2020届山西省实验中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前山东省实验中学2020届高三上学期第二次诊断性考试英语试题2019年11月(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．本试卷由四个部分组成。

其中，第一、二部分和第三部分的第一节为选择题。

第三部分的第二节和第四部分为非选择题。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．What did the woman do today?A．She practiced the piano．B．She wrote some letters．C．She made a travel plan．2．What will the woman do tomorrow afternoon?A．Go to the dentist．B．Go to a physics class．C．Meet with her trainer．3．What has Billy been doing this weekend?A．Visiting museums．B．Reading some science books．C．Trying to come up with an idea．4．How do the speakers feel?A．Tired．B．Enjoyable．C．Frightened．5．What does the woman mean?A．She doesn’t want to leave．B．She will take all the files away．C．She has enough time to deal with her work．第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

七校高2020级第三次诊断性考试数学（理科）试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（綦江）已知集合{}02|2<--=x x x A ，{}0log |2<=x x B ，则=B A Y （ ）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)2,(-∞D ．)1,1(-2．（铜梁）设ii z 312+=,则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（实验）命题“3210x x x ∀∈-+≤R ，”的否定是（ ） A ．不存在3200010x x x ∈-+≤R ，B ．3200010x x x ∃∈-+≥R ，C ．3200010x x x ∃∈-+>R ，D ．3210x x x ∀∈-+>R ，4．（綦江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ） A ．18B ．24C ．48D ．365．（实验）已知直线l 和两个不同的平面βα，，则下列结论正确的是（ ） A ．若//l α，l β⊥，则βα⊥ B ．若αβα⊥⊥l ，，则β⊥lC ．若//l α，//l β，则βα//D ．若αβα//l ，⊥，则β⊥l 6．（长寿）如图所示,给出的是求：99151311+⋯+++的值的 一个程序框图, 判断框内应填入的条件是（ ）. A ．?99≤i B ．?99<i C ．?99≥i D ．?99>i7．（大足）《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给 出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L V 2361≈它实际上是将 圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式h L V 21123≈相当于将圆锥体积 公式中的π近似取为（ ） A ．722 B ．852 C ．982 D ．2782 8．（綦江）函数x x x x f cos )sin 3()(-=在[]ππ,-上的大致图象是（ ）9．（实验）已知直线)0(≠=k kx y 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于B A ,两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ．若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．2C ．5D ．210．（綦江）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。

精品文档 12019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合中的元素个数是A ．2B ．3C ．6D ．82．已知向量A ．B ．C ．D ．23．设满足约束条件则的最大值是A ．B ．0C ．2D ．34．已知等比数列中，A ．B ．±4C ．4D ．165．“”是“指数函数单调递减”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布，则， A ．4.56％ B ．13．59％ C ．27.18％ D ．31.74％ 7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 A ．866 B ．500 C ．300 D ．134 8．函数21x y e x =-的部分图象为 9．展开式的系数为 A ． B ． C ．15 D ．45 10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是 A ． B ． C ． D ． 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号11．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a的取值范围为A ．B ．C ．D ．12．已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为：A ．B．0 C ．D．1二、填空题13．已知函数_________14．设为正实数，且的最小值为_________15．函数的最大值为________16．下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________三、解答题17．已知在递增的等差数列的等比中项(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n 项和，求．18．在中，A,B,C 所对的边分别为，满足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D为BC 的中点，且的值．19．某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：参考数据：20．已知数列(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n 项和21．依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．精品文档 2精品文档3(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I 级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.22．已知(e 为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数图象关于直线对称，函数的最小值为m ．(I)求曲线的切线方程；(Ⅱ)求证：；(III)求函数的最小值．2数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，故A∪B的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．D【解析】【分析】由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 3．C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y 满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4．A【解析】【分析】由题得，解之即得解.【详解】由题得因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5．B【解析】【分析】先化简“指数函数单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】精品文档 1因为“指数函数单调递减”，所以，所以“”是“指数函数单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.6．B【解析】【分析】由题意,利用正态分布的对称性，即可得出结论．【详解】由题意P（﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P（﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P（4＜ξ＜8）=（0.9544﹣0.6826）= 0.1359．故答案为：B【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7．D【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为31-，则所求黄色图形内的图钉数大约为23110001342⎛⎫-⨯≈⎪⎪⎝⎭，故选D.8．A【解析】试题分析：因,故当时,,函数21xy e x=-单调递增; 当时,,函数21xy e x=-单调递减; 当时,,函数21xy e x=-单调递增.故应选A.考点：导数与函数单调性的关系．9．B【解析】【分析】先化简=，再利用二项式定理的通项分析得解.【详解】由题得=，设对于二项式，设其通项为，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,k∈,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0.所以展开式的系数为.故答案为：B【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10．C【解析】【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】精品文档 2先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．B【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围．【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos的图象；然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos （﹣）的图象，若函数g（x ）在区间与[2aπ，4π]上均单调递增，则0﹣=﹣，﹣≤0，且﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z．解得≤a≤，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12．C【解析】【分析】由题意可设C（cos θ，sin θ），设A （，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．【详解】由||=1可设C（cos θ，s in θ），又•=，所以cos∠BOA=,所以∠BOA=.因为||=||=1，可设A （，），B（1，0），=x +y ，所以所以,因为,所以（1）因为，所以，（2）由（1）（2）得所以当x+y 最小值为.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．13．【解析】【分析】先求f(-1),再求的值.【详解】精品文档 3由题得f(-1)=所以=故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14．【解析】【分析】由题得=,再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得=,当且仅当时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15．【解析】【分析】先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16．【解析】【分析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，同时分别求出通项公式，从而得知结果．【详解】第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j﹣1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1．令A ij=ij+1=2019，即ij=2018=1×2018=2018×1=2×1009=1009×2故表中2019共出现4次．故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1.17．(I)(II)【解析】【分析】精品文档 4(I)根据已知求出的通项公式. (II) 由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得所以.(II)由题意可知：所以.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18．(I);(II).【解析】【分析】(I)得，求出. (Ⅱ)由题意可知，化简得，再结合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【详解】(I)，所以，所以因为，所以，所以(Ⅱ)由题意可知：所以所以又因为，所以，因为，所以由正弦定理可得，所以【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19．(I)z与x 的线性回归方程是(II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【解析】【分析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x 的回归方程是,令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知，，又,所以，所以，所以z与x 的线性回归方程是；(II)因为,所以y关于x 的回归方程是,精品文档 5令x＝10，得=,因为ln 1.03≈0.03，所以，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20．(I).【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n 项和【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，又因为当，，所以所以等比数列，且（2）所以【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21．(I)，因此企业应选方案二．【解析】【分析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，分别求出它们发生的概率，再利用求解. （II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（I）知．的分布列为X1500 －100 －1000精品文档 6P 0．81 0．155 0．035则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（I ）知，，的分布列为：X2460 －1040P 0.965 0.035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22．(I)(Ⅱ)见解析(III)【解析】【分析】(I)由题意可知,再利用导数的几何意义求切线方程. (Ⅱ) 令，求出函数的最小值，再根据得到. (III)先利用导数求得，再证明，所以.【详解】(I)由题意可知，所以，所以切线方程为，(Ⅱ)令，因为，，又因为在上单增所以存在唯一的，使得，即，当，所以单减，同理在单增，所以，因为，所以所以因为，所以(III)因为,，所以因为，所以存在唯一的，使得，即在单减，在单增所以因为所以，所以令，所以精品文档7因为所以由，可得，所以所以，，所以，即，所以【点睛】本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.精品文档8。

