2018届高中数学苏教版 数系的扩充与复数的引入 单元测试 Word版 含答案

一、选择题1．已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 2．已知i 是虚数单位，则复数1012i i -的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 4．复数34i z i -=，|z |＝（ ） A ．5 B ．3 C ．4 D ．55．设i 为虚数单位，若复数z 满足1z i i =-，其中z 为复数z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1B ．2C ．22D ．2 6．复数z 满足，则 A ． B ．2 C ． D ．7．已知i 是虚数单位，复数1i 1i -+（ ）． A ．1 B ．1-C ．iD ．i - 8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．设i 是虚数单位，复数1a i i -+在复平面内对应的点在直线10x y -+=上，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．2 10．已知3(0)z a i a =>且||2z =，则z =( )A ．13iB ．13iC ．23iD ．33i + 11．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m =A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0 12．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i二、填空题13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z 的共轭复数z ＝________．14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．若复数220171z i i i =++++……，则z =________.（z 表示复数z 的共轭） 16．已知复数z 满足|2|1z i +-=，则|21|z -的取值范围是________.17．i 是虚数单位，则232017232017i i i i ++++=_______.18．已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-_______. 19．设复数12i x yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______. 20．用数学归纳法证明“＜，＞1”时，由＞1不等式成立，推证时，左边应增加的项数是____．三、解答题21．已知复数()00z b i b R =∈，21z i -+是实数，i 是虚数单位. （1）求复数z ；（2）若复数00z b z =+是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值. 22．已知关于x 的方程20x x m -+=()m R ∈的两根为1x 、2x ，且123x x +=，求m 的值.解：1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，12121x x x x m +=⎧∴⎨=⎩， 123,x x +=22112229x x x x ∴++=()2121212229x x x x x x +-+=，即122||9m m -+=，解得2m =-.请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误.如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程.23．复数2(1)(310)(49)z i m i m i =++---，（其中i 为虚数单位，m R ∈）， （1）当0m =时，求复数z 的模；（2）当实数m 为何值时复数z 为纯虚数；（3）当实数m 为何值时复数z 在复平面内对应的点在第二象限？24．计算：（1）)()22245i i +（2）1-的值． 25．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在 （1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围．26．设复数32i z i-=+，若21z ai b i ++=+，求实数,a b 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|z i z i ---++=（i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.2．C解析：C【分析】 先计算出104212i i i=-+-，求出其共轭复数，即得解. 【详解】 由题得1010(12)20104212(12)(12)5i i i i i i i i +-+===-+--+，所以1012i i-的共轭复数为42i --，它对应的点为(4,2)--，在第三象限. 故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．A解析：A【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到12z i --=根据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-==， 即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()1212z i x y i --=-+-=，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4．D解析：D【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模. 【详解】 ()()()2234343443i i i i i z i i i i i----+====----，5z ∴==.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.5．B解析：B【分析】设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-，利用复数代数形式的乘除运算化简即可.【详解】由题意，设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-，由1z i i=-，得()11z i i i a bi =-=+=-， 所以1a =，1b =-，即1z i =-，故2z =.故选：B.【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数的摸，属于基础题. 6．A解析：A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用复数模的公式可得结果.【详解】因为，．故选A ．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 7．D解析：D【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12i i 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 8．A解析：A【解析】【分析】设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹.【详解】设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=()3z i x y i +=++=结合题意有：()()222213x y x y ++=++， 整理可得：310--=x y .即复数z 对应点的轨迹是直线.故选A .【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】【分析】根据复数的运算得11122a i a a i i --+=-+，得到复数在复平面内对应的点为11(,)22a a -+-，代入直线的方程，即可求解． 【详解】由题意，复数()()()()1(1)(1)11111222a i i a i a a i a a i i i i -----+-+===-++-， 所以复数在复平面内对应的点为11(,)22a a -+-， 则111022a a -+++=，解得1a =-，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．B解析：B【解析】【分析】利用复数求模公式得到关于a 的方程，解方程后结合题意即可确定z 的值.【详解】根据复数的模的公式，可知234a +=，即21a =，因为0a >，所以1a =，即1z =，故选B .故答案为B ．