第四章 数值积分

第四章 数值微分与数值积分一、基本内容提要1. 差商型数值微分公式 （1）向前差商公式h x f h x f x f )()()('-+≈（2）向后差商公式hh x f x f x f )()()('--≈（3）中心差商公式hh x f h x f x f 2)()()('--+≈2. 插值型数值微分（1）两点数值微分公式（1=n ）过节点h x x x +=010,的插值型数值微分两点公式为hx f x f x L x f )()()(')('01010-=≈hx f x f x L x f )()()(')('01111-=≈其截断误差为)(''2)('001ξf h x R -=， )(''2)('111ξf hx R -= 其中),(b a i ∈ξ)1,0(=i 。

（2）三点数值微分公式过节点)2,1,0(0=+=i ih x x i 的插值型计算导数的三点公式为)]()(4)(3[21)('2100x f x f x f h x f -+-≈)]()([21)('201x f x f h x f +-≈)](3)(4)([21)('2102x f x f x f hx f +-≈其截断误差为)('''3)('0202ξf h x R -=)('''6)('1212ξf h x R -=)('''3)('2222ξf h x R = ),(b a i ∈ξ )2,1,0(=i（3）二阶数值微分公式)]()(2)([1)('')(''21022x f x f x f hx L x f i i +-=≈ )2,1,0(=i 住：此公式是三点公式。

在实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次 二分的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到 二分前后两次积分近似值之差符合精度要求为止。
2019f (x)dx的积分区间[a,b]分割为n等份 a
各节点为 xk a kh , k 0,1,, n
例：p110
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§ 4.4.2 龙贝格算法
根据复化梯形公式的余项表达式可知
I

Tn

ba 12
h2
f
(),
(a,b)
I
T2n

ba 12
(h)2 2
f
(
),
(a,b)
假定 f () f ( ) ，则有 I T2n 1 I Tn 4
C2 0.94608307
I 1sin x dx 0x
0.946083070367183
9
将T
1
41
T2n 3 (T2n Tn ) 3 T2n 3 Tn 用于计算 I
1sin x dx 0x
I 0.9460831
T4 0.9445135
2位有效数字
第四章 数值积分
§ 4.4 龙贝格算法
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§ 4.4.1 梯形法的递推化
由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精度，复化 求积方法对提高精度是行之有效的，但必须事先给出合适 的步长（即n的选取），步长取得太大则精度难以保证， 而步长取得太小又会导致计算量的增加。因此，如何确定 适当的n，使近似值和精确值之差在允许的范围，这又是 一个难题。
3 (h) 1
3 ( 2 h)
表4-5 T表

h
pk
L
p2
即 用 F1 ( h ) 近 似 代 替 F , 则 它 们 的 误 差 的 阶 为 h

.而 p 2 p 1 , 故
当 h 适 当 小 时 , F 与 F1 ( h )的 误 差 的 绝 对 值 比 F 与 F 0 ( h )的 误 差 的 绝 对 值 小. 类 似 地 , 从 F1 ( h ) 可 以 构 造 一 个 新 函 数 F 2 ( h ), 使 F 与 F 2 ( h )的 误 差 的 绝 对 值 比 F 与 F1 ( h )的 误 差 的 绝 对 值 小 . L L L L L L 于 是 就 构 造 出 一 系 列 的 函 数 F 0 ( h ), F1 ( h ), F 2 ( h ), L , 当 h 适 当 小 时 , F 与 这 些 函 数 的 误 差 的 阶 的 绝 对 值 一 个 比 一 个 小.
的 常 数 .则 复 化 梯 形 求 积 公 式 与 积 分 准 确 值 的误差的阶为h .
2
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积 分 区 间 [ a , b ]n等 分 :
n 1 h Tn f ( a ) f (b ) 2 f ( a k h ) T0 ( h ) 2 k 1
ba 12
h f ( )
2
及 f ( x )的 T a y lo r 展 开 式 可 得 另 一 误 差 估 计 式 :
b a
f ( x ) d x Tn a 2 h a 4 h a 6 h L
2 4 6
其中h
ba n
, a 2 , a 4 , a 6 , L 都 是 与 步 长 h无 关
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设 有 一 个 量 F (该 量 可 以 是 函 数 , 微 分 , 积 分 等 ), 现 用 一 个 以 步 长 h 为 变 量 的 函 数 F 0 ( h ) 近 似 代 替 它 , 并 设 F 与 h 无 关 , 且 给 定 F 与 F0 ( h ) 的误差估计为 : F F0 ( h ) a1 h

本章主要介绍了数值积分与微分的相关知识。首先阐述了数值求积的基本思想，即通过近似方法计算定积分的值，并引入了代数精度和插值型求积公式的概念。其中，代数精度是衡量求积公式准确度的重要指标，而插值型求积公式则是一种基于插值多项式的求积方法。此外，还讨论了求积公式的收敛性与稳定性，确保计算结果的可靠性和准确性。接下来，详细介绍了牛顿-柯特斯公式、复化求积公式、龙点的拉格朗日插值多项式来构造求积公式，具有简单易用的特点。复化求积公式则是将积分区间分成若干小区间，然后在每个小区间上应用低阶求积公式，从而提高计算精度。龙贝格求积公式采用梯形法的递推化，通过逐步加速收敛速度来得到更精确的结果。而高斯求积公式则选择了特定的节点进行插值，使得求积公式具有更高的代数精度。这些公式在解决实际问题中具有广泛的应用价值，为科学计算和工程设计提供了有力的工具。