贵溪市实验中学2021届高三第二次月考三校生数学试卷考试时间:120分钟分值:150分命题人:一. 是非选择题:本大题共10小题,每题3分,共30分.对的选A,错的选B. 1、0!=1()AB2.经过(1,1)P 的直线都可以用1(1)y k x -=-表示()AB 3、抛物线22y x =的准线方程是12x =-()AB 4、垂直于同一平面的两个平面平行()AB 5、若θ为锐角，则2θ为钝角()AB 6、函数x x x f sin )(⋅=是奇函数()AB 7、直线和平面所成的角的范围为]2,0[π()AB8、32551525251505=+++++C C C C C C ()AB9.方程224250x y x y +--+=是圆的方程()AB10.函数y ＝3sin(2x ＋π3)图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x 的图象()AB 二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

11．已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12C.32 D ．±3212．点A(sin2020°，cos 2020°)在直角坐标平面上位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13.A 、B 、C 、D 、E 五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为( )A ．120B ．324C ．720D ．128014.6)x2x (+展开式中常数项是（）A.第4项B.464C 2C.46C D.215.四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（）A.12B.64C.81D.2416、高三（１）班需要安排毕业晚会的４个音乐节目，２个舞蹈节目和１个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是（ ）Ａ.1800 Ｂ.3600Ｃ.4320Ｄ.504017、平面α的一条斜线段等于它在α上射影的2倍，那么斜线与平面所成的角为（ ）；A ．30°B．45°C．60°D．75° 18.给出下面三个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行； ②在空间，平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③在空间，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 其中，真命题的个数是（ ）；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 三、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分 19、直线1y x =--的截距是20、函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是 21.已知α是第二象限角，tanα＝－12，则cosα＝________.22、在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．23、已知椭圆的方程为x 216＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，m 的取值范围是24.1cos 752︒︒-=______________. 四．解答题：本大题共6小题，25—28小题每小题8分，29—30小题每小题9分，共50分。

绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。

2020年9月江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期9月月考数学试题★祝考试顺利★(含答案)考试时间：120分钟 试卷分值：150分一、是非选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分。

