1.数系的扩充与复数的引入(一)

数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ .三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则： (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i解析：选C 5＋3i 4－i ＝(5＋3i )(4＋i )(4－i )(4＋i )＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i17＝1＋i.4．若复数z 满足z1＋i ＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(2－2b )－(4＋b )i5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1. x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.(2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝(－1)＋(－i )＋11－i ＝－i1－i＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z ＋z 2的值为( )A ．－3iB ．－2iC ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析：(1)依题意得zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i 1－i－2i ＝i －2i ＝－i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )224＝i 4＝1.答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i 3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B (1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52. 5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB，其中O 为坐标原点，则|AB|＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB|＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i ＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i)12.(－1＋i )(2＋i )i 3＝________.解析：(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25.答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. 答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－ba ＋1i. ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B a ＋2i i ＝i (a ＋2i )i 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x (x 2＋y 2＋1)＋y (1－x 2－y 2)i(x 2－y 2＋1)2＋4x 2y 2，∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i 3－2i ＝(1－3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知， a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725.由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，故c 2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP|，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP . AB ＝(2,2)，AP＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.1365 C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，①b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴0<cos θ<22. ①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin Asin (A ＋C )＝________.解析：sin A sin (A ＋C )＝sin A sin B ＝a b ＝23.答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________． 解析：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2α－π3. ∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝(k ＋1)π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，2，⎝⎛⎭⎫11π12，－2. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值． 解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝⎛⎭⎫5π12，2， ∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝2⎝⎛⎭⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]． 所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1＝2⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·OC的值域．解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC＝(－1，3)．所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫α－π6<32，从而－1<f (α)< 3. 所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)．而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m2，即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1.(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc 2sinA ≤a 22·32＝334.。

第3讲 数系的扩充与复数的引入一、 基础知识梳理：1．复数的有关概念：(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R，i 叫作 ，a 叫作复数的 ，b 叫作复数的 ．②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a ，b ∈R)．(2)复数集①定义： 组成的集合叫作复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)分类：复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示： .3．两个复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当 .4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)Z (a ，b ) 复平面内的点 ；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) OZ →＝(a ，b )平面向量 ．5．复数的模：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝ .二．问题探究探究点一：复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1：符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．探究点二：复数的分类例2：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2：实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点三：两复数相等例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪训练3：已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．探究点四：复数的几何意义例4：在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练4： 已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求复数z .三.方法小结：1.复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫作复数的虚部．2.两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．3.按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值四.练一练1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。

若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。

2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。

(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。

3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。

②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。

③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。

④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。

(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。

§1 数系的扩充与复数的引入复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的。

现在它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得了广泛的应用。

复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,在初等数学范围内，它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便。

高手支招1细品教材一、虚数单位i状元笔记i就是-1的一个平方根，-i是-1的另一个平方根。

1.我们把平方等于—1的数用i表示，规定i2=—1，其中的i叫做虚数单位.虚数单位的引入是为了使方程x2+1=0,即x2=—1有解,使实数的开方运算总可以实施(即让负数能开平方根），实数集的扩充就从引入平方等于—1的“新数”开始.2。

i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算仍然成立.i可以与实数进行四则混合运算，是扩充数集的原则之一，这里只提加、乘运算，不提减、除运算，并不是对减、除运算不成立，这和后面在讲复数的四则运算时，只对加法和乘法法则作出规定,而把减法、除法运算分别定义为加法、乘法的逆运算的做法一致的,即在四则运算中突出加、乘运算,这样处理更为科学、合理，分清了主次。

二、复数的概念1.复数与复数集我们把形如a+bi （a ，b ∈R )的数叫做复数.其中i 做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi ｜a,b ∈R ｝叫做复数集。

2。

复数的实部与虚部(1)复数通常用字母z 来表示，即z=a+bi （a,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部,分别用Rez 与Imz 表示,即a=Rez,b=Imz 。

【示例】 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数,哪些是虚数，哪些是纯虚数.4,2-3i ，0，21-+34i,5+2i,6i 。

思路分析：要指出这些复数的实部与虚部,我们首先要弄清楚这些复数的完整形式,如2—3i 本身已是复数的完整形式,其实部与虚部一目了然,然而像4，6i 等形式简化的复数,在指出它们的实部与虚部时可先写出它们的完整的复数形式,如4=4+0i,那么,我们便马上得出4的实部是4，虚部为0;6i=0+6i ，则我们马上可知其实部是0，虚部是6。

