福建省漳州市高二下学期期末联考试题文科数学

芗城中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学（文）试题一、选择题（共12小题，每题5分，合计60分）1．已知集合{}12<<-=x x A ，{}2-≤=x B ，则=⋃B A （ ）A ．{}1|<x x B ．{}2|-≥x x C ．{}1|≥x x D ．∅ 2．已知函数x x x f ln )(+=，则)1('f 的值为（ ）A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 3．设R x ∈，则“1=x ”是“x x =3”的（ ）条件A ．充分不必要 B ．必要不充 C ．充要 D ．既不充分也不必要 4．下列函数中，与函数y x=有相同定义域的是（ ）A ．()||f x x = B ．1()f x x=C ．()ln f x x =D ．()x f x e =5．函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与函数2xy =-的图象关于（ ）A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．直线y x =对称 D ．原点对称6．函数)6(log )(231-+=x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．),21[+∞-B ．)3,(--∞C ．)21,(--∞D ． )2,21[-7．设12log 5a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<8．设a b <，函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ ）9.在一次实验中，采集到如下一组数据：则,x y 的函数关系与下列（ ）类函数最接近（其中,a b 为待定系数） A ．y a bx =+ B .xy a b =+ C.2y ax b =+ D.b y a x=+10. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是( )11．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)1()1(x f x f+=-，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是（ ）Ａ．c b a >> Ｂ．b c a >> Ｃ．ac b >> Ｄ．a b c >>12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(|||ln |)(x x x x f ，则方程0)()(2=-x f x f 的不相等的实根个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题（共4题，每小题5分，合计20分）13．命题“R x ∈∃使0122<++x x ”的否定是 14．函数|1|)(2-+=x x x f 的最小值为15．集合}|{m x x A <=,}023|{2<+-=x x x B ,且A B ⊆，则实数m 的取值范围是 16．某同学在研究函数()()1||xf x x R x =∈+ 时，分别给出下面几个结论：①等式()()0f x f x -+=对x R ∈恒成立； ②函数()f x 的值域为(1,1)-；侧视图俯视图③若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； ④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有_______（请将你认为正确的结论的序号都填上） 三、解答题（共5题，每题14分，合计70分）17．若集合2{|280}A x x x =--<，{|0}B x x m =-< （1）若3m =，全集U A B =U ,求U C B （2）若A B φ=I ，求实数m 的取值范围 （3）若A B A =I ，求实数m 的取值范围18．已知命题:p 不等式a x >-|1|的解集为Ｒ；命题q ：xax f -=1)(在区间),0(+∞上是增函数．若命题“q p ∨”为假命题，求实数a 的取值范围．19. 已知函数42)(2-+-=tx x x f 在闭区间]1,0[上的最大值记为)(t g （1）请写出)(t g 的表达式并画出)(t g 的草图；（2）若[0,3]t ∀∈, ()g t m ≤恒成立,求m 的取值范围.20. 已知函数1)2(232)(23+-+-=x a x x x f ，其中R a ∈。

2019-2020学年下学期高二年四校第一次联考数学（文科）试卷（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，，，则A. 0，1，2，B. 0，1，C. 2，D.2.已知命题：“如果，那么”，命题：“如果，那么”，则命题是命题的A. 否命题B. 逆命题C. 逆否命题D. 否定形式3.若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为A. B. C. D.4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5.已知函数由以下表给出，若，则1234121A. 4B. 3C. 2D. 16.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能共享经济是公众将闲置资通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是A. B. C.D.7.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下：甲乙丙丁平均环数8方差则参加奥运会的最佳人选是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.函数，满足的的取值范围A. B.C. 或D. 或9.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A. B. C. 2 D. 110.函数的图象大致是A. B.C. D.11.如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是12.A. 在区间上是增函数B. 在上是减函数C. 在上是增函数D. 当时，取极大值13.最近，国家统计局公布：2015年我国经济增速为，创近25年新低在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年这种产品的总产量C与时间年的函数关系图初步了解到：某工厂6年生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）14.命题：“，”的否定为______ ．15.计算：______是虚数单位16.计算：______．17.已知函数恰有一个零点在区间内，则实数的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）18.已知幂函数的图象与轴和y轴都无交点．19.求的解析式；20.解不等式．21.22.设集合，集合．23.当时，求及；24.若是的充分条件，求实数a的取值范围．25.26.某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的1000名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取45名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学生课余参加体育锻炼时间的情况分三类：A类课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时，B类课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过3小时，C 类课余不参加体育锻炼，调查结果如表：A类B类C类男生 18 3女生 10 8y求出表中、y的值；根据表格统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关；男生女生总计A类B类和C类总计在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选取三人中男女都有且男生比女生多的概率．附：20.据某市地产数据研究显示，该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价万元平方米与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于的回归方程；若政府不调控，依此相关关系预测帝12月份该市新建住宅销售均价．参考数据：，，；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．21.已知函数在与时都取得极值Ⅰ求a，b的值与函数的单调区间Ⅱ若对，不等式恒成立，求c的取值范围．选做题（第22.23题任选一题进行解答）22.设函数．求不等式的解集；，恒成立，求实数t的取值范围．23.在平面直角坐标系Oy中，己知曲线的参数方程为为参数，以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求曲线的普通方程；极坐标方程为的直线l与交P，Q 两点，求线段PQ的长．答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. C5. B6. D7. C8. D9. D 10. A 11. C 12. A13. ∀∈R，^2-a+1≥014. -i15. 5/416. (2,3)17. 解：(1)由已知f()是幂函数，由m^3-m+1=1，解得：m∈{0,±1}，又f()的图象与轴和y轴都无交点，经检验m=1，此时f()=^(-4)，(2)f()=^(-4)是偶函数且在(0,+∞)递减，所以要使得f(+1)>f(-2)只需|+1|<|-2|，解得：<1/2，又f()的定义域为{|≠0}，所以≠-1且≠2，综上，不等式的解集为{|<1/2,≠-1}．18. 解：(1)N={|^2-2-3≤0}={|-1≤≤3}，当a=1时，M={|-a<<a+1,a∈R}={|-1<<2}，∴M∪N={|-1≤≤3}∪{|-1<<2}={-1≤≤3}，N∩∁_R M={|=-1或2≤≤3}；(2)∵N={|-1≤≤3}，M={|-a<<a+1,a∈R}，若∈M是∈N的充分条件，则M⊆N，若M=⌀，即-a≥a+1，即a≤-1/2时，满足条件．若M≠⌀，要使M⊆N，则{■(-a<a+1@-a≥-1@a+1≤3)┤，即{■(a>-1/2@a≤1@a≤2)┤，∴-1/2<a≤1，综上：a≤1．19. 解：(1)由题意，(21+)/(18+y)=5/4，21++18+y=45，∴=4，y=2；(2)列联表男生女生总计A类18 10 28B类和C类7 10 17总计25 20 45∴^2=(45(180-70)^2)/(25×20×28×17)≈2.288> 2.706，∴有90%的把握认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关；(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，有C_5^3=10种情况，选取三人中男女都有且男生比女生多，有C_3^2 C_2^1=6种情况，故所求概率为6/10=0.6．20. 解：解：(1)由题意，得出下表；月份 3 4 5 6 7均价y 0.95 0.98 1.11 1.12 1.20计算┴.=1/5×∑_(i=1)^5▒_i =5，y┴.=1/5×∑_(i=1)^5▒y_i =1.072，∑_(i=1)^5▒( _i-┴.)(y_i-y ┴.)=0.64，∴b┴∧=(∑_(i=1)^n▒( _i-┴)(y_i-y┴))/(∑_(i=1)^n▒( _i-┴)^2 )=0.64/((3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2 )=0.064，a┴∧=y┴.-b┴∧┴.=1.072-0.064×5=0.752，∴从3月到6月，y关于的回归方程为y┴∧=0.064+0.752；(2)利用(1)中回归方程，计算=12时，y┴∧=0.064×12+0.752=1.52；即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．21. 解：(Ⅰ)f'()=3^2+2a+b，∵函数在=1，=-2时都取得极值，∴1，-2是3^2+2a+b=0的两个根，1-2=-2/3 a，-2=b/3，∴a=3/2，b=-6，∴f()=^3+3/2 ^2-6+c，f'()=3^2+3-6=3(+2)(-1)，令f'()>0，解得：>1或<-2，令f'()<0，解得：-2<<1，∴f()在(-∞,-2)递增，(-2,1)递减，(1,+∞)递增；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：f()在[-1,1)递减，在(1,2]递增，∴f()_ma=f(-1)=13/2+c<c^2，解得：c>2或c<-1．22. 解：(1)函数f()=|2+2|-|-2|={■(--4,<-1@3,-1≤<2@+4,≥2)┤，当<-1时，不等式即--4>2，求得<-6，∴<-6．当-1≤<2时，不等式即3>2，求得>2/3，∴2/3<<2．当≥2时，不等式即+4>2，求得>-2，∴≥2．综上所述，不等式的解集为{|>2/3或<-6}．(2)由以上可得f()的最小值为f(-1)=-3，若∀∈R，f()≥t^2-7/2 t恒成立，只要-3≥t^2-7/2 t，即2t^2-7t+6≤0，求得3/2≤t≤2．23. 解：(I)曲线C_1的参数方程为{■(〖y=2sinθ〗┴(=1+2cosθ) )┤(θ为参数)，可得cosθ=(-1)/2，sinθ=y/2，∵sin^2 θ+cos^2 θ=1可得：(-1)^2+y^2=4即曲线C_1的普通方程为：(-1)^2+y^2=4．(II)将2ρsin(θ+π/3)=3√3的直线l化为普通方程可得：2ρsinθcos π/3+2ρcosθsin π/3=3√3，即y+√3 =3√3．∵直线l与C_1交P，Q两点，曲线C_1的圆心(1,0)，半径r=2．圆心到直线l的距离d=(|√3-3√3|)/√(1+3)=√3∴线段PQ的长=2√(r^2-d^2 )=2√(4-3)=2．。

2023-2024学年福建省泉州、漳州市部分中学高二下学期期末联合检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)，P(X <3)=0.7，则P(1<X <2)=( )A. 0.2B. 0.3C. 0.6D. 0.72.已知函数f(x)=x cos x−sin x ，则f′(π2)的值为( )A. 1B. π2C. 0D. −π23.在研究线性回归模型时，样本数据(1,52)，(2,2)，(3,32)，(7,−12)，…，(20,−7)所对应的点均在直线y =bx +3上，用r 表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则r =( )A. −1B. −12C. 1D. 34.随机变量X 的分布列如下：X −212Pa13b若E(X)=1，则D(X)=( )A. 0B. 2C. 3D. 45.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个互动节目，现将这2个互动节目插入节目单中，要求互动节目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相邻，那么不同的插法种数为( )A. 6B. 10C. 12D. 206.某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天选择B 餐厅就餐的概率是13，若第1天选择A 餐厅，则第2天选择A 餐厅的概率为45；若第1天选择B 餐厅就餐，则第2天选择A 餐厅的概率为35；已知王同学第2天是去A 餐厅就餐，则第1天去A 餐厅就餐的概率为( )A. 311B. 811C. 15D. 137.某人在n 次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B(n,p)，其中n ∈N ∗，0<p <1，击中偶数次为事件A ，则( )A. 当p =12时，D(X)取得最小值B. 若n =3，12≤p <1，则P (X ≥32)的取值范围是(18,12]C. 若n =20，p =0.8，当P(X =k)取最大值时，则k =15D. 当0<p <12时，P(A)随着n 的增大而减小8.已知函数f(x)=e x +ax ln x−ax 2+e 2x ，若f(x)≥0，则实数a 的最大值为( )A. 1B. 2e−1C. 2eD. e 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

2022年福建省漳州市菜埔中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．参考答案：B【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．【解答】解：S△ABC===．故选B．【点评】本题考查了三角形面积公式S△ABC=，属于基础题．2. 已知M（－3，0），N（3，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹是：（）A、双曲线B、双曲线左支C、双曲线右支D、一条射线参考答案：C3. 圆C1: x 2 + y 2－4x + 6y = 0 与圆C2: x 2 + y 2－6x = 0 的交点为A、B，则AB的垂直平分线方程为( )A. x + y + 3 = 0B. 2x －5y －5= 0C. 3x －y －9 = 0D. 4x －3y + 7 = 0参考答案：C 略4. 已知复数,则的值为( )A. B.1 C. D.参考答案：B5. 某产品的销售收入（万元）关于产量x（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量x（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品( )A. 9千台B. 8千台C. 7千台D. 6千台参考答案：B【分析】根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。

【详解】设利润为y万元，则，，令，得，令，得，∴当时，y取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.【点睛】本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。