【点睛】本题主要考查复数的模的运算法则，复数的表示方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值.【详解】复数()()211z m m i =--+是纯虚数，则： ()21010m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，据此可得：1m =. 本题选择A 选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化. 12．C解析：C【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】 复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．1＋i 【分析】先求出复数的模长把已知登时变形然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数求出即可【详解】因为所以则故答案为【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数模长和共轭复数的概念解题的关键是 解析：1＋i【分析】i 的模长，把已知登时变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 即可.【详解】因为()12i z i +==，所以211z i i==-+，则，故答案为1i +. 【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模长和共轭复数的概念，解题的关键是求出z ，是基础题．14．【分析】因为由即可求得答案【详解】当且仅当和共线其方向相反是等号成立如是方程的两个根故等号可以取得综上所述的最大值为故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握复数基础知识和不等式求最值的方法考查了分析能力 解析：52【分析】因为,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，由()22211|||2|()22zw zw z w z w ==+-+，即可求得答案.【详解】,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，∴()2222221115|||2|()()|||2222zw zw z w z w z w z w ⎡⎤==+-+≤+++=⎣⎦ 当且仅当2()z w +和22z w +共线其方向相反是等号成立如221.4z w z w +=+=-.,z w 是方程2502x x -+=的两个根 13132222z w i =+=-， 故等号可以取得 综上所述，zw 的最大值为52. 故答案为：52. 【点睛】本题解题关键是掌握复数基础知识和不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 15．【分析】根据虚数单位的性质：当时计算求出再求出然后利用复数模的公式计算得答案【详解】解：根据虚数单位的性质：当时则故答案为：【点睛】本题考查虚数单位的性质考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本【分析】根据虚数单位i 的性质：当n N ∈时，41n i =，41n i i +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，计算求出z ，再求出z ，然后利用复数模的公式计算得答案．【详解】解：根据虚数单位i 的性质：当n N ∈时，41n i =，41n i i +=，42i 1n +=-，43i i n +=-， 23420172342013201420152016201711()()z i i i i i i i i i i i i i i =+++++⋯+=+++++⋯+++++ 1001i i =++⋯+=+， ∴1z i =-．则||z =【点睛】本题考查虚数单位i 的性质，考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．16．【分析】根据复数模的几何意义可知表示以为圆心为半径的圆将问题转化为圆上的点到距离的倍的求解问题；根据圆上点到的距离的范围为结合两点间距离公式可求得结果【详解】由知表示以为圆心为半径的圆表示圆上的点到解析：2]【分析】根据复数模的几何意义可知z 表示以()2,1-为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上的点到1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭距离的2倍的求解问题；根据圆上点到P 的距离的范围为[],d r d r -+，结合两点间距离公式可求得结果.【详解】 由21z i +-=知，z 表示以()2,1-为圆心，1为半径的圆12122z z -=-表示圆上的点到1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭距离的2倍圆心到P 的距离d =∴圆上的点到P 的距离的范围为1,122⎤-+⎥⎣⎦21z ∴-的取值范围为2⎤⎦故答案为：2⎤⎦【点睛】本题考查圆上的点到定点距离的取值范围的求解问题，涉及到复数模的几何意义的应用；关键是能够通过所给模长得到z 所表示的图形，并将所求式子转化为距离的求解问题.17．【分析】将视为数列的前项的和然后利用错位相减法可求出结果【详解】为数列的前项的和则上述两式相减得故答案为：【点睛】本题考查复数乘方的运算同时也考查利用错位相减法求和考查计算能力属于中等题解析：10081009i +【分析】将232017232017i i i i ++++视为数列{}n ni 的前2017项的和，然后利用错位相减法可求出结果.【详解】 232017232017i i i i ++++为数列{}n ni 的前2017项的和2017S ， 则2320172017232017S i i i i =++++，23201720182017220162017iS i i i i ∴=++++， 上述两式相减得()()2017232017201845042201711201720171i i i S i i i i i i i ⨯+--=++++-=--()()4504121120172017201711i i i i i i i i⨯+--=-=+=+--， ()()()()201720171201720162018100810091112i i i i S i i i i ++++∴====+--+. 故答案为：10081009i +.【点睛】本题考查复数乘方的运算，同时也考查利用错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题. 18．【分析】写出对应的复数利用复数的除法运算化简所求表达式由此得出正确结论【详解】依题意故原式【点睛】本小题主要考查复数除法运算考查复数对应的点的坐标属于基础题 解析：312i + 【分析】写出z 对应的复数，利用复数的除法运算化简所求表达式，由此得出正确结论.【详解】依题意12z i =-，故原式()()()()32232463122242i i i i i i i i --+====+--. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应的点的坐标，属于基础题. 19．【解析】试题分析：因此所以考点：1复数的除法；2复数相等 解析：25-试题分析：()()()()1211313222555i i i i i i i i ----===-++-，因此15x =，35y =-，所以25x y +=-. 考点：1.复数的除法；2.复数相等20．略【解析】∵左边式子的通项为∴由＞1不等式成立推证时左边应增加共项即左边应增加的项数是解析：略【解析】∵左边式子的通项为121n -，∴由＞1不等式成立，推证时，左边应增加111122122221k k k k k +++++++-，共项，即左边应增加的项数是三、解答题21．(1)2i -;(2) 4b =,8c =【分析】（1）将0z b i =代入21z i-+中，将分子分母同时乘以1i +的共轭复数1i -可得00222122b b z i i -+-=-+，由21z i -+是实数，得02=02b +，求得0b 即可得复数z . （2）将00z b z =+代入方程20x bxc ++=中，化简得()8220b i b c --+=，通过虚部为零，实部为零即可求得实数b 和c 的值.【详解】（1）()00z b i b R =∈，()()()()0000212222=+111122b i i b i b b z i i i i i ----+-∴==+++- 又21z i -+是实数，02=02b +∴，得0=2b -， 2z i ∴=-（2）00+22z b z i ==--是方程20x bx c ++=的根，()()222220i b i c --+--+=，()8220b i b c --+=，82020b b c -=⎧∴⎨-+=⎩，解得48b c =⎧⎨=⎩.