数系的扩充与复数的引入1．[2015·课标全国卷Ⅰ]已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i答案 C解析 ∵(z －1)i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＋1＝(1＋i )(－i )－i 2＋1＝1－i ＋1＝2－i.2．[2016·吉林长春调研]如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3答案 A解析 z 1＝－2－i ，z 2＝i ，|z 1＋z 2|＝|－2|＝2.选A.3．[2016·琼海模拟]若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1答案 B解析 解法一：由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2.所以1＋a 2＝2.∵a >0，∴a ＝ 3.解法二：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝|a ＋i|＝a 2＋1＝2， ∴a ＝ 3.4．[2015·山西四校联考]“复数z ＝3－a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 z ＝3－a i i ＝(3－a i )·i i·i ＝－a －3i 对应的点在第三象限，则a >0，可以判断“a >0”是“a ≥0”的充分不必要条件．5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( )A ．－25B ．－25i C.25 D.25i答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25. 6．[2016·金版创新]设复数z 满足z ＋|z －|＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ，由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1∴⎩⎨⎧a ＝34b ＝1，故z ＝34＋i ，∴选B.7．[2015·天津高考]i 是虚数单位，计算1－2i2＋i 的结果为________．答案 －i解析 z ＝1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i5＝－i.8．[2014·湖南高考]满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数是________． 答案 12－i 2解析 由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ， 即z ＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－i 2.9．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．答案 1解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)， 根据OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.10．[2015·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i. 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.11．若复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3. 12．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i. 又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)． [B 级 知能提升](时间：20分钟)1．[2013·陕西高考]设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 答案 C解析 实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0，所以A 正确；同理，z 2<0，则z 是纯虚数，所以B 正确；反过来，z 是纯虚数，z 2<0，D 正确；对于选项C ，不妨取z ＝1＋i ，则z 2＝2i 不能与0比较大小．2．[2016·武汉调研]复数m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，设在复平面内对应的点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －2，y ＝m －1，消去m 得x －3y －1＝0， 因为直线x －3y －1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.3．[2016·河南模拟]若z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( ) A ．－17 B ．－7 C ．－73 D ．－1答案 B解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35，cos θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝－34－11－34＝－7.选B. 4．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解 存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i ，z ＋5z 是实数， 根据题意有⎩⎨⎧b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

数系的扩充和复数的概念1. 数系的演变说到数，大家可能会想起从小到大学的那些简单的算数题。

其实，数的世界可不止这些啊，随着时间的推移，数学家们可没闲着，他们不断在探索和扩充数的种类，直到把它们搞得五花八门，简直让人眼花缭乱。

首先，我们从最基本的自然数说起，自然数就像我们在数手指头时用到的那些，比如1、2、3……这些都是小朋友们耳熟能详的。

但是，等到你发现了零，这可就是个“翻天覆地”的概念了。

零的加入，瞬间让自然数的大家族扩展成了整数的大家庭，嘿，这可是一种“大门大开”的感觉呀！1.1 整数的引入说到整数，大家知道它们就是自然数加上了负数部分，像1、2、3……这样的存在。

整数让我们的数系更加丰富，原本的“有钱”小朋友们也多了些“欠债”的伙伴，嘿嘿，这样一来，数的对比和运算就变得更加有趣了。

想想，如果没有负数，我们能做多少有趣的数学题呢？而整数的出现，恰如给数系加上了一对翅膀，让它飞得更高，看到更广的世界。

1.2 有理数的诞生紧接着，数学家们又发现了“有理数”。

这可是一群有趣的数，它们可以被写成分数的形式，像是1/2、3/4、甚至5/6这样的，真是让人觉得“哇塞”。

有理数的加入，给我们提供了更多的可能性，特别是在解决实际问题的时候。

想象一下，我们在做蛋糕时，切一块有理数大小的蛋糕，那可真是“酸甜苦辣”的完美结合了！2. 复数的出现不过，数系的扩展可不止于此！随着数学的发展，复数这个家伙也横空出世了，简直是个“黑马”。

