2019年高考数学总复习课时作业加练一课(4)递推数列的通项的求法理

加练一课(四)递推数列的通项的求法时间 /30分钟 分值 /80分一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在数列{a n }中,已知a 1=2,a 2=7,a n+2等于a n a n+1(n ∈N *)的个位数,则a 2018=( )A.8B.6C.4D.22.已知数列{a n }的前n 项积为n 2,那么当n ≥2时,a n = ( )A.2n-1B.n 2C.(n +1)2n2D.n 2(n -1)23.数列{a n }定义如下:a 1=1,当n ≥2时,a n =1+a n 2,n 为偶数,1a n -1,n 为奇数.若a n =14,则n 的值为 ( )A.7B.8C.9D.104.[2017·河南八市三模] 已知数列{a n }满足a n+1(a n-1-a n )=a n-1(a n -a n+1),若a 1=2,a 2=1,则a 20=( ) A.1210B .129 C.1 D.15.已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =n +2a n ,则数列{a n }的通项公式为 ( )A.a n =n (n +1)B.a n =n (n -1)C.a n=n(n+1)D.a n=n(n-1)6.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1n-1B.3n-1C.2D.12n-17.[2017·衡水中学模拟]已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=a n2(a n>0),则a n=()A.10n-2B.10n-1C.102n-1D.22n-18.已知各项均为正数的数列{a n}中,a1=1,数列的前n项和S n满足S n S n-1-S n-1S n=2S n S n-1(n∈N*,且n≥2),则a61=()A.120B.240C.360D.4809.已知数列{a n}满足a n+2=a n+1-a n,且a1=2,a2=3,则a2018的值为()A.-3B.3C.2D.-210.[2017·沈阳二中月考]设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,{S n+na n}为常数列,则a n=()A.13n-1B.2C.6(n+1)(n+2)D.5−2n3二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =a n-1+2n (n ≥2),则a 7= .12.已知正项数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,2a n 2=a n +12+a n -12(n ∈N *,n ≥2),则a 7= .13.[2018·合肥六中月考] 已知数列{a n }满足a n+1=3a n +1,且a 1=1,则数列{a n }的通项公式为a n = .14.[2017·宁波期中] 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n-1,则数列{a n }的通项公式为a n = .15.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=4,a n+2+2a n =3a n+1(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为a n = .16.[2017·兰州一诊] 已知数列{a n },{b n },若b 1=0,a n =1,当n ≥2时,有b n =b n-1+a n-1,则b 2017= .加练一课(四) 递推数列的通项的求法1.D [解析] 由题易得a 3=4,a 4=8,a 5=2,a 6=6,a 7=2,a 8=2,a 9=4,a 10=8,所以数列{a n }中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a 2018=a 335×6+8=a 8=2.2.D [解析] 设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T n =n 2,当n ≥2时,a n =T n n -1=n 2(n -1)2. 3.C [解析] 因为a 1=1,所以a 2=1+a 1=2,a 3=12=1,a 4=1+a 2=3,a 5=14=1,a 6=1+a 3=3,a 7=16=2,a 8=1+a 4=4,a 9=18=1,所以n=9,故选C .4.C [解析] 将a n+1(a n-1-a n )=a n-1(a n -a n+1)化为1a n -1+1an +1=2a n,可知数列 1a n是等差数列,其首项为12,公差为12-11=1,∴120=1+1×19=10,则a 20=1.故选C .5.A [解析] 当n>1时,有a n =S n -S n-1=n +2a n -n +1a n-1,整理得a n =n +1n -1a n-1,则a 2=3a 1,a 3=4a 2,…,a n-1=n n -2a n-2,a n =n +1n -1a n-1,将以上(n-1)个等式等号的两端分别相乘,整理得a n =n (n +1),当n=1时,上式也成立.故数列{a n }的通项公式为a n =n (n +1)2. 6.B [解析] 由S n =2a n+1,得S n =2(S n+1-S n ),即2S n+1=3S n ,则S n +1n =3,又S 1=a 1=1,所以S n = 3n -1.7.D [解析] 因为数列{a n }满足a n+1=a n 2(a n >0),所以log 2a n+1=2log 2a n ⇒log 2a n +1log 2a n=2,所以{log 2a n }是公比为2的等比数列,则log 2a n =log 2a 1·2n-1⇒a n =22n -1.8.D [解析] 由S n S n -1-S n-1 S n =2 S n S n -1可得 S n - S n -1=2,所以{ S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,则 S n =2n-1,即S n =(2n-1)2,所以a 61=S 61-S 60=1212-1192=480,故选D .9.B [解析] 由题意得a 3=a 2-a 1=1,a 4=a 3-a 2=-2,a 5=a 4-a 3=-3,a 6=a 5-a 4=-1,a 7=a 6-a 5=2,a 8=a 7-a 6=3,∴数列{a n }是周期为6的周期数列,∴a 2018=a 2=3.10.B [解析] 由题意知S n +na n =2,当n ≥2时,(n+1)a n =(n-1)a n-1,从而a 21·a 32·a 43·…·a n n -1=1·2·…·n -1,则a n =2n (n +1),当n=1时,上式也成立,所以a n =2n (n +1).故选B .11.55 [解析]∵a n =a n-1+2n (n ≥2),∴a n -a n-1=2n (n ≥2),则a 2-a 1=4,a 3-a 2=6,a 4-a 3=8,a 5-a 4=10,a 6-a 5=12,a 7-a 6=14,∴a 7=1+4+6+8+10+12+14=55.12. 