步步高苏教版新高考数学理科一轮复习配套练习10.6曲线与方程(含答案详析)

§10.6圆锥曲线的综合问题考点一定点与定值问题5.(2013安徽,18,12分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左,右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.解析(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q的坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1P⊥F1Q,所以·=·=-1.化简得=-(2a2-1).①将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.评析本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质,直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识和基本技能.考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力.6.(2012湖南,21,13分)在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.(1)求曲线C1的方程;(2)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B 和C,D.证明:当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.解析(1)解法一:设M的坐标为(x,y),由已知得|x+2|=-3.易知曲线C1上的点位于直线x=-2的右侧,于是x+2>0,所以=x+5.化简得曲线C1的方程为y2=20x.解法二:由题设知,曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离.因此,曲线C1是以(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线.故其方程为y2=20x.(2)当点P在直线x=-4上运动时,P的坐标为(-4,y0),又y0≠±3,则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为y-y0=k(x+4),即kx-y+y0+4k=0,于是=3.整理得72k2+18y0k+-9=0.①设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程①的两个实根.故k1+k2=-=-.②由得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.③设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4,则y1,y2是方程③的两个实根,所以y1y2=.④同理可得y3y4=.⑤于是由②,④,⑤三式得y1y2y3y4====6 400.所以,当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6 400.评析本题考查了直线、圆、抛物线的基础知识;考查了学生的运算求解能力.在运算时运用整体运算的技巧至关重要.考点二最值与范围问题7.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A.5B.+C.7+D.6答案 D 设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|====≤5,故|PQ|max=5+=6.8.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O 的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.解析(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以==2p1,==2p2,故=,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此=.又由(1)中的=知=.故=.9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.解析(1)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)(i)由(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率k TF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率k OM=-,又直线OT的斜率k OT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).评析本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想. 10.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A'两点,|AA'|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P'Q,求圆Q的标准方程.解析(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=得b2==8,从而a2==16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.因为PQ⊥P'Q,且P'(x1,-y1),所以·=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=0,即(x1-x0)2-=0.由椭圆方程及x1=2x0得-8=0,解得x1=±,x0==±.从而|QP|2=8-=.故这样的圆有两个,其标准方程分别为+y2=,+y2=.评析本题考查了椭圆的标准方程、几何性质、函数的最值等知识,考查了运算能力,分析问题和解决问题的能力,综合性较强.11.(2012北京,19,14分)已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.解析(1)因为曲线C是焦点在x轴上的椭圆,所以解得<m<5,所以m的取值范围是.(2)证明:当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).由得(1+2k2)x2+16kx+24=0.因为直线与曲线C交于不同的两点,所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)×24>0,即k2>.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直线BM的方程为y+2=x,点G的坐标为.因为直线AN和直线AG的斜率分别为k AN=,k AG=-,所以k AN-k AG=+=+=k+=k+=0.即k AN=k AG,故A,G,N三点共线.评析本题主要考查直线与椭圆的位置关系.考查学生计算能力及转化与化归思想.12.(2012四川,21,12分)如图,动点M与两定点A(-1,0)、B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=-2x+m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.解析(1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0.当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3).当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即-=.化简可得,3x2-y2-3=0.而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).(5分)(2)由消去y,可得x2-4mx+m2+3=0.(*)由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内,设f(x)=x2-4mx+m2+3,所以解得m>1,且m≠2.设Q、R的坐标分别为(x Q,y Q)、(x R,y R),由|PQ|<|PR|有x R=2m+,x Q=2m-.所以====-1+.由m>1,且m≠2,有1<-1+<7+4,且-1+≠7.所以的取值范围是(1,7)∪(7,7+4).(12分)评析本题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考查思维能力、运算能力,考查函数、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.考点三存在性问题4.(2013湖北,21,13分)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.解析依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1:+=1,C2:+=1.其中a>m>n>0,λ=>1.(1)解法一:如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1=|BD|·|OM|=a|BD|, S2=|AB|·|ON|=a|AB|,所以=.在C1和C2的方程中分别令x=0,可得y A=m,y B=n,y D=-m,于是===.若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.解法二:如图1,若直线l与y轴重合,则|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|.所以===.若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.(2)解法一:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则d1==,d2==,所以d1=d2.又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ,即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|A B|,于是=.①将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得x A=,x B=.根据对称性可知x C=-x B,x D=-x A,于是===.②从而由①和②式可得=.③令t=,则由m>n,可得t≠1,于是由③式可解得k2=.因为k≠0,所以k2>0.于是③式关于k有解,当且仅当>0,等价于(t2-1)<0.由λ>1,可解得<t<1,即<<1,由λ>1,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.解法二:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则d1==,d2==,所以d1=d2.又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ.因为===λ,所以=.由点A(x A,kx A),B(x B,kx B)分别在C1,C2上,可得+=1,+=1,两式相减可得+=0,依题意x A>x B>0,所以>.所以由上式解得k2=.因为k2>0,所以由>0,可解得1<<λ.从而1<<λ,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.评析本题综合考查直线与圆锥曲线相交得到的三角形的面积的问题.解决此问题的关键:首先将面积比转化成线段比,再通过常规方法的计算构造方程或不等式进行求值或求范围.难度较大,对计算能力、转化能力要求很高.。