复数的形式看上去有点怪异，像是a + bi，其中a是实数，b是虚数，i是一个让人咋舌的数，它的平方竟然是1！这真是让许多人瞠目结舌，脑袋里一片空白。

“这怎么可能呢？”不少人疑惑地问。

但是，复数的引入，真的让我们可以解决许多在实数范围内无法解决的问题，简直是“救命稻草”。

2.1 复数的应用再想想，复数的应用可真广泛，从电工程到量子物理，它们都大展身手。

比如，在电路中，复数可以用来描述交流电的性质。

本章总结知识结构专题总结专题一复数的概念1.虚数单位i 的平方等于-1,实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.2.形如a+bi(a 、b ∈R )的数,叫做复数.全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C 表示.3.复数表示成a+bi 的形式叫做复数的代数形式.4.对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数a;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数;a 与b 分别叫做复数a+bi 的实部与虚部. 【例1】 (2005天津高考，理2) 若复数iia 213++(a ∈R ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( )A.-2B.4C.-6D.6 思路分析:因为iia 213++是纯虚数,所以,只要使其实部为零,虚部不为零即可,因此,要先化简i i a 213++,对其进行分母实数化,即i i a 213++=i aa i i i i a 52356)21)(21()21)(3(-++=-+-+,令其实部56+a =0且虚部523a-≠0,得a=-6. 答案:C【例2】 (2006四川高考，理2) 复数(1-i)3的虚部为( )A.3B.-3C.2D.-2 思路分析:将复数(1-i)3展开,整理得1-3i+3i 2-i 3=-2-2i,其虚部为-2.答案:D【例3】 (2005福建高考，理1) 复数z=i-11的共轭复数是( ) A.21+21i B.2121-i C.1-i D.1+i 思路分析:可先求共轭复数,再化简;也可先化简,再求共轭复数.即i i i i z 21211111)11(-=+=-=-=;或者是,因为z=i -11=21)1)(1(1ii i i +=+-+,21)21(i i z -=+==2121-i.答案:B专题二复数的四则运算1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.2.设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;它们的商(a+bi)÷(c+di)=2222dc adbc d c bd ac +-+++i(c+di≠0). 3.在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成dic bia ++的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数(c-di).【例4】 (2007海南、宁夏高考，文15) i 是虚数单位,i+2i 2+3i 3+…+8i 8=______________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 思路分析:对任何n ∈N *，都有i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i,i 4n =1.所以，i+2i 2+3i 3+…+8i 8=i-2-3i+4+5i-6-7i+8=4-4i.答案：4-4i【例5】 （2006广东高考，理10） 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p,q ∈R ,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0)则(1,2)⊕(p,q)=( )A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)思路分析:这是一个新定义型的信息迁移题,通过观察,我们不难发现,这个“⊗”运算,其实就是复数的乘法运算,即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,它与(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad)完全对应.因此,在解题时,就将其作为复数乘法运算来处理.由(1,2)⊗(p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-.2,1,02,52q p q p p p 所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0). 答案:B【例6】 (2005山东高考，理)22)1(1)1(1i ii i -+++-=( ) A.i B.-I C.1 D.-1 思路分析:本题要充分利用速算式(1±i)2=±2i,即i ii i i i i i i i i 2112121)1(1)1(122---=-++-=-+++-=-1. 答案:D专题三复数方程解复数方程时,可以综合利用解实数方程的相关技巧和复数的特有性质.