19 [解析] 由2a n 2=a n +12+a n -12(n ∈N *,n ≥2),可得数列{a n 2}是等差数列,则公差d=a 22-a 12=3,又a 12=1,∴a n 2=1+3(n-1)=3n-2,∴a n = 3n -2,∴a 7= 19.13.12(3n-1) [解析] 因为a n+1=3a n +1,所以a n+1+12=3 a n +12 ,所以数列 a n +12 是以32为首项,以3为公比的等比数列,所以a n +12=32×3n-1,即a n =12(3n-1).14.2,n =1,2n +1,n ≥2 [解析]∵S n =n 2+2n-1,∴当n=1时,a 1=1+2-1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1.∵当n=1时,a 1=2≠2+1=3,∴a n =2,n =1,2n +1,n ≥2.15.3×2n-1-2 [解析] 由a n+2+2a n -3a n+1=0,得a n+2-a n+1=2(a n+1-a n ),∴数列{a n+1-a n }是以a 2-a 1=3为首项,2为公比的等比数列,∴a n+1-a n =3×2n-1,∴当n ≥2时,a n -a n-1=3×2n-2,…,a 3-a 2=3×2,a 2-a 1=3,将以上各式累加得a n -a 1=3×2n-2+…+3×2+3=3(2n-1-1),∴a n =3×2n-1-2(当n=1时,也满足此式). 16.2016[解析] 当n ≥2时,由b n =b n-1+a n-1得b n -b n-1=a n-1,所以b 2-b 1=a 1,b 3-b 2=a 2,…,b n -b n-1=a n-1,将以上各式累加得b 2-b 1+b 3-b 2+…+b n -b n-1=a 1+a 2+…+a n-1=11×2+12×3+…+1(n -1)×n,即b n -b 1=1-12+12-13+…+1n -1-1n =1-1n =n -1n ,所以b n =n -1,故b 2017=2016.。

专题研究1 递推数列的通项的求法1．(2018·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( )A ．16B ．24C ．26D ．28 答案 C解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 答案 A解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A.3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( )A ．2 017×2 018B ．2 016×2 017C ．2 015×2 016D ．2 017×2 017 答案 B解析 累加法易知选B.4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n≥2)，则x n 等于( ) A ．(23)n －1 B ．(23)n C.n ＋12D.2n ＋1答案 D解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2n ＋1. 5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( ) A ．2－(12)n －1 B ．(12)n －1－2 C ．2－2n －1D ．2n －1 答案 A解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1，所以选A. 6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( ) A ．2(n 2＋n ＋1)B ．2·3nC ．3·2nD ．3n ＋12好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析答案 B解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.7．(2018·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，则a 6的值为( )A ．2 2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 因为正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，所以a n 2－a n －12＝a n ＋12－a n 2(n≥2)，所以数列{a n 2}是以1为首项，a 22－a 12＝3为公差的等差数列，所以a n 2＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 62＝16.又因为a n >0，所以a 6＝4，故选B.8．(2018·华东师大等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝( )A ．－27B.27 C ．－37D.37 答案 D解析 根据递推公式计算得a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，…，可以归纳通项公式为：当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1 413－a 1 314＝37.故选D. 9．(2018·湖南衡南一中段考)已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2 016＝( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 014 答案 C解析 因为a 1＝2，故a 2＋a 1＝1，即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋a n －1＝2n －3，故a n ＋1－a n －1＝2，所以a 4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以a 2 006＝2 014－1＝2 013，故选C.10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________． 答案 4－1n解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1， 则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13， a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n .3逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .又a 1＝3，故a n ＝4－1n .11．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n3a n ＋1(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝13n －2解析 由已知，可得当n≥1时，a n ＋1＝a n3a n ＋1.两边取倒数，得1a n ＋1＝3a n＋1a n ＝1a n＋3.即1a n ＋1－1a n ＝3，所以{1a n }是一个首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列．则其通项公式为1a n ＝1a 1＋(n －1)×d＝1＋(n －1)×3＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2.12．在数列{a n }中，a 1＝1，当n≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________．答案 2·3n －1－1解析 设a n ＋t ＝3(a n －1＋t)，则a n ＝3a n －1＋2t.∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．∴a n ＝2·3n －1－1.13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2)，则a n ＝________．答案 (2n －1)·2n解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n≥2)，∴a n 2＝a n －12＋2.令b n ＝a n2，则b n －b n －1＝2(n≥2)，b 1＝1.∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n.14．已知数列{a n }的首项a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n≥1)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝1n （n ＋1）解析 由a 1＝12，S n ＝n 2a n ，①∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a na n －1＝n －1n ＋1(n≥2)．∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n （n ＋1）.∴a n ＝1n （n ＋1）.4好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析15．(2017·太原二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）(n∈N *)，则a n ＝________． 答案 n 3n －2 解析 由a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）得1a n ＋1－1a n ＝2n （n ＋1）＝2×(1n －1n ＋1)，则由累加法得1a n －1a 1＝2(1－1n)，又因为a 1＝1，所以1a n ＝2(1－1n )＋1＝3n －2n ，所以a n ＝n 3n －2. 16．(2018·河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{a n }满足∑ni ＝2a i 2i －1＝3n ＋1(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），6n （n≥2）， 解析 当n≥2时，∑i ＝2n －1a i 2i －1＝3n ，又∑i ＝2n a i 2i －1＝3n ＋1，两式相减，得a n 2n －1＝2×3n ，所以a n ＝6n .由于a 1＝7不符合a n ＝6n，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），6n （n≥2）. 17．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n(n ＋1)(n∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列{b n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝2n (2)b n ＝2(3n ＋1)解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.(2)∵a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1(n≥1)，① ∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1.② ②－①，得b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)． 故b n ＝2(3n ＋1)(n∈N *)．1．(2017·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )5A ．2 016B ．2 015 C.12 016 D.12 015答案 D解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝a 2a 2＋1，…，第n 次运行后得到a n ＋1＝a n a n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 015项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n ＝n ，即a n ＝1n ，所以输出结果是12 015.故选D. 2．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．答案 2n （n －1）2解析 由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2. 3．已知S n 为数列{a n }的前n 项，a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n＝a n －2(n≥2)，且a 1＝2，则{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝n ＋1解析 ∵a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＝a n －2(n≥2)，∴当n ＝2时，a 12＝a 2－2，解得a 2＝3.a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＋a n n ＋1＝a n ＋1－2，a n n ＋1＝a n ＋1－2－(a n －2)(n≥2)，得a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1(n≥2)，∴a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1＝…＝a 23＝1，∴a n ＝n ＋1(n≥2)，当n ＝1时也满足，故a n ＝n ＋1.。

第四节 数列通项的求法一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n －1(a 为不为零的实数)，则此数列( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或是等差数列或是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )，则数列{}a n 的通项公式a n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1 C ．n 2 D ．n3．(2018年巴蜀联考)如果数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a 100＝( )A ．2100B ．299C ．25050D ．249504．(2018年长沙月考)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2018＝( ) A ．2 B ．－13C ．－32D ．1 5．(2018年抚州一中模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2018＝－a ，S 2018＝2b －aB ．a 2018＝－b ，S 2018＝2b －aC ．a 2018＝－b ，S 2018＝b －aD ．