对每小题的命题作出判断,对的选A,错的选Ｂ。

1.1225tan -=︒.2.{}{}直四棱柱正四棱柱⊆. 3.直线04=++y x 的倾斜角为︒135.4.若0=⋅b a ,则0=a 或0=b .5.若n x x x x ,,,,321⋯的平均数为2,则12,,12,12,12321-⋯---n x x x x 的平均数为4.6.在等比数列{}n a 中,若11=a ,169=a ,则45=a .7.2345sin )15sin(45cos 15cos =︒︒-+︒︒. 8.已知α⊂a ,α⊂b ,则“α⊥m ”⇒“a m ⊥,且b m ⊥”.9.若直线024=++y ax 与直线01=+-y ax 垂直,则实数2±=a .10.从4,3,2,1,0中任取3个数,组成没有重复数字的三位数的个数为60.二、单项选择题：本大题共８小题,每小题５分,共４０分。

11.直线63+=x y 在y 轴上的截距为（ ）A 、-6B 、 -3C 、3D 、612.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 4y x =的图象（ ） A 、向左平移12π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移3π个单位 D 、向右平移3π个单位 13.=--︒︒︒︒33tan 87tan 33tan 87tan 3（ ）A 、3B 、3-C 、33D 、33- 14.已知D 为ABC ∆所在平面内一点,且BC CD 32=,则=AD （ ） A 、AC AB 3132+ B 、AC AB 3532- C 、AC AB 3532+- D 、AC AB 3431+- 15.函数x x x f cos sin )(=的最小正周期为（ ）A 、2π B 、π C 、π2 D 、π4 16.若圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形,则该圆锥的体积为（ ）A 、3πB 、2πC 、πD 、π217.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足22-=n n a S ,则=n a （ ）A 、n -22B 、121+-nC 、121+-nD 、n 218.“0≥x ”是“02≤-x x ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件三、填空题：本大题共６小题,每小题５分,共３０分。

山东省实验中学2020届高三第二次诊断考试语文试题参考答案1.C（A强加因果；B“并列关系”错，曲解文意，原文中“仁爱主义是集体主义的基础”；D原文“将民族善文化基因发展延续，是增强文化自信,提高社会软实力的重要方面”，偷换概念，无中生有）2.B（详略内容颠倒）3.C（“都”错误，以偏概全）4.A（“更需要政策持续发力”说法不当，原文说的是“与缓解就业总量压力相比，就业结构矛盾的缓解和就业质量的提高难度更大,更需要政策持续发力”，更需要“政策持续发力”的应是“就业结构矛盾的缓解和就业质量的提高”）5.C(根据材料三“我国现在已进入经济高质量发展阶段，与高速增长阶段相比，现阶段的经济增长更依赖于创新，更依赖于全要素生产率的提高，更依赖于人力资本红利的增加”可知，“当前应当把经济增长当作首要目标”说法错误)6.①了解国家相关就业政策。

②避开就业需求饱和的行业，选择招聘需求人数较多的行业。

③加强学习,提高自身素质,提高个体的就业竞争实力。

④充分利用互联网技术，了解就业情形。

(每点2分,答对任意三点给满分)7. C （李金鏊家境贫困却能济危扶困，是衬托而非对比）8.①具有浓郁的地方风味、富有地域特色。

如“嘛”“赛”“锅伙”“爬爬屋”等诸多方言的使用，富有生活气息。

②善用修辞，形象生动。

拟人手法，龙王爷“闯”“赖”等描写，表现洪水的肆虐；夸张手法，“人都泡在水里”“肩膀赛门宽”；比喻手法：“大河盖上盖儿”等。

③活泼幽默，富有感染力。

“老脸老皮，胡子拉碴；那件灰布大褂，足够改成个大床单”、“肚子里的东西一天比一天少，快只剩下凉气了”等。

④多用短句，节奏感强，近似于相声艺术的特色。

如“窗户当门，买卖停业，车辆不通”“口气挺硬，眼神极横，错不了，李金鏊！”“破嘴缺把，磕底裂肚，盖上没疙瘩”（另外，答动词的使用精当，富有表现力：“沾”“截”“三步并两步跑”等可酌情给分。

