关于狭义相对论逻辑体系的再思考*
——写在狭义相对论建立100年际
徐万超*
（江苏教育学院图书馆210013）
摘要：综合多篇研究文献，尝试提出狭义相对论的逻辑框架；引入惯性系族的概念，明确的界定了狭义相对论的讨论范围，并在此基础上就本文提出的逻辑体系
进行分析和评述；讨论了因果性在狭义相对论中的物理意义和地位，以及将因果性
原理纳入狭义相对论的可能。
关键词：狭义相对论；惯性系族；相对性原理；因果性原理；相对运动定律
中图分类号：O 文献标识码：A 文章编号：
1905年爱因斯坦在《论动体的电动力学》一文中基于惯性运动的相对性和光速的不变性建立了狭义相对论，该理论以一种自然和谐的方式解决了经典电磁学的惯性协变性疑难，并由此揭开了现代物理学的新篇章。正如M·波恩所说：“狭义相对论可以公正地看作是科学古典时期的结束和新纪元的开始。”[1]狭义相对论“把现代科学同古典科学区分开来。”这种区分的特征之一就是物理学研究方法由重视归纳向重视演绎的转变，即仅依靠由物理学的基础规定性形成的公理系统来构造演绎物理学的理论体系。这里所谓“物理学的基础规定性”是指对物理对象的先验性或实证性假设。
狭义相对论诞生100年以来，关于它的讨论尤其是两条公设的争论一直持续不断，本文在参考多篇研究文献的基础上重新分析和解构狭义相对论的演绎体系，以期能对狭义相对论给出一个清晰合理的逻辑框架。
1.公理体系
惯性系定义：一个参照系，如果相对于它时间是均匀的，空间是均匀且各向同性的，即称之为惯性系
惯性定律：相对惯性系作匀速运动的参照系是惯性系
相对性原理：所有惯性系物理上都是平等的
相对运动定律：惯性系S相对惯性系S的运动速率与惯性系S相对惯性系S的运动速率相等
1.1时空标架的选取
据惯性定律可作如下定义：
惯性系族：相对作匀速运动的所有惯性系称为惯性系族
设惯性系S相对惯性系S是同族惯性系，惯性系时空的均匀性决定了同一事件点在惯性*收稿日期：
*作者简介：徐万超（1979－），男，四川广元人，江苏教育学院图书馆馆员，主要从事文献信息咨询工作.
系S 与S 中对应坐标矢()t z y x ,,,=r 与()t z y x ,,,=r 满足如下线性关系：
t a z a y a x a t t a z a y a x a z t a z a y a x a y t a z a y a x a x 44434241343332312423222114131211+++=+++=+++=+++= （1-1）
a z a y a x a t t a z a y a x a z t a z a y a x a y t a z a y a x a x 44434241
34333231
24232221
14131211
'+'+'+'='+'+'+'='+'+'+'='+'+'+'= （1-2）
即
Ar r = ， r A r 1
-=
惯性系空间的各向同性要求同一个惯性系在空间转动下不变，也即惯性系的空间是Euclid 空间，为了适当简化推导过程我们选择t 在S 系的空间投影为S 系的x 轴，同样选择
t 在S 系的空间投影为S 系的x 轴，各自建立正交性的时空坐标，也即有
z z t y y t x x t x )()()(?+?+?=μ （2-1）
z z t y y t x x t x )()()(?+?+?='μ
（2-2）
在（2-1）式两边同时点乘y 或z ，由时空标架的正交性易得
0＝y t ?，0＝z t ?
于是 042＝a ，043=a ；042
＝a '，043='a 同理
0＝y t ?，0＝z t ?
024=a ，034=a ；024='a ，034='a t x t 4441a a += （3-1） t x t 4414
a a '+'=
（3-2）
在（3-1）两边点乘y 或z 可得
0＝y x ?，0＝z x ?
即
021＝a ，031＝a ；021
＝a '，031＝a ' 在（3-2）两边点乘y 或z 可得
0＝y x ?，0＝z x ?
012＝a ，013＝a ；012
＝a '，013＝a ' 综上即有
t
a x a t t a x a x 44411411+=+=
z
a y a z z a y a y 33322322+=+=
即S 系到S 系的线性变换可分解为x -t 到x -t 的变换与y -z
到y -z 的变换。其中y -z 到y -z 的变换是Euclid 空间的刚性转动，于是可在S 系作旋转使y 与z 同y 与z 对应平行，
即有：
t
a x a t z z y y t a x a x 44411411+===+=ρρ （4-1）
对应的有，
t a x a t z z y y t a x a x 4441
1411
'+'='='='+'=ρρ （4-2）
令 λ=-41144411a a a a
有
λ
44
11
a a ='，λ
14
14
a a -='，λ
41
41
a a -='，λ
11
44
a a ='，1＝ρρ'
1.2相对运动定律与时间校准
惯性系时空的校准即时间、空间度量单位的统一，是讨论惯性系间时空变换的前提。 首先考虑空间的校准问题：空间的三维各向同性为空间校准提供了良好的物理基础，如前述y -z 到y -z 的变换仅仅是Euclid 空间的刚性转动，可以设想在y -z 平面与y -z 平面各置一标尺，在空间转动下两把标尺重合即可认为y -z 平面与y -z 平面是校准的，对于校准后的y -z 平面与y -z 平面有，
1＝＝ρρ'
将两把在y -z 平面与y -z 平面上校准的标尺用来度量x 与x 即可实现x 与x 的度量校准。时间的校准就复杂一些了，时间是一维的，因而在惯性系间直接对比时间标尺是不可行的。原则上惯性系间的时间的校准只能间接的通过空间的校准来实现，即依据相对运动定律：分别测量S 系相对S 系的速度v 及S 系相对S 系的速度v ，若v v =即可判定两惯性系时间是校准的。
1.3相对性原理与洛伦兹变换的导出
相对性原理的本质是对惯性系平权性的表述，对于两个惯性系而言，相对性原理要求在没有第三者的参照下二者物理上不可区分，也即两者是交换不变的。考虑到坐标建立的对称性，在时空度量校准的情况下，相对性原理要求惯性系间的变换及其逆变换应具有完全相同的数学形式，
即有
λ
λλλ
11
44
4441
41
4114
141444
1111a a a a a a a a a a a a ='-='-='='=＝，
＝＝，
（5）
以上诸式可归结为： 141144411－＝=-a a a a λ
（6-1）
4411a a -=
（6-2）
其中 44
1411
140
a a a a dt
dx v x d ''=
-
==
= （6-3）
又令
44
41a a -
＝β （6-4）
由上述四式可解得两组解，取其中一组即为：
2
14411)
1(---=-=v a a β
2
1412
114)
1(;)
1(--
--=-=v a v v a βββ
令
2
1)
1(-
-=v βγ
即有
)
()(x t t z z y y x vt x βγγ-===-= （7）
1.4洛伦兹常数、惯性速率与时空间隔的导出及其普适性分析
考虑惯性系1S 与其同族的任一惯性系间的洛伦兹变换，相对性原理表明该变换原则上只取决于惯性系间的相对速度，也即变换系数β应为速度v 的函数，
令
kv =β
下面证明对于同一个惯性系族，k 是一个常数，不妨称之为洛伦兹常数。
首先考虑x 轴上的情形，设惯性系2S 、3S 分别相对惯性系1S 沿x 轴以速度2v 、3v 匀速运动，而惯性系3S 相对2S 的速度是32v ，于是有
)()(12212211222x v k t t x t v x -=-=γγ （8-1）
)()(133********x v k t t x t v x -=-=γγ （8-2）
)
()(2323223232232323x v k t t x t v x -=-=γγ （8-3）