6. 命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是( )A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0参考答案：D【考点】四种命题．【专题】常规题型．【分析】若原命题是“若p，则q”，则逆否命题是“若非q，则非p”也就是将命题的条件与结论都否定，再进行互换．由此分别将“a2+b2=0”、“a=0且b=0”否定，得到否命题，再将其改成逆命题，就不难得出正确答案．【解答】解：∵原命题是若a2+b2=0，则“a=0且b=0”∴否命题是“若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0”从而得到逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”故选D【点评】本题考查了原命题与逆否命题之间的关系，属于基础题．解题时应该注意含有逻辑词的条件的否定：“p且q”的否定是“非p或非q”．7. 直线xsinθ+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[0, ]∪[，π）D．[0, ]∪，π]参考答案：C【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值范围．【解答】解：∵直线xsinθ+y+2=0，∴y=﹣x﹣，∴直线的斜率k=﹣．又∵xsinθ+y+2=0倾斜角为α，∴tanα=﹣．∵﹣1≤﹣sinθ≤1，∴﹣≤﹣≤．∴﹣≤tanα≤．∴α∈[0, ]∪[，π）．故选：C．【点评】熟练掌握直线的斜率和三角函数的单调性即值域是解题的关键，基本知识的考查．8. 命题“对任意的”的否定是( )A.不存在B.存在C.存在D.对任意的参考答案：C9. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A．34种 B．48种 C．96种 D．144种参考答案：C略10. 定义运算?=，如?=．已知α+β=π，α﹣β=，则?=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】二阶矩阵；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】根据新定义化简所求的式子，然后分别利用两角和的正弦函数公式及两角差的余弦函数公式化简后，把已知的α+β=π，代入即可求出值．【解答】解：由α+β=π，，根据新定义得：====故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出以下四个问题：①输入一个数x，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数f(x)＝的函数值．其中需要用选择结构来描述算法的有________个．参考答案：312. 设复数（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a=_______.参考答案：－8【分析】将化为的形式，根据为纯虚数，求得实数的值.【详解】依题意为纯虚数，故，解得. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题. 13. 设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．参考答案：(x-1)2+y2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14. 已知，，，则=。

2022-2023学年福建省漳州市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列求导运算正确的是（ ） A ．（sin x ）'＝﹣cos x B ．(1x)′=lnx C ．（a x ）'＝xa x ﹣1D ．(√x)′=12√x2．已知事件A 、B ，设B ⊆A ，且P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.42，则P （B |A ）的值是（ ） A ．0.294B ．0.42C ．0.6D ．13．根据分类变量X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于99.5%的把握认为X 和Y 有关，则χ2的一个可能取值为（ ）A ．3.971B ．5.872C ．6.775D ．9.6984．已知空间向量a →=(1，−3，2)，b →=(1，1，t)，若a →⊥b →，则|a →−2b →|=（ ） A ．5B ．√17C ．√26D ．√14−2√35．若x ＝a 为函数f （x ）＝（x ﹣a ）2（x ﹣b ）的极大值点，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．ab ＞0D ．ab ＜06．对于集合A ＝{θ1，θ2，…，θn }和常数θ0，定义：μ=1n ∑ n i=1tan 2(θi −θ0)为集合A 相对θ0的“正切方差”．若集合A ={π3，5π12，5π6}，θ0=π12，则μ＝（ ） A ．23B ．1C ．53D ．27．若a ＝e 0.3，b ＝1.3，c ＝ln 3.3，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b8．某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且X ～B （n ，0.7），记P k ＝P （X ＝k ），k ＝0，1，2，⋯，n ，若P 7是唯一的最大值，则E （X ）的值为（ ） A ．7B ．7.7C ．8.4D ．9.1二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的是（ ）A．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强B．利用χ2进行独立性检验时，χ2的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系C．线性回归直线方程y=b x+a至少经过样本点数据中的一个点D．用模型y＝ae bx+c拟合一组数据时，设z＝ln（y﹣c），得到回归方程z＝0.8x+3，则a＝e310．已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象如图，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A．事件B与事件C是互斥事件B．事件A与事件B是相互独立事件C．P(A)P(B)P(C)=1D．P(ABC)=14812．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，G为线段B1C上的动点，则下列说法正确的是（）A ．三棱锥A 1﹣EFG 的体积为定值B ．存在点G ，使得B 1D ⊥平面EFGC ．当点G 与点B 1重合时，线段EG 长度最短D ．设直线FG 与平面BCC 1B 1所成角为θ，则cos θ的最小值为13三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X ～N （2，σ2），且P （X ＞3）＝0.3，则P （1＜X ＜2）＝ ．14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在甲手中的概率为 ．15．已知函数f （x ）（x ∈R ）的导函数为f '（x ），若2f （x ）+f '（x ）＞0，且f （0）＝2023，则不等式f （x ）﹣2023e﹣2x＞0的解集为 ．16．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“翁中捉鳖”之势．如图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体，AA 1⊥平面ABCD ，AA 1＝3，AB ̂=2CD ̂=2π，E 为A 1B 1̂的中点，则直线CE 与平面DEB 1所成角的正弦值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面是正方形，AD ＝AB ＝2，AA 1＝1，∠A 1AB ＝∠DAA 1＝60°，A 1C 1→=3NC 1→，D 1B →=2MB →，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）试用a →、b →、c →表示AN →； （2）求MN 的长度．18．（12分）某有限公司通过技术革新和能力提升，每月售出的产品数量不断增加，下表为该公司今年1～4月份售出的产品数量．（1）试根据样本相关系数r 的值判断售出的产品数量y （万件）与月份x 线性相关性强弱（若0.8＜|r |≤1，则认为变量x 和变量y 高度线性相关）（结果保留两位小数）； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司5月份售出的产品数量． 参考公式：r =∑(x i −x)ni=1(y −y)√∑ i=1(x i −x)2√∑ i=1(y i −y)2b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ，√2≈1.414．19．（12分）已知函数f （x ）＝1−ax ，g （x ）＝lnx ．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线与曲线y ＝g （x ）在点（1，0）处的切线平行，求实数a 的值；（2）若函数y ＝f （x ）的图象与y ＝g （x ）的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．20．（12分）如图所示的几何体中，平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝2，PQ ∥DC ，PQ ＝DC ＝1． （1）求证：PD ∥平面QBC ；（2）线段QB 上是否存在点M 满足QM →=λQB →(0≤λ≤1)，使得AM ⊥平面QBC ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得m （0＜m ≤100，m ∈N ）分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得n （0＜n ≤100，n ∈N ）分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A 类问题的概率为p 1，能正确回答B 类问题的概率为p 2，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若学生甲先回答A 类问题，m ＝20，n ＝80，p 1＝0.8，p 2＝0.6，记X 为学生甲的累计得分，求X 的分布列和数学期望．（2）从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①m＝n，p1＞p2；②p1＝p2，m＞n．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2﹣alnx．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求证：当0＜a＜1时，f（x）＞0．2022-2023学年福建省漳州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列求导运算正确的是（ ） A ．（sin x ）'＝﹣cos x B ．(1x )′=lnx C ．（a x ）'＝xa x ﹣1D ．(√x)′=12√x解：(sinx)′=cosx ，(1x )′=−1x2，（a x ）′＝a x lna ，(√x)′=(x 12)′=12x −12=12√x ．故选：D ．2．已知事件A 、B ，设B ⊆A ，且P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.42，则P （B |A ）的值是（ ） A ．0.294B ．0.42C ．0.6D ．1解：∵B ⊆A ，∴P(AB)=P(B)=0.42，则P(B|A)=P(AB)P(A)=0.420.7=0.6． 故答案为：C ．3．根据分类变量X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于99.5%的把握认为X 和Y 有关，则χ2的一个可能取值为（ ）A ．3.971B ．5.872C ．6.775D ．9.698解：若要有不少于99.5%的把握认为X 和Y 有关，则K ²＞7.879，则只有D 选项符合题意， 故选：D ．4．已知空间向量a →=(1，−3，2)，b →=(1，1，t)，若a →⊥b →，则|a →−2b →|=（ ） A ．5B ．√17C ．√26D ．√14−2√3解：由向量a →⊥b →，可得a →⋅b →=1×1+（﹣3）×1+2t ＝0，解得t ＝1，即b →=(1，1，1)， 可得a →−2b →=（1，﹣3，2）﹣2（1，1，1）＝（﹣1，﹣5，0）， ∴|a →−2b →|=√(−1)2+(−5)2+02=√26． 故选：C ．5．若x ＝a 为函数f （x ）＝（x ﹣a ）2（x ﹣b ）的极大值点，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．ab ＞0D ．ab ＜0解：f ′（x ）＝2（x ﹣a ）（x ﹣b ）+（x ﹣a ）2＝（x ﹣a ）（3x ﹣2b ﹣a ）， 令f ′（x ）＝0得x ＝a 或x =2b+a3， ①当a ＜2b+a3，即a ＜b 时， 在（﹣∞，a ）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 在（a ，2b+a 3）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，在（2b+a 3，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以在x ＝a 处f （x ）取得极大值，符合题意， ②当a ＞2b+a3，即a ＞b 时， 在（﹣∞，2b+a 3）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（2b+a 3，a ）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，在（a ，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以在x =2b+a3处f （x ）取得极大值，不符合题意， ③当a =2b+a3，即a ＝b 时，f ′（x ）≥0，f （x ）单调递增，无极大值点． 故选：B ．6．对于集合A ＝{θ1，θ2，…，θn }和常数θ0，定义：μ=1n∑ n i=1tan 2(θi −θ0)为集合A 相对θ0的“正切方差”．若集合A ={π3，5π12，5π6}，θ0=π12，则μ＝（ ） A ．23B ．1C ．53D ．2解：由题意可知μ=13[tan 2(π3−π12)+tan 2(5π12−π12)+tan 2(5π6−π12)]=13×（1+3+1）=53． 故选：C ．7．若a ＝e 0.3，b ＝1.3，c ＝ln 3.3，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解：令f （x ）＝e x ﹣（1+x ），当x ＞0，f ′（x ）＝e x ﹣1＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）＞f （0）＝0， 又a ﹣b ＝e 0.3﹣（1+0.3）＞0，即e 0.3＞1.3，所以a ＞b ， 令g （x ）＝x ﹣ln （1+x ），当﹣1＜x ≤0，g ′（x ）＝1−11+x ≤0，g （x ）单调递减，当x ＞0，g ′（x ）＝1−11+x＞0，g （x ）单调递增， 所以g （x ）≥g （0）＝0， 又b ﹣c ＝0.3﹣ln 3.3e=0.3﹣ln （1+（3.3e−1）），由于3.3e−1＜3.32.7−1＜0.3，所以b ﹣c ＞0.3﹣ln （1+0.3）＞0，所以b ＞c ，故a ＞b ＞c ． 故选：A ．8．某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且X ～B （n ，0.7），记P k ＝P （X ＝k ），k ＝0，1，2，⋯，n ，若P 7是唯一的最大值，则E （X ）的值为（ ） A ．7B ．7.7C ．8.4D ．9.1解：根据题意，X ～B （n ，0.7）， 若P 7是唯一的最大值，则{C n 7(0.7)7(0.3)n−7＞C n 6(0.7)6(0.3)n−6C n 7(0.7)7(0.3)n−7＞C n 8(0.7)8(0.3)n−8，变形可得{C n 7×7＞C n 6×3C n 7×3＞C n 8×7，解可得：9＜n ＜737，又由n ∈N *，则n ＝10，故E （X ）＝10×0.7＝7． 故选：A ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的是（ ）A ．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强B ．利用χ2进行独立性检验时，χ2的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系C ．线性回归直线方程y =b x +a 至少经过样本点数据中的一个点D ．用模型y ＝ae bx +c 拟合一组数据时，设z ＝ln （y ﹣c ），得到回归方程z ＝0.8x +3，则a ＝e 3解：对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，相关系数的绝对值越小，相关性越弱，故A 错误；利用χ2进行独立性检验时，χ2的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系，故B 正确； 线性回归直线方程y =b x +a 可能不经过样本点数据中的任何一个点，故C 错误； 由z ＝0.8x +3，得ln （y ﹣c ）＝0.8x +3，则y ＝e 0.8x +3+c ＝e 3e 0.8x +c ， 又y ＝ae bx +c ，∴a ＝e 3，故D 正确．故选：BD．10．已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象如图，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f（x）的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC，故选：D．11．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A．事件B与事件C是互斥事件B．事件A与事件B是相互独立事件C．P(A)P(B)P(C)=18D．P(ABC)=14解：根据题意，依次分析选项：对于A，事件B与C可能同时发生，两个事件不是互斥事件，A错误；对于B，P（B）=12，P（C）=12，而A＝BC+BC，则P（A）＝P（BC+BC）=12×12+12×12=12，P（AB）＝P（BC）=12×12=14，故有P（AB）＝P（A）P（B），事件A与事件B是相互独立事件，B正确；对于C ，P （A ）=12，P （B ）=12，P （C ）=12，则P （A ）P （B ）P （C ）=18，C 正确； 对于D ，P （ABC ）＝P （BC ）=12×12=14，D 正确． 故选：BCD ．12．