【例7】 (2006上海高考，理5) 若复数z 同时满足z-z ＝2i,z ＝iz(i 为虚数单位),则z ＝_______________.思路分析:将z ＝iz 代入z-z ＝2i,得z-iz=2i,然后,对z 进行化简,我们观察可知,式z=ii-12中分子为2i,因此,分子分母同乘以1-i,则分母立刻可得-2i.当然也可以进行分母实数化化简.z=)1)(1()1(212i i i i i i ---=-=-1+i. 答案:-1+i【例8】 (2006上海春季高考，18) 已知复数ω满足ω-4=(3-2ω)i(i 为虚数单位),z=ω5+|ω-2|,求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 思路分析:先将ω求出并化简,并将其代入z=ω5+|ω-2|化简,发现这一虚数如果是一个实系数的一元二次方程的根,那必定还有一个共轭复数根.然后利用韦达定理即可求得以z 为根的实系数一元二次方程. 也可设ω=a+bi(a 、b ∈R ),利用复数相等的定义,求出ω=2-i,以下和前面的思路分析内容相同. 解法1:∵ω(1+2i)=4+3i,∴ω=ii 2134++=2-i,∴z=i -25+|-i|=3+i,若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根z =3-i,∵z+z =6,z·z =10,∴所求的一个一元二次方程可以是x 2-6x+10=0. 解法2:设ω=a+bi(a 、b ∈R ).则a+bi-4=3i-2ai+2b,得⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴⎩⎨⎧-==,1,2b a ∴ω=2-i,以下同解法一.【例9】 (2005高考全国Ⅲ，理13) 已知复数z 0=3+2i,复数z 满足z·z 0=3z+z 0,则z=_________________. 思路分析:可将z·z 0=3z+z 0中的z 用z 0表示出来,并将z 0=3+2i 代入,再进行化简,即得,z=i i i z z 231223300-=+=-. 答案:1-23i 专题四复数的几何意义复数的几何意义,有两个方面:一是用点来表示复数,复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一个几何意义.二是用向量来表示复数,重点在于复数对应点的轨迹问题. 【例10】 (2005辽宁高考，理1文1) 复数z=ii++-11-1.在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数z=ii++-11-1化简为a+bi(a,b ∈R)的形式,从而可判断其对应点的位置.z=i i ++-11-1=)1)(1()1)(1(i i i i -+-+--1=22i -1=-1+i,可知其在复平面内所对应的点为（-1，1）,应为第二象限.答案:B【例11】 (2005浙江高考，理4) 在复平面内,复数ii+1+(1+3i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数ii+1+(1+3i)2化简为a+bi(a,b ∈R )的形式,从而可判断其对应点的位置. i i +1+(1+3i)2=)1)(1()1(i i i i -+-+1+23i-3=23-+(23+21)i,显然,其所对应点在第二象限.答案:B本章测试（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.复数z 是实数的充分而不必要条件是( )A.|z|=zB.z=zC.z 2是实数D.z+z 是实数 答案:A思路分析：注意题目是求充分不必要条件而不是充要条件,即当满足条件时z 为实数,但复数z 为实数时该条件不一定成立. 当z ＝i 时,z 2=-1,故C 项不成立.当z 为虚数且非纯虚数时,z+z 是实数,故D 项不成立.若z=z ,设z=a ＋bi ，则z ＝a-bi,则复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数,则必有z=z ，故B 项是充要条件.当|z|=z,设z=a ＋bi ，由复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数且a<0时，得不出|z|=z.故正确答案是A 项.2.设复数z 满足关系式z ＋|z|＝2+i,那么z 等于( ) A.43-＋i B.43-i C.43--i D.43+i答案:D思路分析：设出复数由复数相等解方程组即可.设z=x+yi(x,y ∈R ),则x+yi ＋22y x +＝2＋i,∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++.1,43,1,222y x y y x x 解得∴z ＝43+i,∴应选D 项. 3.若z 2＋z ＋1＝０,则z 2００2＋z 2００３＋z 2００５＋z 2００６的值是（ ）A.2B.-2C.21-+23i D.21-±23i 答案:B思路分析：由z 2＋z ＋1＝０,不难联系到立方差公式,从而将z 得出.将z 2＋z ＋1＝０两边乘以(z-1)得z ３-1＝０,即z ３＝1(z≠1).则z ４＝z,z 2００2＝(z ３)６６７·z ＝z,于是原式＝z 2００2(1＋z ＋z ３＋z ４)＝z(2＋2z)＝2(z ＋z 2)＝-2.故选B 项. 4.复数z,a,x 满足x=azza --1,且|z|=1,则|x|等于（ ） A.0 B.1 C.