将（8-1）代入（8-3）得
]
)()1[(])1()[(132322213223232231322213223223x v k v k t v v k t x v v k t v v x ---=---=γγγγ （8-4）
比较（8-2）与（8-4）中各项系数可得
)1()1(3223232233222322v v k v v k -==-γγγγγ
即有
k k k ≡=322
由惯性系的各向同性不难将结论延拓到任意同族惯性系，注意到洛伦兹常数的量纲是速度倒数的平方，由此不妨定义惯性速率为：
2
1-=k
v k
惯性速率不变推论: 对于同一个惯性系族，一质点在相对其中一个惯性系的运动速率为惯性速率，则该质点相对同族其他惯性系的运动速率也为惯性速率。
对（7）作微分可得S 系到S 系的速度变换如下：
)
1()
1(1x z
z x y
y x
x x kvu u u kvu u u kvu u v u -=
-=--=γγ （9）
若
2
2
2
2
k z y x v u u u =++
可设
θcos ,
12
k x k
v u v k ==
φθφθsin sin ,
cos sin ==z k y u v u
则有
2
2
2
2
2
2
22)1()
)(1()(x z y x z y x kvu u u kv u v u u u -+-+-=
++
2
22
2
22
2
2
2
22
22
)
cos (sin
)()cos ()
cos 1(sin
)1()cos (k
k k k
k k
k k k v v v v v v v v v v v v v v v =--+-=
-
-+-=
θθ
θθθ
θ
证明了上述推论，可进一步引入四维时空点),,,(t z y x =r 到坐标原点的时空间隔函数：
2
2222
22222
)(t z y x k t
v z y x s
k -++=-++≡
时空间隔不变推论：洛伦兹变换保持时空间隔不变
在同一个惯性系族中，洛伦兹常数是惯性系变换的不变量，而惯性速率和空间间隔作为洛伦兹常数的派生又在时空度量意义上刻画了惯性系族的物理性质，因此在某种意义上洛伦兹常数是区别不同惯性系族的标示性参数。
伽利略变换刻画的是洛伦兹常数为零的惯性系族，洛伦兹变换则刻画了普通意义上的惯性系族。这里有两个当然的问题：对于整个物质世界洛伦兹常数是否始终是一个常数；洛伦兹常数相等的惯性系是否一定属于同一个惯性系族。前一个问题的答案并不在狭义相对论中，洛伦兹常数刻画的是惯性系族，狭义相对论只要求在同一个惯性系族洛伦兹常数是常定
的，真实的物理时空可以存在多个局域的惯性系族（广义相对论就是这样处理的），每个惯性系族的洛伦兹常数可以不同也可以相同，同与不同是一个实验问题。相对作匀速运动是惯性系同族的基本判定条件，因此洛伦兹常数相等的两个惯性系可以属于不同的惯性系族。
2.评述
2.1惯性系、惯性定律与惯性系族
寻求惯性系定义的方式大致有两种：一种是构造相应的物理模型，一种是描述其时空性质。1885年德国物理学家朗格（https://www.doczj.com/doc/ae10506037.html,nge）将惯性系定义为：惯性定律成立的参考系，文献[3][4]就在朗格定义的基础上利用万有引力定律的力学效应成功的构造了一个惯性系的物理模型。这种定义方式的物理色彩很浓厚，但正如文献[7]所指出的那样，这种定义同惯性定律构成了严重的逻辑循环，文献[7]的作者建议采纳苏联物理学家朗道与栗弗席兹提出的另一种惯性系定义：总可以找到这样的参照系统，相对于它来说，空间是均匀的和各向同性的，而时间也是均匀的，这种系统叫做惯性系。考虑到狭义相对论在推导洛伦兹变换时，如文献[9]那样，实际上已将时空的均匀性和空间的各向同性视为先验性假设，本文在构造狭义相对论公理体系时就首先引入了朗道与栗弗席兹的惯性系定义。
同惯性系定义一样，许多文献在推导洛伦兹变换时将惯性定律亦视为当然的先验假设“悄然”运用，而笔者认为惯性定律为狭义相对论提供了必不可少的讨论前提，是狭义相对论公理体系的重要组成部分。本文在惯性定律的表述上与牛顿力学体系的惯性定律也有很大区别，笔者认为力的概念在狭义相对论中已退居次要的地位，用所受外力和为零来作为惯性运动的前提是不必要的，文献[3]也指出了“外力和为零”这一条件面临的一个重要疑难：“无法确定被观测物体所受的力Ｆ，因为尚有很多未探明的星球和黑洞，它们对被观测物体的引力当然是个未知数；”将惯性定律表述为惯性系判定的充分条件则可以有效的避免“外力”疑难，同时也为狭义相对论的讨论提供了必要的前提，因为狭义相对论要讨论的是存在某种关系（即相对匀速运动）的惯性系间的时空变换问题，惯性定律则明确的确保了这种关系的有效性。
惯性系与惯性定律一起清晰的界定了狭义相对论的研究范畴——惯性系族，狭义相对论在本质上被确定为关于同一惯性系族的惯性系时空变换理论。
2.2相对性原理的重新表述
相对性原理是狭义相对论的核心，其本质是对惯性系物理平权的保证。A·爱因斯坦在文献[10]中序言部分将相对性原理归结为：“物理学方程适用于一切（惯性）参考系”，在文献[11]中A.爱因斯坦进一步将相对论表述为：“如果有两个作相对匀速平移运动的坐标系，则物理系统在改变状态时所遵循的各种规律，无论对于两个坐标系中哪一个来说都是一样的。”文献[5][6]将相对性原理具体化为自然界定律关于洛伦兹变换的协变性要求，文献作者在细致的分析了各种物理定律协变性的基础上提出了联立协变的观念，并进一步区分了普遍定律和非普遍定律的协变性差别。
在狭义相对论公里体系中，相对性原理是基本的，洛伦兹变换则是导出的，因此笔者在构造狭义相对论逻辑体系时放弃了相对性原理的协变性表述，而突出了相对性原理对惯性系平等性的述求。对于同一个惯性系族而言，协变性是惯性系平等的内在要求。
2.3相对运动定律与光速不变原理
狭义相对论原有体系中光速不变原理是一条核心原理，但也是在相对论反对意见中最受质疑的一条原理，这条原理是诸如同时性相对性及尺缩钟慢等所有相对论效应的根源，而关于相对论争论的焦点在于光速不变对于解释麦克尔逊—莫雷实验是否必要，光速不变是否已被实验验证等问题，对于光速不变一种意见认为这条原理已在较大精度上为实验所证实；另一种意见认为光速不变是电动力学的推论，它的正确性建立在经典电磁学上，只要电磁学是
正确的，那么光速不变就是当然的。而相对论的反对意见则坚持认为实验验证的是回程光速不变，而经典电磁学在微观领域不适用（但相对论对微观领域却仍然有效），甚至认为经典电磁学在多大程度上正确还是个问题（光子静止质量的讨论就是问题之一）。在众多关于光速不变讨论的文献中，也有许多文献（如文献[1]等）认为光速不变原理不是一个独立的原理，而是时空均匀和空间各向同性与相对性原理的推论，因此不宜将其作为基本原理。
将光速不变视为狭义相对论的导出定理而非基本公理，有助于澄清对光速不变的置疑，但文献[1]等在推导洛伦兹变换的时候都未加说明的使用了相对运动定律，而文献[9]认为相对运动定律是相对性原理的当然推论，但是本文在推导中发现：
惯性系彼此相对速率相等→时空校准
惯性系平权
构成了一个逻辑循环链，在这个逻辑链中相对性原理并不能独立的直接的导出相对运动定律，要跳出这种循环就必须将惯性系彼此相对速率相等作为一个基本定律独立提出来。
如前述，相对性原理表述的是同族惯性系的平等性，对于同族惯性系的时空变换而言，相对性原理决定了这种变换只取决于S系与S系的相对关系，而与其他因素无关（否则我们就可以依据其他因素来选择特定的参考系作为绝对参考系），但是相对性原理尚不足以决定S系与S系相对关系的具体形式，这种具体形式是由相对运动定律来确定的。
在本文中，光速不变原理由“惯性速率不变推论”替代，成为了新体系的逻辑结论，这种替代的优越性在于使狭义相对论成为一个“纯粹”的力学体系，而与光速不变的验证实验脱钩，也与经典电磁学体系脱钩，这与狭义相对论的物理地位是相适应的。在新的体系下，光速实验的目的由对理论基础的验证转变为对惯性速率的测量和空间各向同性的检定。
