高考数学总复习 课时提升作业(二十八) 第四章 第五节 文
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课时提升作业(二十八)
一、选择题
1.(2013·蚌埠模拟)复数z=的实部是 ( )
(A)4 (B)1 (C)-1 (D)-4
2.(2013·景德镇模拟)复数(m2-3m)+mi(m∈R)是纯虚数,则实数m的值是 ( )
(A)3 (B)0
(C)0或3 (D)0或1或3
3.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于 ( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
4.复数等于 ( )
(A)-1+i (B)1+i
(C)1-i (D)-1-i
5.若+(1+i)2=a+bi(a,b∈R),则a-b= ( )
(A)2 (B)-2
(C)2+2 (D)2-2
6.(2012·北京高考)在复平面内,复数对应的点的坐标为 ( )
(A)(1,3) (B)(3,1)
(C)(-1,3) (D)(3,-1)
7.设i是虚数单位,复数z=tan45°-i·sin 60°,则z2等于 ( )
(A)-i (B)-i
(C)+i (D)+i
8.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于 ( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
9.已知m(1+i)=2-ni(m,n∈R),其中i是虚数单位,则()3等于 ( )
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
10.(能力挑战题)若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为 ( )
(A)2kπ-,k∈Z
(B)2kπ+,k∈Z
(C)2kπ±,k∈Z
(D)π+,k∈Z
二、填空题
11.复数z0=5+2i(i为虚数单位),复数z满足z·z0=5z+z0,则z=
.
12.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是
.
13.(能力挑战题)已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,则z1·z2的实部的最大值为
,虚部的最大值为 .
14.若复数z=cosθ+isinθ且z2+=1,则sin2θ= .
三、解答题
15.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
答案解析
1.【解析】选C.∵z====
-1-2i,
∴z的实部是-1.
2.【解析】选A.∵(m2-3m)+mi是纯虚数,
∴m2-3m=0且m≠0,
∴m=3.
3.【思路点拨】先计算所给的复数,根据实部、虚部确定对应点所在的象限. 【解析】选D.z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i,故对应的点在第四象限.
4.【解析】选A.=
==-1+i.
【变式备选】已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值
为 ( )
(A)4 (B)4+4i
(C)-4 (D)2i
【解析】选C.由(x-2)i-y=-1+i,
得x=3,y=1,
∴(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4.
5.【思路点拨】先化简等号左边的复数,再根据复数相等解题.
【解析】选B.+(1+i)2=1-i-2+2i
=-1+(2-1)i=a+bi,
则a=-1,b=2-1,故a-b=-2.
6.【思路点拨】化简复数后,利用复数的几何意义找出所对应的点.
【解析】选A.===1+3i,所对应点的坐标为(1,3).
7.【解析】选B.z=1-i,∴z2=-i.
8.【思路点拨】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.
【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.
【一题多解】选A.z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.
【方法技巧】复数问题的解题技巧
(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.
(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.
9.【解析】选C.由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni,
故m=2,m=-n,故m=2,n=-2, 故()3=()3=i.
10.【解析】选B.由题意,得
解得
∴θ=2kπ+,k∈Z.
11.【解析】由z0=5+2i及z·z0=5z+z0,
得z====1-i.
答案:1-i
12.【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.
答案:-1-(-1)i
13.【解析】z1·z2=(cosθsinθ+1)+i(cosθ-sinθ).
实部为cosθsinθ+1=1+sin 2θ≤,
所以实部的最大值为.
虚部为cosθ-sinθ=sin(-θ)≤,
所以虚部的最大值为.
答案:
14.【解析】z2+2z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ-isinθ)2=2cos 2θ=1⇒cos 2θ=,所以sin2θ==.
答案:
15.【思路点拨】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.
【解析】(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,
∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
∴
解得a=b=3.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t), 由|-3-3i|=2|z|,
得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),
即(s+1)2+(t-1)2=8,
∴Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,
当Z点在OO1的连线上时,
|z|有最大值或最小值.
∵|OO1|=,
半径r=2,
∴当z=1-i时,
|z|有最小值且|z|min=.
【变式备选】若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),
则z+=a+bi+
=a(1+)+b(1-)i.
又z+3=a+3+bi,z+是实数,
根据题意有
∵b≠0,
∴
解得或
∴z=-1-2i或z=-2-i.