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱A 1D 1，AA 1的中点，G 为线段B 1C 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥A 1﹣EFG 的体积为定值B ．存在点G ，使得B 1D ⊥平面EFGC ．当点G 与点B 1重合时，线段EG 长度最短D ．设直线FG 与平面BCC 1B 1所成角为θ，则cos θ的最小值为13解：如图，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．则D （0，0，0），A （2，0，0），A 1（2，0，2），F （2，0，1），D 1（0，0，2），E （1，0，2），C （0，2，0），B 1（2，2，2）， B （2，2，0），C 1（0，2，2）．对选项A ：由正方体以及面面平行的性质可得，B 1C ∥平面A 1EF ，线段B 1C 上的G 到面A 1EF 距离为A 1B 1，故S △A 1EF =12×1×1=12，V G−A 1EF =13×S △A 1EF ×A 1B 1=13×12×2=13． 则V A 1−EFG =V G−A 1EF =13为定值，故A 正确；对选项B ：若存在点G ，使B 1D ⊥平面EFG ，设B 1G →=λB 1C →（0≤λ≤1），B 1D →=(−2，−2，−2)，EF →=(1，0，−1)，B 1C →=(−2，0，−2)，EB 1→=(1，2，0)， 则EG →=EB 1→+B 1G →=(1，2，0)+λ(−2，0，−2)=(1−2λ，2，−2λ)． B 1D →⋅EG →=8λ−6=0，λ=34，B 1D →⋅EF →=−2+2=0， 故B 1D ⊥EF ，又由EF ∩EG ＝E ，EF ，EG ⊂平面EFG ，故B 1D ⊥平面EFG ， 存在点G 满足要求，故B 正确；对选项C ：显然，当EG ⊥B 1C 时，线段EG 长度最短， 设B 1G →=λB 1C →时，EG ⊥B 1C ，因为B 1C →=(−2，0，−2)，则B 1G →=(−2λ，0，−2λ)， 则G （2﹣2λ，2，2﹣2λ），所以EG →=(1−2λ，2，−2λ)， 由EG ⊥B 1C ，可得﹣2（1﹣2λ）+4λ＝0，解得λ=14， 即当B 1G →=14B 1C →时，线段EG 长度最短，故C 错误；对选项D ：过F 作FF ′⊥BB 1，垂足为F ′，则FF ′⊥平面BCC 1B 1， 则∠FGF ′即为所求线面角，当FG ⊥B 1C 时，所求角最大，此时cos θ最小，F ′G =√22，FG =√12+4=3√22，cosθ=√223√22=13，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X ～N （2，σ2），且P （X ＞3）＝0.3，则P （1＜X ＜2）＝ 0.2 ． 解：P （1＜X ＜2）＝P （2＜X ＜3）＝0.5﹣P （X ＞3）＝0.2． 故答案为：0.2．14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在甲手中的概率为 38．解：A n 表示事件“经n 次传球后，球在甲的手中”． 设n 次传球后球在甲手中的概率为p n ，n ＝1，2，3，…，n ．则有p 1＝0，A n +1=A n ⋅A n+1+A n •A n +1．所以p n +1＝P （A n ⋅A n+1+A n •A n +1）＝P （A n ⋅A n+1）+P （A n •A n +1）＝P （A n ）P （A n +1|A n ）+P （A n ）P （A n +1|A n ）＝（1﹣p n ）⋅12+p n •0． 即p n +1=−12p n +12，n ＝1，2，3，..． 所以p n +1−13=−12(p n −13)，且p 1−13=−13．所以数{p n −13}表示以−13为首项，−12为公比的等比数列．所以p n −13=−13×(−12)n−1，所以p n =−13×(−12)n−1+13=13[1+（﹣1）n ⋅12n−1]．故4次传球后球在甲手中的概率是p 4=13[1+（﹣1）4×123]=38． 故答案为：38．15．已知函数f （x ）（x ∈R ）的导函数为f '（x ），若2f （x ）+f '（x ）＞0，且f （0）＝2023，则不等式f （x ）﹣2023e﹣2x＞0的解集为 （0，+∞） ．解：令g （x ）＝e 2x f （x ），则g '（x ）＝e 2x [2f （x ）+f '（x ）]， ∵2f （x ）+f ′（x ）＞0，∴g '（x ）＞0，即g （x ）在R 上单调递增， ∵f （0）＝2023， ∴f （x ）﹣2023e ﹣2x＞0可等价于e 2x f （x ）＞2023＝e 0f （0），即g （x ）＞g （0），∴x ＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）．16．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“翁中捉鳖”之势．如图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体，AA 1⊥平面ABCD ，AA 1＝3，AB ̂=2CD ̂=2π，E 为A 1B 1̂的中点，则直线CE 与平面DEB 1所成角的正弦值为√4221．解：设AB̂所在圆的半径为R ，则2πR 2=2π，则R ＝2，AB ＝2R ＝4，设CD̂所在圆的半径为r ，则2πr 2=π，则r ＝1，CD ＝2r ＝2，因为AA 1⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则AA 1⊥AB ，由题意可以以点A 为原点，AB 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴， 平面ABCD 内垂直于AB 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如下图所示，则A （0，0，0），B （0，4，0），C （0，3，0），D （0，1，0），A 1（0，0，3）， B 1（0，4，3），C 1（0，3，3），D 1（0，1，3）， 又E 为A 1B 1̂的中点，则E （2，2，3）， 则B 1E →=(2，−2，0)，B 1D →=(0，−3，−3)，CE →=(2，−1，3)， 设平面DEB 1的法向量n →=(x ，y ，z)， 则{B 1E →⋅n →=2x −2y =0B 1D →⋅n →=−3y −3z =0， 令x ＝1，则y ＝1，z ＝﹣1，则n →=(1，1，−1)， 设直线CE 与平面DEB 1所成角为θ， 则sinθ=|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →||n →|=214×3=√4221，故答案为：√4221． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面是正方形，AD ＝AB ＝2，AA 1＝1，∠A 1AB ＝∠DAA 1＝60°，A 1C 1→=3NC 1→，D 1B →=2MB →，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）试用a →、b →、c →表示AN →； （2）求MN 的长度．解：（1）AN →=AC →+CC 1→+C 1N →=AB →+AD →+AA 1→−13A 1C 1→=AB →+AD →+AA 1→−13（AB →+AD →）=23AB →+23AD →+AA 1→ =23a →+23b →+c →；（2）∵D 1B →=2MB →，∴M 是线段D 1B 的中点， ∴A 、M 、C 1三点共线，且M 是线段AC 1的中点，∴AM →=12AC 1→=12（a →+b →+c →），∴MN →=AN →−AM →=（23a →+23b →+c →）−12（a →+b →+c →）=16a →+16b →+12c →，∵|a →|＝2，|b →|＝2，|c →|＝1，a →•b →=0，a →•c →=2×1×cos60°＝1，b →•c →=2×1×cos60°＝1，∴|MN →|=√(16a →+16b →+12c →)2=√136a →2+136b →2+14c →2+16a →⋅c →+16b →⋅c →+118a →⋅b →=√19+19+14+16+16+0=√296． 即MN 的长度为√296． 18．（12分）某有限公司通过技术革新和能力提升，每月售出的产品数量不断增加，下表为该公司今年1～4月份售出的产品数量．（1）试根据样本相关系数r 的值判断售出的产品数量y （万件）与月份x 线性相关性强弱（若0.8＜|r |≤1，则认为变量x 和变量y 高度线性相关）（结果保留两位小数）； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司5月份售出的产品数量．参考公式：r=∑(x i−x)ni=1(y−y)√∑i=1(x i−x)2√∑i=1(y i−y)2b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x，√2≈1.414．解：（1）x=1+2+3+44=2.5，y=6.1+6.3+6.7+6.94=6.5，∑4i=1(x i−x)(y i−y)=（﹣1.5）×（﹣0.4）+（﹣0.5）×（﹣0.2）+0.5×0.2+1.5×0.4＝1.4，∑4i=1(x i−x)2=（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52＝5，∑4i=1(y i−y)2=（﹣0.4）2+（﹣0.2）2+0.22+0.42＝0.4，所以r=∑4i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)2√∑i=1(y i−y)2=√5×√0.4=2≈1.41.414≈0.99＞0.8，订单数量y与月份x的线性相关性较强；（2）∵b=∑4i=1(x i−x)(y i−y)∑4i=1(x i−x)2=1.45=0.28，a=y−b x=6.5﹣0.28×2.5＝5.8，所以线性回归方程为y=0.28x+5.8，令x＝5，y=0.28×5+5.8＝7.2（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为7.2万件．19．（12分）已知函数f（x）＝1−ax，g（x）＝lnx．（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，0）处的切线平行，求实数a的值；（2）若函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．解：（1）已知f（x）＝1−ax，函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），可得f′（x）=ax2，此时f′（2）=a 4，又f（2）＝1−a 2，所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣（1−a2）=a4（x﹣2），即y=a4x﹣a+1，又g（x）＝lnx，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1 x ，此时g′（1）＝1，又g （1）＝0，所以曲线y ＝f （x ）在点（1，0）处的切线方程为y ﹣0＝x ﹣1， 即y ＝x ﹣1，因为曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线与曲线y ＝g （x ）在点（1，0）处的切线平行， 此时a4=1，解得a ＝4，当a ＝4时，曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ＝x ﹣3，符合题意， 故实数a 的值为4；（2）若函数y ＝f （x ）的图象与y ＝g （x ）的图象有两个公共点， 此时方程f （x ）＝g （x ）有两个不等实根， 可得方程a ＝x ﹣xlnx 有两个不等实根，即直线y ＝a 与函数h （x ）＝x ﹣lnx 的图象有两个交点， 易知函数h （x ）＝x ﹣xlnx 的定义域为（0，+∞）， 可得h ′（x ）＝1﹣（1+lnx ）＝﹣lnx ，当0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增； 当x ＞1时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减．所以当x ＝1时，函数h （x ）取得极大值也是最大值，最大值h （1）＝1， 当x →0时，h （x ）→0；当x →+∞时，h （x ）→﹣∞， 作出函数h （x ）的图象如下所示：易知当0＜a ＜1时，直线y ＝a 与函数h （x ）＝x ﹣xlnx 的图象有两个交点， 即函数y ＝f （x ）的图象与y ＝g （x ）的图象有两个公共点， 故实数a 的取值范围为（0，1）．20．（12分）如图所示的几何体中，平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝2，PQ ∥DC ，PQ ＝DC ＝1． （1）求证：PD ∥平面QBC ；（2）线段QB 上是否存在点M 满足QM →=λQB →(0≤λ≤1)，使得AM ⊥平面QBC ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（1）证明：∵PQ ∥DC ，PQ ＝DC ， ∴四边形CDPQ 为平行四边形，∴PD ∥CQ ， 又PD ⊄平面QBC ，CQ ⊂平面QBC ， ∴PD ∥平面QBC ．（2）解：如图，取AD 的中点O ，∵P A ＝AD ，∴OP ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，OP ⊂平面P AD ， ∴OP ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，分别以直线OD ，OP 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则x 轴在平面ABCD 内，Ox ∥CD ，∵∠APD ＝90°，AB ＝AD ＝2，PQ ＝DC ＝1，∴A （0，﹣1，0），B （2，﹣1，0），C （1，1，0），Q （1，0，1）， 则BQ →=（﹣1，1，1），CQ →=（0，﹣1，1）， 设平面QBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 由{n →⋅BQ →=0n →⋅CQ →=0，得{−x +y +z =0−y +z =0，令z ＝1，得n →=（2，1，1），线段QB 上存在点M 满足QM →=λQB →(0≤λ≤1)，使得AM ⊥平面QBC ， 设点M （a ，b ，c ），则QM →=（a ﹣1，b ，c ﹣1），QB →=（1，﹣1，﹣1）， ∴a ＝λ+1，b ＝﹣λ，c ＝﹣λ+1，即M （λ+1，﹣λ，﹣λ+1）， ∴AM →=（λ+1，﹣λ+1，﹣λ+1），∵AM ⊥平面QBC ，平面QBC 的法向量为n →=（2，1，1）， ∴AM →∥n →，λ+12=−λ+11，解得λ=13，故线段QB 上存在点M 满足QM →=13QB →，使得AM ⊥平面QBC ，此时λ=13．21．（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得m （0＜m ≤100，m ∈N ）分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得n （0＜n ≤100，n ∈N ）分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A 类问题的概率为p 1，能正确回答B 类问题的概率为p 2，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若学生甲先回答A 类问题，m ＝20，n ＝80，p 1＝0.8，p 2＝0.6，记X 为学生甲的累计得分，求X 的分布列和数学期望．（2）从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①m ＝n ，p 1＞p 2；②p 1＝p 2，m ＞n ． 解：（1）由题意得X 的可能取值为0，20，100． P （X ＝0）＝0.2，P （X ＝20）＝0.8×0.4＝0.32， P （X ＝100）＝0.8×0.6＝0.48， 分布列如下表：E （X ）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4． （2）如果选择条件①．若甲同学选择先回答A 类问题，得到对应的分布列为：E（X1）＝0×（1﹣p1）+mp1（1﹣p2）+2mp1p2＝mp1（1+p2）．若甲同学选择先回答B类问题，得到对应的分布列为：E（X2）＝0×（1﹣p2）+np2（1﹣p1）+2np1p2＝np2（1+p1）．所以E（X1）﹣E（X2）＝mp1（1+p2）﹣np2（1+p1）＝m（p1﹣p2）＞0，所以甲同学先回答A类问题的期望大．如果选择条件②．若甲同学选择先回答A类问题，得到对应的分布列为E（X3）＝0×（1﹣p1）+mp1（1﹣p2）+（m+n）p1p2＝p1（m+np2）．若甲同学选择先回答B类问题，得到对应的分布列为E（X4）＝0×（1﹣p2）+np2（1﹣p1）+（m+n）p1p2＝p2（n+mp1）．所以E（X3）﹣E（X4）＝（m﹣n）p1＞0，所以甲同学先回答A类问题的期望大．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2﹣alnx．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求证：当0＜a＜1时，f（x）＞0．解：（1）已知f（x）＝e x﹣2﹣alnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′（x）＝e x﹣2−a x ，若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，此时f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，即a≤xe x﹣2在区间[1，+∞）上恒成立，不妨设g（x）＝xe x﹣2，函数定义域为[1，+∞），可得g′（x）＝e x﹣2+xe x﹣2＝（x+1）e x﹣2，当x≥1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以当x＝1时，函数g（x）取得最小值，最小值g（1）=1 e ，则a≤1 e ，故实数a的取值范围为(−∞，1e ]；（2）证明：不妨设h（x）＝f′（x）＝e x﹣2−ax，函数定义域为（0，+∞），可得h′（x）＝e x﹣2+ax2＞0，所以函数h（x）在定义域上单调递增，当0＜a＜1时，易知f′（a）＝e a﹣2﹣1＜0，f′（2）＝1−a2＞0，所以在区间（0，+∞）上存在唯一一个零点x0，使得f′（x0）＝0，即e x0−2=ax0，对等式两边同时取对数，得﹣lnx0＝x0﹣2﹣lna，当0＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（x0）=e x0−2−alnx0=a x0+a（x0﹣2﹣lna）=a x+ax0﹣2a﹣alna≥2√ax0⋅ax0−2a﹣alna＝﹣alna＞0，故当0＜a＜1时，f（x）＞0．。