本题考查了复数的运算法则、复数相等.复数z a bi =+（,a b 均为实数），其中a 为实部，b 为虚部，i 为虚数单位.当0b =时，z a =，则z 为实数；当00b a ≠=，时，z bi =，则z 为纯虚数.22．不正确，详见解析【分析】解题过程不正确．1x 、2x 为虚根时，22221122||,||x x x x ≠≠．由1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，得12121x x x x m +=⎧⎨=⎩，当△0即14m 时，方程有两个实数根，求出2m =-；当△0<即14m >时，方程有一对共轭虚根，求出94m =． 【详解】解：解题过程不正确．当两根正确的解答过程如下： 1x 、2x 为虚根时，22221122||,||x x x x ≠≠．1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，∴12121x x x x m +=⎧⎨=⎩， ①当0∆≥即14m 时，方程有两个实数根． 12||||3x x +=，∴2211222||9x x x x ++=．2121212()22||9x x x x x x +-+=，即122||9m m -+=，解得2m =-．②当∆<0即14m >时，方程有一对共轭虚根． 221212||||x x x x m ===，13||2x ∴=，解得94m =， 综上所述，2m =-或94m =． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，考查一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．23．（1；（2）4-；（3）41m -＜＜【分析】（1）整理得49z i =-+，再求复数z 的模；（2）由题得223401090m m m m ⎧+-=⎨-+≠⎩，解不等式组即得解；（3）由题得223401090m m m m ⎧+-<⎨-+>⎩，解不等式得解. 【详解】由已知整理得：2131049z i m i m i （）（）（）=++--- ()()2234109m m m m i =+-+-+．（1）当0m =时，49z i =-+，∴()224997z =-+=．（2）当223401090m m m m ⎧+-=⎨-+≠⎩，419,1m m m m =-=⎧⎨≠≠⎩或且，即4m =-，复数z 为纯虚数 （3）当223401090m m m m ⎧+-<⎨-+>⎩，即4119m m m -<<⎧⎨⎩或， 即41m ＜＜-时，复数z 在复平面内对应的点在第二象限． 【点睛】本题主要考查复数的模的求法，考查复数纯虚数的概念，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）2016i -+；（2）π2. 【分析】(1)根据复数的乘法运算法则得到结果即可；（2）根据被积函数的几何意义，得到表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆，此积分即2y 1x =-与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积．【详解】（1）(2+2i)2(4+5i)=2(1+i)2(4+5i)=4i(4+5i)=-20+16i.(2)y ＝ (－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx 表示由曲线y ＝与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积，所以dx ＝S 半圆＝π.【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.也考查了积分的求解，一般求积分值常见方法有：莱布尼茨公式的应用，或者应用被积函数的奇偶性，利用被积函数的几何意义等. 25．（1）0m =;（2）02m <<.【分析】（1）由题()()2226z m m m m i =-++-在虚轴上，则为纯虚数，即满足()0,,0a z a bi ab R b =⎧=+∈⎨≠⎩，建立关于m 的方程组，即可得结果；（2）由()()2226z m m m m i =-++-在复平面上对应的点位于第三象限，即要实部小于零，虚部小于零，可得关于m 的不等式组，建立不等式组可解出.【详解】（1）由，解得m=0． ∴若复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在虚轴上，m=0； （2）由复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在第三象限， 得；，解得；0＜m ＜2．【点睛】 本题主要考查复数的几何意义，考查了虚轴的定义，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.26．34{a b =-=【解析】 本试题主要考查了复数的四则法则的运用．利用22(1)3(1),12i i Z Z aZ b i i++-=++=++若 变形为222(1)3(1)2333(3)(2)122221i i i i i i i Z i i i i ++-+----=====-++++，然后利用乘法和除法公式得到1)2((1)11{213{4i a i b ia b a a b -∴+-+=++=+=-=-∴=即得到结论． 解：222(1)3(1)2333(3)(2)122221i i i i i i i Z i i i i ++-+----=====-++++………5分 1)2((1)11{213{4i a i b ia b a a b -∴+-+=++=+=-=-∴=即…………………………………………10分。

第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的概念(1)理解复数的基本概念．(2)理解复数相等的充要条件．2．复数的运算(1)了解复数的代数表示法及其几何意义．(2)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．知识点一复数的概念及几何意义1．复数的概念形如a＋b i(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a＋b i为实数；若b≠0，则a＋b i为虚数；若a＝0，b≠0，则a＋b i 为纯虚数．2．复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．4．复数的模向量O Z→的长度叫作复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.5．几何意义易误提醒1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.[自测练习]1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝( ) A ．－2 B ．－2i C ．2D ．2i解析：因为z ＝1＋i ，所以zi ＋i·z ＝－i ＋1＋i ＋1＝2. 答案：C2．已知复数a ＋3i1－2i 是纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6解析：a ＋3i 1－2i ＝a －6＋(2a ＋3)i 5，∴a ＝6时，复数a ＋3i 1－2i 为纯虚数． 答案：D3．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：∵z ＝i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，∴复数z 在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限． 答案：A知识点二 复数的代数运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i. (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．必记结论 掌握复数代数运算中常用的几个结论： 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N ＋.[自测练习]4．已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A.12－12iB.72－12iC.12＋12iD.72＋12i解析：2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝5＋5i 10＝12＋12i.答案：C5．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＋1＋2i ＋i 2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：D考点一 复数的有关概念|1．