一点2分，三点得6分）9.①使情节波澜起伏。

数学试卷一、选择题1.已知集合()122{|1},|2M x x N x y x x ⎧⎫=≥==-⎨⎬⎩⎭，则集合M N =∩( )A. ∅B. (2,)+∞C. [2,)+∞D. [1,2]2.已知i 为虚数单位，且复数z 满足：(1i)23i z -=-，则z 的虚部为( ) A. 12-B. i 2-C.12D.523.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 在直线:4l x y +=上，则点F 到C 的准线的距离为( ) A. 2B. 4C. 8D. 164.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，则下列说法错误的是（ ）A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月~5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5.已知(1,2),(2,3),(1,)A B C m -，若||||BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则2AC u u u r =（ ）A. 6B. C. 16D. 206.已知函数3()2(1)2f x x xf a '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线方程为( ) A. 20x y -= B. 0y = C. 10160x y --=D. 20x y -+=7.函数()f x 的图象可看作是将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍纵坐标不变得到的，则函数()f x 的解析式为A. π()2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. 1π()2cos x 26f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8.设函数()tan 2xf x =，若0.235(log 2),(log 2),(2)a f b f c f ===，则( ) A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A B ,两市代表团）安排至,,a b c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A B ,两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为( ) A ．6B ．12C ．16D ．1810.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 3ππ C. 6π D. 12π11.已知坐标平面xOy 中，点12,F F 分别为双曲线222:1(0)x C y a a-=>的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O I D 、、三点共线，则双曲线C 的离心率为B. 3D. 512.当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如(3.1)3trunc =.已知函数()|()|f x trunc x =(其中R x ∈)，函数()g x 满足()(6),(1)(1)g x g x g x g x =-+=-，且[0,3]x ∈时，2()|2|g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题13.若21()2nx x -的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______． 14.已知实数,x y 满足4041010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则11y z x +=+的最大值是______．15.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图（1），函数2πsin ,[2,0)2f ()1(1),(0,2]x x x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A(阴影部分)，将区域A(阴影部分)沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体．现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图（2）所示，其底面积与区域A(阴影部分)的面积相等，则此柱体的体积为______．16.在ABC △中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，sin sin sin sin ,b C a A b B c C +=+24,c b +=，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，则AD 的最小值为______．三、解答题17.已知数列{}n a 中，1a m =且1321,(N )n n n n a a n b a n n *+=+-=+∈ （1）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （2）当2m =时，求数列{}n a 的前2020项和2020S .18.如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点． （1）求证：1B C ⊥平面1BC D ；（2）求二面角1C BD C --的平面角的余弦值．19.某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：[4,5),[5,6),[6,7),[7,8),[8,9),[9,10]，统计结果如表所示：（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间[5.7)内的天数不少于2的概率；（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润Z 服从正态分布2(.1.44)N μ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）．①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)内的天数（精确到个位）；②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：方案一：直接发放奖金，日纯利润低于时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于μ时每名员工发放奖金90元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于μ时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于μ时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为考数据：若()2Z ~N ,μσ，则(Z )0.6827P μσμσ-<<+=，(2Z 2)0.9545P μσμσ-<<+=．20.已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>，过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线与圆223:4O x y +=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P -的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，点'O 与原点O 关于直线l 对称，试求四边形'OAO B 的面积的最大值．21.已知函数()ln 1(f x mx x m =--为常数)．（1）若函数()f x 恰有1个零点，求实数m 的取值范围；（2）若不等式()x mx e f x a -≤+对正数x 恒成立，求实数a 的最小整数值．22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数，0)α≤<π，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）若0α=，求直线l 被圆C 所截得的弦长；（2）设(1,0)P ，且直线l 与圆C 交于A B ，两点，若||||||1PA PB -=，求角α的大小. 23.