高一数学讲义-函数的基本性质

1 §1·函数的概念

（一）函数的有关概念

设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的函数，记作

)(xfy， xA

其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数)(xfy的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Axxf|)(（B）叫做函数y=f(x)的值域.

函数符号)(xfy表示“y是x的函数”，有时简记作函数)(xf.

(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应 BAf:

这里 A, B 为非空的数集.

（2）A：定义域，原象的集合；Axxf|)(：值域，象的集合,其中Axxf|)(  B ；f：对应法则 ， xA ， yB

（3）函数符号：)(xfy y是 x 的函数，简记 )(xf

（二）已学函数的定义域和值域

1．一次函数baxxf)()0(a:定义域R, 值域R;

2．反比例函xkxf)()0(k:定义域0|xx, 值域0|xx;

3．二次函数cbxaxxf2)()0(a:定义域R

值域：当0a时，abacyy44|2；当0a时，abacyy44|2

（三）函数的值：关于函数值 )(af

例：)(xf=2x+3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11

注意：1在)(xfy中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样

2)(xf不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”

3)(xf与)(af是不同的，前者为变数，后者为常数

（四）函数的三要素： 对应法则f、定义域A、值域Axxf|)(

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数

（五）区间的概念和记号： 2 在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质

高一数学第三章函数的基本性质知识要点

函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数定义

函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。函数可以用符号表示，例如：

f(x) = 2x + 1

其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。

二、函数的定义域和值域

定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。

值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。

三、函数的奇偶性 如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。

四、函数的图像与性质

函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。

函数的图像具有以下性质：

1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；

2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；

3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；

4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。

五、函数的初等函数性质

初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 常数函数是指函数f(x) = c，其中c为常数。它的图像是一条水平直线。

高一数学必修1函数的基本性质

1．奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(某)定义域内的任意某都有f(－某)=－f(某)，则称f(某)为奇函数；如果对于函数f(某)定义域内的任意某都有f(－某)=f(某)，则称f(某)为偶函数。

如果函数f(某)不具有上述性质，则f(某)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(某)既是奇函数，又是偶函数。

注意：

1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○

2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个某，则－某也○

一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○

2确定f(－某)与f(某)的关系；○

3作出相应结论：○

若f(－某)=f(某)或f(－某)－f(某)=0，则f(某)是偶函数；

若f(－某)=－f(某)或f(－某)＋f(某)=0，则f(某)是奇函数。

（3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设f(某)，g(某)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶

2．单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(某)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量某1，某2，当某1f(某2)），那么就说f(某)在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○

2必须是对于区间D内的任意两个自变量某1，某2；当某1

（2）如果函数y=f(某)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(某)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(某)的单调区间。

（3）设复合函数y=f[g(某)]，其中u=g(某),A是y=f[g(某)]定义域的某个区间，B是映射g:某→u=g(某)的象集：①若u=g(某)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(某)]在A上是增函数； ②若u=g(某)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(某)]在A上是减函数。

第2讲 函数的基本性质

一、要点精讲

1．奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 ，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 ，则称f(x)为偶函数。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否

○2 确定f(－x)与f(x)的关系；

○3 作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 = 0，则f(x)是奇函数。

（3）函数的图像与性质：奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称；

2．单调性

（1）定义：

注意：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；② 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是 或是 ，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 ，区间D叫做y=f(x)的 。

（3）判断函数单调性的方法

（ⅰ）定义法：利用定义严格判断

（ⅱ）利用已知函数的单调性如若()fx、)(xg为增函数，则

①()fx+)(xg为 ；②1()fx为 （()fx＞0）；

③()fx为 （()fx≥0）；④-()fx为

（ⅲ）利用复合函数【y= f（u），其中u=g(x) 】的关系判断单调性：

复合函数的单调性法则是“ ”

（ⅳ）图象法