漳州市2022-2023学年（下）期末高中教学质量检测高一数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列导数运算正确的是（ ） A. ()1x x a xa −′=B. ′=C. 1ln x x ′ =D. (sin )cos x x ′=−【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式可得答案. 【详解】()ln xxa aa ′=，故A 不正确；1112212x x−′ ′== ，故B 正确； 211x x ′=−，故C 不正确； (sin )cos x x ′=，故D 不正确.故选：B2. 已知事件,A B ，设B A ⊆，且()()0.7,0.42P A P B ==，则()P B A ∣的值是（ ）A. 0.294B. 0.42C. 0.5D. 0.6【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为B A ⊆，所以()()0.42P AB P B ==，则()()()0.420.60.7P AB P BA P A ===∣. 故选：D.3. 根据分类变量X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于99.5%的把握认为X 和Y 有关，则2χ的一个可能取值为（ ）()20P x χ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.0050x2.7063.841 5.024 6.6357.879A. 3.971B. 5.872C. 6.775D. 9.698【答案】D 【解析】【分析】根据独立性检验卡方与列表比较即可；【详解】因为有不少于99.5%的把握认为X 和Y 有关，所以27.879χ≥，9.6987.879≥，满足题意，故选：D4. 已知空间向量()()1,3,2,1,1,a b t =−= ，若a b ⊥ ，则2a b −=（ ） A. 5 B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列式求出1t =，再根据空间向量的线性运算和模长公式可求出结果.【详解】因为a b ⊥ ，所以113120t ×−×+=，得1t =，()1,1,1b = ，所以()()21,3,22,2,2a b −=−−()1,5,0=−−，.所以2a b −=.故选：C5. 若x a =为函数()()2()f x x a x b =−−的极大值点，则（ ）A. a b >B. a b <C. 0ab >D. 0ab <【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性以及极值点的定义，即可得到结果.【详解】由题意可得，令()0f x =，解得x a =或x b =，即x a =及x b =是函数()f x 的两个零点，且()()()32f x x a x b a ′=−−−，令()0f x ′=，则x a =或23b ax +=， 当23b a a +<时，即a b <，则()f x 在(),a −∞和2,3b a ++∞单调递增，在2,3b a a + 单调递减，此时函数的大致图像如图所示，满足x a =为函数的极大值点；当23b a a +>时，即a b >，则()f x 在(),b −∞和2,3b a ++∞单调递增，在2,3b a a + 单调递减，此时不满足x a =为函数的极大值点； 综上可得，a b <. 故选：B.6. 对于集合{}12,,,n A θθθ= 和常数0θ，定义：()2011tan ni i n µθθ==−∑为集合A 相对0θ的“正切方差”.若集合0π5π5ππ,,,312612A θ==，则µ=（ ） A.23B. 1C.53D. 2【答案】C【解析】【分析】利用“正切方差” 的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】由题意，得2221ππ5ππ5ππtan tan tan 33121212612µ =−+−+−()2221ππ3π15tan tan tan 131343433µ =×++=×++= . 故选:C.7. 若0.3e , 1.3,ln3.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】A 【解析】【分析】构造()()e 10xf x x x =−−≥研究单调性，代入0.3x =得到a b >；构造()()ln e exg x x x =−≥研究单调性，代入 3.3x =得到b c >. 【详解】构造()()e 10xf x x x =−−≥，则()e 10xf x ′=−≥对0x ≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+单调递增，当0x ≥时，()()e 100xf x x f −−≥，代入0.3x =，得()0.30.3e 1.30f =−＞，即0.3e 1.3＞，即a b >.构造()()ln e e xg x x x =−≥， 则()11e 0ee xg x x x −′=−=≤对e x ≥恒成立，所以()g x 在()e,+∞单调递减， 当e x ≥时，()()ln e 0exg x x g =−≤=，代入 3.3x =，得() 3.33.3ln 3.30eg =−＜，即 3.3 3.3ln 3.3 1.3e 2.7＜＜＜，即b c >. 所以a b c >>. 故选：A8. 某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且(),0.7X B n ∼，记()k P P X k ==，0,1,2,,k n = ，若7P 是唯一的最大值，则()E X 的值为（ ）A. 7B. 7.7C. 8.4D. 9.1【答案】A 【解析】【分析】根据二项分布的概率公式()()C 1n kk k n k P P X k p p −===−，0,1,2,,k n = ，利用k P 是唯一最大值可得11k k kk P P P P +−>> ，代入0.7,7p k ==可求出10n =，再利用二项分布的期望公式可求得结果. 【详解】因为()()C 1n kk k n kP P X k p p −===−，0,1,2,,k n = ，若k P 唯一最大值，则11k k k k P P P P +−> > ，所以()()()()111111C 1C 1C 1C 1n k n k k k k k n nn k n k k k k k n n p p p p p p p p −−−++−−+−− −>− −>− ， 由111C (1)C (1)kkn kk k n k n n p p pp −++−−−>−，得11p pn k k −>−+，解得1k p n p −+<，由111C (1)C (1)k k n k k k n k n np p p p −−−−+−>−，得11p pk n k −>−+，解得k p n p −>，所以1k p k p n p p−−+<<， 因为0.7,7p k ==，所以6.37.30.70.7n <<，得7397n <<，因为n 为正整数，所以10n =，所以()100.77E X =×=， 故选：A二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9. 下列结论正确的是（ ）A. 对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强B. 利用2χ进行独立性检验时，2χ的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系C. 线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+至少经过样本点数据中的一个点 D. 用模型e bx y a c =+拟合一组数据时，设()ln z y c =−，得到回归方程0.83z x =+，则3e a =【答案】BD 【解析】是【分析】根据回归方程和独立性检验的相关知识逐一判断.【详解】对于A ，对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，故A 错误； 对于B ，利用2χ进行独立性检验时，2χ的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系，故B 正确；对于C ，线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+至少经过样本点数据中的中心点，但不一定至少经过样本点数据中的一个点，故C 错误；对于D ，用模型e bx y a c =+拟合一组数据时，设()ln z y c =−，得到回归方程0.83z x =+，则()ln 0.83y c x −=+，所以0.83e x y c +−=，即30.8e e x y c =⋅+， 因为e bx y a c =+，所以3e a =，故D 正确. 故选：BD 10. 已知函数()(),yf x yg x =的导函数图象如图，那么()(),y f x y g x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】BD 【解析】【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小可得答案． 【详解】从导函数的图象可知两个函数在0x 处切线斜率相同，可以排除C ，再由导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小，可明显看出()y f x =的导函数的值在减小， ∴原函数切线斜率应该慢慢变小，排除A ，选项BD 中的图象，都符合题意. 故选:BD ．11. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B 为“第一次记录的数字为偶数”，事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件B 与事件C 是互斥事件 B. 事件A 与事件B 是相互独立事件 C. ()()()18P A P B P C = D. ()14P ABC = 【答案】BCD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义可判定A,根据()()()P AB P A P B =可判定B,根据古典概型的概率公式求解，可判定CD.【详解】对于A ，事件B 与事件C 不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次和第二次都是数字4 ，故A 错误；对于B ，对于事件A 与事件B ，()()8124,44244P A P B ×====××()()()221444P AB P A P B ×===×, 事件A 与事件B 是相互独立事件,故B 正确； 对于C ，()421442P C ×==×,所以()()()11112228P A P B P C =××=，故C 正确； 对于D ，事件ABC 表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故()221444P ABC ×==×，故D 正确. 故选:BCD.12. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别为棱111,A D AA 的中点，G 为线段1B C 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 三棱锥1A EFG −的体积为定值B. 存在点G ，使得1B D ⊥平面EFG C 当点G 与点1B 重合时，线段EG 长度最短D. 设直线FG 与平面11BCC B 所成角为θ，则cos θ的最小值为13【答案】ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，根据平行得到1113G A A EF E GF V V −−==，A 正确，当1134BG B C =时，1B D ⊥平面EFG ，B 正确，当1114B G BC = 时，线段EG 长度最短，C 错误，计算cos θ的最小值为13，D 正确.【详解】如图，以点D .则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()12,0,2A ，()2,0,1F ，()10,0,2D ，()1,0,2E ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()2,2,0B ，()10,2,2C .对选项A ：由正方体以及面面平行的性质可得，1//B C 平面1A EF ，线段1B C 上的G 到面1A EF 距离为11A B ，.故1111122A EF S =××= ，1111111123323G A EF A EF V S A B −=××=××= . 则1113G A A EF E G FV V −−==为定值，故A 正确； 对选项B ：若存在点G ，使1B D ⊥平面EFG ，设()1101B G BC λλ=≤≤，()12,2,2B D =−−−，()1,0,1EF=− ，()12,0,2B C =−− ，()11,2,0EB =， 则()()()111,2,02,0,212,2,2EG EB B G λλλ=+=+−−=−−.1860B D EG λ⋅− ，34λ=，1220B D EF ⋅=−+=，故1B D EF ⊥， 又由EF EG E = ，,EF EG ⊂平面EFG ，故1B D ⊥平面EFG ，存在点G 满足要求，故B 正确； 对选项C ：显然，当1EG B C ⊥时，线段EG 长度最短，设11B G B C λ=时，1EG B C ⊥，因为()12,0,2B C =−− ，则()12,0,2B G λλ=−− ，则()22,2,22G λλ−−，所以()12,2,2EG λλ=−− ，由1EG B C ⊥，可得()21240λλ−−+=，解得14λ=，即当1114B G B C = 时，线段EG 长度最短， 故C 错误；对选项D ：过F 作1FF BB ′⊥，垂足为F ′，则F F ′⊥平面11BCC B ， 则FGF ′∠即为所求线面角，当1F G B C ⊥时，所求角最大，此时cos θ最小，F G ′=FG =，3cos 1θ=，故D 正确； 故选：ABD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知随机变量()2~2,X N σ，且()30.3P X >=，则(12)P X <<=__________． 【答案】0.2##15【解析】【分析】由正态分布的对称性得出概率.【详解】(12)(23)0.5(3)0.2P X P X P X <<=<<=−>=. 故答案为：0.214. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在甲手中的概率为__________. 【答案】38##0.375 【解析】【分析】设n 次传球后球在甲手中的概率为n p ，求出10p =，根据题意求出数列{}n p 的递推公式，求出n p 的表达式，即可求得4p 的值.【详解】设n 次传球后球在甲手中的概率为n p ，当1n =时，10p =， 设n A =“n 次传球后球在甲手中”，则111n n n n n A A A A A +++=+，则()()()()()()()11111n n n n n n n n n n n P A P A A P A A P A P A A P A P A A +++++=+=+, 即()()11101122n n n n p p p p +×+−×−，所以，1111323n n p p + −=−− ，且11133p −=−， 所以，数列13n p−是以13−为首项，以12−为公比的等比数列，所以1111332n n p −−=−⋅−111132n np −=−−， 所以4次传球后球在甲手中的概率为41131388p =×+=． 故答案为：38.15. 已知函数()()f x x ∈R 的导函数为()f x ′，若()()20f x f x ′+>，且()02023f =，则不等式()22023e 0x f x −−>的解集为__________.【答案】()0,∞+ 【解析】【分析】令()()2exg x f x =，利用导数说明函数的单调性，结合()02023f =，则不等式()22023e 0x f x −−>等价于()()0g x g >，结合单调性解得即可.【详解】令()()2exg x f x =，则()()()()()2222e e e 2x x x g x f x f x f x f x ′′′=+=+ ，因为()()20f x f x ′+>，所以()0g x ′>，所以()g x 在R 上单调递增，又()02023f =，所以()()00e 02023g f ==， 不等式()22023e0xf x −−>，即()22023e x f x −>，即()2e 2023x f x >，即()()0g x g >，所以0x >， 即不等式()22023e 0xf x −−>的解集为()0,∞+.故答案为：()0,∞+16. 古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“翁中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上､下底面均为半圆形的柱体，1AA ⊥平面1,3,22π,ABCD AA AB CD E ===为 11A B 的中点，则直线CE 与平面1DEB 所成角的正弦值为__________.【解析】【分析】由题意可求出 AB 所在圆的半径为R ， CD所在圆的半径为r ，再以点A 为原点，AB 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，平面ABCD 内垂直于AB 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，继而可得各点坐标，再利用空间向量求解直线CE 与平面1DEB 所成角的正弦值即可. 【详解】设 AB 所在圆的半径为R ，则2π2π2R=， 则2R =,24AB R ==.设 CD所在圆的半径为r ，则2ππ2r=， 则1r =,22CD r ==.因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则1AA AB ⊥,由题意可以以点A 为原点，AB 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，平面ABCD 内垂直于AB 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如下图所示，则()()()()0,0,0,0,4,0,0,3,0,0,1,0A B C D ，()()()()11110,0,3,0,4,3,0,3,3,0,1,3A B C D ， 又E 为 11A B 的中点,则()2,2,3E ，则()12,2,0B E =−，()10,3,3B D =−−,()2,1,3CE=− ，设平面1DEB 的法向量(),,n x y z =， 则11220330B E n x y B D n y z ⋅− ⋅=−−=, 令1x =，则1,1y z ，则()1,1,1n =−.设直线CE 与平面1DEB 所成角为θ，则sin cos,CE n CE n CE nθ⋅==⋅故答案为. 