已知函数()|21||1|f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()3|1|y f x x =++的最小值为m ，正实数,a b 满足3ma b +=，求证：341log ()24a +≥．参考答案1.答案：C解析：{|0,N x x =≤或2}x ≥； [2,)M N =+∞∴∩．故选：C ． 2.答案：A解析：由(1i)23i z -=-，得(23i)(1i)23i 51i 1i (1i)(1i)22z -+-===---+． z ∴的虚部为12-．故选：A ． 3.答案：C解析：因为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,)2pF ，042p+=∴，可得8p =， 因此点F 到C 的准线的距离为8； 故选：C ． 4.答案：D解析：由图易知A ，B 正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C 正确， 由2018年1月~月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D 错误， 故选：D ．5.答案：D解析：(1,1),(3,3),(2,2)BA BC m CA m =--=--=-u u u r u u u r u u u r； (4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m +=---==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴； 又||||BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ；2216(4)4(2)m m +-=+-∴； 解得6m =； (2,4)AC =-u u u r∴； 241620AC =+=u u u r ∴．故选：D ．6.答案：C解析：函数3()2(1)2f x x xf a '=-+-，若()f x 为奇函数，可得20a -=，所以2a =，2'()32'(1),'(1)32'(1),'(1)1f x x f f f f =-=-∴=， 函数3()2f x x x =-，3'()32f x x =-∴，曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线斜率为：2'(2)32210,(2)4f f =⨯-==， 曲线()y f x =在点(2,4)处的切线方程为：410(2)y x -=-， 即10160x y --=． 故选：C ． 7.答案：D解析：将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，得2cos()6y x π=- 再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍纵坐标不变得到 ππππ()2cos 22cos 22sin 26323f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D ． 8.答案：D解析：根据题意，函数()tan2xf x =，其周期为212π=π，且在区间(,)-ππ上为增函数， 又由0.2530log 2log 212<<<<，则0.253(log 2)(log 2)(2)f f f <<，即b a c <<， 故选：D ． 9.答案：B解析：①当,,a b c 三家宾馆入住人数为3，1，1，则不同的安排种数为336A =， ②当,,a b c 三家宾馆入住人数为2，2，1，则不同的安排种数为21313C C ⋅=， ③当,,a b c 三家宾馆入住人数为2，1，2，则不同的安排种数为12323C C ⋅=， 即不同的安排种数为321123313212A C C C C +⋅+⋅=. 10.答案：A解析：由题意可知，几何体的是列出为1的正方体的一部分，1111ABD A B C D -，外接球就是正方，外接球的表面积为：243π⨯=π．故选：A ． 11.答案：C解析：不妨设点M 在第二象限，设2(,),(,0)M m n F c ，由D 为2MF 的中点，O I D 、、三点共线知，直线OD 垂直平分2MF ， 则1:OD y x a =，故有n a m c=--， 且1122m cn a +⋅=⋅，解得212,a a m n c c -==． 将212(,)a a M c c -，即2222(,)a c ac c-代入双曲线的方程可得，2222222(2)41a c a a c c --=，化简得225c a =，即e ．当M 在第三象限时同理可得e =故选：C ． 12.答案：C解析：由()(6),(1)(1)g x g x g x g x =-+=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()()(2)g x g x g x =-=-， 令2t x =-，则()(4)g t g t =+，即()g x 为周期函数，且最小正周期为4． 对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =； 当[1,2)x ∈时，()1f x =； 当[2,3)x ∈时，()2f x =； 当[3,4)x ∈时，()3f x =； 当[4,5)x ∈时，()4f x =； …；当[1,0)x ∈-时，()1f x =； 当[2,1)x ∈--时，()2f x =； 当[3,2)x ∈--时，()3f x =； 当[4,3)x ∈--时，()4f x =； 当[5,4)x ∈--时，()5f x =；…综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()y f x =与函数()y g x =共有6个交点， 即方程()()g x f x =的根的个数为6． 故选：C ． 13.答案：23解析：21()2n x x -的展开式中第1r +项为321C ()(1)2r n r r r nnx --⋅⋅-⋅，再根据它为常数项， 可得320r n -=，求得23r n =， 故答案为：23． 14.答案：2解析：作出不等式组对应的平面区域如图： 11y z x +=+的几何意义为动点到定点(1,1)D --的斜率， 由图象可知当动点位于A 时，直线PA 的斜率最大， 解得(1,3)A 此时1312111y z x ++===++， 故答案为：2．15.答案：243π+π解析：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆，底面积00221π12ππ4S sin d πcos222π22πx x S x --==+=+⎰圆， 所以该柱体的体积为424()632π+⨯=π+ππ．故答案为：243π+π． 16.解析：由正弦定理可得：222bc a b c +=+，2221cos 22b c a A bc +-==∴，又(0,)A ∈π，3A π=∴， 由2BD DC =，可得：2BD DC =u u u r u u u r，1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r∴，两边平方，可得：22222222144142121124AD cos (2)(2)999999999923b c c b bc A c b bc c b bc c b +⎛⎫=++=++=+-≥+-= ⎪⎝⎭u u u r ，当且仅当22c b ==时取等号，所以可得min AD ．17.答案：（1）∵1321n n a a n +=+-11(1)(321)(1)3()3n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=∴∴①当1m =-时，10b =，故数列{}n b 不是等比数列；②当1m ≠-，数列{}n b 是等比数列，其首项为110b m =+≠，公比为3.（2）由（1）且当2m =时有：1333n n n n b a n -=+=⨯=，即3nn a n =-∴(1)(3)(1)n n nn a n -=---∴20202020(3)[1(3)][(12)(34)(20192020)]1(3)S -⨯--=--++-+++-+--L202120213334043101044-+-=-=.解析：18.答案：（1）证明：设1BC 与1B C 交于点E ，连接DE ，因为多面体11ABC DB C -是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，12BC CC ==， 所以四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥， 因为点D 为1AA 的中点，1111//,AA CC AA CC =，CD ∴1DB = 1DB CD =∴，E ∵为1B C 的中点，1B C DE ⊥∴，111,B C BC BC DE E ⊥=∵∩， 1B C ⊥∴平面1BC D ；（1）证明：取BC 的中点O ，连接AO ，ABC ∵△为正三角形，AO BC ⊥∴，由正棱柱的性质可得，平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ∩平面1BCC B BC =， AO ⊥∴平面11BCC B ，以O 为坐标原点，OB OE OA ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则1(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,1,3)B B C D -，1(1,1,3),(1,1,3),(2,2,0)CD BD B C ==-=--u u u r u u u r u u u u r． 