L交于P4，则P4为所求第四调和点.图4-5应当指出，以上作图是只用一根直尺完成的.而且过P1，P2的直线是任意作的，但P4点是唯一的，这由笛沙格定理保证.在图4-5中，根据定理，若P4为P1P2中点，则P为l上无穷远点，于是利用直尺可以作出CB // P1P2，反之，如果知道CB // P1P2，也可以用一根直尺求P1P2中点.（3）应用完全四点形的调和性解初等几何问题利用完全四点形的调和性，可以比较简捷地解决一些初等几何中的共点和共线问题.例如，三角形三个顶角的外角平分线交其对边的三点共线.7、一维基本形的射影对应（1）什么叫一维基本形基本形，指以点、直线、平面为元素所形成的某些无穷集合，一维基本形指点列和线束.几何学中的维数，指几何元素活动的自由度，也就是几何元素的坐标或参数必不可少的数目，这个数就是几何学的维数.此如平面内的点和直线应该有两个坐标，但在点列中以A，B为基点的任一点坐标可以表为A，B的坐标的线性组合，即C = A + λB，其中λ为参数，所以点列中的点可以用一个独立参数表示（对于线束也有类似结论）.也就是说，点列的每个点（或线束中的每一直线）都可以用一个独立参数表示，点列和线束就叫一维图形.点列和线束就是一维几何研究的对象.关于空间的维数，是指把直线，平面或空间都看成四点构成，空间的维数是点活动的自由度，所以直线叫一维空间.平面叫二维空间，我们生活的空间叫三维空间.由于几何学研究的元素不限于点，所以几何学中的维与所处空间的维不同.比如，平面上的直线几何应该叫二维几何学，这是由于把直线看作基本元素，平面上决定直线需要两个比值，即必不可少的参数为2.（2）一维基本形的透视对应与射影对应的关系①在前几章所讨论的透视仿射对应是对平行射影而言，本章所论的透视对应则对中心投影而言，透视对应包括点列和线束之间的透视对应；点列与点列之间的透视对应.在定义中可以将点列换成线束，或把线束换成点列.所以点列与线束的透视对应具有对称性.由透视对应的定义还可以看出，透视对应保持四元素的交比不变.但透视关系不满足传递性.需要注意，透视对应一定是射影对应，但射影不一定成透视对应，因此，透视对应与射影对应是特殊与一般的关系.②射影对应必是一一对应，且具有传递性、对称性、反身性，即具有等价关系.③透视对应在什么条件下才成为射影对应呢？由定理知，两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们的底的交点自对应也就是它们的公共元素自对应.两个点列成射影对应时，把它们的公共点看作是第一个点列的点时，它在第二个点列上的对应点，一般情况下不是它本身，只有当两个点列成透视对应时，其公共元素才自对应.④应该注意，如果一维射影对应使无穷远点对应无穷远点，则该对应一定是仿射对应，要证明这个结论，只需证明这种对应保持单比不变.由于射影对应保持交比不变.所以，仿射对应可看作特殊的射影对应.8、一维基本形的对合（1）关于对合概念对合对应是重要的，特殊的射影变换.在两个重叠的射影对应的一维基本形中，第一个基本形的元素P 对应第二个基本形的元素P'，但如果把P'看作第一个基本形的元素，那么它在第二个基本形里不一定对应P.但如果这个对应为对合对应，则根据对合定义“在两个重叠而且射影对应的一维基本形里，如果对于任何元素，无论看作属于第一个基本形或第二基本形，它的对应元素是一样的，那么这种非恒等的射影变换叫做对合（对应）”.那么P'就一定对应P.若两个重叠一维基形成射影对应，可假设两个重叠点列成射影对应，在什么条件下才成为对合呢？实际上只要有一对对应元素符合对合条件，则这种射影变换一定是对合.（2）对合的代数表示和确定对合是特殊的射影变换，从对合的代数表示，也可以看出射影变换成为对合的条件，即在射影变换式0=+'++'d c b a λλλλ，0≠-bc ad 中，若是对合，则有B = C ，反之也成立.上式说明射影变换范围比对合大.我们知道，三对对应元素决定唯一一个射影变换，如果是对合，则只要有不重合的两对对应点便可决定唯一一个对合对应.判定一个射影变换是否为对合对应，也可用如下事实：对合对应存在两个二重元素，射影变换是对合的充要条件是任何一对对应元素与两个二重元素调和共轭.例题精讲【试题来源】【题目】设1，2，3，4是四个不同的共线点，如果（12，34）=（23，41）则（13，24）=（ ）A .－1B .1C .0D .∞【答案】A【解析】 解：由交比的运算定理，选A【知识点】其他问题【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。