§9.9曲线与方程1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( ×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( ×)1．方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是下列中的________(填序号)．答案 ③解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是________． 答案 2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是____________．答案 椭圆或线段 解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6.当a ＝3时，a ＋9a＝6，此时PF 1＋PF 2＝F 1F 2，P 点的轨迹为线段F 1F 2，当a ≠3时，PF 1＋PF 2>F 1F 2. 由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆．4．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝4，则动点P 的轨迹是____________． 答案 射线解析 ∵MN ＝4，∴PM －PN ＝MN . ∴P 点的轨迹是射线.题型一 定义法求轨迹方程例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 思维点拨 利用两圆相切的几何性质得出M 的等量关系，结合圆锥曲线定义求方程． 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．如图所示，已知C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P 是圆上的动点，点Q 在直线CP 上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．解 圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2，∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 是线段AP 的中点，即MQ 是AP 的垂直平分线，连结AQ ， 则AQ ＝QP ，∴|QC －QA |＝|QC －QP |＝CP ＝r ＝2，又AC ＝22>2，根据双曲线的定义，知点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1. 题型二 相关点法求轨迹方程例2 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．思维点拨 利用重心G 的坐标与点C 的坐标的关系，代入抛物线方程．解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x ≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )(x ≠(6±25)a )．思维升华 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝gx ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程． 解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 题型三 直接法求轨迹方程例3 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维点拨 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系； (2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得O 1A ＝O 1M ， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝x 2＋42，又O 1A ＝x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0.③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S 、T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →. (1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 解 (1)∵OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n ) ＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.(2)设P (x ，y ) (x >0)，由OP →＝OA →＋OB →，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )．∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1 (x >0)．它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．利用参数法求轨迹方程典例：(14分)(2013·福建)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连结OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．思维点拨 (1)设A i 的坐标为(i,0)，则B i 的坐标为(10，i )，可用i 表示点P 的坐标，得出P 的参数方程．(2)设直线l 的斜率为k ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，寻找M ，N两点坐标之间的关系，再由面积之比即可求出k 的值． 规范解答方法一 解 (1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[6分] (2)依题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .[10分]设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ， ①x 1·x 2＝－100， ②因为S △OCM ∶S △OCN ＝4∶1，所以S △OCM ＝4S △OCN ， 所以|x 1|＝4|x 2|.又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，③把③代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.[12分]所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.[14分]方法二 解 (1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )， 所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为(i ，i 210)，因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[6分] (2)同方法一：温馨提醒 参数法求轨迹方程的步骤： (1)选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标．(2)得出动点M 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝fk ，y ＝gk .(3)消去参数k ，得m 的轨迹方程． (4)由k 的范围确定x ，y 的范围.方法与技巧求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．(4)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动．如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．失误与防范1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应法则．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．A组专项基础训练(时间：45分钟)1．平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2＝2y－1，则他的建系方式是下列中的________(填序号)．答案 ③解析 因为点P 的轨迹方程为x 2＝2y －1， 即所求的抛物线方程为y ＝12x 2＋12，抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.所以该同学建系方式是③.2．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．则点M (x ，y )的轨迹C 的方程为________． 答案x 23＋y 2＝1解析 因为(a ＋3b )⊥(a －3b )， 所以(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 所以a 2－3b 2＝0， 所以x 2＋3y 2－3＝0，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________________________________________________________________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 由题意知P 到圆心(1,0)的距离为2， ∴P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__________________________________________________________________．答案x 29－y 216＝1 (x >3) 解析 如图，AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1 (x >3)．5．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为________． 答案 双曲线解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ， 由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝PF ＝x －a 2＋y 2，∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．6．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为__________． 答案 椭圆解析 如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是AM ＝PM ，又由于10＝OP ＝OM ＋MP ＝OM ＋MA ，即OM ＋MA ＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0)的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为________________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) 解析 设A (x ，y )，则D (x 2，y2)，∴CD ＝x2－52＋y 24＝3，化简得(x －10)2＋y 2＝36， 由于A 、B 、C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.8．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是__________________．答案 焦点在y 轴上的椭圆 解析 ∵π2<2<2π3，∴sin 2>0，cos 2<0，sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0， ∴方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1， 即x 2sin 2＋cos 2＋y 2sin 2－cos 2＝1，故方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆． 9．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)，经过点M (33，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程． 