设平面CBD 的一个法向量为(,,)n x y z =r．则3030n BD x y z n CD x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩r u u u rr u u u r ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ． 由（1）知，平面1BC D 的一个法向量为1(2,2,0)BC =--u u u u r，1|23|6cos ,222n B C ∴<>==⨯u u u ur r ，又因为二面角1C BD C --的平面角为锐角， 所以二面角1C BD C --的平面角的余弦值为6． 解析：19.答案：（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间[5,7)的频率为203011002+=． 记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X ，则1~(5,)2X B所以所求的概率0155551113(2)1(0)(1)11622P X P X P X C C ≥=-=-==-⨯⨯=． （2）①1(4.55 5.520 6.5307.5308.5109.55) 6.85100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 6.85μ=∴，又 1.44σ=，(3.978.29)(6.85 2.88 6.85 1.44)(2)P Z P Z P Z μσμσ∴<<=-<<+=-<<+1()[(22)()]0.81862P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=．故该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)的天数为10000.8186819⨯≈． ②易知1()()2P Z P Z μμ<=≥=．对应奖励方案一：设小张每日奖金金额为Y ，则Y 可能取值为70,90，其对应的概率均为12， 故11()70908022E Y =⨯+⨯=． 对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为Q ，则Q 的所有可能的取值为50100150200，，，． 121(50)233P Q ==⨯=， 111227(100)2323318P Q ==⨯+⨯⨯=； 121122(150)2339P Q C ==⨯⨯⨯=； 1111(200)23318P Q ==⨯⨯=． Q ∴的分布列为：721()50100150200100318918E Q ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．()()E Q E Y >Q ，从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利． 解析：20.答案：（1）过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1y xc b+=-，即0bx cy bc -+=．又该直线与圆O 相切，bc a ==， 又向量3,12c e b a ===∴． 22222222213114c a b b e a a a a -∴===-=-=，得24a =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由点'O 与原点O 关于直线l 对称，得2OAB S S =四边形OAO'B △，当直线l 的斜率不存在时，四边形'OAO B 不存在，不合题意； 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线:2l y kx =-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(14)16120k x kx +-+=． 当216(43)0k ∆=->，即234k >时， 1212221612,1414k x x x x k k +==++． 从而222121212||1||(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-224143k k +⋅-=．又点O 到直线AB 的距离21d k =+．2'8432||OABOAO B k S S AB d -==⋅=四边形△∴． 设243(0)k t t -=>，则'288244OAO B tS t t t==≤++四边形．当且仅当2t =，即7k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以四边形'OAO B 的面积的最大值为2． 解析：21.答案：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，函数()f x 恰有1个零点⇔方程()0f x =仅有一个正实数解， 由()0f x =，得ln 1x m x+=，设ln1()xg xx+=，则2ln'()xg xx-=，令'()0g x>得01x<<，令'()0g x<，得1x>，()g x∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x∴在1x=处取得唯一的极大值，即为最大值，故()g x的最大值为(1)1g=．当x趋近于0时，ln1x+趋近于-∞，所以()g x为负数，当x趋近于+∞时，x的增长速度大于ln1x+的增长速度，且当1x>时ln1xx+>，故()g x趋近于0，由图可知，当0m≤或者1m=时，方程()m g x=仅有一个实数解，m∴的取值范围为{|0m m≤或1}m=；（2）()xmx e f x a-≤+∵，ln1xx e a-≤-∴，设()ln xh x x e=-，1'()xh x ex=-∴又1'()xh x ex=-∵在(0,)+∞上为减函数，1'(1)10,'()202h e h e=-<=->，1'()xh x ex=-∴存在唯一的零点1(,1)2x∈，此时()h x在(0,)x上单调递增，在(,)x+∞上单调递减，且01'()0xh x ex=-=，001,lnxe x xx==-∴，由单调性知0max0001()()ln()xh x h x x e xx==-=-+，又1(,1)2x∈，故51()22xx-<-+<-，()x mx e f x a -≤+∴对任意正数x 恒成立时，12a -≥-， 1a ≥-∴，所以实数a 的最小整数值为-1． 解析：22.答案：（1）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=． 当0α=时，直线l 的方程为0y =，恰好经过圆C 的圆心， 故直线l 被圆C 所截得的弦长为圆的直径，等于4； （2）将1cos sin x t y t αα=-⎧⎨=⎩代入2240x y x +-=．得22cos 30t t α--=． 24cos 120α∆=+>．设A B ，对应的此时分别为12,t t ，则12122cos ,3t t t t α+==-， 可知12t t 异号．1212|||||||||||||||2cos |1PA PB t t t t α-=-=+==，得1cos 2α=±． 又0α≤<π，3απ=∴或3α2π=∴．解析：23.答案：（1）2,11()|21||1|3,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由()4f x ≤得，241x x -+≤⎧⎨<-⎩或34112x x -≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或2412x x -≤⎧⎪⎨>⎪⎩，21x -≤<-∴或112x -≤≤或162x <≤， 26x -≤≤∴，不等式的解集为：{|26}x x -≤≤．（2）()3|1||21||22||21(22)|3f x x x x x x ++=-++≥--+=， 当且仅当(21)(22)x x -+≤0，即112x -≤≤时取等号，3,1m a b =+=∴，41414()559b a a b a b a b a b⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当4b a a b =，即21,33a b ==时取等号，3341log log 92a b ⎛⎫∴+≥= ⎪⎝⎭．解析：。