完全四边形调和点列证明完全四边形调和点列是指在平面上给定4个不共线的点A、B、C、D及它们的共轭点A'、B'、C'、D'，并且这8个点满足调和性质，即(ABCD)=-1。

其中，ABCD表示A与B连线、C与D连线的交点。

调和性质可以表示为以下等式：(AA')/(AC') * (BD')/(BA') = -1(BB')/(BD') * (CA')/(CB') = -1(CC')/(CA') * (DB')/(DC') = -1(DD')/(DB') * (AC')/(AD') = -1对于完全四边形调和点列的证明，我们可以从多个角度进行阐述。

一、几何证明方法：1.利用平行线性质证明：在平面上，如果一组平行线通过一个调和四边形的对角线，则它们必定也通过该调和四边形的共轭对角线。

根据这个性质，我们可以得出扩展的拉美定理（扩展的拉美定理表示：如果A、B、C是一条直线上的三个点，D、E、F是另一条直线上的三个点，那么如果AD、BE、CF交于一点，则AE、DF和BC也必定交于一点）。

利用扩展的拉美定理，可以证明完全四边形调和点列中的任意四个点满足调和性质。

2.利用交比性质证明：在平面几何中，交比是指若干条线段的比值，可以用于表示调和性质。

对于完全四边形调和点列，我们可以使用逆向交比等式进行证明，具体通过运用调和性质的定义和多个交比定义来推导。

二、代数证明方法：可以使用代数运算进行证明，通过直线与坐标系的关系来推导出调和点列的性质。

具体可以通过线的方程来证明四个点的交点满足调和性质，并通过坐标的代数运算来证明三、向量证明方法：利用向量的加法与减法、数量积和矢积等定义和性质进行证明。

具体可以通过定义向量的坐标映射，利用向量的线性叠加性质进行证明。

四、复数证明方法：可以利用复数与几何的关系进行证明。

完全四点（线）形的调和性在初等几何中的应用黄毅1 胡志杰1 李锦杰2摘要：本文对高等几何中完全四点（线）形的性质做了具体而系统的整理，并通过初等几何与高等几何的内在联系，通过初等几何中平分角、平分线、共点、共线、平行、作图等几个具体问题的探究及其在中学竞赛中的运用，化难为易，丰富和拓展初等几何的内容。

关键词： 完全四点（线）形 应用 调和性 初等几何高等几何是一门聚集多方面知识体系的优秀学科。

高等几何可以说是在初等几何领域上的一个延伸与拓展。

它可以给出初等几何中某些问题的简单证明，为初等几何提供理论依据和注入新的数学思维。

完全四点（线）形的调和性是高等几何的一项重要内容，在几何学中占有重要地位。

它对初等几何的研究亦具有重要的指导意义。

比如说，它在初等几何的平分角度问题、共点共线问题、中点问题、线段比值问题及平行性等问题的研究中都有广泛的应用。

对高等几何当中某些特殊性质（四点形的调和性）的研究，可以让很多的数学爱好者，更加清楚的了解高等几何的重要性。

同时，也可以促进数学爱好者对初等几何学习的积极性。

本文着重分析完全四点（线）的调和性在初等几何中的一些应用。

一．完全四点（线）形的定义1.1 平面上四个点（无三点共线）以及联结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形。