a 2018＝－a ，S 2018＝b －a二、填空题6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则a n ＝________. 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n ，则a n ＝________.8．(2018年朝阳一模)设函数f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f (0)＝12，数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________________.三、解答题9．设曲线y ＝x 2＋x ＋1－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{a n }中，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)在切线l 上．(1)求证：数列{1＋a n }是等比数列，并求a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .10．(2018年陕西)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N . (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列：(2)求{a n }的通项公式．参考答案1．解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a n －1)－(a n －1－1)＝a n －1(a －1)．①当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }的通项公式a n ＝0，是等差数列，但不是等比数列；②当a ≠1时，∵a ≠0，数列{a n }的通项公式a n ＝(a －1)·a n －1，是等比数列，但不是等差数列，选C. 答案：C2．解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )⇒(n ＋1)a n ＝na n ＋1⇒a n ＋1a n ＝n ＋1n， ∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，…，a n a n ＋1＝n n －1(n ≥2) 相乘得：a n a 1＝n ，又a 1＝1，∴a n ＝n .选D. 答案：D3．解析：由题设知：a 1＝1，a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，相乘得： a n a 1＝21·22·23…2n －1＝2n (n －1)2，a n ＝2n (n －1)2，a 100＝24950. 答案：D4．解析：由a 1＝2，a n ＋1＝－11＋a n ⇒a 2＝－11＋2＝－13 a 3＝－11－13＝－32，a 4＝－11－32＝2，a 5＝－13， a 6＝－32，…故数列{a n }具有周期性，a 3n －2＝2，a 3n －1＝－13，a 3n ＝－32.∵2018＝3×669＋2，∴a 2018＝a 2＝－13. 答案：B5．解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)⇒a 3＝a 2－a 1＝b －a ，a 4＝a 3－a 2＝b －a －b ＝－a ，a 5＝a 4－a 3＝－a －(b －a )＝－b ，a 6＝a 5－a 4＝－b －(－a )＝a －ba 7＝a 6－a 5＝a －b －(－b )＝a .故数列具有周期性，a 6n ＋1＝a 1，a 6n ＋2＝a 2，a 6n ＋3＝b －a ，a 6n ＋4＝－a ，a 6n ＋5＝－b ，a 6n ＝a －b .且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0.∵2018＝6×334＋4.∴a 2018＝a 4＝－a ，S 2018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2b －a .故选A.答案：A6．解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n ⇒1a n ＋1＝1a n＋3，又a 1＝1， ∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，a n ＝13n －2. 答案：13n －27．解析：由a n ＋1＝2a n ＋2n⇒a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12，又a 1＝1 ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·12＝n 2，a n ＝n ·2n －1. 答案：n ·2n －1 8．解析：a 1＝f (0)＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)＝n 2·a n 当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2·a n －1两式相减得：a n ＝n 2·a n －(n －1)2·a n －1⇒a n a n －1＝n －1n ＋1. ∴a 2a 1＝13，a 3a 2＝24，a 4a 3＝35，…，a n a n －1＝n －1n ＋1， 相乘得：a n a 1＝1×2n (n ＋1)，又a 1＝12，∴a n ＝1n (n ＋1). 答案：1n (n ＋1)9．解析：(1)由y ＝x 2＋x ＋1－ln x ，知x ＝1时，y ＝3.又y ′|x ＝1＝2x ＋1－1x|x ＝1＝2， ∴切线l 的方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1. ∵点(a n ，a n ＋1)在切线l 上，∴a n ＋1＝2a n ＋1,1＋a n ＋1＝2(1＋a n )．又a 1＝1，∴数列{1＋a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴1＋a n ＝2·2n －1，即a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝2＋22＋…＋2n －n ＝2n ＋1－2－n .10．解析：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项；－12为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1， 当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝⎛⎭⎫－12＋…＋⎝⎛⎭⎫－12n －2 ＝1＋1－⎝⎛⎭⎫－12n －11－⎝⎛⎭⎫－12＝1＋23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1 ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1， 当n ＝1时，53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1＝1＝a 1， 所以a n ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1()n ∈N *.。