四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知平行六面体1111ABCD A B C D −，底面是正方形，2AD AB ==，11AA =，1160A AB DAA ∠=∠=°，1113AC NC = ，12D B MB = ，设AB a =，AD b = ，1AAc = .（1）试用a 、b 、c表示AN ；（2）求MN 的长度.【答案】（1）2233AN a b c =++ ；（2.【解析】【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义，结合几何体确定AN 与a 、b 、c的线性关系； （2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求MN 的长度.【详解】（1）()()111111122223333AN AA A N AA A B A D c a b a b c =+=++=++=++. （2）111222AM a b c =++，111662NM AM AN a b c =−=−−−，∴NM =. 18. 某有限公司通过技术革新和能力提升，每月售出的产品数量不断增加，下表为该公司今年14 月份售出的产品数量. 月份x1234售出的产品数量(y 万件)6.1 6.3 6.7 6.9（1）试根据样本相关系数r 的值判断售出的产品数量y （万件）与月份x 线性相关性强弱（若0.81r <≤，则认为变量x 和变量y 高度线性相关）（结果保留两位小数）；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司5月份售出的产品数量.参考公式：nx y r =()()()121niii nii x x y y bx x ==−−=−∑∑ ，a y bx =− 1.414≈.【答案】（1）答案见解析 （2） 0.28 5.8y x +；约为7.2万件【解析】【分析】（1）计算出x 、y 的值，将表格中的数据代入相关系数r 的计算公式，求出r 的近似值，结合题意可得出结论；（2）利用最小二乘法公式计算出b、 a 的值，可得出y 关于x 的回归方程，将5x =代入回归方程，计算出 y 的值，即可预测出该公司5月份售出的产品数量.【小问1详解】解：由表格中的数据可得12342.54x+++=， 6.1 6.3 6.7 6.96.54y+++=，()()()()()41 1.50.40.50.20.50.2 1.50.4 1.4iii x x y y =−−=−×−+−×−+×+×=∑，()()()()()2224211 2.523 2.54 2.55i i x x==−++−+−−−=∑， ()()()()()2412222.1 6.5 6.3 6.5 6.7 6.5 6.9 6.50.46ii y y =−+−+−−==−+∑，40.990.8x y r≈>，∴售出的产品数量y （万件）与月份x 具有高度线性相关.【小问2详解】解：()()()414211.4ˆ0.285iii ii x x y y b x x ==−−===−∑∑，则 6.50.28 2.5 5.8a y bx =−=−×= ，所以，y 关于x 的回归方程为 0.28 5.8yx +，当5x =，可得 0.285 5.87.2y =×+=万件，∴预测该公司5月份出售产品数量约为7.2万件.19. 已知函数()()1,ln af xg x x x=−=.（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线与曲线()y g x =在点()1,0处的切线平行，求实数a 的值；（2）若函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4a =； （2）()0,1. 【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义和两直线平行即可求解;(2)所求转化为直线y a =与函数()ln h x x x x =−的图象有两个交点，利用导数画出()h x 的草图，利用图像即可求解. 【小问1详解】()()21,a f x g x x x′==′ 依题意得()()21f g ′=′，即14a=，解得4a =. 故()()41,21f x f x=−=−， ()f x 在点()()22f ,处的切线方程为()12y x −−=−，即3y x =−；而()g x 在点()1,0处的切线方程为1y x =−，这两条切线平行，故4a =. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有两个公共点,⇔方程()()f x g x =有两个不等实根 ⇔方程1ln a x x−=有两个不等实根 ⇔方程ln a x x x =−有两个不等实根⇔直线y a =与函数()ln h x x x x =−的图象有两个交点.()()11ln ln h x x x =−+=−′当()0,1x ∈时，()()0,h x h x ′>单调递增；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x ′<单调递减.()h x ∴有极大值，也是最大值为()11h =.当0x →时，()0h x →；当x →+∞时，()()1ln hx x x ∞=−→−∴可以画出()h x 的草图（如图）：由图可知当()0,1a ∈时，直线y a =与函数()ln h x x x x =−的图象有两个交点， 即函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有两个公共点，故()0,1a ∈.20. 如图所示的几何体中，平面PAD ⊥平面,ABCD PAD 为等腰直角三角形，90APD ∠=°，四边形ABCD 为直角梯形，//,,2,//,1AB DC AB AD AB AD PQ DC PQ DC ⊥====.（1）求证：PD //平面QBC ；（2）线段QB 上是否存在点M 满足()01QMQB λλ=≤≤，使得AM ⊥平面QBC ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，13λ=. 【解析】【分析】（1）通过求证//PD QC ，由线面平行的判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.【小问1详解】//,,PQ CD PQ CD =∴ 四边形PQCD 是平行四边形， //PD QC ∴.PD ⊄ 平面,QBC QC ⊂平面,QBCPD ∴//平面QBC .【小问2详解】取AD 的中点为,,O PA PD OP AD =∴⊥ .平面PAD ⊥平面,ABCD OP ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =,OP ∴⊥平面ABCD .以点O 为坐标原点，分别以直线,OD OP 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz −，则x 轴在平面ABCD 内,90,2,1APD AB AD PQ CD ∠=°==== ， ()()()0,1,0,2,1,0,1,1,0A B C ∴−−，()1,0,1Q ， ()()1,1,1,0,1,1BQ CQ ∴=−=− . 设平面QBC 的法向量为(),,,n x y z =0,0,n BQ n CQ ⋅= ∴ ⋅=即0,0.x y z y z −++= −+= ,.x y z y z =+ ∴ = 令1z =，则()1,2,2,1,1y x n ==∴=. ()()1,1,1,,,QB QM λλλ−−∴−−，()1,1,1AM AQ QM λλλ∴=+=+−− .又平面QBC 的法向量为()2,1,1,nAM ⊥平面QBC ，∴111211λλλ+−−==13λ∴=. ∴在线段QB 上存在点M ，使AM ⊥平面QBC ，且λ的值是13. 21. 某学校组织“中亚峰会”知识竞赛，有,A B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答.若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得(0100,N)m m m <≤∈分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得(0100,N)n n n <≤∈分，否则得0分.已知学生甲能正确回答A 类问题的概率为1p ，能正确回答B 类问题的概率为2p ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若学生甲先回答A 类问题，1220,80,0.8,0.6m n p p ====，记X 为学生甲的累计得分，求X 的分布列和数学期望.（2）若122,20n m p p ==>，则学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并说明理由.【答案】（1）分布列见解析，()54.4E X = （2）学生甲应选择先回答A 类问题，理由见解析 【解析】【分析】（1）根据题意得X 的所有可能取值，求出X 取每个值的概率，可得分布列，根据数学期望公式得数学期望；（2）分别求出学生甲选择先回答A 类问题和先回答B 类问题时累计得分的数学期望，再比较数学期望的大小，可得结果. 【小问1详解】由题知，0,20,100X =，()()00.2,200.80.40.32P X P X ====×=，()1000.80.60.48P X ==×=.X ∴的分布列为： X 020100P 0.2 0.32 0.48()00.2200.321000.4854.4E X ∴=×+×+×=.【小问2详解】学生甲选择先回答A 类问题时：0,,3X m m =，()()()()1212220112,121P X p p P X m p p p p ==−=−==−=−，()212232P X m p p p ==×=，()()()221222222012213224E X p m p p m p mp mp ∴=×−+×−+×=+.学生甲选择先回答B 类问题时：0,2,3X m m =，()()()()2212201,2112P X p P X m p p p p −−−，()222132P X m p p p ==×=，()()()222222222012123222E X p m p p m p mp mp ∴=×−+×−+×=+，()()()()21221220,E X E X mp E X E X −=>∴> .∴学生甲应选择先回答A 类问题.22. 已知函数()2e ln xf x a x −=−.（1）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求证：当01a <<时，()0f x >. 【答案】（1）1,e−∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）转化为()2e 0x af x x−−′=≥，即2e x a x −≤对[)1,x ∞∈+恒成立,再根据函数求出最小值可得结果；（2）（法一）两次求导得()f x 的最小值，再根据基本不等式可得()0f x >.（法二）利用e 1x x ≥+进行放缩可证()0f x >.小问1详解】【()f x 的定义域为()0,∞+,()2e x af x x−=−′. 依题意得：()2e 0x af x x−−′=≥对[)1,x ∞∈+恒成立, 2e x a x −⇔≤对[)1,x ∞∈+恒成立.令()[)2e,1,x g x x x ∞−=∈+，则()()222e e 1e x x x g x x x −−−=+=+′，当[)1,x ∞∈+时，()0g x ′>， 故()g x 在[)1,+∞上单调递增， 所以()g x 的最小值为()11eg =. 故1e a ≤，即a 的取值范围为1,e−∞.【小问2详解】（法一）当01a <<时，设()()h x f x ′==2e x a x−−， 由()22e0x a h x x −′=+>，得()2()e x a h x f x x−′=−()0,∞+上单调递增， 又2()e 10a f a −′=−<，(2)102af ′=−>， 由零点存在定理可得()f x ′在()0,∞+上有唯一零点，设此零点为0x ，则()0200e0x a f x x −=−=′，有020e x ax −=，两边取对数并整理得00ln 2ln x x a −=−−， 当()00,x x ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增，故()()()020000eln 2ln x af x f x a x a x a x −≥−+−− 在第21页/共21页002ln 2ln ln 0a ax a a a a a a a a x =+−−≥−−=−>. 即当01a <<时，()0f x >.（法二）我们先证明，e 1x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.构造函数()e 1x g x x =−−，则()e 1xg x ′=−， 当0x <时，()()0,g x g x ′<单调递减；当0x >时，()()0,g x g x ′>单调递增，故()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. 当1x >−时，对e 1x x ≥+两边同时取对数有()ln 1x x ≥+，故当0x >时1ln x x −≥，当且仅当1x =时等号成立.所以()2e 211ln x x x x −≥−+=−≥，两个“≥”中等号成立的条件分别为2x =和1x =，故当0x >时，2e ln x x −>.当01x <<时，ln 0x <，又01a <<，所以2e 0ln x a x −>>；当1x ≥时，ln 0x >，又201,e ln ln x a x a x −<<>>.综上所述，当01a <<时，()0f x >.【点睛】方法点睛：第（2）问，一般地，要证不等式成立，可以通过构造函数，利用导数求出函数的最值，再证明最值使不等式成立即可.。

福建省高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（?U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}2．如果函数f（x）=cos（ωｘ+）（ω＞0）的相邻两个对称中心之间的距离为，则ω＝（）A．3 B．6 C．12 D．243．已知抛物线y2=ax（a≠0）的准线经过点（1，﹣1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）4．已知函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．25．若，α是第三象限的角，则等于（）A．B．C．D．6．下列命题正确的个数为（）①“?x∈R都有x2≥0”的否定是“?x0∈R使得x02≤0”②“ｘ≠3”是“|x|≠3”必要不充分条件③命题“若m≤，则方程mx2+2x+1=0有实数根”的逆否命题．A．0 B．1 C．2 D．37．若，则执行如图所示的程序框图，输出的是（）A．c B．b C．a D．8．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．9．已知α，β为锐角，且，cos（α+β）=，则cos2β＝（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜），若f（）﹣f（）=2，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[+， +]，k∈Z B．[﹣， +]，k∈ZC．[kπ+，kπ+]，k∈Z D．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z11．如果函数f（x）对任意的实数x，都有f（x）=f（1﹣x），且当时，f（x）=log2（3x ﹣1），那么函数f（x）在[﹣2，0]的最大值与最小值之差为（）A．4 B．3 C．2 D．1（x）﹣2f（x）＞0，若△ABC是锐角三12．设f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且满足xf′角形，则（）A．f（sinA）?sin2B＞f（sinB）?sin2A B．f（sinA）?sin2B＜f（sinB）?sin2AC．f（cosA）?sin2B＞f（sinB）?cos2A D．f（cosA）?sin2B＜f（sinB）?cos2A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则|a+bi|=．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴．若|F1F2|=12，|PF2|=5则该双曲线的离心率为．15．设α为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则tan2α＝．16．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx﹣ax+1，当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求的值．18．甲、乙两位学生参加全国数学联赛培训．在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：甲：82 82 79 95 87乙：95 75 80 90 85（Ⅰ）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（Ⅱ）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由．19．已知函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+，g（x）=mcos（x+）﹣m+2．（Ⅰ）若，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若对任意的，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2），求m的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）的零点有且只有一个，求实数a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣6sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．（1）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+a|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）＞0，在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范围．福建省高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（?U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴?U A={x|x≥1}，则（?U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C2．