若a＋b i＝51＋2i(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝() A．－2 B．－1C．1 D．2解析：a＋b i＝51＋2i＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.答案：A2．(2015·高考湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．i B．－iC．1 D．－1解析：i607＝i4×151·i3＝－i，又－i的共轭复数为i，选A.答案：A3．(2015·高考天津卷)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．解析：由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a ＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.答案：－2解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点二复数的几何意义|1．(2015·山西四校联考)复数z ＝i(－2－i )2(i 为虚数单位)，z 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝i (－2－i )2＝i 4＋4i －1＝i 3＋4i ＝i (3－4i )25＝425＋325i ，所以z 在复平面内所对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325在第一象限，故选A. 答案：A2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC→＝λOA →＋μOB →，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________． 解析：由条件得OC→＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)， 根据OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：1判断复数在平面内的点的位置的方法首先将复数化成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限．考点三 复数的代数运算|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：因为(z －1)i ＝1＋i ，所以z ＝1＋ii ＋1＝2－i ，选C. 答案：C2．(2015·高考湖南卷)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：由题意得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.答案：D3．设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( )A ．－5＋12iB ．－5－12iC ．－13＋12iD ．－13－12i解析：∵z 1＝3－2i ，∴z 2＝－3＋2i ，z 1·z 2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选A.答案：A复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．(3)利用复数相等求参数．a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．15.方程思想在复数问题中的应用【典例】 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . [思路点拨] (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来．(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．[解] 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3(a 2＋b 2)＝－6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[方法点评] (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x ，y 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．[跟踪练习] (2015·高考福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A ．3，－2B ．3,2C ．3，－3D ．－1,4解析：因为(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i ，所以3－2i ＝a ＋b i ，所以a ＝3，b ＝－2，故选A.答案：AA 组 考点能力演练1．(2016·洛阳模拟)设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为(2＋a i)i ＝－a ＋2i ，又其实部与虚部互为相反数，所以－a ＋2＝0，即a ＝2，故选B.答案：B2．复数1＋2i i 的共轭复数是a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚数单位，则点(a ，b )为( ) A ．(1,2) B ．(2，－1) C ．(2,1)D ．(1，－2)解析：1＋2ii ＝2－i ，其共轭复数为2＋i ，即a ＋b i ＝2＋i ，所以a ＝2，b ＝1.故选C.答案：C3．设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝－3”是“复数z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚数，则x 2＋2x －3＝0且x －1≠0，解得x ＝－3，故x ＝－3⇔复数z 为纯虚数，选C.答案：C4．在复平面内，复数－2＋3i 3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵－2＋3i 3－4i ＝(－2＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∴－1825＋125i 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1825，125，在第二象限，故选B.答案：B5．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 答案：C6．(2015·高考江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5. 答案： 57．(2015·高考重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.解：设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i)(a －b i)＝z z ＝|z |2＝3. 答案：38．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.解析：m ＋i 1＋i －12＝(m ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )－12＝(m ＋1)＋(1－m )i 2－12＝m ＋(1－m )i2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：129．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1.(4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2 ＝－i 3＋i ＝(－i )(3－i )4 ＝－14－34i.10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.B 组 高考题型专练1．(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125iD ．－177＋257i解析：7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i25＝1－i.选A.答案：A2．(2014·高考江西卷)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，又z ＋z ＝2，即(a ＋b i)＋(a －b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z )i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i ＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.