值得一提的是惯性速率不变推论作为狭义相对论的一个导出定理反过来又为同一惯性系族所有惯性系的时间校准提供了一个全局性的标准，这与通过让惯性系两两时间校准从而达到所有惯性系时间的校准逻辑上是一致的。
3.狭义相对论的因果性问题
关于因果性在狭义相对论中的作用及其地位已有很多文献作过大量的讨论，文献[8]在导出了洛伦兹变换之后又分析了因果律对物体运动速度的限制，并认为物体运动速度有上限与洛伦兹变换要求惯性系间相对速度小于光速是自恰的，然而这种自恰性是耐人寻味的，它似乎暗示了狭义相对论的基础部分原就包含了某种因果性成分。那么是否可以把因果性作为基本原理之一引入相对论呢？
如果要将因果性原理引入公理体系，首先要考虑的是因果性原理的表述问题。
因果性原理表述1：禁止果事件反作用于因事件
因果性原理表述2：物理因果性不因惯性系的选择而改变
表述1反映的是因果作用的不可逆性，是对引起和被引起关系的归谬性刻画；表述2则确立了因果性对惯性系的约束，是对因果关联事件的观测保证。
因果是对事件引起和被引起关系的描述，存在因果关联的两事件在时空排布上具有确定的时间顺序性，但具有时间顺序性的事件未必是因果事件。因果关联的这种时空顺序性对时空变换的推导极具启迪性，文献[11]对时序性事件做了详尽的分析，指出了事件之间除了因果关联以外还可以存在拟因果关联。所谓的拟因果关联是指两事件虽然不具有直接的因果性，但二者原则上可以作物理“沟通”，也即二者可以通过适当的物理形式进行“通信”，这种额外引入的物理关联即称为拟因果关联。据此我们可以把时序性事件细致的划分为三类：因果事件，拟因果事件，非因果事件。因果事件是指存在确定物理性因果关联的事件；拟因
果事件是指虽然两事件之间可以建立拟因果关联；非因果事件是指二事件之间不能通过任何物理方式发生关联。拟因果关联事件可以建立物理因果性，故拟因果性也必须遵守因果性原理，于是我们可以将因果事件或者拟因果事件的时间先后顺序统称为因果时序，据因果性原理表述2即有如下推论：
因果时序不变推论：因果时序不因惯性系的选择而改变
物体运动是最基本的因果过程，考虑S 系中质点以速度u 沿x 轴匀速运动先后经过)(111t x P ，=与)(222t x P ，= ，1P 即为因事件，2P 即为果事件，因果时序性可表述为下
列不等式
012≥-t t
（10-1）
另设S 系以速度v 相对S 系运动，由因果时序不变推论有，
012≥-t t
（10-2）
即
0)()(12441241≥-+-t t a x x a
由（10-1）可将上式写为
04441441
21241
≥+=+--a u a a t t x x a
令
0044≥?=a u
于是
144
41≤-
=u a a u β
（10-3）
当 044
41≥-
=a a β
有 1
1-≤?≤β
βu u （10-4）
而当 044
41≤-
=a a β
有 1
1-≥?≤ββu u
（10-5） 取（10-4）（10-5）的交集即有
1
-≤β
u
（10-6）
不妨将（10-6）式称为因果不等式，这个不等式首先表明了物体运动速率是有上限的，考虑到S 系是任意选取的，而u 是物体在S 系中的运动速度，u 的上限不应取决于S 系的选取，这表明了（10-6）式不是最优不等式，于是可设u 满足的下列最优不等式：
1
0-≤≤β
v u （11）
其中0v 与S 系的选取无关，基于同样的理由0v 与S 系的选取亦无关系，因此对于同一个惯性系族0v 是常数，为了与前文一贯我们也称它为惯性速率。（11）式既体现了因果性原
理对物体运动的限制也体现了因果律对惯性系间相对运动的制约，考虑到参考系本质上是相对参考物静止的时空标架，物体运动的上限其实也是惯性系相对运动的上限。
由相对运动定律设同族惯性系S 系与S 系的相对速度为v ，质点P 在S 系与S 系中的速度分别为)0,0,(x u ，)0,0,(x u ，对（4-1）（4-2）作微分可得S 系到S 系x 方向的速度变换：
x
x x x x u u v a u a a u a u β--=++=
144
411411 （12-1）
下面考虑一种极端情况：0v v =，0≤x u 由（10-3）中令0v u =可得
10≤v β
于是
0000001v v u v v u v u u v u x
x x
x x ≥--=
--=
ββ
由（11）式可知上述不等式只能取等号，也即
0v u x =
（12-2） 于是
1
001-=?=v v ββ
（12-3）
将（12-3）及0v v =代回（12-1）可再次导出（12-2）
00001
011v v u v u v v u u v u u v u x
x x x x
x x =--=
--=
--=
-β
注意到上式中并不需要0≤x u 这个限制，这意味着当S 系与S 系的相对速度为0v 时，在x 方向对于任意0v u x ≤，都有0v u x =。考虑将固结于质点P 上惯性系设为S 系，由相对运动定律可知相对S 系静止的质点在S 系与S 系中的速度都是0v ，考虑到S 系与S 的相对速度是任意的，于是我们有如下推论：
推论：质点相对于S 系以惯性速率沿x 轴运动，则在S 系中质点的速率仍然为惯性速率。 上面的推论其实就是惯性速率不变推论的在x 方向的情形，现行的物理教材便多是利用这种特殊情况来推导洛伦兹变换的。这一点很意味深长，因为在我们上述的推导中似乎是令因果性原理替代了相对性原理，这是否表明相对性原理与因果性原理有极大的相关性呢？ 4. 结语
如前文所述，仅依靠物理学的基础规定性来演绎物理学理论体系是物理学公理化的最终目标。这里的所谓的物理学的基础规定性大致可以分为两类——原理和定律——前者是先验性的原则，对物理学具有规范性作用，后者属于实证性的归纳，是物理观测的规律性表述，在逻辑意义上原理对定律具有规范和约束的作用，而在物理意义上定律可对原理进行检验和证伪，事实上所谓先验性的原则其实是对物理观测规律某种共性的提炼和归纳，在这个意义上原理是定律的定律。相对性原理和因果性原理便是典型的原理性命题，它们为物理逻辑体系的建立提供了基本规范，这种规范在体系的建立过程中又具体化为特定的要求，本文的推
导中因果性原理便具体化为对因果时序的要求，相对性原理则具体化为要求洛伦兹变换惯性系间的相对速度。
洛伦兹变换是狭义相对论的核心结论，是惯性系时空变换在相对性原理或因果性原理约束下的逻辑结果，这样的演绎体系使得相对论的理论基础更加坚实。
参考文献：
[1]M·波恩著，彭石安译.爱因斯坦的相对论[M].石家庄：河北人民出版社，1981：2.
[2]郭松青，邓理，梁应仙，陶志.光速不变原理在相对论中的作用[J].沈阳航空工业学院学报，2000，17
（1）：64~66.
[3]高炳坤，李复.“惯性系”考.大学物理[J]，2002，21（4）：6~9.
[4]高炳坤，李复.“惯性系”考(续).大学物理[J]，2002，21（5）：8~12.
[5]朱如曾. 相对性原理及其对自然界定律的协变性要求———机械能守恒定律协变性疑难的解答[J].大
学物理，2000，19（2）：15~26.
[6]朱如曾.相对性原理对普遍定律和非普遍定律参考系变换性质的不同要求——关于协变性疑难的进
一步讨论[J].大学物理，2002，21（3）：19~23.
[7]金虎，王栋.对惯性系的又一种表述[J].甘肃教育学院学报（自然科学版），2002，16（3）：49~51.
[8]韩锋.基于因果律的狭义相对论[J].河池师专学报，2002，22（4）：8~9.
[9]余允强.电动力学简明教程[M].北京：北京大学出版社，1999：134~161.
[10] A.爱因斯坦著，赵志田，刘一贯译. 论动体的电动力学[A].相对论原理（狭义相对论和广义相对论
经典论文集）[C].北京：科学出版社，1980：31~57.