如果函数f（x）=cos（ωｘ+）（ω＞0）的相邻两个对称中心之间的距离为，则ω＝（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】利用余弦函数的图象的对称性、余弦函数的周期性，求得ω的值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（ωｘ+）（ω＞0）的相邻两个对称中心之间的距离为，∴==，∴ω=6故选：B．3．已知抛物线y2=ax（a≠0）的准线经过点（1，﹣1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线的方程可以求出其准线方程，则有﹣=1，解可得a的值，即可得抛物线的方程，结合抛物线的焦点坐标计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=ax，其焦点在x轴上，则其准线方程为：x=﹣，若其准线经过点（1，﹣1），则其准线方程为x=1，即有﹣=1则a=﹣4，抛物线的方程为y2=﹣4x，则该抛物线焦点坐标为（﹣1，0）；故选：A．4．已知函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点（0，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：求导函数，可得y′=3x2﹣1，当x=0时，y′＝﹣1，∴函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=﹣x，即x+y﹣1=0，令x=0，可得y=1，令y=0，可得x=1，∴函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是×1×1=．故选：C．5．若，α是第三象限的角，则等于（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cosα、sinα的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：若=﹣cosα，即cosα＝﹣，结合α是第三象限的角，﹣=﹣，可得sinα＝则=sinαcos+cosαsin=﹣+（﹣）=﹣，故选：A．6．下列命题正确的个数为（）①“?x∈R都有x2≥0”的否定是“?x0∈R使得x02≤0”②“x≠3”是“|x|≠3”必要不充分条件③命题“若m≤，则方程mx2+2x+1=0有实数根”的逆否命题．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可判断①；由充分必要条件的定义，即可判断②；由由m=0，2x+1=0有实根；若m≠0，则△=4﹣4m≥4﹣2=2＞0，即可判断原命题成立，再由命题的等价性，即可判断③．【解答】解：①由全称命题的否定为特称命题，可得“?x∈R都有x2≥0”的否定是“?x0∈R使得x02＜0”，故①错；②“ｘ≠3”比如x=﹣3，可得|x|=3；反之，|x|≠3，可得x≠3，“ｘ≠3”是“|x|≠3”必要不充分条件，故②对；③命题“若m≤，则方程mx2+2x+1=0有实数根”，由m=0，2x+1=0有实根；若m≠0，则△=4﹣4m≥4﹣2=2＞0，即方程mx2+2x+1=0有实数根，则原命题成立，由等价性可得其逆否命题也为真命题，故③对．故选：C．7．若，则执行如图所示的程序框图，输出的是（）A．c B．b C．a D．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算a，b，c中的最大值，并输出，根据指数函数，对数函数的单调性得出a，b，c的范围进而可得答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算a，b，c中的最大值．∵y=log2x是增函数，∴a=log20.3＜log21=0，∵y=2x是增函数，∴b=20.3＞20=1，又c=0.32=0.09，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：B．8．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换规律，求得变换后所得函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得得图象的一条对称轴方程．【解答】解：把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（2x+）的图象，再将图象向右平移个单位，可得得y=sin（2x﹣+）=﹣cos2x 的图象．令2x=kπ，可得x=，k∈Z，令k=﹣1，可得所得图象的一条对称轴方程为x=﹣，故选：A．9．已知α，β为锐角，且，cos（α+β）=，则cos2β＝（）A．B．C．D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）﹣α]的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β　的值．【解答】解：∵α，β为锐角，且，∴sinα＝=，∵cos（α+β）=＞0，∴α+β还是锐角，∴sin（α+β）==，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sincos（α+β）sinα＝?+=，∴cos2β=2cos2β﹣1=，故选：B．10．已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜），若f（）﹣f（）=2，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[+， +]，k∈Z B．[﹣， +]，k∈ZC．[kπ+，kπ+]，k∈Z D．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数的值域可得ω？+φ=2kπ+，ω？+φ=2kπ+，k∈Z，两式相减可得ω　和φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的最值以及单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜），若f（）﹣f（）=2，则f（）=1，f（）=﹣1，即sin（ω？+φ）=1，sin（ω？+φ）=﹣1，∴ω？+φ=2kπ+，ω？+φ=2kπ+，k∈Z，两式相减可得ω=2，∴φ＝，函数f（x）=sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．11．如果函数f（x）对任意的实数x，都有f（x）=f（1﹣x），且当时，f（x）=log2（3x ﹣1），那么函数f（x）在[﹣2，0]的最大值与最小值之差为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】3T：函数的值．【分析】求出函数的对称轴，根据函数的对称性，求出f（x）在[﹣2，0]的单调性，求出函数值即可．【解答】解：∵f（x）=f（1﹣x），∴f（x）的对称轴是x=，时，f（x）=log2（3x﹣1），函数在[，+∞）递增，故x≤时，函数在[﹣2，0]递减，f（x）max=f（﹣2）=f（+）=f（3）=3，f（x）min=f（0）=f（1）=1，故3﹣1=2，故选：C．（x）﹣2f（x）＞0，若△ABC是锐角三12．设f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且满足xf′角形，则（）A．f（sinA）?sin2B＞f（sinB）?sin2A B．f（sinA）?sin2B＜f（sinB）?sin2AC．f（cosA）?sin2B＞f（sinB）?cos2A D．f（cosA）?sin2B＜f（sinB）?cos2A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，设h（x）=，（x＞0），对h（x）求导分析可得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由△ABC是锐角三角形，分析可得＞A＞﹣B＞0，即有sinA＞cosB 或cosA＜sinB，结合h（x）的单调性以及sinA＞cosB和cosA＜sinB分析答案．【解答】解：设h（x）=，（x＞0）则其导数h′（x）==，又由f（x）满足xf′（x）﹣2f（x）＞0，则有h′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，若△ABC是锐角三角形，则有A+B＞，即＞A＞﹣B＞0，即有sinA＞cosB或cosA＜sinB，对于sinA＞cosB，h（sinA）=，h（cosB）=，又由sinA＞cosB，则有＞，即f（sinA）?cos2B＞f（cosA）?sin2B，可以排除A、B，对于cosA＜sinB，h（cosA）=，h（sinB）=，又由cosA＜sinB，则有＜，即f（cosA）?sin2B＜f（sinB）?cos2A，可得D正确，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则|a+bi|=．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数相等可得a，b，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：∵a，b∈R，i是虚数单位，a+i=2﹣bi，∴a=2，1=﹣b，即a=2，b=﹣1．则|a+bi|=|2﹣i|==．故答案为：．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴．若|F1F2|=12，|PF2|=5则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得|PF1|=13，利用双曲线的定义求出a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得P在右支上，∴|PF1|===13，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=8，∴a=4，∵c=6，∴e==．故答案为：．15．设α为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则tan2α＝．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得x的值，可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵α为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，∴x＜0，再根据=，∴x=﹣3，∴tanα＝=﹣，则tan2α＝==，故答案为：．16．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx﹣ax+1，当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a=2．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数f（x）的图象关于原点对称，由题意可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1，求得当x∈（0，2）时，f（x）的导数和单调区间，确定a＞0，f（1）为最大值﹣1，解方程可得a的值．【解答】解：y=f（x）是奇函数，可得f（x）的图象关于原点对称，由当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1．由f（x）=alnx﹣ax+1的导数为f′（x）=﹣a=，由函数在（0，2）上取得最大值，可得a＞0，f（x）在（1，2）递减，在（0，1）递增．最大值为f（1）=1﹣a=﹣1，解得a=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出sinα﹣cosα的值；﹣，cos2α＝﹣，即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin2α＝﹣，…【解答】解：（Ⅰ）因为sinα+cosα＝，所以2sinαcosα＝所以α∈（，π），（sinα﹣cosα）2=，所以sinα﹣cosα＝．…﹣，cos2α＝﹣…（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin2α＝所以cos（2α+）=﹣×+×=…18．甲、乙两位学生参加全国数学联赛培训．在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：甲：82 82 79 95 87乙：95 75 80 90 85（Ⅰ）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（Ⅱ）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率，首先要计算“要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个”的事件个数，再计算“甲的成绩比乙高”的事件个数，代入古典概型公式即可求解．（Ⅱ）选派学生参加大型比赛，是要寻找成绩发挥比较稳定的优秀学生，所以要先分析两名学生的平均成绩，若平均成绩相等，再由茎叶图分析出成绩相比稳定的学生参加．【解答】解：（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（79，95），（79，75），（79，80），（79，90），（79，85），（95，95），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，95），（87，75），（87，80），（87，90），（87，85），基本事件总数n=25记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：（82，75），（82，80），（82，75），（82，80），（79，75），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，75），（87，80），（87，85），事件A包含的基本事件数m=12所以P（A）==；（Ⅱ）派甲参赛比较合适，理由如下：甲=（70×1+80×3+90×1+9+2+2+7+5）=85，乙=（70×1+80×2+90×2+5+0+5+0+5）=85，= [（79﹣85）2+（82﹣85）2+（82﹣85）2+（87﹣85）2+（95﹣85）2]=31.6，= [（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（90﹣85）2+（95﹣85）2]=50∵甲=乙，S甲2＜S乙2，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．19．已知函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+，g（x）=mcos（x+）﹣m+2．（Ⅰ）若，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若对任意的，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2），求m的取值范围．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用降次公式和二倍角公式将f（x）化简，上，求出内层函数的范围，结合三角函数的性质可得f（x）的值域；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）的值域；值域求解x2∈[0，π]，g（x2）的最大值即可，求解即可，需要对m进行讨论哦．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+=cos2x﹣sin2x=1﹣sin（2x+）∵上，∴2x+∈[，]∴sin（2x+）≤1．故得时函数f（x）的值域为[0，]；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）的最小值为0，对任意的，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2）只需要0≥g（x）max即可．∵g（x）=mcos（x+）﹣m+2．x∈[0，π]，∴x+∈[，]∴﹣1≤cos（x+）≤．当m≥0时，g（x）max=，∴≤0，解得：m≥4．当m＜0时，g（x）max=﹣m﹣m+2，∴﹣2m+2≤0，解得：m≥1．∴无解．综合上述，可得m的取值范围[4，+∞）．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由△MNF1的周长为8，得4a=8，由e=，求出c，可求得b；即可求解椭圆方程．（Ⅱ）分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k TA+k TB=0，即可证明直线TA与TB的斜率之和为定值．【解答】解：（I）由题意知，4a=8，所以a=2．因为e=，所以c=1，则b=．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0，当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）=k2+1＞0恒成立，x1+x2=，x1x2=，由k TA+k TB=+==，TA，TB的斜率存在，由A，B两点的直线y=k（x﹣1），故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），由2x1x2﹣5（x1+x2）+8==0，∴k TA+k TB=0，∴直线TA与TB的斜率之和为0，综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）的零点有且只有一个，求实数a的值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=．对t分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（II）F（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2，函数F（x）的零点有且只有一个，即a=lnx+x+在（0，+∞）上有且仅有一个实数根．由题意可得：若使函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=h（x）min．【解答】解：（I）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=．①当时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，∴x=时，函数f（x）取得极小值即最小值，=﹣．②当t时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴x=t时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（t）=tlnt．（II）F（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2，函数F（x）的零点有且只有一个，即a=lnx+x+在（0，+∞）上有且仅有一个实数根．令h（x）=lnx+x+，则h′（x）=+1﹣=．可得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（1）=3．由题意可得：若使函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=h（x）min=3．因此：函数F（x）的零点有且只有一个，则实数a=3．[选修4-4：坐标系与参数方程]﹣6sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若22．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．（1）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标化为直角坐标的方法，写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，所以=3，即可求直线l的斜率．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ﹣6sinθ，得圆C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+6y=0，配方，得（x﹣2）2+（y+3）2=13，所以圆心为（2，﹣3），半径为…（2）由直线l的参数方程知直线过定点M（4，0），则由题意，知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），因为弦长|PQ|=4，所以=3，解得k=0或k=﹣…[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+a|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）＞0，在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）当a=1时，由不等式．分别求得解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，1﹣3x＜2a＜﹣x﹣1在x∈[2，3]上恒成立，从而求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵a=1，f（x）＞1?|x﹣1|﹣2|x+1|＞1，，∴解集为…（2）f（x）＞0在x∈[2，3]上恒成立?|x﹣1|﹣2|x+a|＞0在x∈[2，3]上恒成立?1﹣3x＜2a＜﹣x﹣1在x∈[2，3]上恒成立，∴a的范围为…。

漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将答题卡交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.曲线在原点处的切线斜率为（ ）A. B.0C. D.12.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）相关系数 相关系数 相关系数 相关系数A. B.C. D.3.已知事件，相互独立，且，，那么（ ）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.754.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.45.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ）A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86sin y x =1-cos11r 2r 3r 4r 24310r r r r <<<<24130r r r r <<<<42130r r r r <<<<42310r r r r <<<<A B ()0.3P A =()0.4P B =(|)P A B =(1,0,2)a =r (2,1,2)b =--r (0,1,)c λ=r a r b r c rλ=AI AI A B C A B C A B C 0.40.40.26.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则（ ）A.0B. C. D.7.若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

2021-2022学年福建省漳州市四校高二下学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合(1,3)A =-，{43225}B x|x =-≤-<，则A B =（ ） A ．1,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】先化简集合B ，再利用交集定义去求A B【详解】由43225x -≤-<，解得293x -≤<，则2{|9}3B x x =-≤<，所以22(1,3)[,9)[,3)33A B ⋂=-⋂-=-.故选：C.2．命题“210a R x ax ∀∈-+=，有实数解”的否定是（ ） A ．210a R x ax ∀∈-+=，无实数解 B ．210a R x ax ∃∈-+=，无实数解 C ．210a R x ax ∀∈-+≠，有实数解 D ．210a R x ax ∃∈-+≠，有实数解【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“210a R x ax ∀∈-+=，有实数解”的否定是“210a R x ax ∃∈-+=，无实数解”. 故选：B.3．曲线1()e x f x x +=在(1,(1))f --处的切线方程是（ ） A ．e y x =- B ．2e y x = C ．1y = D ．1y =-【答案】D【分析】根据导数的几何意义求解即可【详解】1()(1)e x f x x +'=+，(1)1f -=-，(1)0f '-=，则曲线()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为1y =-. 故选：D.4．已知1a >，则41a a +-的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．D ．【答案】A【分析】由于1a >，所以10a ->，则44(1)111a a a a +=-++--，然后利用基本不等式可求出其最小值【详解】由于1a >，所以10a ->所以44111511a a a a +=-++≥=--， 当且仅当411a a -=-，即3a =时取等号. 故选：A.5．已知函数()21log 2,1x a a x f x x a x ⎧+<=⎨+≥⎩，，则“1a >”是“()f x 在R 上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先由()f x 在R 上单调递增求得a 的取值范围，再去判断“1a >”与“()f x 在R 上单调递增”二者间的逻辑关系即可. 【详解】若()f x 在R 上单调递增，则1≥x 时，log 2a y x a =+单调递增，且1log 122a a a +≥+，所以2a ≥.由“2a ≥”可以得到“1a >”，但由“1a >”不可以得到“2a ≥”， 所以“1a >”是“()f x 在R 上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B.6．1986年4月26日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶90-，它每年的衰减率约为2.5%.专家估计，当锶90-含量减少至初始含量的约91.610-⨯倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续（ ）(参考数据：lg20.301lg975 2.989≈≈，) A ．400年 B ．600年C ．800年D ．1000年【答案】C【分析】根据衰减率，列出方程，求解该次核泄漏对自然环境的影响消除时持续时间.【详解】设初始含量为a ，则9(1 2.5) 1.610n a a --%=⨯，即1097516()100010n =，两边取对数得lg1610104lg 2=800lg 97533lg 975n --=≈--. 故选：C.7．已知正数,,a b c 满足11242a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11363b b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11484c c -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则下列判断正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】A【分析】先化简，再根据,,a b c 可分别看作直线2y x =-和1()2x y =，1()3x y =，1()4xy =的图象的交点的横坐标，数形结合分析即可【详解】由已知条件可得1()22a a +=，1()23b b +=，1()24cc +=.,,a b c 可分别看作直线2y x =-和1()2x y =，1()3x y =，1()4x y =的图象的交点的横坐标，画出直线2y x =-和1()2x y =，1()3x y =，1()4x y =的大致图象，如图所示，由图象可知a b c <<.故选：A8．已知函数()eln ||f x x x a =--，2[1,e ]x ∈.若()y f x =的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,e] B ．(0,e] C ．2[1,e 2e]- D ．2(0,e 2e]-【答案】D【分析】将()y f x =的图象与x 轴有且仅有两个交点，转化为函数eln y x =与||y x a =-的图象在2[1,e ]上有且仅有两个交点，再利用数形结合去求解实数a 的取值范围.【详解】()eln ||f x x x a =--，2[1,e ]x ∈的图象与x 轴有且仅有两个交点，等价于函数eln y x =与||y x a =-的图象在2[1,e ]上有且仅有两个交点. 当直线y x a =-与eln y x =的图象相切时， 令e'1y x==，得e x =，即切点为(e,e)，此时0a =； 当y x a =-的图象过点2(e ,2e)时，2e 2e a =-，所以要使函数eln y x =与||y x a =-的图象在2[1,e ]x ∈上有且仅有两个交点， 则需2(0,e 2e]a ∈-.故选：D. 二、多选题9．已知R a ∈，则函数()||(2)f x x a x a =+-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【分析】先由选项得到0a ≠，再分0a >和0a <两类讨论，利用(0)f 的正负及()f x 的两个零点的分布情况，即可得到函数()f x 可能的图象.【详解】由题意知,2a a -是()f x 的两个零点，由选项可知2a a -≠，即0a ≠ 当0a >时，2(0)2||=20f a a a =--<，2||a a >-， ACD 错，B 对. 当0a <时，2(0)2||20f a a a =-=>，|2|a a >-，ABD 错，C 对. 故选：BC.10．已知函数2()ln(1e )x f x x -=++，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的值域为R B ．()f x 是偶函数C ．(1)y f x =+的图象关于直线1x =-对称D ．2(2)(log 3)f f -> 【答案】BCD【分析】求得()f x 的值域判断选项A ；求得()f x 的奇偶性判断选项B ；求得()f x 的对称轴判断选项C ；求得2(2)(log 3)f f -、的大小关系判断选项D. 【详解】2()ln(1e )ln(e e )x x x f x x --=++=+，因为e e 2x x -+≥， 所以()f x 的值域为[ln 2,)+∞.A 错；()f x 的定义域是R ，且()ln(e e )()x x f x f x --=+=，则()f x 是偶函数.B 对；(1)y f x =+的图象可看成()f x 的图象向左平移一个单位长度，又()f x 的图象关于y 轴对称，则(1)y f x =+的图象关于直线1x =-对称.C 对； 令()e e x x g x -=+，则()e e x x g'x -=-，当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，且()0>g x又ln y x =为()0,∞+上增函数，所以()ln(e e )x x f x -=+在(0,)+∞上单调递增， 因为222log 4log 30=>>，所以2(2)(log 3)f f >，又()f x 是偶函数，则(2)(2)f f -=，则2(2)(log 3)f f ->.D 对. 故选：BCD.11．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则（ ） A ．22ac bc > B ．a b c c>C ．24a bc >D ．222125a b c<<+【答案】ACD【分析】利用不等式的性质可判断A B ；利用基本不等式可判断C ；2222221=+++a bcb c b c ，分0b =、0b >讨论利用不等式的性质可判断，当0b <时，令cx b=，2222111+=+++bc b c x x，根据1x x +的范围可判断D. 【详解】易知0a c >>，20c >，所以22ac bc >，a bc c<，故A 对；B 错； ()222224a b c b bc c bc =+=++>，所以C 对；22222222()21a b c bcb c b c b c+==++++，当0b =时，2221a b c =+；当0b >时，12c a b b =--<-；当0b <时，1c b >，令c x b =，则(2)(1,)x ∈-∞-+∞，，所以222222221111111⋅+=+=+=+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭cbc x b b c x c x x b ，易得()15,2,2⎛⎫+∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭x x ，则()21111215，，⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭+x x，综上，222125a b c <<+，D 对.故选：ACD.12．设函数1()()f x f x ==，且N n *∀∈都有1()(())n n f x f f x +=，则下列判断正确的是（ ）A ．N n *∀∈，()n y f x =的图象关于原点对称B ．N n *∀∈，直线(0)y m m =>和()n y f x =的图象至多只有一个交点C ．N n *∃∈，命题“,R a b ∃∈，满足()[()()]0n n a b f a f b --<”成立D ．N n *∃∈，使得(0,+)y ∀∈∞，都有12()()()n f y f y f y +++>【答案】AB【分析】由递推关系得到()n f x =，即可得到函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可判断A 、B 、C ，再利用放缩法证明，即可判断D ；【详解】解：由题可得21()(())f x f f x ===，同理得3()f x =，由此推得()n f x =R x ∈，所以()()n n f x f x -=-，则()n y f x =为奇函数，函数图象关于原点对称，故A 对.当0x >时，()n f x =N n *∀∈，()n f x 在R 上单调递增，B 对，C 错.(0,+)y ∀∈∞，()n f y <故1()f y +2111()()12n f y f y n++<+++， 当1k=<=，1n +<D 错. 故选：AB. 三、填空题13．集合{}2|7,Z x x x <∈的真子集个数是__________.【答案】31【分析】先化简集合，再利用公式即可求得集合{}2|7,Z x x x <∈的真子集个数【详解】{}2|7,Z =x x x <∈{}2,1,0,1,2--则集合{}2|7,Z x x x <∈的真子集的个数是52131-=.故答案为：3114．请写出一个同时满足以下三个条件的函数()f x =__________. ①()f x 的定义域是R ； ②()f x 是偶函数； ③()f x 的值域为[0,1). 【答案】221x x + (答案不唯一) 【分析】根据函数满足的性质求解即可【详解】令22()1x f x x =+，则()f x 的定义域是R ；22()()()()1x f x f x x --==-+，则()f x 为偶函数；2221()111x f x x x ==-++，因为211x +≥，所以210111x ≤-<+，即()f x 的值域为[0,1)，所以22()1x f x x =+符合题意.故答案为：221x x + (答案不唯一) 15．已知函数32()f x x ax bx c =+++的单调递减区间是[4,2]--，则关于x 的不等式(2)()(4)f f x f -≤≤-的解集是__________.【答案】[5,1]--【分析】根据题意可得不等式()0f x '≤的解集为[4,2]--，再根据二次不等式的解集与系数的关系解得9a =，24b =，再代入(2)()(4)f f x f -≤≤-因式分解求解不等式即可【详解】()232f x x ax b '=++，()f x 的单调递减区间是[4,2]--，则不等式()0f x '≤的解集为[4,2]--，所以42--，是()0f x '=的两根，故9a =，24b =，所以32()924f x x x x c =+++，(2)20f c -=-，(4)16f c -=-.令()(4)f x f ≤-，得32924160x x x +++≤，即22(4)(54)(4)(1)0x x x x x +++=++≤，得1x ≤-；令(2)()f f x -≤，得32924200x x x +++≥，即22(2)(710)(2)(5)0x x x x x +++=++≥，得5x ≥-；所以不等式(2)()(4)f f x f -≤≤-的解集为[5,1]--.故答案为：[5,1]-- 四、双空题16．已知0a >，直线y a =与曲线|ln |y x =交于(,)A m a ，(,)B n a ()m n <其中两点，则224m n +的最小值是_________；曲线|ln |y x =在点A ，B 处的切线分别与y 轴交于C ，D两点，则||CD =__________.【答案】 4 2【分析】直线y a =与曲线|ln |y x =交于(,)A m a ，(,)B n a 可得|ln ||ln |m n a ==即可得1⋅=m n 再根据基本不等式求出224m n +的最小值；曲线|ln |y x =在点A ，B 处的切线的斜率分别为11,m n-从而求出在点A ，B 处的切线方程，最后分别求出与y 轴交点的纵坐标即可得出||2CD =.【详解】依题意，ln ln a m n =-=，则1⋅=m n ，2244m n +≥，当且仅当2m n =.