答案：D3．(2015·高考山东卷)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.答案：B5．(2015·高考安徽卷)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，其在复平面内所对应的点位于第二象限．答案：B6．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝i ，所以|z |＝1.答案：A7．(2015·高考四川卷)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( ) A ．－i B ．－3i C ．iD ．3i解析：i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i ，选C. 答案：C8．(2015·高考重庆卷)复数(1＋2i)i 的实部为________． 解析：因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以实部为－2. 答案：－2。

第3章 数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充双基达标限时15分钟 1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为________．解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ m m ＋1＝0，m 2－1≠0.所以m ＝0.答案 02．对于复数集C ，实数集R ，虚数集M ，纯虚数集P ，下列关系：①P∪R ＝C ；②M∪R ＝C ；③P∩M ＝∅；④(M∪R )C .其中正确的是________(只填序号)．答案 ②3．复数z ＝－3i 的实部是__________，虚部是________．答案 0 －34．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为__________．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，得a ＝－4.答案 －45．以3i －2的实部为虚部，以－7的虚部为实部的复数是__________． 答案 －2i 6．说出下列数(其中i 是虚数单位)中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？实部与虚部分别是什么？2＋7，27i,0，i ，i 2,5i ＋8，i(1－3)，2－i 2. 解 实数有：2＋7，0，i 2，它们的实部分别为2＋7，0，－1，虚部都为0.虚数有：27i ，i,5i ＋8，i(1－3)，2－i 2，它们的实部分别是0,0,8,0,2，虚部分别为27，1,5,1－3，－ 2. 纯虚数有：27i ，i ，i(1－3)，它们的实部都为0，虚部分别为27，1,1－ 3. 综合提高限时30分钟 7．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a 、b 的值分别是________．解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，∴a ＝±2，b ＝5.答案 ±2，58．已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，则有序实数对(x ，y )＝________.解析 由复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，xy ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1.答案 (1,1)或(－1，－1)9．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1,3}，M ∩P ＝{3}，则实数m ＝__________.解析 ∵M ∩P ＝{3}，∴3∈M .∴3＝m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0， ∴m ＝－1.答案 －110．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是__________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10.得：m ＝3.答案 {3}11．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合M ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a 、b .解 依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ③由①得a ＝－3，b ＝±2，经检验a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去．∴a ＝－3，b ＝2.由②得a ＝±3，b ＝－2.又a ＝－3，b ＝－2不合题意．∴a ＝3，b ＝－2.③中，a ，b 无整数解不符合题意．综合①、②得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.12．设z 1＝(m 2－2m －3)＋(m 2－4m ＋3)i ，z 2＝－3－i ，当m 取何实数时：(1)z 1＝z 2；(2)z 1≠0.解 (1)∵z 1＝z 2，∴(m 2－2m －3)＋(m 2－4m ＋3)i ＝－3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝－3，m 2－4m ＋3＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2－4m ＋4＝0，解得m ＝2.(2)∵z 1≠0，∴(m 2－2m －3)＋(m 2－4m ＋3)i≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≠0，m 2－4m ＋3≠0，解得m ≠3.13．(创新拓展)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＋i ＝y －3－y i ，①2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i ② 有实数解，求实数a ，b 的值．解 由①得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y ，y －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4， 将x ，y 代入②得(5＋4a )－(6＋b )i ＝9－8i ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋4a ＝9，－6＋b ＝－8，∴a ＝1，b ＝2.。

单元素养评价(二)(第3章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.设复数z满足z(1+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为( )A.-iB.-1C.1D.i【解析】选B.由z(1+i)=2得z===1-i,所以z的虚部为-1.2.已知实数a,b满足a=(1+i)·(1-bi),其中i是虚数单位,则|a-bi|=( )A. B. C.5 D.3【解析】选A.a=(1+i)(1-bi)=(1+b)+(1-b)i,因为a,b是实数,所以解得所以=.3.(2020·全国Ⅲ卷)复数·(1+i)=1-i,则z=( )A.1-iB.1+iC.-iD.i【解析】选D.因为====-i,所以z=i.4.复数z1=2+i,若复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z1z2=( )A.5B.C.-5D.1【解析】选C.由题意知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=-5.5.已知复数z满足:(-1+2i)+=5-6i,则|z|= ( )A.6B.8C.D.10【解析】选D.=(5-6i)-(-1+2i)=5-6i+1-2i=6-8i,所以z=6+8i,所以|z|==10.6.已知复数z=,i为虚数单位,是z的共轭复数,则·z= ( )A.iB.-iC.-1D.1【解析】选D.z===i,所以·z=-i2=1.7.若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b= ( )A.