数列的通项公式的求法 一、观察法（即猜想法，不完全归纳法）观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系例1：根据数列的前4，写出它的一个通项公式：9,99,999,9999，......二、公式法若已知数列的前n 项和与项数n 的关系，求数列的通项公式可用公式法求解。

)1()2(111==≥-=-n S a n S S a n n n例2：}{n a 的前n 项和n S ，求}{n a 的通项公式。

三、由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。

1.迭加法已知递推关系)(),(*1N n n f a a n n ∈=-+例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.迭乘法 已知递推关系是)(),(*1N n n f a a nn ∈=+ 例4：已知数列}{n a 中，n n a nn a a 1,211+==+，求}{n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、待定系数法例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式： 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、数学归纳法例6 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =，得 2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯ 由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

第37讲 数列的递推关系与通项考试要求 掌握常见求通项的方法.诊 断 自 测1.(必修5P41习题13改编)已知等差数列{a n }的公差为d ，那么a n －a m ＝________d . 答案 (n －m )2.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝n n ＋1，那么a n ＝________. 解析 当n ≥2时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n，当n ＝1时也成立，故a n ＝1n.答案 1n3.若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n ＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________. 解析 由a n ＝n ＋a n －1可变形为a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，由此可写出以下各式：a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 2－a 1＝2，将以上等式两边分别相加，得a n －a 1＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2，所以a n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2.答案 a n ＝n （n ＋1）24.在等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝2，S n ＋2－S n ＝24，则n ＝________.解析 因为a 1＝1，d ＝2，所以S n ＝n 2，S n ＋2－S n ＝(n ＋2)2－n 2＝24，解得n ＝5. 答案 55.在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…中，a n ，a n ＋1，a n ＋2的关系是________. 答案 a n ＋2＝a n ＋a n ＋1知 识 梳 理常见求数列通项的几种类型(1)形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N *且n ≥2)方法：累加法，即当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. (2)形如a n a n －1＝f (n )(n ∈N *且n ≥2) 方法：累乘法，即当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1.注意：n ＝1不一定满足上述形式，所以需检验. (3)形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N *且n ≥2) 方法：化为a n ＋qp －1＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋q p －1的形式.令b n ＝a n ＋qp －1，即b n ＝pb n －1，{b n }为等比数列，从而求得数列{a n }的通项公式. (4)形如a n ＝pa n －1＋f (n )(n ∈N *且n ≥2) 方法：两边同除p n，得a n p n ＝a n －1p n －1＋f （n ）p n ，令b n ＝a n p n ，得b n ＝b n －1＋f （n ）p n，转化为利用叠加法求b n (若f （n ）p n为常数，则{b n }为等差数列)，从而求得数列{a n }的通项公式.考点一 利用“累乘、累加”法求通项【例1－1】 (2018·苏北四市联考)已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝12，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝2b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)是否存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1<m －84恒成立？若存在，求出m 的最小值. 解 (1)因为S n ＝n 2a n (n ∈N *)，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1.所以a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1. 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1.即a n a n －1＝n －1n ＋1，又a 1＝12， 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·12＝1n （n ＋1）. 当n ＝1时，上式成立，故a n ＝1n （n ＋1）.因为b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，故b n ＝2n. (2)由(1)知，b n ＝2n.则1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1.假如存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1<m －84恒成立，即2－12n －1<m －84恒成立.由m －84≥2，解得m ≥16.所以存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1<m －84恒成立.此时m的最小值为16.【例1－2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.