[11]A·爱因斯坦著，赵志田，刘一贯译. 物体的惯性是否和它所含的能量有关[M].相对论原理（狭义
相对论和广义相对论经典论文集）[C].北京：科学出版社，1980：58~60.
New Reflection on the Logical System
of Special Relativity
——Write for the 100th Anniversary of the
Establishment of Special Relativity
XU Wan-chao
(Library，Jiangsu Institude of Education，Nanjing，Jiangsu，210013，China) Abstract：On the basis of several scholarly literatures, a new framework of special relativity is introduced in this paper; Appoint the available scope of special relativity clearly by defining the concept of inertial frame family, and the new framework is analyzed and annotated in this scope. Some additional problems about causation are discussed in the last, such as the physical significance and logical status of causality in special relativity and the feasibility to regard causality principle as the foundation of special relativity.
Key words：Special Relativity；Inertial Frame Family；Relativity Principle；Causality Principle；Law of Relative Motion
习题6 6-1．设固有长度m 50.20 =l 的汽车，以 m /s 0.30=v 的速度沿直线行驶，问站在路 旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多 少？ 解：l l =，由泰勒展开， 21 12x =-+ ∴2 2 112u c ≈-，2 140021 1.25102u l l l l m c -?=-=?=?。 6-2．在参考系S 中，一粒子沿直线运动，从坐标 原点运动到了m 105.18 ?=x 处，经历时间为s 00.1=t ?，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为S '系，利 用t '?=? 0.866t s '?==。 6-3．从加速器中以速度c v 8.0=飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。 解：设加速器为 S 系，离子为S '系，利用： 21x x x v u v uv c '+='+， 则 ： 220.80.8 11x x x v u c c v c uv c c c c '++==='?+ + 。 6-4 1000m 的高空大气层中产生了一个π介子，以速度0.8v c =飞向地球,假定该 π介子在其 自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命 62.410s -×，试分别从下面两个角度，即地 面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断 该π介子能否到达地球表面。 解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀： 有 t ?= ， ∴ 66 410410.8)t s a -?=? 由 860.83104109601000l v t m m -=?=????=<，∴到达不了地球； （2）π介子静止系中的观测者认为长度收缩： 有l l =， ∴ .8) 1 016 l m == 而 682.4100.8310576600s v t m m -=?=????=<，∴到达不了地球。 6-5 长度0 1m l =的米尺静止于'S 系中，与 x ′轴的夹角'θ=30° ，'S 系相对S 系沿x 轴运动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为 =θ45° 。试求：（1）'S 系和S 系的相对运动速度。（2）S 系中测得的米尺长度。 解：（1）米尺相对S '静止，它在,x y ''轴上的 投影分别为： 0cos 0.866m x L L θ''==，
第5章 狭义相对论 习题及答案 1. 牛顿力学的时空观与相对论的时空观的根本区别是什么？二者有何联系？ 答：牛顿力学的时空观认为自然界存在着与物质运动无关的绝对空间和时间，这种空间和时间是彼此孤立的；狭义相对论的时空观认为自然界时间和空间的量度具有相对性，时间和空间的概念具有不可分割性，而且它们都与物质运动密切相关。在远小于光速的低速情况下，狭义相对论的时空观与牛顿力学的时空观趋于一致。 2. 狭义相对论的两个基本原理是什么？ 答：狭义相对论的两个基本原理是： （1）相对性原理 在所有惯性系中，物理定律都具有相同形式；（2）光速不变原理 在所有惯性系中，光在真空中的传播速度均为c ,与光源运动与否无关。 3．你是否认为在相对论中，一切都是相对的？有没有绝对性的方面？有那些方面？举例说明。 解 在相对论中，不是一切都是相对的，也有绝对性存在的方面。如，光相对于所有惯性系其速率是不变的，即是绝对的；又如，力学规律，如动量守恒定律、能量守恒定律等在所有惯性系中都是成立的，即相对于不同的惯性系力学规律不会有所不同，此也是绝对的；还有，对同时同地的两事件同时具有绝对性等。 4．设'S 系相对S 系以速度u 沿着x 正方向运动，今有两事件对S 系来说是同时发生的，问在以下两种情况中，它们对'S 系是否同时发生？ （1）两事件发生于S 系的同一地点； （2）两事件发生于S 系的不同地点。 解 由洛伦兹变化2()v t t x c γ'?=?-?知，第一种情况，0x ?=，0t ?=，故'S 系中0t '?=，即两事件同时发生；第二种情况，0x ?≠，0t ?=，故'S 系中0t '?≠，两事件不同时发生。 5-5 飞船A 中的观察者测得飞船B 正以0.4c 的速率尾随而来，一地面站测得飞船A 的速率为0.5c ，求： （1）地面站测得飞船B 的速率； （2）飞船B 测得飞船A 的速率。 解 选地面为S 系，飞船A 为S '系。 （1）'0.4,0.5x v c u c ==，2'3 41'x x x v u v c v v c += =+ （2）'0.4BA AB x v v v c =-=-=- 5.6 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为1x =6×104 m,1t =2×10-4 s ，以及2x =12×104 m,2t =1× 10-4 s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问： (1)S ′系相对S 系的速度是多少? (2) S '系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设)(S '相对S 的速度为v ， (1) )(12 11 x c v t t -='γ
基础知识 1．下列说法中正确的是( ) A电和磁在以太这种介质中传播 B相对不同的参考系，光的传播速度不同 C.牛顿定律仅在惯性系中才能成立 D.时间会因相对速度的不同而改变 2．爱因斯坦相对论的提出，是物理学思想的一场重大革命，他( ) A.否定了xx的力学原理 B.提示了时间、空间并非绝对不变的属性 C.认为时间和空间是绝对不变的 D.承认了“以太”是参与电磁波传播的重要介质 3．爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设： (1)爱因斯坦的相对性原理： _______________． (2)光速不变原理： ___________________． 4．下列哪些说法符合狭义相对论的假设( ) A在不同的惯性系中，一切力学规律都是相同的 B．在不同的惯性系中，一切物理规律都是相同的 C.在不同的惯性系中，真空中的光速都是相同的
D．在不同的惯性系中，真空中的光速都是不同的 5．在一惯性系中观测，两个事件同时不同地，则在其他惯性系中观测，它们( ) A．一定同时 B．可能同时 C.不可能同时，但可能同地 D．不可能同时，也不可能同地 6．假设有一列很长的火车沿平直轨道飞快匀速前进，车厢中央有一个光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前后壁，根据狭义相对论原理，下列说法中正确的是( ) A地面上的人认为闪光是同时到达两壁的 B车厢里的人认为闪光是同时到达两壁的 C．地面上的人认为闪光先到达前壁 D．车厢里的人认为闪光先到达前壁 能力测试 7．关于牛顿力学的适用范围，下列说法正确的是( )