|a| D.21 答案:B思路分析：由|z|=1得z z =1,将分母中的1代换,便可与分子约分,否则问题很复杂. 由|z|=1得|z|2=1,即z z =1,∴x=za z z z a az z z z a 1)(-=--=--=-z,∴|x|=|-z|=1,故答案选B 项.5.以复平面内的点(0,-1)为圆心,1为半径的圆的方程是（ ） A.|z-1|=1 B.|z+1|=1 C.|z-i|=1 D.|z+i|=1 答案:D思路分析：结合复数减法的几何意义来解.设复数为z=x+yi(x,y ∈R ),则|z+i|=22)1(++y x ,∴|z+i|=1表示以(0,-1)为圆心,1为半径的圆.故答案选D 项.6.若复数z 满足|z ＋３＋４i|≤６,则|z|的最小值和最大值分别为（ ）A.1和11B.0和11C.5和6D.0和1 答案:B思路分析：由复数减法的几何意义知，满足条件的点的集合为圆面,|z|即圆面上的点对应复数的模,利用数形结合及解决圆上点的最值办法转化为到圆心的距离减加半径即可. ∵方程|z ＋３＋４i|≤６是以(-３,―４)为圆心,６为半径的圆及其内部, ∴原点满足方程,故|z|的最小值为０,而|z|的最大值为６＋|３＋４i|＝６＋５＝11.故答案选B 项. 7.设f(n)=(i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N ),则集合{x|x=f(n)}中元素个数是（ ） A.1 B.2 C.３ D.无穷多个答案:C思路分析：应先将i i -+11,i i+-11化简,再根据i 的周期性来解. 化简f(n)= i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N )＝i n +(-i)n .由i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,给n 赋值发现集合{x|x=f(n)}＝{０,-2,2},故选C 项.8.若方程x 2+x+m=0有两个虚根α、β,且|α-β|＝３,则实数m 的值为…（ ） A.25 B.25- C.2 D.-2 答案:A思路分析：实系数一元二次方程不能简单地利用韦达定理来解,应由方程的根适合方程及相关知识来解. ∵方程x 2+x+m=0为实系数一元二次方程,且有两个虚根α、β,∴α、β互为共轭复数. 设α＝a+bi,则β＝a-bi, 由|α-β|＝３,得b ＝±23.当b=23时,α＝a+23i,代入方程得(a+23i)2+(a+23i)+m=0, 即(a 2+a+m-49)＋(3a+23)i ＝０,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-++.25,21.0233,0492m a a m a a 得出故选A 项.9.在复平面内,若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋iz|,则z 在复平面内对应点的轨迹为（ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案:A思路分析：设复数z=x+yi(x,y ∈R )，求模，用几何意义来解即可.设z=x+yi(x,y ∈R),|x+1＋yi|＝22)1(y x ++,|1＋iz|＝|1＋i(x+yi)|＝22)1(x y +-,则22)1(y x ++＝22)1(x y +-.∴复数z=x+yi 对应点(x,y)的轨迹为到点(-1,０)和(０,1)距离相等的直线.故答案选A 项.10.已知|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1-z 2|＝2,则|z 1＋z 2|＝( )A.2B.2C.3D.5答案:A 思路分析：由向量加减法的几何意义知,|z 1-z 2|是以z 1,z 2对应的向量为邻边的平行四边形的一对角线长,则|z 1＋z 2|为另一对角线长. 由向量的平行四边形法则,知∠z 1Oz 2＝９０°,∴对应的四边形为正方形.∴|z 1＋z 2|＝2.故答案选A 项.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）11.设i yi i x -+-=+1231(x,y ∈R ),则x=_________,y=___________. 答案：53 59-思路分析：此题是复数相等的应用,将等式两边整理后列方程组求解即可. 由已知得)1)(1()1()2)(2()2(3)1)(1()1(i i i y i i i i i i x +-+++-+=-+-, 整理得:i y y i x x )253(25622+++=-. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=.59,53,2532,2562y x y x y x 解得∴答案为x=53,y=59-. 12.设ω=21-+23i,A={x|x=ωk +ω-k ,k ∈Z },则集合A 中的元素有__________-个. 答案：2思路分析：此题是ω3=1,ω2=ω的周期性的应用.∵ω3=1,设n ∈Z ,∴k=3n 时x=2;k=3n+1时x=-1;k=3n+2时x=-1,故有2个元素. 13.(2007上海高考，理9文10) 对于非零实数a,b,以下四个命题都成立: ①a+a1≠0;②(a+b)2=a 2+2ab+b 2;③若|a|=|b|,则a=±b;④若a 2=ab,则a=b. 