解 设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (33，0)， 故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0)．由于MB →＝－2MA →，∴(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)．∴x 0＝32，y 0＝－1，即A (32，－1)． ∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·322＋b ·－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.10．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ →＝23DP →.(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意， 则点D 的坐标为D (x 0,0)， ∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y .∵P 在圆O 上，故x 2＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1. ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1.(2)存在．假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减，得x 1－x 2x 1＋x 29＋y 1－y 2y 1＋y 24＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49， ∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0. ∴椭圆上存在点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F 且满足AE →⊥AF →，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4x (x ≠0)解析 设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为零)，由EP →∥OA →⇒y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →⇒y 2＝－y x，即F (－1，－y x)．由AE →⊥AF →⇒y 2＝4x (x ≠0)．2．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________． 答案 直线解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．3．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点， 则由PF 1·PF 2＝a 2，得x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2.把(0,0)代入方程可得1＝a 2，与a >1矛盾，故①不正确．当M (x ，y )在曲线C 上时，点M 关于原点的对称点M ′(－x ，－y )也满足方程， 故曲线C 关于原点对称，故②正确．12F PF S V ＝12PF 1·PF 2sin∠F 1PF 2＝12a 2sin∠F 1PF 2≤12a 2，故③正确． 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是______________． 答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)解析 设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形， ∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4. ∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2， ∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)．5.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________． 答案 y 2＝23x －19解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由PH 2－PM 2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.6.如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且DM ＝2DP .当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2，①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1， 点A 、B 的坐标分别为(－32，1)，(32，1)， 此时AB ＝3，当t ＝－1时，同理可得AB ＝3； 当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1， 所以AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[4k 2t24＋k22－4t 2－44＋k 2]＝43|t |t 2＋3. 因为AB ＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |，且当t ＝±3时，AB ＝2，所以AB 的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S 的最大值为12×2×1＝1，此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3).。

【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 曲线与方程 理1.曲线与方程一般地，如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y ). (3)列式——列出动点P 所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简.(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，对于曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和曲线C 2：f 2(x ，y )＝0，由于P 0(x 0，y 0)是C 1与C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1x 0，y 0＝0，f 2x 0，y 0＝0，所以，求两条曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，y ＝0，f 2x ，y ＝0的实数解.反过来，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点.(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 4.圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹. 当0<e <1时，它表示椭圆； 当e >1时，它表示双曲线； 当e ＝1时，它表示抛物线.其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件.( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线.( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线.( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线.( × )1.方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是_________________________________.答案 ③解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分.2.已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是______________. 答案 2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3.设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是____________. 答案 椭圆或线段解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6.当a ＝3时，a ＋9a＝6，此时PF 1＋PF 2＝F 1F 2，P 点的轨迹为线段F 1F 2，当a ≠3，a >0时，PF 1＋PF 2>F 1F 2. 由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆.4.(教材改编)和点O (0,0)，A (c,0)距离的平方和为常数c 的点的轨迹方程为________________.答案 2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0解析 设P (x ，y )为轨迹上一点，则x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ，∴2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0. 5.(教材改编)已知⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，过M (4,0)的直线与⊙O 交于A ，B 两点，则弦AB 中点P 的轨迹方程为____________________. 答案 (x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1) 解析根据垂径定理知：OP ⊥PM ，所以P 点轨迹是以OM 为直径的圆且在⊙O 内的部分， 以OM 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，它与⊙O 的交点为(1，±3)，结合图形可知所求轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1).题型一 定义法求轨迹方程例1 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以PM ＋PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2).思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解.已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 解如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0).设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32).题型二 直接法求轨迹方程命题点1 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)例2 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点.已知△F 1PF 2为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程.解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0). 由题意，可得PF 2＝F 1F 2，即a －c2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c ).A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c ).设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c ).