解 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝ 3·2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3·2n －2，…，a 3－a 2＝3·2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3·2n－2＋…＋3·2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3·2n －1－2(当n ＝1时，也满足).规律方法 求数列的通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应注意配凑变形法.变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求得通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此来猜测归纳出通项公式，然后再证明.【训练1】 已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2).又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *). 考点二 构造等差、等比数列求通项【例2】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{}a n 的通项公式； (2)已知数列{}a n 满足a 1＝2, a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，求数列{}a n 的通项公式.。

第2讲数列递推与通项选题明细表知识点·方法巩固提高A 巩固提高B利用递推直接求通项2,6,9,13 1,7,10,11,16已知S n求a n1,8,10,11,14 9,12,13累加法求通项4,5 5,8,15,17累乘法求通项7,17 6,14构造新数列求通项3,12,15,16 2,3,4巩固提高A一、选择题1.已知S n为数列{a n}的前n项和,若a2=3且S n+1=2S n,则a4等于( B )(A)6 (B)12 (C)16 (D)24解析:由S2=2S1=2a1=a1+a2=a1+3得a1=3,S3=2S2=2(a1+a2)=12,S4=2S3=24,所以a4=S4-S3=12,故选B.2.已知数列{a n}中,a1=3,a2=5且对于大于2的正整数,总有a n=a n-1-a n-2,则a2 018等于( B )(A)-5 (B)5 (C)-3 (D)3解析:a n+6=a n+5-a n+4=a n+4-a n+3-a n+4=-(a n+2-a n+1)=-a n+2+a n+1=-(a n+1-a n)+a n+1=a n,故数列{a n}是以6为周期的周期数列,所以a2 018=a336×6+2=a2=5,故选B.3.已知等差数列{a n}满足a2=3,a5=9,若数列{b n}满足b1=3,b n+1=,则{b n}的通项公式b n等于( B )(A)2n-1 (B)2n+1(C)2n+1-1 (D)2n-1+2解析:易得a n=2n-1,故由b n+1=可得b n+1=2b n-1,变形为b n+1-1=2(b n-1),即数列{b n-1}是首项为2,公比为2的等比数列,故b n-1=2n,解得b n=2n+1,故选B.4.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列,且b n=a n+1-a n(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8等于( B )(A)0 (B)3 (C)8 (D)11解析:由题意可设等差数列{b n}的首项为b1,公差为d,所以d===2,所以b1=b3-2d=-2-4=-6,所以b n=2n-8,即a n+1-a n=2n-8,a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=3+(-6)+(-4)+…+(2n-10)=3+(n-8)(n-1),所以a8=3,选B.5.已知数列{a n}满足a1=1,且a n=a n-1+()n(n≥2,且n∈N*),则数列{a n}的通项公式为( B )(A)a n=(B)a n=(C)a n=n+2 (D)a n=(n+2)3n解析:由a n=a n-1+()n(n≥2且n∈N*),得3n a n=3n-1a n-1+1,3n-1a n-1= 3n-2a n-2+1,…,32a2=3a1+1,以上各式相加得3n a n=n+2,故a n=,当n=1时也适合,所以a n=.6.已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=((n∈N*).若{a n}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2,则a n与b n分别为( B )(A)a n=2n-1,b n=n(n+1) (B)a n=2n,b n=n(n+1)(C)a n=2n,b n=(n-1)n (D)a n=2n+1,b n=(n-1)n解析:设等比数列{a n}的公比为q,因为b3=6+b2,即b3-b2=6,所以a3=(=()6=8,所以2q2=8,又由题意得a n>0,所以q=2,所以a n=2×2n-1=2n.所以a1a2…a n=21+2+…+n==(=,所以b n=n(n+1).选B.7.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足4(n+1)(S n+1)=(n+2)2a n,则数列{a n}的通项公式a n等于( A )(A)(n+1)3 (B)(2n+1)2(C)8n2 (D)(2n+1)2-1解析:当n=1时,4(1+1)(a1+1)=(1+2)2a1,解得a1=8,当n≥2时,由4(S n+1)=,得4(S n-1+1)=,两式相减得,4a n=-,即=,所以=··…·=××…×=,所以a n=a1×=(n+1)3,经验证n=1时也符合,所以a n=(n+1)3.8.已知数列{a n}的首项a1=a,其前n项和为S n,且满足S n+S n-1=4n2(n≥2,n∈N+),若对任意n ∈N+,a n<a n+1恒成立,则a的取值范围是( A )(A)(3,5) (B)(4,6) (C)[3,5) (D)[4,6)解析:由S n+S n-1=4n2(n≥2)得S n+1+S n=4(n+1)2,两式相减得a n+1+a n=8n+4(n≥2),故a n+2+a n+1=8n+12,两式相减得a n+2-a n=8(n≥2),又由a1=a得a2=16-2a,a3=4+2a,所以,a2n=a2+8(n-1)=8n+8-2a,a2n+1=a3+8(n-1)=8n-4+2a.因为对任意n∈N+,a n<a n+1恒成立,所以解得3<a<5,选A.二、填空题9.已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于.解析:根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S16=2×0+7=7.答案:710.数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2n+5,n∈N*,则a n= .解析:这类问题类似于S n=f(a n)的问题处理方法,在a1+a2+…+a n= 2n+5中用n-1代换n得a1+a2+…+a n-1=2(n-1)+5(n≥2),两式相减得a n=2,a n=2n+1,又a1=7,即a1=14,故a n=答案:11.