-B.C.D.【解析】选A.因为==-i,又因为复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,所以=,解得b=-.8.定义复数的一种运算z1*z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且实数a,b 满足a+b=3,则z*最小值为( )A. B. C. D.【解析】选B.z*===|z|===,因为a+b=3,所以ab≤=,因此z*≥=.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.设有下面四个命题,其中真命题为 ( )A.若复数z满足∈R,则z∈RB.若复数z满足z2∈R,则z∈RC.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=D.若复数z∈R,则∈R【解析】选AD.令z=a+bi(a,b∈R),则由==∈R得b=0,所以z∈R,故A正确; 当z=i时,因为z2=i2=-1∈R,而z=i∉R知,故B不正确;当z1=z2=i时,满足z1·z2=-1∈R,但z1≠,知C不正确;对于D,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故D正确.10.已知a∈R,i是虚数单位,若z=a+i,z·=4,则a的值可以为( )A.1B.-1C.-D.【解析】选AB.由z=a+i,z·=4得a2+3=4,所以a=±1.11.当实数a取下列哪些值时,复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限( )A.-5B.-1C.-2D.1【解析】选AC.z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为对应的点在第二象限,所以解得a<-1.12.已知复数(1+i)(a+bi)=2+4i(a,b∈R),函数f(x)=2sin图象的对称中心是( )A. B.C. D.【解析】选BCD.因为(1+i)(a+bi)=2+4i,所以a+bi===3+i,所以a=3,b=1.f(x)=2sin,令3x+=kπ,k∈Z,所以x=-+,k∈Z,令k=0,得x=-,令k=1,得x=,令k=3,得x=.故选BCD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 请把正确答案填在题中横线上)13.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是____________.【解析】z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,所以|z|=.答案:14.设x,y为实数且+=,则x+y=____________.【解析】+=可化为+=,即+i=+i,由复数相等的充要条件知所以所以x+y=4.答案:415.(2019·江苏高考)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是____________.【解析】因为(a+2i)(1+i)=(a+2)i+a-2,实部为0,即a-2=0,所以a=2.答案:216.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=____________, ab=____________. 【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则解得则a2+b2=5,ab=2.答案:5 2四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z1=1-2i,z2=3+4i,i为虚数单位.(1)若复数z1+az2对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.(2)若z=,求z的共轭复数.【解析】(1)z1+az2=1-2i+a(3+4i)=1+3a+(4a-2)i,由题意得解得a∈.(2)z====-1-i,所以z的共轭复数=-1+i.18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.因为==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.所以(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.由于(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,所以解得2<a<6.所以实数a的取值范围是(2,6).19.(12分)求实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)零.【解析】令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,z是实数.(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,z是虚数.(3)当即k=4时,z是纯虚数.(4)当即k=-1时,z是0.20.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.【解析】设z C=x+yi,x,y∈R,对应的复数为-2+6i-(1+2i)=-3+4i,因为OA∥BC,|OC|=|AB|,所以k OA=k BC,|z C|=|-3+4i|,即解得或因为|OA|≠|BC|,所以x=-3,y=4(舍去),故z=-5.【拓展延伸】数形结合思想方法的应用(1)复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现,它们可以相互转化.(2)涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.21.(12分)已知复数z=,ω=z+ai(a∈R),当≤时,求a的取值范围.【解析】因为z===1-i,所以|z|=,又=≤,所以|ω|≤2.而ω=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i(a∈R),则≤2⇒(a-1)2≤3,所以-≤a-1≤,1-≤a≤1+.22.(12分)已知实数x,y满足(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i.(1)求实数x,y的值.(2)若复数z=x+(y-2)i,求复数z的共轭复数以及复数z的模|z|. 【解析】(1)原等式可整理为(3y-2x)+(-10y+x)i=1-9i.根据复数相等的条件可得所以(2)z=1-i,=1+i,|z|=.【补偿训练】已知z1=cos θ+isin2θ,z2=sin θ+icosθ,当θ为何值时:(1)z1=z2.(2)z1,z2对应点关于x轴对称.(3)|z2|<.【解析】(1)因为z1=z2,所以即解得θ=2kπ+(k∈Z).(2)因为z1与z2对应点关于x轴对称,所以即解得θ=2kπ+π(k∈Z).(3)因为|z2|<,所以<, 即3sin2θ+cos2θ<2,化简得sin2θ<,解得-<sin θ<,所以kπ-<θ<kπ+(k∈Z).。

一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A ．21-B ．22-C ．21+D ．22+2．下面是关于复数21iz =-+的四个命题：1:2p z =；22:2p z i =；3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中,真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．54．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A ．2 B ．23C ．-2D ．23-5．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A 3B 6C ．6D ．37．已知i 为虚数单位，复数21iz =+，则z z -等于（ ） A ．2B ．2iC ．2i -D ．08．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -9．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线10．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段11．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --12．已知复数3z a i =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a =A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0二、填空题13．