考点45 立体几何中的向量方法1．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥ABC P -体积最大时，求二面角B AC P --的余弦值．【答案】（1）见证明；（2）3. 【解析】（1）证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB底面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥，面ABCD ，∴BC ⊥面PAB ， 又AP ⊂面PAB ， ∴AP BC ⊥，BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，∴BE AP ⊥，B BE BC = ，,BC BE ⊂平面PBC ，∴AP ⊥面PBC ，AP ⊂面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥ABC P -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值．令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥， ∴224x y +=，而221123323P ABCx y V xy -+=≤⨯=，当且仅当x y ==PA PB ==ABC P V -的最大值为23． 如图所示，分别取线段AB ，CD 中点O ，F ，连接OP ，OF ，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -． 由已知(0,1,0),(0,1,2),(1,0,0)A C P -，所以(1,1,0),(0,2,2)AP AC ==， 令(,,)n x y z =为面PAC 的一个法向量，则有0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，∴(1,1,1)n =-易知(1,0,0)m =为面ABC 的一个法向量， 二面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角则1cos 3n m n m θ⋅===⋅.2．（湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理）如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，平面PAC 垂直圆O 所在平面，直线PC 与圆O 所在平面所成角为60°，PA ⊥PC ．（1）证明：AP ⊥平面PBC（2）求二面角P —AB 一C 的余弦值 【答案】(1)见解析.(2) 721. 【解析】（1）由已知可知AC BC ⊥，又平面PAC ⊥平面圆O ，平面PAC 平面圆O AC =，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC PA ⊥， 又PA PC ⊥，PC BC C =，PC ⊂平面PBC ，D 平面PBC ，∴PA ⊥平面PBC .（2）法一：过P 作PH AC ⊥于H ，由于平面PAC ⊥平面O ，则PH ⊥平面O ，则PCH ∠为直线PC 与圆O 所在平面所成角，所以60PCH =︒. 过H 作HF AB ⊥于F ，连结PF ，则AB PF ⊥， 故PFH ∠为二面角P AB C --的平面角.由已知60ACP ABC ∠=∠=︒，30CAP CAB ∠=∠=︒，在Rt APC ∆中，sin30cos30sin30PH AP AC =⋅︒=⋅︒⋅︒19224==，由2AP AH AC =⋅得2AP AH AC ==Rt AFH ∆中，sin 30FH AH =︒=，故9tan3PHPFHHF∠===，故cos7PFH∠=，即二面角P AB C--的余弦值为721.法二：过P作PH AC⊥于H，则PH⊥平面O，过H作//HF CB交AB于F，以H为原点，HA、HF、HP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)H，4A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，4B⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，90,0,4P⎛⎫⎪⎝⎭，从而94AP⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，(AB=-，设平面PAB的法向量(,,)n x y z=，则9394333AP n x zABn x y⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩得zy⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1x=，从而(1,3,n=，而平面ABC的法向量为(0,0,1)m=，故3cos,7n mn mn m⋅<>===即二面角P AB C--的余弦值为721.3．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是菱形，且2PA AD ==，120PAD BAD ∠=∠=︒，E ，F 分别为PD ，BD 的中点，且2EF =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求锐二面角E AC D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连结AO ，BO ， 由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，∴在Rt △PAO 中，PO=PAsin ∠PAO=2sin60°=2×2∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO ，∴△PAO ≌△BAO ，∴∵E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF=2EF 是△PBD 的中位线，∴，∴PB 2=PO 2+BO 2，∴PO ⊥BO ，∵AD∩BO=O ，∴PO ⊥平面ABCD ，又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以O 为原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，1，0），P （0，0，B0，0），D （0，3，0），∴E （0，32，F302，），AE =（0，12，AF =12，0），易得平面ABCD 的一个法向量m =（0，0，1），设平面ACE 的法向量n =（x ，y ，z ），则1AE y z 02231AF x y 022n n ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取x=1，得n =（1，1），设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ=|cos ＜,m n ＞|=m nm n⋅⋅=，∴锐二面角E-AC-D．4．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，，平面，二面角为为中点．（1）求证：；（2）求与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：作SA中点F，连接EF∵E为SD中点∴∵∴∴得平行四边形∴∵平面∴为二面角的平面角∴∵∴∴∴（2）作AB中点O，由（1）知∵∴平面如图建立空间直角坐标系设，则∴设平面SCD 的法向量，得令 ，则∵∴∴∴AB 与平面所成角的余弦值为.5．（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =，90AFD ︒∠=，且二面角E AF D --与二面角C BE F --都是30.（1）证明：⊥AF 平面EFDC ；（2）求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）42. 【解析】 （1）面ABEF 为正方形∴ΑF FE ⊥又90AFD ∠=∴ΑF DF ⊥，而DF FE F ⋂=,DF ⊂面EFDC ,⊂EF 面EFDC∴ΑF ⊥面EFDC（2）⊂AF ABEF ，则由（1）知面EFDC ⊥平面ΑΒΕF ，过D 作DG ΕF ⊥，垂足为G ，∴DG ⊥平面ΑΒΕF ．