A.适用于宏观物体 B.适用于微观物体 C.适用于高速运动的物体 D.适用于低速运动的物体 8．下列说法中正确的是( ) A.相对性原理能简单而自然的解释电磁学的问题 B.在真空中，若物体以速度v背离光源运动，则光相对物体的速度为c-v C在真空中，若光源向着观察者以速度v运动，则光相对于观察者的速度为c+v D．迈xx一xx实验得出的结果是： 不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的 9．地面上的 A、B两个事件同时发生，对于坐在火箭中沿两个事件发生地点连线，从A 到B方向飞行的人来说哪个事件先发生( ) A．两个事件同时发生 B．A事件先发生 C．B事件先发生 D．无法判断 10．关于电磁波，下列说法正确的是( )
习题 6-1. 设固有长度m 50.20=l 的汽车，以m/s 0.30=v 的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少？ 解：)(12 20 c v l l -= 2 222 211)(1c v c v - ≈- m c v l l l l 14 2 2001025.121-?=?=-=? 6-2. 在参考系S 中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了m 105.18 ?=x 处，经历时间为 s 00.1=t ?，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为S '系 s c v t t 866.0)(122=-?='? 6-3. 从加速器中以速度c v 8.0=飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。 解：设加速器为S 系，离子为S '系 c c v u u v v x x x ='++'= 21 6-4. 两个宇宙飞船相对于恒星参考系以0.8c 的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度。 解：设宇宙船A 为S 系，速度0.8c ，宇宙船B 为S '系，速度0.8c - 根据洛伦兹速度变换公式：'' 2 1x x x v u v uv c +=+，有： 2 0.80.80.81c u c cu c -+=-+ 0.976 u c = 6-5. 从S 系观察到有一粒子在01=t 时由m 1001=x 处以速度c v 98.0=沿x 方向运动，s 10后到达2x 点，如在S '系(相对S 系以速度c u 96.0=沿x 方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标 2211 ,,,x t x t ''''各为多少？(0='=t t 时，S '与S 的原点重合)，并算出粒子相对S '系的速度。 解：s c c c c c v x c u t t 62222 121110147.1)96.0(110096.00)(1-?=-?-=-- ='
第5章 狭义相对论 习题及答案 1. 牛顿力学的时空观与相对论的时空观的根本区别是什么？二者有何联系？ 答：牛顿力学的时空观认为自然界存在着与物质运动无关的绝对空间和时间，这种空间和时间是彼此孤立的；狭义相对论的时空观认为自然界时间和空间的量度具有相对性，时间和空间的概念具有不可分割性，而且它们都与物质运动密切相关。在远小于光速的低速情况下，狭义相对论的时空观与牛顿力学的时空观趋于一致。 2.狭义相对论的两个基本原理是什么？ 答：狭义相对论的两个基本原理是： （1）相对性原理 在所有惯性系中，物理定律都具有相同形式；（2）光速不变原理 在所有惯性系中，光在真空中的传播速度均为c ,与光源运动与否无关。 3．你是否认为在相对论中，一切都是相对的？有没有绝对性的方面？有那些方面？举例说明。 解 在相对论中，不是一切都是相对的，也有绝对性存在的方面。如，光相对于所有惯性系其速率是不变的，即是绝对的；又如，力学规律，如动量守恒定律、能量守恒定律等在所有惯性系中都是成立的，即相对于不同的惯性系力学规律不会有所不同，此也是绝对的；还有，对同时同地的两事件同时具有绝对性等。 4．设'S 系相对S 系以速度u 沿着x 正方向运动，今有两事件对S 系来说是同时发生的，问在以下两种情况中，它们对'S 系是否同时发生？ （1）两事件发生于S 系的同一地点； （2）两事件发生于S 系的不同地点。 解 由洛伦兹变化2()v t t x c γ'?=?- ?知，第一种情况，0x ?=，0t ?=，故'S 系中0t '?=，即两事件同时发生；第二种情况，0x ?≠，0t ?=，故'S 系中0t '?≠，两事件不同时发生。 5-5 飞船A 中的观察者测得飞船B 正以0.4c 的速率尾随而来，一地面站测得飞船A 的速率为0.5c ，求： （1）地面站测得飞船B 的速率； （2）飞船B 测得飞船A 的速率。 解 选地面为S 系，飞船A 为S '系。 （1）'0.4,0.5x v c u c ==，2'341'x x x v u v c v v c +==+ （2）'0.4BA AB x v v v c =-=-=- 5.6 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为1x =6×104m,1t =2×10-4s ，以及2x =12×104 m,2t =1×10-4 s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问： (1)S ′系相对S 系的速度是多少? (2)S '系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设)(S '相对S 的速度为v ， (1) )(12 11x c v t t -='γ
狭义相对论基础习题解答 一 选择题 1. 判断下面几种说法是否正确 ( ) (1) 所有惯性系对物理定律都是等价的。 (2) 在真空中，光速与光的频率和光源的运动无关。 (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向传播的速度都相同。 A. 只有 (1) (2) 正确 B. 只有 (1) (3) 正确 C. 只有 (2) (3) 正确 D. 三种说法都正确 解：答案选D 。 2. (1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是：( ) A. (1) 同时， (2) 不同时 B. (1) 不同时， (2) 同时 C. (1) 同时， (2) 同时 D. (1) 不同时， (2) 不同时 解：答案选A 。 3．在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？( ) （1） 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速. （2） 质量、长度、时间的测量结果都随物体与观察者的相对运动状态而改变 （3） 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的. （4） 惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。 A. (1)，(3)，(4) B. (1)，(2)，(4) C. (1)，(2)，(3) D. (2)，(3)，(4) 解：同时是相对的。 答案选B 。 4. 一宇宙飞船相对地球以0.8c 的速度飞行，一光脉冲从船尾传到船头。飞船上的观察者测得飞船长为90m ，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为 ( ) A. 90m B. 54m C. 270m D. 150m 解： ?x ′=90m, u =0.8 c , 87 90/(310)310s t -'?=?=?
练习十九狭义相对论的基本原理及其时空观 一、选择题 1. 静止参照系S中有一尺子沿x方向放置不动，运动参照系S′沿x轴运动，S、S′的坐标轴平行。在不同参照系测量尺子的长度时必须注意 (A) S′与S中的观察者可以不同时地去测量尺子两端的坐标。 (B)S′中的观察者可以不同时，但S中的观察者必须同时去测量尺子两端的坐标。 (C)S′中的观察者必须同时，但S中的观察者可以不同时去测量尺子两端的坐标。 (D) S′与S中的观察者都必须同时去测量尺子两端的坐标。 2. 下列几种说法： (1)所有惯性系对一切物理规律都是等价的。 (2)真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关。 (3)在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度都相同。 其中哪些正确的？ (A)只有(1)、(2)是正确的。 (B)只有(1)、(3)是正确的。 (B)只有(2)、(3)是正确的。 (D)三种说法都是正确的。 3. 边长为a的正方形薄板静止于惯性系S的xOy平面内，且两边分别与x轴、y轴平行，今有惯性系S′以0.8c(c为真空中光速)的速度相对于K系沿x轴作匀速直线运动，则从S′系测得薄板的面积为 (A)a2。 (B) 0.6a2。 (C) 0.8 a2。 (D)a2/0.6。 4. 在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为6s，若相对甲以4c/5(c表示真空中光速)的速率作匀速直线运动的乙测得时间间隔为 (A) 10s。 (B) 8s。 (C) 6s。 (D) 3.6s。 (E) 4.8s。 5. (1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点，同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系的观察者来说，它们是否同时发生? (2)在某惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生? 关于上述两问题的正确答案是： (A)(1)一定同时，(2)一定不同时。 (B)(1)一定不同时，(2)一定同时。 (C)(1)一定同时，(2)一定同时。 (D)(1)一定不同时，(2)一定不同时。 6. 一尺子沿长度方向运动，S′系随尺子一起运动，S系静止，在不同参照系中测量尺子的长度时必须注意 (A) S′与S中的观察者可以不同时地去测量尺子两端的坐标。 (B)S′中的观察者可以不同时，但S中的观察者必须同时去测量尺子两端的坐标。 (C)S′中的观察者必须同时，但S中的观察者可以不同时去测量尺子两端的坐标。 (D)S′与S中的观察者都必须同时去测量尺子两端的坐标。 7. 按照相对论的时空观，以下说法错误的是 (A)在一个惯性系中不同时也不同地发生的两件事，在另一个惯性系中一定不同时。 (B)在一个惯性系中不同时但同地发生的两件事，在另一个惯性系中一定不同时。 (C)在一个惯性系中同时不同地发生的两件事，在另一个惯性系中一定不同时。 (D)在一个惯性系中同时同地发生的两件事，在另一个惯性系中一定也同时同地。 8. 在高速运动的列车里(S′系)一物体从A运动到B，经历的时间为Δt′> 0；而在地上(S系)的观察者看列车上的A、B两点的坐标发生变化，物体运动的时间变为Δt，则在S中得到的结果是 (A)一定是物从A到B，Δt > 0。(B)可能是物从B到A，Δt > 0。