那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是_____________. 答案：②④思路分析：熟练掌握复数代数形式的四则运算是关键.我们也可以利用特例法进行一一验证.①不成立，例如，a=i,则a+a 1=i+i1=0;③不成立，例如，a=i,b=1,则|a|=|b|,而a≠±b. 14.(2007重庆高考，理11) 复数322ii+的虚部为_____________. 答案：54思路分析：化简542)2)(2()2(222223ii i i i i i i i +-=+-+=-=+，所以其虚部为54. 15.(2007海南、宁夏高考，理15) i 是虚数单位,ii43105++-=___________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 答案：25)43)(105()43)(43()43)(105(43105i i i i i i i i -+-=-+-+-=++-=1+2i. 思路分析：1+2i三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）已知复数z=3232++-x x x +(x 2+2x-3)i ，求实数x,使:(1)z 是实数;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数.解：解方程3232++-x x x =0得x=1或x=2;解x 2+2x-3=0得x=-3或x=1.答：x=1时z 是实数；x≠-3且x≠1时z 是虚数；x=2时z 是纯虚数.思路分析：复数z=a+bi 表示实数的条件是b=0,表示虚数的条件是b≠0,表示纯虚数的条件是a=0且b≠0.17.（本小题满分12分）已知复数z 的实部和虚部分别是a 和1,z 是z 的共轭复数,且z ·(1-2i)∈R ,求z. 解：∵z=a ＋i,z =a-i,z ·(1-2i)=(a-i)(1-2i)=(a-2)-(1+2a)i. 又z ·(1-2i)∈R ,∴1＋2a=0,a=21-,∴z=21-＋i. 思路分析：依据复数的乘法法则化简后再由复数表示实数的条件求解.18.（本小题满分12分）设方程(1+i)x 2+(1+5i)x-(2-6i)=0有实根，求这个实数根. 解：方程整理为(x 2+x-2)+i(x 2+5x+6)=0.设方程的实根为x 0，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+)2(,065)1(,02020020x x x x解方程组得⎩⎨⎧--=-=.23,2100或或x x x同时满足①②的值为x 0=-2.∴所求的根为x 0=-2.思路分析：我们将方程的实根x 0代入方程，由复数相等的充要条件可得方程组，求解即可. 19.（本小题满分12分）已知x,y ∈R ,x 2+2x+(2y+x)i 和3x-(y+1）i 是共轭复数，求复数z=x+yi 和z .解：由已知得⎩⎨⎧+=+=+,12,322y x y x x x解方程组得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,1,1,0y x y x 或 ∴z=i 或z=1，z =-i 或z =1.思路分析：两个复数a+bi 与c+di 共轭，等价于a=c 且b=d.由此可以得到关于x 、y 的方程组.20.（本小题满分12分）解方程2102221222++=+-++x x x x x .解：原方程可化为2222223)1(1)1(2)2(++=+-++x x ,设z 1=2x+2i,z 2=1-x+i, z 1+z 2=1+x+3i, ∴原方程可化为|z 1|+|z 2|=|z 1+z 2|,显然，仅当1OZ 与2OZ 共线且同向时上式才成立，从而xx -=1122, ∴x=21时等号成立，即x=21是方程的根. 思路分析：无理方程一般解法是平方去根号转化为有理方程再求解.但平方后次数高，项数多，求解更加困难.由于本题根号里面可配方，类似复数的模，所以，可转化为复数问题来解决.21.（本小题满分12分）实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根之比为p ，求证： （1）当11+-p p 为实数时，原方程有实根； （2）当11+-p p 为纯虚数时，原方程有虚根. 证明：设α与β是实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根， 且βα=p,则α+β=a b -α·β=a c ,βαβαβαβα+-=+-=+-1111p p , （2222222224)()(4)()(4)()()()11(b ac b aa c ab p p -=---=+-+=+-=+-βααββαβαβα.① （1）当11+-p p 为实数时，(11+-p p )2≥0,则由①可得b 2-4ac≥0，故原方程有实根.（2）当11+-p p 为纯虚数时，（11+-p p )2<0，则由①可得b 2-4ac<0，故原方程有虚根. 思路分析：判定实系数一元二次方程根的实、虚，只要判定其判别式b 2-4ac 的符号就可以了.由题意，应在b 2-4ac 与11+-p p 之间建立起联系. 教材习题点拨 复习题五(P 112)A 组1.解:(1)（-4x+1)+(y+2)i=0⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+-⇒.2,4102,014y x y x (2)（x-2y)-(3x+y)i=3-6i ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=--⇒.73,156)3(,32y y x y x y x 思路分析:利用复数为0或复数相等的条件先列出方程组,然后再求出未知量.2.