南开张晓峒VAR模型与协整

V AR模型与协整张晓峒南开大学经济学院天津300071xttfyt@1. V AR（向量自回归）模型定义2. V AR模型的特点3. V AR模型稳定的条件4. V AR模型的分解5. V AR模型滞后期的选择6. 脉冲响应函数和方差分解7. 格兰杰（Granger）非因果性检验8. V AR模型与协整9. V AR模型中协整向量的估计与检验10. 案例分析1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。

这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。

在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

1. V AR （向量自回归）模型定义以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型为例，y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2t其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。

写成矩阵形式是，⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21设Y t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21, c =12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, ∏1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ, u t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21, 则，Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (1.3)含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω)其中，Y t = (y 1, ty 2, t … y N , t )'， c = (c 1 c 2 … c N )'∏j =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j NN jN jN j N jj j N j j..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππ,j = 1, 2, …, ku t = (u 1 t u 2,t … u N t )',不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因V AR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t是渐近不相关的，所以可以用OLS 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。

2. V AR 模型的特点（1）不以严格的经济理论为依据。

（2）V AR 模型的解释变量中不包括任何当期变量。

（3）V AR 模型对参数不施加零约束。

（4）V AR 模型有相当多的参数需要估计。

（5）V AR 模型预测方便、准确（附图）。

（6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。

（7）西姆斯（Sims ）认为V AR 模型中的全部变量都是内生变量。

近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入V AR 模型。

附：20406080100120808182838485868788PHOPHOhat20406080100120808182838485868788PHOPHOF图1 油价与静态拟合值 图2 油价与静态拟合值3. V AR模型稳定的条件对于V AR(1)，Y t = c + ∏1 Y t-1 + u t模型稳定的条件是特征方程|∏1-λI |=0的根都在单位圆以内，或相反的特征方程|I–L∏1|= 0的根都要在单位圆以外。

对于k>1的V AR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的V AR(1)模型形式。

Y t = C + A Y t -1 + U t模型稳定的条件是特征方程|A-λI| =0的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程|I-L A|=0的全部根都在单位圆以外。

附：矩阵变换。

给出k阶V AR模型，Y t = c + ∏1 Y t-1 + ∏2 Y t-2+ … + ∏k Y t-k + u t再配上如下等式，Y t -1 = Y t -1Y t -2 =Y t -2…Y t-k+1 =Y t-k+1把以上k个等式写成分块矩阵形式，1121⨯+---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡NK k t t t t Y Y Y Y =1NK ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦c 000+NKNK k k ⨯-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000000II I ΠΠΠΠ1211321⨯----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡NK k t t t t Y Y Y Y +1⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡NK t 000 u其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。

上式可写为Y t = C + A Y t -1 + U t附：V AR 模型的特征根4. V AR模型的分解以V AR(1)模型Y t = c + ∏1 Y t-1 + u t为例，用递推的方法最终可把Y t分解为三部分：Y t = (I + ∏1 + ∏12 + … + ∏1t-1) c + ∏1t Y0 +11tii-=∑Πut-i=(I-∏1)-1c + ∏1t Y0 +11tii-=∑Πut-i5. V AR 模型滞后期的选择1． 用F 统计量选择k 值。

F 统计量定义为，()//()r u u SSE SSE m F SSE T k -=-~ F ( m , T – k )2． 用LR 统计量选择k 值。

LR （似然比）统计量定义为，LR = - 2 (log L (k ) - log L (k +1) ) ~)(22N χ3． 用赤池（Akaike ）信息准则 (AIC ) 选择k 值。

AIC = -2⎪⎭⎫⎝⎛T L log +Tk24．用施瓦茨（Schwartz ）准则 (SC ) 选择k 值。

SC =-2⎪⎭⎫ ⎝⎛T L log +T Tlog k5．用Hannan-Quinn 信息准则选择k 值。

log ()22L Ln LnT HQ k T T=-+附：选择k 值评价结果是建立V AR(2)模型。

6. V AR 模型的脉冲响应函数和方差分解(1)脉冲响应函数:对于任何一个V AR 模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。

Y t+s = U t+s + ψ1U t+s -1 + ψ2U t+s -2 + …+ ψsU t + …ψ s =ts t U Y ∂∂+ψ s 中第i 行第j 列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当第j 个变量y j t 对应的误差项u j t 在t 期受到一个单位的冲击后，对第i 个内生变量y it 在t + s 期造成的影响。

把ψ s 中第i 行第j 列元素看作是滞后期s 的函数t j st i u y ∂∂+,, s = 1, 2, 3, …称作脉冲响应函数（impulse-response function ），脉冲响应函数描述了其它变量在t 期以及以前各期保持不变的前提下，y i, t +s 对 u j, t 时一次冲击的响应过程。

(2)方差分解MSE(ˆt s t +Y ) = E[(Y t +s -ˆt s t +Y ) (Y t +s -ˆt s t+Y )'] = Ω + ψ1Ωψ1' + ψ2Ωψ2 ' + … +ψ s -1Ωψ s -1' （5）其中Ω = E(u t u t ' )。

下面考察每一个正交化误差项对MSE(ˆt s t+Y )的贡献。

把u t 变换为正交化误差项v t 。

u t = M v t = m 1v 1t + m 2v 2t +…+ m N v N tΩ = E(u t u t ' ) = (m 1v 1t + m 2v 2t +…+ m N v N t ) ( m 1v 1t + m 2v 2t +…+ m N v N t ) '= m 1 m 1'Var(v 1t )+ m 2 m 2'Var(v 2t ) +…+ m N m N 'Var(v Nt )把用上式表达的Ω代入(5) 式，并合并同期项，MSE(ˆt s t+Y ) =122s-1s-11Var()( '+ ' ' + ' ' + ... + ' ')Njt j j j j j j j j j v 1=∑m m m m m m m m ψψψψψψ则1s-1s-11s-1s-11Var()( '+ ' ' + ... + ' ')Var()( '+ ' ' + ... + ' ')jt j j j j j j Njtj j j j j j j v v11=∑m m m m m m m m m m m m ψψψψψψψψ表示正交化的第j 个新息对前s期预测量ˆt s t+Y 方差的贡献百分比。

附：脉冲响应函数图1 油价对3个误差项的响应 图2 油产量对3个误差项的响应 图3 油储量对3个误差项的响应附：方差分解图4 油价的方差分解 图5 油产量的方差分解 图6 油储量的方差分解7. 格兰杰（Granger ）非因果性检验格兰杰非因果性：如果由y t 和x t 滞后值所决定的y t 的条件分布与仅由y t 滞后值所决定的条件分布相同，即ƒ( y t | y t -1, …, x t -1, …) = ƒ( y t | y t -1, …) 则称x t -1对y t 存在格兰杰非因果性。

格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上x t 的滞后变量后对y t 的预测精度不存在显着性改善，则称x t -1对y t 存在格兰杰非因果性关系。

为简便，通常总是把x t -1 对y t 存在非因果关系表述为x t （去掉下标-1）对y t 存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。

检验式（V AR 模型方程之一）是111k kt i t i i t i t i i y y x u αβ--===++∑∑H 0: β1 = β2 = …= βk = 0。

检验可用F 统计量完成。

()()u u k F SSE T kN -=-r SSE SSE ~F ( k , T - k N )注意：滞后期k 的选取是任意的。

（1）以x t 和y t 为例，如果x t -1对y t 存在显著性影响，则不必再做滞后期更长的检验。