互动课堂 疏导引导 1.相对质量 在一定惯性参考系中，质点的质量与质点速率有关.用m 0表示静止时的质量（即静止质量），m 表示以速率v 运动时的质量，则得 2 2 01c v m m -= 这叫做相对论的质量—速率公式.若质点速率远小于光速，则m→m 0质量保持为一常量，又回到经典力学的结论.由上可知，在相对论中不仅同时、时间间隔、空间间隔具有相对性，物体质量也有相对性.当前，由于高能加速器的发展，可以把电子加速至其质量为静止质量的几万倍，更加证实了相对论理论的正确性. 2.质能方程 爱因斯坦质能方程E=mc 2另一种表述形式为ΔE=Δmc 2 它表明物体吸收或放出能量时，必伴随以质量的增加或减少.这里，ΔE 不仅可以表示机械能的改变，也可以代表因物体吸热或放热、吸收或辐射光子等等所引起的能量的变化. 相对论指出，当物体静止时，它本身已蕴藏着一份很大的能量，例如取m 0=1 kg ，其静止能量E 0=9×1016 J ，而我们通常所利用的物体的能量仅仅是mc 2和 m 0c 2之差. 但同学们也不能把质量和能量混为一谈，不能认为质量消灭了，只剩下能量在转化，更不能认为质量和能量可以相互转变.在一切过程中，质量和能量是分别守恒的，只有在微观粒子的裂变和聚变过程中有质量亏损的情况下才会有质能方程的应用. 3.相对论速度变换公式的由来 狭义相对论的两条基本假设光速不变原理和狭义相对性原理使我们看到一幅与传统观念截然不同的物理图景.设想从一点光源发出一光脉冲，如从光源在其中保持静止的参考系中观察，波前为以光源为中心的球面；如从相对于光源做匀速直线运动的另一参考系观察，波前将同样是以光源为中心的球面.从日常经验出发，这种现象似乎难于想象，但它确与迈克尔逊—莫雷的实验结果相符合. 在历史上人们提到的以太，是作为绝对静止的参考系而存在的.既然相对性原理认为一切惯性参考系都是等效的，不存在某一个具有特殊地位的绝对参考系，这等于否定了以太假说，换句话说，企图在某一参考系中进行实验以便求出该参考系相对于以太或绝对参考系的速度，这是不可能的，也是没有意义的. 基于以上论述，我们现需要寻找一组新的时间空间坐标变换关系，该变换关系应当满足两个条件：①满足光速不变原理和狭义相对性原理这两条基本假设；②当质点速率远小于真空中光速时，新的变换关系应能使伽利略变换重新成立.设车对地面的速度为v ，车上的人以速度u′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么他相对地面的速度u 为2 1c v u v u u '-+'= ，当v ＜＜c,u′＜＜c 时，u=u′+v′与牛顿力学规律对应. 活学巧用 1.一观察者测出电子质量为2m 0，其中m 0为电子的静止质量，求电子速度为多少？ 思路解析：将m=2m 0代入质量公式2 0)(1c v m m -= 得，2 00)(12c v m m -= c v 2 3 = =0.866c 答案：0.866c 2.已知电子的静能为0.511 MeV ，若电子的动能为0.25 MeV ，则它所增加的质量Δm 与静止质量m e 的比值近似为（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.9 思路解析：由题意知E 0=0.511 MeV ,E k =0.25 MeV ，由E 0=m 0c 2,E=mc 2，E k =Δmc 2可得出0 0m m E E k ??= ，代入数据得 .5.00 =E E k 答案：C
10狭义相对论基础习题思考题
习题10 10-1．一观察者测得运动着的米尺长0.5m ，问此尺以多大的速度接近观察者？ 解：由动尺缩短公式 2 20 1c v l l -=，可得 2 2 115.0c v -?= m/s 106.22 3 8?== c v 10-2．在参考系S 中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了m 105.18 ?=x 处，经历时间为s 00.1=t ?，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为S '系，利用2 2 1()t u c '?=?- 8 2 8 1.510 1()0.866310 t s ?'?=-=?。 10-3．长度0 1m l =的米尺静止于'S 系中，与 x ′ 轴的夹角'θ=30°，'S 系相对S 系沿x 轴运
动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为=θ45°。试求：（1）'S 系和S 系的相对运动速度。（2）S 系中测得的米尺长度。 解：（1）米尺相对S '静止，它在,x y ''轴上的投影分别为： 0cos 0.866m x L L θ''==，0 sin 0.5m y L L θ''==。 米尺相对S 沿x 方向运动，设速度为v ，对 S 系中的观察者测得米尺在x 方向收缩， 而y 方向的长度不变，即：2 21x v L L c =-， y y L L '= 故 ：2 2 tan 1y y x x x L L L L L v L c θ''== = '-。 把ο 45θ=及,y L L ''代入，则得： 220.510.866 v c -=，故 ： 0.816v c = (2)在S 系中测得米尺长度为 0.707m sin 45y L L = =? 。
习题6 6-1．设固有长度m 50.20=l 的汽车，以m/s 0.30=v 的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少 解：l l = 2 112 x =- +L 22112u c ≈-，214002 1 1.25102u l l l l m c -?=-=?=?。 6-2．在参考系S 中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了 m 105.18?=x 处，经历时间为s 00.1=t ?，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为S ' 系，利用t '?=? 0.866t s '?==。 6-3．从加速器中以速度c v 8.0=飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。 解：设加速器为S 系，离子为S '系，利用：21x x x v u v uv c '+= '+， 则：220.80.811x x x v u c c v c uv c c c c '++= =='?+ + 。 6-4 1000m 的高空大气层中产生了一个π介子，以速度0.8v c =飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命6 2.410s -×，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。 解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀： 有t ?= ，∴66410t sa -?= =? 由8 6 0.8310410 9601000l v t m m -=?=????=<，∴到达不了地球； （2）π介子静止系中的观测者认为长度收缩：
有l l = 600l m == 而6 8 2.4100.8310576600s v t m m -=?=????=<，∴到达不了地球。 6-5 长度01m l =的米尺静止于'S 系中，与x ′轴的夹角'θ=30°，'S 系相对 S 系沿x 轴运动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为=θ45°。试求： （1）'S 系和S 系的相对运动速度。（2）S 系中测得的米尺长度。 解：（1）米尺相对S '静止，它在,x y ''轴上的投影分别为： 0cos 0.866m x L L θ''==，0sin 0.5m y L L θ''==。 米尺相对S 沿x 方向运动，设速度为v ，对S 系中的观察者测得米尺在x 方 向收缩，而y 方向的长度不变，即：x L L =，y y L L '= 故 ：tan y y x x L L L L L θ''= = = 把ο 45θ=及,y L L '' 0.5 0.866 =，故 ：0.816v c = (2)在S 系中测得米尺长度为0.707m sin 45y L L ==? 。 6-6 一门宽为a ，今有一固有长度0l (0l ＞a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为多少 解：门外观测者测得杆长为运动长度，l l =，当1a ≤时，可认