由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0). 命题点2 无明确等量关系求轨迹方程例3 (2014·某某)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.解 (1)由题意知c ＝5，c a ＝53，所以a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±3，±2). ②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3. 设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为－1k，故l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0. 因为直线l 1与椭圆C 相切， 所以Δ＝0，得9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 所以－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 所以(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0，所以k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的一个根，同理－1k是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的另一个根，所以k ·(－1k )＝y 20－4x 20－9，得x 20＋y 20＝13，其中x 0≠±3，所以此时点P 的轨迹方程为x 20＋y 20＝13(x 0≠±3). 因为P (±3，±2)满足x 20＋y 20＝13， 综上可知，点P 的轨迹方程为x 20＋y 20＝13.思维升华 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略： (1)题目给出等量关系，求轨迹方程.直接代入即可得出方程.(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.(1)已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是下列中的________. ①圆；②椭圆；③抛物线；④双曲线. 答案 ③解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0).因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆； 当λ<0时，轨迹是双曲线； 当λ＝0时，轨迹是直线.综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线. (2)如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S 、T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →.①求mn 的值；②求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 解 ①∵OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n ) ＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.②设P (x ，y ) (x >0)，由OP →＝OA →＋OB →，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n ).∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1 (x >0).它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支.题型三 相关点法求轨迹方程例4 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程. 解设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a ).又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a ).思维升华 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝gx ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .20.利用参数法求轨迹方程典例 (16分)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连结OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9).(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△O 的面积比为4∶1，求直线l 的方程. 规X 解答方法一 解 (1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为 (10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[6分] (2)依题意知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .[8分]设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ， ①x 1·x 2＝－100， ②因为S △OCM ∶S △O ＝4∶1，所以S △OCM ＝4S △O ， 所以|x 1|＝4|x 2|.又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，③把③代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.[14分]所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.[16分]方法二 解 (1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上.证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )， 所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为(i ，i 210)，所以点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[6分] (2)同方法一.温馨提醒 参数法求轨迹方程的步骤： (1)选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标.(2)得出动点M 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝fk ，y ＝g k .(3)消去参数k ，得M 的轨迹方程. (4)由k 的X 围确定x ，y 的X 围.[方法与技巧]求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.(4)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动时.如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就是把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.[失误与防X]1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2＝2y－1，则他的建系方式是________.答案 ③解析 因为点P 的轨迹方程为x 2＝2y －1， 即所求的抛物线方程为y ＝12x 2＋12，抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.所以该同学的建系方式是③.2.若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是________(填序号). ①x ＋y ＝5；②x 2＋y 2＝9；③x 225＋y 29＝1；④x 2＝16y .答案 ②解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.①中，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；②中，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； ③中，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；④中，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意.综上，②中的曲线不是“好曲线”.3.已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为________. 答案 y ＝2x解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .4.已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________________. 答案x 29－y 216＝1 (x >3) 解析如图，AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6<10＝AB .根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 29－y 216＝1 (x >3). 5.平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________. 答案 直线解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0表示一条直线.6.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________. 答案 4π解析 设P (x ，y )，由PA ＝2PB ， 得x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的图形的面积等于4π.7.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________. 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2≤12PF 1·PF 2＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确.8.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，延长PO与椭圆交于点M ，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________.答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有－x22a 2＋－y22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.9.在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程.解 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点. 则BE ＝BD ，CD ＝CF ，AE ＝AF ，∴AB －AC ＝22<4＝BC ，∴点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2， ∴顶点A 的轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2).10.在圆O ：x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.设M 为线段PD 的中点.