在复平面内，到点133i -+的距离与到直线:3320l z z ++=的距离相等的点的轨迹方程是________.14．i 是虚数单位，则232017232017i i i i ++++=_______.15．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 16．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 17．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____．18．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________ 19．有以上结论：①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________．20．已知复数213(3)2z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）． （1）若,求的值；（2）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.三、解答题21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？22．已知虚数z 满足|21||22|z i z i +-=+-（i 为虚数单位）. （1）求||z 的值; （2）若1mz R z+∈，求实数m 的值. 23．已知复数z=m(m-1)+( m 2+2m-3)i 当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i24．已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，（1）z R ∈？（2）z 是虚数？（3）z 是纯虚数？ （4）z 对应的点位于复平面第二象限？ （5）z 对应的点在直线30x y ++=上？ 25．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈. （1）若z 为实数，求a 的值； （2）若z 为纯虚数，求a 的值； （3）若93z i =-，求a 的值. 26．已知z 是复数，z i +和1zi-都是实数， （1）求复数z ；（2）设关于x 的方程2(1)(31)0x x z m i ++--=有实根，求纯虚数m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆，而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离， 结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项.2．B解析：B【分析】化简复数1i z =--，结合复数的基本概念，共轭复数的概念，以及复数的模的计算，即可判定，得到答案. 【详解】 由题意，复数()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，则z =，所以1p 是错误的；22(1)2z i i =--=，所以2p 是正确的；z 的共轭复数为1i -+，所以3p 是错误的； z 的虚部为1-，所以4p 是正确的.故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，以及复数的概念及分类，以及共轭复数的概念及应用，着重考查了推理与辨析能力.3．D解析：D 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．D解析：D 【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=，所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．C解析：C 【解析】 ∵ 22(1)112i z i i -===-+，∴ 1(1)2z z i i i -=--+=-，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．8．C解析：C 【解析】113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 9．A解析：A 【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到答案． 【详解】由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=()3z i x y i +=++=结合题意有：()()222213x y x y ++=++，整理可得：310--=x y . 即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i iz i i i i ++++====+--+， 所以35z i =-，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】 首先求解4z z+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】 由题意可得：4z a z +=++()243a a a =++22441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭， 若4z R z +∈，则24103a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项. 【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.二、填空题13．【分析】设z ＝x+yi （xy ∈R ）可得直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝0由于点3i 在直线3x+1＝0上即可得出点的轨迹【详解】设z ＝x+yi （xy ∈R ）则直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝ 解析：3y =【分析】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），可得直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0．由于点13-+3i 在直线3x +1＝0上，即可得出点的轨迹． 【详解】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），则直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0． ∵点13-+3i 在直线3x +1＝0上， ∴在复平面内，到点13-+3i 的距离与到直线l ：3z +3z +2＝0的距离相等的点的轨迹是y ＝3．故答案为：y ＝3． 【点睛】本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】将视为数列的前项的和然后利用错位相减法可求出结果【详解】为数列的前项的和则上述两式相减得故答案为：【点睛】本题考查复数乘方的运算同时也考查利用错位相减法求和考查计算能力属于中等题 解析：10081009i +【分析】 将232017232017i i i i ++++视为数列{}nni的前2017项的和，然后利用错位相减法可求出结果. 【详解】232017232017i i i i ++++为数列{}nni的前2017项的和2017S，则2320172017232017S i i i i =++++，23201720182017220162017iS i i i i ∴=++++，上述两式相减得()()2017232017201845042201711201720171i i i S i i i i i i i⨯+--=++++-=--()()4504121120172017201711i i i i i i ii⨯+--=-=+=+--， ()()()()201720171201720162018100810091112i i i iS i i i i ++++∴====+--+. 故答案为：10081009i +. 【点睛】本题考查复数乘方的运算，同时也考查利用错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.15．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确解析：0 【分析】根据复数相关概念逐一判断. 【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3； 当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==； 因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应； 综上无正确命题，即正确命题的个数是0. 