人教版《高中物理选修3-4》学案《相对论》 第三节 狭义相对论的其他结论 共1课时 课型：三三四 主备人： 闫保松 审核人： 使用时间 2012年 月 日 第 周 第 个 总第 个 第1页 共2页 第2页 共2页 第十五章 第三节：狭义相对论的其他结论 【本章课标转述】 知道狭义相对论的实验基础、基本原理和主要结论；了解经典时空观与相对论时空观的主要区别，体会相对论的建立对人类认识世界的影响。初步了解广义相对论的几个主要观点以及主要观测数据。关注宇宙学研究的新进展。 教学重点、难点 重点：三个公式 难点：运动速度的相对性变换 【学习目标】 （1）运动速度的相对论变换（2）相对论质量（3）质能方程 【学习过程】 一、相对论的速度变换公式 通过狭义相对论两个原理的学习，知道光对任何物体的运动速度都一样，物体运动的极限速度都不可能越过真空中的光速。在宏观低速运动条件下，伽利略的速度叠加原理简单有效。但对高速运动的物体及微观高速粒子，速度的叠加原理与传统经典观念矛盾，必须要考虑相对论效应。 车对地的速度为v ，人对车的速度为u / 地面上的人看到车上人相对地面的速度为u 2' ' 1c v u v u u + += 如果车上人运动方向与火车运动方向相同，u ’取正值 如果车上人运动方向与火车运动方向相反，u ’取负值 学生通过计算和推导知道相对论的自洽性 注意：相对论速度变换公式，是根据相对论理论中的洛伦兹变换推出的结论，只适用于同一直线运动物体速度的叠加。对于更复杂的速度的叠加， 此公式不适用。 二、相对论质量。 物体的运动速度不能无限增加，那么物体的质量是否随着速度而变化？ 严格的论证表明，物体高速（与光速相比）运动时的质量与它静止时的质量之间有下面的关 系：2 01? ? ? ??-= c v m m m 运动质量 > m 0静止质量 微观粒子的速度很高，它的质量明显的大于静止质量．在研究制造回旋加速器时必须考虑相对论效应的影响． 介绍：1988年，中国第一座高能粒子加速器——北京正负电子对撞机首次对撞成功 三、质能方程 引入：物体的能量和质量之间存在密切的联系 让学生知道根据狭义相对论原理及洛伦兹变换，经过高等数学推导，可得到相对论动力学的一个著名结论： 质能方程 2mc E = 质能方程表达了物体的质量和它所具有的能量之间的关系. 0E E E k -= E k 是物体的动能，E 是物体运动时的能量 E 0是物体静止时的能量 在v ＜ ＜ c 时 2 021v m E ≈ 这就是我们过去熟悉的动能表达式，这也能让我们看出，牛顿力学是相对论力学在低速情况下的特例．
第五章相对论 第一节狭义相对论的基本原理 基础知识 1．下列说法中正确的是( ) A电和磁在以太这种介质中传播 B相对不同的参考系，光的传播速度不同 C.牛顿定律仅在惯性系中才能成立 D.时间会因相对速度的不同而改变 2．爱因斯坦相对论的提出，是物理学思想的一场重大革命，他( ) A.否定了牛顿的力学原理 B.提示了时间、空间并非绝对不变的属性 C.认为时间和空间是绝对不变的 D.承认了“以太”是参与电磁波传播的重要介质 3．爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设： (1)爱因斯坦的相对性原理：_____________________________． (2)光速不变原理：_____________________________________． 4．下列哪些说法符合狭义相对论的假设( ) A在不同的惯性系中，一切力学规律都是相同的 B．在不同的惯性系中，一切物理规律都是相同的 C.在不同的惯性系中，真空中的光速都是相同的 D．在不同的惯性系中，真空中的光速都是不同的 5．在一惯性系中观测，两个事件同时不同地，则在其他惯性系中观测，它们( ) A．一定同时 B．可能同时 C.不可能同时，但可能同地 D．不可能同时，也不可能同地 6．假设有一列很长的火车沿平直轨道飞快匀速前进，车厢中央有一个光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前后壁，根据狭义相对论原理，下列说法中正确的是( ) A地面上的人认为闪光是同时到达两壁的 B车厢里的人认为闪光是同时到达两壁的 C．地面上的人认为闪光先到达前壁 D．车厢里的人认为闪光先到达前壁 能力测试 7．关于牛顿力学的适用范围，下列说法正确的是( ) A.适用于宏观物体 B.适用于微观物体 C.适用于高速运动的物体 D.适用于低速运动的物体 8．下列说法中正确的是( ) A.相对性原理能简单而自然的解释电磁学的问题 B.在真空中，若物体以速度v背离光源运动，则光相对物体的速度为c-v C在真空中，若光源向着观察者以速度v运动，则光相对于观察者的速度为c+v D．迈克耳逊一莫雷实验得出的结果是：不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的 9．地面上的A、B两个事件同时发生，对于坐在火箭中沿两个事件发生地点连线，从A到B方向飞行的人来说哪个事件先发生( ) A．两个事件同时发生 B．A事件先发生 C．B事件先发生 D．无法判断 10．关于电磁波，下列说法正确的是( ) A.电磁波与机械波一样有衍射、干涉现象，所以它们没有本质的区别 B.在一个与光速方向相对运动速度为u的参考系中，电磁波的传播速度为c+u或c-u C电磁场是独立的实体，不依附在任何载体中 D．伽利略相对性原理包括电磁规律和一切其他物理规律 11．一列火车以速度v相对地面运动，如果地面上的人测得，某光源发出的闪光同时到达车厢的前壁和后壁(如图5-1-1)．那么按照火车上人的测量，闪光先到达前壁还是后壁?火车上的人怎样解释自己的测量结果? 12．如图5-1-2所示，在地面上M点，固定一光源，在离光源等距的A、B两点上固定有两个光接收器，今使光源发出一闪光，问 (1)在地面参考系中观察，谁先接收到光信号?
习题4 一 选择题 1．有下列几种说法： （1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 （2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关。 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同。 若问其中哪些说法是正确的，答案是 （A ）只有（1）、（2）是正确的 （B ）只有（1）、（3）是正确的 （C ）只有（2）、（3）是正确的 （D ）三种说法都是正确的 [ ] 【分析与解答】 根据狭义相对论的相对性原理可知(1)是正确的，根据光速不变原理可知（2）和（3）正确 正确答案是D 。 2．（1）对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其他惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ （2）在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其他惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是： （A ）（1）同时，（2）不同时 （B ）（1）不同时，（2）同 （C ）（1）同时，（2）同时 （D ）（1）不同时，（2）不同时 [ ] 【分析与解答】 根据洛仑兹变换有 2'u t x t ?- ??= ，对于（1）0,0t x ?=?=，所以'0t ?=； 对于（2）0,0t x ?=?≠，所以'0t ?≠。 正确答案是A 。 3．某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s ，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5s ，则乙相对于甲的运动速度是（c 表示真空中光速） （A ）（4/5）c. （B ）（3/5）c. （C ）（2/5）c. （D ）（1/5）c. [ ] 【分析与解答】 根据时间膨胀关系式 't ?= ，4,'5t t ?=?=，解得35u c = 正确答案是B 。 4．一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是（c 表示真空中光速） （A ）()1/2. v c = （B ） ()3/5. v c = （C ） ()4/5. v c = （D ） ()1/5. v c = [ ]
