《计算方法》第五章 数值积分

第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。

1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。

其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。

对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。

本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。

5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。

数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。

数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。

数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

首先介绍矩形法。

矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。

矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。

左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。

梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。

梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。

辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。

辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。

除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。

这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。

总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。

数值积分第1章 理论依据逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。

基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。

§1插值求积公式为了用数值方法求b aI(f)=f(x)dx⎰，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点上作Lagrange 插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I （Pn(x)）构造求积公式，近似地计算定积分I(f(x))。

§2Newton —Cotes 公式§2.1Newton —Cotes 公式的推导当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton —Cotes 公式。

将区间[a,b]n 等分，b ah n -=，n+1个节点为x k =a+kh (k=0,1,…,n)在节点上对f(x)的Lagrange 插值多项式是：0()()()nn j n k k j k jj kx x p x f x x x ==≠-=-∑∏用P n (x)代替f(x)构造求积公式：0()()()nnbb jn n k aak j kjj kx x I p x dx f x dxxx ==≠-==-∑∏⎰⎰记，(k=0,1,…,n)作代换x=a+th 带入上式，变为：()00()n n n n k kj j kb a t j A dt b a C n k j=≠∆--==--∏⎰其中： (k=0,1,…,n) （1-1）这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。

只要确定n 就能计算出系数。

于是得到称为Newton —Cotes 公式的求积公式：()0()nn n k kk I b a C y ==-∑ （1-2）其中称为Newton —Cotes 系数。

如表1所示。

§2.2Newton —Cotes 公式误差和稳定性在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是(1)0()()()()()(1)!n nn n k k f R x f x p x x x n ξ+==-=-+∏因此，Newton —Cotes 公式的截断误差是(1)0()()()(1)!n nbk ak f R f x x dx n ξ+==-+∏⎰（1-3）讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算()b af x dx⎰其中计算函数值f(xn)有误差值（k=0,1,2, …,n ）。

计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。

数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。

数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。

常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。

矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。

它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。

具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。

其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。

梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。

它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。

具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。

辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。

它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。

辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。

辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。

数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。

在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。

此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。

总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。

常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。

数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。

数值计算方法褚衍东第五章哎呀呀，亲爱的朋友，今天咱就来唠唠这个《数值计算方法褚衍东第五章》。

这第五章啊，就像是一个神秘的宝库，里面藏着好多实用的宝贝方法。

首先呢，咱来说说第一个关键的方法，就像是打开宝库的第一把钥匙——插值法。

这插值法呀，你就把它想象成你去参加一个猜价格的游戏。

比如说有几个已知的价格点，就像给了你几个提示，然后让你去猜猜中间那些不知道价格的地方大概是多少。

插值法就是帮你根据已知的点，去估摸那些未知的。

具体咋操作呢？比如说给了你几个点（x1,y1），（x2,y2）…… 那咱就可以通过一些公式，像拉格朗日插值公式啥的，来算出中间那些没告诉你的点的数值。

这公式就像是一个神奇的魔法咒语，你得把那些点的坐标带进去，然后就能算出个大概来。

接着，咱们迎来了第二个方法——数值积分法。

这数值积分啊，就好比你要算一块形状不规则的地有多大。

你没办法直接用学过的公式来算，那咋办？咱们就把这块地切成好多小块，每一小块都近似看成一个规则的形状，比如长方形啥的，然后把这些小块的面积加起来，大概就知道整块地的面积啦。

这里面常用的方法，像矩形法、梯形法，你可别被这名字吓到。

矩形法呢，就是把那些小块都看成矩形来计算；梯形法呢，就是把它们看成梯形来算。

再来说说第三个方法——常微分方程数值解法。

这个就有点像你追着一个调皮的小孩跑。

这个小孩的运动轨迹不好直接算，但是咱们可以一小段一小段地去估计他的位置。

比如说，咱们可以用欧拉方法，每一步都根据前面的位置和速度来推测下一步他会跑到哪儿。

在实际操作的时候，你得先确定好初始条件，就像知道小孩从哪儿开始跑，跑得多快。

然后按照公式一步一步地算下去，慢慢地就能大概知道他之后的位置啦。

总之，这第五章里的数值计算方法，虽然听起来有点复杂，但其实就跟咱们日常生活中的一些小事情差不多。

只要你多琢磨琢磨，多练练手，就一定能掌握这些神奇的“魔法”！朋友，加油，相信你能搞定！回头你要是弄明白了，别忘了来跟我分享分享你的成果哟！。