答案:i 11=i 4×2+3=i 3=-i,i 25=i 4×6+1=i,i 26=i 4×6+2=i 2=-1,i 36=i 4×9=1,i 70=i 4×17+2=i 2=-1,i 101=i 4×25+1=i,i 355=i 4×88+3=i 3=-i,i 400=i 4×100=1.思路分析:利用公式i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.3.解:(1)（3+4i ）+（-5-3i ）=（3-5）+（4i-3i ）=-2+i ； (2)（1-5i ）+（2+3i ）=（1+2）+（-5i+3i ）=3-2i ； (3)（-2+3i ）+（6-5i ）=（-2+6）+（3i-5i ）=4-2i ； (4)（7-i ）-（2i-3）=（7+3）+（-i-2i ）=10-3i.4.解:(1)(-8-7i)(-3i)=24i-21;(2)(4-3i)(-5-4i)=-20-16i+15i-12=-32-i; (3)(21-+23i)(1+i)= 21-21-i+23i 23-=21-23--(2123-)i; (4)(1-2i)(2+i)(3-4i)=(2+i-4i+2)(3-4i)=(4-3i)(3-4i)=-25i. 5.解:(1)(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(2-3i)3=(2-3i)2(2-3i)=(-5-12i)(2-3i)=-10+15i-24i-36=-46-9i; (3)(21-+23i)(21-23-i)=(21-)2-(23i)2=41+43=1;(4)ii ii ∙=1=-i;(5)222)1)(1()1(212i i i i i i i +-=+-+=-=-1+i; (6)5521024)31)(31()31)(1(311i i i i i i i i -=-=-+-+=++. 6.解:ω2-ω+1=(231i +)2-(231i +)+1=231i +--231i ++1=0. 思路分析:通过计算不难得出ω2-ω+1=0这一结果,我们可以熟记这一结论,这有利于今后的计算.B 组1.解:(1)1321331323)32)(32()32(32i i i i i i i i +=+=-+-=+； (2)5512555567)2)(2()2)(3()2)(2()2)(4(2324i i i i i i i i i i i i i i i +=-++=+---++-++=+-+-+； (3)8244)22)(22()22)(57(225722643)1(2)32(2)1(2)1)(21(132221i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i --=--+---+=+-+=+-++-=+--++-=+---=21--3i ；` (4))53)(53()53)(53()35)(35()35)(35(53533535i i i i i i i i i ii i+-++-+-++=-+--+8152281522i i +--+==21. 2.解:将原式变为15)33()(18422-+---=-+-z z z z z z z =z-3+15-z ,然后将z=2+i 代入得: z-3+15-z =2+i-3+125-+i =2+i-3+i +15=2+i-3+)1)(1()1(5i i i -+-255i -=23-23i. 思路分析:此题有两种解法,另一种解法是原式不变形,直接将z=2+i 代入也可得出结果.高效率学习决定学习成败的七个因素决定学习成败的因素可分为两大类:一类是内在因素;另一类是外部因素.内在因素归纳起来有七个方面.1.学习的动力是否强大要使学习获得成功,学习动力是第一个因素.学习活动中,有两个系统在同时进行工作,一个是认识系统,另一个是动力系统.动力系统对学习系统起着指向的作用和原动力的作用.所以,搞好学习首先要增强学习的动力.2.基础知识,基本技能是否循序作好了准备不少学习成绩优秀的同学成功的一个重要原因,就是已经学过的基础知识和基本技能掌握得比较扎实.特别是连贯性比较强的知识和技能,一定要一步一个脚印地打好基础.3.阅读、书写、计算的技巧是否已经达到自动化、半自动化的熟练程度“工欲善其事,必先利其器”.学习活动最基本的工具就是阅读技能、书写技能、计算技能,如果读、写的速度太慢,上课就会跟不上老师的讲课进度,课后复习和作业就会比别人多用时间.据有的国家对落后生的调查统计说明,这是造成部分学生学习落后的主要原因.4.好的学习方法一般说来,好的学习方法符合以下三个条件:符合认识规律;符合自己的个性特点;符合不同学习的内容和不同教师教课的特点.5.学习的才能是否强学习的才能主要指三种能力:独立获取知识的自学能力;运用知识分析和解决实际问题的能力;创造才能、发展才能比获得具体知识更重要,学习才能既是提高学习成绩的重要因素,又是通过学习要努力追求的目标.6.是否养成了良好的学习习惯学习方法经过长时期的运用,就会形成比较稳定的学习习惯.好的习惯对于获得学习上的成功极为重要,不好的习惯常常导致学习的失败.7.体力与精力是否充沛要使大脑处于积极工作的状态,必须有健壮的身体和充沛的精力.有的同学经常不吃早饭去上学,到上午第四节课已经饿得不行了,这时,听课效率就会降低.。