(1)当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系. 解 (1)设M (x ，y )，则P (x,2y ).∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋(2y )2＝4， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝2或x ＝－2. 显然与轨迹E 相切.当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0). ∵直线PN 与圆O 相切，∴|t |k 2＋1＝2，即t 2－4k 2－4＝0.又∵直线MN 的斜率为k2，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－tk ，0，∴直线MN 的方程为y ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋t k ，即y ＝12(kx ＋t ).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，得(1＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.∵Δ＝(2kt )2－4(1＋k 2)(t 2－4)＝－4(t 2－4k 2－4)＝0， ∴直线MN 与轨迹E 相切. 综上可知，直线MN 与轨迹E 相切.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11.动点P 在直线x ＝1上运动，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是______________. 答案 两条平行直线 解析设Q (x ，y )，P (1，y 0)， 由题意知OP ＝OQ ， 且OP →·OQ →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1＋y 20， ①x ＋y 0y ＝0， ②将y 0＝－xy代入①得x 2＋y 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 2， 化简即y 2＝1，∴y ＝±1，表示两条平行直线. 12.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________.答案 y 2＝23x －19解析过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )， 由PH 2－PM 2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.13.(2015·某某)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是________.答案 椭圆解析 本题可构造如图圆锥.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆.14.如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点.求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0).设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3).② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).15.如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且DM ＝2DP .当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标.解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2，① 因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1， 点A ，B 的坐标分别为(－32，1)，(32，1)， 此时AB ＝3，当t ＝－1时，同理可得AB ＝3； 当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1， 所以AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝ 1＋k2[4k 2t 24＋k22－4t 2－44＋k 2]＝43|t |t 2＋3. 因为AB ＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |，且当t ＝±3时，AB ＝2，所以AB 的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S 的最大值为12×2×1＝1，此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3).。

第2讲 双曲线分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.解析 ∵b ＝3，∴c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a＝2，∴a ＝1.答案 12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝ca＝ 5.答案53．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝6，a 2＋b 2＝c2b a ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27.答案x 29－y 227＝14．(2011·湖南卷改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.答案 25．(2012·苏州市自主学习调查)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a2，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________．解析 由题意，得2b 2a ＝a 2，即a 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，所以5a 2＝4c 2，e 2＝c 2a 2＝54，e ＝52.答案526．(2012·南京模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，A (a,0)，F (c,0)，于是A 是线段BF 的中点，得c －a 2c ＝2a ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0.又e ＞1，所以e ＝2＋1. 答案2＋1二、解答题(每小题15分，共30分)7．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 由e ＝ca ，得e ＝1x ，故e ＝233或e ＝2. ∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2＞2， ∴应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.8．设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213，故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝102＋42－21322×10×4＝45. 分层训练B 级 创新能力提升1．(2011·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________． 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 52．(2012·南京调研)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2，3PF 1＝4PF 2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝8，PF 2＝6.又由F 1F 2＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12PF 1×PF 2＝24.答案 243. (2012·苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案 x 2－y 23＝14．(2013·南京师大附中调研)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析 如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°， 又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca＝2. 答案 25．(2012·台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)解 ∵在△F 1MF 2中，F 1F 2＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·F 1F 2·|m |＝12×43×3＝6.6．(2010·全国Ⅱ卷)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(1)解 由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－4a 2－a 2b2b 2－a 2. 由M (1,3)为BD 的中点，知x 1＋x 22＝1， 故12×4a 2b 2－a2＝1，即b 2＝3a 2，①∴c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a＝2. (2)证明 由①知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2. A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a22<0.故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴|BF |＝x 1－2a2＋y 21＝x 1－2a2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1， ∴|FD |＝x 2－2a2＋y 22＝x 2－2a2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1或a ＝－95(舍去)．故|BD |＝2|x 1－x 2|＝ 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.连接MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∴∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在A 处与x 轴相切．∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。