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a1=,a2=2,2(S n+2+S n)=4S n+1+1,则数列{a n}的前n项和S n= .解析:2(S n+2+S n)=4S n+1+1化为(S n+2-S n+1)-(S n+1-S n)=,即a n+2-a n+1=,故a n为等差数列,公差为d=,a1=,所以S n=.答案:12.若数列{a n}中,a1=3且a n+1=(n是正整数),它的通项公式是a n=解析:由题意知a n>0,将a n+1=两边取对数得lg a n+1=2lg a n,即=2,所以数列{lg a n}是以lg a1=lg 3为首项,公比为2的等比数列, lg a n=lg a1·2n-1=lg ,即a n=. 答案:13.数阵(数表)中涉及的数列通项公式问题如表所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数字73在表中出现的次数为.2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …4 7 10 13 16 19 …5 9 13 17 21 25 …6 11 16 21 26 31 …7 13 19 25 31 37 ……………………解析:第i行第j列的数记为A ij,那么每一组i与j的组合就是表中一个数,因为第一行数组成的数列A1j(j=1,2…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以A1j=2+(j-1)×1=j+1,所以第j列数组成的数列A ij=(i=1,2…)是以j+1为首项,公差为j的等差数列,所以A ij=(j+1)+(i-1)×j=ij+1,令A ij=ij+1=73,所以ij=72=1×72=2×36=3×24=4×18=6×12=8×9=9×8=12×6=18×4=24×3=36×2=72×1,所以,表中73共现12次.答案:1214.对于数列{a n},定义H n=为{a n}的“优值”,现在已知某数列{a n}的“优值”H n=2n+1,记数列{a n-kn}的前n项和为S n,若S n≤S5对任意的n恒成立,则实数k的最大值为.解析:由题可知=2n+1,所以a1+2a2+…+2n-1a n=n·2n+1①,a1+2a2+…+2n-2a n-1=(n-1)·2n②,由①-②得2n-1a n=n·2n+1-(n-1)·2n,则a n=2n+2,所以a n-kn=(2-k)·n+2,令b n=(2-k)·n+2,因为S n≤S5,所以b5≥0,b6≤0,解得≤k≤,所以k的取值范围是[,].答案:[,]15.已知数列{a n}中,a1=-1,a2=2且=2,则a n= .解析:a n+1-2a n=(a2-2a1)·2n-1=2n+1,所以-=1,所以=+(n-1)=n-,a n=(n-)2n.答案(n-)2n三、简答题16.已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=,n∈N*.(1)求证:数列{-1}为等比数列;(2)记S n=++…+,若S n<100,求最大正整数n;(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列,且a m-1,a s-1,a n-1成等比数列?如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由.解:(1)根据a n+1=可得-1=(-1),根据a1=,可知-1≠0,即=,所以数列{-1}为等比数列,首项为,公比为.(2)-1=()n-1,=2×()n+1,S n=n+1-,由于S n<100,所以n+1-<100,即n-<99,易知n 的最大值为99.(3)首先假设存在,则m+n=2s,(a m-1)(a n-1)=(a s-1)2,化简为3m+3n=2·3s,3m+3n≥2=2·3s,当且仅当m=n时等号成立,根据m,n,s互不相等得到矛盾,所以不存在.17.设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=2,a2=8,S n+1+4S n-1=5S n(n≥2),T n是数列{log2a n}的前n项和.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求满足(1-)(1-)…(1-)≥的最大正整数n的值.解:(1)因为当n≥2时,S n+1+4S n-1=5S n,所以S n+1-S n=4(S n-S n-1),所以a n+1=4a n,因为a1=2,a2=8,所以a2=4a1,所以数列{a n}是以2为首项,公比为4的等比数列,所以a n=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得,log2a n=log222n-1=2n-1,所以T n=log2a1+log2a2+…+log2a n=1+3+…+(2n-1)==n2,所以(1-)(1-)…(1-)=(1-)(1-)…(1-)=×××…×==,令≥,解得n≤1 008,故满足条件的最大正整数n的值为1 008.巩固提高B一、选择题1.数列,-,,-,…的一个通项公式可能是( D )(A)(-1)n (B)(-1)n(C)(-1)n-1(D)(-1)n-12.数列{a n}满足a1=2,a n+1=2a n-1,则a6等于( A )(A)33 (B)32 (C)31 (D)34解析:数列{a n}满足a1=2,a n+1=2a n-1,a n+1-1=2(a n-1),{a n-1}是以2为公比的等比数列,首项为1,得到a n-1=2n-1⇒a n=2n-1+1,a6=33.故选A.3.数列{a n}的各项均为正数,前n项和为S n,若a1=1,S n+S n+1=,则a50等于( B )(A)5-2 (B)5-7 (C)2(D)5解析:S n+S n+1==,从而-=1,从而=n,S n=,a50=S50-S49=5-7.4.在各项均不为零的数列{a n}中,若a1=1,a2=,2a n a n+2=a n+1a n+2+a n a n+1 (n∈N*),则a2 018等于( C )(A)(B)(C) (D)解析:因为2a n a n+2=a n+1a n+2+a n a n+1(n∈N*),所以=+,所以{}是等差数列,其公差d=-=2,所以=1+(n-1)×2=2n-1,a n=,所以a2 018=.5.已知数列{a n}中满足a1=15,=2,则的最小值为( D )(A)10 (B)2-1 (C)9 (D)解析:a n+1-a n=2n,从而a2-a1=2,a3-a2=4,…,a n-a n-1=2(n-1),相加得a n=n2-n+15(n≥2),当n=1时,a1=15,适合上式,所以a n=n2-n+15,=n+-1,在n=4时取最小值为.6.已知各项均不为零的数列{a n},定义向量c n=(a n,a n+1),b n=(n,n+1), n∈N*.下列命题中真命题是( A )(A)若任意n∈N*总有c n∥b n成立,则数列{a n}是等差数列(B)若任意n∈N*总有c n∥b n成立,则数列{a n}是等比数列(C)若任意n∈N*总有c n⊥b n成立,则数列{a n}是等差数列(D)若任意n∈N*总有c n⊥b n成立,则数列{a n}是等比数列解析:若c n∥b n,可得(n+1)a n=na n+1,=.即···…··=···…·×所以a n=na1(n≥2),对n=1仍成立,所以a n=na1,所以数列{a n}是等差数列.易判断当c n⊥b n时,数列{a n}既不是等差数列也不是等比数列,故选A.7.