狭义相对论的其他结论 【学习目标】 1.了解运动速度的相对论变换，相对论质量 2.理解质能方程，并能进行简单的计算 【自主学习】 一、相对论的速度变换公式 在第一节内容的学习中，遗留一个问题，那就是经典物理中速度叠加原理与光速不变之间的矛盾，显然经典的速度叠加原理在高速情况下是不适用的，下面我们来认识相对论的速度叠加原理 设车对地的速度为v ，人对车的速度为u / 地面上的人看到车上人相对地面的速度为u （说明：1.如果车上人运动方向与火车运动方向相同，u ’取正值 2.如果车上人运动方向与火车运动方向相反，u ’取负值 3．相对论速度变换公式，是根据相对论理论中的洛伦兹变换推出的结 论，只适用于同一直线运动物体速度的叠加。对于更复杂的速度的叠加， 此公式不 适用。） 例题1如图，高速火车对地速度为v ，车上小球相对于车的速度为u ′， 则地上观察者观察到它的速度为u 。下面请大家计算下列三种情况下地 面观察者看到的球速度，并比较u 与u ′+v 以及u 与c 的大小关系 （1）当u ′=2c v =4 3c 时， u = ______，u ′+v =______，可见u ＜（u ′+v ）并且u ＜c （2）当u ′=c v =c 时， u = ______，u ′+v = ______， （3）当u ′=-c v =2 c 时， u = ______，表示合速度大小仍然为c ，方向与v 相反， 从二、三两个结果可以看出，u ′=c 时，不论v 如何取值，在什么参考系中观察，光速都是c . 二、相对论质量。 物体的运动速度不能无限增加，那么物体的质量是否随着速度而变化？ 严格的论证表明，物体高速（与光速相比）运动时的质量与它静止时的质量之间有下面的关系： 20 1??? ??-=c v m m （ m 运动质量，m 0静止质量），微观粒子的速度很高，它的质量明显的大于静止质量． 例题2回旋加速器给带电粒子加速时，不能把粒子的速度无限制地增大，其原因是( ) A ．加速器功率有限，不能提供足够大的能量 B ．加速器内无法产生磁感强度足够大的磁场 C ．加速器内无法产生电场强度足够大的电场 D ．速度增大使粒子质量增大，粒子运行的周期与交变电压不再同步，无法再加速 三、质能方程 物体的能量和质量之间存在密切的联系根据狭义相对论原理及洛伦兹变换，经过高等数学推导，可得到相对论动力学的一个著名结论：质能方程2m c E = （质能方程表达了物体的质量和它所具有的能量之间的关系.） 设E k 是物体的动能，E 是物体运动时的能量 E 0是物体静止时的能量，则：0E E E k -= 2''1c v u v u u ++=
习题 6-1. 设固有长度的汽车，以的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少？ 解： 6-2. 在参考系中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了处，经历时间为，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为系 6-3. 从加速器中以速度飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。 解：设加速器为系，离子为系 6-4. 两个宇宙飞船相对于恒星参考系以的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度。 解：设宇宙船A为系，速度，宇宙船B为系，速度 根据洛伦兹速度变换公式：，有： 6-5. 从系观察到有一粒子在时由处以速度沿方向运动，后到达点，如在系(相对系以速度沿方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标各为多少？(时，与的原点重合)，并算出粒子相对系的速度。 解： 6-6 .一飞船静长以速度相对于恒星系作匀速直线飞行，飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为，试算出恒星系观察者测得小球的运动时间。 解：设恒星系为系，飞船为系 6-7. 一个静止的介子能衰变成一个介子和一个介子，这两个介子的速率均为．现有一个以速率相对于实验室运动的介子发生上述衰变。以实验室为参考系，两个介子可能有的最大速率和最小速率是多少？ 解：最大速度 最小速度 6-8. 一个电子从静止开始加速到，需对它做多少功？，若速度从增加到又要做多少功？ 解：
6-9. 一静止电子(静止能量为)被的电势差加速，然后以恒定速度运动。求：(1)电子在达到最终速度后飞越的距离需要多少时间？(2)在电子的静止系中测量，此段距离是多少？ 解： 6-10. 有两个中子和，沿同一直线相向运动，在实验室中测得每个中子的速率为．试证明相对中子静止的参考系中测得的中子的总能量为： 其中为中子的静质量。 证明：设中子A为系，实验室为系，中子B相对于中子A速度为6-11. 一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为. （1）问电子应通过多大的电势差才能使其质量增加？ （2）此时电子的速率是多少？ 解：（1） （2） 6-12. 已知一粒子的动能等于其静止能量的倍，求：(1)粒子的速率，(2)粒子的动量。 解：（1）而 整理得 （2）而 6-13. 太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核()和氘核()聚变为氦核()，同时放出光子，反应方程为 已知氢、氘和的原子质量依次为、和. 原子质量单位. 试估算光子的能量。 解： 根据质能方程 思考题6
《大学物理》练习题No.15 狭义相对论时空观及动力学基础班级____________ 学号__________ 姓名_________ 成绩________ 一、选择题 1. 静止参照系S中有一尺子沿x方向放置不动，运动参照系S'沿x轴运动,S、S'的坐标轴平 行.在不同参照系测量尺子的长度时必须注意[ C ] (A) S'与S中的观察者可以不同时地去测量尺子两端的坐标. (B) S'中的观察者可以不同时，但S中的观察者必须同时去测量尺子两端的坐标. (C) S'中的观察者必须同时，但S中的观察者可以不同时去测量尺子两端的坐标. (D) S'与S中的观察者都必须同时去测量尺子两端的坐标. 2. 下列几种说法： (1) 所有惯性系对一切物理规律都是等价的. (2) 真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关. (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度都相同. 其中哪些正确的？[ D ] (A) 只有（1）、(2)是正确的. (B) 只有（1）、(3)是正确的. (C) 只有（2）、(3)是正确的. (D) 三种说法都是正确的. 3. 边长为a的正方形薄板静止于惯性系K的xOy平面内，且两边分别与x轴、y轴平行， 今有惯性系K'以0.8c（c为真空中光速）的速度相对于K系沿x轴作匀速直线运动，则从K'系测得薄板的面积为[ B ] (A) a2.(B) 0.6a2.(C) 0.8 a2.(D) a2/ 0.6. 4. 在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为6s，若相对甲以4c/5(c表示真空 中光速)的速率作匀速直线运动的乙测得时间间隔为[ A ] (A) 10s.(B) 8s.(C) 6s.(D) 3.6s. (E) 4.8s. 5. (1) 对某观察者来说,发生在某惯性系中同一地点,同一时刻的两个事件,对于相对该惯性系 作匀速直线运动的其它惯性系的观察者来说,它们是否同时发生? (2) 在某惯性系中发生于同一时刻,不同地点的两个事件,它们在其它惯性系中是否同时发 生? 关于上述两问题的正确答案是: [ A ] (A) (1)一定同时, (2)一定不同时. (B) (1)一定不同时, (2)一定同时. (C) (1)一定同时, (2)一定同时. (D)(1)一定不同时,(2)一定不同时. 6.圆柱形均匀棒静止时的密度为ρ0，当它以速率u沿其长度方向运动时，测得它的密度为ρ，
人教版物理高二选修3-4 15.3狭义相对论的其他结论同步练习（I）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、多选题 (共15题；共38分) 1. （3分）下列物体的运动服从经典力学规律的是（） A . 自行车、汽车、火车、飞机等交通工具的运动 B . 发射导弹、人造卫星、宇宙飞船的运动 C . 物体运动的速率接近真空中的光速 D . 能量的不连续现象 2. （3分）下列说法中正确的是（） A . 根据牛顿的万有引力定律可以知道，当星球质量不变、半径变为原来的时，引力将变为原来的4倍 B . 按照广义相对论可以知道，当星球质量不变、半径变为原来的时，引力将大于原来的4倍 C . 在天体的实际半径远大于引力半径时，根据爱因斯坦的引力理论和牛顿的引力理论计算出的力差异很大 D . 在天体的实际半径接近引力半径时，根据爱因斯坦的引力理论和牛顿的引力理论计算出的力差异不大 3. （3分） (2018高一下·西山期中) 爱因斯坦相对论的提出是物理学领域的一场重大革命，主要是因为（） A . 否定了经典力学的绝对时空观 B . 揭示了时间、空间并非绝对不变的本质属性 C . 打破了经典力学体系的局限性 D . 使人类对客观世界的认识开始从宏观世界深入到微观世界 4. （2分） (2019高二下·扬州开学考) 如图所示,地面上A、B两处的中点处有一点光源S，甲观察者站在光源旁,乙观察者乘坐速度为v（接近光速）的光火箭沿AB方向飞行.两观察者身边各有一只事先在地面校准了的相同的时钟.下列对相关现象的描述中，正确的是（）
A . 甲测得的AB间的距离大于乙测得的AB间的距离 B . 甲认为飞船中的钟变慢了，乙认为甲身边的钟变快了 C . 甲测得光速为c，乙测得的光速为c-v D . 当光源S发生一次闪光后，甲认为A，B两处同时接收到闪光，乙则认为A先接收到闪光 5. （2分）在一惯性系中观测，有两个事件同时不同地，则在其他惯性系中观察，结果是（） A . 一定同时 B . 可能同时 C . 不可能同时，但可能同地 D . 不可能同时，也不可能同地 6. （3分）下列说法中正确的是（） A . 万有引力可以用狭义相对论做出正确的解释 B . 电磁力可以用狭义相对论做出正确的解释 C . 狭义相对论是惯性参考系之间的理论 D . 万有引力理论无法纳入狭义相对论的框架 7. （2分） (2015高二上·泰州期末) 关于经典物理学和相对论，下列说法正确的是（） A . 经典物理学和相对论是各自独立的学说，互不相容 B . 相对论完全否定了经典物理学 C . 相对论和经典物理学是两种不同的学说，二者没有联系