1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是________． 答案 抛物线解析 由已知MF ＝MB ，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2016·苏州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是________________． 答案 一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．3．(2016·南通模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)解析 由角的平分线性质定理得P A ＝2PB ， 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________________． 答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析 设MN 的中点为P (x ，y )， 则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2a 2＋(2y )2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b2＝1(a >b >0)． 5．(2016·镇江模拟)若点P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，且满足PF 1→·PF 2→＝t ，则实数t 的取值范围是____________． 答案 [－7,1]解析 设P (x ，y )，F 1(－22，0)，F 2(22，0)，PF 1→＝(－22－x ，－y )，PF 2→＝(22－x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝(－22－x )(22－x )＋(－y )2＝x 2＋y 2－8.∵P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，∴y 2＝1－x 29，∴t ＝PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－8 ＝89x 2－7，∵0≤x 2≤9， ∴－7≤t ≤1，故实数t 的取值范围为[－7,1].题型一 定义法求轨迹方程例1 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)， 由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3<4＝O 1O 2.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1(x ≤－32)．题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·常州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程． 解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连结OM ，ON ，则 OM ＋MN ＝ON ＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连结A ′B ，故A ′B ＋AB ＝2(OM ＋MN )＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则 曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →. 设B (x 0，y 0)，则AB →＝(x 0－3，y 0)， 所以x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23. 则k OB ＝±22，k AB ＝∓2，则直线AB 的方程为y ＝±2(x －3)， 即2x －y －6＝0或2x ＋y －6＝0.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得PF 2＝F 1F 2，即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0， 得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2， 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·盐城模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12， 所以点A 的坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上， 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点，知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ，MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ， AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)． (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . ∵G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 (y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (16分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOQ ＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2.[2分] 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，[4分] 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[5分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 23＝1，解得y 20＝3－34x 2.[7分] 由OP OQ ＝λ可得OP 2OQ 2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[10分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[12分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[14分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[16分]1．(2016·无锡质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件PM 1＋PM 2＝a ＋9a (其中a是正常数)，则点P 的轨迹是__________． 答案 椭圆或线段解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a≥29＝6.当PM 1＋PM 2＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当a ＋9a>6时，点P 的轨迹是椭圆．2．(2016·南京模拟)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点F 1，F 2的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为________________．答案 x 2＋y 2＋26x ＋25＝0解析 F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设M (x ，y )，则(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝49，化简得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0. 3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是____________． 答案 2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.4．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为________． 答案 3解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根， ∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3； 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163； 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时， 可化为x 24－y 2－m＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为____________． 答案 y ＝2x解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . ∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________． 答案 直线解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为12F PF S ＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2≤12PF 1·PF 2＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8．(2017·南通月考)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为______ __________．答案 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则AC ＋BC ＝10>8＝AB ，∴满足椭圆定义． 令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有(－x 2)2a 2＋(－y2)2b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则AA 1＋BB 1＝2OO 1＝4，由抛物线定义得AA 1＋BB 1＝F A ＋FB ，∴F A ＋FB ＝4>2＝AB ，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点， 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． ∴轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．11．过点(1,0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y ＝12x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程． 解 由e ＝c a ＝22，得a 2－b 2a 2＝12，从而a 2＝2b 2，c ＝b .设椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝2b 2， A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵A 、B 在椭圆C 上，∴x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2， 两式相减得(x 21－x 22)＋2(y 21－y 22)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 设AB 中点坐标为(x 0，y 0)，则k AB ＝－x 02y 0，又(x 0，y 0)在直线y ＝12x 上，故y 0＝12x 0，于是－x 02y 0＝－1，即k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＝－x ＋1.右焦点(b,0)关于直线l 的对称点设为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ′x ′－b＝1，y ′2＝－x ′＋b2＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝1－b .由点(1,1－b )在椭圆上，得1＋2(1－b )2＝2b 2， ∴b ＝34，∴b 2＝916，a 2＝98.∴所求椭圆C 的方程为x 298＋y 2916＝1.12．(2016·连云港模拟)定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝BC ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解 (1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内， ∴圆N 内切于圆M .