【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.16．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi17．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.18．【解析】由得：则x=1时时当时当时故答案为解析：【解析】由410,x x C -=∈得： 1x x i ，=±=±，则x=1时 123x z i -=-+=1x =-时，123x z i -=--+=，当x i =时，2324x z i i i -=-+=-+=当x i =-时，2322x z i i i -=--+=-+=.故答案为19．③【解析】当时复数也是故①错误当时没有复数和其对于故②错误平面中的长度类比到空间即是面积故③正确由于方向与相同或者相反方向与方向相同或者相反故④错误综上所述正确的命题是③点睛：本题主要考查命题真假性解析：③【解析】当,2x i y i ==-时，复数也是2i +，故①错误.当0a =时，没有复数和其对于，故②错误.平面中的长度，类比到空间即是面积，故③正确.由于()a b c ⋅⋅方向与c 相同或者相反， ()a b c ⋅方向与a 方向相同或者相反，故④错误.综上所述，正确的命题是③.点睛：本题主要考查命题真假性的判断.第一个是复数的运算，与平时运算的差别是题目中,x y 是在复数集内选两个数，举出反例判断出结论是错误的.第一个结论主要用0a =来排除.第三个结论涉及到的知识点是向量的数量积运算，向量数量积运算结果是实数，数乘以向量，结果是向量.20．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由复数的定义为实数时虚部为0由此可求得；（2）求得对应点是它在第一象限则横纵坐标均大于0列出不等式组可求得范围试题解析：（1）（2）21a -<<-.【解析】试题分析：（1）由复数的定义，z 为实数时，虚部为0，由此可求得a ；（2）求得2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+，对应点是23(3,34)2a a a ---+，它在第一象限，则横、纵坐标均大于0，列出不等式组，可求得a 范围． 试题（1）由230a -=，得3a =± （2）由条件得，2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+ 因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有2320{2340a a a ->+--> ∴12{241a a a -<<-><-或解得21a -<<-．考点：复数的概念，复数的几何意义．【名师点睛】复数的概念形如a+b i(a ,b ∈R)的数叫做复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+b i 为实数;若b ≠0 ,则a+b i 为虚数;若a=0且b ≠0,则a+b i 为纯虚数.三、解答题21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值； （2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值.【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数. 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.22．（12）12m =. 【分析】（1）设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠），利用模长的定义可构造出方程，整理出222a b +=，从而求得z ；（2）整理得到122a b mz am bm i z ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，根据实数的定义求得结果.【详解】 （1）z 为虚数，可设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠） 则22122a bi i a bi i ++-=++-，即()()()()212122a b i a b i ++-=++- ()()()()2222212122a b a b ∴++-=++-整理可得：222a b +=z ∴==（2）由（1）知221122a bi a b mz am bmi am bmi am bm i z a bi a b -⎛⎫+=++=++=++- ⎪++⎝⎭ 1mz R z +∈ 02b bm ∴-= 又0b ≠ 12m ∴=【点睛】本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.23．⑴m=1⑵m=0⑶ m=2【分析】对于复数(,)z a bi a b R =+∈，（1）当且仅当0ab 时，复数0z =；（2）当且仅当0a =，0b ≠时，复数z 是纯虚数；（3）当且仅当2a =，5b =时，复数25z i =+．【详解】（1）当且仅当 ()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得m=1，即m=1时，复数z=0． （2）当且仅当()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩解得m=0， 即m=0时，复数z=﹣3i 为纯虚数．（3）当且仅当()212235m m m m ⎧-=⎨+-=⎩ 解得m=2，即m=2时，复数z=2+5i ．【点睛】 本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．24．（1）3m =- (2) 13m m ≠≠-且（3）0m =或2m =-（4）3m <-（5）0m =或2m =-【解析】试题分析：（1）要复数为实数，则虚部为零，即2230m m +-=且10m -≠，解得3m =.（2）要复数为纯虚数，则实部()201m m m +=-，虚部2230m m +-≠，解得0,2m m ==-.（3）复数对应的点在第二象限，则实部()201m m m +<-，虚部2230m m +->，解得3m <-.（4）将实部和虚部代入直线方程，解方程可求得0,2m m ==-.试题（1）由2230m m +-=，且10m -≠，得3m =，故当3m =-时， z R ∈；（2）由()220,{1230,m m m m m +=-+-≠ 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时， z 为纯虚数；（3）由()220,{1230,m m m m m +<-+-> 解得3m <-，故当3m <-时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限；（4）由()()2223301m m m m m +++-+=-， 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时，复数z 对应的点在直线30x y ++=上.25．（1）1a =；（2）21-=a ；（3）2-=a . 【解析】试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈为实数的条件0b =；（2）复数z 为纯虚数的条件0,0a b =≠；（3）两复数相等的条件：实部、虚部分别对应相等.试题解：（1）若z 为实数，则01=-a ，得1=a ． （2）若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧≠-=--010122a a a ，解得21-=a ． （3）若i 39-=z ，则⎩⎨⎧-=-=--319122a a a ，解得2-=a ．考点：1.复数为实数、纯虚数的条件；2.两复数相等的条件.26．（1）1z i =-；（2）m i =-.【分析】（1）设z a bi =+，化简z i +和1z i -，若为实数，则虚部为零；（2）设m di =，根据复数相等计算.【详解】（1）设z a bi =+，则(1)z i a b i +=++，122z a b a b i i -+=+- 若z i +和1z i -都是实数，则1002b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =，1b =-， 所以1z i =-.（2）设m di =，则方程为2(2)(31)0x x i di i +---=，即223(1)0x x d x i +++-=，若方程有实数根，则223010x x d x ⎧++=⎨-=⎩，解得1x =，1d =-， 所以，纯虚数m i =-.【点睛】本题考查复数的性质和运算.注意区分虚数、纯虚数、复数等概念.。