以G 为坐标原点，GF uu u r的方向为x 轴正方向，GD 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（1）知DFE ∠为二面角E AF D --的平面角，故DFE 30∠=，又AF =，则2DF =，GF =AF =()B -，()E -，)F．由已知，//AB EF ，∴//AB 平面EFDC ．又平面ABCD平面EFDC DC =，故//AB CD ，//CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，∴C F ∠E 为二面角C BE F --的平面角，30C ΕF ∠=．∴()C -． ∴()3,0,1ΕC=，()ΕΒ=，()BF =-．设(),,n x y z =是平面ΒC Ε的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎨⋅EB =⎩，即00z +==⎪⎩，∴可取(1,0,n = .则43sin cos ,446BF n BF n BF nθ⋅=<>===⨯． ∴直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值为42 .6．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学（理）在五边形AEBCD 中，BC CD ⊥，C //D AB ，22AB CD BC ==，AE BE ⊥，AE BE =（如图）.将△ABE 沿AB 折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，线段AB 的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE ⊥平面DOE ；（2）求平面EAB 与平面ECD 所成的锐二面角的大小. 【答案】（1）见解析（2）45° 【解析】（1）由题意2AB CD =，O 是线段AB 的中点，则OB CD =.又//CD AB ，则四边形OBCD 为平行四边形，又BC CD ⊥，则AB OD ⊥， 因AE BE =，OB OA =，则EO AB ⊥.EO DO O =，则AB ⊥平面EOD.又AB Ì平面ABE ，故平面ABE ⊥平面EOD.（2）由（1）易知OB ，OD ，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OD ，OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， △EAB 为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC ， 则OA OB OD OE ===，取1CD BC ==，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0）， E （0，0，1），则1CD =-（，0,0)，011DE =-（，，）， 设平面ECD 的法向量为n x y z =（，，）， 则有取0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y z -=⎧⎨-+=⎩1z =，得平面ECD 的一个法向量011n =（，，）， 因OD ⊥平面ABE.则平面ABE 的一个法向量为010OD =（，，）， 设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则,cos cos OD n θ===因为0(0,90)θ∈，所以045θ=，故平面ECD 与平面ABE 所成的镜二面角为45°.7．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）如图，已知四棱锥中，四边形ABCD 为矩形，AB =2BC SC SD ===，BC SD ⊥.（1）求证：SC ⊥平面SAD ； （2）设12AE EB =，求平面SEC 与平面SBC 所成的二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2【解析】（1）证明： BC ⊥SD ，BC ⊥CD 则BC ⊥平面SDC, 又//BC AD 则AD ⊥平面SDC ，SC ⊂平面SDC SC ⊥AD又在△SDC 中，SC=SD=2, DC=AB SC 2+SD 2=DC 2则SC ⊥SD ，又SD AD D =所以 SC ⊥平面SAD（2）解：作SO⊥CD于O，因为BC⊥平面SDC, 所以平面ABCD⊥平面SDC，故SO⊥平面ABCD 以点O为原点，建立坐标系如图.则),C(0,0), A(2，,0),B(2,0)设E(2,y,0),因为12 AE EB=所以1),23y y y+=∴=-即E((2,3-,0)42=(0,2,-2),(2,-,0),=(2,0,0)SC CE CB==(,,),=(,b,c)SEC n x y z SBC m a设平面的法向量为平面的法向量为22=0·=0,·=02=03zSC nCE n x y⎧⎧⎪∴⇒⎨⎨-⎩⎪⎩令3z=，则3y=，23x==(22,3,3)n∴·=0·=0SC mCB m⎧∴⇒⎨⎩20a==⎪⎩，令1b=，则1c=，0a=8．（陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，AB⊥平面11BB C C，E是1CC的中点，1BC=，12BB=，160BCC∠=°.=(0,1,1)∴vmcos<,>=13||||∴u r ru r r gu r rm nm nm n（1）证明：1B E AE ⊥；（2）若AB =11A B E A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】解：（1）证明：连接1BC ，BE ， 因为在中，1BC =，112CC BB ==，160BCC ∠=°．所以1BC BC ⊥． 所以1112BE CC ==，因为1B E ==所以1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，且1B E ⊂平面11BB C C ， 所以1B E AB ⊥，AB BE B ⋂=， 所以1B E ⊥平面ABE ， 因为AE ⊂平面ABE ， 所以1B E AE ⊥．（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(A，()1B -，12E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(1A -，所以13,2B E ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1AB =-，13,2A E ⎛= ⎝，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =r，设平面11A B E 的法向量为(),,m a b c =，则1100{{y B E n AB n x -=⋅=⇒⋅=+=，取(1,3,n =，则1100{{30y B E m A m a E -=⋅=⇒⋅=-=，取()1,3,0m =．所以cos ,26m n n m m n ⋅〈〉===⋅⨯，即二面角11A B E A --． 9．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，，是的中点.（1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）因为是等边三角形，是的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以，又因为，，所以平面.所以.又因为，所以.又且，平面，所以平面.所以.（2）由（1）得平面.所以就是直线与平面所成角.因为直线与平面所成角的正弦值为，即，所以.所以，解得.则.由（1）得，，两两垂直，所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，所以，.令平面的法向量为，则由得解得令，可得平面的一个法向量为；易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.10．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点（I ）求证：平面； （II ）求二面角的正弦值；（III ）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求的长。