∵NM ＋NF ＝4>FM ，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1， ∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12OC ·AB ＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，得x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，∴OA2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k2.将上式中的k 替换为－1k ，可得OC 2＝4(1＋k 2)k 2＋4. ∴S △ABC ＝2S △AOC ＝OA ·OC＝4(1＋k 2)1＋4k 2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4). ∵(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .*13. (2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1＋S 2S 的取值范围．解 (1)连结QF ，根据题意，QP ＝QF ，则QE ＋QF ＝QE ＋QP ＝4>EF ＝23，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝3，∴b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得，(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2. ∵k 1，k ，k 2构成等比数列，∴k 2＝k 1k 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2， 整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12. 此时Δ＝16(2－m 2)>0，解得m ∈(－2，2)．又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0， 从而m ∈(－2，0)∪(0，2)．故S ＝12·AB ·d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2 ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·|m | ＝2－m 2|m |.又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1， 则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22) ＝π4(34x 21＋34x 22＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值．∴S 1＋S 2S ＝5π4×1(2－m 2)m2≥5π4， 当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上，S 1＋S 2S ∈[5π4，＋∞)．。

直线与圆锥曲线分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1(a ＞0)相切，给出下列k ，a 之间的关系________．①4a ＋4k 2＝1；②4k 2－a ＝1；③a －4k 2＝1；④a ＋4k 2＝1. 其中正确的是________(填序号)． 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，ax 2＋4y 2－4a ＝0，得(4k 2＋a )x 2－8kx ＋4(1－a )＝0. ∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0，即64k 2＋4×(4k 2＋a )×4(a －1)＝0.∴a ＋4k 2＝1. 答案 ④2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案 33．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 答案 724．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝bax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1消去y 得，x 2－bax＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.答案55．若斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1交于不同两点A 、B ，则AB 的最大值为________．解析 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)＞0，即t 2＜5，弦长AB ＝2·4·5－t 25≤4105.答案41056．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝0二、解答题(每小题15分，共30分)7．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于①中Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) 由方程①得，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k21＋2k2＋2 2.∵(OP →＋OQ →)⊥AB →，∴(x 1＋x 2)·(－2)＋y 1＋y 2＝0， 即：－42k 1＋2k 2·(－2)－42k21＋2k 2＋22＝0.解得：k ＝－24，由(1)知k 2>12，与此相矛盾， 所以不存在常数k 使OP →＋OQ →与AB →垂直．8．设A 、B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ，b ＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x ＝4为它的右准线． (1)求椭圆的方程；(2)设P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内．(1)解 依题意得a ＝2c ，a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b ＝ 3.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由(1)得A (－2,0)，B (2,0)．设M (x 0，y 0)． ∵M 点在椭圆上，∴y 0＝34(4－x 20)．①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2＜x 0＜2，由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎪⎫4，6y 0x 0＋2. 从而BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2.∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝2x 0＋2(x 20－4＋3y 20)．②将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0)．∵2－x 0＞0，∴BM →·BP →＞0，则∠MBP 为锐角， 从而∠MBN 为钝角．故点B 在以MN 为直径的圆内．分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·镇江中学检测)已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为________．解析 由题意知焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k①y 1y 2＝－4 ②又由FA →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2 ③ 联立①②③式解得k ＝±43.答案 ±432．(2012·苏北四市调研三)已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝________.解析 依题意，设点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 1， 则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1－2，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 1－2，FM →＝()－p ，y 1.由AB →∥AF →得y 212p ×(－2)－p 2(y 1－2)＝0，即y 21＋p 22y 1－p 2＝0. ①由AM ⊥MF 得AM →·FM →＝p22＋y 1(y 1－2)＝0，即y 21－2y 1＋p 22＝0，②由①－②得y 1＝3p2p 2＋4③，把③代入②，解得p ＝ 2.答案23．(2012·苏中三市调研二)若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________．解析 由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个． 答案 24．(2012·盐城调研三)已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 21＋x 22的最小值是________．解析 设过点P 的直线为y ＝k (x －4)，当k 不存在时，A (4,4)，B (4，－4)，则x 21＋x 22＝32， 当k 存在时，有k 2x 2－(8k 2＋4)x ＋16k 2＝0， 则x 1＋x 2＝8＋4k2，x 1·x 2＝16，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32＋16k 4＋64k2＞32，故(x 21＋x 22)min ＝32. 答案 325．(2013·南京师大附中阶段检测)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0. (1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点．(1)解 设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y2＋my －20m ＝0，∵Δ＞0，∴m ＞0或m ＜－160.解得y 1,2＝－m ±161m 24，则y 1＋y 2＝－m2，∴x 1＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－y 14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－y 24＝10＋m8.再设C (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 33＝m2，y 1＋y 2＋y 33＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝11m8－10，y 3＝m2.∵点C 在抛物线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫11m 8－10.∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明 当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0，将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0， ∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q 162＝b 2k 2，∴b 2k 2＋16bk ＝0，∵k ≠0，b ≠0，∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ， ∴△POQ 为等腰三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0).。