曲线|ln |y x =在点A 处的切线方程为11ln y x m m=-+-，令0x =，得1ln y m =-，曲线|ln |y x =在点B 处的切线方程为11ln y x n n =-+，令0x =，得1ln y n =-+，所以|||2ln ln |2CD m n =--=.故答案为：4 ，2. 五、解答题17．已知集合{|()(2)0}A x x m x =-+<，{|0}B x x m =+<. (1)当1m =时，求A B ；(2)若A B A =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)(2,1)-- (2)(,0]-∞【分析】(1)将1m =代入，求出A ，B ，再由交集的定义求A B 即可; (2)由A B A =可得A B ⊆，再分2m =-，2m >-，2m <-三种情况讨论. 【详解】(1)（1）当1m =时，{|(1)(2)0}{|21}A x x x x x =-+<=-<<，{|10}{|1}B x x x x =+<=<-，所以(2,1)A B =--. (2)若A B A =，则A B ⊆.①2m =-时，A =∅，A B ⊆，符合题意； ②2m >-时，{|2}A x x m =-<<，{|}B x x m =<-. 若A B ⊆，则m m -≥，解得0m ≤，所以(2,0]m ∈-； ③2m <-时，{|2}A x m x =<<-，{|}B x x m =<-. 若A B ⊆，则2m -≥-，解得2m ≤，所以(,2)m ∈-∞-. 综上所述，实数m 的取值范围是(,0]-∞.18．设函数()42x x f x a b =-⋅+，且(0)0f =，(1)2f =. (1)求,a b 的值，并讨论()f x 的单调性；(2)若(,3]x ∃∈-∞，使得()23x f x m <⋅-成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)10a b ==，；()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增(2)1,)+∞【分析】（1）先列方程求得,a b 的值，再利用复合规则去判断()f x 的单调性； （2）先利用分离参数法得到关于实数m 的不等式，再构造新函数并求得其最小值，进而得到实数m 的取值范围.【详解】(1)由题意得，(0)10f a b =-+=，(1)422f a b =-+=，解之得10a b ==，.故()42x x f x =-. 令2x t =，则0t >，设2()g t t t =-，(0,)t ∈+∞. 2x t =在(,1)-∞-上单调递增，1(0,)2t ∈；2x t =在(1)-+∞，上单调递增，1(,)2t ∈+∞. 又由二次函数的性质知，()g t 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增.所以由复合规则可知，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增. (2)由（1）知()42x x f x =-，所以()23x f x m <⋅-可化为2321x x m ->+⋅-. 故原问题等价于(,3]x ∞∃∈-，使得2321x x m ->+⋅-成立.则当(,3]x ∈-∞时，min (2321)x xm ->+⋅-，其中min (2321)x x-+⋅-表示()2321x x h x -=+⋅-在(,3]-∞上的最小值.当(,3]x ∈-∞时，令2x t =，则(0,8]t ∈，设3()1p t t t=+-，则()1p t ≥，当且仅当t所以当t =21log 32x =时，()h x 取得最小值1.故m 的取值范围是1,)+∞.19．已知函数32()2f x x ax bx c =+++为奇函数. (1)求,a c 的值；(2)若()f x 的极大值小于2，求实数b 的取值范围. 【答案】(1)0a c ==(2)3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意()()0f x f x +-=恒成立，从而可得出答案.（2）先求出2()32f x x b '=+，当0b ≥时，()f x 在R 上单调递增，不满足题意，当0b <时，求出其单调区间，得出其极大值，根据条件得出关于b 的不等式，解出答案. 【详解】(1)由题意可知，32()2f x x ax bx c -=-+-+. 因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x +-=，即323222(2)220x ax bx c x ax bx c ax c ++++-+-+=+=对任意的x ∈R 恒成立， 所以0a c ==.(2)由（1）可得3()2f x x bx =+，则2()32f x x b '=+，当0b ≥时，2()320f x x b '=+≥恒成立，则()f x 在R 上单调递增. 则()f x 不存在极大值，与题意不符合.当0b <时，由()0f x '>得x <x >由()0f x '<得x <所以()f x 在,⎛-∞ ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.所以x =()f x 的极大值点，所以3((2(2f b =+<，即2，解得32b >-， 所以实数b 的取值范围为3(,0)2-.20．某校为促进学生积极参加体育锻炼，计划举办一次运动会，并为运动会设计了一款纪念品.如图所示为纪念品的平面图，其中四边形ABCD 为等腰梯形，A ，B 在O 上，且O 的半径为r ，圆心O 到CD 的距离为d ，6AD DC BC ++=，3ADC BCD OAB π∠=∠=∠=.定义高径比d t r=，已知当[1,2]t ∈时，纪念品的总体设计较为协调，符合大众审美.(1)设梯形ABCD 的高为h ，求h 关于r 的函数关系式；(2)当梯形ABCD 的面积S 取得最大值时，判断该纪念品是否符合大众审美.【答案】(1)3)h r =-，(0,6)r ∈ (2)符合【分析】（1）利用题给图形条件及三角函数定义即可求得h 关于r 的函数关系式； （2）先利用梯形ABCD 的面积的解析式，求得面积的最大值，进而可判断该纪念品是否符合大众审美.【详解】(1)因为3π∠=OAB ，OA OB =，所以OAB 是正三角形， AB OA r ==，梯形ABCD 的高为h ， 则sin 3hAD BC ==π，2tan 3h CD r =+π 由226sin tan 33h h r ++=ππ，解得3)h r =-，(0,6)r ∈. (2)由（1）得3)h r =-，(0,6)r ∈. 则22123531293()52436))25tan 3h S r r h r r r =++=-++=-π，(0,6)r ∈ 因为12(0,6)5∈，所以当125r =时，S 93. 此时312)33365sin [1,2]1235d h t r r -π==+==， 故该纪念品符合大众审美.21．设函数2()e ()x f x x ax a -=-+，a R ∈.(1)若()f x 的图象与x 轴相切，求a 的值；(2)若()f x 有两个不同的零点12x x ，，求12()()e a f x f x -''⋅-的取值范围.【答案】(1)0或4(2)56(,1),0e ⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）设()f x 的图象与x 轴的切点为0(,0)x ，根据导数的几何意义可得00()0()0f x f x '==，，从而可得出答案；（2）函数2()e ()x f x x ax a -=-+由两个不同的零点，即20x ax a -+=有两个不同的根，则0∆>，可求得a 的范围，再利用韦达定理可求得1212,x x x x +，再将12()()ea f x f x -''⋅-用a 表示，从而可得到关于a 的一个函数，再利用导数即可得出答案.【详解】(1)解：2()e (2)e ()(2)x x f x x ax a x a x a x --'=-+-+-=---.设()f x 的图象与x 轴的切点为0(,0)x ，则00()0()0f x f x '==，，则200000()(2)0x ax a x a x ⎧-+=⎨--=⎩， 解得00x a ==或024x a ==，，所以a 的值为0或4；(2)解：由条件得，20x ax a -+=有两个不同的根12x x ，，则240a a ∆=->，得0a <或4a >，由根与系数的关系得，1212,x x a x x a +==，因为()e ()(2)x f x x a x -'=---，所以12()221212121212()()e [()][42()]e (4)x x a f x f x a x x a x x x x x x a a -+-''⋅=+-++-+=-，设2()e (4)e a a g a a a --=--，2()e (65)e (1)(5)a a g a a a a a --'=-+=--，令()0g'a >，得1a <或5a >，令()0g a '<得15a <<，又0a <或4a >，所以()g a 在(,0)-∞上单调递增，(4,5)上单调递减，(5,)+∞上单调递增，而22()e (4)e e (41)a a a g a a a a a ---=--=--在(,0)(4,)-∞+∞上为负数，()()()451601,4,5e e g g g =-=-=-， 所以()g a 的取值范围是56(,1)[,0)e -∞--， 即12()()e a f x f x -''⋅-的取值范围为56(,1)[,0)e -∞--. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间及值域问题，考查了转换思想.22．已知函数()e ln x f x x =-，()(1)e x g x x x =--.(1)证明：()f x 有且仅有一个极小值点0x01()2ln 22f x <<+； (2)若对任意0x >，()()1f x mg x +≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)[0,1]【分析】（1）先利用导数判断()f x 的单调性，再利用零点存在定理求得()f x 有且仅有一个极小值点0x01()2ln 22f x <<+成立； （2）0m ≥时，先求得0x >时()()f x mg x +的最小值，构造出关于实数m 的不等式，进而求得实数m 的取值范围；0m <时，举特例否定()()1f x mg x +≥恒成立.综合两种情况得到实数m 的取值范围.【详解】(1)由题意知()f x 的定义域为(0,)+∞， 求导得1()e x f x x'=-，显然()'f x 在(0,)+∞是增函数.又1()202f '<，(1)e 10f '=->，所以存在唯一的01(,1)2x ∈，使得0()0f x '=. 令()0f x '>得0x x >；令()0f x '<得00x x <<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增.所以()f x 在(0,)+∞上存在唯一的极小值点0x ，01(,1)2x ∈ 且有001e x x =，即00ln 0x x +=.一方面，001200011()e ln e e 22x x f x x x =-=+>+=； 另一方面，0000011()e ln ln 2ln 2ln 22x f x x x x =-=-<-=+，01()2ln 22f x <<+. (2)设()()()e ln [(1)e ]x x H x f x mg x x m x x =+=-+--，0x >. 则11()()(e 1)(1)(e )x x H x m x mx x x'=+-=+-，0x >. ①0m ≥时，10mx +>，由（1）知1()e x f x x'=-，()'f x 在(0,)+∞是增函数. 存在01(,1)2x ∈，使得0()0f x '=，当0x x >时，()0f x '>；当00x x <<时，()0f x '<， 且001e x x =，00ln 0x x +=，. 所以()H x 在0(0,)x 上单调递减，在0()，x +∞上单调递增， 所以()H x 的最小值为0()H x ，()1H x ≥等价于0()1H x ≥. 所以000000000011()e ln [(1)e ](1)1x x H x x m x x x m x x x =-+--=++--≥， 即000011(1)1m x x x x --≥--，又01(,1)2x ∈，0012x x +>，所以00110x x --<， 解得1m ，所以[0,1]m ∈；②0m <时，取12x m=-， 令()e x m x x =-，则()e 1x m x '=-，当0x >时，()e 10x m x '=->，()e x m x x =-单调递增；当0x <时，()e 10x m x '-=<，()e x m x x =-单调递减；则0x =时，()e x m x x =-取最小值01(0)e m ==，则()e 0x m x x =->恒成立，即e x x >恒成立 所以12122e m m-<-<， 则11221111(2)e ln(2)[(1)e (2)]m m H m m m m m---=--+---11111222221e ln 2(1)e 2e ln 2(1)e e ln 21m m m m m m m m m m -----⎛⎫<-+---<-+--=-< ⎪⎝⎭ 所以()1H x ≥不恒成立.综上所述，m 的取值范围是[0,1].【点睛】关键点点睛：解决本题的关键利用导函数隐零点，对不等式进行转化.。

福建省漳州市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·平湖期中) 已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y= ，x＞2}，则∁UP=（）A . [ ，+∞）B . （0，）C . （0，+∞）D . （﹣∞，0）∪（，+∞）3. （2分）利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈8.806参照附表，得到的正确结论是（）A . 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B . 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C . 在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D . 在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4. （2分）设O是正△ABC的中心，则向量是（）A . 相等向量B . 模相等的向量C . 共线向量D . 共起点的向量5. （2分） (2016高二下·湖南期中) 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={ }；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=ex﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A . ①②B . ②③C . ①④D . ②④6. （2分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f=0，则满足的x的集合为（）A .B .C .D .7. （2分）若是等差数列，则，，，，，是（）A . 一定不是等差数列B . 一定是递增数列C . 一定是等差数列D . 一定是递减数列8. （2分） (2017高一上·襄阳期末) 已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+x，那么当x＜0时，f（x）=（）A . x2﹣xB . x2+xC . ﹣x2+xD . ﹣x2﹣x9. （2分）(2019高三上·新疆月考) 设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·榆林模拟) 设ω＞0，函数y=2cos（ωx+ ）﹣1的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一上·赣州期中) 已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有，则的值是（）A . 5B . 6C . 7D . 812. （2分）函数f（x）=ax3+6x2+（a﹣1）x﹣5有极值的充要条件是（）A . a=﹣3或a=4B . ﹣3＜a＜4C . a＞4或a＜﹣3D . a∈R二、填空题 (共4题；共9分)13. （5分） (2018高一上·佛山月考) 已知函数，记不等式的解集为 ,记函数的定义域为集合 .（Ⅰ）求集合和（Ⅱ）求和 .14. （2分）(2017·诸暨模拟) 已知函数f（x）=x3﹣3x，函数f（x）的图象在x=0处的切线方程是________；函数f（x）在区间[0，2]内的值域是________．15. （1分）若f（x）=ex﹣ae﹣x为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为________16. （1分）若对于任意的x∈[1，2]，不等式≥1恒成立，则实数a的最小值为________三、解答题 (共7题；共75分)17. （5分） (2016高一上·永兴期中) 已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求实数a的值．18. （15分）已知函数f（x）=log2（x+a）．（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜，当a=1时，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，求实数t的取值范围．19. （15分）在四棱锥中，平面，∥ ，，（1）求证：平面（2）求证：平面平面（3）设点为中点，在棱上是否存在点，使得∥平面？说明理由.20. （10分）(2014·新课标II卷理) 设F1 ， F2分别是C：（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21. （10分） (2015高三上·安庆期末) 已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意的a∈（1，），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，求实数m的取值范围．22. （10分）(2017·柳州模拟) 已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3 ，射线OT：θ= （ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．23. （10分） (2018高二下·抚顺期末) 【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）当 =1时，求不等式的解集；（2）设函数 .当时，，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共9分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。