（其中，每一个点称为顶点，每一条直线称为边，不共顶点的两边称为对边，对边的交点为对边点，以对边点为顶点的三角形为对角三角形。

）1.2 平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形称为完全四线形。

（其中，每一条直线称为边，每一个点成为顶点，不共边的两个顶点为对顶点，对顶点连成对顶线，一对顶线为边的三角形成为对角三角形。

） 二 .完全四点（线）的调和性质2.1完全四点形（图一中的四点形ABCD ）的两个对边点X 、Y 的连线交第三对对边于S 、T ，则(XY ，ST) = –1.（图一） （图二）2.2完全四线形（图二中的四线形abcd ）的两条对顶线x, y 的交点O 与第三对对X t顶点相连得直线s,t,则(xy,st) = –1.2.3在完全四点形的对边三点形的每条边上, 有一个调和点组, 其中一对为对边点, 另一对为该边与第三组对边的交点.2.4在完全四点形的每条边上有一个调和点组,其中一对为顶点, 另一对中一个为对边点, 一个为该边与对边三点形的边的交点.三.完全四点（线）形的调和性在初等几何中的应用 3.1 解决平分角问题例1 如图，AD 垂直于BC ，M 是AD 上的任意一点，BM 交AC 于E ，CM 交AB 于F ，证明:AD 、BC 平分DE 与DF 所成的角。

几何中的调和分割及应用郑皎月（安康学院数学系 陕西 安康 725000）摘要: “调和分割”又称“调和共轭”,它是交比研究中的一个重要特例，也是 贯穿大学《高等几何》课程的一个重要概念，应用它解决初等几何中有关平分角、平分线段以及高等几何中有关对合的性质、完全四点型的调和分割、完全四线型调和分割以及拉盖尔定理的推广等性质有着积极的意义。

关键字：调和分割 高等几何 应用 性质若C 点分割线段AB 的比值和D 点分割AB 的比值只差一个符号（因而一个是内分点，另一个是外分点），这时我们说C 、D 两点调和分割AB,或C 与D 对于线段AB 成调和共轭点偶，用符号1),(-=CD AB 表示。

在调和分割中，两对点的关系是完全对等的，这意思是说，当C 与D 调和分AB 时， A 与B 也调和分割CD,因而我们已知道，若1),(-=CD AB ,便也有1),(-=AB CD .一、几何中的调和分割 1.关于平分角中的调和分割三角形中一个角的内角和外角的平分线，将对边分成两线段的比值，都和两邻边成证明：由三角形中一个角的内角和外角的平分线，将对边分成两线段的比值，都和两临边成比例有EB AEDB DA CB AC EB AE ==, 即 DB DACB AC = 1=**CBDA DBAC则1-=**BCAD BDAC因此 1),(-=CD AB2、关于线段的调和分割一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割,即证明：1),(-=∞CP AB证： ∞∞∞∞∞*=**=AP BP BC AC BC AP BP AC CP AB ),(因为 CB AC = 所以 1-=BCAC即1-=**∞∞BC AP BP AC则 1),(-=∞CP AB 3、关于对合的调和分割对合有两个二重元素，这两个元素是不重合的，可能是共轭复元素，并且这两个二重元素调和分割任意一对对应元素。

证明：由于对合的表达式是),0(,0)(2''≠-=+++b ad d u u b auu 所以决定二重元素的方程022=++d bs as不能有等根，所以两根1s 和2s 或者是不等式实根（双曲型对合），或者是共轭复根（椭圆型对合）.由于对合是射影变换，因此保留交比，即),(),('21'21u u s s uu s s =,利用交比性质，此式可写作),(1),('21'21uu s s uu s s =从而1),('21=uu s s 或1),('21-=uu s s ，但1),('21=uu s s 将导致u 与'u 重合，这与对合不是恒同变换的假设抵触，从而1),('21-=uu s s . 4、关于完全四点形和完全四线形的调和分割完全四点形 完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这对角点的两边和对角三角形的两边。