已知数列{a n}满足a1a2…a n=(n∈N*),且对任意n∈N*都有++…+<t,则实数t的取值范围为( D )(A)(,+∞) (B)[,+∞)(C)[,+∞) (D)[,+∞)解析:因为数列{a n}满足a1a2a3…a n=,所以n=1时,a1=2,当n≥2时,a1a2a3…a n-1=,可得a n=22n-1,当n=1时,a1=2适合上式,所以=,数列{}为等比数列,首项为,公比为,所以++…+==(1-)<,因为对任意n∈N*都有++…+<t,则实数t的取值范围为[,+∞),故选D.8.已知数列{a n}的首项为a1=1,且满足对任意的n∈N*,都有a n+1-a n≤2n,a n+2-a n≥3×2n成立,则a2 014等于( A )(A)22 014-1 (B)22 014+1(C)22 015-1 (D)22 015+1解析:因为a n+1-a n≤2n,所以a n+2-a n+1≤2n+1,两式相加,可得a n+2-a n≤2n+1+2n=3·2n,又因为a n+2-a n≥3×2n,所以a n+2-a n=3·2n,等号成立的条件为a n+1-a n=2n,所以n≥2时,a n=(a n-a n-1)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+…+21+1==2n-1,所以a2 014=22 014-1,故选A.二、填空题9.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= . 解析:因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×2(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3⇒a3=3a2⇒q=3,所以a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-110.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为1,1,2,3,5,8…,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{a n}为“斐波那契”数列,S n为数列{a n}的前n项和,则(1)S7= ;(2)若a2 018=m,则S2 016= .(用m表示)解析:S7=a9-1=33,S2 016=a2 018-1=m-1.答案:(1)33 (2)m-111.已知数列{a n}的首项a1=m,且a n+1+a n=2n+1(n∈N*),如果{a n}是单调递增数列,则实数m 的取值范围是.解析:因为a n+1+a n=2n+1,所以a n+a n-1=2n-1(n≥2),两式作差得a n+1-a n-1=2(n≥2),数列中,奇数项和偶数项分别为公差为2的等差数列,又由条件可得a1=m,a2=3-m,a3=2+m,a4=5-m,若数列为递增数列,则只需a1<a2<a3,解得<m<.答案(,)12.已知数列{a n}的各项均为正数,且S n=(a n+),a n= .解析:S n=(a n+),当n≥2,有S n=(S n-S n-1+),所以2S n=S n-S n-1+⇒S n+S n-1=,所以-=1,所以{}为公差是1的等差数列,所以=+(n-1),在S n=(a n+)中,令n=1可得,S1=(a1+),可解得a1=1,所以=n,所以S n=,因为a n=所以a n=答案:13.已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=(a n-1),则(a n-2+1)(+1)的最小值为.解析:因为S n=(a n-1),所以S n-1=(a n-1-1)(n≥2),所以a n=S n-S n-1=(a n-a n-1),所以a n=4a n-1,又a1=S1=(a1-1),所以a1=4,所以{a n}是首项为4,公比为4的等比数列,所以a n=4n,所以(a n-2+1)(+1)=(+1)(+1)=2++≥2+2=4,当且仅当n=2时取“=”. 答案:414.如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是.解析:设△A1B1O的面积为S0,梯形A n B n B n+1A n+1的面积为S⇒=()2⇒S=3S0,=()2⇒=()2,由上面可得=()2,⇒()2()2()2…()2=()2=×××…×=⇒()2=⇒a n+1=⇒a n=(n≥2),对n=1仍成立,所以a n=.答案:a n=15.在数列{a n}中,a1=0,且对任意k∈N*,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.则数列{a n}的通项公式为.解析:由已知得a2k+1-a2k-1=4k,k∈N*,所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)=4k+4(k-1)+…+4×1=2k(k+1),k∈N*.由a1=0,得a2k+1=2k(k+1),从而a2k=a2k+1-2k=2k2.所以数列{a n}的通项公式为a n=答案:a n=三、解答题16.已知数列{a n}的各项都不为零,其前n项和为S n,且满足:2S n=a n(a n+1)(n∈N*).(1)若a n>0,求数列{a n}的通项公式;(2)是否存在满足题意的无穷数列{a n},使得a2 016=-2 015?若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,请说明理由.解:(1)因为数列{a n}的各项都不为零且满足2S n=a n(a n+1)(n∈N*),①所以2S1=2a1=a1(a1+1),解得a1=1,所以2S n+1=a n+1(a n+1+1),②②-①得2a n+1=-+a n+1-a n,整理得到0=(a n+1-a n-1)(a n+a n+1),所以a n+1-a n=1,所以{a n}是以1为首项,以1为公差的等差数列,所以a n=1+(n-1)×1=n.(2)根据(1)a1=1,0=(a n+1-a n-1)(a n+a n+1),可得a n+1=a n+1或a n+1=-a n,所以从第二项开始每一项都有两个分支,因此通项为a n=的数列满足题意,得a2 016=-2 015.17.已知数列{a n}中,a1=0,a n+1=2a n+n,b n=a n+1-a n+1(n∈N*).(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)令c n=,当c n取得最大时,求n的值.(1)证明:a2=2a1+1=1,所以b1=2,因为a n+1=2a n+n,a n+2=2a n+1+n+1,两式相减:a n+2-a n+1=2a n+1-2a n+1,所以a n+2-a n+1+1=2a n+1-2a n+2,所以b n+1=2b n,又b1=2≠0,所以b n≠0,数列{b n}是以2为首项,公比为2的等比数列.(2)解:由(1)知b n=2n即a n+1-a n=2n-1,n≥2,a2-a1=2-1,a3-a2=22-1,…a n-a n-1=2n-1-1,所以a n-a1=2+22+…+2n-1-(n-1)=2n-n-1,所以n≥2,a n=2n-n-1,所以n=1,a1=0也满足上式,所以a n=2n-n-1.(3)解:因为c n=,所以c n+1=,所以c n+1-c n=-=, 令f(n)=2n+1-2n,f(n+1)=2n+3-2n+1,所以f(n+1)-f(n)=2-2n,所以f(1)=f(2),f(2)>f(3)>f(4)>…>f(n), 因为f(1)=f(2)=1>0,f(3)=-1<0,所以n≥3,f(n)<0,c1<c2<c3,c3>c4>…>c n,n=3,c n最大,所以n=3.。