数系的扩充和复数的概念教案一、教学目标1. 了解数系的扩充，掌握实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 掌握复数的定义和表示方法；3. 理解复数加法和乘法的几何意义；4. 能够计算复数的模、共轭和商。

二、教学重难点1. 数系的扩充，包括实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 复数的定义和表示方法；3. 复数加法和乘法的几何意义。

三、教学内容1. 数系的扩充（1）实数集：包括有理数和无理数两部分，用符号“R”表示。

（2）有理数集：可以表示为两个整数之比（分母不为0），用符号“Q”表示。

（3）无理数集：不能表示为两个整数之比，用符号“Q'”表示。

（4）复数集：由实部和虚部构成，形如a+bi，其中a和b均为实数，i是虚单位，用符号“C”表示。

2. 复数的定义与表示方法（1）定义：由一个实部a和一个虚部b构成的有序数组(a,b)称为一个复数z，即z=a+bi。

其中a称为z的实部，b称为z的虚部。

（2）表示方法：用复平面上的点表示。

3. 复数加法和乘法的几何意义（1）复数加法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。

即把两个复数看作向量，在复平面上用平行四边形法则相加。

（2）复数乘法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1×z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。

即把两个复数看作向量，在复平面上用角度叠加原理相乘。

4. 计算方法（1）模：|a+bi|=√(a²+b²)。

（2）共轭：若z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。

（3）商：设z1=a+bi，z2=c+di，则它们的商为(z1/z2)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。

四、教学过程Step 1 引入新知识介绍实数集、有理数集和无理数集，并引入复数集的概念。

“数系的扩充与复数的引入” 简介人民教育出版社宋莉莉数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充．在本章中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用．一、内容与要求1. 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．3. 了解复数的代数表示法及其几何意义．4. 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．二、内容安排及说明1. 本章教学时间约需4课时，具体分配如下（仅供参考）：3.1 数系的扩充和复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时小结2．知识结构框图3．对内容安排的说明⑴与以往教科书不同的是，本章在引入复数之前，首先在具体问题情境（即方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何通过数系的扩充使该方程有解）中，展现了实数系的扩充过程，然后引入了复数的相关概念，并类比实数的几何意义说明了复数的几何意义．⑵本章还研究了复数系中的运算问题，分别规定了加减乘除运算的运算法则，考察了加法和乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对复数代数形式的加减运算，讨论了其几何意义；对复数代数形式的除法运算，说明了一般的运算过程．三、编写时考虑的几个问题1.充分展现了从实数系到复数系的扩充过程．复数系是在实数系的基础上扩充而得到的，数系扩充过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用．为了自然、充分地展现这个过程，教科书以一个具体问题“方程x2＋1＝0在实数集中无解．联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗”引发学生的思考，同时将方程求根与数系的扩充联系起来，然后在回顾了从自然数系到实数系的扩充过程之后，类比这个过程完成了从实数系到复数系的扩充过程．2.从多元联系的角度认识复数．考虑到学生初学复数，对这个新的数系会感到不习惯，教科书设置了“探究”“思考”栏目，引导学生将复数系与实数系联系起来，将复数的几何意义与实数的几何意义做类比，将复数及其代数形式的加减运算与平面向量及其加减运算联系起来，从而加深学生对复数系的认识．四、对教学的几个建议1.加强复数引入过程的教学，体现实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用．2.加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系．3.削减传统内容（复数的三角形式、乘法的几何意义），避免繁琐的计算与技巧的训练．。

【高中数学】数系的扩充与复数的引入知识讲解1. 复数的有关概念 （1）复数的概念形如a+bi (a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。

若b=0，则a+bi 为实数；若b≠0，则a+bi 为虚数；若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

{}{}虚数纯虚数⊂，{}{}{}实数虚数复数 ==C（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔=⎧⎨=⎩a c b d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔=⎧⎨=-⎩a c b d(a,b,c,d ∈R)两个重要命题：定理：复数是实数的充要条件是；1z z z =定理：复数是纯虚数的充要条件是（）200z z z z +=≠ （4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平面上的点来表示复数，一般的，可用Z (a,b) (a,b ∈R)表示复数a+bi (a,b ∈R)或用向量O Z表示复数a+bi.（5）复数的模向量O Z的模叫做复数z=a+bi 的模，记为|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=22a b +。

2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a,b) (a,b ∈R) （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量O Z(a,b ∈R) 3、复数的运算（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）加法：R d c b a i d b c a di c bi a ∈+++=+++,,,)()()()( 减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+ 乘法：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++除法：)())(())(()()(转化为乘法运算…=-+-+=++=+÷+di c di c di c bia dic bi a di c bi a ，简记为“分母实数化”。